高等数学练习题（第八章）解答与提示
基础部分
一、判断题 （1）错误 反例：2
2
y
x z +=
在(0, 0)点.
（2）错误 （3）正确 （4）错误 二、填空题
1．(y +1)x y d x +x y +1
ln x d y 2．0 3．0（
''''
''''2
2
2
3
222
g x
y f y
x y
x u g x
y f y
x x
u -
-
=∂∂∂+
=
∂∂）
4．
2
2
22y
x y x +- 5．d z =d x -2d y
6．-1 7．
x
z z 2322
-
8．
)
1(2
2
2
y x y
+- 9．-1（两个驻点(0, 0), (1, 1), (0, 0)不是极值
点） 14．
4
1（最值在边界x +y =1上取得）
15．8（唯一驻点(2, -2)） 三、选择题
1. (C)
2. (C)
3. (D)
4. (D)
5. (B)
6. (B) 四、解答题 1．
2
2
2
2
2
2
111)
1)(1(1)
1()
(1)(11x
x y y
xy y x y xy x
z xy y
x +=
+++=
-++-+=
∂∂-+，
.02
=∂∂∂y
x z
2．'f x
y f x
u -
=∂∂，
''3
22
2
f x
y x
u =
∂∂.
3．
'''''1''2223
122
22
2
g y
x g y
x g y
f y
x z -
-
-
-=∂∂∂
4．
'
'v u zF xF x
z =
∂∂，
'
)
''(v v u zF F F y y
z +-=
∂∂，.z
xy y
z x
x
z y
=
∂∂+∂∂
5．设2
2
22)33()2()1(-+-+-=z y x d ，
令)()33()2()1(2
2
2
2
2
2z y x z y x F -++-+-
+-=λ，可求出驻
点)32,22,2(与)3,2,1(--得要求点为)32,22,2(. 6．极小值.2)1,21
(e z -
=-
7．驻点⎪⎭⎫ ⎝⎛--⎪⎭⎫
⎝⎛-21,21,21,21,2
1
,21，最近距离
64；最远距离.68 提高部分
一、选择题
1. (C)
2. (C)（已知等式两端对t 求导，然后将所得等式两端同乘t ） 二、填空题
1. d x －d y
2. '''''ϕϕy yf ++
3. 1 三、解答题 1．
2
)
(xy ye
x
f -=∂∂ ，
2
)
(xy xe
y
f -=∂∂，
2
)
(32
2
2xy e
xy x
f --=∂∂，
2
)
(32
2
2xy ye
x y
f --=∂∂，
2
2
)
(22
)
(2
2xy xy e
y x e
y
x f ---=∂∂∂.
∴
.22
2
)
(2
2
2
2
2
xy e
y
f x y y
x f x
f y x --=∂∂+
∂∂∂-∂∂
2．
⎥⎦
⎤
⎢
⎣⎡∂∂+
∂∂∂∂+
∂∂=y x x f x
x x f f x f y
f x f x
x x x
),(),()[
,(),()(3)(d d 2
3
ϕϕ
所以
.51)
(d d 1
3
==x x x
ϕ
3．
.0','')'(d d ≠++-+=
x y x
y x
y F xf F F xf F F xf F xf f x
z
4．全导数公式与隐函数求导法则结合.
x
z z
f x
y
y f
x
f x
u d d d d d d ⋅
∂∂+
⋅
∂∂+
∂∂= 由e xy
-xy =2可得
,d d x
y x
y -
=
由e x
=⎰-z
x t t
t 0
d sin 得
,)
sin()(1d d z x z x e x
z x
---
=代入得
.)sin()(1d d z
f
z x z x e y f
x y x f x u
x
∂∂⎥⎦⎤⎢⎣⎡---+∂∂-∂∂= 5．
.)2()(11)(2arctan 2arctan
2
2arctan
22
x y
x
y x
y e y x x y e
y x xe
x
z
x y ---+=-⎪⎪⎭
⎫ ⎝⎛
++-=∂∂
.)2(111)(2arctan arctan
2
2arctan
22
x y
x
y x
y e x y x e
y x ye
y
z x y ----=⎪⎪⎭
⎫ ⎝
⎛++-=∂∂ 故d z =].d )2(d )2[(arctan
y x y x y x e
x
y -++-
.1
11)2(arctan 2222arctan
arctan
2
2
2x y
x y x
y e y x x xy y x e
y x e
y
x z x y ---+--=⎪⎪⎭
⎫
⎝
⎛
++-=∂∂∂ 6．
''1'2
21g x
y f y
yf x
z -
+
=∂∂，
'
''1)''''(1'1)''''('3
2
222
2122
122
1112
g x
y g x
f y
x xf y
f y
f y
x xf y f y
x z -
-
-
+
-
-+=∂∂∂ ='''1'''1'''3
2
223
22
111g x
y g x
f y
x f y
xyf f -
-
-
-
+
