初中数学二次函数应用题型分类——抛物线形物体问题6（附答案）1．发射一枚炮弹，经x 秒后的高度为y 公尺，且时间与高度关系为y=ax 2+bx ，若此炮弹在第7秒与第14秒时的高度相等，则在下列哪一个时间的高度是最高的？( ) A ．第8秒B ．第10秒C ．第12秒D ．第15秒2．定点投篮是同学们喜爱的体育项目之一，某位同学投出篮球的飞行路线可以看作是抛物线的一部分，篮球飞行的竖直高度y (单位：m )与水平距离x (单位：m )近似满足函数关系2y ax bx c =++(a≠0)．下表记录了该同学将篮球投出后的x 与y 的三组数据，根据上述函数模型和数据，可推断出篮球飞行到最高点时，水平距离为（ ） x (单位：m) 024y (单位：m) 2.253.453.05 A ．1.5mB ．2mC ．2.5mD ．3m3．向空中发射一枚炮弹，第x 秒时的高度为y 米，且高度与时间的关系为2(0)y ax bx c a =++≠，若此炮弹在第6秒与第17秒时的高度相等，则在下列时间中炮弹所在高度最高的是（ ） A ．第8秒B ．第10秒C ．第12秒D ．第15秒4．在学校运动会上，一位运动员掷铅球，铅球的高()ym 与水平距离()x m 之间的函数关系式为20.2 1.6 1.8y x x =-++，则此运动员的成绩是（ ） A ．10mB ．4mC ．5mD ．9m5．一小球被抛出后，距离地面的高度h (米)和飞行时间t (秒)满足下面函数关系式：h ＝－5(t －1)2＋6，则小球距离地面的最大高度是( ) A ．1米B ．5米C ．6米D ．7米6．如图，铅球的出手点C 距地面1米，出手后的运动路线是抛物线，出手后4秒钟达到最大高度3米，则铅球运行路线的解析式为（ ）A ．h=﹣316t 2B ．y=﹣316t 2+t C ．h=﹣18t 2+t+1 D ．h=-13t 2+2t+1 7．教练对小明推铅球的录像进行技术分析，发现某次铅球行进高度y(m)与水平距离x(m)之间的关系为y=-112(x-4)2+3，由此可知小明这次的推铅球成绩是（ ）A ．3mB ．4mC ．8mD ．10m8．从地面竖直向上抛出一小球，小球的高度y(米)与小球运动的时间x(秒)之间的关系式为()2y ax bx c a 0.=++≠若小球在第7秒与第14秒时的高度相同，则在下列时间中小球所在高度最高的是( ) A ．第8秒B ．第10秒C ．第12秒D ．第15秒9．如图所示的是跳水运动员10m 跳台跳水的运动轨迹，运动员从10m 高A 处的跳台上跳出，运动轨迹成抛物线状（抛物线所在平面与跳台墙面垂直）.若运动员的最高点M 离墙1m ，离水面403m ，则运动员落水点B 离墙的距离OB 是（ ）A ．2mB ．3mC ．4mD ．5m10．为了响应“足球进校国”的目标，兴义市某学校开展了多场足球比赛在某场比赛中，一个足球被从地面向上踢出，它距地面的高度h （m ）可以用公式h ＝﹣5t 2+v 0t 表示，其中t （s ）表示足球被踢出后经过的时间，v 0（m /s ）是足球被踢出时的速度，如果要求足球的最大高度达到20m ，那么足球被踢出时的速度应该达到（ ） A ．5m /sB ．10m /sC ．20m /sD ．40m /s11．黄冈中学是百年名校，百年校庆上的焰火晚会令很多人记忆犹新．有一种焰火升高高度为h （m ）与飞行时间t （s ）的关系式是252012h t t =-++，若这种焰火在点燃升空后到最高处引爆，则从点火到引爆所需时间为__________s ． 12．小明推铅球，铅球行进高度y （m ）与水平距离x （m ）之间的关系为y=﹣21(4)12x -+3，则小明推铅球的成绩是 m ．13．一名男生推铅球，铅球行进高度y （单位：m ）与水平距离x （单位：m ）之间的关系是21251233y x x =-++，则铅球推出的距离是______．此时铅球行进高度是______．14．对于向上抛的物体，在没有空气阻力的条件下，有这样的关系式：h ＝vt ﹣12gt 2，其中h 是上升高度，v 是初速，g 是重力加速度（为方便起见，本题目中g 取10m /s 2），t 是抛出后所经历的时间．如果将物体以v ＝25m /s 的速度向上抛，当t ＝_____s 时，物体上升到距离最高点11.25m 处？15．从地面竖直向上抛出一小球，小球的高度h （米）与小球的运动时间t （秒）之间的关系式是()230506h t tt =-≤≤，若抛出小球1秒钟后再抛出同样的第二个小球.则第二个小球抛出______秒时，两个小球在空中的高度相同.16．一运动员推铅球，铅球经过的路线为如图所示的抛物线，点(4，3)为该抛物线的顶点，则该抛物线所对应的函数式为_____．17．足球从地面踢出后，在空中飞行时离地面的高度()h m 与运动时间()t s 的关系可近似地表示为29.8h t t =-+，则该足球在空中飞行的时间为__________s ．18．从地面竖直向上抛出一小球，小球的高度h （米）与小球运动时间t （秒）的关系式是h ＝30t ﹣5t 2，小球运动中的最大高度是_____米． 19．校运会上，一名男生推铅球，出手点A 距地面53m ，出手后的运动路线是抛物线，当铅球运行的水平距离是4m 时，达到最大高度3m ，那么该名男生推铅球的成绩是_____m ．20．烟花厂为国庆70周年庆祝晚会特别设计制作一种新型礼炮，这种礼炮的升空高h （m ）与飞行时间t （s ）的关系式是252012h t t =++，若这种礼炮在点火升空到最高点处引爆，则从点火升空到引爆需要时间为________.21．在一场足球比赛中，一球员从球门正前方10米处起脚射门，当球飞行的水平距离为6米时达到最高点，此时球高为3米．（1）如图建立直角坐标系，当球飞行的路线为一抛物线时，求此抛物线的解析式． （2）已知球门高为2.44米，问此球能否射中球门（不计其它情况）．22．某广场有一个小型喷泉，水流从垂直于地面的水管OA 喷出，OA 长为1.5米.水流在各个方向上沿形状相同的抛物线路径落到地面上，某方向上抛物线路径的形状如图所示，落点B 到O 的距离为3米．建立平面直角坐标系，水流喷出的高度y （米）与水平距离x （米）之间近似满足函数关系20)y ax x c a =++≠（（1）求y 与x 之间的函数关系式； （2）求水流喷出的最大高度．23．在某场足球比赛中，球员甲在球门正前方点O 处起脚射门，在不受阻挡的情况下，足球沿如图所示的抛物线飞向球门中心线，当足球飞行的水平距离为2 m 时，高度为5m 3，落地点A 距O 点12 m ．已知点O 距球门9 m ，球门的横梁高为2.44 m ． （1）飞行的足球能否射入球门？通过计算说明理由；（2）若守门员乙站在球门正前方2 m 处，他跳起时能摸到的最大高度为2.52 m ，他能阻止此次射门吗？并写明理由．24．从地面竖直向上抛出一小球，小球的高度h (单位：m )与小球的运动时间t (单位：s )之间的关系式是2305h t t =-(06t ≤≤)．求小球运动时间是多少时，小球最高？小球运动中的最大高度是多少？25．如图，一位篮球运动员在离篮圈水平距离4m 处跳起投篮，球运行的高度y （m ）与运行的水平距离x （m ）满足解析式2y ax x c =++，当球运行的水平距离为1．5m 时，球离地面高度为3．3m ，球在空中达到最大高度后，准确落入篮圈内．已知篮圈中心离地面距离为3．05m ．（1）当球运行的水平距离为多少时，达到最大高度？最大高度为多少？（2）若该运动员身高1．8m ，这次跳投时，球在他头顶上方0．25m 处出手，问球出手时，他跳离地面多高？26．如图所示，以40/m s 的速度将小球沿与地面成30°角的方向击出时，球的飞行路线将是一条抛物线.如果不考虑空气阻力，球的飞行高度h （单位：m ）与飞行时间t （单位：s ）之间具有关系式.2205h t t =-(0)t ≥解答以下问题：（1）球的飞行高度能否达到15m ?如能，需要飞行多少时间？ （2）球飞行到最高点时的高度是多少m ？27．一球从地面抛出的运动路线呈抛物线，如图．当球离抛出地的水平距离为30m 时，达到最大高度10m ．（1）问：球被抛出多远？并求出该抛物线的解析式． （2）当球的高度为509m 时，球离抛出地的水平距离是多少？28．某次足球比赛，队员甲在前场给队友乙掷界外球．如图所示：已知两人相距8米，足球出手时的高度为2.4米，运行的路线是抛物线，当足球运行的水平距离为2米时，足球达到最大高度4米．请你根据图中所建坐标系，求出抛物线的表达式．29．小明将小球沿与地面成一定角度的方向击出，在不考虑空气阻力的条件下，小球的飞行高度y(m)与它的飞行时间x(s)满足二次函数关系，y 与x 的几组对应值如下表所示：x(s) 0 0.5 1 1.5 2 …y(m) 0 8.75 15 18.75 20 …(Ⅰ)求y关于x的函数解析式(不要求写x的取值范围)；(Ⅱ)问：小球的飞行高度能否达到22m？请说明理由.30．运动员将小球沿与地面成一定角度的方向击出，在不考虑空气阻力的条件下，小球的飞行高度h（m）与它的飞行时间t（s）满足二次函数关系，t与h的几组对应值如下表所示．t（s）0 0.5 1 1.5 2 …h（m）0 8.75 15 18.75 20 …（1）求h与t之间的函数关系式（不要求写t的取值范围）；（2）求小球飞行3s时的高度；（3）问：小球的飞行高度能否达到22m？请说明理由．参考答案1．B 【解析】 【分析】根据题意，x=7时与x=14时y 值相等，因此得出关于a 与b 的关系式，最后代入到2bx a=-中求出x 的值进一步判断即可. 【详解】 由题意得：当x=7时，y=49a +7b ， 当x=14时，y=196a +14b ， ∵高度相等， ∴49a +7b=196a +14b ， ∴b=-21a ，∵抛物线对称轴为：2b x a=-， 即：10.5x =，根据抛物线的对称性以及开口方向， ∴当10.5x =时，y 最大， ∵10与10.5相差最小， ∴四个选项中，第10秒最高， 故选：B. 【点睛】本题主要考查了抛物线的性质，熟练掌握相关概念是解题关键. 2．C 【解析】 【分析】用待定系数法可求二次函数的表达式，从而可得出答案. 【详解】将(0,2.25),(2,3.45),(4,3.05)代入2y ax bx c =++中得2.25423.45164 3.05c a b c a b c =⎧⎪++=⎨⎪++=⎩ 解得 2.250.21c a b =⎧⎪=-⎨⎪=⎩∴220.2 2.250.25( 2.5) 3.5y xx x =-++=--+∵0.250-< ∴当 2.5x =时，max 3.5y =故选C 【点睛】本题主要考查待定系数法求二次函数的解析式及二次函数的最大值，掌握二次函数的图象和性质是解题的关键. 3．C 【解析】 【分析】根据二次函数图像的对称性，求出对称轴，即可得到答案. 【详解】解：根据题意，炮弹在第6秒与第17秒时的高度相等， ∴抛物线的对称轴为：61711.52x +==秒， ∵第12秒距离对称轴最近，∴上述时间中，第12秒时炮弹高度最高； 故选：C. 【点睛】本题考查了二次函数的性质和对称性，解题的关键是掌握二次函数的对称性进行解题. 4．D 【解析】 【分析】根据铅球落地时，高度y ＝0，把实际问题可理解为当y ＝0时，即20.2 1.6 1.80y x x =-++=，求x 的值即可．在实际问题中，注意负值舍去．【详解】解：由题意知，当y ＝0时，20.2 1.6 1.80x x -++=， 整理，得：2890x x --=， 解得：1219x x =-=，，由于负值不符合题意，故该运动员的成绩是9m ， 故答案选：D ． 【点睛】本题考查二次函数的实际应用，搞清楚铅球落地时，即y ＝0，测量运动员成绩，也就是求x 的值，借助二次函数解决实际问题． 5．C 【解析】试题解析：∵高度h 和飞行时间t 满足函数关系式：h=-5（t-1）2+6， ∴当t=1时，小球距离地面高度最大， ∴h=-5×（1-1）2+6=6米， 故选C ．考点：二次函数的应用． 6．C 【解析】 【分析】根据题意，抛物线的顶点坐标是(4,3)，把抛物线经过的点(0,1)，代入二次函数的顶点坐标式列出方程，解出系数则可. 【详解】根据题意，设二次函数的表达式为()243h a t =-+，抛物线过(0,1)，即代入二次函数解得18a =-，这个二次函数的表达式为()221143188h t t t =--+=-++，故C 选项是正确答案. 【点睛】本题考查了用待定系数法利用顶点坐标式求函数的方法，掌握方程的解法等知识是解决本题的关键. 7．D【解析】 【分析】求出铅球落地时的水平距离，将y=0代入函数关系式，求出x 的值即可得到成绩. 【详解】由题意得，当y=0时，21(4)3=012--+x ， 解得：110x =，22x =-（舍去） 故选D. 【点睛】本题考查二次函数的应用，理解当铅球高度为0时，x 的值即为铅球飞行的距离，是解决本题的关键. 8．B 【解析】 【分析】根据题意可以求得该函数的对称轴，然后根据二次函数具有对称性，离对称轴越近，对应的y 值越大，即可解答本题． 【详解】由题意可得：当x 7142+==10.5时，y 取得最大值． ∵二次函数具有对称性，离对称轴越近，对应的y 值越大，∴ t =10时，y 取得最大值． 故选B ． 【点睛】本题考查了二次函数的应用，解答本题的关键是明确题意，利用二次函数的性质解答． 9．B 【解析】 【分析】由题意可得到抛物线的顶点坐标（1，403），因此可设抛物线顶点式()24013=-+y a x ，抛物线与y 轴的交点为A （0,10），代入顶点式可求出抛物线，再求出抛物线与x 轴的交点，即可求出OB.解：由题意，设抛物线解析式为()24013=-+y a x ，代入A （0,10）得， 10=()240013-+a ，解得10=3-a ， 所以抛物线解析式为()21040133=--+y x ， 当y=0时，()210401=033--+x ， 解得1=1-x ，2=3x .因为B 点在x 轴正半轴，故B 点坐标为（3,0）所以OB=3，选B.【点睛】本题考查了待定系数法求二次函数解析式，并运用抛物线的性质解决实际问题，根据题意设出合适的解析式是解题的关键.10．C【解析】【分析】因为-5＜0，抛物线开口向下，有最大值，根据顶点坐标公式表示函数的最大值，根据题目对最大值的要求，求待定系数v 0．【详解】解：h=-5t 2+v 0•t ，其对称轴为t=010V ， 当t=010V 时，h 最大=-5×（010V ）2+v 0•010V =20， 解得：v 0=20，v 0=-20（不合题意舍去），故选C ．【点睛】本题考查的是二次函数的应用，关键是利用当对称轴为t=-010V 时h 将取到最大值． 11．4根据关系式可知焰火的运行轨迹是一个开口向下的抛物线，已知焰火在升到最高时引爆，即到达抛物线的顶点时引爆，顶点横坐标就是从点火到引爆所需时间．则t=1205-⨯-=4s ， 故答案为4．12．10【解析】【分析】根据铅球落地时，高度y=0，把实际问题可理解为当y=0时，求x 的值即可．【详解】解：令函数式y=﹣21(4)12x -+3中，y=0， 0=﹣21(4)12x -+3， 解得x 1=10，x 2=﹣2（舍去）．即铅球推出的距离是10m ．故答案为10．考点：二次函数的应用．13．10m 0m【解析】【分析】铅球落地时，高度y=0，把实际问题可理解为当y=0时，求x 的值．【详解】 解：令函数式21251233y x x =-++中，y=0， 即212501233x x -++=， 解得x 1=10，x 2=−2(舍去)，即铅球推出的距离是10m,此时铅球行进高度是0m.故答案为10m;0m.．【点睛】本题考查了二次函数的应用以及函数式中自变量与函数表达的实际意义，需要结合题意取函数值为0，进而得出自变量的值是解题关键．14．0.5或4.5 【解析】【分析】根据关系式：h＝vt﹣12gt2，列出一元二次方程求解．【详解】解：根据题意，可得出的方程为：11.25＝25t﹣5t2，∴t2﹣5t+2.25＝0．解得：t1＝0.5，t2＝4.5．故答案为：0.5或4.5．【点睛】本题考查的知识点是一元二次方程的实际应用，根据所给关系式直接代入数据，解方程即可，此题属于基础题目，易于掌握．15．2.5【解析】【分析】根据题意和二次函数的性质，可以得到第二个小球抛出多少秒时，两个小球在空中的高度相同．【详解】解：∵h=30t-5t2=-5（t-3）2+45，∴该函数的对称轴是直线t=3，∵抛出小球1秒钟后再抛出同样的第二个小球，两个小球在空中的高度相同，∴第二个小球抛出3-0.5=2.5秒时，两个小球在空中的高度相同，故答案为：2.5．【点睛】本题考查二次函数的应用，解答本题的关键是明确题意，利用二次函数的性质解答．16．y＝-132（x﹣4）2+3【解析】【分析】根据二次函数的顶点式即可求出抛物线的解析式．解：根据题意，得设抛物线对应的函数式为y ＝a （x ﹣4）2+3把点（0，52）代入得： 16a+3＝52解得a ＝﹣132， ∴抛物线对应的函数式为y ＝﹣132（x ﹣4）2+3 故答案为：y ＝﹣132（x ﹣4）2+3． 【点睛】 本题考查了用待定系数法利用顶点坐标式求函数的方法，同时还考查了方程的解法等知识，难度不大．17．9.8【解析】【分析】求当t=0时函数值，即与x 轴的两个交点，两个交点之间的距离即足球在空中飞行的时间.【详解】解：当t=0时，29.80t t -+=(9.8)0t t --=解得：120;9.8t t ==∴足球在空中的飞行时间为9.8s故答案为：9.8【点睛】本题考查二次函数的实际应用，利用数形结合思想球解题，求抛物线与x 轴的交点是本题的解题关键18．45【解析】首先理解题意，先把实际问题转化成数学问题后，知道解此题就是求出h ＝30t ﹣5t 2的顶点坐标即可．【详解】解：h ＝﹣5t 2+30t＝﹣5（t 2﹣6t +9）+45＝﹣5（t ﹣3）2+45，∵a ＝﹣5＜0，∴图象的开口向下，有最大值，当t ＝3时，h 最大值＝45．故答案为：45．【点睛】本题考查了二次函数的应用，解此题的关键是把实际问题转化成数学问题，利用二次函数的性质就能求出结果．19．10【解析】【分析】把（0，53）代入y=a （x-4）2+3，求出a 的值即可，再求出抛物线与x 轴的交点即可解决问题；【详解】设二次函数的解析式为y=a （x-4）2+3，把（0，53）代入y=a （x-4）2+3， 解得，a=-112， 则二次函数的解析式为：y=-112（x-4）2+3=-22531312x x ++； 令y=0得到：-22531312x x ++=0， 解得，x 1=-2（舍去），x 2=10，则铅球推出的距离为10m ．故答案为10．【点睛】此题考查二次函数的实际应用，熟练掌握待定系数法求函数解析式是解题关键．20．4s【解析】【分析】把二次函数的一般式写成顶点式，找出顶点坐标，即可知道多长时间后得到最高点．【详解】 解：252012h t t =++ =52-（t-4）2+41， ∵52-＜0， ∴这个二次函数图象开口向下，∴当t=4时，升到最高点，∴从点火升空到引爆需要的时间为4s ．故答案为：4s ．【点睛】本题考查了二次函数解析式的相互转化，以及二次函数的性质，二次函数的表达式有三种形式，一般式，顶点式，交点式．要求最高（低）点，或者最大（小）值，需要先写成顶点式．烟花厂为国庆70周年庆祝晚会特别设计制作一种新型礼炮，这种礼炮的升空高h （m ）与飞行时间t （s ）的关系式是h=t2+20t+1252012h t t =++，若这种礼炮在点火升空到最高点处引爆，则从点火升空到引爆需要时间为21．（1）y ＝﹣112（x ﹣4）2+3；（2）能射中球门． 【解析】【分析】（1）根据条件可以得到抛物线的顶点坐标是（4，3），利用待定系数法即可求得函数的解析式；（2）求出当x ＝0时，抛物线的函数值，与2.44米进行比较即可判断．【详解】（1）抛物线的顶点坐标是（4，3），设抛物线的解析式是：y ＝a （x ﹣4）2+3，把（10，0）代入得36a+3＝0，解得a ＝-112， 则抛物线是y ＝﹣112（x ﹣4）2+3； （2）当x ＝0时，y ＝-112×16+3＝3﹣43＝53＜2.44米． 故能射中球门．【点睛】本题考查了待定系数法求二次函数的解析式，以及二次函数的应用，正确求得解析式是关键．22．（1）213.22y x x =-++（2）水流喷出的最大高度为2米 【解析】【分析】（1）建立平面直角坐标系,待定系数法解题,（2）求出顶点坐标即可.【详解】解：（1）由题意可得，抛物线经过（0，1.5）和（3，0）， 1.5930c a c =⎧⎨⨯++=⎩解得：a=-0.5,c=1.5,即函数表达式为y=21322x x -++. （2）解：221311+2.222y x x x =-++=--（） ∴当x=1时，y 取得最大值，此时y=2.答：水流喷出的最大高度为2米．本题考查了二次函数的解析式的求法,顶点坐标的应用,中等难度,建立平面直角坐标系是解题关键.23．（1）能射入球门．理由见解析；（2）不能阻止．理由见解析.【解析】【分析】（1）设抛物线解析式为()20y ax bx c a =++≠，将()5212,03⎛⎫ ⎪⎝⎭，，代入求解析式，再将9x =代入即可判断；（2）根据“守门员乙站在球门正前方2m 处”可知此时x=7，将其代入解析式即可判断.【详解】解：（1）能射入球门.设抛物线解析式为()20y ax bx c a =++≠ 将()5212,03⎛⎫ ⎪⎝⎭，，代入求解可得： 抛物线解析式为2112y x x =-+ 当9x =时，2712y =- ∵27 2.4412<， ∴能射入球门．（2）不能阻止．∵守门员乙站在球门正前方2 m 处，∴7x =当7x =时，3512y =∵35 2.5212>， ∴不能阻止．【点睛】本题考查的是待定系数法求二次函数解析式，能够求出抛物线解析式是解题的关键. 24．小球运动3秒时，最大高度是45m ．【分析】首先将二次函数转换成顶点式，然后即可求出自变量和函数值的最大值.【详解】2305h t t =-25(3)45t =--+06t ≤≤∴当3t =时，h 最大45=．答：小球运动3秒时，小球最高，最大高度是45m ．【点睛】此题主要考查二次函数的性质，熟练掌握，即可解题.25．（1）当球运行的水平距离为2.5m 时，达到最大高度为3.5m ；（2）球出手时，他跳离地面0.2m ．【解析】【分析】（1）根据待定系数法，即可求解；（2）令0x =时，则 2.25y =，进而即可求出答案．【详解】（1）依题意得：抛物线2y ax x c =++经过点(1.5,3.3)和(4,3.05)，∴221.5 1.5 3.344 3.05a c a c ⎧⨯++=⎨⨯++=⎩，解得：0.22.25a c =-⎧⎨=⎩， ∴220.2 2.250.2( 2.5) 3.5y x x x =-++=--+，∴当球运行的水平距离为2.5m 时，达到最大高度为3.5m ；（2）∵0x =时， 2.25y =，∴2.250.25 1.80.2--=m ，即球出手时，他跳离地面0.2m ．【点睛】本题主要考查二次函数的实际应用，掌握二次函数的图象和性质，是解题的关键．26．（1）能，1或3；（2）20m【解析】【分析】（1）当h=15米时，15=20t-5t 2，解方程即可解答；（2）求出当2205h t t =-的最大值即可.【详解】解；（1）解方程：215205t t =-2430t t -+=，解得：121,3t t ==，需要飞行1s 或3s ；（2）222055(t 2)20h t t =-=--+，当2t =时，h 取最大值20，∴球飞行的最大高度是20m .【点睛】本题主要考查了二次函数与一元二次方程的关系，根据题意建立方程是解决问题的关键． 27．（1）球被抛出60m ，该抛物线的解析式为y ＝﹣190x 2+23x ；（2）球离抛出地的水平距离是10m 或50m ．【解析】【分析】（1）根据已知条件设抛物线顶点式解析式即可求解；（2）根据（1）中求得的解析式，把球的高度为509m 代入，即可求出球离抛出地的水平距离．【详解】解：（1）根据题意，得设抛物线的解析式为2(30)10y a x =-+，把(0,0)代入得190a =-．所以抛物线解析式为22112(30)1090903y x x x =--+=+． 当0y =时，10x =，260x =．或者：因为抛物线对称轴为30x =，所以抛物线与x 轴的交点为(0,0)，(60,0)答：球被抛出60m ．该抛物线的解析式为212903y x x =-+． （2）当509y =时，2501(30)10990x =--+，解得150x =，210x =． 答：球离抛出地的水平距离是10m 或50m ．【点睛】本题考查了二次函数的应用，要恰当地把实际问题中的数据落实到平面直角坐标系中的抛物线上，从而确定抛物线的解析式，通过解析式可解决问题．28．y = -0.4x 2+4【解析】【分析】根据题意设抛物线的表达式为y=ax 2+4 (0a ≠)，代入（-2,2.4），即可求出a ．【详解】解：设y=ax 2+4 (0a ≠)∵ 图象经过（-2,2.4）∴ 4a+4=2.4a= -0.4∴ 表达式为y= -0.4x 2+4【点睛】本题考查了二次函数的应用，解题的关键是从实际问题中抽象出二次函数模型.29．(Ⅰ) y ＝﹣5x 2+20x ；(Ⅱ)小球的飞行高度不能达到22m ，理由见解析.【解析】【分析】(Ⅰ)设y 与x 之间的函数关系式为y ＝ax 2+bx(a≠0)，然后再根据表格代入x ＝1时，y ＝15；x ＝2时，y ＝20可得关于a 、b 的方程组，再解即可得到a 、b 的值，进而可得函数解析式； (Ⅱ)把函数解析式写成顶点式的形式可得小球飞行的最大高度，进而可得答案.【详解】(Ⅰ)∵x＝0时，y＝0，∴设y与x之间的函数关系式为y＝ax2+bx(a≠0)，∵x＝1时，y＝15；x＝2时，y＝20，∴15 4220 a ba b+=⎧⎨+=⎩，解得520ab=-⎧⎨=⎩，∴y与x之间的函数关系式为y＝﹣5x2+20x；(Ⅱ)由(Ⅰ)得：y＝﹣5x2+20x＝﹣5(x﹣2)2+20，∴小球飞行的最大高度为20m，∵22＞20，∴小球的飞行高度不能达到22m.【点睛】本题主要考查了二次函数的实际应用，熟练掌握相关方法是解题关键.30．（1）h＝﹣5t2+20t；（2）小球飞行3s时的高度为15米；（3）小球的飞行高度不能达到22m．【解析】【分析】（1）设h与t之间的函数关系式为h＝at2+bt（a≠0），然后再根据表格代入t＝1时，h＝15；t＝2时，h＝20可得关于a、b的方程组，再解即可得到a、b的值，进而可得函数解析式；（2）根据函数解析式，代入t＝3可得h的值；（3）把函数解析式写成顶点式的形式可得小球飞行的最大高度，进而可得答案．【详解】解：（1）∵t＝0时，h＝0，∴设h与t之间的函数关系式为h＝at2+bt（a≠0），∵t＝1时，h＝15；t＝2时，h＝20，∴a15{4220ba b+=+=，解得5 {20ab=-=，∴h与t之间的函数关系式为h＝﹣5t2+20t；（2）小球飞行3秒时，t＝3（s），此时h＝﹣5×32+20×3＝15（m）．答：小球飞行3s时的高度为15米；（3）∵h＝﹣5t2+20t＝﹣5（t﹣2）2+20，∴小球飞行的最大高度为20m，∵22＞20，∴小球的飞行高度不能达到22m．【点睛】此题主要考查了二次函数的应用，关键是掌握待定系数法求函数解析式，掌握配方法化顶点解析式．。
专题12 二次函数1．二次函数的概念：一般地，自变量x 和因变量y 之间存在如下关系： y=ax 2+bx+c(a≠0，a 、b 、c 为常数)，则称y 为x 的二次函数。
抛物线)0,,(2≠++=a c b a c bx ax y 是常数，叫做二次函数的一般式。
2.二次函数y=ax 2 +bx+c(a ≠0)的图像与性质（1）对称轴：2b x a=- （2）顶点坐标：24(,)24b ac b a a-- （3）与y 轴交点坐标（0，c ）（4）增减性：当a>0时，对称轴左边，y 随x 增大而减小；对称轴右边，y 随x 增大而增大；当a<0时，对称轴左边，y 随x 增大而增大；对称轴右边，y 随x 增大而减小。
3.二次函数的解析式三种形式。
（1）一般式 y=ax 2+bx+c(a ≠0).已知图像上三点或三对x 、y 的值，通常选择一般式.（2）顶点式 2()y a x h k =-+ 224()24b ac b y a x a a-=-+ 已知图像的顶点或对称轴，通常选择顶点式。
（3）交点式 12()()y a x x x x =--专题知识回顾y x O已知图像与x 轴的交点坐标1x 、2x ，通常选用交点式。
4．根据图像判断a,b,c 的符号（1）a 确定开口方向 ：当a>0时，抛物线的开口向上；当a<0时，抛物线的开口向下。
（2）b ——对称轴与a 左同右异。
（3）抛物线与y 轴交点坐标（0，c ）5．二次函数与一元二次方程的关系抛物线y=ax 2 +bx+c 与x 轴交点的横坐标x 1, x 2 是一元二次方程ax 2 +bx+c=0（a ≠0）的根。
抛物线y=ax 2 +bx+c ，当y=0时，抛物线便转化为一元二次方程ax 2 +bx+c=024b ac ->0时，一元二次方程有两个不相等的实根，二次函数图像与x 轴有两个交点；24b ac -=0时，一元二次方程有两个相等的实根，二次函数图像与x 轴有一个交点；24b ac -<0时，一元二次方程有不等的实根，二次函数图像与x 轴没有交点。
九年级数学竞赛专题 ---二次函数的图像与性质一、内容概述二次函数有丰富的内容，下面从四个方面加以总结1．定义： 形如函数2(0)y ax bx c a =++≠称为二次函数，对实际问题二次函数也有定义域.2．图像二次函数的图像为抛物线，一般作二次函数图像，取五个点，先确定顶点的横坐标，再以它为中心向左、向右对称取点.3．性质 对2(0)y ax bx c a =++≠的图像来讲，（1）开口方向：当0a >时，抛物线开口向上；当0a <时，抛物线开口向下。
（2）对称轴方程：2bx a=-（3）顶点坐标：24,24b ac b a a ⎛⎫-- ⎪⎝⎭（4）抛物线与坐标轴的交点情况： 若240bac -<，则抛物线与x 轴没有交点；若240b ac -=，则抛物线与x 轴有一个交点；若240b ac ->，则抛物线与x 轴有两个交点，分别为，；另外，抛物线与y 轴的交点为()0,c .（5）抛物线在x a=（6）y 与x 的增减关系：当0a >，2b x a >-时，y 随x 的增大而增大，2bx a <-时，y 随x 的增大而减小；当0a <，2b x a >-时，y 随x 的增大而减小，2bx a<-时，y 随x 的增大而增大.（7）最值：当0a >时，y 有最小值，当2b x a =-时，244ac b y a -最小值＝；当0a <时，y 有最大值，当2b x a =-时，244ac b y a-最大值＝（8）若抛物线与x 轴两交点的横坐标为1x 、2x （12x x <），则：当0a >时，12x x x <<时，0y <；12x x x x <>或时，0y >；当0a<时，12x x x <<时，0y >；12x x x x <>或时，0y <.4．求解析式抛物线的解析式常用的有三种形式：（1）一般式：2(0)y ax bx c a =++≠（2）顶点式：2()(0)y a x h k a =-+≠，其中(,)h k 是抛物线的顶点坐标。
二次函数图像的性质与解析一、二次函数的定义与标准形式1.二次函数的定义：一般地，形如y=ax^2+bx+c（a、b、c是常数，a≠0）的函数，叫做二次函数。
2.二次函数的标准形式：y=a(x-h)2+k，其中顶点式y=a(x-h)2+k的图像为抛物线，a为抛物线的开口方向和大小，h、k为顶点坐标。
二、二次函数图像的性质1.开口方向：由a的符号决定，a>0时，开口向上；a<0时，开口向下。
2.对称性：二次函数图像关于y轴对称，即若点(x,y)在图像上，则点(-x,y)也在图像上。
3.顶点：二次函数图像的顶点为抛物线的最高点或最低点，顶点式y=a(x-h)^2+k中，(h,k)为顶点坐标。
4.轴：二次函数图像与x轴的交点为方程ax^2+bx+c=0的根，与y轴的交点为c/a。
5.增减性：当a>0时，二次函数图像在顶点左侧单调递减，在顶点右侧单调递增；当a<0时，二次函数图像在顶点左侧单调递增，在顶点右侧单调递减。
三、二次函数图像的解析1.求顶点：根据顶点式y=a(x-h)^2+k，直接得出顶点坐标为(h,k)。
2.求对称轴：对称轴为x=h。
3.求开口大小：开口大小由a的绝对值决定，绝对值越大，开口越大。
4.求与坐标轴的交点：与x轴的交点为方程ax^2+bx+c=0的根，与y轴的交点为c/a。
5.判断增减性：根据a的符号，判断二次函数图像在顶点两侧的单调性。
四、二次函数图像的应用1.实际问题：利用二次函数图像解决实际问题，如抛物线与坐标轴的交点问题、最值问题等。
2.几何问题：利用二次函数图像研究几何图形的性质，如求解三角形面积、距离等问题。
3.物理问题：利用二次函数图像研究物理现象，如抛物线运动、振动等。
五、二次函数图像的变换1.横向变换：对二次函数y=ax2+bx+c进行横向变换，如向左平移h个单位，得到y=a(x+h)2+k；向右平移h个单位，得到y=a(x-h)^2+k。
