P
C
E
G A 2 D 2 A 1 D 1
B 1
C 1
B 2
C 2
E N
C
D
经 典 难 题（一）
1、已知：如图，O 是半圆的圆心，C 、E 是圆上的两点，CD ⊥AB ，EF ⊥AB ，EG ⊥CO ． 求证：CD ＝GF ．（初二）
A
D
O
F
B
2、已知：如图，P 是正方形 ABCD 内点，∠PAD ＝∠PDA ＝150． 求证：△PBC 是正三角形．（初二） A
D
B
C
3、如图，已知四边形 ABCD 、A 1B 1C 1D 1 都是正方形，A 2、B 2、C 2、D 2 分别是 AA 1、BB 1、CC 1、DD 1 的中点． A D
求证：四边形 A 2B 2C 2D 2 是正方形．（初二）
B
C
4、已知：如图，在四边形 ABCD 中，AD ＝BC ，M 、N 分别是 AB 、CD 的中点，AD 、BC
的延长线交 MN 于 E 、F ． F
求证：∠DEN ＝∠F ．
A
M
B
· G
C P
E
C
O ·
B D
1、已知：△ABC 中，H 为垂心（各边高线的交点），O 为外心，且 OM ⊥BC 于 M ． （1） 求证：AH ＝2OM ； A （2） 若∠BAC ＝600，求证：AH ＝AO ．（初二）
2、设 MN 是圆 O 外一直线，过 O 作 OA ⊥MN 于 A ，自 A 引圆的两条直线，交圆于 B 、C 及 D 、E ，直线 EB 及 CD 分别交 MN 于 P 、Q ． 求证：AP ＝AQ ．（初二）
M
P
A
3、如果上题把直线 MN 由圆外平移至圆内，则由此可得以下命题：
设 MN 是圆 O 的弦，过 MN 的中点 A 任作两弦 BC 、DE ，设 CD 、EB 分别交 MN
于 P 、Q ．
求证：AP ＝AQ ．（初二）
4、如图，分别以△ABC 的 AC 和 BC 为一边，在△ABC 的外侧作正方形 ACDE 和正方
形 CBFG ，点 P 是 EF 的中点．
求证：点 P 到边 AB 的距离等于 AB 的一半．（初二） D
E
F
A
Q
B
O
· H E
B
M D
C
E C M P A · Q N O
D
F
B
C
B O D E
F
1、如图，四边形 ABCD 为正方形，DE ∥AC ，AE ＝AC ，AE 与 CD 相交于 F ． 求证：CE ＝CF ．（初二）
A
D
E
B
C
2、如图，四边形 ABCD 为正方形，DE ∥AC ，且 CE ＝CA ，直线 EC 交 DA 延长线于 F ．
求证：AE ＝AF ．（初二）
F
A D
E
3、设 P 是正方形 ABCD 一边 BC 上的任一点，PF ⊥AP ，CF 平分∠DCE ． 求证：PA ＝PF ．（初二） A D
A
B
P C E
4、如图，PC 切圆 O 于 C ，AC 为圆的直径，PEF 为圆的割线，AE 、AF 与直线 PO 相交 于 B 、D ．求证：AB ＝DC ，BC ＝AD ．（初三） A
P
C
P
1、已知：△ABC 是正三角形，P 是三角形内一点，PA ＝3，PB ＝4，PC ＝5． 求：∠APB 的度数．（初二）
A
B
C
2、设 P 是平行四边形 ABCD 内部的一点，且∠PBA ＝∠PDA ． 求证：∠PAB ＝∠PCB ．（初二）
A
D
B
C
3、Ptolemy （托勒密）定理：设 ABCD 为圆内接凸四边形，求证： AB ·CD ＋AD ·BC ＝AC ·BD ． （初三）
4、平行四边形 ABCD 中，设 E 、F 分别是 BC 、AB 上的一点，AE 与 CF 相交于 P ，且AE ＝CF ．求证：∠DPA ＝∠DPC ．（初二）
A D
F
P
B
C
P
A
D
B
C
3 P
P
E
D
P
经 典 难 题（五）
1、设 P 是边长为 1 的正△ABC 内任一点，l ＝PA ＋PB ＋PC ，求证： ≤L ＜2．
A
B
C
2、已知：P 是边长为 1 的正方形 ABCD 内的一点，求 PA ＋PB ＋PC 的最小值．
A D
B C
3、P 为正方形 ABCD 内的一点，并且 PA ＝a ，PB ＝2a ，PC ＝3a ，求正方形的边长．
A
D
B C
4、如图，△ABC 中，∠ABC ＝∠ACB ＝800，D 、E 分别是 AB 、AC 上的点， ∠DCA ＝300，∠EBA ＝200，求∠BED 的度数．
A
B C
