导数的概念及其运算练习题

导数的概念及其运算

1.函数y ＝f (x )从x 1到x 2的平均变化率

函数y ＝f (x )从x 1到x 2的平均变化率为____________，若Δx ＝x 2－x 1，Δy ＝f (x 2)－f (x 1)，则平均变化率可表示为________. 2.函数y ＝f (x )在x ＝x 0处的导数 (1)定义

称函数y ＝f (x )在x ＝x 0处的瞬时变化率______________＝______________为函数y ＝f (x )在x ＝x 0处的导数，记作f ′(x 0)或y ′|x ＝x 0，即f ′(x 0)＝lim Δx →0 Δy

Δx

＝______________. (2)几何意义

函数f (x )在点x 0处的导数f ′(x 0)的几何意义是在曲线y ＝f (x )上点__________处的____________.相应地，切线方程为__________________. 3.函数f (x )的导函数

称函数f ′(x )＝__________________为f (x )的导函数，导函数有时也记作y ′. 4.基本初等函数的导数公式

5.导数运算法则

(1)[f (x )±g (x )]′＝______________； (2)[f (x )·g (x )]′＝____________________； (3)⎣⎡⎦⎤f (x )g (x )′＝______________________ (g (x )≠0). 6.复合函数的导数

复合函数y ＝f (g (x ))的导数和函数y ＝f (u )，u ＝g (x )的导数间的关系为y ′x ＝__________，即y 对x 的导数等于________的导数与________的导数的乘积. 要点梳理 1.

f (x 2)－f (x 1)x 2－x 1

Δy

Δx

2.(1)lim Δx →0

f (x 0＋Δx )－f (x 0)Δx lim Δx →0 Δy

Δx lim Δx →0 f (x 0＋Δx )－f (x 0)Δx

(2)(x 0，f (x 0)) 切线的斜率y －y 0＝f ′(x 0)(x －x 0) 3.lim Δx →0

f (x ＋Δx )－f (x )Δx

4.0 nx n －

1 cos x －sin x a x ln a (a >0) e x 1x ln a

(a >0，且a ≠1) 1

x 5.(1)f ′(x )±g ′(x ) (2)f ′(x )g (x )＋f (x )g ′(x ) (3)f ′(x )g (x )－f (x )g ′(x )[g (x )]2

6.y ′u ·u ′x y 对u u 对x

1. f ′(x )是函数f (x )＝1

3x 3＋2x ＋1的导函数，则f ′(－1)的值为________.

2.如图，函数y ＝f (x )的图象在点P 处的切线方程是y ＝－x ＋8， 则f (5)＋f ′(5)＝______.

3.已知f (x )＝x 2＋3xf ′(2)，则f ′(2)＝________.

4.已知点P 在曲线f (x )＝x 4－x 上，曲线在点P 处的切线平行于 3x －y ＝0，则点P 的坐标为________.

5.已知曲线y ＝14x 2－3ln x 的一条切线的斜率为－1

2，则切点的横坐标为

( )

A.－3

B.2

C.－3或2

D.1

2

一、选择题

1.(2011·山东)曲线y ＝x 3＋11在点P (1,12)处的切线与y 轴交点的纵坐标是 ( ) A.－9

B.－3

C.9

D.15

2.已知f (x )＝x ln x ，若f ′(x 0)＝2，则x 0等于

( )

A.e 2

B.e

C.ln 22

D.ln 2

3.若曲线y ＝x 4的一条切线l 与直线x ＋4y －8＝0垂直，则l 的方程为

( )

A.4x －y －3＝0

B.x ＋4y －5＝0

C.4x －y ＋3＝0

D.x ＋4y ＋3＝0

二、填空题

4.设函数f (x )的导数为f ′(x )，且f (x )＝f ′⎝⎛⎭⎫π2sin x ＋cos x ，则f ′⎝⎛⎭⎫π4＝_______________.

5.已知函数f (x )，g (x )满足f (5)＝5，f ′(5)＝3，g (5)＝4，g ′(x )＝1，则函数y ＝f (x )＋2

g (x )

的图象在x ＝5处的切线方程为________________.

6.设点P 是曲线y ＝x 3

3－x 2

－3x －3上的一个动点，则以P 为切点的切线中，斜率取得最小值时的切线

方程是______________.

基础自测

1.3

2.2

3.－2

4.(1,0)

5.B

课时规范训练

A组

1.C

2.B

3.A

4.－2

5.5x－16y＋3＝0

6.12x＋3y＋8＝0