第四章 方程求根
问题，解方程()0f x =
给出函数()f x ，求*
x 使*()0f x = 1， 平分区间法：（实方程，实根）
[](),()*()0,(,)f x C a b f a f b a b ∈< 内有一根
()(
)02a b f a f +> 取11,2a b
a b b +== ()()02a b f a f +< 取11,2
a b a a b +==
11(,)a b 内有一根，继续如上步骤，
得一区间套11(,)(,),...,(,)...k k a b a b a b ， 2()k k k b a b a --=- (,)
k k a b 内有一根 k k b a - 足够小，2k k a b x +=
作为近似值，方法收敛，收敛速度为1
1()2
k O - 2， 简单迭代法
()0()([,])f x x x x a b ϕ=⇔=∈ （不动点理论）
设()f x 连续考虑同解的()x x ϕ= 有解 *
()0f x = 迭取*
x 附近的0x
迭代 10211(),(),...,(
)k k x x x x x x ϕϕϕ+=== （1） （1）称为迭代格式
如果{}k x 有极限 ˆlim k k x x →∞
= 由连续性 *(),x x x x ϕ== ，（迭代格式总是
有的关键在于收敛性）。
设()x ϕ在*0[,]x x 上可微，若()1x ϕ'<， 迭代收敛； ()1
x ϕ'>，不收敛
因为：**()x x ϕ= **
1()k k x x x x ϕξ+'-=-
**101,||0k k L x x L x x ϕξ+'≤<-≤-→（
） 而当1ϕξ'>（）时，上面的量→∞
定理1：设()Lip 1,L x ϕ∈ 1L <，则对任意初值0x ，迭代格式(1)均收敛于唯一的不动点*
x ，且有
*
10(*)1k
k L x x x x L
-≤--
证明：111()()k k k k k k x x x x L x x ϕϕ+---=-≤-
反复递推得：
110k k k x x L x x +-≤-
对p ∀∈Ν
11211101010
......(......)||()1k p k k p k p k p k p k k k p k p k k
i
i k
x x x x x x x x L L L x x L L x x x x L +++-+-+-++++∞
=-≤-+-++-≤+++-≤-=--∑
所以{}k x 为基本列，收敛于唯一极限。令p →∞得极限为*
x .
（*）称为以几何速度收敛，或线性收敛
例：302502x x x --== 附近，*
2.0945515x =.
1/3(25),x x =+
(2)ϕ'<
3
1(5),(2)62
x x ϕ'=
-= 不收敛。
求实方程实根的弦截法
01()[,]f x C x x ∈，单调上升，01()0,()0,()f x f x f x <> 在01(,)
x x 内有一根
以直线01P P 与x 轴的交点2x
代曲线 01
P P 与x 轴的交点*
x
01P P 的方程
0x
100110
()()()()
0f x x x f x x x y x x ---≡=
-
12002110
()()()()
0f x x x f x x x x x ---=
-
1012110023034()()()()
,,,,......
x x f x x x f x f x x x x x x x -=-
-→→
一般有递推公式：
010()()
()()
k k k k k x x f x x x f x f x +-=-
-
估计误差：
00000()()1
()()()()()()2
k k k f x f x f x f x x x f x x x x x x ξ-''=+
-+---
以根*
x 代入
***00000()()1
0()()()()()2
k k k f x f x f x x x f x x x x x x ξ-''=+
-+---
由递推公式可得： 00100
()()
0()()k k k f x f x f x x x x x +-=+
--
相减得：***0100()()1
0()()()()2
k k k k f x f x x x f x x x x x x ξ+-''=
-+---
由中值定理**
*
011()()()()2()
k k f x x x x x x f ξξ+''--=--'
*:()k x x ρ=-
*0x x -充分小，使系数1ρ<，线性收敛（局部收敛性）
变端点的弦截法
用1,k k x x - 作弦截法，推1k x +，得变端点弦截法的迭代公式：
111()()
()()
k k k k k k k x x f x x x f x f x -+--=-
- k =1,2,…
类似可推导得： 1.618
**
1k k
x x C x x +-=-
当*
0x x -充分小时收敛，超线性收敛。
***10010.618m x x C x x C x x ε
ε-=--<<
则*
*
*10
0m x x x x x x ε
--<-<-
2()
**20
m x x x x ε--<-
例：定端点的弦截法与变端点的弦截法的比较
