双曲线知识点总结及练
习题
Company number：【WTUT-WT88Y-W8BBGB-BWYTT-19998】
一、双曲线的定义
1、第一定义：到两个定点F 1与F 2的距离之差的绝对值等于定长（＜|F 1F 2|）的点的轨迹（21212F F a PF PF <=-（a 为常数））。这两个定点叫双曲线的焦点。 要注意两点：（1）距离之差的绝对值。（2）2a ＜|F 1F 2|。
当|MF 1|－|MF 2|=2a 时，曲线仅表示焦点F 2所对应的一支； 当|MF 1|－|MF 2|=－2a 时，曲线仅表示焦点F 1所对应的一支；
当2a =|F 1F 2|时，轨迹是一直线上以F 1、F 2为端点向外的两条射线；用第二定义证明比较简单 或两边之差小于第三边
当2a ＞|F 1F 2|时，动点轨迹不存在。
2、第二定义：动点到一定点F 的距离与它到一条定直线l （准线2
c
a ）的距离之比是常数e (e ＞1)时，这个
动点的轨迹是双曲线。这定点叫做双曲线的焦点，定直线l 叫做双曲线的准线
二、双曲线的标准方程（222a c b -=，其中|1F 2F |=2c ）
焦点在x 轴上：122
22=-b y a x （a ＞0，b ＞0）
焦点在y 轴上：122
22=-b
x a y （a ＞0，b ＞0）
（1）如果2
x 项的系数是正数，则焦点在x 轴上；如果2
y 项的系数是正数，则焦点在y 轴上。 a 不一定大于b 。判定焦点在哪条坐标轴上，不像椭圆似的比较x2、y2的分母的大小，而是x2、y2的
系数的符号，焦点在系数正的那条轴上
（2）与双曲线122
22=-b
y a x 共焦点的双曲线系方程是1222
2=--+k b y k a x （3）双曲线方程也可设为：22
1(0)x y mn m n
-
=> 三、双曲线的性质
四、双曲线的参数方程：
sec tan x a y b θθ=⋅⎛ =⋅⎝ 椭圆为cos sin x a y b θ
θ=⋅⎛
=⋅⎝
五、 弦长公式
[提醒]解决直线与椭圆的位置关系问题时常利用数形结合法、根与系数的关系、整体代入、设而不求的思想方法。
2、通径的定义：过焦点且垂直于实轴的直线与双曲线相交于A 、B 两点，则弦长
a
b AB 2
2||=。
3、特别地，焦点弦的弦长的计算是将焦点弦转化为两条焦半径之和后，利用第二定义求解
六、焦半径公式
双曲线122
22=-b
y a x （a ＞0，b ＞0）上有一动点00(,)M x y
左焦半径：r=│ex+a │
右焦半径：r=│ex-a │
当00(,)M x y 在左支上时10||MF ex a =--,2
||MF ex =-当00(,)M x y 在右支上时10||MF ex a =+,20||MF ex =-左支上绝对值加-号，右支上不用变化
双曲线焦点半径公式也可用“长加短减”原则：（与椭圆焦半径不同，椭圆焦半径要带符号计算，而双曲线不带符号）
a
ex MF a ex MF -=+=0201 构成满足a MF MF 221=-
注：焦半径公式是关于0x 的一次函数，具有单调性，当00(,)M x y 在左支端点时
1||MF c a =-，2||MF c a =+，当00(,)M x y 在左支端点时1||MF c a =+，2||MF c a =-
七、等轴双曲线
122
22=-b
y a x （a ＞0，b ＞0）当a b =时称双曲线为等轴双曲线 1。 a b =； 2。离心率2=
e ；
3。两渐近线互相垂直，分别为y=x ±； 4。等轴双曲线的方程λ=-2
2
y x ，0λ≠；
八、共轭双曲线
以已知的虚轴为，实轴为虚轴的双曲线叫做原双曲线的共轭双曲线，通常称它们互为共轭双曲线。
λ=-2222b y a x 与λ-=-22
22b y a x 互为共轭双曲线，它们具有共同的渐近线：02222=-b
y a x . 九、点与双曲线的位置关系，直线与双曲线的位置关系 1、点与双曲线
点00(,)P x y 在双曲线22221(0,0)x y a b a b -=>>的内部22
00221x y a b ⇔-> 代值验证，如22
1x y -=
点00(,)P x y 在双曲线22
221(0,0)x y a b a b
-=>>的外部2200221x y a b ⇔-<
点00(,)P x y 在双曲线22
221(0,0)x y a b a b -=>>上220022-=1x y a b
⇔
2、直线与双曲线 代数法：
设直线:l y kx m =+，双曲线)0,0(122
22>>=-b a b
y a x 联立解得
（1）0m =时，b b
k a a
-
<<，直线与双曲线交于两点（左支一个点右支一个点）； b k a ≥，b
k a
≤-，或k 不存在时，直线与双曲线没有交点；
（2）0m ≠时，
k 存在时，若0222=-k a b ，a
b
k ±=，直线与双曲线渐近线平行，直线与双曲线相交于一点；相交
若2220b a k -≠，222222222(2)4()()a mk b a k a m a b ∆=-----2222224()a b m b a k =+-
0∆>时，22220m b a k +->，直线与双曲线相交于两点；
