2018年九年级数学上册专题突破讲练与圆有关的动态问题试题新版青岛版

与圆有关的角角是几何图形中最重要的元素，圆心角和圆周角是圆中比较常见的角。

圆的特征赋予角极强的灵活性，使得角之间能灵活的互相转化。

1. 圆周角定理：在同圆或等圆中，同弧或等弧所对的圆周角相等，都等于这条弧所对的圆心角的一半。

D说明：在同圆或等圆中，根据圆周角与圆心角的倍半关系，可实现圆心角与圆周角的转化，由同弧或等弧所对的圆周角相等，可将圆周角在大小不变的情况下，改变顶点在圆上的位置进行探索。

2. 圆周角定理推论：推论1：半圆（或直径）所对的圆周角是直角；90º的圆周角所对的弦是直径。

推论2：圆内接四边形的对角互补。

说明：根据圆周角定理推论，可将直角三角形引入到圆中，解决圆中有关角或线段问题；由圆内接四边形的对角互补和外角等于内对角，可将与圆有关的角互相联系起来。

3. 弧、弦、圆心角之间的关系：同圆或等圆中，两个圆心角、两条弧、两条弦中有一组量相等，它们所对应的其余各组量也相等。

说明：根据弧、弦、圆心角之间的关系，可在圆中弧、弦、圆心角之间架起一道桥梁。

4. 切线性质定理：圆的切线垂直于过切点的半径说明：圆的切线垂直于过切点的半径，可以把圆的有关问题转化为直角三角形的问题解决。

AO与⊙O交于点C，若∠BAO=40°，则∠OCB的度数为（）示例：如图，AB是⊙O的切线，B为切点，A. 40°B. 50°C. 65°D. 75°解析：本题出现了切线，利用切线的性质，可把问题转化为直角三角形的问题解决；同时根据同圆的半径相等，可以建立等腰三角形解答问题。

1解：∵AB是⊙O的切线，∴∠OBA=90°，∴∠O=90°－∠BAO=90°－40°=50°，又∵OB=OC，∴∠OCB=∠OBC=2（180°－50°）=65°，故选C。

例题已知直线l与⊙O，AB是⊙O的直径，AD⊥l于点D。

【专题突破训练】青岛版九年级数学上册第三章対圆的进一步认识单元检测试题一、单选题（共10题；共30分）1.如图，AB是⊙O的直径，C，D是圆上两点，∠AOC=110°，则∠D的度数为（）A. 25°B. 35°C. 55°D. 70°2.如图，在⊙O中AĈ= BD̂，∠AOB=40°，则∠COD的度数（）A. 20°B. 40°C. 50°D. 60°3.如图，ABCD为⊙O内接四边形，若∠D=85°，则∠B=（）A. 85°B. 95°C. 105°D. 115°4.如图，在半径为5的⊙O中，弦AB=6，OP⊥AB，垂足为点P，则OP的长为（）A. 3B. 2.5C. 4D. 3.55.半径为6的圆中，120°的圆心角所对的弧长是（）A.4πB.5πC.6πD.8π6.如图，AB是⊙O的切线，B为切点，AO的延长线交⊙O于C点，连接BC，若∠A=30°，AB=2 √3，则AC等于（）A. 4B. 6C. 4 √3D. 6 √37.如图，⊙O的半径为6，四边形内接于⊙O，连结OA，OC，若∠AOC=∠ABC，则劣弧AC的长为（）π B. 2π C. 4π D. 6πA. 328.如图，点A、B、C都在⊙O上，若∠AOB=76°，则∠ACB的度数为（）A. 19°B. 30°C. 38°D. 76°9.要制作一个圆锥形的烟囱帽，使底面圆的半径与母线长的比是4：5，那么所需扇形铁皮的圆心角应为（）A. 288°B. 144°C. 216°D. 120°10.如图，A，B，C是⊙O上三个点，∠AOB=2∠BOC，则下列说法中正确的是（）A. ∠OBA=∠OCAB. 四边形OABC内接于⊙OC. AB=2BCD. ∠OBA+∠BOC=90°二、填空题（共10题；共30分）11.两直角边长分别为6和8的直角三角形的外接圆直径是________．̂= BĈ，∠AOB=60°，则∠BDC的度数是________ 12.如图，已知BD是⊙O直径，点A、C在⊙O上，AB13.如图，在圆内接四边形ABCD中，若∠A，∠B，∠C的度数之比为4：3：5，则∠D的度数是________°．14.如图，四边形ABCD内接于⊙O，AB是直径，过C点的切线与AB的延长线交于P点，若∠P=40°，则∠D 的度数为________．x+2上，如果△ABP为直角三角形，15.已知A、B的坐标分别为（﹣2，0）、（4，0），点P在直线y= 12这样的P点共有________个．16.如图，已知A、B两点的坐标分别为（－4，0）、（0，2），⊙C的圆心坐标为（0，－2），半径为2．若D是⊙C上的一个动点，射线AD与y轴交于点E，则△ABE面积的最大值是________．17.如图，点O是⊙O的圆心，点A、B、C在⊙O上，AO∥BC，∠AOB=42°，则∠OAC的度数是________．18.如图，△ABC内接于⊙O，∠BAC=120°，AB=AC，BD为⊙O的直径，AB=5，则CD=________．̂上，且BC是⊙O内接正八边形的一边，若AC是19.如图，边AB是⊙O内接正六边形的一边，点C在AB⊙O内接正n边形的一边，则n=________．20.如图，线段AB为⊙O的直径，点C在AB的延长线上，AB=4，BC=2，点P是⊙O上一动点，连接CP，以CP为斜边在PC的上方作Rt△PCD，且使∠DCP=60°，连接OD，则OD长的最大值为________．三、解答题（共9题；共60分）21.如图⊙O是△ABC的外接圆，圆心O在这个三角形的高AD上，AB=10，BC=12，求⊙O的半径．22.如图，在⊙O中，AB=CD.求证：AD=BC.23.如图，在扇形AOB中∠AOB=90°，正方形CDEF的顶点C是AB的中点，点D在OB上，点E在OB的延长线上，当正方形CDEF的边长为2 √2时，求阴影部分的面积.24.如图，直线MN交⊙O于A，B两点，AC是⊙O的直径，DE与⊙O相切于点D，且DE⊥MN于点E．求证：AD平分∠CAM．25.如图，在梯形ABCD中，AB∥CD，⊙O为内切圆，E为切点．若AO=8cm，DO=6cm，求OE的长．26.如图，已知AB是⊙O的直径，点P在BA的延长线上，PD切⊙O于点D，过点B作BE垂直于PD，交PD的延长线于点C，连接AD并延长，交BE于点E．求证：AB=BE．27.如图，已知AD是⊙O的直径，BC是⊙O的弦，AD⊥BC，垂足为点E，AE=BC=16，求⊙O的直径．28.如图所示，在Rt△ABC中，∠C=90°，∠BAC=60°，AB=8．半径为√3的⊙M与射线BA相切，切点为N，且AN=3．将Rt△ABC绕A顺时针旋转120°后得到Rt△ADE，点B、C的对应点分别是点D、E．（1）画出旋转后的Rt△ADE；（2）求出Rt△ADE的直角边DE被⊙M截得的弦PQ的长度；（3）判断Rt△ADE的斜边AD所在的直线与⊙M的位置关系，并说明理由．29.如图1，在△ABC的外接圆⊙O中，AB=5是⊙O的直径，CD⊥AB，垂足为D，且CD=2，E为AB的中点．连接CE交AB于点P，其中AD>BD．图1 图2（1）连接OE，求证：OE⊥AB；（2）若线段AD与BD的长分别是关于x的方程x2－(m+2)x+n－1=0的两个根，求m，n的值；（3）如图2，过P点作直线l分别交射线CA，CB(点C除外)于点M，N，则1CM +1CN的值是否为定值？若是，求出该定值；若不是，请说明理由．答案解析部分一、单选题1.【答案】B2.【答案】B3.【答案】B4.【答案】C5.【答案】A6.【答案】B7.【答案】C8.【答案】C9.【答案】A10.【答案】D二、填空题11.【答案】1012.【答案】30°13.【答案】12014.【答案】115°15.【答案】416.【答案】44317.【答案】21°18.【答案】519.【答案】2420.【答案】2 √3+1三、解答题21.【答案】解：如图，连接OB．∵AD是△ABC的高．∴BD= 1BC=62在Rt△ABD中，AD= √AB2−BD2= √100−36=8．设圆的半径是R．则OD=8﹣R．在Rt△OBD中，根据勾股定理可以得到：R2=36+（8﹣R）2解得：R= 254．22.【答案】证明：∵AB=CD，∴AB=CD，∴AB−BD=CD−BD，即AD=BC∴ AD=BC23.【答案】解：∵在扇形AOB中∠AOB=90°，正方形CDEF的顶点C是AB的中点，∴∠COD=45°，∴OC= √(2√2)2+(2√2)2=4，∴S阴影=S扇形BOC﹣S△ODC= 45360×π×42﹣12×（2 √2）2=2π﹣424.【答案】证明：连接OD，如图所示：∵DE与⊙O相切于D，∴OD⊥DE，又∵DE⊥MN，∴OD∥MN，∴∠ODA=∠DAE，又∵OD=OA，∴∠ODA=∠OAD，∴∠OAD=∠DAE，∴AD平分∠CAM．25.【答案】解：∵AB∥CD，⊙O为内切圆，∴∠OAD+∠ODA=90°，∴∠AOD=90°，∵AO=8cm，DO=6cm，∴AD=10cm，∵OE⊥AD，∴AD•OE=OD•OA，∴OE=4.8cm．26.【答案】证明：连接OD，如图，∵PD切⊙O于点D，∴OD⊥PC，∵BE⊥PC，∴OD∥BE，∴∠E=∠ODA，∵OA=OD，∴∠ODA=∠OAD，∴∠OAD=∠E，∴BA=BE．27.【答案】解：连接OB，设OB=OA=R，则OE=16﹣R，∵AD⊥BC，BC=16，∴∠OEB=90°，BE= BC=8，由勾股定理得：OB2=OE2+BE2，R2=（16﹣R）2+82，解得：R=10，即⊙O的直径为2028.【答案】解：（1）如图Rt△ADE就是要画的图形（2）连接MQ，过M点作MF⊥DE，垂足为F，由Rt△ABC可知，AC=12AB，根据翻折变换的知识得到AC=AE=4，NE=AE﹣AN=4﹣3=1，在Rt△MFQ中，解得FQ=√2，故弦PQ的长度2√2．（3）AD与⊙M相切．证明：过点M作MH⊥AD于H，连接MN，MA，则MN⊥AE，且MN=√3，在Rt△AMN中，tan∠MAN=MNAN =√3 3，∴∠MAN=30°，∵∠DAE=∠BAC=60°，∴∠MAD=30°，∴∠MAN=∠MAD=30°，∴MH=MN，∴AD与⊙M相切．29.【答案】（1）证明：∵E为AB的中点，∴AE=BE∴∠AOE=∠BOE又∵AB是⊙O的直径∴∠AOB=180°∴∠AOE=∠BOE=90°∴OE⊥AB．（2）∵AB是⊙O直径∴∠ACD+∠BCD=90°∵CD⊥AB，∴∠CDB=∠ADC=90°∴∠BCD+∠CBD=90°∴∠ACD=∠CBD∴△ACD∽△CBD∴BDCD =CDAD，即AD∙BD=CD2=4又∵AB是⊙O直径，∴AD+BD=5∵AD与BD的长分别是关于x的方程x2－(m+2)x+n－1=0的两个根。

圆的周长和弧长1. 弧长公式：圆周长 C=2 R （其中 R 为圆的半径），即为圆心角是 360°的弧长。

因此圆心角是 1°的12 RRn R 弧长等于圆周长的，即，所以 n°的圆心角所对的弧长为。

即在半径360 360180 180n R为 R 的圆中，n °的圆心角所对的弧长的计算公式为：l =。

180说明：（1）在应用公式进行计算时，要注意公式中 n 的意义：n 表示 1°的圆心角的倍 数。

公式中的 n 、180都不带单位。

（2）同圆中圆心角 n°越大，弧长越长；相等的圆心角半 径越大，所对的弧长越大，L 与 n 、R 两个因素有关。

2. 易错点：扇形的弧长和扇形的周长不一样，扇形的周长是扇形的弧长与两个半径的和。

直接利用公式求弧长例题 1 如图，AB 与⊙O 相切于点 B ，AO 的延长线交⊙O 于点 C ，连接 BC ，若∠ABC=120°，OC=3，则 的长为（ ）BCA.B. 2C. 3D. 5解析：连接 OB ，由于 AB 是切线，那么∠ABO=90°，而∠ABC=120°，易求∠OBC ，而OB=OC ，那么∠OBC=∠OCB ，进而求出∠BOC 的度数，在利用弧长公式即可求出 的长。

BC解：连接 OB 。

∵AB 与⊙O 相切于点 B ，∴∠ABO=90°。

∵∠ABC=120°，∴∠OBC=30°。

n r 1203∵OB=OC ，∴∠OCB=30°。

∴∠BOC=120°。

∴ 的长为，故选BC2180180B 。

答案：B点 拨：利用弧长公式计算弧长时，关键是根据题意得出圆心角、半径，而本题解题的关键 是连接 OB ，构造直角三角形。

例题 2 如图，在边长为 1的正方形组成的网格中，△ABC 的顶点都在格点上，将△ABC 绕点 C 顺时针旋转 60°，则顶点 A 所经过的路径长为（ ）110 10A. 10πB.C.πD. π33解析：由题意得点 A 所经过的路径是以 C 为圆心，CA 长为半径，圆心角为 60°的弧，而 要求的顶点 A 所经过的路径长就是求以 C 为圆心，CA 长为半径，圆心角为 60°的弧长，利用n r弧长公式计算可得。

与圆有关的线段在圆中的线段主要有以下几种：半径、直径、弦，弦心距还有切线长。

求圆中线段的长是中考的一个重要考点，在选择题、填空题、解答题、探索题都会出现。

因此，这部分内容在中考中占举足轻重的地位。

垂径定理、勾股定理是解决圆中线段问题的重要工具，也是比较常用的定理，有时候也需要以下定理：圆心角定理、圆周角定理、切线的判定（性质）定理、切线长定理、等腰三角形的性质定理，在有些探索类型的题目中还有可能用到相交弦定理、切割定理等。

（1）垂径定理垂直于弦的直径平分这条弦，并且平分弦所对的弧。

符号语言：∵AB是⊙O的直径，CD是弦，且AB⊥CD，∴PC=PD，BC=BD，AC=AD。

（2）圆心角、弧、弦之间的关系：在同圆或等圆中，如果两个圆心角、两条弧、两条弦中有一组量相等，那么它们所对应的其余各组量都分别相等。

（3）勾股定理：在直角三角形中，两直角边的平方和等于斜边的平方。

例题1 （温州市中考）如图，AB为⊙O的直径，点C在⊙O上，延长BC至点D，使DC=CB。

延长DA与⊙O的另一个交点为E，连结AC、CE。

（1）求证：∠B=∠D；（2）若AB=4，BC－AC=2，求CE的长。

解析：要求CE 长，可通过证明CE=AB ，转化为求AB 长，结合∠E=∠B 及等腰三角形的性质、勾股定理，可解决问题。

答案：解：（1）证明：∵AB 为⊙O 的直径，∴∠ACB=90°，∴AC⊥BC；∵DC=CB，∴AD=AB，∴∠B=∠D。

（2）设BC=x ，则AC=x －2。

在Rt△ABC 中，AC 2+BC 2=AB 2，∴（x －2）2+x 2=4，解得71,7121-=+=x x （舍去），∵∠B=∠E，∠B=∠D，∴∠D=∠E，∴CD=CE，∵CD=CB∴CE=CB=1+7。

点拨：本题综合考查了圆周角、垂直平分线、等腰三角形、直角三角形的性质，解题的关键是正确理解和应用有关定理。

与圆周角有关的问题，需要灵活运用同弧或等弧所对的圆周角相等、同弧或等弧所对的圆周角等于圆心角的一半，直径所对的圆周角是直角等知识点，由于图形中的角比较多，解题时要仔细观察图形特点。