平■面直角坐标系找规律题型解析
1、如图，正方形ABCES勺顶点分别为A(1,1) B(1 , -1) C(-1 , -1) D(-1 , 1) , y轴上有一点P(0, 2)。作点P关丁点A的对称点p1,作p1关丁点B的对称点p2,作点p2关丁点C 的对称点p3,作p3关丁点D的对称点p4,作点p4关丁点A的对称点p5,作p5关丁点B的对称点p6…，按如此操作下去，则点p2011的坐标是多少？
周期均由点P1, P2, P3, P4组成。
第1 周期点的坐标为:P1(2,0) , P2(0,-2) , P3(-2,0) , P4(0,2)
第2 周期点的坐标为:P1(2,0) , P2(0,-2) , P3(-2,0) , P4(0,2)
第3 周期点的坐标为:P1(2,0) , P2(0,-2) , P3(-2,0) , P4(0,2)
第n 周期点的坐标为:P1(2,0) , P2(0,-2) , P3(-2,0) , P4(0,2)
2011 -4=502…3,所以点P2011的坐标与P3坐标相同，为(一2, 0) 解法2:根据题意，P1 (2, 0) P2 (0, -2) P3 (-2, 0) P4 (0, 2)。
根据p1-pn每四个一循环的规律，可以得出：
P4n (0, 2) , P4n+1 (2, 0) , P4n+2 (0, -2) , P4n+3( — 2, 0)。
2011 -4=502…3,所以点P2011的坐标与P3坐标相同，为(一2, 0)
总结：此题是循环问题，关键是找出每几个一循环，及循环的起始点。此题是每四个点一循环，起始点是p点。
2、在平面直角坐标系中，一蚂蚁从原点O出发，按向上、向右、向下、向右的方向依次不断移动，每次移动1个单位.其行走路线如下图所示.
个y
A1 宾A5 -A6 A9 A10 ______ .
1 > c q -------- £q J K R
】r —I F
O A3 A4 A7 ^8 A11 %2 ‘X
(1) 填写下列各点的坐标：A4( , ) , A8( , ) , A10( , ) , A12( *
(2) 写出点A4n的坐标(n是正整数)；
(3) 按此移动规律，若点Am在x轴上，请用含n的代数式表示m (n是正整数)
(4) 指出蚂蚁从点A2011到点A2012的移动方向.
(5) 指出蚂蚁从点A100到点A101的移动方向.(6)指出A106, A201的的坐标及方向。
解法：(1)由图可知，A4, A12, A8都在x轴上，
•.•小蚂蚁每次移动1个单位，.••OA4=2 OA8=4 OA12=6
A4 (2, 0) , A8 (4, 0) , A12 (6, 0);同理可得出：A10 (5, 1)
(2) 根据(1) OA4n=4汁2=2n,二点A4n 的坐标(2n, 0);
(3) •.•只有下标为4的倍数或比4n小1的数在x轴上，
.,•点A" x轴上，用含n的代数式表示为：m=4诚m=4n-1;
(4) ..2011 + 4=502 • 3,
•••从点A2011到点A2012的移动方向与从点A3到A4的方向一致，为向右.
(5) 点A100中的n正好是4的倍数，所以点A100和A101的坐标分别是A100 (50, 0)
和A101 (50, 1),所以蚂蚁从点A100到A101的移动方向是从下向上。
(6) 方法1:点A1、A2、A3、A4每4个点，图形为一个循环周期。
设每个周期均由点A1, A2, A3, A4组成。
第 1 周期点的坐标为：A1(0,1) , A2(1,1) , A3(1,0) , A4(2,0)
第 2 周期点的坐标为：A1(2,1) , A2(3,1) , A3(3,0) , A4(4,0)
第 3 周期点的坐标为：A1(4,1) , A2(5,1) , A3(5,0) , A4(6,0)
第n 周期点的坐标为:A1(2n-2,1) , A2(2n-1,1) , A3(2n-1,0) , A4(2n,0)
106-4=26…2,所以点A106坐标与第27周期点A2坐标相同,(2 X27-1,1),即(53,1)方向朝下。
201 -4=50・・・1,所以点A201坐标与第51周期点A1坐标相同，(2 X 51-2,1),即(100,1) 方向朝右。
方法2:由图示可知，在x轴上的点A的下标为奇数时，箭头朝下，下标为偶数时，箭头朝上。106=104+2即点A104再移动两个单位后到达点A106, A104的坐标为(52, 0)且移动的方向朝上，所以A106的坐标为(53, 1),方向朝下。
同理：201=200+1，即点A200再移动一个单位后到达点A201, A200的坐标为(100, 0) 且移动的方向朝上，所以A201的坐标为(100, 1),方向朝右。
3、一只跳蚤在第一象限及x轴、y轴上跳动，在第一秒钟，它从原点跳动到(0 , 1),然后接着按图中箭头所示方向跳动[即(0 , 0) T(0 , 1) T(1 , 1) t (1, 0) f],且每秒跳动一个单位，那么第35秒时跳蚤所在位置的坐标是多少？第42、49、2011秒所在点的坐标及方向？, A 解法1 :到达(1, 1)点需要2秒:£*1
到达(2, 2)点需要2+4秒*
到达(3, 3)点需要2+4+6秒
Q I 17 1到达(n, n)点需要2+4+6+...+2n 秒=n(n+1)秒' 'T
当横坐标为奇数时，箭头朝下，再指向右，当横坐标为偶数时，箭头朝上，再指向左。
35=5X 6+5,所以第5*6=30秒在(5, 5)处，此后要指向下方，再过5秒正好到(5,0) 即第35秒在(5, 0)处，方向向右。
42=6X 7,所以第6X 7=42秒在(6, 6)处，方向向左
49=6X 7+7,所以第6X 7=42秒在(6, 6)处，再向左移动6秒，向上移动一秒到(0, 7) 即第49秒在(0, 7)处，方向向右
解法2:根据图形可以找到如下规律，当n为奇数是n2秒处在(0, n)处，且方向指向右；当n为偶数时n2秒处在(n, 0)处，且方向指向上。
35=62-1 ,即点(6, 0)倒退一秒到达所得点的坐标为(5, 0),即第35秒处的坐标为
(5, 0)方向向右。用同样的方法可以得到第42、49、2011处的坐标及方向
4、如图，所有正方形的中心均在坐标原点，且各边与x轴或y轴平■行.从内到外，它们的
