第一章 电磁现象的普遍规律
1. 根据算符∆的微分性与矢量性，推导下列公式：
()()()()()A B B A B A A B A B ∇⋅=⨯∇⨯+⋅∇+⨯∇⨯+⋅∇
21
()()2A A A A A
⨯∇⨯=∇-⋅∇
解：矢量性为
()()()a b c b c a c a b ⋅⨯=⋅⨯=⋅⨯ ①
()()()c a b b c a c a b ⨯⨯=⋅-⋅ ②
()()()a b c c a b c b a ⨯⨯=⋅-⋅⋅
③微商性
()d d a db
a b b a dt
dt dt ⋅=⋅+⋅
④ ()d d a db a b b a dt dt dt ⨯=⨯+⨯
⑤ 由②得
()()()c c c B A B A B A ⨯∇⨯=∇⋅-⋅∇ ⑥
()()()c c c A B A B A B ⨯∇⨯=∇⋅-⋅∇ ⑦
⑥+⑦得
()()()()()()c c c c c c B A A B B A A B B A A B ⎡⎤⎡⎤⨯∇⨯+⨯∇⨯=∇⋅+∇⋅-⋅∇+⋅∇⎣⎦⎣⎦
()()()c c A B A B A B ∇⋅=∇⋅+∇⋅因为
∴上式得
()()()()()c c c c A B B A A B B A A B ∇⋅=⨯∇⨯+⨯∇⨯+⋅∇+⋅∇
令B A =得
2
2()2()A A A A A ∇=⨯∇⨯+⋅∇
21
()()
2A A A A A ∴⨯∇⨯=∇-⋅∇
2.设μ是空间坐标x ，y ，z 的函数，证明：
()()()df f u u dxu
d A
A u u du d A
A u u du ∇=
∇∇⋅=∇⋅
∇⨯=∇⨯
解：①
()()()()()()()()()()x y z x y z
x y z f u f u e f u e f u e x y z f u u f u u f u u e e e u x u y u z f u u u u e e e x x y z df u u du ∂∂∂∇=
++∂∂∂∂∂∂∂∂∂=++∂∂∂∂∂∂∂∂∂∂=++∂∂∂∂=∇
②
()x y z y x z A u A A A x y z
dA dA dA u u u du x du y du z d A u du
∂∂∂
∇⋅=
++∂∂∂∂∂∂=++
∂∂∂=∇⋅
③
()()()()()()()x
y z x
y
z y
y x x z z x y z
y y x x z z x y z
e e e A u x y z A A A A A A A A A e e e y z z x x y
dA dA dA dA dA dA u u
u u u u e e e du y du z du z du x du x du y
d A u du
⎛⎫ ⎪∂
∂∂
⎪∇⨯= ⎪∂∂∂ ⎪ ⎪⎝⎭
∂∂∂∂∂∂=-+-+-∂∂∂∂∂∂∂∂∂∂∂∂=-+-+-∂∂∂∂∂∂=∇⨯
3.设'()r y y =+-'
x 到场点x 的距离，r 的方向规定为
从原点指向场点。
⑴ 证明下列结果，并体会对原变数求微商
（
''''x
y z e e e x y z ∂∂∂
∇=++∂∂∂） 与对场变数求微商
（
x
y z e e e x y z ∂∂∂∇=++∂∂∂）
的关系
'''333311,,0,0,(0)
r r r r r
r r r r r r r r r r ∇=-∇=∇=-∇=-∇⨯=∇⋅=-∇⋅=≠
（最后一式在r=0点不成立，见第二章第五节）
⑵ 求,,(),(),[sin()]r r a r a r E k r ∇⋅∇⨯⋅∇∇⋅∇⋅⋅。及[sin()]E k r ∇⨯⋅。，其中,a k 及E 。
均为常矢量。 解：⑴
'
'
'2
'2
'2
'2'
'2'2'2
()()(()()()x y z x y
z r r r r e e e x y z
e e x x y y z e x x y y z z r
r
∂∂∂∇=++∂∂∂=+-+-++-+-+-=''''
''''2
'2
'2
'2
'2
'2
'2()x y z x y
z
r r r r e e e x y z e e e x x r r r ∂∂∂∇=++∂∂∂=++-=-
=-∇231111()()()1()x y z
x y z e e e r x r y r z r r r r e e e r x y z r r ∂∂∂∇=++∂∂∂-∂∂∂=++∂∂∂=-
''''2'''3
1111()()()1()1x y z
x y z e e e r x r y r z r r r r e e e r x y z r r r
∂∂∂∇=++∂∂∂-∂∂∂=++∂∂∂=
=-∇
33334411()13
030r r r r r r r r r r r r r r ∇⨯
=∇⨯+∇⨯-=⨯+∇⨯-=⨯=
