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正方形的判定PPT课件

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正方形判定PPT教学课件

正方形判定PPT教学课件


基础知识回 顾
温馨点拨
八大行星按其质量、体积、密度等不同， 分为三类：类地行星(水星、金星、地球、火星)、 巨行星(木星、土星)、远日行星(天王星、海王 星)。同时八大行星具有相同的运动特征，即共 面性(公转轨道几乎在同一平面内)、同向性(都自 西向东绕太阳公转)、近圆性(公转轨道都接近正 圆)。
在数学的天地里，重要的不是我们知道什么， 而是我们怎么知道。
——毕达哥拉斯
正方形是特殊的平行四 边形，也是特殊的矩形，也 是特殊的菱形。
正方形的性质=
正方形的判定
你觉得什么样的四 边形是正方形呢?
1、要使一个菱形成为正方形需 增加的条件是 （填上一个条件即可）
2、要使一个矩形成为正方形需 添加的条件是
能量分布：约50%集中于可见光 波段
基础知识回 顾
2.太阳辐射对地球的影响
（1）太阳辐射经植物的 （2）太阳辐射是地球
生物化学 作用，可转化成有机物中的 的主要能源。
。
生物化学能
大气运动、水循环
基础知识回 顾
四、太阳活动与地球
1．太阳活动
(1)概念：太阳释放能量的 所导致的一些明显现象。
(2)类型：
基础知识回 顾
3．地月系
(1)概念：地球与其卫星 (2)特点：月球自转的 与其公转完全一样。
组成的天体系统。 和
月球
方向 周期
基础知识回 顾
二、普通而特殊的行星——地球 1．地球的普通性与特殊性
普通性
就外观和所处的位置而言，地球是太 阳系行星中一颗普通的行星
特殊性
地球是目前所知道的唯一存在高级智 慧生命—— 人类的天体
太阳 太阳 活动 大气
特征
对地球影响
正方形的性质与判定ppt课件

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A
D
P
B
C
巩固训练
3. 如图，A，B，C，D四家工厂分别坐落在正方形城镇的四个角上．仓 库P和Q分别位于AD和DC上，且PD= QC．证明两条直路BP=AQ且 BP⊥AQ．
巩固训练
4.在一个正方形的花坛上，欲修建两条直的小路，使得两条直的小 路将花坛分成大小、形状完全相同的四部分（不考虑道路的宽 度）．你有几种方法？（至少说出三种）
如图所示即为所求（答案不唯一）.
BD 相交于点 O.
求证：AO = BO = CO = DO，AC⊥BD.
A
D
O
B
C
任务二
正方形的性质
定理 正方形的四个角都是直角，四条边相等. 定理 正方形的对角线相等且互相垂直平分.
平行四边形、矩形、菱形、正方形之间的关系：
韦恩图：
四边形 平行四边形
菱形 正方形 矩形
巩固训练
根据图形所具有的性质，在下表相应的空格中打“√”.
性质\图形
平行四边形 矩形 菱形 正方形
对边平行且相等 边
四边相等
√
√√ √
√√
角
四个角都是直角
对角线相互平分
√
对 角
对角线相互垂直
线
对角线相等
每条对角线平分一组对角
√
√
√√ √
√√
√
√
√√
巩固训练
例1 如图，在正方形 ABCD 中，E 为 CD 上一点，F 为 BC 边延长线 上一点，且 CE = CF. BE 与 DF 之间有怎样的关系？请说明理由.
A
D
E
B
CF
小结
正方形 的性质
定义 性质
正方形的性质与判定ppt课件

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①有一组邻边相等的矩形是正方形 ②对角线互相垂直的矩形是正方形 ③有一个角是直角的菱形是正方形 ④对角线互相垂直的矩形是正方形
归纳总结
2. 四边形的中点四边形与原四边形的对角线有关
(1)当对角线不相等不垂直时，中点四边形是平行四边形 (2)当对角线相等时，中点四边形是菱形 (3)当对角线垂直时，中点四边形是矩形 (4)当对角线垂直且相等时，中点四边形是正方形
D
结论1 有一组邻边相等的矩形是正方形
几何语言： ∵ 四边形ABCD是矩形， ∴ AB四=B边C形ABCD是正方形
O
B
C
结论2 对角线互相垂直的矩形是正方形
几何语言： ∵ 四边形ABCD是矩形，AC⊥BD ∴ 四边形ABCD是正方形
探究一：正方形的判定
D
问题2：满足怎样条件的菱形是正方形？ A
结论3 有一个角是直角的菱形是正方形
第一章 特殊平行四边形
1.3.2 正方形的性质与判定 第二课时
温故知新
菱形
平行四边形
① 有一组邻边相等 ②对角线互相垂直
矩形
①有一个角是直角 ②对角线相等
探索新知
如图，将一张长方形纸对折两次，然后剪下一个角，打开， 怎样剪才能剪出一个正方形？
探究一：正方形的判定
A
问题1：满足怎样条件的矩形是正方形？
B
E
C
基础练习
3. 如图，在平面直角坐标系中，四边形ABCD的顶点坐标分别是
A(－2，0)，B(0，－2)，C(2，0)，D(0，2).
求证：四边形ABCD是正方形.
y D(0，2)
A(－2，0)
C(2，0) x
B(0，－2)
能力提升
1. 在▱ABCD中，对角线AC与BD相交于点O，要使四边形ABCD是 正方形，还需添加一组条件. 下面给出了五组条件： ①AB=AD，且AC=BD；②AB⊥AD，且AC⊥BD； ③AB⊥AD，且AB=AD；④AB=BD，且AB⊥BD； ⑤OB=OC，且OB⊥OC. 其中符合条件的有
正方形的判定ppt课件

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2. 选做题： 课本25页习题1.8第4题.
3.放飞题： 画一张思维导图，呈现本章节知识点
第一章《特殊的平行四边形》
1.3.2 正方形的判定
温故知新
1.菱形、矩形的判定
菱形
平行四边形
矩形
温故知新
2.正方形的定义及性质
正方形 有一个角是直角且一组邻边相等的平行四边形叫做
一个角是直角 平行四边形 且一组邻边相等
正方形
正方形的性质
边
正方形的对边平行且相等
角 正方形的四个角都是直角
正方形的两条对角线互相垂直平分且相等,
正方形、矩形、菱形以及平行四边形四者之间的关系：
(1)
平行四边形
矩 形
正 方 形
菱 形
(3)
有一组邻边相等且有一个角是直角
(4)
(2)
如图，在矩形ABCD中，BE平分∠ABC，CE平分∠DCB， BF∥CE，CF∥BE.求证：四边形BECF是正方形.
证明：∵BF∥CE，CF∥BE ∴四边形BECF是平行四边形
通过本节课的学习，你觉得正方形主要有哪些判定途径呢？
判定正方形的两条主要途径：
(1)
+
一组邻边相等
或对角线互相垂
直
先判定矩形
菱形条件
正方形
(2)
+ 一个直角 或对角线相等
先判定菱形
矩形条件
正方形
【佳作欣赏】
【佳作欣赏】
【佳作欣赏】
【学习巩固】
1. 必做题： 课本25页习题1.8第1、2、3题.
问题3：满足怎样条件的菱形是正方形？
菱形
一个角是直角 正方 或对角线相等 形
正方形的判定方法：
1.3 课时2 正方形的判定 课件 (共29张PPT) 数学北师版九年级上册

1.3 课时2 正方形的判定 课件 (共29张PPT) 数学北师版九年级上册

例2.已知：如图，在矩形 ABCD 中，BE 平分∠ABC，CE 平分∠DCB，BF∥CE，CF∥BE，求证：四边形 BECF 是正方形.
45°
45°
证明: ∵ BF∥CE,CF∥BE， ∴四边形BECF是平行四边形. ∵四边形ABCD是矩形, ∴ ∠ABC=90°, ∠DCB=90°, ∵BE平分∠ABC, CE平分∠DCB, ∴∠EBC=45°, ∠ECB=45°，∴ ∠EBC=∠ECB . ∴ EB=EC,∴□BECF是菱形 . 在△EBC中 ∵∠EBC=45°,∠ECB=45°, ∴∠BEC=90°,∴菱形BECF是正方形.
对角线相等
正方形
定理3：有一个角是直角的菱形是正方形.
已知：ABCD是菱形，∠A=90°，试证明，ABCD是正方形.
证明：∵ABCD 是菱形，∴ AB = BC = CD = DA，又∵∠A = 90° ，∴ABCD 是正方形（正方形的定义）.
已知：如图,在菱形ABCD中,AC , DB是它的两条对角线, AC=DB. 求证：四边形ABCD是正方形.证明：∵四边形ABCD是菱形,∴AB=BC=CD=AD,AC⊥DB.∵AC=DB,∴ AO=BO=CO=DO,∴△AOD,△AOB,△COD,△BOC是等腰直角三角形，∴∠DAB=∠ABC=∠BCD=∠ADC=90°,∴四边形ABCD是正方形.
∴四边形 EFGH 为平行四边形.又∵四边形 ABCD是矩形∴AC=BD（矩形的对角线相等），∴EF=EH∴四边形 EFGH 是菱形（菱形的定义）
决定中点四边形 EFGH 的形状的主要因素是原四边形 ABCD 的对角线的长度和位置关系。
原四边形对角线关系
不相等、不垂直
相等
垂直
相等且垂直
中点四边形形状
2正方形的判定课件1

2正方形的判定课件1


学
基本思路就是证明这个四边形既是菱形又是矩形,从而
练
得到这个四边形是正方形。
在四边形ABCD中，O是对角线的交点，能判定 这个四边形是正方形的是（C ）
A．AC=BD，AB∥CD，AB=CD
B．AD∥BC，∠A=∠C
倍 C．AO=BO=CO=DO，AC⊥BD
速
课 时
D．AO=CO，BO=DO，AB=BC
证明： ∵请A大O＝家CO先,BO根＝据DO题意， ∴∴平四行边四形画边A出B形CAD图B是C形平D是行然矩四形后边形写又出AC已＝BD 又∴平∵A行C四知⊥边B、形D A求BC证D是. 菱形，
倍 即四边形ABCD是正方形
速 课
解题小结：正方形即是特殊的矩形，又是特殊的菱形。
时
它没有明确的判定定理，要判定一个四边形是正方形，
D
E
２
G
BF
C
矩形ABCD中，四个内角的平分线组成四边形EMFN.判 断四边形EMFN的形状,并说明原因.
A
D
N
倍
E
F
速
课
时 学
B
M
C
练
学
练
如图，四边形ＡＢＣＤ是正方 Ａ Ｈ Ｄ
形，Ｅ、Ｆ、Ｇ、Ｈ分别是四 边的中点。你知道四边形EFGH
Ｅ
Ｇ
的形状吗？为什么？
Ｂ ＦＣ
倍 速 课 时 学 练
在正方形ABCD中，点E、F、 G、H分别在各边上，且 AE=BF=CG=DH．四边形EFGH 是正方形吗?为什么?
倍 速 课 时 学 练
A
H
３１
∴ DE＝DF（角平分线上的点到角的两边 距离相等）．
∵ ∠DEC＝∠ECF＝∠CFD＝90°，
18.2.3正方形 正方形的判定(教学课件)-人教版数学八年级下册

18.2.3正方形 正方形的判定(教学课件)-人教版数学八年级下册


探究点
正方形的判定
归纳总结：
（1）四条边相等、四个角都是直角的四边形是正方形 从四边形出发
（2）对角线互相垂直平分且相等的四边形是正方形 （1）有一组邻边相等并且有一个角是直角的平行四边 从平行四边形 形是正方形 出发 （2）对角线互相垂直且相等的平行四边形是正方形 从矩形出发 对角线互相垂直的矩形是正方形 从菱形出发 对角线相等的菱形是正方形
A
D
∴AB=BC=CD=DA，∠A=∠C,∠B=∠D.
又∠A=90°,
ቤተ መጻሕፍቲ ባይዱ
B
C
∴易得∠A=∠B=∠C=∠D=90°.
∴四边形ABCD是正方形.
归纳总结：有一个角是直角的菱形是正方形
探究点
正方形的判定
在上面的证明过程中,是分别从矩形、菱形出 发,添加边或角的条件后得到正方形,那么还有没 有通过添加边、角、对角线的条件可以得到其他 判定正方形的方法呢? 大家想一想．
课堂总结
知识结构
四边形
平行四边形
正 矩形 方 菱形
形
课堂总结
知识结构
课堂总结
1. 教材P62习题18.2第13题.
课后作业
1. 如图，E,F,M,N 分别是正方形ABCD四条边上的
点，且AE=BF=CM=DN,试判断四边形EFMN是什么
图形，并证明你的结论. 【选自教材P62，习题18.2第13题】
把能活动的菱形木框的一个角变为直角(如图),
能否得到正方形?
探究点
正方形的判定
2. 有一个角是直角的菱形是正方形
正方形
可以看到,这个变化过程中只要改变菱形的一 个角,就能得到正方形．
下面我们进行证明:
探究点
正方形的判定PPT教学课件

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最先开辟新航路，进行殖民扩张和掠夺，实力强大。
衰落：
1588年，西班牙的“无敌舰队”被英国打败，从此丧失 海上霸主地位。
原因：葡萄牙人和西班牙人获得的大量财富，在欧洲大量采
购商品，金银流入欧洲其他国家，没有在本国转化为资本原 始积累。
新航路开辟后,贸易中心发生了哪些变化? 由地中海转移到大西洋沿岸
• 如图，在Rt△ABC中，∠ACB=90°,CD平 分∠ACB，DE⊥AC，DF⊥BC，垂足分别 为E、F，试说明四边形DECF是正方形.
A
E
D
C
F
B
合作交流
• 如图，在△ABC中，AB＝AC，D是BC的中 点，DE⊥AB，DF⊥AC，垂足分别为E、F.
• (1)求证：DE＝DF；
• (2)只添加一个条件:
（3）资本主义原始积累的过程是一个血腥的掠夺过程， 资本主义的每一步发展都同残酷的殖民掠夺密不可分。
问答题： 英国世界殖民霸权地位是怎样确立的？
1588年，英国打败了西班牙的“无敌舰队”，开始树立海上霸权
17世纪，英国在印度和北美建立殖民地。
17世纪下半期，英国通过三次英荷战争打败了欧洲强国荷兰， 夺取了荷兰在北美的殖民地新尼德兰，荷兰从此丧失了海上 殖民强国的地位。
洲 “ 换
口 载 上
出 程
取 ” 奴 隶
廉 货 物 到 非
从 欧 洲 港
非洲
三、世界市场的拓展
伴随着殖民活动的进行，世界市场体系进一 步形成。在这一过程中，殖民主义有哪些 罪恶？（早期殖民扩张形式） 垄断贸易 抢掠财物 灭绝种族 贩卖黑奴
评价殖历史民活主动的义基的本标后准果、方法 是否推动历史的进步 一分为二、分清主次
初中数学九年级 上册
正方形的性质与判定 优质完整ppt课件

正方形的性质与判定 优质完整ppt课件


（8）菱形一定是正方形．（ ）
（9）矩形一定是正方形．（ ）
(10) 正 方 形 、 矩 形 、 菱 形 都 是 平 行 四 边
形．
（√ ）
（12）正方形是轴对称图形,一共有2条对称轴( )
(13)四个角都相等的四边形是正方形 ( ) (14)四条边都相等的四边形是正方形 ( )
精选ppt课件2021
中心对称 既是中心对 既是中心对
图形
称图形又是 称图形又是
轴对称图形 轴对称图形
精选ppt课件2021
既是中心对 称图形又是 轴对称图形
29
边: 对边平行 四边相等
角 ：四个角都是直角
对角线：相等 互相垂直平分 每条对角线平分一组对角。
图形的对称性：既是轴对称图形, 又是中心对称图形.
精选ppt课件2021
性质 图形 平行四
分类
边形
矩形 (所特有)
菱形 (所特有)
正方形
边 对边平行
且相等
四条边相等
对边平行且 四条边相等
角
对角相等
四个角都 是直角
四个角都 是直角
对角线互
对角线 相平分
对角线 相等
对角线互相 垂直，每条 对角线平分 一组对角
对角线相等且互 相垂直平分，每 条对角线平分一 组对角
图形的 对称性
(2)对角线互相垂直且相等的四边形是正方形（ ）
(3)如果一个菱形的对角线相等，那么它一定
是正方形 （ √ ）
(4)如果一个矩形的对角线互相垂直，那么它
一定是正方形 （ √ ）
(5)四条边相等，且有一个角是直角的四边形
是正方形（ √ ）
× × ×
× ×
（6）正方形一定是矩形．（√ ）
八年级数学19.3-6正方形的判定ppt课件

八年级数学19.3-6正方形的判定ppt课件


一个角是直角且一组邻边相等
判断对错
1. 四边相等的四边形是正方形
2．四角相等的四边形是正方形
3．对角线垂直的平行四边形是正方形 4．对角线互相垂直平分且相等的四边形 是正方形 5．四条边相等且有一个角是直角的四边 形是正方形
1、正方形具有而菱形不一定具有的性质是（ D） （A）四条边相等 （B）对角线互相垂直平分 （C）对角线平分一组对角 （D）对角线相等 2、正方形具有而矩形不一定具有的性质是（ B） （A）四个角相等 （B）对角线互相垂直平分 （C）对角线相等 （D）对角互补 3、如图：正方形ABCD的周长为15cm，则矩形EFCG的周长 A D 为 7.5 cm。
A
N
E M F
D
B
C
:2、已知：如图矩形ABCD,对角线 AC、BD相交于点O，AE平分∠BAD交 BC于点E，连接OE，若∠EAO=150， 求∠BOE的度数。
A O
B C D
E
3、如图，正方形ABCD的边长为8， M在DC上，且DM=2，N是AC上一个动 点，求DN+MN的最小值。
A
N D M
在数学的天地里，重要的不是我们知道什么， 而是我们怎么知道。 ——毕达哥拉斯
矩形
两组 对边 四边形
分别 平行
平行四 边形 菱 形
• 什么样的四边形叫做正方形呢？
1、 有一组邻边相等的矩形叫做正方形 2、 有一个角是直角的菱形叫做正方形 3、 有一组邻边相等且一个角是直角的
平行四边形叫做正方形
正方形是特殊的平行四 边形，也是特殊的矩形，也 是特殊的菱形。 正方形的性质=
Ａ Ｄ
Ａ`
D 1如图，在Rt△ABC中，∠ACB=90°,CD 平分∠ACB，DE⊥AC，DF⊥BC，垂足分 别为E、F，试说明四边形DECF是正方形.
3.正方形的性质与判定第2课时 正方形的判定PPT课件(北师大版)

3.正方形的性质与判定第2课时 正方形的判定PPT课件(北师大版)

证明：∵DE⊥BC，DF⊥AC，∠ACB＝90° ∴∠CFD＝∠DEC＝∠FCE＝90° ∴四边形CFDE是矩形 又∵CD平分∠ACB，DF⊥AC，DE⊥BC ∴DF＝DE，∴矩形CFD松过招
第二招
3．在△ABC中，AB＝AC，∠A＝90°，D、E、F分 别是BC、AB、AC边上的中点． 求证：四边形AEDF是正方形．
第2课时 正方形的判定
新知导航
知识点3：四边相等且有1个角是直角 【例3】已知，如图，在△ABC中，∠ACB＝90°，CD是∠ACB 的平分线，CD的垂直平分线分别交AC，CD，BC于点E，O，F. 求证：四边形CEDF是正方形．
证明：∵CD的垂直平分线分别交AC，CD， BC于点E，O，F，∴EC＝ED，FC＝FD， ∵∠ACB＝90°，CD平分∠ACB， ∴∠ACD＝∠BCD＝45°，又CD⊥EF ∴△CEF为等腰直角三角形，∴CE＝CF ∴ED＝EC＝CF＝FD，∴四边形CEDF为菱形， ∵∠ACB＝90°，∴四边形CEDF为正方形．
证明：如图，过点D作DN⊥AB于点N， ∵∠C＝90°，DE⊥BC于点E，DF⊥AC于点F， ∴∠C＝∠DEC＝∠DFC＝90°，∴四边形CFDE是矩形， ∵∠A、∠B的平分线交于点D，DE⊥BC于点E，DF⊥AC于 点F，DN⊥AB于点N， ∴DE＝DN，DN＝DF，∴DF＝DE， ∴矩形CFDE是正方形．
证明：∵D，E，F分别是BC，
AB，AC的中点．∴AE∥DF，DE∥AF
∵∠BAC＝90°，∴四边形AEDF是矩形
∵D，E，F分别是BC，AB，AC的中点
∴DE＝12
AC，DF＝
1 2
AB
又AB＝AC，∴DE＝DF.∴矩形AEDF是正方形．
第2课时 正方形的判定

正方形的性质与判定-ppt课件

∵AF＝5，∴在 Rt△ABF 中，BF＝ AF2－AB2＝
52－42＝3.∵点 F 为 BC 的中点，∴BC＝2BF＝6.
∴在 Rt△BCE 中，CE＝ BC2＋BE2＝ 62＋22＝2 10.
感悟新知
(2)若AF=CE，求证：四边形ABCD 是正方形.
知3－练
证明：在 Rt△ABF 中，AF2＝AB2＋BF2，
∴四边形ACED 是正方形(正方形的定义).
感悟新知
知3－练
3-1. 如图， 在矩形ABCD 中，点E，F 分别是AB，BC 的
中点，连接AF，CE.
感悟新知
知3－练
(1)若AE=2，AF=5，求CE 的长；
解：∵四边形 ABCD 是矩形，∴∠B＝90°.
∵点 E 为 AB 的中点，AE＝2，∴AB＝4，BE＝2.
数学表达式
∵在ABCD 中，AB=BC(或
AB=AD 或BC=CD 或
AD=CD)，且∠ A=90°(或
∠ B=90°或∠ C=90°或
∠ D=90°)，∴ ABCD 是
正方形
感悟新知
知1－讲
2. 图解
感悟新知
知1－讲
3. 四边形、平行四边形、菱形、矩形、正方形间的关系
感悟新知
知1－讲
特别提醒
2
四边形A2 024B2 024C2 024D2 024 的面
3
积为______ ．
22 022
课堂小结
正方形的性质与判定
性质
正
方
形
正方形的面积公式
一组邻边相等
特殊的矩形
对角线互相垂直
一个角是直角
判定
特殊的菱形
对角线相等
∴四边形 ABCD 是正方形．

正方形的性质与判定完整ppt课件

A B
D C
病原体侵入机体，消弱机体防御机能 ，破坏 机体内 环境的 相对稳 定性， 且在一 定部位 生长繁 殖，引 起不同 程度的 病理生 理过程
A
D
B
C
病原体侵入机体，消弱机体防御机能 ，破坏 机体内 环境的 相对稳 定性， 且在一 定部位 生长繁 殖，引 起不同 程度的 病理生 理过程
A
D
病原体侵入机体，消弱机体防御机能 ，破坏 机体内 环境的 相对稳 定性， 且在一 定部位 生长繁 殖，引 起不同 程度的 病理生 理过程
拓展讨论:
正方形对角线把正方形分成多少个等腰直角三角形？
A
D
O
B
C
结论：
分成八个等腰直角三角形，分别是△ABC、 △ADC、 △ABD、 △BCD ； △AOB、 △BOC、 △COD、 △DOA.
。
A
B
O
D
C
病原体侵入机体，消弱机体防御机能 ，破坏 机体内 环境的 相对稳 定性， 且在一 定部位 生长繁 殖，引 起不同 程度的 病理生 理过程
12.正已方知形正具方有形而的菱一形条不边一长定为具2c有m的,则性这质个是正（方形C）的
周长A为.对8角c线m,对互角相线垂长直为B.对2角,面线2积c互m为相平分. 4cm2
性质 图形 平行四
分类
边形
矩形 (所特有)
菱形 (所特有)
正方形
边 对边平行
且相等
四条边相等
对边平行且 四条边相等
角
对角相等
四个角都 是直角
四个角都 是直角
对角线互
对角线 相平分
对角线 相等
对角线互相 垂直，每条 对角线平分 一组对角
对角线相等且互 相垂直平分，每 条对角线平分一 组对角

1.3.2正方形的判定 课件(共19张PPT)

的中点.求证:四边形 EFGH 为菱形.
证明:∵四边形 ABCD 为矩形,∴AB
DC,AD
BC,∠B=∠A.
又∵E,F,G,H 分别为AB,BC,CD,AD的中点,

∴AH=BF= AD,AE=BE.∴△AEH≌△BEF,

∴EH=EF.同理,EH=HG,HG=FG,∴EH=EF=FG=HG,
∴四边形EFGH为菱形.
第2课时
正方形的判定
1.通过阅读课本，掌握正方形的判定定理，会运用平行四边形、矩
形、菱形、正方形的判定方法进行有关的证明和计算，发展学生
演绎推理的能力.
2.经历探究正方形的判定定理的过程，发展学生主动探究的学习习
惯、综合推理的能力，逐步掌握说理的基本方法，培养积极探索、
勇于创新的精神，以及推陈出新的创新能力.
∵AC⊥EF,∴四边形AECF是菱形.∵AE⊥AF,∴∠EAF=90°,
∴四边形 AECF是正方形.
典例精讲 【题型三】根据正方形的性质与判定求线段的长度
例5: 如图,在矩形纸片 ABCD 中,AB=6cm,BC=9cm.现将其沿 AE
折叠,使得点 B落在边AD 上的点 F 处,折痕与边 BC 交于点 E,则
对角线相等的菱形是正方形)
小组讨论（4min）
①猜想:菱形的中点四边形会是什么形状?（菱形的中点四边形是矩形）
②猜想:矩形的中点四边形会是什么形状?（矩形的中点四边形是菱形）
请尝试证明这两个猜想.
【证明 】①已知：如图①，四边形ABCD是菱形,点 E,F,G,H分
别是 AB,BC,CD,AD的中点.求证：四边形 EFGH为矩形.
(3)若原四边形的对角线垂直且相等，则新四边形是正方形.

正方形的判定课件


∴四边形A`B`C`D`是正方形。
平行四边形、矩形、菱形、正方形的判定小结
5种识 别方法
一个角是直角且一组邻边相等
课堂小结
1、本节课我们学习了什么？
正方形的判定
1、定义法 2、矩形菱形法 3、对角线法
特殊的平行四边形的判定小结
2、你有什么收获？说出来与大家分享。
4.下列图形中既是中心对称又是轴对称的是
③④⑤ （把序号填在横线上）①等边三角形，②平行
四边形，③矩形，④线段，⑤菱形，⑥角。
正方形的定义：
正 有一组邻边相等，并且有一个角是直角的平行四边形叫做 方形。
一个角是直角
平行四边形
一组邻边相等
正方形
正方形的性质
结论：1.有 2.有
边----
一组邻边相等 的矩形是正方形
一个角是直角的菱形是正方形
对边平行，四边相等 A
角---- ４个角都是直角 对角线---- 相等、垂直且互相平分，B
每一条对角线平分一组对角
对称性---- 既是中心对称图形，
又是轴对称图形
D O
C
1.根据图形所具有的性质,在下表相应的空格中打 ”√”
对边平行且相 等
四边都相等
四个角都是直 角
对角线互相平 分
∴D`A=A`B=B`C=C`D。 ∵∠A=∠B=∠C=∠D=90°， ∴△AA`D`≌△BB`A`≌△CC`B`≌△DD`C`， A`D`=A`B`=B`C`=C`D`。 ∴四边形A`B`C`D`是菱形。 又∵∠AD`A`=∠BA`B`， ∠ AA`D`+∠AD`A`=90°， ∴ ∠AA`D`+∠BA`B`=90 °。 ∵∠D`A`B`=180°—（∠AA`D`+∠BA`B`）=90°，

正方形的性质与判定ppt课件

北师大版九年级数学
第一章 特殊平行四边形
第3节 正方形的性质与判定
情境引入
情景引入
将一张长方形纸对折两次，然后剪下一个 角，打开，怎样剪才能剪出一个正方形？
情景引入
正方形的判定定理： 1.对角线相等的菱形是正方形。 2.对角线垂直的矩形是正方形。 3.有一个角是直角的菱形是正方形。
情景引入
运用巩固
位置关系 垂直
对称性 有
合作学习
第二类图形就是正方形，我们给出定义： 有一组邻边相等的矩形叫做正方形.
议一议： （1）正方形是菱形吗? （2）你认为正方形有哪些性质？
从我们得到数据分析：正方形既是矩形 又是菱形，它具有矩形和菱形的所有性质.
请同学们参照下表或独立整理矩形菱形
的性质. 矩形 性质
菱形 性质
么特征？
H
F
C G D
第三环节 猜想结论，分组验证
如果四边形ABCD变为特殊的四边形，中点四边 形EFGH会有怎样的变化呢？
原四边形可以是：
平行四边形
矩形
菱形
正方形
等腰梯形
直角梯形
梯形
第三环节 猜想结论，分组验证
特殊四边形的中点四边形：

平行四边形的中点四边形是平行四边形
矩形的中点四边形是菱形
菱形的中点四边形是矩形
想一想： 正方形有几条对称轴
解析： 正方形有4条对称轴. 经验层面：可通过折叠. 分析层面：正方形具有矩形、菱形的 所有性质，所以必然具有矩形过每组 对边中点的对称轴和菱形过对角线的 对称轴.
性质应用
例1：如图1-18，在正方形ABCD中，E为CD 上一点，F为BC边延长线上一点，且 CE=CF.BE与DF之间有怎样的关系？请说 明理由.
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又∵AB=BC,∴AB=BC=CD=AD
∴四边形ABCD是正方形.
正方形的判定方法3
有一个角是直角的菱形是正方形.
已知:四边形ABCD是菱形,∠A=900.
求证:四边形ABCD是正方形. 分析:要证明四边形ABCD是正方形,可 转化为证明有一组邻边相等的矩形即可.
证明: ∵四边形ABCD是菱形,∠A=900,
证明:
∵四边形ABCD是平行四边形,∠A=900,
∴四边形ABCD是矩形. A
D
又∵AB=BC,
∴四边形ABCD是正方形.
B
C
正方形的判定方法2：
有一个组邻边相等的矩形是正方形
已知:四边形ABCD是矩形,AB=BC.
求证:四边形ABCD是正方形.
A
D
证明:
∵四边形ABCD是矩形,
B
C
∴∠A=∠B=∠C=∠D=90°，AD=BC,AB=CD.
证明: ∵四边形ABCD是菱形,
∴AB=BC,四边形ABCD是平行四边形.
∵AC=BD, ∴四边形ABCD是矩形.
∵AB=BC, ∴四边形ABCD是正方形.
A
D
O
B
C
归纳：正方形的5种判定方法
1、定义:一组邻边相等且有一个角是直角 的平行四边形是正方形
2、有一个组邻边相等的矩形是正方形 3、有一个角是直角的菱形是正方形.
2
1
∠1+∠2=90°
∴ ∠EFH=90 °
∴ 四边形EFGH是正方形 (有一个角是直角的菱形是正方形）
设计花坛
在一块正方形的花坛上，欲修建两条直的小路 使得两条直的小路将花坛平均分成面积相等的 四部分(不考虑道路的宽度).你有几种方法？



例2、已知：如图(4)在正方形ABCD中，F为CD延长线上
的四边形一定是：（A ）
A．正方形 B．菱形
C．矩形
D．平行四边形
练习5、已知四边形ABCD是平行四边形，对 角线AC、BD相交于点O。
⑴若AB=BC，则四边形ABCD是（ 菱形 ） ⑵若AC=BD，则四边形ABCD是（ 矩形 ） ⑶若∠BCD=900，则四边形ABCD是（ 矩形 ） ⑷若OA=OB，则四边形ABCD是（ 矩形 ） ⑸若AB=BC，且AC=BD，则四边形ABCD是
正方形
3、 矩形
一组邻边相等
对角线互相垂直
正方形

平行四边形、矩形、菱形、正方形的判定小结
5种判 定方法
一个角是直角且一组邻边相等
正方形的判定方法1：
定义:一组邻边相等且有一个角是直角的 平行四边形是正方形
已知:四边形ABCD是平行四边形,∠A=900.AB=BC
求证:四边形ABCD是正方形.
（ 正方形 ）
证明：∵ DE⊥AC，DF⊥AB
∴ ∠DEC=90°， ∠DFC=90° F
而∠ACB=90°
B
D
A
∴ 四边形ABCD为矩形( 有三个角是直角的四边形是矩形 )
∵ CD平分∠ACB DE⊥AC， DF⊥BC
∴ DE=DF(角平分线的定理 )
∴四边形ABCD是正方形（ 有一组邻边相等的矩形是正方形)
已知:正方形ABCD中,点E、F、G 、H分别是 AB 、BC 、CD 、DA的中点,试判断四边形 EFGH是正方形吗?为什么?
Ｈ
Ａ
Ｄ
Ｅ
Ｇ
Ｂ
Ｃ
Ｆ
3
2
1
例4：已知:正方形ABCD中,点E、F、G 、H分 别在AB 、BC 、CD 、DA上,且AE=BF=CG=DH, 试判断四边形EFGH是正方形吗?为什么?
正方形的判定
你觉得什么样的四边形是 正方形呢?( 判断一个四边形 是正方形有哪些方法？）
正方形、菱形、矩形、平行四边形四者之间有什么关系？
平行四边形
正
矩方 菱 形形 形
正方形的判定方法：
(可从平行四边形、矩形、菱形为基础）
1、 平行四边形 一组邻边相等
一内角是直角
正方形
2、 菱形
一内角是直角
对角线相等
是正方形（ √ ）
(5)四个角都相等的四边形是正方形 (
)
(6)四条边都相等的四边形是正方形 (
)
1、下列命题正确的是（ D ） A、四个角都相等的四边形是正方形 B、四条边都相等的四边形是正方形 C、对角线相等的平行四边形是正方形 D、对角线互相垂直的矩形是正方形
练习2．四个内角都相等的四边形一定C是（
一点，CE⊥AF于E，交AD于M，求证：∠MFD＝45°
证明：
∵CE⊥AF 四边形ABCD是正方形 ∴∠ADC＝∠AEM＝90° 又∵∠CMD＝∠AME （对顶角） ∴∠1＝∠2 又∵AD＝CD，∠ADF＝∠MDC=90°
∴Rt△ADF≌Rt△CDM (ASA) ∴DM=DF ∴∠MFD＝45°
∴AB=BC,∠C=∠A=900,∠B=1800-∠A=900.
∴∠A=∠B=∠C=900. ∴四边形ABCD是矩形. ∵AB=BC, ∴四边形ABCD是正方形.
A
D
B
C
正方形的判定方法4
对角线互相垂直的矩形是正方形.
已知:四边形ABCD是矩形,且AC⊥BD. 求证:四边形ABCD是正方形.
证明:
∵四边形ABCD是矩形,
∴∠ABC=900,四边形ABCD是平行四边形A.
D
∵AC⊥BD,
O
∴四边形ABCD是菱形. ∵∠ABC=900.
B
C
∴四边形ABCD是正方形.
正方形的判定方法5
对角线相等的菱形是正方形.
已知:四边形ABCD是菱形,且对角线AC=BD. 求证:四边形ABCD是正方形.
A、正方形 B、菱形 C、矩形 D、平行四边形
练习 3．在四边形ABCD中，O是对角线的交点 能判定这个四边形是正 方形的是：（ A ） A．AO＝BO＝CO＝DO，AC⊥BD B．AD∥BC ∠A＝∠C C．AO＝CO BO＝DO AB＝BC D．AC＝BD
练习4 ．四个内角都相等，四条边也都相等
4、对角线互相垂直的矩形是正方形.
5、对角线相等的菱形是正方形.
判断题:
× ×
×
(1)对角线互相垂直且相等的四边形是正方形（ ）
(2)如果一个菱形的对角线相等，那么它一定
是正方形 （ √ ）
(3)如果一个矩形的对角线互相垂直，那么它
一定是正方形 （√ ）
(4)四条边相等，且有一个角是直角的四边形
证明：∵ 四边形ABCD是正方形
∴ ∠A= ∠ B= ∠ C=∠D=90°，AB=AD=DC=BC
又∵ AE=BF=CG=DH
∴AB-AE=AD-DH=DC-CG=BC-BF
即BE=AH=DG=CF
∴ △AEH≌△BFE≌ △CGF ≌ △DHG．
∴ EH=EF=GF=HG
∵ ∠1=∠3．
3
又 ∠3+∠2=90°