MBA数学概率常见问题以及方法

概率常见问题以及方法 一、基本古典概型问题

（1）古典概型公式：mPAn.

（2）古典概型的本质实际上是排列组合问题，所以上一节课总结的排列组合的方法及题型，在此问题中适用. （3）常用正难则反的思路(对立事件). 例1.已知10件产品中有4件一等品，从中任取2件，则至少有1件一等品的概率为（）.

(A)13 (B)23 (C)215 (D)815 (E)1315

【解析】任取2件，没有一等品的概率为2621013CC，，故至少有一件一等品的

概率为12133.

【答案】B 例2.某公司有9名工程师，张三是其中之一，从中任意抽调4人组成攻关小组，包括张三的概率是（）.

(A)29 (B)25 (C)13 (D)49 (E)59

【解析】选张三，再从其余的8个人中任意选3个即可，即为38C；故包括

张三的概率为3849

49CPC.

【答案】D 例3.将2个红球与1个白球随机地放人甲、乙、丙三个盒子中，则乙盒中至少有一个红球的概率为（）.

(A)19 (B)827 (C)49 (D)59 (E)1727

【解析】方法一：可分为两类： 乙盒子中有1个红球：先从2个红球中选1个放入乙盒子，另外1个红球在甲、丙两个盒子中任选一个，白球在3个盒子中任意选择，即11223CC； 乙盒子中有2个红球：先将2个红球放入乙盒子，白球可以在3个盒子中任意选择，即13C;

所以，概率为1112233

3539CCC.

方法二：剔除法. 乙盒中没有红球，则红球在甲丙两个盒子中任意选择，白球在3个盒子中任

意选择，即2132C，所以乙盒中至少有1个红球的概率为2133

25139C.

二、古典概型之骰子问题 （1）骰子问题必用穷举法. （2）常与解析几何结合考查，一般需要转化为不等式求解. 例1若以连续掷两枚骰子分别得到的点数a与b作为点M的坐标，则点M

落入圆2218xy内(不含圆周）的概率是（）.

(A)736 (B)29 (C)14 (D)518 (E)1136

【解析】点M落入圆2218xy内，即2218ab，则 ,1,1ab、1,2、1,3、1,4、2,1、2,2、2,3、3,1、3,2、4,1，

共计10种，所以，落在圆内的概率1053618P.

【答案】D 例2若以连续两次掷色子得到的点数a和b作为点P的坐标，则点,Pab落在直线6xy和两坐标轴围成的三角形内的概率为（）.

(A)16 (B)736 (C)29 (D)14 (E)518

【解析】落在三角形内部，只需要6ab即可，利用穷举法可知，P点可

以为：1,1、1,2、1,3、1,4、2,1、2,2、2,3、3,1、3,2、4,1共

计10种，总共的不同可能点数为6×6＝36(种).故所求概率为1053618P.

【答案】E 三、古典概型之几何体涂漆问题 将一个正方体六个面涂成红色，然后切成3n个小正方体，则 （1）3面红色的小正方体：8个，位于原正方体角上. （2）2面红色的小正方体：122n个，位于原正方体棱上. （3）1面红色的小正方体：262n个，位于原正方体面上(不在棱上的部分). （4）没有红色的小正方体：32n个，位于原正方体内部. 例1．将一个白木质的正方体的六个表面都涂上红漆，再将它锯成64个小正方体.从中任取3个，其中至少有1个三面是红漆的小正方体的概率是（ ）. (A)0.065 (B)0.578 (C)0.563 (D)0.482 (E)0.335 【解析】3面有红漆的小正方体位于大正方体的顶点上，有8个；任取3个至少1个三面是红漆的反面是任取3个没有1个三面是红漆，故所求概率为 356364

165110.335248CPC.

【答案】E 例2．将一块各面均涂有红漆的正立方体锯成125个大小相同的小正立方体，从这些小正立方体中随机抽取一个，所取到的小正立方体至少两面涂有红漆的概率是（ ）. (A)0.064 (B)0.216 (C)0.288 (D)0.352 (E)0.235 【解析】小立方体位于大正立方体的角上时，有3面为红色，数量为8个；小立方体位于大正立方体的棱上时，有2面为红色，数量为36个.故所求概率440.352125P.

【答案】D 练习： 将一个表面漆有红色的长方体分割成若干个体积为1立方厘米的小正方体，其中，一点红色也没有的小正方体有3块，那么原来的长方体的表面积为（ ）平方厘米. (A)32 (B)64 (C)78 (D)27 (E)18 【解析】没有红色的小正方体位于原来的长方体的内部，这三个小正方体一定是一字排开的，长宽高分别为1，1，3；所以，原长方体的长宽高应为3,3,5. 故表面积为2×3×3＋4×5×3＝78(平方厘米). 四、数字之和问题 例1．袋中有6只红球、4只黑球，今从袋中随机取出4只球，设取到一只红球得2分，取到一只黑球得1分，则得分不大于6分的概率是（）.

(A)2342 (B)47 (C)2542 (D)1321

【解析】得分不大于6,分为三种情况：两红两黑，三黑一红，四黑；故得分不大于6的概率为 221304646464410

2342CCCCCCC

.

【答案】A 例2．若从原点出发的质点M向x轴的正向移动一个和两个坐标单{2甿甩

率分别是23和13，则该质点移动3个坐标单位，到达3x的概率是（）.

(A)1927 (B)2027 (C)79 (D)2227 (E)2327

【解析】31221111，故可分为三类：

先移动1个单位，再移动2个单位：22133P；

先移动2个单位，再移动一个单位：11233P； 三次移动1个单位：332

3P



.

故到达3x的概率为123

27

20PPPP.

【答案】B 五、袋中取球问题 袋中取球模型有3类： （1）无放回取球模型. 设口袋中有a个白球，b个黑球，逐一取出若干个球，看后不再放回袋中，

则恰好取了mma个白球，nnb个黑球的概率是mnabmnabCCPC； 【拓展】抽签模型. 设口袋中有a个白球，b个黑球，逐一取出若干个球，看后不再放回袋中，

则第k次取到白球的概率为aPab，与k无关. （2）一次取球模型. 设口袋中有a个白球，b个黑球，一次取出若干个球，则恰好取了mma

个白球，nnb个黑球的概率是mnabmnabCCPC；可见一次取球模型的概率与无放回取球相同. （3）有放回取球模型. 设口袋中有a个白球，b个黑球，逐一取出若干个球，看后放回袋中，则恰好取了kka个白球，nknkb个黑球的概率是knkknabPCabab





.

上述模型可理解为伯努利概型：口袋中有a个白球，b个黑球，从中任取一个球，将这个实验做n次，出现了k次白球，nk次黑球. 例1．袋中有5个白球和3个黑球，从中任取2个球，求： （1）取得的两球同色的概率； （2）取得的两球至少有一个是白球的概率. 【解析】从8个球中任取2个球的取法为28C，所以

（1）任取两球同色的取法为2253CC,所以，取两球同色的概率为225328

CCPC.

（2）任取两球全是黑球的概率2328CC，所以，任取两球至少有一白球的概率为2328

1CPC.

例2．小袋中有10个小球，其中有7个黑球，3个红球，从中任取2个小球，至少有一个是红球的概率为（）. 【解析】方法一： 恰好有1个红球的概率为1173210715CCPAC； 恰好有2个红球的概率为23210115CPBC； 所以至少有一个红球的概率是718151515PABPAPB.

方法二：剔除法. 从10个小球中任取2个，全为黑球的概率为27210

715CC,

事件A是“从10个球中任取2球，至少一个是红球”的对立事件，所以至少有一个红球的概率7811515P.

【答案】D 例3．在一个不透明的布袋中装有2个白球、m个黄球和若干个黑球，它们只有颜色不同.则3m.

（1）从布袋中随机摸出一个球，摸到白球的概率是0.2； （2）从布袋中随机摸出一个球，摸到黄球的概率是0.3. 【解析】单独显然不充分，联立两个条件：

由条件（1）：摸到白球的概率，20.2Pn，得10n，可知一共有10个球；

由条件（2）：0.310mP，得3m，可知黄球为3个； 故联立起来充分. 【答案】C 练习：某装置的启动密码是由0到9中的3个不同数字组成，连续3次输入错误密码，就会导致该装置永久关闭，一个仅记得密码是由3个不同数字组成的人能够启动此装置的概率为（）.

(A)1120 (B)1168 (C)1240 (D)1720 (E)11000

【解析】分为三类： 第一类：尝试一次即成功的概率为31011720A；