不确定非线性系统的自适应反推终端滑模控制

分数阶单摆系统的终端滑模控制混沌同步程春蕊;朱军辉;毛北行【摘要】针对一类具有不确定性和外部扰动的分数阶单摆系统,本文提出了一种新的分数阶滑模同步控制方法.首先,在分数阶微积分的基础上,引入了一种新的非奇异分数阶终端滑模面,并利用分数阶Lyapunov稳定性定理,证明了在滑模面上误差系统能够在有限时间内收敛到平衡点.在此基础上,针对事先未知系统中不确定性和外部扰动的界的情况,设计了适当的自适应律.基于自适应律和有限时间控制思想,提出了一种自适应滑模控制器,以保证系统在给定的时间内发生滑模运动,并证明了所提出的滑模控制方法在到达和滑模阶段都具有有限时间收敛性和稳定性.最后,通过数值算例验证了该方案的适用性和有效性.【期刊名称】《工程数学学报》【年(卷),期】2019(036)001【总页数】7页(P99-105)【关键词】分数阶系统;终端滑模;混沌同步;自适应控制;单摆系统【作者】程春蕊;朱军辉;毛北行【作者单位】郑州航空工业管理学院理学院,郑州450015;郑州航空工业管理学院理学院,郑州450015;郑州航空工业管理学院理学院,郑州450015【正文语种】中文【中图分类】O482.41 引言传统的控制理论中，通常假设系统为刚性系统，即被控对象模型和控制器模型均为整数阶次．然而，这样的整数阶系统与实际系统存在一定的差距．Mandelbrot 教授指出在自然界和科学技术中存在着大量的分数维[1,2]，文献[3]认为实际系统通常大多是分数阶次的，采用分数阶系统描述那些本身带有分数阶特性的对象时，能更好的揭示对象的行为和本质．1995 年，Oustaloup[4]提出了将分数阶控制器用于动态系统的设想，并设计了第一代分数阶控制器，研究和对比分析表明分数阶控制器有更好的鲁棒性等优点．分数阶滑模结合分数阶微积分和滑模控制的双重优点，能够在传统的滑模控制的基础上提高系统的控制性能和精确性，成为现代非线性控制的重要研究方法，在各个领域也得到了广泛应用并取得了很多成果[5-10]．文献[11]给出了两自由度的机械臂系统与双槽水槽系统的模糊分数阶滑模控制器，文献[12]设计了一类动力系统的分数阶终端滑模控制器．文献[13]研究了一类不确定混沌系统的自适应滑模终端控制问题．另一方面，单摆系统是物理学中常见的一类系统，单摆的混沌运动引起了广大学者的高度关注，例如：文献[14]研究了保守系统中单摆的混沌运动，给出了周期性外力作用下的单摆系统的动力学分析；文献[15]研究了有阻尼有驱动的单摆系统的旋转数问题；文献[16]对非线性单摆系统多参数混沌边缘进行了研究，通过计算Melnikov 函数，得到了非线性单摆系统产生混沌的必要条件．本文基于终端滑模控制研究了分数阶单摆系统的同步问题，根据Lyapunov 稳定性和分数阶微积分的相关理论给出了系统取得同步的充分性条件．2 预备知识及系统描述定义1[17] 设函数u(t)定义在区间[a,b]上，µ >0，则u(t)的阶数为µ的Riemann-Liouville 分数阶积分定义为定义2[17] 设函数u(t)定义在区间[a,b]上，µ >0,n −1≤µ <n,σ= n −µ，则u(t)的阶数为µ的Riemann-Liouville 分数阶导数定义为注1 为方便起见，文中记为注2 当µ>0 时，Dµu(t)表示导数算子，µ<0 时，Dµu(t)表示积分算子．注3 本文以下涉及的µ均满足0<µ≤1．设计如下一类分数阶单摆系统作为主系统其从系统为其中x(t)=[x1,x2]T为主系统的状态向量，y(t)=[y1,y2]T为从系统的状态向量，∆fi(y)和di(t)(i=1,2)分别表示不确定项和外部扰动，ui(t)(i=1,2)是控制输入．假设1 设不确定项∆fi(y)和外部扰动di(t)(i= 1,2)都是有界的，即存在常数mi,ni >0，使得假设2 mi,ni未知．定义误差ei=yi −xi(i=1,2)，则误差系统为引理1[18] 设p >0,0 <η <1 是两个正常数，如果存在正定连续函数V(t)满足微分不等式则对于任意给定的t0,V(t)满足如下不等式并且V(t)≡0,t≥T，其中引理2[19] 设有实数a1,a2,···,an,0<q <2，则有下列不等式成立针对误差系统(3)设计非奇异终端滑模面其中λi >0,0<r <1．3 主要结果定理1 误差系统(3)在非奇异滑模面(4)上，系统的轨迹在有限时间ts内到达平衡点，其中证明误差系统到达滑模面后，于是有选取Lyapunov 函数则由引理2 得又由引理1 易得误差轨迹会在有限时间内达到平衡点．在假设2 下设计自适应控制器，使得系统的所有状态到达并永远保持在滑模面上．设计控制器和自适应律式中分别为mi,ni的观测估计值，ki >0,i=1,2．定理2 在控制器(6)和自适应律(7)的作用下，误差系统(3)的状态轨迹可以达到滑模面．证明选择Lyapunov 函数求导得由假设1 和假设2，可得由稳定性理论知，在控制器(6)和自适应律(7)的作用下，误差系统(3)的状态轨迹能达到滑模面．注4 γ=0 时，系统(1)为无阻尼单摆系统注5 µ=1 时，系统(1)为整数阶单摆系统特别地，当γ=0 时，系统(1)为整数阶无阻尼单摆系统4 数值仿真设计如下一类无阻尼单摆系统作为主系统g=9.8,l=1.2,µ=0.86 时，系统呈现混沌状态，其从系统为定义误差e1=y1 −x1,e2=y2 −x2，则误差系统为取并取滑模面及控制器参数为系统初始值设置为则系统的误差曲线如图1 所示．图1:无阻尼系统的误差曲线5 结论利用滑模同步方法研究了分数阶单摆系统的滑模同步问题，基于Lyapunov 稳定性理论和分数阶微积分，给出了滑模面和控制器的设计，得到了主从系统取得滑模混沌同步的充分条件，研究该问题对应的有限时间滑模同步是下一步需要解决的问题．参考文献：【相关文献】[1]Mandelbrot B B,Van Ness J W.Fractional Brownian motions,fractional noises and applications[J].SIAM Review,1968,10(4):422-437[2]Mandelbrot B B.The Fractal Geometry of Nature[M].New York:Freeman and Co 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2011年1月第37卷第1期北京航空航天大学学报Journa l o f Be iji ng U nivers it y of A eronauti cs and A stronauti cs January 2011V o.l 37 N o 1收稿日期:2009-11-20作者简介:赵 霞(1979-),女,河北定州人,博士生,zhaox i a @asee .buaa .edu .cn.基于多模态滑模的快速非奇异终端滑模控制赵 霞 姜玉宪吴云洁周尹强(北京航空航天大学自动化科学与电气工程学院,北京100191)摘 要:根据多模态滑模概念,提出了一种快速非奇异终端滑模控制方法(F NTS M,FastNonsi n gu l a r Ter m ina l Sliding M ode),实现了非奇异终端滑模控制的全局快速收敛.多模态滑模通过设计分段切换函数,实现多个滑动模态.F NTS M 的切换函数由线性滑模的切换函数和非奇异终端滑模的切换函数连接而成.当系统状态远离平衡点时,系统运行于线性滑动模态;当系统状态靠近平衡点时,系统运行于非奇异终端滑动模态.设计了切换型控制律,保证了系统的到达时间和滑动时间都是有限的.数值仿真表明:FNTS M 控制与非奇异终端滑模控制、线性滑模控制相比具有快速性优点.关 键 词:变结构控制;滑模控制;切换中图分类号:TP 273文献标识码:A 文章编号:1001-5965(2011)01-0110-04Fast nonsingul a r ter m i n a l s li d i n g mode control based on m ult -i sli d e -modeZhao X i a Jiang Yux ian W u Yunjie Zhou Y inqiang(S chool of Auto m ati on S ci en ce and E lectricalE ngi neeri ng ,B eiji ng Un i vers i ty ofA eronau tics and A stron auti cs ,Beiji ng 100191,Ch i na)Abstr act :A fast nonsingu lar ter m ina l sli d i n g m ode (FNTSM )contr o l is proposed to rea lize the g l o ba l fast conver gence of nonsingu lar ter m i n a l sliding m ode contro l based on the concept of mu lt-i sli d e -m ode (M S M ).The M S M has severa l sliding modes by design i n g piece w ise s w itch i n g f u nction .A ccor d i n g to theconcept ofM S M,t h e s w itching functi o n o fFNTS M is connected by t h e s w itching functi o n o f li n ear sliding m ode and nonsi n gular ter m i n al sli d i n g m ode .If the syste m state is far a w ay fro m the equ ili b ri u m,the syste m runs on li n ear sliding m ode .If the syste m state is near to the equili b riu m,the syste m r uns on nonsi n gu l a r ter m i n al slid -i n g m ode .A s w itch i n g contr o l la w is designed to guarantee the reaching ti m e and sli d i n g ti m e are finite .The si m ulation show the FNTS M contro l is faster than nonsi n gular ter m ina l sliding m ode control and li n ear sliding m ode contro.lKey wor ds :variable str ucture contr o ;l sli d i n g m ode contro;l sw itch i n g非奇异终端滑模(NTS M,Nonsingu lar Ter m -i nal Slidi n g M ode)控制由终端滑模(TS M,Ter m ina l S li d i n g M ode)控制衍变而来,它具有控制非奇异、有限时间收敛的优点,因而在电机控制[1]、机器人控制[2]、导弹控制[3]等众多领域得到应用.但是,当系统状态远离平衡点时,NTS M 收敛速度不高,即系统不具备全局快速收敛特性.该特点影响了NTS M 控制在大范围运行的、对收敛速度要求较高的系统中的应用.NTS M 控制的上述问题在TS M 控制中同样存在.文献[4]给出了解决TSM 全局快速收敛问题的有效方案.与此类似,文献[5]提出了一种解决NTS M 的全局快速收敛和抖振问题的方法,但存在如下问题:滑动模态中参数较多,设计比较复杂;连续控制律消除了抖振,却以到达阶段渐近收敛为代价;当参数选择不恰当时,有可能出现收敛停滞现象.由此可见,NTS M 的全局快速收敛问题并没有完全解决.文献[6]提出了多模态滑模(mu lt-i sli d e -m ode)概念,其思路是突破传统单一模态的概念,为系统设计分段切换函数,实现多个滑动模态.本文基于多模态滑模概念,设计一种由线性滑模(LS M,Linear S li d i n g M ode)和NTS M组合而成的快速非奇异终端滑模(F NTS M,Fast Nonsi n-gular Ter m ina l S li d i n g M ode),以提高系统的快速性能.1 NTS M控制考虑如下二阶非线性不确定系统:x 1=x2x 2=f(x)+b(x)u+d(x)(1)式中,x=[x1,x2]T,x1,x2是系统状态变量;f(x)是非线性函数;d(x)为系统不确定性因素和外部干扰,并且满足 d(x) D,D>0;u是控制输入.NTS M控制的切换函数和控制律分别为[2,7]s=x1+1xp/q2(2)u=-b-1(x) qpx2-p/q2+f(x)+k sgn s(3)式中, >0; >0;p,q是正奇数;k=D+ .由于1<p/q<2,故x2的指数总大于0,不会出现控制奇异现象.由式(2)可见,NTS M可表示为x2=(- x1)q/p(4) 根据s=cx1+x2,且c>0,LS M可表示为x2=-cx1(5) 对比式(4)、式(5),由于0.5<q/p<1,当系统状态靠近平衡点时,NTS M的收敛速度高于LS M的收敛速度;当系统状态远离平衡点时, NTS M的收敛速度低于LS M的收敛速度,所以, NTS M不具备全局快速的收敛特性.2 FNTS M控制基于多模态滑模概念,介绍LSM和NTS M组合而成的F NTS M控制方法,解决NTS M全局快速收敛问题.2.1 多模态滑模多模态是相对于传统的单模态而言的.多模态滑模的核心概念是通过设计分段切换函数,实现多个滑动模态.由于滑动模态的个数及形式可以根据系统需求进行设计,系统的动态性能容易实现.滑模控制的切换函数多为线性形式,多模态滑模的切换函数可以有多种形式,比如正弦函数、指数函数等.由文献[6]知,多模态滑模控制方法设计简单,易于使用.2.2 切换函数设计为了实现全局快速的非奇异终端滑模控制,设计FNTS M的切换函数为s=cx1+x2|x1|>x1+1xp/q2|x1|(6)式中,c>0; ,p,q取值同式(2).很明显,式(6)由LS M和NTS M的切换函数分段连接而成.由于LS M和NTS M的切换函数各自独立,可以采用现有方法进行设计,这里不再赘述.但是,为了使连接点处的速度连续,即x1= 时x2要相等,所以=( -/c)p/(p-q)(7)式中, -= q/p.2.3 控制律的设计滑模控制中,控制律的作用是保证系统状态到达滑动模态并沿滑动模态运行.本文在文献[2,4]的基础上,设计FNTS M控制的开关型控制律.定理 对于式(1)和式(6),若控制律设计为u=-b-1(x)[cx2+f(x)+k sgn s]|x1|>-b-1(x)qpx2-p/q2+f(x)+k sgn s|x1|(8)式中,p,q同式(2),则滑动模态是全局存在的,且式(1)的到达时间和滑动时间均是有限的.证明 对式(6)求导得s =cx2+x 2|x1|>x2+pq xp/q-12x2|x1|(9) 将式(1)代入式(9),并考虑式(8)得s =d(x)-k sgn s|x1|>pq xp/q-12[d(x)-k sgn s]|x1|(10) 由于 d(x) D,k=D+ ,当|x1|> 时, li ms 0-s >0,li ms 0+s <0,所以,滑动模态存在且稳定.当|x1| 时,由文献[2,7]知,无论x2是否为0,滑动模态都存在且稳定.所以,滑动模态全局存在且稳定.由于F NTS M适用于大范围运行的系统,所以,系统的到达阶段是相对于FNTS M中LSM段而言的.由于LSM的吸引子是式(10)中|x1|> 段,故系统的到达时间是有限的,且到达时间为111第1期 赵 霞等:基于多模态滑模的快速非奇异终端滑模控制t r |s(0)|(11)式中,s(0)为系统初态所对应的切换函数值.假设系统到达滑动模态的状态为x(t r),下面考虑系统沿FNTS M运行的时间.在FNTSM上,系统的动态性能可表示为x2=-cx1|x1|>(- x1)q/p|x1|(12)假设系统状态x1从x1(tr)收敛到 所需的时间为t s1,则x 1(t r)1x1d x1= t r+t s1t r-c d t(13)故滑动时间ts1为t s1=1clnx1(t r)(14)假设系统从 运动到平衡点0所需的时间为t s2,则0 x-q/p1d x1= t r+t s1+t s2t r+t s1- -d t故滑动时间t s2为t s2=p-(p-q)| |1-q p(15)故系统在F NTS M上的滑动时间为t s=t s1+t s2=1clnx1(t r)+p-(p-q)| |1-q p(16)所以,系统在FNTS M上的滑动时间是有限的.证毕在x1(t r),c,p,q, 一定的情况下,式(16)是 的函数.当 =( -/c)p/(p-q)时,式(16)有极小值.该结果与式(7)是一致的,这说明连续切换函数的收敛时间最短.在x1(t r),p,q, , 一定的情况下,式(16)是c的函数,由于滑动时间t s和c成反比,所以c越大,收敛时间越短,反之,收敛时间越长.若c,p,q, , 一定的情况下,式(16)中t s受x1(t r)影响.显然,t s会随着x1(t r)的增大而增大. x1(t r)是状态x1到达滑模的值,一般由系统在到达阶段的动态特性和式(11)相结合估计确定.在实际使用中,控制律可以根据系统实际情况灵活设计.例如,为了消除抖振,式(8)可以采用文献[5]中的连续型控制律,同样可以保证系统的到达时间和滑动时间有限.但是,由于文献[5]中控制律仅能保证系统状态到达滑动模态的邻域,本文不予采用.2.4 F NTSM与NTS M快速性比较由于FNTS M包含了LSM和NTS M两种模态,当系统状态远离平衡点时,系统运行于LS M,发挥了LS M的收敛速度高于NTS M的收敛速度这个优点;当系统状态靠近平衡点时,系统运行于NTS M,发挥了NTS M的收敛速度高于LS M的收敛速度的优点.故F NTS M具有全局快速收敛的特性.下面通过数值计算的方法,对FNTS M和NTS M的收敛时间进行比较.系统状态FNTS M和NTS M上的滑动时间表达式分别为式(16)和式(17)t s=p-(p-q)|x1(t r)|1-q p(17) 若已知x1(t r),设计c= =1,p=5,q=3,可以采用式(16)、式(17)分别计算出两种控制方法所用的滑动时间.表1是x1(t r)为5,10,15m时, FNTS M和NTS M的滑动时间对比情况.由表1知,对于同样的x1(t r),FNTSM的滑动时间小于NTS M的滑动时间.而且,随着x1(t r)的增大, FNTS M的快速性越明显.表1 FNT S M和NT S M的滑动时间对比情况x1(t r)/m控制方法滑动时间/s5NTS MF NTS M4.75914.109410NTS MF NTS M6.27974.802615NTS MF NTS M7.38545.2081上述比较结果仅适用于系统的滑动阶段,而系统的运动过程包括到达阶段和滑动阶段两个过程,故FNTS M和NTSM的快速性是不易确定的.但是,对于系统状态大范围转移的滑模控制系统来说,有限到达时间是容易实现的,且一般要求到达时间t r远远小于滑动时间t s,所以,FNTS M的快速性优势还是存在的.3 仿真验证对于式(1),若f(x)=0.5x1,b(x)=1, d(x)=0.1sin x1, =5,公共控制参数同2.3节.假定系统初态x10=15m,x20=-10m/s,分别采用FNTS M和NTS M控制方法,系统仿真结果如图1所示.由图1知,x1均从初值15m收敛到平衡值0m,符合控制要求;FNTS M控制的收敛时间为5 s,NTSM控制的收敛时间为6.5s,FNTS M控制具有明显快速性.由于到达阶段的影响,上述结果与表1中x1(t r)为15m的收敛时间略有不同.112北京航空航天大学学报 2011年图1 F N TS M 和NT S M 控制下x 1变化曲线若上述系统分别采用FNTS M 和LS M 控制(式(6)、式(8)中|x 1|> 段),仿真结果如图2所示.从P 区域(4.5~8s)的放大图可以看出,FNTSM 比LS M 的收敛速度快.a x 1变化曲线b P 区域放大图图2 F N TS M 和LS M 控制下x 1变化曲线4 结 论基于M S M 的FNTS M 控制方法,发挥了LS M 和NTS M 控制各自的优点,在保留NTS M 控制非奇异、有限时间收敛特点的同时,实现了NTS M 的全局快速收敛.该方法设计过程简单,容易实现,是解决NTS M 全局快速收敛问题的有效途径.参考文献(References )[1]陈晓丽,殷承良,梁大强,等.永磁无刷直流电动机非奇异终端滑模控制系统设计[J].上海交通大学学报,2008,42(12):2020-2025Chen X i aol,i Y i n Chengli ang ,L i ang Daqiang ,et a.l Des i gn of non -si ngu l ar ter m i nal sliding mode contro l syste m s of per manent m agnet b rus h less DC m otor [J].J ournal of Shangh ai Jiao TongUn ivers it y ,2008,42(12):2020-2025(i n Ch i n ese)[2]Feng Yong ,Yu X i nghuo ,M an Zh i hong .Non-s i ngu lar ter m i n alsli d i ng m ode contro l of ri gi d m an i pu l at ors [J ].Au to m atica ,2002,38(12):2159-2167[3]王洪强,方洋旺,伍友利.基于非奇异Ter m i n al 滑模的导弹末制导律研究[J].系统工程与电子技术,2009,31(6):1391-1395W ang H ongq i ang ,Fang Yangw ang ,W u You l.i Research on ter -m i nal gu i dan ce la w of m is s iles bas ed on non si ngular ter m i n al sildi 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n C h i nese)(编 辑:赵海容)113第1期 赵 霞等:基于多模态滑模的快速非奇异终端滑模控制。

航天器近距离交会的固定时间终端滑模控制袁利;马广富;董经纬;李传江;姜博严【摘要】针对航天器近距离交会段的位置姿态耦合控制问题,假设航天器受外界干扰且目标航天器存在空间自由翻滚情形时,基于固定时间概念设计了一种六自由度位姿终端滑模自适应控制器,通过引入显含正弦函数的切换项来避免奇异问题.此外所设计的控制器含双幂次项,不仅能全局提高姿态和位置的跟踪速度及精度,还能估计系统稳定所需的时间上界,且该上界与状态初始值无关.基于Lyapunov方法分析了闭环系统的固定时间稳定性.仿真结果表明,该控制器能快速实现对航天器近距离交会时相对位置和姿态的控制,具有较高的精度和良好的干扰抑制能力.%The problem of the relative position and attitude coupled control for rendezvous and docking is investigated in this paper,which takes the external disturbances into consideration and assumes that the target spacecraft is freely tumbling.An adaptive 6-DOF control scheme is proposed based on the concept of the fixed-time stabilization.Besides,the singularity problem is solved through a switch function which not only makes the settling time estimable,but also the estimated value is independent of the initial values of states.Then the stability proof is accomplished by the development of a Lyapunov function.The numerical results show that this method achieves good performance and robustness.【期刊名称】《宇航学报》【年(卷),期】2018(039)002【总页数】11页(P195-205)【关键词】航天器;近距离交会;终端滑模;固定时间控制【作者】袁利;马广富;董经纬;李传江;姜博严【作者单位】哈尔滨工业大学航天学院,哈尔滨150001;哈尔滨工业大学航天学院,哈尔滨150001;哈尔滨工业大学航天学院,哈尔滨150001;哈尔滨工业大学航天学院,哈尔滨150001;哈尔滨工业大学航天学院,哈尔滨150001【正文语种】中文【中图分类】V448.20 引言航天器近距离交会是空间任务中的一项关键技术，如在轨服务、空间拦截以及大型空间结构的组装等，这些任务不仅需要追踪航天器能够快速准确地跟踪并接近目标航天器，且在交会对接的近距离段需要追踪航天器的姿态伴随轨道机动进行同步的机动或跟踪，因此要求对追踪航天器进行六自由度的位姿耦合控制才能完成任务。