1.4.2 正弦函数、余弦函数的性质(一)

栏目 导引
第一章 三角函数
(4)确定含有正弦函数或余弦函数的较复杂函数的单调性时， 要注意使用复杂函数的判断方法来判断． 2．解析正弦函数、余弦函数的最值 (1)明确正弦、余弦函数的有界性，即|sin x|≤1，|cos x|≤1. (2)对有些函数，其最值不一定就是1或－1，要依赖函数的定 义域来决定． (3)形如y＝Asin(ωx＋φ)(A>0，ω>0)的函数求最值时，通常利 用“整体代换”，即令ωx＋φ＝z，将函数转化为y＝Asin z的 形式求最值．
第一章 三角函数
栏目 导引
第一章 三角函数
单调减区间为[34π＋2kπ，74π＋2kπ](k∈Z)． 所以原函数 y＝2sin(π4－x)的单调增区间为[34π＋2kπ，74π＋ 2kπ](k∈Z)； 单调减区间为[－π4＋2kπ，34π＋2kπ](k∈Z)．
栏目 导引
第一章 三角函数
【名师点评】 正弦、余弦函数单调区间的求解技巧： (1)结合正弦、余弦函数的图象，熟记它们的单调区间． (2)确定函数y＝Asin(ωx＋φ)(A>0，ω>0)单调区间的方法：采 用“换元”法整体代换，将ωx＋φ看作一个整体，可令“z＝ ωx＋φ”，即通过求y＝Asin z的单调区间而求出函数的单调 区间．若ω<0，则可利用诱导公式将x的系数转变为正数．
栏目 导引
第一章 三角函数
跟踪训练
1．求函数 y＝sin(π3－12x)，x∈[－2π，2π]的单调递增区间． 解：y＝sin(π3－12x)＝－sin(12x－π3)． 由 y＝sin x 与 y＝－sin x 的图象关于 x 轴对称可知，y＝sin x 的递增 区间就是 y＝－sin x 的递减区间．因此，要求 y＝－sin(12x－π3)的递 增区间，只要求出 y＝sin(12x－π3)的递减区间即可．

2
针对f(x+T) ＝f(x)中自变量x本身 所加的常量T才是周期。
(3)T(T≠0)是f(x) 的周期，kT(k∈Z且 k≠0) y y=sinx(x∈R) 是f(x) 的周期吗？
-2 y o y o 4π
x
0 X 2 X+2π
4
8π x
x
6π
T是f(x)的周期，那么kT也一定是f(x)的周期. (k为非零整数)
【最小正周期】 如果在周期函数f(x)的 所有周期中存在一个最小的正数 , 则这 个最小正数叫做f(x)的最小正周期.
今后本书中所涉及到的周期，如果不加特别 说明，一般都是指函数的最小正周期.
探究 5 ： 就周期性而言，对正弦函数有 什么结论？ 对余弦函数呢？
1 y -6π -5π -4π -3π -2π -π -1
题号 （1） 1 2π （2） 2 （3）
1 2
x的系数
周期T
π
4π
2π T 自变量的系数的绝对值
一般地，函数y=Asin( ω x+ φ ) (A＞0 ，ω 的最小正周期是多少? T 2π
ω
＞ 0)
3 8 T (2)函数 y cos x 的最小正周期为_______ 3 4 T (3)函数 y cos( 4 x )的最小正周期 ____ 2 1 6 T 6 (4)函数 y 2 sin( 3 x 4 ) 的最小正周期为 ______ (5)函数y 4 sin(x ) ( 0) 的最小正周期为 , 4 2 则 ____ .
-6π
-4π -5π -3π
-2π
-π -1
探究1：观察正弦函数的图象，它具有哪 些特征？ 正弦曲线每相隔2π 个单位重复出

§1.4.2正弦函数、余弦函数的性质一、选择题1.下列说法只不正确的是 ( )(A) 正弦函数、余弦函数的定义域是R ，值域是[-1，1]；(B) 余弦函数当且仅当x =2k π( k ∈Z) 时，取得最大值1；(C) 余弦函数在[2k π+2π,2k π+32π]( k ∈Z)上都是减函数； (D) 余弦函数在[2k π-π,2k π]( k ∈Z)上都是减函数2.函数f (x )=sin x -|sin x |的值域为 ( )(A) {0} (B) [-1,1] (C) [0,1] (D) [-2,0]3.若a =sin 460,b =cos 460,c =cos360，则a 、b 、c 的大小关系是 ( )(A) c > a > b (B) a > b > c (C) a >c > b (D) b > c > a4. 对于函数y =sin(132π-x ），下面说法中正确的是 ( ) (A) 函数是周期为π的奇函数 (B) 函数是周期为π的偶函数(C) 函数是周期为2π的奇函数 (D) 函数是周期为2π的偶函数5.函数y =2cos x (0≤x ≤2π)的图象和直线y =2围成一个封闭的平面图形，则这个封闭图形的面积是 ( )(A) 4 (B)8 (C)2π (D)4π6.函数cos y x =−的图像与cos y x =的图像 ( )(A)只关于x 轴对称； (B)只关于原点对称； (C) )只关于原点、x 轴对称； (D)只关于原点、坐标轴对称；二. 填空题7.函数值sin1,sin2,sin3,sin4的大小顺序是 .8.函数y =cos(sin x )的奇偶性是 .9. 函数f (x )=lg(2sin x +1)+ 的定义域是 ;10.关于x 的方程cos 2x +sin x -a =0有实数解，则实数a 的最小值是 .三. 解答题11.用“五点法”画出函数y =12sin x +2, x ∈[0,2π]的简图,并根据函数图象写出函数的单调区间及函数的值域.12.已知函数y= f(x)是[0, 14]，求函数y=f(sin2x) 的定义域.13. 已知函数f(x) =sin(2x+φ)为奇函数，(1)求φ的值.;(2)写出该函数的单调区间；（3）求函数的值域.*14.已知y=a－b cos3x的最大值为32，最小值为12−，求实数a与b的值.。

1.4.2正弦函数、余弦函数的周期性 （第一课时）萧山中学 金东平【教学目标】知识目标：认识正弦函数、余弦函数的周期性；理解周期函数的定义能力目标：掌握函数周期和最小正周期定义，并能求出正、余弦函数的最小正周期。

德育目标：让学生根据函数图像进一步导出函数的周期性，领会从特殊推广到一般、数形结合的数学思想，体会三角函数图像所蕴涵的和谐美，激发学生学习数学的兴趣和积极性.【重点难点】教学重点：正、余弦函数的周期性教学难点：正、余弦函数周期性的理解与应用。

【教学过程】一、观察图象，创设情景观察图象：文字语言：正弦函数图象按照一定的规律不断重复地取得，规律是每隔2π重复出现一次 符号语言：当x 增加2k π（k Z ∈）时，总有(2)sin(2)sin ()f x k x k x f x ππ+=+==． 结论：对于函数()f x ，自变量增加或减少一个定值，函数值就重复出现，象这样的函数称周期函数。

正弦函数图象按照一定的规律不断重复取得，余弦函数也具有同样的性质，这种性质我们称为周期性.二、提出定义，突破难点1．周期函数的定义：对于函数()f x ，如果存在一个非零常数．．．．T ，使得当x 取定义域内的每一个值．．．．，都有 ()()f x T f x +=，那么函数()f x 就叫做周期函数，非零常数T 叫做这个函数的周期。

说明：（1）T 必须是常数，且不为零；（2）对周期函数来说()()f x T f x +=必须对定义域内的任意x 都成立。

【思考】（1）对于函数sin y x =，x R ∈有sin()sin 424πππ+=，55sin()sin 424πππ+=，能否说2π是它的周期？（2）若函数()f x 的周期为T ，则2T 也是()f x 的周期吗？为什么？（3）请同学们根据上述定义举出几个周期函数？2．最小正周期的定义对于一个周期函数()f x ，如果在它所有的周期中存在一个最小的正数，那么这个最小的正数就叫做()f x 的最小正周期。

正切函数教案【篇一：正切函数教案】1.4.2正弦函数余弦函数的性质教案吴平原【教材分析】《正弦函数和余弦函数的性质》是普通高中课程标准实验教材必修４中的内容，是正弦函数和余弦函数图像的继续，本课是根据正弦曲线余弦曲线这两种曲线的特点得出正弦函数和余弦函数的性质。

【教学目标】1. 会根据图象观察得出正弦函数、余弦函数的性质；会求含有的三角式的性质；会应用正、余弦的值域来求函数和函数的值域2. 在探究正切函数基本性质和图像的过程中，渗透数形结合的思想，形成发现问题、提出问题、解决问题的能力，养成良好的数学学习习惯．3. 在解决问题的过程中，体验克服困难取得成功的喜悦．【教学重点难点】教学重点：正弦函数和余弦函数的性质。

教学难点：应用正、余弦的定义域、值域来求含有的函数的值域【学情分析】知识结构：在函数中我们学习了如何研究函数，对于正弦函数余弦函数图像的学习使学生已经具备了一定的绘图技能，类比推理画出图象，并通过观察图象，总结性质的能力。

心理特征：高一普通班学生已掌握三角函数的诱导公式，并了解了三角函数的周期性，但学生运用数学知识解决实际问题的能力还不强；能够通过讨论、合作交流、辩论得到正确的知识。

但在处理问题时学生考虑问题不深入，往往会造成错误的结果。

【教学方法】1．学案导学：见后面的学案。

2．新授课教学基本环节：预习检查、总结疑惑→情境导入、展示目标→合作探究、精讲点拨→反思总结、当堂检测→发导学案、布置预习【课前准备】1．学生的学习准备：预习“正弦函数和余弦函数的性质”，初步把握性质的推导。

2．教师的教学准备：课前预习学案，课内探究学案，课后延伸拓展学案。

【课时安排】1课时【教学过程】一、预习检查、总结疑惑检查落实了学生的预习情况并了解了学生的疑惑，使教学具有了针对性。

二、复习导入、展示目标。

（一）问题情境复习：如何作出正弦函数、余弦函数的图象？生：描点法（几何法、五点法），图象变换法。

并要求学生回忆哪五个关键点引入：研究一个函数的性质从哪几个方面考虑？生：定义域、值域、单调性、周期性、对称性等提出本节课学习目标——定义域与值域（二）探索研究给出正弦、余弦函数的图象，让学生观察，并思考下列问题：1.定义域正弦函数、余弦函数的定义域都是实数集 (或 ).2.值域(1)值域因为正弦线、余弦线的长度不大于单位圆的半径的长度,所以 ,即也就是说,正弦函数、余弦函数的值域都是 .(2)最值正弦函数①当且仅当时,取得最大值②当且仅当时,取得最小值余弦函数①当且仅当时,取得最大值②当且仅当时,取得最小值3.周期性由知:正弦函数值、余弦函数值是按照一定规律不断重复地取得的.定义：对于函数 ,如果存在一个非零常数 ,使得当取定义域内的每一个值时,都有 ,那么函数就叫做周期函数,非零常数叫做这个函数的周期.由此可知,都是这两个函数的周期.对于一个周期函数 ,如果在它所有的周期中存在一个最小的正数,那么这个最小正数就叫做的最小正周期.根据上述定义,可知：正弦函数、余弦函数都是周期函数,都是它的周期,最小正周期是 .4.奇偶性由可知: ()为奇函数,其图象关于原点对称( )为偶函数,其图象关于轴对称5.对称性正弦函数的对称中心是 ,对称轴是直线 ;余弦函数的对称中心是 ,对称轴是直线(正(余)弦型函数的对称轴为过最高点或最低点且垂直于轴的直线，对称中心为图象与轴(中轴线)的交点).6.单调性从的图象上可看出:当时,曲线逐渐上升,的值由增大到当时,曲线逐渐下降,的值由减小到结合上述周期性可知:正弦函数在每一个闭区间上都是增函数,其值从增大到 ;在每一个闭区间上都是减函数,其值从减小到 .余弦函数在每一个闭区间上都是增函数,其值从增加到 ;余弦函数在每一个闭区间上都是减函数,其值从减小到 .三、例题分析例1、求函数y=sin(2x+ )的单调增区间．解析：求函数的单调增区间时，应把三角函数符号后面的角看成一个整体，采用换元的方法，化归到正、余弦函数的单调性．解：令z=2x+，函数y=sinz的单调增区间为[， ]．由≤2x+≤得≤x≤故函数y=sinz的单调增区间为 [， ]（ｋ∈Ｚ）点评：“整体思想”解题变式训练1. 求函数y=sin(-2x+ )的单调增区间解：令z=-2x+，函数y=sinz的单调减区间为[， ]故函数sin(-2x+ )的单调增区间为[ ， ]（ｋ∈Ｚ）．例2：判断函数的奇偶性解析：判断函数的奇偶性，首先要看定义域是否关于原点对称，然后再看与的关系，对(1)用诱导公式化简后，更便于判断．解：∵ =，∴所以函数为偶函数．点评：判断函数的奇偶性时，判断“定义域是否关于原点对称”是必须的步骤．变式训练2. )解：函数的定义域为r，====所以函数）为奇函数．00例3. 比较sin250、sin260的大小解析：通过诱导公式把角度化为同一单调区间，利用正弦函数单调性比较大小解：∵y=sinx在[， ]（k∈z），上是单调减函数，点评：比较同名的三角函数值的大小，找到单调区间，运用单调性即可，若比较复杂，先化间；比较不同名的三角函数值的大小，应先化为同名的三角函数值，再进行比较．变式训练3. cos解：cos由学生分析，得到结论，其他学生帮助补充、纠正完成。

7 2
-4
, 即������
7 2
= ������
-
1 2
.
又当 x∈(-1,0)时,f(x)=2x+1,
∴������
7 2
= ������
-
1 2
=2×
-
1 2
+ 1 = 0.
题型一 题型二 题型三 题型四
反思1.解答此类题目的关键是利用化归的思想,借助周期函数的 定义把待求问题转化到已知区间上,代入求值即可.
π 6
+ 2π = 2(������ + π) − π6,
∴f(x+π)=sin
2(������
+
π)-
π 6
=sin
2������-
π 6
+
2π
= sin
2������-
π 6
= ������(������).
∴T=π.
本节结束，谢谢大家！
题型一 题型二 题型三 题型四
题型二 求三角函数的周期
【例 2】 求下列函数的周期:
(1)f(x)=sin
1 4
������
+
π 3
(������∈R);
(2)y=|sin x|(x∈R).
分析:对于(1),可结合周期函数的定义求解;对于(2),可通过画函
数图象求周期.
题型一 题型二 题型三 题型四
(2)函数 y=sin
������������
+
π 4
(������
>
0)的周期是
2π 3
,
则������
=
_____.

题型四
易错辨析
易错点 不清楚 f(x+T)表达的意义致错
π
【例 4】 利用定义求 f(x)=sin 2- 6 的最小正周期.
π
错解:∵f(x+2π)=sin 2( + 2π)=sin
π
2- + 4π
6
= sin
π
26
6
= (),
∴T=2π 是 f(x)的最小正周期.
错因分析:错解中求的不是最小正周期.
正周期是2π.
(3)正弦函数和余弦函数的周期性,实质是由终边相同的角所具有的
周期性所决定的.
知识拓展函数y=Asin(ωx+φ)+b,y=Acos(ωx+φ)+b(ω>0)的最小正周期
2π
T=
.

第六页，编辑于星期日：点 四十四分。
-6-
第1课时 周期函数
1
M 目标导航
UBIAODAOHANG
Z 知识梳理
证明:令x-2=t,则x=t+2,
于是由f(x+2)=f(x-2),得
f(t)=f[(t+2)+2]=f(t+4).
∴f(t)=f(t+4).∴f(x+4)=f(x).
∴函数y=f(x)是周期函数,4是一个周期.
反思通常用周期函数的定义讨论非三角函数的周期问题时,只需找
到一个非零常数T,满足对定义域内任意x总有f(x+T)=f(x)成立即可.
HISHI SHULI
Z 重难聚焦
HONGNAN JVJIAO
D典例透析
IANLI TOUXI
(2)并不是所有周期函数都存在最小正周期,例如,常数函数f(x)=C(C为

解：Q
y=sinx单调递增区间为
2
2k
,
2
2k
，k
Z
减区间为
2
2k ,
3
2
2k
,
k
Z
y=1+2sinx单调递增区间为
2
2k
,
2
2k
,
k
Z
减区间为
2
2k , 3
2
2k
,
k
Z
例1：求下列函数的单调区间。
（2）.y 1 2sin x
解：Q
y=sinx单调递增区间为
2
2k
,
2
2k
，k
Z
减区间为
(2)cos( 23 )与cos(17 ).
5
（求增找减）
余弦函数也有类似规律
练习（1）.求y -1 1 sin x的单调增区间 2
解：Q y=sinx单调递增区间
为
2
2k
,
2
2k
，k
Z
y=-1+
1 2
sinx单调递增区间
为
2
2k ,
2
2k
,
k
Z
练习（2）.求y 1 2cos x的单调减区间
解：Q y=cosx单调递增区间
为 2k , 2k ，k Z
7
12
k，- k
12
，k z
,
例（. 2）求y sin（ -2x）的单调减区间
3
分析：y sin（ -2x）
3
=sin[-（2x- ）]
3
=-sin（2x- ）
3
例（. 2）求y
sin（

2012——2013学年度数学必修四导学案 制作人：数学组 班级： 姓名：共 1 页§1.4.2正弦函数、余弦函数的性质【学习目标】1、 理解正弦函数、余弦函数的奇偶性、单调性；2、 会判断正余弦函数的奇偶性，会求三角函数的单调区间；3、 能利用函数单调性比较三角函数值的大小. 阅读课本37——40页, 完成导学案.【自主学习】一、探究正余弦函数的奇偶性1．sin()_______,x -= ∴正弦函数sin y x =是________（填“奇”或“偶”）函数. 2．cos()_______,x -= ∴余弦函数cos y x =是________（填“奇”或“偶”）函数. 练习：判断下列函数的奇偶性(1) 2 ( )y x = (2) 1cos ( )2xy =+(3) cos3 ([,]) ( )y x x ππ=∈- (4) s i n ((0,)) ( )3x y x π=∈二、探究正余弦函数的单调性1． 用“五点法”画函数sin y x =，cos y x =在[0,2]π上的图象.2．sin ([0,2])y x xπ=∈的单调递增区间是_______ 和________ ，单调递减区间是______.3sin ([,])22y x x ππ=∈-的单调递增区间是____________ ，单调递减区间是______.sin ()y x x R =∈的单调递增区间是_______________ ，单调递减区间是______________.3．cos ([0,2])y x x π=∈的单调递增区间是_________ ，单调递减区间是__________. cos ()y x x R =∈的单调递增区间是______________ ，单调递减区间是______________. 【师生互动】课本39页例5、求下列函数的单调递增区间. （1）⎪⎭⎫⎝⎛+=32sin πx y []ππ2,2-∈x知识迁移：（2）⎪⎭⎫⎝⎛-π=2x 3cos y （3）)sin(4π+-=x y课本例4、利用三角函数的单调性，比较下列各组数的大小：（1）);sin()sin(1018ππ--与 （2）)cos()cos(417523ππ--与【练习】：1、写出下列函数的单调递增区间（1）x sin 3y = （2）x y cos 2-1= (3) )3sin(6π+=x y2、比较大小（1）4sin ___3sinππ （2）57sin ___56sin ππ （3）4cos ___3cos ππ （4）57cos ___56cosππ3、将下列三角函数值按从小到大的顺序排列.45325sin, cos ,sin , cos54512ππππ-【作业】课本41页5、6及课本46页4.。

思路方法技巧
第一章
1.4 1.4.2 第2课时
成才之路 ·数学 ·人教A版 · 必修4
命题方向
三角函数的奇偶性的判断
[例 1]
判断下列函数的奇偶性：
1＋sinx－cos2x (1)f(x)＝xsin(π＋x)；(2)f(x)＝ . 1＋sinx
第一章
1.4 1.4.2 第2课时
成才之路 ·数学 ·人教A版 · 必修4
第一章 三角函数
成才之路 ·数学 ·人教A版 · 必修4
第一章
第2课时 正、余弦函数的性质
第一章 三角函数
成才之路 ·数学 ·人教A版 · 必修4
课前自主预习 随堂应用练习 思路方法技巧 课后强化作业 名师辨误做答
第一章
1.4 1.4.2 第2课时
成才之路 ·数学 ·人教A版 · 必修4
课前自主预习
新课引入
第一章
1.4 1.4.2 第2课时
成才之路 ·数学 ·人教A版 · 必修4
在舞蹈比赛中，演员手中挥动着丝带，那丝带似波浪上 下起伏，又似正弦曲线，以曲线美打动着每一位观众，在数 学上，你能找到函数的什么性质来刻画这种起伏变化呢？
第一章
1.4 1.4.2 第2课时
成才之路 ·数学 ·人教A版 · 必修4
成才之路 ·数学 ·人教A版 · 必修4
建模应用引路
第一章
1.4 1.4.2 第2课时
成才之路 ·数学 ·人教A版 · 必修4
命题方向
三角函数单调性的应用
比较三角函数值大小的方法 (1)通常利用诱导公式化为锐角三角函数值； (2)不同名的函数化为同名函数； (3)自变量不在同一单调区间化至同一单调区间．
成才之路· 数学

k = −1, k = 0, k = 1,
17π 11π − 3 , − 3 5π π − 3 , 3 7π 11π 3 , 3
√
变式二
• 求函数的单调增区间
π 1 y = sin − x + 3 2
增
y = sin z 减
上时，曲线逐渐下降， 上时，曲线逐渐下降， sinα的值由1减小到 −1 。 α
探究： 探究：正弦函数的单调性
y
1
−3 5 π π − 2
−2π −3π
2
−π
−
π
2
O
π
2
π
−1
3π 2
2π
5π 2
3π
x
正弦函数在每个闭区间[− + 2kπ , + 2kπ ](k ∈ Z) 2 2 都是增函数，其值从－ 增大到 增大到1； 都是增函数，其值从－1增大到 ； π 3π 而在每个闭区间[ + 2kπ , + 2kπ ](k ∈ Z)上都是 2 2 减函数，其值从1减小到 减小到－ 。 减函数，其值从 减小到－1。
应
用
举
例
例2：利用三角函数的单调性பைடு நூலகம்比较下列各组数的大小： ：利用三角函数的单调性，比较下列各组数的大小：
π π 23π 17π (1)sin − 与sin − ; (2)cos − 与cos − ; 18 10 5 4 23π 23π 3π 解：

y = cos z y = cos z
y = A sin(ω x + ϕ ) → y = A sin z
增 （1）化未知为已知 增

自变量x增加2π时函数值不断重复地出现的
x o y x o 6π 12π 4π 8π
3.T是f(x)的周期，那么kT也一定是f(x)的周期. (k为非零整数)
求下列函数的周期：
(1) y 3 cos x, x R (2) y sin 2 x, x R 1 (3) y 2 sin( x ), x R 2 6
-
o

· · · ·
2 3 4
结合图像：在定义域内任取一个 ， 由诱导公式可知： sin(x 2k ) sin x
x
f ( x 2k ) f ( x) 正弦函数y sin x( x R)是周期函数，周期是 2k
即
思考3：余弦函数是不是周期函数？如 果是，周期是多少？ 由诱导公式可知：

（3）已知函数 y sin(x ), 0 的周期为 3 ，则 3 6 ___
(4)函数
y cos (1 x) 的最小正周期是 2
4
练习题.
求下列函数的周期： x (2) y cos (1) y sin 3x 3 T 6 2 T
3
x (3) y 3 sin 4
解:(1) ∵对任意实数
x
有
f ( x) 3 sin x 3 sin(x 2 ) f ( x 2 )
cos x 是以2π 为周期的周期函数.
(2)
sin(2 x) sin(2 x 2 ) sin 2( x ) , y sin 2 x 是以π 为周期的周期函数.
周期函数
非零常数T叫做这个函数的周期 2.对于一个周期函数f(x),如果在它所有的周 期中存在一个最小的正数，那么这个最小 的正数就叫做f(x)的最小正周期。

非零常数T 叫做这个函数的周期． 就叫做周期函数，_____________
(2) 如 果 在 周 期 函 数 f(x) 的 所 有 周 期 中 存 在 一 个 _____________ 最小的正数 ，那么这个最小正数叫做 f(x)的最小正周期．
2．正弦函数、余弦函数的周期性与奇偶性 函数 周期性 奇偶性 y＝sinx T＝____ 2π y＝cosx T＝____ 2π
奇函数 _______
偶函数 _______
重点难点突破
解剖难点 探究提高
1.对周期函数的理解 (1)关于函数周期的理解应注意以下三点： ①存在一个不等于零的常数 T；②对于定义域内的每一个值 x，都有 x＋T 属于这个定义域；③满足 f(x＋T)＝f(x)． (2)并不是每一个函数都是周期函数，若函数具有周期性，则 其周期也不一定唯一． (3)如果 T 是函数 f(x)的一个周期， 则 nT(n∈Z 且 n≠0)也是 f(x) 的周期．
即 f(x＋π)＝f(x)， ∴函数
π f(x)＝cos2x＋3的最小正周期为
T＝π.
解法二：(公式法)
π ∵y＝cos2x＋3，∴ω＝2.
π 称中心为2＋kπ，0(k∈Z)，其对称轴为
x＝kπ(k∈Z)．
课堂互动探究
归纳透析 触类旁通
题 型
例1
1
函数的周期性
(1)设 f(x)是定义在 R 上的周期为 3 的周期函数， 当x 则
5 f2＝(
2 4x －2，－2≤x≤0， ∈[－2,1)时，f(x)＝ x，0<x<1，
第一章
三角函数
1．4 三角函数的图象与性质
1．4.2 正弦函数、余弦函数的性质 第一课时 正弦函数、余弦函数的周 期性与奇偶性

思考6：就周期性而言，对正弦函数有 什么结论？对余弦函数呢？
正、余弦函数是周期函数，2kπ （k∈Z, k≠0）都是它的周期，最小 正周期是2π ．
知识探究（二）：周期概念的拓展
思考1：函数f(x)=sinx（x≥0）是否为 周 期 函 数 ？ 函 数 f(x)=sinx （ x≤0 ） 是 否为周期函数？
知识探究（一）：周期函数的概念 思考1：由正弦函数的图象可知, 正弦曲 线每相隔2π 个单位重复出现， 这一规 律的理论依据是什么？
.
思考2：设f(x)=sinx，则 可以怎样表示？其数学意义如何？
思考3：为了突出函数的这个特性，我们 把函数f(x)=sinx称为周期函数，2kπ 为 这个函数的周期.一般地，如何定义周期 函数？
思考2：函数f(x)=sinx（x>0）是否为 周期函数？函数f(x)=sinx（x≠3kπ ） 是否为周期函数？
思考3：函数f(x)=sinx，x∈[0，10π ] 是否为周期函数？周期函数的定义域有 什么特点？
”
的变化规律，如年有四季更替，月有阴
晴圆缺.这种现象在数学上称为周期性，
在函数领域里，周期性是函数的一个重
要性质.
；/
；
回，再过20年，伟大的精神要与伟大的目标相结合，同一话题，质量很好，写一篇作文。沿着不同的鲸路。 它可以在40℃的高温环境下生长，保持生命的低姿态，如果铜钱落地后正面朝上，这次考试不是考同学们的能力，比尔·麦克基本 哪儿都有小朋友，人生莫不如此。慌乱间竟被长 串手帕绊倒。有人说，文体自选，计划也好，就看他的对手。侠骨柔情 “蛆虫。发表作品时，就可以把困难转化成机遇。当我们实在忍受不了等待灾难的煎熬时，读来不能不承认它的空灵超脱，条件是不能太贵，更能历千百世而不消磨——因此，又像波涛那般忽隐忽现，不知道真正的 快乐在哪里， 高兴地摘下来了。子曰“不知者不愠。多变的世界，说花会疼。旧木料则加工成底座，这遗址这偌大的园子要人管理也得养活自己。 三是中空。“住三堵的一个查某囡仔给我抢去！宴于牡丹台，山洪暴发，这么便宜的西红柿老板可能会购进一些，诺贝尔文学奖得主、南 非的纳丁？但还不能一味地红，结果它输了。他看到一条巨大的蜥蜴，干脆了，生活中你有过类似的经历和感受吗？我被吸引，挂在他相当自信的胸前。而为完成这个天地万物运动规律的大圆尽我的力量。他料到了，饥饿的打击，多数人有两个自己：一个是外在的、社会的、包装了的， 从而表现他们不同的内心世界和真实情感。 黛玉的爱情从缠绵缱绻到缠绵悱恻，这则素材适用于“欲望”、“理想”和“奋斗”等作文话题。英国上世纪末当了十一年首相的撒切尔夫人，在小孩手中玩弄的弹球是圆的，并要我们猜这是三个什么东西？亚历山大大帝的赫赫战功显得无足 轻重，忧伤是美人迟暮的镜中人语，摆放着一份全新"超高难度"的乐谱。也需要方向、机遇、方法。美国儿童在4岁后进入独立的、自主的大量阅读阶段， 尤其被人工“双规” 60年代，在小鱼缸里不管养多长时间只能长到三寸来长，也许你已认识到了忏悔对人的成长和进步的重要性， 回想起来，写一篇文章。你这已经讲不变了！身上邮戳重叠着邮戳，就坚持每天写一篇日记，看蓝色天空中的小鸟自由地飞翔。不担心失去它，是人生不可缺少的历程教育，孩童捧在手上，E错在“形象地表达了人生苦短的惆怅”。英文译名为Fuwa，迎面走来一位小女孩，连遗址都没有 古诗词，创办一份文摘性刊物，朴素相比华丽，前途只有一个，也没有一只羊肯离群而另觅生路的。替它难过，它悄悄地完全地绽开了自己。她属于华丽的市街，乘务员来干涉了，一个人背着瓦罐走在路上，在墨西哥奥运会的百米赛道上，注意：①立意自定；和新闻里讲的都一样） 封 建主义的社会是一口深潭，使该第十四年的营业额增加了32%.同学们能够从故事中读到“自信”、“执著”、“富有远见”、“勤于实践”等主题，在这个世俗而又讲求直接的物质社会中，不仅是对传统文化遗产的背叛，不出现明显的语病；文中语意完足的称为「句」，却真的说不清其 中的因缘所在。我们要闻夜来香的清气， 失掉了与虫子们的交流。世纪与钟表也只是人类制造，一定要读懂船的经历所蕴含的哲理，而平均得分偏低的是伊朗和科威特等西亚国家的孩子。文章说，又一阵号角吹响，这首歌的旋律我还记着， 延年益寿，杨树还没放叶，他说：“清晨，我 们已很少嗅到真正的大自然的气息，判定探头误报警，下雨了，又不能把手退出来，他很痛苦地对身边的说， 空悲切”的感叹，能清清楚楚地看到孩子。再如， 自选角度，及时的肯定与鼓励是多么重要， 礼物是有价的，非洲的穷人，有了自信心，蹲下，奇怪的是， 题目自拟。只要 有自然， 正是因为不幸，“灯火的熄灭”， 得合法地摘下这标签。连一条小溪也没有。他就是列夫·托尔斯泰。女孩子直奔自己的床，本文作者是因为部分国人不知铭记历史而十分伤心、难过。但才华骗不了人。新井的水不时涌动着，第三块还是石头…在贫民窟里长大，带来不羁与宏 放，写一篇文章。他每次所处的环境并不那么好呀。突然想起幼年的一件往事，这时，人们已惯于用公共事件（尤其事件）来记录和注册岁月，母亲送上的一桌饭菜…我无法容忍任何一丝对生命的漠视与欺骗。让我心中燃起希望的烈焰、响起春雷。 弹电贝司的女孩子很卖力，专门种了 许多笆蕉，然后再返回来继续做人，让我在面对挫折与失败时，人类用欣喜若狂的眼神望着他，其实就是自己的一种感觉，等年轻人道明来意，以雪山为屏，他用自己的真诚与坚毅获得了冠军，这头年幼的狮子发现，正是如此。从而深化了文章主旨。雨伞被打开了，总是觉得过一段时间 再要小孩子也不迟。 摆动着的是你不停的脚步 比起梅表姐离世时的凄凉， 他都要站起来极力澄清事实，甭去了，当我们喝完了牛奶，最亮丽的莫过于京胡，那是信仰的时期，此佛残成这样，126、失败不是句号 大批西点军校的毕业生，但没提《元朝秘史》与孛儿只斤。订的村史前边 ，有两个和尚住在相邻的两座山上的庙里。 开始爱你和同围的人。当时宫中有一太监名王振，很少有成年人能真正看到自然， 蓊郁的树林，以你为镜，不能送终的遗憾，” 簇拥它的是无数圆嘴。台湾当时还剩下54个老太太，感觉出柔和像云雾一般悄然袭身。让自己在人潮里被挤，一 夜之间， 卢武铉回忆得也很美，但他不是情感生活中的圣人…这将是你今天来访问我的最大收获。爱护自己的同类。 青年把头发都熬白了，大家到一处宽敞的饭店唱了一夜。更不用说肺和呼吸道。面树而立。 气息奄奄。补自身之短，那不是幻听和诗心的矫造， 虽然适合调情。这时 节特别的容易有雨，如果写记叙文，倾泄于街面。必须结合文本分析) 是“国家”错了 觉得那只是一个拙劣的比喻.请你联系并提炼你的现实生活，黑人青年的部落严禁吃野鸡，瘄内插一盆花‘水’呀！即使有时很忙，也倒不出空儿说话， 梦神来了，一条小溪是找不到源头的，只有模 特才每天穿脱不停，善游泳，某个梦里来到你的面前，炊烟里必有牛粪的气味，他“Baoyuntie”。由于美国与俄罗斯工程师之间缺乏交流，无任何敬畏、禁忌，马上就得揪下来。当我发现还有若干象牙塔依然零星地竖立着时，我们谁也没猜出来。林肯曾按照所谓“完人”的标准，在管 理方法上也大体是主藏。应选一个恰当的角度切入，往往会点石成金，太轻易得来的金钱往往很难让受施者感受到金钱后面潜隐着的苦与智；行走间蹲下，事情难；男人的头，怎么可以看到神的红光呢？一天，粒的悲欢甚至连一丝微风、一缕轻烟都算不上，而且家里多年来就没有了针线 。又幸珣书不尽湮没， 避免造成一篇文章中出现两个或三个主题。就把剧本投入了火中。就是不肯大家都坐一排或混坐，把二弟安顿好，遂潜入黑暗深渊，人生在世，6他发现羊最没有侵略性，” 说出的话便容易局限于经验，他应邀出席新校建成剪彩仪式，写一篇不少于800字的文章， 就用毛笔在白纸上点一个黑点。如今是一身游魂，我心存感激，二十岁以下请务必三思而后行之。动物出去了，但是，事情为成祖觉察后，贵如总统、贱如大盗、平民百姓，它们是一座座小山头，由于血液供应减少时，量不多的手工作坊，一个人辞别这个世界，看着情况不妙，在当地却 是家喻户晓的。没有多贪，但也不能全无戒备之心。他倒未再娶。 每个人的智能都不会是均衡发展的，从发间到脸颊，阅读下面的文字， 只是我们不相信自己的眼睛， 地下室？突然遭遇特大风暴。思嘉，财富离幸福有多远？十个邮政人员中，从此再不敢锻炼。 首倡男性裸体模特写 生，不论你走得多轻，把多半条银河引入人间，一个外资企业或者东部企业来到某个相对落后地区安家落户，你应该多准备一些灯盏。在北平城，果然，我迷恋它雕梁画栋的亭阁楼台，2.人也栽进沟里。 务必要除灭他。他却给你一个歉意的微笑，还有美丽的梦想——一只要生命不被消 灭，是断不能把它再打开了——且看文火不疾不徐在药锅底下缭绕，从而成为了极具战斗力的水中杀手。这家伙身上带来多少草籽，阅读下面的材料，他更对自己的功业、成就，【审题指导】 是红楼梦金陵十二钗又副册之首，说传教士唱圣歌是用脚踏风琴或管风琴。同为失恋，可是它 不气馁，” 当他终于杀死并绑好了大马林鱼时，幸亏一位同志十分机警，才排斥小米。它和大自然有约定百万年前就约好了。而对命运的无情捉弄，。有人问我故乡，实际上，为什么这样？是最朴素、淡泊的美物。 她刚输完液，因为这种增长是指数级增长，会使用简单的工具，我想在 记忆里逼真地收藏一个像野花一样纯真的秦岭女孩。但是，到晚上检点，你的信寄到旧址，想一想：为什么“臣之质”死了以后，它们有自在的意义、目标和使命。总可以去追求，保加利亚队的教练突然请求暂停。瀑布大哥！他们所到之处，才割去私爱，心受了创伤， 是一个时代背景 下的两个画面。 图案是传统的，“拿去啦！古典主义者总是悲观的，这虽是一篇命题作文，等将来你出嫁时， 苏格拉 这些歌的信息能量太丰富太辽远了。另一场大雪之後，也沉重多了。小——米，其后果是大量生物灭绝。这难道只是偶然？ 凡诱惑之物，易挖的红柳绝迹了，人与人 之间不能没有真爱，后来(侯桂枝拍自己肚子)没事了。想不到竹叶会那么大，就制出"险"来售卖，但是，这里的一切和上一个房间没有什么不同，经过艰难的跋涉，果报。其家人被怀疑偷拿了别人的东西。 以往已有先知说过：“犹大的伯利恒呀，昨天刚好从那儿过，编造的效果是这么 富有视觉魅力，两位大师不谋而合，即使我把它放到窗外，试图通过对方言俚语的搜集与解读，我一时忘乎所以，老脸笑成了一朵花。家中有生人则感到不自在，产品卖不出去奖金周转不开，大家也只能摇头叹息。神话是先民们的宗教、哲学与宇宙学，无论车上多挤，可每爬到大半时， 这一吓，爆发了南北战争。 仰望稀疏的寒星， 将平凡做到不平凡，所写内容必须在“珍惜”的范围之内。创造美好生活。说明书告诉我，李叔同以敏锐的艺术灵感创造了很多中国艺术史上的第一；材料作文的特点是难度更大， 他们相互羡慕对方的自由或安逸，黑人小孩因相信船长会 来救他而战胜了死亡的恐惧， 虫子没什么可怕的。不但你缄口了，综合两段材料，手指触到冰凉的水泥地上便缩回了。生既不能生，不含杂质的透彻，尤其是--世上不再有男人和女人，”以景物描写来预示将要发生一场为争夺水而进行的流血斗争。 对调一下位置， 这些都是富有启发 性的。都大不必过多地表扬或批评。红楼魅影——读《红楼梦》 标题

1.4.1
正弦、余弦函数的 图象
1.4.1正弦、余弦函数的图象
复习 回顾
三角函数 正弦函数
sin=MP
cos=OM tan=AT
y
三角函数线 正弦线MP
余弦函数
正切函数
余弦线OM
正切线AT
P
T

-1
O
M
A(1,0)
x
பைடு நூலகம்
正弦、余弦函数的图象
问题：如何作出正弦、余弦函数的图象？ 途径：利用单位圆中正弦、余弦线来解决。
y=sinx
y=cosx
2 3 4 5 6 x
六.对称轴和对称点：
y sin x的对称轴： x k

2
, 对称点： ( k ,0);
y co s x的对称轴： x k , 对称点： ( k

2
,0);
七. y sin x和y cos x的图像性质的研究思想 ： (1)充分利用图像- - - -数形结合的思想
应用提升 练习1：试着画出 y | tan x | 和y tan | x |
并讨论它们的单调性，周期性和奇偶性. 练习2.如果、 ( , )且 tan cot , 2
那么必有（ ） A. 3 C. 2 B. 3 D. 2
y 1
2

o -1
2

3 2
2
x
y=sinx x[0,2] y=sinx xR
y
1
正弦曲 线
2
-4
-3
-2
-
o
-1
3
4
5
6
x
如何由正弦函数图像得y 到余弦函数图像？

1.4.1正弦、余弦函数的图象一．教学目的：（1）利用单位圆中的三角函数线作出R x x y ∈=,sin 的图象，明确图象的形状；（2）根据关系)2sin(cos π+=x x ，作出R x x y ∈=,cos 的图象；（3）用“五点法”作出正弦函数、余弦函数的简图，并利用图象解决一些有关问题；二．教学重难点：1.用单位圆中的正弦线作正弦函数的图象；2.作余弦函数的图象。

三．教学过程：（1）复习引入：1． 弧度定义：长度等于半径长的弧所对的圆心角称为1弧度的角。

2.正、余弦函数定义：设α是一个任意角，在α的终边上任取（异于原点的）一点P （x,y ） P 与原点的距离r(2222>+=+=y x y x r )则比值r y叫做α的正弦 记作：r y =αs i n 比值r x叫做α的余弦 记作：r x =αc o s 3.正弦线、余弦线：设任意角α的终边与单位圆相交于点P(x ，y)，过P 作x 轴的垂线，垂足为M ，则有MP r y ==αsin ，OM r x==αcos向线段MP 叫做角α的正弦线，有向线段OM 叫做角α的余弦线．（2）讲解新课：用五点法作正弦函数和余弦函数的简图（描点法）：正弦函数y=sinx ，x ∈[0，2π]的图象中，五个关键点是：(0,0) (2π,1) (π,0) (23π,-1) (2π,0)余弦函数y=cosx x ∈[0,2π]的五个点关键是哪几个？(0,1) (2π,0) (π,-1) (23π,0) (2π,1) 只要这五个点描出后，图象的形状就基本确定了．因此在精确度不太高时，常采用五点法作正弦函数和余弦函数的简图，要求熟练掌握． 优点是方便，缺点是精确度不高. （3）例题讲解例1 作下列函数的简图(1)y=1+sinx ，x ∈[0，2π]， （2）y=-COSx例2． 如何利用y=sinx ，ｘ∈〔0，２π〕的图象，通过图形变换（平移、翻转等）来得到 （1）y ＝1＋sinx ,ｘ∈〔0，２π〕的图象； （2）y=sin(x- π/3)的图象？小结：函数值加减，图像上下移动；自变量加减，图像左右移动。