第三章 几种横向自适应滤波算法及其改进研究
3.1 自适应横向滤波器的定义及其性能函数
3.1.1 横向自适应滤波器
横向自适应滤波器是一类基本的自适应滤波器形式[8]。所谓自适应实现是指：M 阶滤波器的抽头权系数01,...,M w w -，可以根据估计误差()e n 的大小自动调节，使得某个代价函数最小。
令()W n 表示图2.1中的滤波系数矢量，011()[(),(),...,()]M W n w n w n w n -=，滤波器抽头输入信号矢量()[(),(1),...,(1)]U n u n u n u n M T =--+，显然，输出信号()y n 为
1
0()()()()M i i y n w u n i W n U n -T ==-=∑ (3-1)
式中T 表示转置。利用图2.5中的输出信号和输入信号之间的关系，误差序列
()()()()e n d n W n U n H =- (3-2)
显然，自适应滤波器的控制机理是用误差序列()e n 按照某种准则和算法对其系数()W n 进行控制的，最终使自适应滤波的目标（代价）函数最小化，达到最佳滤波效果。
按照均方误差（MSE ）准则所定义的目标函数是：
22()(){|()|}{|()()|}def
J n n E e n E d n W U n ξH ===- (3-3) 将式（3-1）代入式（3-3），目标函数可以重新写为
2[()]2[()()()][()()()()]E d n E d n W n U n E W n U n U n W n ξH H H =-+ (3-4) 当滤波器的系数固定时，目标函数可以写为
2[()]2E d n W P W RW ξT T =-+ (3-5)
其中，[()()]R E U n U n T =是输入信号的自相关矩阵，[()()]P E d n U n =是期望信号和输入信号的互相关矢量。
3.1.2 自适应滤波器的性能函数
习惯上称均方误差2[|()|]E e n 为自适应滤波器的性能函数，并记为ξ、J 或者MSE ，即
2[|()|]J MSE E e n ξ=== (3-6)
由式(3-5)知，当输入信号()u n 与期望信号()d n 为平稳随机过程时，性能函数ξ为权矢量W 的二次函数。二次均方误差函数的曲面形式为一碗状抛物面，当权矢量的维数大于2时，性能函数为一抛物面形式，且其抛物面上有唯一的全局最优点。当自相关矩阵为正定的，超抛物面向上凹起（即碗口朝上），表示均方误差函数有唯一的最小值，该最小值所对应的权系数矢量为自适应滤波器的最佳权系数opt w ，即等于维纳滤波器的权矢量。
3.1.3 二次型性能表面的搜索
在性能表面上搜索的目的是找出性能函数的最小值，并由此得到最小值所对应的最佳权矢量。这样，二次型性能表面搜索最小值的问题，在数学上就转化为求取曲线和曲面的机制问题。常用的性能表面搜索的方法为梯度下降的迭代算法，例如牛顿法和最速下降法[9]。
1. 最速下降法
最速下降法是一种古老而又非常有用的通过迭代寻找极值的方法。从几何意义上讲，迭代调整权矢量的结果是使系统的均方误差延梯度的反方向下降，并最终达到最小均方误差min ξ。在最小均方误差实现时，权矢量变为最佳权矢量opt w 。它的优点是简单，但需要大量的迭代，才能使算法收敛于充分接近最优解的点。
2. 牛顿法
牛顿法是一种通过迭代寻找函数()f x 的过零点的数学方法，即求()0f x =的解。假定()f x 为变量x 的一元函数，牛顿法的求解过程为：由初始估值0x 开始，利用()f x 的一阶导数在0x 点的值'0()f x 来计算新值1x ，即
010'0()()
f x x x f x =- (3-7) 然后，再利用1x 的导数'0()f x 和()f x 来计算下一步的估值2x ，其一般的迭代公式为
1'()()k k k k f x x x f x +=-
，0,1,k
= (3-8) 而'11()()()k k k k k f x f x f x x x ---=
-
这样牛顿法可以表示为
111()()()k k k k k k k x x x x f x f x f x -+--=--，0,1,k
= (3-9)
要注意的是牛顿法的收敛对一大类函数是相当快的，但它的缺点是计算量大。
3.2 最小均方算法
3.2.1 最小均方算法
最小均方（LMS ）算法是一种梯度最速下降算法，它以期望响应()d n 和滤波器输出信号*()()()y n u n w w u n T H ==之间误差的均方值2[|()|]E e n 最小为准则，依据输入信号在迭代过程中估计梯度矢量，并更新权系数达到最优的自适应迭代算法。
令
()()()e n d n w x n H =- (3-10)
LMS 算法进行梯度估值的方法是以误差信号每一次迭代的瞬时平方值代替均方值，并以此来估计梯度，即
22201()()()()[,,,]()()()
M e n e n e n n w n w n w n Λ∂∂∂∇=∂∂∂ (3-11) 若写成矢量形式，有
2()()()e n n w n Λ
∂∇=∂ (3-12) 将式（3-10）代入式(3-11)得到
()()2()
2()()()e n n e n e n x n w n Λ∂∇==-∂ (3-13) 用梯度估值()n Λ∇来代替最速下降法中的梯度真值()n ∇，有
(1)()(())()2()()w n w n n w n e n x n μμΛ
+=+-∇=+ (3-14) 式中，μ为自适应滤波器的收敛因子。上式即为著名的LMS 算法滤波器权矢量迭代公式。可以看出，自适应迭代下一时刻的权系数矢量可以由当前时刻的权系数矢量加上以误差函数为比例因子的输入矢量得到。图3.1给出了实现LMS 算法的流程图。
