量子力学 练习题1答案
一。基本概念及简要回答
1. p 和 p
是否相等？为什么？
答：不相等。因为p
是动量 p r
的本证态，而p
是动量p r
的本证态，实际上p
与p r
代表同一个态。 2． 判定下列符号中，哪些是算符？哪些是数？哪些是矢量？
； )()(t t ； w v u ； w F
u ˆ。 答：
是算符，)()(t t ，w F
ˆ是数， w v u 是矢量。
3. 波函数的导数是否一定要连续？举例说明。
答：不一定。例如，对于无限深势阱波函数中粒子波函数在全空间连续，但微商在0
和a 点不连续。
4．为什么既不能把 波理解为‘粒子的某种实际结构，即把波包看作粒子’， 也不把 波理解为‘由大量粒子分布于空间而形成的波，即把波看作由粒子构成的’？
答：自由粒子的物质波包必然要扩散，与实验矛盾。所以不能‘把波包看作粒子’；另一方面，戴维逊-戈末实验表明电子的波动性不是很多电子在空间聚集在一起时才呈现的现象，单个电子就具有波动性，否则每次只有一个粒子，但长时间的衍射干涉就不会有干涉花样. 所以不能‘把波看作由粒子构成的’。
5. 设
ˆˆA A ，ˆˆB B ，ˆˆ0A B ，。试判断下列算符哪些是厄米算符，哪些不是。
(1)1ˆˆˆˆˆ()2F AB BA i
; (2)ˆˆˆG AB ; (3)ˆˆˆC A iB ; (4)ˆˆˆD
A B 。 解：
（1）1ˆˆˆˆˆ()2F AB BA i
，11ˆˆˆˆˆˆˆˆˆ()()22F B A A B AB BA i i
ˆˆF
F ，即ˆF 为厄米算符。
（2）ˆˆˆG AB ， ˆˆˆˆˆˆˆˆˆˆG AB B A BA AB G
。
ˆG
不是厄米算符。
（3）ˆˆˆC A
iB ，ˆˆˆC A iB
ˆˆC C ，即ˆC 不是厄米算符。
（4）ˆˆˆD A
B ，ˆˆˆˆˆD A B A B
ˆˆD
D ，即ˆD 为厄米算符。 6． (9’) 指出下列使用的Dirac 符号那些是不正确的。为什么？
A.
)(t ; B. )(x ; C.)(t ; D. ()r r r
v
; E.
10
; F. )'('x x x . 答：B ，E ，F 不正确。B 中x 是力学量， x 是态 在x 的振幅，不能用一个点的振幅代表态。E ，F 不正确是因为左边是态与具体表
象无关的Dirac 符号态矢量，右边是有具体表象决定的波函数。
7．(5’)简述态迭加原理。 若 n
n
n c
， 且n n n f F ˆ， 那么n
n c c
的物理意义是什么？ 答：迭加原理：如果1
，2
是体系的可能状态，那么它们的线性迭加
1
2
1
2
c c
（
1
2
,c c
是复数）也是这个体系的一个可能状态，这就是量子力学的态迭加原理。
n
c 的物理意义：在 态中包含n
态的振幅，
2
||
n c 是包含
n
态的几率。当
n
是某一个算符本征值时，
2
||
n c 就是这个本征值
在这个态中出现的概率。
8．(5’)在一维谐振子基态得经典区域之外，粒子出现的几率也不为零，这是否意味粒子的动能可为负值？怎样解释这一结果？ 答：不能。因为p k E E E
9. (3’)确定dx d
i ，22dx d ，22dx d i 哪些是厄米算符哪些不是厄米算符。
答：dx d
i ，22dx d 是厄米算符，22dx
d i
10．指出下列使用的Dirac 符号那些是不正确的。为什么？
A.
)(t ; B. )(x ; C.)(t ; D. ()r r r
v ; E.
10
; F. )'('x x x .
答：B ，E ，F 不正确。B 中x 是力学量， x 是态 在x 的振幅，不能用一个点的振幅代表态。E ，F 不正确是因为左边是态与具体表
象无关的Dirac 符号态矢量，右边是有具体表象决定的波函数。 11. (5’) p 和 p
是否相等？为什么？
答：不相等。因为p
是动量 p r
的本证态，而p
是动量p r
的本证态，实际上p
与p r
代表同一个态。 12. (5’)波函数的导数是否一定要连续？举例说明。
答：不一定。例如，对于无限深势阱波函数中粒子波函数在全空间连续，但微商在0
和a 点不连续。
13. (6’) 如果ˆˆA A ，ˆˆB B 且ˆˆˆˆ,C i A B C
，ˆˆ,,A a a a B b b b a b 和都是
束缚态，则
ˆˆ0.a C
a b C b 证明：
ˆˆˆˆˆˆ0.
i a AB
BA a ia a B a a B a
这里考虑了a 是束缚态，因而ˆa B
a 是有限的，及ˆa A a a 。同理可证ˆ0.
b C b 如令ˆˆˆˆ,,z x A L B L 则ˆˆy C L h ，由此得ˆ0y
L lm 。
二．1、质量为
m
的粒子处于一维谐振子势场 0,2
12
1 k kx x V 的基态，
若弹性系数k 突然变成k 2，即势场变成 2
2kx x V ，随即测量粒子的能量，求发现粒子处于新势场 x V 2基态的几率；(只
列出详细的计算公式即可)
解：粒子的波函数(,)x t 随时间的变化满足方程
2222i V t m x
h h
对时间区间t t 积分得
22
21110
120t t t t t t i dt t t t dt V dt m x
t V t t t t
h h ，
。
可见，当
V
发生突变（由12V V ）、但变化量有限时，
不变。以0()x 和0()x 分别表示1
V 场和2V
场的基态波函数，当势场突
然由1V 变成2V 后，粒子的波函数仍为0()x 。由于1V 已变为2V ，新势场2V 中的基态是00 。于是随即测量粒子的能量，则测
得粒子处于0 态的概率为2
00
，即粒子能量为新基态能量0E ’的概率为
2
00
。
