数学解题的基本过程陕西师范大学数学系罗增儒710062我们把寻找习题解答的活动叫做解题过程．解题过程不仅仅是“书写表达”，它应该包括从拿到题目到完全解出的所有环节或每一步骤，通常有四个基本的阶段（波利亚）：理解题意、思路探求、书写表达、回顾反思．科学把握好这四个阶段是一种良好的解题习惯．大家对这四个阶段应该都不陌生，但是，能够给学生说清楚、讲明白吗？比如大家都知道解题首先要审题，但是审题“审什么？怎么审？”能够给学生说清楚、讲明白吗？大家都知道解题的关键是思路探求，但是探求“探什么？怎么探？”能够给学生说清楚、讲明白吗？大家都知道解题书写很重要，但是书写“写什么？怎么书？”能够给学生说清楚、讲明白吗？大家都知道学会解题的好途径是反思，但是反思“思什么？怎么思？”能够给学生说清楚、讲明白吗？下面，我们一起来经历解题过程，从做一道最新高考题开始．1 数学解题的热身例 1 设a R ∈，若0x >时均有()()21110a x x ax ----≥⎡⎤⎣⎦，则a =_____．（2012年数学高考浙江卷理科第17题，4分）先请独立求解，然后分析两个学生的解法，最后交流你们的解法1-1 两个解法请辨析1-1-1 解法呈现解法1 分为以下两种情况（两式同时非正或同时非正）：（1）当()110a x --≤时，由已知，对0x >有210x ax --≤，两式相加消去ax ，得()()220210x x x x --≤⇔-+≤，对0x >成立．这是不可能的，取3x =就矛盾，即在这种情况下无解．（2）当()110a x --≥，由已知，对0x >有210x ax --≥，两式相加消去ax ，得()()220210x x x x --≥⇔-+≥，对0x >成立．这是不可能的，取1x =就矛盾，即在这种情况下无解． 所以，本题无解（或是一道错题）．解法2 对1a -分两种情况讨论．（1）当10a -≤时，由0x >，有()110a x --<，从而210x ax --≤． 有 11,1,a x a x x ⎧<+⎪⎪⎨⎪≥-⎪⎩⇒11102x x x x -<+⇒<<， 这时对02x <<，及111x a x x -≤<+，有3111132112222x a x x ⎛⎫⎛⎫=-=-≤<+=+= ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭最大值最小值， 得32a =． （2）当10a ->时，由()()21110a x x ax ----≥⎡⎤⎣⎦，（0x >） 得10122a a x x x a ⎛-+⎛⎫---≥ ⎪ ⎪⎪-⎝⎭⎝⎭⎝⎭，（0x >） 但0x >时，0x ⎛-> ⎝⎭，故101x x a ⎛⎛⎫-≥ ⎪ -⎝⎭⎝⎭，（0x >） 取11a =- 即11a -是方程210x ax --=的解，有11011a a a ⎛⎫--= ⎪--⎝⎭ 解得32a =． 合并得32a =． （请大家把想法写下来）1-1-2 解法分析第1、解法1的分析．（1）解法1是“会而不对”．思路有合理成分，但叫做“会而不对”一个反例便可说明其结论错误．（必要性）取2x =，由已知有()2230a --≥，得32a =． 反之（充分性），当32a =时，对0x >有 ()()()()22111122104a x x a x x x ----=-+≥⎡⎤⎣⎦恒成立． 所以，本题有解32a =，不是无解、更非错题． （2）解法1的错误内容（主要说三点）：错误1：不能推出．指由已知“不能推出”（1）、（2）．仅当()110a x --<时，才能够由已知推出210xax --≤；仅当()110a x -->时，才能够由已知推出210x ax --≥．而当()110a x --=时，21x ax --可以大于0、等于0、小于0．（分五种情况，比较麻烦，但可以改写为两种情况，参见代数解法）错误2：构成矛盾无效．其实分两种情况讨论的同时，也对()0,x ∈+∞作了两种情况的区分．对第一种情况有()2110,01,a x x ax --≤-≤-⎧⎨⎩⇒11,1,a x a x x ⎧≤+⎪⎪⎨⎪≥-⎪⎩， 得 11102x x x x-≤+⇒<≤． 可见，这时取3x =是无效的．对第二种情况有()2110,10,a x x ax ⎧--≥⎨--≥⎩⇒11,1,a x a x x ⎧≥+⎪⎪⎨⎪≤-⎪⎩得 1112x x x x+≤-⇒≥， 可见，这时取1x =是无效的．所以，两种情况下构成矛盾都是盲目的、无效的．错误3：心理沿袭和监控缺失分两种情况讨论的同时，也把()0,x ∈+∞分成02x <≤与2x ≥两种情况，其实在解法1有明显的透露：由()2110,10,a x x ax ⎧--≥⎨--≥⎩⇒()()220210x x x x --≤⇔-+≤，可得02x <≤；由()2110,10,a x x ax ⎧--≥⎨--≥⎩⇒()()220210x x x x --≥⇔-+≥，可得2x ≥．但是解法1对此熟视无睹，两种情况下都依然沿袭0x >，并由此出发去构成无效矛盾，这除有知识盲点、逻辑盲点外，还有视而不见的心理沿袭和反思监控的思维缺失．（3）解法1错误的性质：既有知识性错误，又有逻辑性错误，还有心理性错误，主要是逻辑性错误．第2、解法2的分析．（1）解法2是“对而不全”． 得出32a =是对的，但过程有问题，叫做“对而不全”．（2）解法2的错误内容．主要出现在10a -≤的情况．错误1：在02x <<时，函数1y x x =-没有最大值，函数11y x=+没有最小值，分别是上、下确界为32．（中学没有上、下确界，讲不清楚）错误2：在10a -≤条件下推出32a =，两者是互相矛盾的． （3）解法2的错误性质：错误1是知识性错误，错误2是逻辑性错误．1-1-3 解法交流第一部分、代数解法．代数解法1 分5种情况讨论（1）()2110,01,a x x ax --<-≤-⎧⎨⎩（0x >）（2）()2110,01,a x x ax -->-≥-⎧⎨⎩（0x >），（3）()2110,01,a x x ax --=->-⎧⎨⎩（0x >），（4）()2110,01,a x x ax --=-<-⎧⎨⎩（0x >）（5）()2110,01,a x x ax --=-=-⎧⎨⎩（0x >）比较麻烦还可能避不开上下确界．代数解法2 分2种情况讨论．（1）当10a -≤时，……得矛盾．无解．（2）当10a ->时，……得32a =，且对0x >均有()()()()22111122104a x x ax x x ----=-+≥⎡⎤⎣⎦．所以得32a =． 代数解法3 更换主元，看成关于a 的不等式，有1110a a x x x ⎡⎤⎡⎤⎛⎫⎛⎫-+--≤ ⎪ ⎪⎢⎥⎢⎥⎝⎭⎝⎭⎣⎦⎣⎦．（0x >） 比较11,1x x x -+的大小知：当02x <≤时，有111x x x-≤+；当2x ≥时，有111x x x+≤-． （1）当02x <≤时，解关于a 的不等式有111x a x x-≤≤+， 得m a x m i n 3111132112222x a x x ⎛⎫⎛⎫=-=-≤≤+=+= ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭， 得32a =． （2）当2x ≥时，解关于a 的不等式有111a x x x+≤≤-， 得max min 3111131122222a x x x ⎛⎫⎛⎫=+=+≤≤-=-= ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭， 得32a =． 综上的得32a =． 当32a =时，对0x >均有 ()()()()22111122104a x x ax x x ----=-+≥⎡⎤⎣⎦． 所以32a =为所求． 第二部分、数形结合．数形结合 1 作出函数()11y a x =--，21y x ax =--的图像可以发现（如图1）， 图1（1）两函数图像都过定点()0,1-．（2）在0x >的右半平面上，绕定点()0,1-旋转直线()11y a x =--可以看到，满足条件的图形只能是：两函数图像或同在下半平面、或同在上半平面，即两函数图像的另一交点在x 轴上．对函数()11y a x =--，令0y =，得零点1,01a ⎛⎫ ⎪-⎝⎭，其中101a >-⇒1a >；把零点1,01a ⎛⎫ ⎪-⎝⎭代入21y x ax =--，得 211011a a a ⎛⎫--= ⎪--⎝⎭， 解之，取大于1的解，得32a =．数形结合2 将ax 看成主元，由原不等式可得()()2110ax x ax x ⎡⎤-+--≤⎡⎤⎣⎦⎣⎦，有 ()()()()221,11,1min maxx x ax x x ⎡⎤⎡⎤+-≤≤+-⎣⎦⎣⎦ 图2 即直线y ax =介于两函数21,1y x y x =+=-的图像之间( 如图2所示) ，故直线y ax =过两图像21,1y x y x =+=-的交点( 2，3) ，有 y ax =，得32a =．第二部分、小题小解．难得不会想简单的（必要性），取1x =，有()20a a -≤，得02a ≤≤．取2x =，有()2230a --≥，得32a =． 反之（充分性），当32a =，0x >时 ()()()()22111122104a x x a x x x ----=-+≥⎡⎤⎣⎦． 所以得32a =． 其实，上面的解法都指向2x =，抓住2x =江湖上人称“一剑封喉”．2 解题过程的讲解如上所说，科学把握好“理解题意、思路探求、书写表达、回顾反思”这四个阶段是一种良好的解题习惯．这也是高考解题的基本过程，平时要四步全面抓，别忘了“回顾反思”，考试临场则重在前三步“理解题意、思路探求、书写表达”．2-1 理解题意理解题意也叫做“审题”或“弄清问题”，主要是弄清题目已经告诉了你什么，又需要你去做什么，从题目本身获取“怎样解这道题”的逻辑起点、推理目标、及沟通起点与目标之间联系的更多信息．审题审什么？怎么审？我们说，要抓好审题的“三个要点、四个步骤”．（1）审什么的“三个要点”．要点1：审清题目的条件是什么，一共有几个，其数学含义如何．首先，条件包括明显写出的和隐蔽地给予的，弄清条件就是要把它们都找出来；其次，也是更重要的，是弄清条件的数学含义，即看清楚条件所表达的到底是哪些数学概念、哪些数学关系．题目的条件告诉我们从何处下手、预示“可知”并启发解题手段，弄清了条件就等于弄清了行动的起点、也准备好了行进中的加油站．要点2：审清题目的结论是什么，一共有几个，其数学含义如何．题目的结论有的是明显给出的，如“求证”题（还有选择题等），关键是要弄清结论到底与哪些数学关系、哪些数学概念有关；而有的题目结论是要我们去寻找的，如“求解”题、探索题（还有填空题等），这时的弄清结论，就是要弄清“求解”（探索）的性质或范围，它们与哪些数学关系、哪些数学概念有关，以明确推理或演算的方向．题目的结论告诉我们向何方前进、预告“需知”并引导解题方向．弄清了结论就等于弄清了行动的目标、也随身带上了纠正偏差的指南针．数学解题的心理活动总是由意识控制的、被目标支配的、受实践的目的制导的．要点3：审清题目的条件和结论有哪些数学联系，是一种什么样的结构．即在弄清条件的数学含义、结论的数学含义的基础上，继续弄清条件知识与结论知识之间存在哪些数学联系，这些联系就表现为题目的结构．为了更接近问题的深层结构，审题不仅开始于解题工作的第一步，而且贯穿于探求的过程与结果的反思．应该是循环往复、不断深化的过程．题目的条件和结论是“怎样解这道题”的两个信息源，审题的实质是从题目本身去获取从何处下手、向何方前进的信息与启示．（2）怎么审的“三四个步骤”．步骤1：读题——弄清字面含义．审题首先要逐字逐句读懂题目说了什么，按每分钟阅读300 ~ 400个印刷符号的速度计算，通常读完一道题用不了一分钟，但未必读懂了，因而，还应该从语法结构、逻辑关系上作出分析，真正弄清哪些是条件，哪些是结论，各有几个，这是读题最实质性的工作．其次要从答题形式、数据要求上明确题目的技术性细节，比如在考试中，有的题目要求保留小数点几位等等，如果不按这些要求来，解答就会被认为不完整（存在扣分的危险），虽然有的同学并非不会做．步骤2：理解——弄清数学含义．看懂题目的字面含义还不能算真正审清题意，它只是为实质性的数学理解扫清了语言障碍，关键是要能进行文字语言、符号语言、形象语言之间的转化，从题目的叙述中获取数学“符号信息”，从题目的图形中获取数学“形象信息”，弄清题目的数学含义．这当中，我们常常要“回到定义”、激活相关的数学知识，常常要辅以图形或记号，使条件和结论都数学化，并被我们所理解．步骤3：表征——识别题目类型．信息在大脑的呈现叫做表征．弄清条件、弄清结论的同时，条件与结论之间的关系会在头脑呈现，这种呈现不仅会激活相关的数学知识，而且也会调动相关的解题经验．对于大量的常规题来说，条件与结论之间的关系结构是记忆储存所现成的——每人的头脑里都或多或少、或优或劣储存有基本模式与经典题型，题意弄清楚了，题型就得以识别，提取该题型的相应方法即可解决（叫做模式识别）．即使是新的“陌生情景”，我们也有了解决它的逻辑起点与推理目标，继而可以用“差异分析”、“数形结合”等措施，进入下一阶段——思路探求．解题所做的脑力工作就在于回忆他的经验用得上的东西，并且和他的解题思维联系起来．步骤4：深化——接近深层结构．简单题一旦弄清题意，题型就得以识别，思路随之打通，但有时认识是浅层的．对于变通过的、“形似而质异”的、或综合性较强的题目，则还要不停顿地“理解题意”．因而，“理解题意”的工作在“识别题目类型”之后还结束不了，主要表现在两个方面：其一是在思路探求中，还有一个继续弄清题意的过程，否则会思路受挫、思维走偏；其二是在思路业已打通、解法初步得出时，仍有一个回顾反思、再认识的过程，即更本质的“理解题意”、努力接近问题的深层结构．经验表明，凡是题目未明显写出的，一定是隐蔽地给予的，只有细致地审题才能从题目本身获得尽可能多的信息，这一步不要怕“慢”．（审题要慢、书写要快）题目的条件和结论是“怎样解这道题”的两个信息源，审题的实质是从题目本身去获取从何处下手、向何方前进的信息与启示．注意：这些要点，叙述时是分解动作，真正解题时是连续进行、一气呵成的．思考练习1：请思考下面各题中条件是什么、结论是什么．例 2 设()f x是定义在R上且周期为2的函数，在区间[11] -，上，111()21xxaxf x bxx< +-⎧⎪=+⎨⎪+⎩≤≤≤，，，，其中a b∈R，．若1322f f⎛⎫⎛⎫=⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭，则3a b+的值为．（2012数学高考江苏卷理科第10题，5分）三个条件？（1）设()f x是定义在R上且周期为2的函数；（2）在区间[11]-，上，0111()201x x ax f x bx x <+-⎧⎪=+⎨⎪+⎩≤≤≤，，，，其中a b ∈R ，； （3）1322f f ⎛⎫⎛⎫= ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭． 其实，（2）中有一个（隐含条件）(1)(1)f f -=⇒，可得20a b +=． 解 因为2T =，所以(1)(1)f f -=，可得20a b +=． 由1322f f ⎛⎫⎛⎫= ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭及2T =，得1122f f ⎛⎫⎛⎫=- ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭，可得322a b +=-． ()()35327210010a b a b a b +=+-+=--=-．也可以联立20322a b a b +=⎧⎨+=-⎩解出24a b =⎧⎨=-⎩得310a b +=-．这里有方程观点．例 3 设,m n R ∈，若直线(1)(1)20m x n y +++-=与圆22(1)(1)1x y -+-=相切，则+m n 的取值范围是（A）[1+（Ｂ）(,1[13,)-∞++∞（C）[22-+（D ）(,2[222,)-∞-++∞ （2012年高考数学天津卷理科第8题）条件是什么？两个条件？（1）,m n R ∈；（2）动直线与定圆相切． 相切是文字语言，无法运算、难以推理，要明确其 “数学含义”．如●圆心到直线的距离等于半径（点到直线距离公式）●联立方程得二次方程判别式等于0……那么，+m n 算条件还是结论？我们算条件：（3）并非所有的,m n R ∈都能使直线与定圆相切，题目的意思是，如果“存在”这样的,m n R ∈，使直线与定圆相切，那么就把它们加起来求“和”+m n ，这个“和”组成一个集合，题目叫做“取值范围”．结论是什么？求+m n 的取值范围．文字语言“取值范围”的数学含义可以作两个方面的理解（充分必要）：必要性 满足条件的和都在这个“范围”里；充分性 这个“范围”里的a 都满足条件．解 直线(1)(1)20m x n y +++-=与圆22(1)(1)1x y -+-=相切，则圆心(1,1)到直线的距离为圆的半径11d ==得 1m n mn ++=．由基本不等式，有212m n m n mn +⎛⎫++=≤ ⎪⎝⎭，即 ()()2440m n m n +-+-≥，解得(,2m n +∈-∞-[222,)++∞．问题1 如果作为解答题要不要验证(,2m n +∈-∞-[222,)++∞ ①时，直线与圆相切？是验证①“所有的”,m n ，还是验证①“存在”,m n ？问题2 原题可否改写为：例3-1 直线(1)(1)20m x n y +++-=与圆22(1)(1)1x y -+-=相切的充要条件是2m n +-≥问题3 是否赞成怎样的改写：例3-2 存在,m n R ∈，使直线(1)(1)20m x n y +++-=与圆22(1)(1)1x y -+-=相切，则+m n 之和的取值范围是（A ）[1+ （Ｂ）(,1[13,)-∞++∞ （C ）[22-+（D ）(,2[222,)-∞-++∞ 例3-3 存在,m n R ∈，使直线(1)(1)20m x n y +++-=与圆22(1)(1)1x y -+-=相切的充要条件是2m n +-≥2-2 思路探求寻找解题思路是探索解题结论的发现过程，基本的想法是，把待解决或未解决的问题，化归为一类已经解决或者比较容易解决的问题．可以分两步走：（如图３）（1）努力在已知与未知之间找出直接的联系——化归为已经解决过的基本问题．对于大量的常规题来说，题意弄清楚了，题型就得以识别，记忆中关于这类题的解法就召之即来．（叫做模式识别）（2）如果找不出直接的联系，就对原来的问题作出某些必要的变更或修改．（运用解题策略：差异分析、以退求进、区分种种情况、正难则逆、以及自始至终的数形结合等）图3①差异分析：通过分析条件与结论之间的异同、并不断减少目标差来完成解题的思考方法叫做差异分析法．使用差异分析法有3个步骤：通过分析题目中所出现的元素及特征去寻找异同点，对目标差运用基础理论与基本方法作出减少目标差的某种反应，把减少目标差的调节积累起来、直至消除．②以退求进：可以先考虑问题的特殊情况，或先考虑问题的一部分，看清楚、想明白了再进．退是手段、进是目的，“难的不会想简单的”是个好主意．在具体实践中，常常是进退互化．③区分种种情况：或是分解为一个个小步骤（分步）、或是分解为一个个小类型（分类），各个击破、分别解决．在具体实践中，常常是分合并用．④正难则逆：正面思考有困难时，可以调整思考的方向，转而从结论入手（分析法、逆推法），或反面思考问题（反证法）．在具体实践中，常常是正反相辅．⑤数形结合：在探索的过程中，要始终不忘把数与形结合起来思考，既会把数式转变为图形，又会把图形转变为数式，注意发挥数与形的双重优势．（3）模式识别在求解高考题中的具体化：●化归为课堂上已经解过的问题．●化归为往届高考题．因为课堂和课本是学生知识资源的基本来源，也是学生解题体验的主要引导．离开了课本，学生还能从哪里找到解题依据、解题方法、解题体验？还能从哪里找到解题灵感的撞针？中考解题一定要抓住“课本”这个根本．因为课本是中考命题的基本依据．有的试题直接取自教材，或为原题、或为类题；有的试题是课本概念、例题、习题的改编；有的试题是教材中的几个题目、几种方法的串联、并联、综合与开拓；少量难题也是按照课本内容设计的，在综合性、灵活性上提出较高要求．可以说，抓住了“化归为课堂上已经解过的题”就抓住了多数考题．“化归为课堂上已经解过的题”的实质是化归为课堂上学过的内容与方法，以不变应万变．思考练习2：请思考下列各题中的解题思路．例4-1 设椭圆的中心是坐标原点，长轴在x 轴上，离心率为2e =．已知点30,2P ⎛⎫ ⎪⎝⎭到这个椭圆上的点的最远距离是．求这个椭圆的方程，并求椭圆上到点P 的最远距离等于的点的坐标．（1990数学高考文科26题、理科第25题，12分）改为74）例4-2 在平面直角坐标系xOy 中，已知椭圆C ：22221(0)x y a b a b +=>>的离心率e =C 上的点到()0,2Q 的距离的最大值为3．（1）求椭圆C 的方程；（2）在椭圆C 上，是否存在点(),M m n 使得直线L ：1mx ny +=与圆O ：221x y +=相交于不同的两点,A B ，且O A B 的面积最大？若存在，求出点M 的坐标及相对应的OAB 的面积；若不存在，请说明理由． （2012数学高考广东卷理科第20题，14分）例5 余弦定理的两个话题．例5-1 余弦定理记得住、会证明吗？（2011陕西高考题）思路1（向量证明）思路2（坐标证明） 如图4，在ABC中，设()()()11220,0,,,,A B x y C x y ，由向量数量积的定义,有 图4cos AB ACA AB AC x== （把向量变为坐标）=（坐标运算，保持分母一致）()()()()22222211221212x y x y x x y y ⎡⎤+++--+-=（保持分子一致） 2222AB AC BC AB AC+-=，（把向量变为数量） 得 2222c o s a b c b c α=+-．可见，余弦定理是向量数量积定义的一个特例．或说向量数量积定义的合理性是余弦定理．如果,B C 在单位圆上，记()()cos ,sin ,cos ,sin C B ααββ，则()2n c c o s n O C O BO C O B βα-== cos cos sin sin αβαβ+=．可见，余弦差角公式也是向量数量积定义的一个特例．余弦定理、向量数量积定义、余弦差角公式三者是相通的．（数学的统一性）例5-2 余弦定理的逆命题（怎样叙述，真假如何）对应余弦定理的符号等式，交换条件与结论，可以给出逆命题为：逆命题1 若,,a b c 为正实数，(),,0,αβγπ∈，有2222cos a b c bc α=+-， 2222cos b a c bc β=+-， 2222cos c a b bc γ=+-，则,,a b c 对应的线段构成一个三角形，且a 边的对角为α，b 边的对角为β，c 边的对角为γ．证明（略）逆命题2： 对于正实数,,a b c ，及()0,θπ∈，若有2222cos a b c bc θ=+-，则,,a b c 对应的线段构成一个三角形，且a 边的对角为θ．证明 以,b c ，θ为两边夹角作三角形，有余弦定理得 第三边为222cos b c bc θ+-，但2222cos a b c bc θ=+-，故第三边就是a ，所以,,a b c 对应的线段构成一个三角形，且a 边的对角为θ．例6 （Ⅰ）如图5，证明命题“a 是平面π内的一条直线，b 是π外的一条直线（b 不垂直于π），c 是直线b 在π上的投影，若a b ⊥，则a c ⊥”为真；（8分）（Ⅱ）写出上述命题的逆命题，并判断其真假（不需证明，12分） 图5（2012年数学高考陕西卷理科第18题，12分） 解法1 （略） 解法2 （略）证明3 （三垂线定理及其逆定理的统一证明）如图6，记直线a 的方向向量为a ，有0PO a =，又 P A P O=+，有 ()P A aP OO Aa P O a O A a O A a =+=+=，得00PA a OA a =⇔=，即 a b ⊥⇔a c ⊥． 图6（有了数量积的分配律三垂线定理就很简单了） 例7 数列{}n a 满足1(1)21n n n a a n ++-=-，则{}n a 的前60项和为 ．（2012年数学高考新课标卷理科第16题，5分） 解法1 特殊化，取11a =，则由1(1)21n n n a a n ++-=-有123456789101112131415161, 2, 1, 6,1, 10, 1, 14,1, 18, 1, 22,1, 26, 1, 30,a a a a a a a a a a a a a a a a ================……归纳知，{}n a 的奇数项是恒为1的常数列；偶数项是首项为2，公差为4的等差数列，故{}n a 的前60项和为601235960S a a a a a =++++30293023042⨯⎛⎫=+⨯+⨯ ⎪⎝⎭1830=．解法2 特殊化，取10a =，则由1(1)21n n n a a n ++-=-有123456789101112131415160, 1, 2, 7,0, 9, 2, 15,0, 17, 2, 23,0, 25, 2, 31,a a a a a a a a a a a a a a a a ================……归纳知，43k a -是常数列0；42k a -是首项为1，公差为8的等差数列，41k a -是常数列2；4k a 是首项为7，公差为8的等差数列，故{}n a 的前60项和为601235960S a a a a a =++++151415140151158215715822⨯⨯⎛⎫⎛⎫=⨯+⨯+⨯+⨯+⨯+⨯ ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭1830=．解法3 由已知有()()()()424341434142441414141424312242124112241n n n n n n n n n n n n a a n a a a a n a a n a a a a n -------+-+⎫-=--⎫⎪⇒+=⎪⎬+=--⎪⎪⎭⎬-=--⎫⎪⎪⇒+=⎬⎪+=-⎪⎭⎭4143n n a a +-⇒=，得1595761a a a a a =====．所以，{}n a 的前60项和为601234560S a a a a a a =++++++()()()()()()23456061325461602212412601a a a a a a a a a a a a =++++++=++++++=⨯-+⨯-++⨯-()31193018302+=⨯=．解法2 设4342414n n n n n b a a a a ---=+++，由已知有()()()()424341434142441414141424312242124112241n n n n n n n n n n n n a an a a a a n a a n a a a a n -------+-+⎫-=--⎫⎪⇒+=⎪⎬+=--⎪⎪⎭⎬-=--⎫⎪⎪⇒+=⎬⎪+=-⎪⎭⎭4143n n a a +-⇒=， ①取1n =，得15a a =，有()()11234523432543710.b a a a a a a a a a a a a =+++=+++=+++=+=同样，由已知有()()()()4142442441414424424124211682411241162411n n n n n n n n n n n n a ana a na an a a n a a n a an ----++++⎫+=--⎫⎪⇒+=-⎪⎬-=--⎪⎪⎭⎬+=-⎫⎪⎪⇒+=⎬⎪-=+-⎪⎭⎭42428n n a a+-⇒=+， ②()()()()441414141442414341434224112241241122421n n n n n n n n n n n n a an a a a a n a a n a a a a n -+-+++++++⎫-=--⎫⎪⇒+=⎪⎬+=-⎪⎪⎭⎬-=+-⎫⎪⎪⇒+=⎬⎪+=+-⎪⎭⎭434n n a a+-⇒=， ③()()()()414424424143424442444324116241124211682431n n n n n n n n n n n n a a n a a na a n a a n a a n a a n ++++++++++⎫+=-⎫⎪⇒+=⎪⎬-=+-⎪⎪⎭⎬+=+-⎫⎪⎪⇒+=+⎬⎪-=+-⎪⎭⎭44428n n a a++⇒=+， ④由①+②+③+④，得41424344434241416n n n n n n n n a a a a a a a a ++++---+++=++++，即1116,10.n n b b b +=+⎧⎨=⎩ 所以，{}n a 的前60项和为()6012359601215112151410151621830S a a a a a b b b n n b n d=+++++=+++-=+⨯=⨯+⨯=说明 可见，数列{}n a 的结构是这样的：（化归为等差、等比数列）()()4123414121212108182.n n nnS a a a a a b b b n n b n d n n n n n -=+++++=+++-=+=+-=+2-3 书写表达就是把打通了的解题思路（即自己看清楚、想明白的事意或不同意你看法的人）．这当中可能会有某一步骤因忽视了关键细节而反复，也可能会因认真整理思想而深化理解或触发新的灵感．在实现计划中“怎样书写表达”，这对学生来说仍然是一个需要系统指导和严格训练的问题．我们建议（1）平时抓“15字口诀”和“24字要领”：●抓住15字口诀：定方法、找起点、分层次、选定理、用文字．●把握24字要领：方法简单、起点明确、层次清楚、定理准确、论证严密、书写规范．（2）临场抓“书写要快”和“分段得分”：①在宏观上要有争分夺秒的速度意识，选择题、填空题要争取在一二分钟内解决（选择题“小题小做”、填空题“以快为上”），解决不了的就先跳过去（被跳过的题目其实还在潜意识里继续思考）；解答题中容易的题也不妨边想边写，节省草算时间，一般地，选择题、填空题与解答题的时间比可分配为4：6．②其次，具体到每一道题，一旦找到解题思路，书写要简明扼要、快速规范，不要拖泥带水，啰嗦重复，更别画蛇添足（导致倒扣分），用阅卷教师的行话来说，就是要写出“得分点”，就数学题而言，一个原理写一步就可以了，至于不是题目要直接考查的过度知识，特别是那些初中知识，可以直接写出结论，须知，多写一步就是多出现一个犯错误的机会，就是多占用了后面高分题的一点思考时间，这意味着“隐含失分”或“潜在丢分”．为了节约书写，我们建议多使用数学语言、集合符号、充要条件．③分段得分．一道高考题做不出来，不等于一点想法都没有，不等于所涉及的知识一片空白，尚未成功不等于彻底失败．问题是，如何将片段思路转化为得分点，从而“分段得分”．分段得分的基本内容是：防止“分段扣分”，争取“分段得分”．“会做的题不丢分，不会做的题拿足分”．●会做的题目，要力求不丢分．情况表明，对于考生会做的题目，阅卷教师更注意找其中的毛病，分段扣回一二分，这时要特别解决好“会而不对、对而不全”力求不丢分．相反，对考生未能正确解答或未能完整解答的题目，阅卷教师则更注意找其中的合理成分，分段给点分，所以“做不出来的题目得一二分易，做得出来的题目得满分难”．●部分理解的题目，要力求多得分．对于多数考生来说，更为重要的是如何从拿不下来的题目中多得点分段分，其实质是多出现几个相关的知识点．从原则上讲，每一个考生做每一道题都不会一无所知，得零分的原因无非两条：没有时间做；不会把自己所掌握的知识表达出来或表达错了．●分段得分的技术基础是解题策略．分段得分的技术基础是解题策略在考试中的应用，有什么样的解题策略，就有什么样的得分策略，暴露解题思考的真实过程就是分段得分的全部秘密．●分段得分的总体功能．对于一道拿不下来的题目，实施分步得分的初衷是得部分分，但实施的过程也是解题策略的运用过程，正确策略的运用就带来了全题解决的前景．所以，运用解题策略同时具有分段得分与全题解决的双重功能：进可全题解决，退可分段得分．●分段得分的主要技术有：缺步解答；跳步解答；退步解答；倒步解答；辅助解答．思考练习3：请思考下面各题如何书写表达．例8-1将()2n n≥个同学任意分两组，给两组之间的每两个同学都拉上一条绳子(同一组内的同学不拉绳子)，继续这过程，只要某组的同学数大于1，就把这组同学再随意分成两组，并给两组之间的每两同学再拉一条绳子，直至每组只有1个同学为止．求过程结束时绳子的总数．（你认为这是什么题型？或可以化为什么题型？）讲解 （1）探索：特殊化分组，发现结果． 对n 个同学作()11n -+分组，用1n -条绳子． 对1n -个同学作()21n -+分组，用2n -条绳子．依此类推，最后对2个同学作1+1分组，用1条绳子． 对这个特殊的分组，绳子的总数为()()()112212n n n N n n -=-+-+++=．（条） 由此发现，这与“数线段”的结果是一样的．当然，对任意分组是否成立还需要证明，但是，证明的目标已经有了．命题 （数线段——基本问题）平面（或空间）上有n 个点12,,,n A A A ()2n ≥，两两连一条线段，共有()12n n -条． （2）类比：记得“数线段”的求解有一个乘法原理的视角：每一个点都与另外1n -个点连线，n 个点计算便有()1n n -条连线，但在这个计算中，每条线都重复计算了1次，故得()12n n -． 现在来作类比，点对应着人，连线对应着拉绳子，每一个点都与另外1n -个点连线对应着每一个人都与另外1n -个人拉绳子，……这样一来，思路应该是通的．但是，怎么书写呢？先想一想 ．（3）证明：将n 个同学记为12,,,n A A A ，任取其中1个同学i A （1i n ≤≤），当全体同学被分成两组时，i A 与另一组中的每一个同学都拉有绳子，当i A 所在的组继续分成两小组时，i A 又与另一小组中的每一个同学都拉有绳子，依此类推，直至每组只有1个同学时，i A 就与i A 之外的1n -个同学都拉有绳子．令1,2,,i n =，可得()1n n -．但在这个计算中，每条绳子都重复计算了1次，故得绳子总数为()12n n -条．（4）感悟 本例中的同学拉绳子就是“数线段”中的点连线段，两两拉一条绳子的过程（两两连一条线段）会有多种方式，例8-1给出了其中一种方式．如果把每一次分组拉绳子的条数再求和，则有例8-2 将平面上的()2n n ≥个点任意分成两堆，记下这两堆点数的乘积．继续这一过程，只要某堆的点数大于1，就把这堆点再随意分成两小堆，并记下两小堆点数的乘积，直至每堆只有1个点为止．求上述所有乘积之和．解 将n 个点记为12,,,n A A A ，当全体点被分成11,M N 两堆作乘法时，我们将1M 中每一个点都与1N 中的点作连线，1M 内部不连线，1N 内部不连线，则连线的条数就是11,M N 两堆点数的乘积．任取其中1个点i A ，并设点i A 在1M 内，则i A 与1N 内每一点都有连线，当1M 继续分成两堆时，点i A 又与另一堆中的每一点都有连线，依此类推，直至每堆只有1个点时，i A 就。
