巧用函数效率高

解题探索数形结合巧运用，零点分布妙化解一浅谈对二次函数零点分布问题解题教学的研究张程燕(山东省济南中学，250001)一元二次函数是中学数学中最基本、最重要的 函数之一，也是高考考查的重要内容之一，是高考的 高频考点.高中数学教学中一元二次函数的零点分 布问题即初中数学教学中一元二次方程根的分布问 题，是二次函数部分的重点知识与内容，既是学生学 习的重点，也是学习的难点，因此对二次函数零点分 布问题的解题教学研究十分必要.目前，高中生对二 次函数零点分布问题的解题方法偏重于借助对二次 方程根的判别式和韦达定理的运用，能够解决的零 点分布问题有限且易出错，解题方法尚不够系统和 完善，针对这一学情，结合高中所学的零点存在定理 以及数形结合这一重要的数学思想方法，笔者将系 统地分析一元二次函数的零点分布问题，力求将解 题方法系统化、模式化、巧妙化，从而提高数学解题 教学的效率和质量，优化学生的思维品质，发展学生 的数学核心素养.1熟悉知识背景，理解方法本质学生对同一类数学题的解答与掌握，需要的不 仅仅是理解并掌握这类题目的解题方法与技巧，更 需要知晓题目所涉及的知识背景.从知识背景出发， 联系解题所需要的数学知识和方法，将知识与方法 有机融合在一起，构建起数学解题模型，既加深了学 生对数学知识的熟悉程度，也有助于学生理解数学 方法的本质，从而达到学以致用、举一反三的学习效 果，这也是数学解题教学的期望所在.本文所涉及的 数学知识与方法如下所述：1.函数零点存在定理:如果函数y =/(%)在区 间[a ，]上的图像是一^条连续不断的曲线，且有/ (a )/() <0,那么函数y =/()在区间（a ，)内至少 有一个零点，即存在c e (a ，)，使得/(C) = 0，这个c 也就是方程/() =0的解[1].特别地，对于一次函数y = h +&(&#0)和二次 函数y = a / +心+c (a #0)而言，若/(幻在区间（a ， 6)上满足零点存在定理，则在（a ，)上有且仅有一个零点.2.数形结合的思想方法——从四个方面将二次函数图像与代数不等式之间建立联系:①开口方向， ②对称轴，③判别式4，④特殊点函数值的符号.2探究典型例题，把握解题方法数学解题教学是数学教师根据教学需要选择合 适的试题，以学生的学情为起点，以自身的解题经 历、经验和研究为基础，通过师生间对话交互，促进 学生深度思考，优化学生思维品质的教学活动[2].本文选取四道典型例题，从思路分析、解答过程和 方法指导三个方面对二次函数零点分布问题进行解题 教学探究，全方位、多角度的对例题进行剖析，帮助学 生理解问题本质、建立解题模型以及掌握解题方法.例1如果方程尤2 + (^i -1)) +爪2 -2=0的两个 实根一个小于1，另一个大于1，求实数m 的取值范围.思路分析：（1)方程尤2 + (爪-1)尤+爪2-2=0根的分布问题0函数/(%) =%2 + (m - 1)% +m 2 -2的零点分布问题，完成方程的根与函数零点的转化；(2) 函数/() =% + (m -1)%+m 2 - 2 开口上，其与％轴的交点一个在1的左侧、一个在1的右 侧，易画出草图，熟悉题设，理清思路；(3)利用数形结合的思想方法，从四个方面二次函数图像与代数不等式之间建立联系：开口向 上是确定的;对称轴可以在1的左侧、右侧或者对称 轴为1;判别式4 = ( m - 1)2 - 4 ( m - 2 ) > 0;特殊 点函数值/(1) <0.解题过程1法一:数形结合由已知可列方程组:• 62•r 4 = (m -1)2 - A i m 1 - 2 ) >0, |/( 1) =1 + m — 1 + m 2 —2 <0.r 3m 2 + 2m -9 <0, m 2 + m - 2 <0.1 +2 槡 -1 +2 槡----;---< m <---------,33-2 < m < 1.%，^2满足0<% < 1<%2 <6,求实数a 的取值范围.思路分析：（1)函数开口向上，过定点（0,4)，其 与X 轴有两个交点％，2满足0<%<1<% <6,易 画出草图，熟悉题设，理清思路；(2)利用数形结合的思想方法，从四个方面将 二次函数图像与代数不等式之间建立联系.解题过程：-2 < m < 1. m e ( - ，1）方法指导：因为/(X )开口向上，所以X —± ^ 时，/(X )— + (即/( -) >0，/( + ) >0),再有/(1) <0,则在区间（-^ ,1)和（1，+1)上都满足 零点存在定理，所以在两个区间都各有一个零点，从而满足题意.因此，判别式4 = (m -1)2 - 4(m 2 - 2 ) >0可省略不解，解答过程十分简单.解题过程1 :法一（简化）：数形结合 由已知得:/(1) <0....1 + m - 1 + m 2 - 2 < 0. ... m 2 + m - 2 < 0..-2 < m < 1. .m e (-2,1).我们再来看一下第二种解题方法/昔助对二次 方程根的判别式和韦达定理的运用，来解决二次函 数零点分布问题.解题过程2:法二:韦达定理4 = (m -1)2 - 4(m 2 - 2 ) >0,xt - 1 )(%2 - 1) <0.4 = (m -1)2 - 4(m 2 - 2 ) >0，%1%2 _ (xt +X 2 ) +1 <0.4 = (m -1)2 - 4(m 2 - 2 ) >0，一2) -（1 一 m ) +1 <0.由已知，得{.{.{3m 2 + 2m -9<0，m 2 + m - <01 +2 槡 -1+2 槡...|-^^<m < ^3^，-2 < m < 1..- 2 < m < 1. .m e (-2,1).方法指导:韦达定理使用的前提是一元二次方 程的两根存在，即判别式4^0.因此在利用判别式 和韦达定理解决二次函数的零点分布问题时，判别 式4 = (m -1)2 - 4(m 2 - 2 ) >0不可以省略，必须 要求解.显然，在解决二次函数零点分布问题时，利 用韦达定理解题比利用数形结合解题计算量要大. 也就是说，数形结合方法解决零点分布问题更简易、 更巧妙、更通用.例2已知函数/(X ) =X 2 -2ax +4有两个零点由已知可列方程组：,/(0) =4>0， |/(1)=5-2a <0，...1/(6) =40 -12a >0.a >10a < —5 10 5 10.T <a <T .a E (T ’y ).方法指导：因为/(X )开口向上，且由图像可得， /(0) >0，(1) <0，(6) >0,则在区间(0,1)和(1,6)上 都满足零点存在定理，所以在区间(0，1 )和（1，）上各 有一个零点，满足题意“/(X )两个零点X i ，2且0 <X 1 < 1 <X 2 <6”，故而有关对称轴0 <a <6和判别式4 = (-2a )2 -4 x 1 x 4的不等式可省略.例3已知函数/(X ) =X 2 - 2aX +4有两个零点，且都大于1，求实数a 的取值范围.思路分析：（1)函数开口向上，过定点（0，4 )，且 两个零点X 1，2都大于1，易画出草图，熟悉题设，理 清思路；()利用数形结合的思想方法，从四个方面将 二次函数图像与代数不等式之间建立联系解题过程：• 63•由已知可列方程组：/(1) =5 -2a >0, a >1,轴=—2a2x 1=a > 1a <52,，4 =4a 2 - 16 >0. La >2 或 a <-2.2 < a <52a g5)•方法指导：因为/()开口向上，所以/( - 〇〇) > 0，/( + 〇〇 ) > 0，且由图像可得/(1) > 0，但仅仅凭借 特殊点函数值/(1) >0并不能满足零点存在定理， 这就需要其它三个方面加以限制，即开口方向、对称轴-冬>1和4>0.La例4函数/(*) =a *2 -*-1在区间（0,1)内恰有一个零点，求实数a 的取值范围.思路分析：（1)函数开口方向不确定，过定点 (0，_1)；()首项系数含参且在(0，1)内恰有一个零点， 满足条件的草图有很多，因此需要分类讨论，而分类 讨论的依据可以是首项系数的符号.亦或者，我们可 以利用前面的解题思路，按照端点函数值/(0)/( 1) 的符号来讨论；(3)利用数形结合的思想方法，从四个方面将 二次函数图像与代数不等式之间建立联系.解题过程:分类讨论法一:按首项系数分类讨论(1) 若a =0,则/() = -*-1为一次函数，令/(*) =0,得 *= -1.此时/(*)只有*=-1这一个零点，在区间（0, 1)内无零点.(2)若 a >0,则/(*) = a *2 - * - 1 为一兀二次函数，开口向上，过定点（0, -1).由已知可列方程组：f (0) = ―1:0, .a >2.[/(1) =a - 2 >0.(3)若 a <0,则/(*) =a *2-*-1 为一兀二次 函数，开口向下，过定点（0, -1).由已知可列方程组：a <0，1 a <0,0 <^<1， ,、2a 或{ A =1 + 4a >0，4=1 +4a =0, |/(1) =a 一 2>0./(1) =a -2<0a <0，、a <2a <0，或a >a >2••.均无解.综上所述：的取值范围为(2，+ ^ )•方法指导:与例1例2、例3 —样，需要画出函 数草图，从开口方向、对称轴、判别式A 和特殊点函 数值的符号四个方面建立起函数图像与不等式之间 的关系.但由于函数首项系数含参，具有不确定性， 因此依据首项系数的符号进行分类讨论，进而求解 参数的范围.需要说明的是:在情形（2)中，二次函 数/(*) =a *2 -* - 1区间（0,1)上满足零点存在定 理，则在(0，1 )上有且仅有一个零点.法二:按特殊点函数值符号分类讨论：()当/(0)/(1) <0,由/(0) = -1，得/(1) =a-2 >0,即 a >2 时；此时满足零点存在定理，二次函数/(*) =a *2 -* -1在区间(0，）内必恰有一-零点.(2)当/(0)/(1) >0,由/(0) = -1，得/(1) =a-2 <0,即 a <2 时；由图可列方程组得:• 64•a<0,0 <2a<1,A-4a+1=0,/(0) = -1 <0,/(1) =a-2<0.a<0,a无解.、a<2.()当/(0)/() =0,由/(0) = -1，得/(1) -a -2=0,即a=2 时；v/(x) =ax2-x-1=22-x-1= (2+1) (-1)，...令/(x) =(2x+1)(x- 1) =0.得 X1 =-+送（0，1)，2 =1 送（0，1).■■■/(x) =ax2-X-1在区间（0，1)内没有零点..a=2不符合题意，舍去.综上所述：的取值范围为(2，+ 1X1 ).方法指导：1)当/(0)/() <0时，满足函数零 点存在定理，则对于二次函数而言在区间（0，1)有 且只有一个零点，满足题意；⑵当/(0)/(1) >0时，函数/(X)端点值同号，不满足零点存在定理，所以结合图像，还得添加其它 三个条件:开口方向、对称轴、判别式A;(3)当/(0)/(1)=0时，可直接求得a=2，此时 函数解析式确定，直接求出零点的值，再判断零点是 否在区间（0，1)内即可.通过对比按首项系数分类讨论和按特殊点函数 值符号（即是否满足零点存在定理）分类讨论两种 方法，我们发现:虽同为利用数形结合与分类讨论的 数学思想方法解题，但显然方法二比方法一简单许 多，再次验证了函数零点存在定理在零点分布问题 求解中的优势所在.3研究零点分布，归纳解题结论通过对典型例题的深度探究，我们发现:二次函 数的零点分布问题，可以从开口方向、对称轴、判别 式和特殊点函数值符号四个方面找寻二次函数图像 与代数不等式之间的关系，从而建立起数学解题模型.我们还发现，当特殊点的函数值符号异号时，即在某区间上函数满足零点存在定理时，那就只需要 列特殊点函数值符号的不等式即可，其它三个不等 式不用列也无需解；当不满足零点存在定理时，就需 要其它三个方面的不等式加以限制，此时不能省略.因此，从四个方面将二次函数图像与代数不等式之 间建立联系，利用数形结合解决二次函数的零点分 布问题时，要注意四个方面研究的顺序性，优先考虑 特殊点函数值的符号情况，若满足零点存在定理，则可简化解题步骤，巧妙解决二次函数的零点分布问 题.此外，对于需要分类讨论的二次函数零点存在问 题，以/( a)/( 6 )的符号为切入点展开分类讨论，显然思路比较清晰，便于求解.数形结合巧运用，零点分布妙化解.利用一个简单的数学知识——零点存在定理和一个常用的数学 思想方法——数形结合，把二次函数零点分布问题 的解题方法系统化、直观化和形象化，在题目的诸多变化中找到了数学解题的“不变性”，达到“以不变 应万变”的解题教学效果，从而能够促进学生的深 度思考，提升学生的解题能力，优化学生的数学思维 品质，发展学生的数学核心素养.(说明：本文中出现的函数图像，都是在假设存 在的前提下依据题意画出的草图，并不代表此函数 图像一定存在.尤其在涉及分类讨论求参数范围时，满足条件的函数图像是否真实存在取决于解题的结果是否有解.）参考文献：[1] 中学数学课程教材研究开发中心.普通中教科书数学必修第一册（2019年A版）[M].北 京:人民教育出版社，2019.[2] 安学保.讲在学生需要处，讲在思维深处——例谈高中数学解题教学中的问题驱动[J].中学数学教学参考，2019,（22) :54 -57.[3] 江春莲，胡玲.基于APOS理论和R M I原的二次函数图象平移教学实验研究[J].数学教育学报，2020,29(6) ：2 -39.[4] 葛丽婷，旆梦媛，于国文.基于UbD理论单元教学设计——以平面解析几何为例[J].数学 教育学报，2020,29(5) :5 -31.• 65•。

Science &Technology Vision科技视界Excel 是微软办公套装软件的一个重要的组成部分,它可以进行各种数据的处理、统计分析和辅助决策操作,广泛地应用于管理、统计财经、金融等众多领域。

Excel 之所以功能强大、应用广泛主要是其内置了非常丰富的函数,Excel 函数一共有11类,主要有数学和三角函数、统计函数、文本函数日期与时间函数、查找和引用函数、财务函数、逻辑函数等。

在这些函数中大多数人比较熟悉的是SUM、AVERAGE 和COUNT 之类的常用函数,其他函数使用较少。

其实Excel 中还有很多函数可以帮助我们高效、快速的完成工作,例如把VLOOKUP 和IF 这两个函数结合起来合并工作表,可起到事半功倍的效果。

1问题的提出每到学期结束学校各部门都需要统计教师的工作量,笔者所在学校教师的工作量分两块,一个是由教务部门统计的课堂教学工作量,另一个是由其他部门如学工处、团委统计的非课堂教学工作量。

有些教师既有课堂教学工作量,又有非课堂教学工作量,而有些教师只有课堂教学工作量或者只有非课堂教学工作量(如图1和图2所示),现在需要将两张表合并成一张表。

由于两张表中的教师相互有交叉,直接复制粘贴行不通。

此时如果使用VLOOKUP 函数进行查找引用,结合IF 函数就可轻松完成任务。

下面我们将介绍要用到的两个函数。

图1工作量统计表1图2工作量统计表22函数介绍2.1VLOOKUP 函数函数功能:VLOOKUP 是按列查找,最终返回该列所需查询列序所对应的值;Vlookup 函数在Excel 中广泛运用,特别是在做报表、登记数据和查找数据等方面。

函数格式:VLOOKUP (lookup_value ,table_array ,col_index_num ,range_lookup)其中:Lookup_value :需要在其中查找匹配数据的开始单元格Table_array:两列或多列数据(用绝对地址)Col_index_num:为table_array 中待返回的匹配值的列序号。

解题宝典特殊值法是指借助满足题目条件的特殊值来解答问题的方法.特殊值法是解答高中数学问题的常用方法，尤其是在解答选择题、填空题时运用特殊值法，能巧妙优化解题的方案，简化解题的过程.那么如何运用特殊值法来解题呢？一、巧取特殊的数值有些代数问题较为复杂，且计算量较大，此时我们可以根据题意寻找一些特殊的数值，将其代入到题目当中，从中寻找到一定的规律，然后采用先猜想后验证的方法、归纳法、递归法等来解题.运用特殊值法解题，有助于快速找到解题的突破口，达到化难为易的目的.例1.定义在区间()-∞,+∞的奇函数f ()x 为增函数，偶函数g ()x 在区间[)0，+∞上的图象与函数f ()x 的图象重合.设a >b >0，则下列不等式中正确的是（）.A.f ()b -f ()-a >g ()a -g ()bB.f ()b -f ()-a <g ()a -g ()-bC.f ()a -f ()-b >g ()b -g ()-aD.f ()a -f ()-b >g ()b -g ()-a 解：令f ()x =x ，g ()x =||x ，取a =2,b =1,所以f ()a =f ()2=2，f ()-a =f ()-2=-2，f ()b =f (1)=1,f ()-b =f ()-1=-1,g ()a =g ()2=2,g ()-a =g ()-2=2；g ()b =g ()1=1，g ()-b =g ()-1=1.所以f ()a -f ()-b >g ()b -g ()-a ，故选C .我们首先结合题意找到了两个满足题目条件的两个函数f ()x =x 、g ()x =||x ，然后取特殊值a =2、b =1,将其代入函数解析式中计算，便能快速解题.例2.（Ⅰ）已知在数列{}C n 中，C n =2n +3n ，且数列{}C n -pC n -1是等比数列，求常数p .（Ⅱ）设{}a n ，{}b n 是公比不相等的两个等比数列，且C n =a n +b n，证明数列{}C n 不是等比数列.解：（Ⅰ）由C n =2n +3n得C 1=5、C 2=13、C 3=35、C 4=97，又因为C 2-pC 1、C 3-pC 2、C 4-pC 3为等比数列，所以()35-13p 2=()13-5p ()97-35p ，解得p =2或3.（Ⅱ）设{}a n 、{}b n 的公比分别为p 、q 且p ≠q ，则它们的前三项为a 1、a 1p 、a 1p 2和b 1、b 1p 、b 1p 2,其中a 1b 1≠0，所以C 1=a 1+b 1、C 2=a 1p +b 1q 、C 3=a 1p 2+b 12q 2，从而C 1C 3=a 12p 12+a 1b 1()p 2+q 2+b 12q 2，C 22=a 12p 12+2a 1b 1pq +b 12q 2.又因为p ≠q ，p 2+q 2>2pq ,所以C 22≠C 1C 3从而{}C n 不是等比数列.对于问题（Ⅰ），主要抓住了{}C n -pC n -1为等比数列的信息，然后取特殊值n =1,2,3,4，得到数列的前三项C 2-pC 1、C 3-pC 2、C 4-pC 3，利用等比数列的性质建立关系式，求得p 的值，最后验证结果即可.解答问题（Ⅱ），需首先结合题意设出两个数列的公比，取数列的前三项，利用等比数列的性质证明结论.二、巧造特殊的图形有些几何问题中的图形为不规则的图形，难以直接运用所学的公式、定理、法则来解题.我们可以将图形特殊化，巧妙构造满足题意的、规则的、特殊的图形，或者直接将已知图形视为某种规则的、特殊的图形.这样会给我们解题带来很大的方便.例3.如图，在多面体ABCDEF 中，已知面ABCD 是边长为3的正方形，EF //AB ,EF =32,EF 与AC的距离为2，则该多面体的体积为（）.A.92B.5C.6D.152解：假设EF ⊥面FBC ,所以V E -FBC =13S ΔFBC ∙EF =13×12×3×2×32=32，而四棱锥E -ABCD 的体积为V E -ABCD =13×3×3×2=6,所以V ABCDEF =V E -ABCD +V E -FBC =152,故选D .题目中的图形呈现不规则状态，需对多面体作特殊化处理，于是假设EF ⊥面FBC ，这样三棱锥E -FBC 就成为直三棱锥，运用直三棱锥的体积公式便能快速得到结果.综上所述，运用特殊值法解题的关键是寻找满足题意的特殊数值、图形，将其代入题中进行求解.运用特殊值法解题，能让问题变得更加简单、直观，有助于培养同学们运用“从特殊到一般”“从一般到特殊”思想解答问题的能力.（作者单位：江苏省射阳县高级中学）巧用特殊值法提升解题的效率石建春40。

如何使用Excel的文本函数处理字符串数据在日常的工作和学习中，我们经常会遇到需要处理字符串数据的情况。

Excel 提供了丰富的文本函数，能够帮助我们高效地完成各种字符串操作。

下面就让我们一起来了解一下如何使用 Excel 的文本函数处理字符串数据。

首先，我们来认识一下一些常用的文本函数。

｀LEFT`函数用于从文本字符串的左侧开始提取指定数量的字符。

例如，如果我们有一个单元格中的数据是“Hello World”，想要提取前 5 个字符，就可以使用`＝LEFT(A1, 5)｀，其中`A1`是包含原始字符串的单元格。

｀RIGHT`函数则与之相反，它从文本字符串的右侧开始提取指定数量的字符。

假设单元格中的数据是“123456789”，要提取右侧的 3 个字符，使用`＝RIGHT(A1, 3)｀即可。

｀MID`函数相对更加灵活，它可以从文本字符串的指定位置开始提取指定数量的字符。

比如，对于字符串“Excel is powerful”，要从第 7 个字符开始提取 5 个字符，公式就是`＝MID(A1, 7, 5)｀。

接下来，我们看一下如何使用这些函数来解决实际问题。

假设我们有一个员工信息表，其中“姓名”列的格式是“姓氏名字”，我们想要分别提取出姓氏和名字。

这时就可以利用`LEFT`和`RIGHT`函数来实现。

首先，使用`LEFT`函数提取出姓氏，假设姓名在 A 列，那么在 B 列输入`＝LEFT(A1, FIND(＂＂， A1) 1)｀，这里使用`FIND`函数找到空格的位置，然后减去 1 就得到了姓氏的长度。

接着，在 C 列使用`RIGHT`函数提取名字，公式为`＝RIGHT(A1, LEN(A1)FIND(＂＂， A1)）｀，其中`LEN`函数用于获取字符串的总长度。

除了提取字符，文本函数还可以用于查找和替换。

｀FIND`和`SEARCH`函数都可以用于在文本字符串中查找指定的子字符串。

它们的区别在于`FIND`区分大小写，而`SEARCH`不区分大小写。

The Science Education Article Collects No.6,2021Sum No.5222021年第6期总第522期摘要该文巧用Excel 自带的IF 和IFS 函数，依据现行的普通高校教学工作量管理制度，针对几个常见的计算参数，实现了高校教师工作量标准化计算和统计，提高了教务管理相关工作效率，以供高校教务管理人员参考和借鉴。

关键词Excel；IF 函数；高校教务；教学工作量Clever Use of IF and IFS Functions to Count the Teaching Workload of College Teachers //CAO Xia,PENG Hongxia,LIU Qun Abstract Through ingenious use of Excel IF and IFS functions,based on the current management policies for teaching workload in ordinary colleges and universities,and based on several com-mon calculation parameters,standardized calculation and statis-tics of college teachers'workload is realized,and the efficiency of educational administration is improved.It can be used as a refer-ence for academic management personnel in colleges and univer-sities.Key words Excel;IF function;university educational administra-tion;teaching workload 1引言教师教学工作量统计是高校的例行工作，依据《教育部关于试行高等学校教师工作量制度的通知》（教干字011号），每个高校结合学校实际制定了自己的工作量实施办法。

巧用Excel函数实现学生成绩统计及查询作者：于宁来源：《电脑知识与技术》2011年第01期摘要：电子表格软件Excel具有强大的数据处理和分析功能，其中函数是Excel数据计算和处理的核心工具。

该文利用Excel中的不同函数功能，实现对学生成绩的统计、课程分析及信息查询。

关键词：Excel；函数；公式中图分类号：TP311文献标识码：A文章编号：1009-3044(2011)01-0209-02Score Statistics and Query Using Excel FunctionsYU Ning(Department of Computer Science of College of Arts and Science of Beijing Union University, Beijing 100190, China)Abstract: Excel spreadsheet software has powerful data processing and analysis capabilities, and the Excel function is the core tool for data calculating and processing. In this paper, score statistics, curriculum analysis and information inquiries were achieved with different Excel functions.Key words: Excel; function; formula在学校的日常教学管理中，经常遇到需要汇总、统计或查询学生学期成绩的问题，借助Microsoft Office系列办公软件中的电子表格Excel，可以帮助我们方便、快速地完成数据表中的统计、分析，特别是灵活地运用Excel中的公式和函数，不仅能提高工作效率，还能帮助我们完成一些特殊的功能。

知识导航在众多自然数中，“1”是一个特殊的数，它在与其他数字相乘时可以被省略，当它出现在分数之中作为分母时也是可以被省略的.“1”在解数学题中扮演着重要的角色，尤其是在解答三角函数和函数问题时,巧用“1”的代换，能使得解题过程变得更加简单，有利于提高解题的效率.一、巧用"1"代换x+(1-x)在解答形如y=m x+n1-x的分式函数问题时，我们常用“1”代换x+(1-x)，在y=m x+n1-x的左右同时乘以“1”，即可得到y=[]x+(1-x)∙(mx+n1-x)，然后对它进行整合，利用基本不等式便可求解得函数的最值.例1.已知x∈(0,1)，a,b都为常数，求函数y=a2x+b21-x的最小值.解：y=a2x+b21-x=[]x+(1-x）∙（a2x+b21-x=a2+b2+1-xxa2+x1-x b2≥a2+b2+=(a+b)2，当且仅当1-x x a2=x1-x b2时等号成立，即当x=aa+b时，y min=(a+b)2.我们用“1”代换x+(1-x)，通过“1”的代换构造出两式的和，并使两式的积为定值，为应用基本不等式创造了条件.二、巧用“1”代换x∙1x对于分式函数、不等式、方程问题，我们可以根据分式中分母的特点，用“1”代换x∙1x，这样便可将分母消掉，使分式得以简化.在进行代换时，同学们要注意自变量x的取值范围.例2.若m,n为正数，且1m+4n=1，求y=m+n的最小值.解：y=m+n=（m+n)(1m+4n)=n m+4m n+5≥+5=9，当且仅当ìíîïïnm=4mn,1m+4n=1,即ìíîn=6,m=3,时取“=”.故y=m+n的最小值为9.已知关系式中的m、n为分母，且“1”乘以任何数都可以省略，于是将“1”代换为1m+4n、m∙1m、n∙1n，然后用基本不等式求得最值.三、巧用“1”代换sin2x+cos2xsin2x+cos2x=1是三角函数中的一个重要关系式.在解答三角函数问题时，我们经常用这个关系式来进行代换，比如（sin x+cos x)2=1+2sin x cos x、（sin x-cos x)2=1-2sin x cos x.巧用“1”代换sin2x+cos2x，能有效地将三角函数式加以简化.例3.已知θ∈（0,π）,sinθ-cosθ=-15，求tanθ的值.解：∵sinθ-cosθ=-15，∴sinθcosθ=1225.∵sinθcosθ=sinθcosθsin2θ+cos2θ=tanθ1+tan2θ=1225，∴tanθ=34或tanθ=43.又sinθcosθ=1225,θ∈(0,π)，∴θ∈（0，π2）.∵sinθ-cosθ=-15,∴0<sinθ<cosθ,即tanθ=34.因为“1”可以作为任何数的分母而被省略，所以在这里我们将“1”作为分母进行代换，从而实现转化.将分子分母同时除以cos2θ，便将“弦”化为“切”，得到关于tanθ的一元二次方程，解方程即可求得tanθ的值.在解题时，巧用“1”的代换能有效地简化运算，提升解题的效率.至于如何进行“1”的代换，我们要根据代数式的特点和结构来进行.对于分式，我们一般用“1”代换“x+(1-x)”“x∙1x”；对于三角函数式，一般用“1”代换“sin2x+cos2x”，有的时候还需要将常数化为“1”，然后用“1”进行整体代换.(作者单位:陕西省神木市第七中学)呼艳妮37。

如何利用Excel的INDIRECT函数实现动态引用在 Excel 的强大功能中，INDIRECT 函数是一个非常实用却又稍显复杂的工具。

它能够帮助我们实现动态引用，让数据分析和处理变得更加灵活和高效。

接下来，就让我们一起深入了解如何巧妙地运用这个函数。

首先，我们要明白 INDIRECT 函数的基本概念。

INDIRECT 函数的作用是返回由文本字符串指定的引用。

简单来说，就是通过输入一个文本形式的单元格地址或区域地址，INDIRECT 函数能够获取并返回该地址所指向的单元格或区域的值。

为了更好地理解它的工作原理，让我们来看一个简单的例子。

假设我们在 A1 单元格中输入了“B2”，然后在 B2 单元格中输入了数值 10。

如果我们在其他单元格中使用＝INDIRECT(A1) 这个公式，它将会返回 10，因为 INDIRECT 函数将 A1 单元格中的“B2”视为一个地址，并获取了 B2 单元格中的值。

那么，在实际工作中，INDIRECT 函数有哪些常见的应用场景呢？一个常见的应用是创建动态的下拉列表。

假设我们有一个数据表，其中包含不同的产品类别。

我们希望在另一个单元格中通过下拉列表选择产品类别，并且这个下拉列表能够根据数据的变化自动更新。

这时候，我们就可以利用 INDIRECT 函数来实现。

首先，我们在一个单独的区域（比如 Z1:Z5）中输入各个产品类别的名称。

然后，在需要创建下拉列表的单元格中，选择“数据验证”功能，在“允许”中选择“序列”，在“来源”中输入＝INDIRECT(＂Z1:Z5"）。

这样，下拉列表就会根据 Z1:Z5 区域中的内容动态生成。

当我们在 Z1:Z5 区域中添加或删除产品类别时，下拉列表也会相应地更新。

另一个实用的场景是动态引用不同的工作表。

例如，我们有多个月份的工作表（如“1 月”、“2 月”、“3 月”等），每个工作表的结构相同，都有一个名为“销售额”的单元格。