11.4 单摆

第四节 单摆自主学目标1.知道什么是单摆，知道单摆做简谐运动的条件.2.知道单摆的回复力来源.3.掌握单摆的周期公式，理解周期的影响因素，并能应用公式进行有关计算. 知识点归纳 一、单摆1.单摆模型：悬挂小球的细线的伸缩和质量可以忽略，细线又比球的① 大得多，这样的装置叫做单摆.单摆是实际摆的理想化模型.2.回复力的提供：摆球的重力沿② 方向的分力.3.回复力的特点：在摆角很小时，单摆所受的回复力与偏离平衡位置的位移成③ ，方向指向④ .4.运动规律：单摆在摆角很小时做⑤ ，其图象遵循⑥ 函数规律. 二、单摆的周期1.探究单摆的振幅、位置、摆长、摆球质量对周期的影响 （1）探究方法：⑦ . （2）实验结论①单摆振动的周期与摆球的质量⑧ . ②振幅较小时周期与振幅⑨ 。

③摆长越长，周期⑩ ，摆长越短，周期○11 . 2.周期公式（1）公式：T=○12 . （2）应用①计时器。

调节○13 ，可以调节钟表的快慢. ②测重力加速度：由 T ＝2πg l得○14 .可见，只要测出单摆的○15 和○16 ，就可以测出当地的重力加速度. 提示： ①直径 ②切线 ③正比 ④平衡位置 ⑤简谐运动 ⑥正弦 ⑦控制变量法 ⑧无关 ⑨无关 ⑩越大 ○11越小○12gl π2 ○13摆长 ○14224Tl π ○15摆长 ○16周期重难点解析一、对单摆模型的理解 单摆是一种理想化模型：①摆线的质量不计，没有伸缩性的细线；②摆球的直径比摆线长度要小得多； ③忽略空气阻力的影响.二、单摆在摆角很小时做简谐运动 1.摆球的受力G 1=Gsin θ的作用提供摆球以O点为中心做往复运动的回复力，G 2=Gcos θ,F-Gcos θ的作用提供摆球以O ’为圆心做圆周运动的向心力.2.单摆的简谐运动在θ很小时（<5o）,sin θ≈θ=lx,G 1=Gsin θ=x lmg,G 1方向与摆球位移方向相反，所以回复力F 回=G 1=-x lmg=-kx ，即回复力与位移方向始终相反，大小成正比，满足物体做简谐运动的条件。

11.4-111.4 单摆习题课1.单摆振动的简谐性和周期性（1）在偏角很小的情况下（通常摆角θ<5°）回复力为摆球重力沿切线方向的分量mgsinθ，在摆角很小时，sinθ≈x/L ，所以单摆的回复力F=-mgx/L=-kx ，单摆做简谐运动.需要强调的是，在摆角较大的情况下，摆的回复力并不与位移成正比，所做的摆动不是简谐运动. （2）θ<5°的单摆的振动的是简谐振动。

如图设θ角很小，（θ<5°），此时圆弧OD 近似可以看成直线x ，分力G1可以近似看作沿这条直线作用，在θ角很小时，有sinθ=tanθ=θ(弧度制)= ，所以：=G 1=mg·sinθ=mg·=·x因为：m 、g 、l 为定值，所以，设 =k ，则 =kx若OD 为摆球偏离平衡位置的位移x ，方向O→D ，则(1)式可写为=-kx 。

所以，在摆角很小的情况下，单摆的振动是简谐振动。

附表：θ（度） sinθ tanθ θ(弧度) 0° 0 0 0 1° 0.017452 0.017455 0.017444 2° 0.034899 0.034921 0.034889 3° 0.052336 0.052408 0.052333 4° 0.069756 0.069927 0.069778 5°0.0871560.0874890.087222（3）单摆周期公式T=2πgl是荷兰物理学家惠更斯在伽利略等时性基础上提出的，周期T 与振幅、摆球质量无关，只与摆长l 和所处地点重力加速度g 有关，摆长l 是指悬点到摆球球心间的距离. 2.单摆运动中的等效问题剖析：（1）等效摆长，在图11-4-1中，三根等长的绳L1、L2、L3共同系住一密度均匀的小球m ，球直径为d ，L1、L2与天花板的夹角α＜30°.若摆球在纸面内做小角度的左右摆动，则摆球在纸面内做小角度的左右摆动，则摆动圆弧的圆心在O 1处，故等效摆长为L 3+d/2，周期T=2πgdL 23 ；若摆球做垂直纸面的小角度摆动，则摆动圆弧的圆心在O处，故等效摆长为L 3+L 2sinα+d/2，周期T 2=2πgdL L 2sin 23++α.（2）等效重力加速度，公式中的g 由单摆所在的空间位置决定. 由2R MG=g 知，g 随地球表面不同位置、不同高度而变化，在不同星球上也不相同，因此应求出单摆所在处的等效值g 代入公式，即g 不一定等于9.8 m/s 2. 【典型例题】例题一、关于单摆，下列说法中正确的是( ) A ．摆球受到的回复力方向总是指向平衡位置 B ．摆球受到的回复力是它的合力 C ．摆球经过平衡位置时，所受的合力为零D ．摆角很小时，摆球受的合力的大小跟摆球相对平衡位置的位移大小成正比 解析：选A.由回复力的定义可知A 正确；单摆的回复力除指明在最高点外都不是摆球所受的合力，但不管在哪个位置均可以认为是重力沿轨迹圆弧切线方向的分力，故选项B 错误；经过平衡位置时回复力为零，但合力不为零，因悬线方向上要受到向心力，选项C 错误，综上所述选项D 也错误．故选A.例题二、做简谐运动的单摆摆长不变，若摆球质量增加为原来的4倍，摆球经过平衡位置时速度减小为原来的1/2，则单摆振动的( )A ．频率、振幅都不变B ．频率、振幅都改变C ．频率不变，振幅改变D ．频率改变，振幅不变解析：选C.由单摆周期公式T ＝2πlg 知周期只与l 、g 有关，与m 和v 无关，周期不变频率不变．又因为没改变质量前，设单摆最低点与最高点高度差为h ，最低点速度为v, mgh ＝12m v 2.质量改变后：4mgh ′＝12·4m ·⎝⎛⎭⎫v 22，可知h ′≠h ，振幅改变． 例题三、试确定下列几个摆球在平衡位置附近来回振动的周期.（1）如图甲所示.悬挂在水平横梁上的双线摆球.摆线长为l ，摆线与水平横梁夹角θ； （2）如图乙所示.光滑斜面上的摆球.斜面倾角为θ，摆线长为l ；（3）如图丙所示.悬挂在升降机中的单摆，摆长为l ，升降机以加速度a 竖直向上做匀加速运动.方法归纳： 当实际摆不是理想单摆时，可以通过等效变换将其转换为理想单摆，在利用公式T=2πgl计算周期时，l 对应等效摆长，ｇ对应等效重力加速度.等效重力加速度的求法是：假设摆球不振动，静止时绳子的拉力对应等效重力，其对应的加速度即为等效重力加速度.例题三、在“用单摆测定重力加速度”的实验中，用刻度尺量悬点到小球的距离为96.60 cm ，用卡尽量得小球直径是5.260 cm ，测量周期3次，每次是在摆球通过最低点时，按下秒表开始计时，同时将此次通过最低点作为第一次，接着一直数到计时终止，结果如下表：这个单摆振动周期的测定值是__________ s ，当地重力加速度的值是__________m/s 2.（取三位有效数字）思路解析：由题可知单摆的周期2/)161(40.601-=T s=2.013 s 2/)181(80.792-=T s=1.995 s 2/)171(60.703-=T s=2.017 s 则周期3321T T T T ++==2.01 s 摆长l=l′+2d =(0.966+21×0.052 6) m=0.992 3 m故重力加速度22222/01.29923.014.344s m T l g ⨯⨯==π=9.69 m/s 2. 例题四、某同学在做“用单摆测定重力加速度”的实验。