第一章 第四课时

1．下列命题中是全称命题并且是真命题的是( )A ．所有菱形的四条边都相等B ．若2x 为偶数，则x ∈NC ．若x ∈R ，则x 2＋2x ＋1>0D ．π是无理数答案：A2．对命题“∃x 0∈R ，x 20－2x 0＋4≤0”的否定正确的是( )A ．∃x 0∈R ，x 20－2x 0＋4>0B ．∀x ∈R ，x 2－2x ＋4≤0C ．∀x ∈R ，x 2－2x ＋4>0D ．∀x ∈R ，x 2－2x ＋4≥0答案：C3．(2011·高考北京卷)若p 是真命题，q 是假命题，则( )A ．p ∧q 是真命题B ．p ∨q 是假命题C ．綈p 是真命题D ．綈q 是真命题解析：选D.根据“且”“或”“非”命题的真假判定法则知D 正确．4．“至多四个”的否定为( )A ．至少有四个B ．至少有五个C ．有四个D ．有五个答案：B5．“p 或q ”为真命题是“p 且q ”为真命题的________条件．解析：若命题“p 或q ”为真命题，则p 、q 中至少有一个为真命题．若命题“p 且q ”为真命题，则p 、q 都为真命题，因此“p 或q ”为真命题是“p 且q ”为真命题的必要不充分条件．答案：必要不充分1．(2012·广州调研)已知命题p ：∀x ∈R ，sin x ≤1，则( )A ．綈p ：∃x ∈R ，sin x ≥1B ．綈p ：∀x ∈R ，sin x ≥1C ．綈p ：∃x ∈R ，sin x ＞1D ．綈p ：∀x ∈R ，sin x ＞1解析：选C.命题中“∀”与“∃”相对， 綈p 只否定命题的结论，故选C.2．(2010·高考湖南卷)下列命题中的假命题是( )A ．∃x ∈R ，lg x ＝0B ．∃x ∈R ，tan x ＝1C ．∀x ∈R ，x 3>0D ．∀x ∈R,2x >0解析：选C.对于A ，当x ＝1时，lg x ＝0，正确；对于B ，当x ＝π4时，tan x ＝1，正确；对于C ，当x <0时，x 3<0，错误；对于D ，∀x ∈R,2x >0，正确．3．下列理解错误的是( )A ．命题“3≤3”是p 且q 形式的复合命题，其中p ：3<3，q ：3＝3.所以“3≤3”是假命题B ．“2是偶质数”是一个p 且q 形式的复合命题，其中p ：2是偶数，q ：2是质数C ．“不等式|x |<－1无实数解”的否定形式是“不等式|x |<－1有实数解”D ．“2013>2012或2012>2013”是真命题答案：A4．(2010·高考天津卷)下列命题中，真命题是( )A ．∃m ∈R ，使函数f (x )＝x 2＋mx (x ∈R )是偶函数B ．∃m ∈R ，使函数f (x )＝x 2＋mx (x ∈R )是奇函数C ．∀m ∈R ，函数f (x )＝x 2＋mx (x ∈R )都是偶函数D ．∀m ∈R ，函数f (x )＝x 2＋mx (x ∈R )都是奇函数解析：选A.对于选项A ，∃m ∈R ，即当m ＝0时，f (x )＝x 2＋mx ＝x 2是偶函数．故A 正确．5．在“綈p ”，“p ∧q ”，“p ∨q ”形式的命题中，“p ∨q ”为真，“p ∧q ”为假，“綈p ”为真，那么p ，q 的真假为p ________，q ________.解析：∵“p ∨q ”为真，∴p ，q 至少有一个为真．又“p ∧q ”为假，∴p ，q 一个为假，一个为真．而“綈p ”为真，∴p 为假，q 为真．答案：假 真6．给定下列几个命题：①“x ＝π6”是“sin x ＝12”的充分不必要条件； ②若“p ∨q ”为真，则“p ∧q ”为真；③等底等高的三角形是全等三角形的逆命题．其中为真命题的是________．(填上所有正确命题的序号)解析：①中，若x ＝π6，则sin x ＝12，但sin x ＝12时，x ＝π6＋2k π或5π6＋2k π(k ∈Z )．故“x ＝π6”是“sin x ＝12”的充分不必要条件，故①为真命题；②中，令p 为假命题，q 为真命题，有“p ∨q ”为真命题，而“p ∧q ”为假命题，故②为假命题；③为真命题．答案：①③7．写出下列命题的否定，并判断其真假．(1)q ：所有的正方形都是矩形；(2)r ：∃x ∈R ，x 2＋2x ＋2≤0.解：(1)綈q ：至少存在一个正方形不是矩形，是假命题．(2)綈r ：∀x ∈R ，x 2＋2x ＋2>0，是真命题．1．(2012·东莞质检)下面说法正确的是( )A ．命题“∃x ∈R ，使得x 2＋5x ＋2≥0”的否定是“∀x ∈R ，使得x 2＋5x ＋2≥0”B ．实数x ＞y 是1x ＜1y成立的充要条件 C ．设p 、q 为简单命题，若“p ∨q ”为假命题，则“綈p ∨綈q ”也为假命题D ．命题“若x 2－3x ＋2＝0则x ＝1”的逆否命题为假命题答案：D2．下列说法错误的是( )A ．命题“若x 2－3x ＋2＝0，则x ＝1”的逆否命题为：“若x ≠1，则x 2－3x ＋2≠0”B ．“x >1”是“|x |>1”的充分不必要条件C ．若p 且q 为假命题，则p 、q 均为假命题D ．命题p ：“∃x 0∈R ，使得x 20＋x 0＋1<0”，则綈p ：“∀x ∈R ，均有x 2＋x ＋1≥0”解析：选C.若“p 且q ”为假命题，则p 、q 中至少有一个是假命题，而不是p 、q 均为假命题．故C 错．3．命题“∀x ∈R ，∃m ∈Z ，m 2－m ＜x 2＋x ＋1”是________命题．(填“真”或“假”)解析：由于∀x ∈R ，x 2＋x ＋1＝(x ＋12)2＋34≥34，因此只需m 2－m <34，即－12<m <32，所以当m ＝0或m ＝1时，∀x ∈R ，m 2－m ＜x 2＋x ＋1成立，因此命题是真命题．答案：真4．已知命题p ：∃x ∈R ，cos x ＝54；命题q ：∀x ∈R ，x 2－x ＋1＞0.则下列结论正确的有________．①命题p ∧q 是真命题 ②命题p ∧(綈q )真命题③命题(綈p )∧q 是真命题 ④命题(綈p )∨(綈q )是假命题答案：③5．已知命题p ：方程2x 2－2 6x ＋3＝0的两根都是实数，q ：方程2x 2－2 6x ＋3＝0的两根不相等，试写出由这组命题构成的“p 或q ”、“p 且q ”、“非p ”形式的复合命题，并指出其真假．解：“p 或q ”的形式：方程2x 2－2 6x ＋3＝0的两根都是实数或不相等．“p 且q ”的形式：方程2x 2－2 6x ＋3＝0的两根都是实数且不相等．“非p ”的形式：方程2x 2－2 6x ＋3＝0无实根．∵Δ＝24－24＝0，∴方程有两相等的实根．∵p 真，q 假，∴“p 或q ”真，“p 且q ”假，“非p ”假．6．(2012·金山联考)已知命题p ：x <－6，或x >1，命题q ：5x －6>ax 2，(a 为常数)(1)写出原命题“若p ：x < －6或x >1，则q ：5x －6>ax 2”的逆否命题．(2)若p ⇔q ，则实数a 应满足什么条件？解：(1)命题“若p ，则q ”的逆否命题为若綈q ：5x －6≤ax 2，则綈p ：－6≤x ≤1.(2)∵ p ⇔q ，∴{x |x ＜－6或x ＞1}＝{x |5x －6＞ax 2}，即不等式ax 2－5x ＋6＜0的解集为{x |x ＜－6或x ＞1}，故方程ax 2－5x ＋6＝0有两根－6,1.⎩⎪⎨⎪⎧ Δ＝(－5)2－4a ×6＞0a (－6)2－5×(－6)＋6＝0⇒a ＝－1a －5×1＋6＝0，故实数a 应满足a ＝－1.。