《充要条件》教学设计

一、教学目标1. 知识目标：使学生掌握充要条件的概念，理解充要条件的性质和判断方法。

2. 能力目标：培养学生运用充要条件进行逻辑推理的能力，提高学生的数学思维能力。

3. 情感目标：激发学生对数学的兴趣，培养学生严谨的数学态度。

二、教学重难点1. 教学重点：充要条件的概念、性质和判断方法。

2. 教学难点：充要条件的判断和应用。

三、教学过程1. 导入新课（1）回顾上节课所学内容，引导学生思考如何判断两个命题之间的关系。

（2）引出本节课主题：充要条件。

2. 新课讲解（1）介绍充要条件的概念：若命题A是命题B的充要条件，则A和B同时成立或同时不成立。

（2）讲解充要条件的性质：①自反性：A是A的充要条件。

②对称性：若A是B的充要条件，则B也是A的充要条件。

③传递性：若A是B的充要条件，B是C的充要条件，则A是C的充要条件。

（3）讲解充要条件的判断方法：①直接法：根据定义判断两个命题是否为充要条件。

②间接法：通过否定、逆否、等价等手段判断两个命题是否为充要条件。

3. 课堂练习（1）完成教材中的例题，巩固所学知识。

（2）学生之间互相出题，进行小组讨论，提高解题能力。

4. 课堂小结（1）回顾本节课所学内容，总结充要条件的概念、性质和判断方法。

（2）强调充要条件在数学证明中的应用。

5. 作业布置（1）完成教材中的课后习题。

（2）课后思考：充要条件在实际生活中的应用。

四、教学评价1. 课堂表现：观察学生在课堂上的参与程度、提问和回答问题的情况。

2. 作业完成情况：检查学生完成作业的情况，了解学生对本节课内容的掌握程度。

3. 课后反馈：通过课后作业和课堂提问，了解学生对充要条件的理解和应用能力。

五、教学反思本节课通过讲解充要条件的概念、性质和判断方法，使学生掌握了充要条件的基本知识。

在教学过程中，要注意以下几点：1. 注重学生对充要条件的理解，避免死记硬背。

2. 通过实例讲解，使学生了解充要条件在实际生活中的应用。

3. 加强课堂练习，提高学生的解题能力。

“充要条件”教学设计.doc一、教学目标1.了解“充要条件”的定义及功能。

2.掌握“充要条件”的使用方法。

3.能够应用“充要条件”解决数学问题。

二、教学重点四、教学方法讲授、示范、练习。

五、教学过程1.知识引入通过一个例子来引出“充要条件”的概念：若本数等于横数，最后得到的九九乘法表就是规范的，现在假如打一半，问当你已经打出来的数字的本数等于横数时，你最多可以打多少个数字？2.知识讲解1.定义：“充要条件”是指一个命题的两个条件：充分条件和必要条件，两者都能够推出命题成立。

2.使用方法：在证明一个命题时，我们通常需要找到一个充分条件和一个必要条件，分别说明这两个条件可以推出命题成立。

3.思考：但有时我们也会发现，一些条件即是充分条件，又是必要条件，因此这些条件也可以直接作为命题成立的判定条件。

3.例题演练例1：证明若正整数n满足$n^2<n+k≤(n+1)^2$，则$\sqrt{k}>n$。

【解析】：①必要性：若$\sqrt{k}\leq n$，则显然$k<n^2+n+1$，矛盾。

例2：已知实数$x$的绝对值与$x$之和的平方相等，问$x$可能的值为何？提示：取$x=|x|\text{sgn}(x)$。

【解析】：必要性：设$x=|x|\text{sgn}(x)$，则$|x|=x|\text{sgn}(x)|=x^2=x^2+(\text{sgn}(x))^2-2|x\text{sgn}(x)|\cdot|x\text{ sgn}(x)|\cdot\text{sgn}(x)=(x+\text{sgn}(x))^2$；4.拓展应用练习题：1.若$a,b,c$为非负实数，证明：$a^3+b^3+c^3-3abc$为$(a+b+c)$减式的充要条件是$a=b=c$或其中两个数相等，另一个数为0。

2.设$a,b,c$为正实数，证明：与$(1+2a)(1+2b)(1+2c)$和$(3+a)(3+b)(3+c)$等价的命题是$\frac{1}{1+a}+\frac{1}{1+b}+\frac{1}{1+c}\geq 1$。

一、教学设计1. 教学目标：（1）知识与技能：使学生掌握充要条件的概念，了解充要条件的表示方法，能够判断一个命题是否为充要条件。

（2）过程与方法：通过实例分析、讨论、归纳等方法，引导学生自主探究充要条件的性质和特点。

（3）情感态度与价值观：培养学生严谨的逻辑思维能力，激发学生对数学的兴趣。

2. 教学重点与难点：（1）教学重点：充要条件的概念、表示方法和判断方法。

（2）教学难点：如何正确判断一个命题是否为充要条件。

3. 教学过程：（1）引入：通过讲述一个实际问题，引出充要条件的概念。

（2）讲解：讲解充要条件的定义、表示方法和判断方法。

（3）实例分析：通过实例分析，让学生掌握充要条件的运用方法。

（4）讨论与归纳：组织学生进行讨论，归纳总结充要条件的性质和特点。

（5）练习与巩固：布置相关练习题，让学生巩固所学知识。

（6）反思与总结：对本节课的教学进行反思和总结，提出改进意见。

二、教学反思1. 教学内容方面：本节课的教学内容基本达到了预期目标，学生掌握了充要条件的概念、表示方法和判断方法。

但在讲解过程中，对于一些抽象的概念和表示方法，没有做到深入浅出，导致部分学生理解困难。

今后需要改进教学方法，尽量用简单明了的语言和实例来解释抽象概念。

2. 教学方法方面：本节课采用了实例分析、讨论、归纳等方法，引导学生自主探究充要条件的性质和特点。

但在实际教学过程中，发现部分学生对于讨论环节的参与度不高，可能是因为害怕回答问题或者缺乏自信。

今后需要加强课堂氛围的营造，鼓励学生积极参与讨论，提高学生的学习兴趣和自信心。

3. 学生学习效果方面：通过课堂练习和课后作业的检查，发现大部分学生已经掌握了充要条件的概念、表示方法和判断方法。

但仍有部分学生在判断充要条件时存在错误，可能是因为对于充要条件的理解不够深刻。

今后需要加强对这部分学生的个别辅导，帮助他们克服学习困难。

1． 2．2 充要条件教学目标：进一步理解充分条件、必要条件的概念，同时学习充要条件的概念.教学重点：充要条件概念的理解.教学难点：理解必要条件的概念.教学过程：一、复习准备：指出下列各组命题中，p 是q 的什么条件，q 是p 的什么条件？（1）:p a Q ∈，:q a R ∈；（2）:p a R ∈，:q a Q ∈；（3）:p 内错角相等，:q 两直线平行；（4）:p 两直线平行，:q 内错角相等. 二、讲授新课：1. 教学充要条件：①一般地，如果既有p q ⇒，又有q p ⇒，就记作p q ⇔. 此时，我们说，p 是q 的充 必要条件，简称充要条件（sufficient and necessary condition ）. ②上述命题中（3）（4）命题都满足p q ⇔，也就是说p 是q 的充要条件，当然，也可以说q 是p 的充要条件.2. 教学典型例题：①例1：下列命题中，哪些p 是q 的充要条件？（1）:p 四边形的对角线相等，:q 四边形是平行四边形；（2）:p 0b =，:q 函数2()f x ax bx c =++是偶函数； （3）:p 0,0x y <<，:q 0xy >；（4）:p a b >，:q a c b c +>+.（学生自练→个别回答→教师点评）解析：从充分和必要两个方面入手。

解：在（2）（4）中，p q ⇔，所以（2）（4）中的p 是q 的充要条件，（1）（3）p 不是q 的充要条件。

点评：既有p q ⇒，又有q p ⇒，p 才是q 的充要条件。

②变式练习：教材P12 练习第1、2题 ③探究：请同学们自己举出一些p 是q 的充要条件的命题来.④例2：已知：⊙O 的半径为r ，圆心O 到直线l 的距离为d . 求证：d r =是直线l 与⊙O 相切的充要条件.（教师引导→学生板书→教师点评）解析:设p ：d r =，q ：直线l 与⊙O 相切。

电路中的“充要条件”教学设计一、教学目标：1.使学生了解电路中的“充要条件”概念，并能正确运用它进行电路分析；2.培养学生的动手实践能力，提高学生的实践操作能力；3.培养学生的问题解决能力和逻辑思维能力。

二、教学内容：电路中的“充要条件”三、教学重点和难点重点：电路中的“充要条件”概念的理解和运用。

难点：学生如何正确应用“充要条件”进行电路分析。

四、教学方法：本课程主要采用讲授和实践相结合的方式进行教学。

五、教学步骤：1.导入（5分钟）引出本课的主题：“电路中的‘充要条件’”。

通过几个简单的问题引导学生思考，比如：“在电路中，只有一些条件满足，电流才能顺利流动吗？”，“电路中哪些条件是必不可少的？”，“如果一些条件缺失，电路会发生什么变化？”等。

通过引导学生的思考，激发他们的学习兴趣。

2.讲授“充要条件”（15分钟）通过投影仪或黑板，向学生讲解“充要条件”的概念。

详细介绍电路中的充要条件，包括电源电压、电源极性、电阻大小和连接方式等。

并通过具体案例，深入讲解充要条件的影响。

3.实验操作（30分钟）让学生分为若干小组进行实验操作。

每个小组选取一种常见的电路拓扑结构，例如串联电路、并联电路、混联电路等，并通过改变电源电压、电阻大小或连接方式等因素，观察电路的变化并记录数据。

最后，让学生根据实验结果讨论电路中的充要条件，并给出自己的理解和结论。

4.小组讨论（20分钟）每个小组选择一位代表，向全班汇报他们的实验结果和讨论的结论，并与其他小组进行交流和讨论。

老师在讨论的过程中引导学生回答问题，扩展他们的思维，并确保他们掌握了电路中的充要条件。

5.提高运用练习（30分钟）通过一些案例或练习题，让学生运用所学的知识解决实际问题。

鼓励学生在小组内进行独立思考和讨论，然后交流和展示自己的解决方法。

6.复习与总结（10分钟）通过提问和让学生总结本课的要点，对本节课的内容进行复习和总结。

确保学生对电路中的充要条件有较深的理解和掌握。

《充要条件》教学设计一、课标要求：理解充分条件、必要条件与充要条件的意义，会判断充分条件、必要条件与充要条件。

二、知识与方法回顾：1、充分条件、必要条件与充要条件的概念：2、从逻辑推理关系上看充分不必要条件、必要不充分条件与充要条件：3、从集合与集合之间关系上看充分条件、必要条件与充要条件：4、特殊值法：判断充分条件与必要条件时，往往用特殊值法来否定结论5、化归思想：表示p等价于q，等价命题可以进行相互转化，当我们要证明p成立时，就可以转化为证明q成立;这里要注意原命题逆否命题、逆命题否命题只是等价形式之一，对于条件或结论是不等式关系(否定式)的命题一般应用化归思想。

6、数形结合思想：利用韦恩图(即集合的包含关系)来判断充分不必要条件，必要不充分条件，充要条件。

三、基础训练：1、设命题若p则q为假，而若q则p为真，则p是q的 ( )A。

充分不必要条件 B。

必要不充分条件C。

充要条件 D。

既不充分也不必要条件2、设集合M，N为是全集U的两个子集，则是的 ( )A。

充分不必要条件 B。

必要不充分条件C。

充要条件 D。

既不充分也不必要条件3、若是实数，则是的 ( )A。

充分不必要条件 B。

必要不充分条件C。

充要条件 D。

既不充分也不必要条件四、例题讲解例1 已知实系数一元二次方程，下列结论中正确的是 ( )(1) 是这个方程有实根的充分不必要条件(2) 是这个方程有实根的必要不充分条件(3) 是这个方程有实根的充要条件(4) 是这个方程有实根的充分不必要条件A。

(1)(3) B。

(3)(4) C。

(1)(3)(4) D。

(2)(3)(4)例2 (1)已知h 0，a，bR，设命题甲：，命题乙：且，问甲是乙的 ( )(2)已知p：两条直线的斜率互为负倒数，q：两条直线互相垂直，则p是q的 ( )A。

充分不必要条件 B。

必要不充分条件C。

充要条件 D。

既不充分也不必要条件变式：a = 0是直线与平行的条件;例3 如果命题p、q都是命题r的必要条件，命题s是命题r的充分条件，命题q是命题s的充分条件，那么命题p是命题q的条件;命题s是命题q的条件;命题r是命题q的条件。

《充要条件》教学设计◆教学目标1．通过研究大量的实例抽象出充要条件的概念，能利用充要条件对具体的例子进行分析表述，在这个过程中提升数学抽象素养．2．通过探索充要条件与数学定义的关系，进一步理解充要条件，能进行充要条件的判断与证明，在这个过程提升逻辑推理、直观想象和数学运算素养．◆教学重难点◆教学重点：充要条件的意义；教学难点：充要条件和数学定义之间关系．◆课前准备PPT课件◆教学过程（一）确定方案问题1：类比“充分条件与必要条件”的研究过程，你能试着写出“充要条件”的研究过程吗？师生活动：学生独立思考，写出研究过程，展示交流．预设的答案：具体实例（命题真假判断）——抽象概念——概念辨析——应用概念．抽象概念：什么是充要条件？概念辨析：充要条件和数学中定义、公理、定理哪个有关？应用概念：如何判断充要条件？设计意图：通过类比所学知识，猜想新知识的研究过程．首先让学生对本节的内容有一个初步的整体认识和把握，同时有利于提高学生研究问题的能力和抽象概括能力．（二）问题导入问题2：阅读教科书的边框内容，完成下列问题：（1）对于“若p，则q”形式的命题，什么是它的逆命题？（2）请分别写出下列命题的逆命题．①若两个三角形的两角和其中一角所对的边分别相等，则这两个三角形全等；②若两个三角形全等，则这两个三角形的周长相等；③若一元二次方程02=++c bx ax 有两个不相等的实数根，则0<ac ；④若A ∪B 是空集，则A 与B 均是空集．师生活动：学生独立思考，写出结果，展示交流，教师帮助学生规范表达．预设的答案：（1）“若p ，则q ”的逆命题为“若q ，则p ”，而且它们是互逆的；（2）①若两个三角形全等，则这两个三角形的两角和其中一角所对的边分别相等； ②若两个三角形的周长相等，则这两个三角形全等；③若0<ac ，则一元二次方程02=++c bx ax 有两个不相等的实数根；④若A 与B 均是空集，则B A 是空集．设计意图：逆命题对学生来说是一个新概念，首先通过举例让学生认识它，为后续学习做好铺垫．（三）新知探究1．形成概念问题3：对于下列“若p ，则q ”形式的命题，请判断它们及它们逆命题的真假．（1）若两个三角形的两角和其中一角所对的边分别相等，则这两个三角形全等；（2）若两个三角形全等，则这两个三角形的周长相等；（3）若一元二次方程02=++c bx ax 有两个不相等的实数根，则0<ac ；（4）若B A 是空集，则A 与B 均是空集．师生活动：在问题1的基础上，学生独立思考，给出判断，展示交流，互相更正． 追问1：根据以上命题及其逆命题的真假，那么p 是否为q 的充分条件或必要条件？为什么？师生活动：学生独立思考，回答问题，互相更正．预设的答案：（1）原命题为真，所以p 是q 的充分条件；逆命题为真，所以p 是q 的必要条件；（2）原命题为真，所以p 是q 的充分条件；逆命题为假，所以p 不是q 的必要条件；（3）原命题为假，所以p 不是q 的充分条件；逆命题为真，所以p 是q 的必要条件；（4）原命题为真，所以p 是q 的充分条件；逆命题为真，所以p 是q 的必要条件． 追问2：阅读教科书，你能说说什么是充要条件吗？师生活动：学生独立思考，回答问题．老师板书．预设的答案：如果“若p ，则q ”和它的逆命题“若q ，则p ”均是真命题，则记作q p ⇔．此时p 既是q 的充分条件，又是q 的必要条件，我们说p 是q 充分必要条件，简称为充要条件．设计意图：从学生熟悉的具体命题出发，通过分析命题及其逆命题的真假，引出充要条件的概念．2．辨析概念问题4：根据定义，上述四个命题中，哪些p 是q 的充要条件？类比“充分必要条件”的名称，其余的命题中，你认为p 应该称为q 的什么条件？你认为如何判断p 是q 的什么条件？师生活动：学生独立思考，回答问题，老师更正并板书．预设的答案：上述命题（1）（4）中的p 是q 充要条件．对于命题（2），p 是q 的充分条件，p 不是q 的必要条件，称p 是q 的充分不必要条件； 对于命题（3），p 不是q 的充分条件，p 是q 的必要条件，称p 是q 的必要不充分条件． 如果p 不是q 的充分条件，也不是q 的必要条件，称p 是q 的既不充分又不必要条件． 如果“若p ，则q ”为真命题，且“若q ，则p ”为真命题，则p 是q 充要条件；如果“若p ，则q ”为真命题，且“若q ，则p ”为假命题，则p 是q 充分不必要条件； 如果“若p ，则q ”为假命题，且“若q ，则p ”为真命题，则p 是q 必要不充分条件； 如果“若p ，则q ”为假命题，且“若q ，则p ”为假命题，则p 是q 即不充分又不必要条件．设计意图：借助学生熟悉的命题，说明p 是q 的充要、充分不必要等条件与p 是q 的充分条件、p 是q 的必要条件之间的关系．同时利用定义解决问题，形成方法．3．应用概念例3 下列各题中，p 是q 的什么条件？（请用“充要条件”“充分不必要条件”“必要不充分条件”“既不充分又不必要条件”回答）并写出理由．（1）p ：两个三角形全等，q ：两个三角形三边成比例；（2）p ：四边形是平行四边形，q ：四边形的对角线互相平分；（3）p ：0>xy ，q ：0,0>>y x ；（4）p ：1=x 是一元二次方程02=++c bx ax 的一个根，q ：)0(0≠=++a c b a ． 追问1：判断p 是q 的什么条件的依据与方法是什么？（答案略）师生活动：学生独立完成，要求写出判断过程和结果，然后展示交流，教师帮助学生规范过程．如果学生只写出命题的真假，而没有给出理由，老师要进行追问．例如：学生在（1）中写出“若q，则p为假命题”，老师追问“为什么”，直到学生给出反例为止．设计意图：进一步熟悉利用判断命题真假来判定充要条件、充分不必要等条件的方法．追问2：例3（2）中给出了“四边形是平行四边形”的一个充要条件，即“四边形的对角线互相平分”，你还能写出不同的充要条件吗？（答案略）师生活动：学生回答，教师将学生的回答板书在黑板上．追问3：这些充要条件从不同角度刻画了“平行四边形”这个概念，据此我们可以给出平行四边形的不同定义．例如：“两组对边分别平行的四边形是平行四边形”、“对角线互相平分的四边形是平行四边形”等等．再回忆你学过的其他数学定义，你发现充要条件和数学定义之间有什么关系？师生活动：学生独立思考，小组讨论，展示交流．预设的答案：例如：相似三角形；菱形；子集等定义．数学定义和充要条件的关系：数学定义给出了数学对象成立的充要条件，它是从充分性和必要性两个方面刻画数学对象的，它既是这个数学对象的判定定理又是性质定理．设计意图：借助具体的数学命题，理解数学定义和充要条件的关系，进一步深化对充要条件的理解．例4已知：⊙O的半径为r，圆心O到直线l的距离为d，求证：d=r是直线l与⊙O 相切的充要条件．追问：依据充要条件定义，证明“d=r是直线l与⊙O相切的充要条件”，应该证明哪些命题为真命题？并尝试给出证明思路．师生活动：学生独立思考，分析题意，尝试写出要证的命题以及证明思路，展示交流，老师帮忙完善．在此基础上，学生完成证明，老师帮助订正并规范学生的表达，并指出哪一步是“充分性”，哪一步是“必要性”．或者也可以让学生阅读教科书，并说明哪一步是充分性，哪一步是必要性．预设的答案：需要证明的命题以及证明思路：（1）若d=r，则直线l与⊙O相切；思路：要证“直线l与⊙O相切”⇐“直线l与⊙O有且只有一个公共点”⇐先根据条件“d=r”证明“有公共点”，然后再证明“只有一个公共点”．这一步称为“充分性”.（2）若直线l与⊙O相切，则d=r．思路：由“直线l与⊙O相切”⇒“直线l与⊙O有且只有一个公共点P ”⇒“r OP l OP =⊥,”⇒“d =r ”．这一步称为“必要性”．证明：（1）充分性(⇒): 如图，作OP ⊥l 于点P ，则OP =d ．若d =r ，则点P 在⊙O 上，在直线l 上任取一点Q （异于点P ），连接OQ ．在Rt △OPQ 中，OQ ＞OP=r ．所以，除点P 外直线l 上的点都在⊙O 的外部，即直线l 与⊙O 仅有一个公共点P ． 所以直线l 与⊙O 相切．（2）必要性（⇐）：若直线l 与⊙O 相切，不防设切点为P ，则OP ⊥l ．因此d=OP =r ．由（1）（2）得，d =r 是直线l 与⊙O 相切的充要条件．设计意图：通过充要条件的证明，进一步加深学生对充要条件的理解．另外，这个题目推理过程有一定难度，所以在推理之前，分清条件和结论，理清证明思路很重要．（四）梳理总结问题5：本节课我们学习了充要条件，充要条件的含义是什么？对于“若p ，则q ”命题，判断p 是q 的什么条件的方法是什么？充要条件与数学定义有什么关系？师生活动：师生一起总结．预设的答案：如果“若p ，则q ”和它的逆命题“若q ，则p ”均是真命题，则记作q p ⇔．此时p 既是q 的充分条件，又是q 的必要条件，我们说p 是q 充分必要条件，简称为充要条件．判断方法：通过判断“若p ，则q ”和它的逆命题“若q ，则p ”的真假，从而得出p 是q 的充要或充分不必要或必要不充分或既不充分也不必要条件．数学定义和充要条件的关系：数学定义给出了数学对象成立的充要条件，它是从充分性和必要性两个方面刻画数学对象的，它既是这个数学对象的判定定理又是性质定理．设计意图：通过梳理本节课的内容，让学生进一步明确充要条件的含义以及它在数学中的地位和价值．作业布置：教科书练习第1，2，3题；习题1.4第1到6题．（五）目标检测设计1．（2015浙江）设a ，b 是实数，则“0a b +>”是“0ab >”的（ ）A ．充分不必要条件B ．必要不充分条件C ．充要条件D ．既不充分也不必要条件设计意图：考查充要条件的判断方法．2．已知集合A ，B ，则“A ∩B =B ”的一个充分不必要条件是（ ）A ．A =∅B ．A ⊆BC ．B ⊆AD ．A =B设计意图：考查充分不必要条件的判断方法．3．求证：方程0322=+-x mx 有两个同号且不相等的实根的充要条件是310<<m ． 设计意图：考查充要条件的证明．参考答案：1．D 2．D3．证明：设p ：方程0322=+-x mx 有两个同号且不相等的实根；q ：310<<m ． （1）必要性（q p ⇒）：若方程0322=+-x mx 有两个同号且不相等的实根，设其两根为21,x x ，则⎪⎩⎪⎨⎧>=>-=,03,012421m x x m ∆解得310<<m ．（2）充分性（p q ⇒）：若310<<m ，则0124>-=m ∆，所以一元二次方程0322=+-x mx 有两个不相等的实根． 又因为310<<m ，所以,0321>=m x x 则方程0322=+-x mx 有两个同号且不相等的实根．。

1.2.1 充要条件1. 使学生正确理解充分条件、必要条件和充要条件三个概念．2. 能在判断、论证中灵活运用上述三个概念．教学重点：正确理解充分条件、必要条件和充要条件三个概念．教学难点：正确区分充分条件、必要条件．讲练结合导入问题：判断命题“如果x＝y，则x2＝y2”是否正确．师生一起感受命题推理．新课1．命题与推出．在数学中，我们经常遇到“如果p，则q”形式的命题，这种命题的真假要通过推理来判断．如果p真，证明q也为真，那么“如果p，则q”就是真命题．这时我们就说，由p可推出q．符号记作：p ⇒q，读作：“p推出q”．2．推出与充分、必要条件．p推出q，通常还可表述为p是q的充分条件；q是p的必要条件．这就是说，如果p，则q；(真)p ⇒q；p是q的充分条件；q是p的必要条件．这四句话表达的都是同一意义．例1 (1)“如果x＝y，则x2＝y2”(真)这个命题还可表述为哪几种形式？(2)“在△ABC中，如果AB＝AC，则∠B＝∠C”(真)这个命题还可表述为哪几种形式？解(1)“如果x＝y，则x2＝y2”(真)这个命题还可表述为x＝y⇒ x2＝y2；或x＝y 是x2＝y2 的充分条件；或x2＝y2 是x＝y 的必要条件．(2)“在△ABC中，如果AB＝AC，则∠B＝∠C”(真)这个命题还可表述为在△ABC中，AB＝AC⇒∠B＝∠C；或在△ABC中，AB＝AC是∠B＝∠C的充分条件；或在△ABC中，∠B＝∠C是AB＝AC的必要条件．练习1 教材P22 练习A组第1题．练习2教师写出四种等价说法中的一种，学生说出其他三种．3．充要条件．观察例1(2)“在△ABC中，如果AB＝AC，则∠B＝∠C”．反过来，“在△ABC 中，如果∠B＝∠C，则AB＝AC”这个命题是否正确？若正确，用刚学过的“推出符号”和充分、必要条件怎么叙述?引出充要条件的概念．如果p是q的充分条件(p ⇒q )，p又是q的必要条件(q⇒ p )，则称p是q的充分且必要条件，简称充要条件．记作p⇔q．显然，如果p是q的充要条件，那么q也是p的充要条件．又常说成q当且仅当p，或p与q等价．例如：两个三角形对应角相等是两个三角形相似的充要条件．4.综合练习．例2用充分条件、必要条件或充要条件填空：(1) x 是整数是x 是有理数的；(2) x＝3 是x2＝9的；(3) 同位角相等是两直线平行的；(4) (x－2)(x－3)＝0是x－2＝0的；练习3 教材P22，A组第2题．例3 已知p 是q 充分条件，s是r 必要条件，p 是s 充要条件．求q与r的关系．解根据已知可得p⇒ q，r⇒s，p⇔s．所以r⇒s ⇔ p ⇒q．所以r⇒q．即，r 是q 的充分条件，q 是r 的必要条件．练习4 用充分而不必要条件、必要而不充分条件、充要条件、既不充分也不必要条件填空：(1) a＝b 是a c＝b c 的；(2) 两个三角形全等是两个三角形相似的；(3) 四边形的对角线相等是四边形是矩形的；(4) a＋5是无理数是a 是无理数的．小结1. 前推后充分．2. 后推前必要．3. 互推充要．4. 不能推，既不充分又不必要．。

高中数学充要条件的教案
教学内容：充要条件在数学中的应用
教学目标：
1. 了解充要条件的概念及其在数学中的应用
2. 能够正确运用充要条件解题
3. 培养学生逻辑思维和推理能力
教学重点和难点：
重点：充要条件的概念和应用
难点：能够准确理解充要条件，并将其运用到实际问题中
教学准备：
1. 教师准备充要条件的概念讲解及相关例题
2. 准备教学用具、课件等辅助教学工具
教学步骤：
一、导入（5分钟）
教师引入充要条件概念，通过生活中的例子引发学生对充要条件的思考。

二、概念讲解（15分钟）
1. 讲解充要条件的定义和特点
2. 介绍充要条件在数学中的应用及相关定理
三、例题分析（20分钟）
通过一些具体的例题，让学生理解充要条件的运用方法，并引导他们进行讨论和分析。

四、练习训练（15分钟）
布置一些练习题目，让学生独立完成并相互交流讨论，并及时纠正错误。

五、总结（5分钟）
总结本节课的重点内容，强调充要条件在数学中的重要性，并鼓励学生加强实践训练。

六、作业布置
布置相关练习题目，并要求学生认真完成并及时交卷。

教学心得：
本节课通过实例讲解、分析解题方法等多种途径，让学生更容易理解和掌握充要条件的概念和应用方法。

通过丰富的练习和讨论，学生逐渐提高了解题的能力和逻辑推理能力。

希望学生能够在今后的学习中，善于灵活运用充要条件解决问题，提高数学学习的深度和广度。