02专题复习二 分类讨论

专题02 相交线与平行线【易错题型专项训练】易错点一：两条直线的位置关系1.若∠α=54°，∠β的两边与∠α两边互相垂直，则∠β=____________．【难度】★★【答案】54︒或126︒．【解析】∠α和∠β是相等或者互补的关系．【总结】考察垂线的意义以及两解问题，注意分类讨论．2.平面上三条直线两两相交，最多有m 个交点，最少有n 个交点，则m n +=____________．【难度】★★【答案】4．【解析】最多有3个交点，最少有1个交点．3m =，1n =，4m n +=．【总结】考察学生的作图分析能力．3.作图：已知线段AB 上一点Q 及线段外一点P ．（1） 过点Q 作线段AB 的垂线；（2） 过点P 作线段AB 的垂线．【难度】★★【答案】如右图．【解析】注意标注垂直符号，以及字母的标注．【总结】画图一定要写结论．4.下列说法中正确的是（ ）A ．有公共顶点、公共边且和为180°的两个角是邻补角B ．有公共顶点且相等的是对顶角C ．对顶角的补角一定相等D ．互为邻补角的两个角不可能相等【难度】★【答案】C【解析】有一条公共边，并且另一条边互为反向延长线的两个角互为邻补角，故选项A 错误；有公共顶点且相等的两个角不一定是对顶角，故选项B 错误；C 正确；互为邻补角的两个角可能都为90︒，故选型D 错误．【总结】本题主要考查了对顶角和邻补角的概念．5.下列说法正确的是（ ）A ．如果两个角相等，那么这两个角是对顶角B ．经过一点有且只有一条直线与已知直线平行C ．如果两条直线被第三条直线所截，那么内错角相等D．联结直线外一点与直线上各点的所有线段中，垂线段最短【难度】★【答案】D【解析】对顶角相等，但相等的角不一定是对顶角，故选项A错误；过直线外一点有且只有一条直线与已知直线平行，故选项B错误；只有两直线平行时，它们的内错角才相等，故选项C错误；联结直线外一点与直线上各点的所有线段中，垂线段最短，故选项D正确．【总结】本题主要考查了对顶角、内错角、平行线、点到直线的距离的概念．易错点二：同位角、内错角、同旁内角1.在直线AB、CD被直线EF所截的八个角中∠1和∠5是一对________角，∠3和∠5是一对________角，∠4和∠5是一对________角．【难度】★【答案】同位角；内错角；同旁内角．【解析】同位角像字母F，内错角像字母Z，同旁内角像字母U．【总结】本题考查同位角、内错角、同旁内角的概念及特征．2.（1）如图∠1和∠2是直线________与________被直线_______所截，所形成的______角；（2）∠3和∠4是直线_____与_______被直线______所截，所形成的_______角；（3）∠C的同旁内角是_________．【难度】★【答案】（1）DC、AB、DB、内错角；（2）AD、CB、DB、内错角；（3）14、、、．∠∠∠∠CBA CDA【解析】两个角分别在截线的两侧，且在两条直线之间，具有这样位置关系的一对角叫做内错角，内错角像字母Z，同旁内角像字母U．【总结】本题考查内错角、同旁内角的概念及特征．3.如图，下列说法错误的是（）A．∠5和∠3是同位角B．∠1和∠4是同位角C．∠1和∠2是同旁内角D．∠5和∠6是内错角【难度】★【答案】B【解析】两个角都在截线的同旁，又分别处在被截的两条直线同侧的位置的角叫做同位角，故∠1和∠4不是同位角．【总结】本题考查同位角、内错角、同旁内角的概念及特征．4，如图，与∠C是同旁内角的有（）A．5个 B．4个C．3个D．2个【难度】★【答案】B【解析】∠C的同旁内角有：∠CED、∠B、∠EDC、∠ADC共四个．【总结】本题考查同旁内角的概念及特征．5.如图，同旁内角的对数是（）A．5对B．4对C．3对D．2对【难度】★★【答案】B【解析】两个角都在截线的同一侧，且在两条被截线之间，具有这样位置关系的一对角互为同旁内角．【总结】本题考查同旁内角的概念及特征．6.如图，∠1和∠2是同位角的是（ ）A ．（1）(2)B ．（2）（3）（4）C ．（1）（2）（4）D ．（3）（4）(4)(3)(2)(1)21212121【难度】★★【答案】C【解析】（1）（2）（4）中∠1与∠2都在截线的同旁，并且都在被截直线的同侧，是同位角；（3）中∠1与∠2两边不在同一直线上，不是同位角，故选C ．【总结】本题考查同位角的概念及特征，注意很多学生会容易误以为（2）中的两个角不是同位角，老师们要注意纠错哦．7.指出下图中：（1）∠C 与∠D 的关系；（2）∠B 与∠GEF 的关系；（3）∠A 与∠D 的关系；（4）∠AGE 与∠BGE 的关系；（5）∠CFD 与∠AFB 的关系．【难度】★★【答案】（1）同旁内角；（2）同位角；（3）内错角；（4）邻补角；（5）对顶角．【解析】 两个角都在截线的同旁，又分别处在被截的两条直线同侧的位置的角叫做同位角．两个角分别在截线的两侧，且在两条直线之间，具有这样位置关系的一对角叫做内错角．两个角都在截线的同一侧，且在两条被截线之间，具有这样位置关系的一对角互为同旁内角．【总结】本题考查同位角、内错角、同旁内角、邻补角、对顶角的概念及特征．8.找出图中∠1的所有的同位角．【难度】★★【答案】∠GEF 、∠CBM 、∠ADF 、∠BCN ．【解析】两个角都在截线的同旁，又分别处在被截的两条直线同侧的位置的角叫做同位角．【总结】本题考查同位角的概念及特征．易错点三：平行线的判定与性质1.如果两个角的一边在同一条直线上，另一边互相平行，那么这两个角（） A ．相等或互补B ．互补C ．相等D ．相等且互余【难度】★★【答案】A【解析】分为同侧相等和异侧互补两种情况，故选A ．【总结】本题考查平行线的基本应用，注意分类讨论．2.已若∠A 的两边与∠B 的两边分别平行，且∠A 是∠B 的2倍少30°，求∠A 与∠B 的度数．【难度】★★【答案】3030B A ∠=︒∠=︒，或70110B A ∠=︒∠=︒，．【解析】由题意可知，180A B A B ∠=∠∠+∠=︒或，又因为∠A 是∠B 的2倍少30°，所以230A B ∠=∠-︒，即3030B A ∠=︒∠=︒，或70110B A ∠=︒∠=︒，【总结】本题考查平行线的性质及两个角的两边平行时的两种情况的讨论．3.如果两个角的两边分别平行，其中一个角比另一个角的3倍多12°，则这两个角是( )．A ．42°和138°B ．都是10°C ．42°和138°或都是10°D ．以上都不对【难度】★★【答案】A 【解析】由题意假设这两个角分别为A 、B ，则有：180A B A B ∠=∠∠+∠=︒或，又因为∠A 是∠B 的3倍多12°，则有：312A B ∠=∠+︒，即180********B B B A ︒-∠=∠+︒∠=︒∠=︒，解得：，．【总结】本题考查两角位置关系的可能性，注意两种情况的讨论．5.已知：如图，E 、F 分别是AB 和CD 上的点，DE 、AF 分别交BC 于G 、H ，∠A =∠D ，∠1=∠2，试说明：∠B =∠C ．【难度】★★【解析】因为121AHB ∠=∠∠=∠（已知），（对顶角相等）所以2AHB ∠=∠（等量代换）， 所以//AF ED （同位角相等，两直线平行）所以D AFC ∠=∠（两直线平行，同位角相等）因为A D ∠=∠（已知）， 所以A AFC ∠=∠（等量代换） 所以//AB CD （内错角相等，两直线平行）所以B C ∠=∠（两直线平行，内错角相等）【总结】本题主要考察平行线的性质定理和判定定理的综合运用．6.如图，直线GC 截两条直线AB 、CD ，AE 是GAB ∠的平分线，CF 是ACD ∠的平分线，且//AE CF ，那么AB CD ∥吗？为什么？【难度】★★【解析】因为AE 是GAB ∠的平分线，CF 是ACD ∠的平分线（已知）所以GAE EAB ACF FCD ∠=∠∠=∠，（角平分线的性质）因为//AE CF （已知），所以GAE ACF ∠=∠（两直线平行，同位角相等）所以EAB FCD ∠=∠（等量代换）所以//(AB CD 同位角相等，两直线平行)【总结】本题主要考查平行线的判定定理及性质定理的综合运用．7.已知，正方形ABCD 的边长为4cm ，求三角形EBC 的面积．【难度】★★【答案】8平方厘米．【解析】由题意可知：三角形EBC 与正方形同底BC ，且其高即是正方形的边DC ，故三角形面积为正方形面积的一半：24428cm ⨯÷=【总结】本题考查三角形的面积的计算，注意三角形与正方形同底等高．8.如图，AD //BC ，52BC AD =，求三角形ABC 与三角形ACD 的面积之比．【难度】★★★【答案】5:2．【解析】因为//AD BC （已知）所以三角形ABC 与三角形ACD 的高相等（平行线间的距离处处相等）所以::52ABC ACD S S BC AD ∆∆==：（两三角形高相等，面积比等于底之比）【总结】本题考查平行线距离处处相等及三角形的面积比问题．9.如图，a ∥b ，．若△ABC 的面积是5，△ABE 的面积是2，则BEC S △=________；DEC S =__________；DBC S =__________；ADE S =___________．【难度】★★★【答案】3；2；5；43．【解析】因为△ABC的面积是5，△ABE的面积是2，所以△BEC的面积为5-2=3，因为△ABC和△DBC为同底等高的三角形，所以△DBC的面积为5，所以△DEC的面积为5-3=2，因为△ABE和△BEC为等高三角形，所以面积之比为底之比，即AE:EC=2：3，因为△ADE和△DEC为等高三角形，所以底之比为面积之比，所以△ADE的面积为4 232=3÷⨯．【总结】本题主要考查了平行线的性质和三角形面积的求法．10.如图，已知∠1=∠2，AD=2BC，三角形ABC的面积为3，求三角形CAD的面积．【难度】★★【答案】6【解析】因为∠1=∠2（已知）所以AD∥BC（内错角相等，两直线平行），所以AD到BC的距离相等，设为a，所以三角形ABC面积=12a BC⨯ =3，所以三角形ACD面积= 12a AD a BC⨯=⨯=6．【总结】本题主要考查了等高三角形的面积之比为底之比的应用．11.如图△ABC中，∠ABC=∠ACB，AE是△ABC的外角的平分线，F是AE上的一点，试说明△ABC与△FBC的面积相等．【难度】★★【解析】因为AE 是△ABC 的外角的平分线（已知）所以∠DAF =12∠DAC （角平分线的意义）因为180DAC BAC ∠+∠=（邻补角的意义），180BAC ABC ACB ∠+∠+∠=（三角形内角和等于180°）所以∠DAC =∠ABC +∠ACB （等式性质）因为DAC DAF CAF ∠=∠+∠（角的和差），∠ABC=∠ACB （已知）所以∠DAF =∠ABC （等式性质）所以AF//BC （同位角相等，两直线平行），所以点A 到直线BC 的距离等于点F 到直线BC 的距离（夹在平行线间的距离处处相等）所以△ABC 与△FBC 为同底等高三角形，所以△ABC 与△FBC 的面积相等．【总结】本题主要考查了平行线的判定和同底等高三角形面积相等的应用．12.如图，已知AB ∥ED ，试说明：∠B +∠D ＝∠C ．【难度】★★【解析】过点C 作AB 的平行线CF ，因为AB ∥ED （已知）所以////AB CF ED （平行的传递性）所以B BCF D DCF ∠=∠∠=∠，（两直线平行，内错角相等）所以B D BCF DCF BCD ∠+∠=∠+∠=∠（等式性质）【总结】本题考查平行线的性质及辅助线的添加．13.如图所示，已知，++360A B C ︒∠∠∠=，试说明AE ∥CD ．【难度】★★【解析】过点B向右作BF//AE，所以180A ABF∠+∠=︒（两直线平行，同旁内角互补）因为++360∠∠∠=（已知）A B C︒所以180∠+∠=︒（等式性质）FBC C所以//BF CD（同旁内角互补，两直线平行）所以//AE CD（平行的传递性）【总结】本题考查平行线的判定及性质的综合运用，注意简单的辅助线的添加方法．14.如图，已知：AB//CD，试说明：∠B+∠D+∠BED=360︒（至少用三种方法）．【难度】★★【解析】方法一：连接BD则∠EBD+∠EDB+∠E=180°（三角形内角和等于180°）因为AB//CD（已知），所以∠ABD+∠BDC=180°（两直线平行，同旁内角互补）所以∠ABD+∠EBD+∠EDB+∠BDC+∠E=360°，即∠B+∠D+∠BED=360°方法二：过点E作EF//CD，因为//EF AB（平行的传递性）AB CD（已知），所以//所以∠B+∠BEF=180°，∠D+∠DEF=180°（两直线平行，同旁内角互补）所以∠B+∠BEF+∠D+∠DEF=360°（等式性质）即∠B+∠D+∠BED=360°；方法三：过点E作//EF BA因为//EF AB（平行的传递性）AB CD（已知），所以//所以180180，（两直线平行，同旁内角互补）ABE BEF FED EDC∠+∠=︒∠+∠=︒所以∠B+∠D+∠BED=360︒（等式性质）；方法四：过点E作EF⊥CD的延长线与F，EG垂直于AB的延长线于G，则有：∠B=∠BGE+∠GEB，∠D=∠EDF+∠DFE，所以∠B+∠D+∠BED=∠BGE+∠DFE+∠GED=180+180=360°．【总结】本题考查平行线的判定及性质的综合运用，注意多种方法的归纳总结．11。

中考数学专题复习2：阅读理解题Ⅰ、综合问题精讲：阅读理解型问题以内容丰富、构思新颖别致、题样多变为特点．知识的覆盖面较大，它可以是阅读课本原文，也可以是设计一个新的数学情境，让学生在阅读的基础上，理解其中的内容、方法和思想，然后在把握本质，理解实质的基础上作出回答．这类问题的主要题型有：阅读特殊范例，推出一般结论；阅读解题过程，总结解题思路和方法；阅读新知识，研究新问题等．这类试题要求考生能透彻理解课本中的所学内容，善于总结解题规律，并能准确阐述自己的思想和观点，考查学生对数学知识的理解水平、数学方法的运用水平及分析推理能力、数据处理能力、文字概括能力、书面表达能力、随机应变能力和知识的迁移能力等．因此，在平时的学习和复习中应透彻理解所学内容．搞清楚知识的来龙去脉，不仅要学会数学知识，更要掌握在研究知识的过程中体现出的数学思想和方法．Ⅱ、典型例题剖析【例1】（，模拟，9分）如图 2－7－1所示，正方形ABCD和正方形EFGH的边长分别为2 2 和2 ，对角线BD、FH都在直线l上，O1、O2分别是正方形的中心，线段O1O2的长叫做两个正方形的中心距．当中心O在直线l上平移时，正方形 EFH也随之平移，在平移时正方形EFGH的形状、大小没有改变．（1）计算：O1D=_______，O2 F=______；（2）当中心O2在直线 l上平移到两个正方形只有一个公共点时，中心距O1 O2 =_________.（3）随着中心 O2在直线 l上的平移，两个正方形的公共点的个数还有哪些变化？并求出相对应的中心距的值或取值范围．（不必写出计算过程）解：（1）O1D=2，O2 F=1；（2）O1 O2 =3；（2）当O1 O2＞3或0≤O1 O2＜1时，两个正方形无公共点；当O1 O2=1时，两个正方形有无数个公共点；当1＜O1 O2＜3时，两个正方形有2个公共点．点拨：本题实际上考查的知识点是“两圆的位置关系”，但形式有所变化．因此，可以再次经历探索两个圆之间的位置关系，认真分析并总结两圆五种位置关系所对应的圆心距d与半径R和r的数量关系，五种位置关系主要由两个因素确定：①公共点的个数；②一个圆上的点在另一个圆的外部还是内部，按这两个因素为线索来探究位置关系．然后，把这种利用平移实验直观探索方法迁移到研究“两个正方形的位置关系”上来．【例2】（，内江，9分）阅读材料，大数学家高斯在上学读书时曾经研究过这样一个问题：1+2+3+…+100＝？经过研究，这个问题的一般性结论是1+2+3+…+()121+=n n n ，其中ｎ是正整数。

专题02三角函数 三角恒等变换（难点）一、单选题1．已知函数()sin()f x A x ωϕ=+(0A >，0>ω，||2πϕ≤)，满足06f π⎛⎫-= ⎪⎝⎭且对于任意的x ∈R 都有2()3f x f x π⎛⎫=- ⎪⎝⎭，若()f x 在52,369ππ⎛⎫⎪⎝⎭上单调，则ω的最大值为（ ） A ．5 B ．7C ．9D ．11【答案】C 2．设函数()cos (0)4f x x πωω⎛⎫=-> ⎪⎝⎭，已知()f x 在[[0,2]π有且仅有4个零点，下述四个结论：①()1f x =在[0,2]π有且仅有2个零点；②()1f x =-在[0,2]π有且仅有2个零点；③ω的取值范围是1519,88⎡⎫⎪⎢⎣⎭；④()f x 在0,10π⎛⎫⎪⎝⎭单调递增，其中正确个数是（ ）A ．0个B ．1个C ．2个D ．3个【答案】D 【解析】 由[0,2]xπ时，得到,2444x πππωπω⎡⎤-∈--⎢⎥⎣⎦，根据()f x 在[[0,2]π有且仅有4个零点，则24ππω-在第4个零点和第5个零点之间，然后利用余弦函数的性质求解.当[0,2]xπ时，,2444x πππωπω⎡⎤-∈--⎢⎥⎣⎦，因为()f x 在[[0,2]π有且仅有4个零点， 所以24ππω-在第4个零点和第5个零点之间，所以792242ππππω≤-<， 解得151988ω<≤，故③正确； 当()1f x =时，2,4x k k Z πωπ-=∈，又924244x πππππωω-≤-≤-<，0,1,2k ∴=，结合cos y x =知()1f x =最多有3个零点，故①错误；当()1f x =-时，2,4x k k Z πωππ-=+∈，又924244xπππππωω-≤-≤-<， 0,1k ∴=，结合cos y x =()1f x =-有且仅有2个零点，故②正确；当0,10x π⎛⎫∈ ⎪⎝⎭时，,44104x πππωπω⎛⎫-∈-- ⎪⎝⎭，因为151988ω<≤，所以,1041680πωπππ⎡⎤-∈--⎢⎥⎣⎦，则0104πωπ-<，所以()f x 在0,10π⎛⎫⎪⎝⎭单调递增，故④正确； 故选：D 【点睛】关键点点睛：本题关键是利用整体思想，根据()f x 在[[0,2]π有且仅有4个零点，确定792242ππππω≤-<，求得ω的范围，其他问题迎刃而解. 3．已知函数()()sin f x x ωϕ=+（0>ω，ϕπ<）的部分图像如图所示，若存在120x x π≤<≤，满足()()1234f x f x ==，则()12cos x x -=（ ）A ．7B 7C ．34D ．34-【答案】C 【解析】根据图象求出函数的解析式，结合对称性求出2123x x π=-，然后利用三角函数的诱导公式进行转化，即可求解.由图象可得函数的周期为13762()2121212T ππππ=⨯-=⨯=，即2wππ=，解得2w =， 又由当7135121226x πππ+==时，函数55()sin(2)166f ππϕ=⨯+=-，即532,32k k Z ππϕπ+=+∈，即2,6k k Z πϕπ=-∈， 当0k=时，6πϕ=-，即()sin(2)6f x x π=-，因为存在120x x π≤<≤，满足()()1234f x f x ==， 所以1112666x πππ-≤-≤，则11222,266x x ππθθ=-=-关于2π对称， 即12226622x x πππ-+-=，可得2123x x π=-，且13sin(2)64x π-=， 则()1212cos cos(2)3x x x π-=-， 设126x πα-=，则126x πα=+，即3sin 4α=，则()121223cos cos(2)cos()cos()sin 36324x x x ππππααα-=-=+-=-==. 故选：C. 【点睛】本题主要考查了三角函数值的计算，结合条件求出函数的解析式，利用三角函数的对称性以及三角函数的诱导公式进行转化是解答的关键，试题综合性强，属于中档试题.4．筒车是我国古代发明的一种水利灌溉工具，既经济又环保，明代科学家徐光启在《农政全书》中用图1描绘了筒车的工作原理.假定在水流稳定的情况下，筒车上的每一个盛水筒都做匀速圆周运动.将筒车抽象为一个几何图形（圆），筒车的半径为2m ，筒车的轴心O 到水面的距离为1m ，筒车每分钟按逆时针转动2圈.规定：盛水筒M 对应的点P 从水中浮现（即0P 时的位置）时开始计算时间，设盛水筒M 从0P 运动到点P 时所用时间为t （单位：s ），且此时点P 距离水面的高度为h （单位：m ）.若以筒车的轴心O 为坐标原点，过点O 的水平直线为x 轴建立平面直角坐标系xOy （如图2），则h 与t 的函数关系式为（ ）A ．2sin 1156h t ππ⎛⎫=-+⎪⎝⎭，[)0,t ∈+∞B ．2sin 1156h t ππ⎛⎫=++⎪⎝⎭，[)0,t ∈+∞ C ．2sin 16h t ππ⎛⎫=-+ ⎪⎝⎭，[)0,t ∈+∞ D ．2sin 16h t ππ⎛⎫=++ ⎪⎝⎭，[)0,t ∈+∞ 【答案】A 【解析】首先先求以OP 为终边的角为156t ππ-，再根据三角函数的定义求点P 的纵坐标，以及根据图形表示()h t .06xOP π∠=，所以0OP 对应的角是6π-，由OP 在()t s 内转过的角为226015t t ππ⨯=， 可知以Ox 为始边，以OP 为终边的角为156t ππ-，则点P 的纵坐标为2sin 156t ππ⎛⎫-⎪⎝⎭，所以点P 距水面的高度()h m 表示为()t s 的函数是2sin 1156h t ππ⎛⎫=-+⎪⎝⎭.故选：A 【点睛】关键点点睛：本题的关键读懂题意，并能抽象出函数关系，关键是求以OP 在()t s 内转过的角为226015t t ππ⨯=，再求以OP 为终边的角为156t ππ-.5．已知函数()()x f x ωϕ=+（0>ω）的一个对称中心为,04π⎛⎫ ⎪⎝⎭，且将()y f x =的图象向右平移6π个单位所得到的函数为偶函数.若对任意ω，不等式22226m fm πω⎡⎤⎛⎫+⋅-> ⎪⎢⎥⎝⎭⎣⎦恒成立，则实数m 的取值范围是（ ） A ．94,55⎛⎫-⎪⎝⎭B ．49,55⎛⎫-⎪⎝⎭ C ．94,,55⎛⎫⎛⎫-∞-+∞ ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭D ．49,,55⎛⎫⎛⎫-∞-+∞ ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭【答案】B【解析】由,04π⎛⎫⎪⎝⎭是对称中心，可得()4k k Z ωπϕπ+=∈，由平移后的函数为偶函数可得62()k Z k πωϕππ+-+=∈，可求得ω的关系式及min ω，由6f π⎛⎫-= ⎪⎭⎝22m m ω+>恒成立，转化为()22min m m ω-<恒成立，结合min ω可求得实数m 的取值范围.,04π⎛⎫⎪⎝⎭是函数()()x f x ωϕ=+（0>ω）的一个对称中心， ()4k k Z ωπϕπ∴+=∈①()y f x =的图像向右平移6π个单位得到的函数为6x y ωωϕπ⎛⎫=-+ ⎪⎝⎭， in 62s x y ωωϕ⎛⎫=-+ ⎪⎝π⎭为偶函数，62()k Z k ϕπωππ+∴-+=∈②由①②可知，1225()k k Z πω=ππ∈+-，解得：()1()25k k Z ω6-=∈又662f k ππϕπω⎛⎫⎛⎫+= π⎛⎫-=-=+ ⎪⎝⎭⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭所以对任意ω，不等式22226m fm πω⎡⎤⎛⎫+⋅-> ⎪⎢⎥⎝⎭⎣⎦恒成立，即22m m ω+>恒成立 即()22minm m ω-<恒成立，又()1()25k k Z ω6-=∈且0>ω，min 5ω∴=6 225m m 6⎛⎫∴-< ⎪⎝⎭，解得：455m 9-<<所以实数m 的取值范围是49,55⎛⎫- ⎪⎝⎭ 故选：B 【点睛】方法点睛：本题考查不等式的恒成立问题， 不等式恒成立问题常见方法： ①分离参数()a f x ≥恒成立(()max a f x ≥即可)或()a f x ≤恒成立（()min a f x ≤即可）；②数形结合(()y f x =图像在()y g x = 上方即可)；③讨论最值()min 0f x ≥或()max 0f x ≤恒成立.6．设cos50cos127cos 40cos37a =︒⋅︒+︒⋅︒，)sin 56cos562b =︒-︒，221tan 391tan 39c -︒=+︒，()21cos802cos 5012d =︒-︒+，则a ，b ，c ，d 的大小关系是（ ） A ．a b d c >>> B ．c a b d >>> C ．b a d c >>> D ．a c b d >>>【答案】D 【解析】化简得到cos77a =︒，cos 79b =︒，cos 78c =︒，cos80d =︒，得到答案.cos50cos127cos 40cos37sin 40sin 37cos 40cos37cos77a =︒⋅︒+︒⋅︒=-︒︒+︒⋅︒=︒；)sin 45sin sin 5566cos c 56os 45cos56cos101cos79b =︒︒-︒︒=-︒==︒-︒︒； 22221tan 39cos 39sin 39cos781tan 39c -︒==︒-︒=︒+︒； ()222cos 1cos 40cos 50cos80802cos 5012d =︒=︒--︒=︒+︒. 根据余弦函数的单调性知：a c b d >>>. 故选：D . 【点睛】本题考查了三角恒等变换，三角函数的单调性，意在考查学生的综合应用能力. 7．将函数()3cos 3f x x π⎛⎫=-⎪⎝⎭的图象上的所有点的横坐标缩短为原来的12，纵坐标不变，再把所得的图象向左平移3π个单位长度，然后再把所得的图象向下平移1个单位长度，得到函数()gx 的图象，若()()1216g x g x =，且[]12,2,2x x ππ∈-，则122x x -的最大值为（ ）A ．133π B ．103π C ．52π D ．256π 【答案】A 【解析】根据三角函数平移变换,先求得()gx 的解析式.根据()()1216g x g x =,可知()()124g x g x ==-,即12cos 21,cos 2133x x ππ⎛⎫⎛⎫+=-+=- ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭.根据[]12,2,2x x ππ∈-可分别求得12x 的最大值和2x 的最小值,即可求得122x x -的最大值.根据平移变换将函数()3cos 3f x x π⎛⎫=-⎪⎝⎭的图象上的所有点的横坐标缩短为原来的12,纵坐标不变,再把所得的图象向左平移3π个单位长度,然后再把所得的图象向下平移1个单位长度, 可得()3cos 213gx x π⎛⎫=+- ⎪⎝⎭由()()1216gx g x =,可知()()124g x g x ==- 即12cos 21,cos 2133x x ππ⎛⎫⎛⎫+=-+=- ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭[]12,2,2x x ππ∈-所以12111311132,,2,333333x x ππππππ⎡⎤⎡⎤+∈-+∈-⎢⎥⎢⎥⎣⎦⎣⎦123x π+的最大值为3π,223x π+的最小值为3π-则12x 的最大值为83π,2x 的最小值为53π- 所以122x x -的最大值为8513333πππ⎛⎫--= ⎪⎝⎭故选:A 【点睛】本题考查了三角函数图象的平移变换,三角函数性质的综合应用,利用函数的最值求参数的取值情况,属于难题. 8．设函数()cos()cos()f x m x n x αβ=+++，其中m 、n 、α、β为已知实常数，x ∈R ，有下列四个命题：（1）若(0)02f f ⎛⎫==⎪⎝⎭π，则()0f x =对任意实数x 恒成立；（2）若(0)0f =，则函数()f x 为奇函数；（3）若02f ⎛⎫= ⎪⎝⎭π，则函数()f x 为偶函数；（4）当22(0)02f f ⎛⎫=≠ ⎪⎝⎭π时，若12()()0f x f x ==，则122x x k π-=（k Z ∈）；则上述命题中，正确的个数是（ ）A ．1个B ．2个C ．3个D ．4个【答案】C 【解析】利用两角和的余弦公式化简()f x 表达式. 对于命题（1），将(0)0,02f f π⎛⎫==⎪⎝⎭化简得到的表达式代入上述()f x 表达式，可判断出（1）选项的真假； 对于命题（2）选项，将(0)0f =化简得到的表达式代入上述()f x 表达式，可判断出()f x 为奇函数，由此判断出（2）选项的真假；对于命题（3）选项，将()02f π=化简得到的表达式代入上述()f x 表达式，可判断出()f x 为偶函数，由此判断出（3）选项的真假； 对于命题（4）选项，根据22(0)02f f π⎛⎫+≠ ⎪⎝⎭、()()120f x f x ==，求得()f x 的零点的表达式，进而判断出（4）选项的真假.()(cos cos sin sin )(cos cos sin sin )f x m x x n x x ααββ=-+-(cos cos )cos (sin sin )sin m n x m n x αβαβ=+-+不妨设()()11221122()cos cos cos sin sin sin f x k k x k k x αααα=+-+．1212,,,k k αα为已知实常数.若(0)0f =，则得1122cos cos 0k k αα+=；若()02f π=，则得1122sin sin 0k k αα+=．于是当(0)02f f ⎛⎫== ⎪⎝⎭π时，()0f x =对任意实数x 恒成立，即命题（1）是真命题； 当(0)0f =时，()1122()sin sin sin f x k k x αα=-+，它为奇函数，即命题（2）是真命题； 当()02f π=时，()1122()cos cos cos f x k k x αα=+，它为偶函数，即命题（3）是真命题；当22(0)02f f π⎛⎫+≠ ⎪⎝⎭时，令()0f x =，则()()11221122cos cos cos sin sin sin 0k k x k k x αααα+-+=，上述方程中，若cos 0x =，则sin 0x =，这与22cos sin 1x x +=矛盾，所以cos 0x ≠．将该方程的两边同除以cos x 得11221122cos cos tan sin sin k k x k k αααα+=+，令11221122cos cos sin sin k k t k k αααα+=+ （0t ≠），则 tan x t =，解得 arctan x k t π=+ （k Z ∈）．不妨取11arctan x k t π=+，22arctan x k t π=+ （1k Z ∈且2k Z ∈），则()1212x x k k π-=-，即12x x k π-= （k Z ∈），所以命题（4）是假命题．故选：C 【点睛】本题考查两角和差公式，三角函数零点，三角函数性质，重点考查读题，理解题和推理变形的能力，属于中档题型.二、多选题9．已知函数()|cos 2|cos ||f x x x =+，有下列四个结论，其中正确的结论为（ ）A ．()f x 在区间33,42ππ⎡⎤⎢⎥⎣⎦上单调递增 B ．π是()f x 的一个周期C ．()f x 的值域为2⎡⎤⎢⎥⎣⎦D ．()f x 的图象关于y 轴对称【答案】CD 【解析】代入特殊值检验，可得A 错误；求得(+)f x π的表达式，即可判断B 的正误；分段讨论，根据x 的范围，求得cos x 的范围，利用二次函数的性质，即可求得()f x 的值域，即可判断C 的正误；根据奇偶性的定义，即可判断()f x 的奇偶性，即可判断D 的正误，即可得答案.对于A ：因为33,42x ππ⎡⎤∈⎢⎥⎣⎦，所以32,32x ππ⎡⎤∈⎢⎥⎣⎦，555()cos cos ()cos 2cos 04242f f ππππππ=+=-=+=， 所以5()()4f f ππ<，所以()f x 在区间33,42ππ⎡⎤⎢⎥⎣⎦上不是单调递增函数，故A 错误； 对于B ：|cos2(|cos ||cos2cos ||cos2cos ||())x x x f x x x x ππππ=++=++≠+++， 所以π不是()f x 的一个周期，故B 错误；对于C ：|cos2(|cos |2|cos2cos ||=((2)2))x x x f f x x x πππ=++=+++，所以()f x 的周期为2π，当[0,]4x π∈时，cos x ∈，2()|cos2|cos ||cos2cos 2cos 1cos f x x x x x x x =+=+=-+∈；当3[,]44x ππ∈时，cos [22x ∈-，2()|cos2|cos ||cos2cos 12cos cos f x x x x x x x =+=-+=-+9[]8∈；当35[,]44x ππ∈时，cos [1,x ∈-，2()|cos2|cos ||cos2cos 2cos 1cos f x x x x x x x =+=+=-+[2∈-；当57[,]44x ππ∈时，cos [22x ∈，2()|cos2|cos ||cos2cos 12cos cos f x x x x x x x =+=-+=-+9[]28∈-；当7[,2]4x ππ∈时，cos x ∈，2()|cos2|cos ||cos2cos 2cos 1cos f x x x x x x x =+=+=-+∈；综上：()f x 的值域为2⎡⎤⎢⎥⎣⎦，故C 正确； 对于D ：()|cos(2)|cos |()||cos 2|cos ||()f x x x x x f x -=-+-=+=，所以()f x 为偶函数，即()f x 的图象关于y 轴对称，故D 正确， 故选：CD 【点睛】解题的关键是根据的()f x 解析式，结合函数的奇偶性、周期性求解，考查分类讨论，化简计算的能力，综合性较强，属中档题. 10．设函数()|cos ||cos2|f x x a x b =+++，,a b ∈R ，则（ ）A ．()f x 的最小正周期可能为2π B ．()f x 为偶函数C ．当0ab时，()f x 的最小值为2D ．存a ，b 使()f x 在0,2π⎛⎫⎪⎝⎭上单调递增【答案】BCD【解析】 A ．分析()2f x f x π⎛⎫=+ ⎪⎝⎭是否恒成立；B ．分析函数定义域，根据()(),f x f x -的关系判断是否为偶函数；C ．采用换元法，将()f x 写成分段函数的形式，然后分析每一段函数的取值范围，由此确定出最小值；D ．分析1a b ==-时的情况，根据复合函数的单调性判断方法进行分析判断.A ．因为cos cos 2sin cos 2222f x x a x b x a x b πππ⎛⎫⎛⎫⎛⎫+=+++++=-++-+ ⎪ ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭⎝⎭，所以()011,12f a b f a b π⎛⎫=+++=-+⎪⎝⎭，所以()02f f π⎛⎫= ⎪⎝⎭不一定成立， 所以()2f x f x π⎛⎫=+ ⎪⎝⎭不恒成立，所以()f x 的最小正周期不可能为2π，故错误；B ．因为()f x 的定义域为R ，关于原点对称；又因为()()()()cos cos 2cos cos 2f x x a x b x a x b f x -=-++-+=+++=， 所以()f x 为偶函数，故正确；C ．因为0ab，所以()cos cos2f x x x =+，所以()2cos 2cos 1f x x x =+-令[]cos 1,1x t =∈-，记[]221,1,1y t t t =+-∈-，所以222221,1,221,21,0,221,,12t t t t t t y t t t t t t ⎧⎡--∈--⎪⎢⎪⎣⎭⎪⎡⎫⎪--+∈⎪⎢⎪⎪⎪⎣⎭=⎨⎡⎪-++∈⎢⎪⎣⎭⎪⎪⎤⎪+-∈⎥⎪⎣⎦⎩，当1,t ⎡∈-⎢⎣⎭时，22219192122482482y t t t ⎛⎫⎛⎫=--=-->---= ⎪ ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭，当t ⎡⎫∈⎪⎢⎪⎣⎭时，222191921224848y t t t ⎛⎫⎛⎫=--+=-++≥-++= ⎪ ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭当2t ⎡∈⎢⎣⎭时，222191921224848y t t t ⎫⎛⎫=-++=--+>--+=⎪ ⎪⎪⎝⎭⎝⎭，当2t ⎤∈⎥⎣⎦时，22219192122482482y t t t ⎛⎫⎛⎫=+-=+-≥+-= ⎪ ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭，综上可知：()2cos 2cos 1f x x x =+-cos t x ==D ．取1a b ==-，所以()|cos 1||cos21|f x x x =-+-，所以()1cos 1cos2f x x x =-+-，所以()22cos cos 3f x x x =--+，所以()21252cos 48f x x ⎛⎫=-++ ⎪⎝⎭，又因为cos y x =在0,2π⎛⎫ ⎪⎝⎭上单调递减，且0,2x π⎛⎫∈ ⎪⎝⎭时，()cos 0,1x ∈，且2125248y t ⎛⎫=-++ ⎪⎝⎭在()0,1t ∈时单调递减，根据复合函数的单调性判断方法可知：()21252cos 48f x x ⎛⎫=-++ ⎪⎝⎭在0,2π⎛⎫ ⎪⎝⎭上单调递增，所以存在1a b ==-使()f x 在0,2π⎛⎫⎪⎝⎭上单调递增，故正确，故选：BCD. 【点睛】思路点睛：复合函数()()f g x 的单调性的判断方法：（1）先分析函数定义域，然后判断外层函数的单调性，再判断内层函数的单调性； （2）当内外层函数单调性相同时，则函数为递增函数； （3）当内外层函数单调性相反时，则函数为递减函数.11．如图，已知函数()sin()f x A x ωϕ=+（其中0A >，0>ω，2πϕ≤）的图象与x 轴交于点A ，B ，与y 轴交于点C ，2BC BD =，3OCB π∠=，||2OA =，3AD =.则下列说法正确的有（ ）.A ．()f x 的最小正周期为12B ．6πϕ=-C ．()f x 的最大值为163D ．()f x 在区间(14,17)上单调递增【答案】ACD 【解析】3sin |2A πϕω=+，sin(2)0ωϕ+=，可得A ，B ，C ，D 的坐标，根据221||AD =，可得方程22228(1)243A sin πϕω-+=，进而解出ω，ϕ，A ．判断出结论．解：由题意可得：||3|OB OC =，∴3sin |2A πϕω=+，sin(2)0ωϕ+=，(2,0)A ，(2B πω+，0)，(0,sin )C A ϕ．(12D πω∴+，sin )2A ϕ， 221||AD =，∴22228(1)243A sin πϕω-+=， 把|sin |)3A πϕω=+代入上式可得：2()2240ππωω-⨯-=，0>ω． 解得6πω=，6πω∴=，可得周期212T ωπ==．sin()03πϕ∴+=，||2πϕ，解得3πϕ=-．可知：B 不对．∴3sin()|263A π-=+，0A >，解得163A =．∴函数16()sin()363f x x ππ=-， 可知C 正确．(14,17)x ∈时，()(263x πππ-∈，5)2π，可得：函数()f x 在(14,17)x ∈单调递增． 综上可得：ACD 正确． 故选：ACD ． 【点睛】本题考查了三角函数方程的解法、三角函数求值、三角函数的图象与性质，考查了推理能力与计算能力，属于较难题． 12．已知函数()()sin f x x ωϕ=+（其中，0>ω，||2ϕπ<），08f π⎛⎫-= ⎪⎝⎭，3()8f x f π⎛⎫≤ ⎪⎝⎭恒成立，且()f x 在区间,1224ππ⎛⎫-⎪⎝⎭上单调，则下列说法正确的是（ ） A ．存在ϕ，使得()f x 是偶函数 B ．3(0)4f f π⎛⎫=⎪⎝⎭C ．ω是奇数D ．ω的最大值为3【答案】BCD 【解析】根据3()8f x f π⎛⎫≤ ⎪⎝⎭得到21k ω=+，根据单调区间得到3ω≤，得到1ω=或3ω=，故CD 正确，代入验证知()f x 不可能为偶函数，A 错误，计算得到B 正确，得到答案.08f π⎛⎫-= ⎪⎝⎭，3()8f x f π⎛⎫≤ ⎪⎝⎭，则3188242k T πππ⎛⎫⎛⎫--==+ ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭，k ∈N ， 故221T k π=+，21k ω=+，k ∈N ， 08f π⎛⎫-= ⎪⎝⎭，则()s n 08i f x πωϕ⎛⎫=+= ⎪⎭-⎝，故8k πωϕπ+=-，8k ϕπωπ=+，k Z ∈，当,1224x ππ⎛⎫∈-⎪⎝⎭时，,246x k k ωπωπωϕππ⎛⎫+∈++ ⎪⎝⎭，k Z ∈，()f x 在区间,1224ππ⎛⎫-⎪⎝⎭上单调，故241282T πππ⎛⎫--=≤ ⎪⎝⎭，故4T π≥，即8ω≤，0243ωππ<≤，故62ωππ≤，故3ω≤，综上所述：1ω=或3ω=，故CD 正确；1ω=或3ω=，故8k ϕππ=+或38k ϕππ=+，k Z ∈，()f x 不可能为偶函数，A 错误； 当1ω=时，(0)sin sin 8f k πϕπ⎛⎫==+⎪⎝⎭，33sin sin 4488f k k ππππππ⎛⎫⎛⎫⎛⎫=++=+ ⎪ ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭⎝⎭，故3(0)4f f π⎛⎫=⎪⎝⎭； 当3ω=时，3(0)sin sin 8f k πϕπ⎛⎫==+⎪⎝⎭， 393sin sin 4488f k k ππππππ⎛⎫⎛⎫⎛⎫=++=+ ⎪ ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭⎝⎭，故3(0)4f f π⎛⎫= ⎪⎝⎭， 综上所述：3(0)4f f π⎛⎫= ⎪⎝⎭，B 正确； 故选：BCD. 【点睛】本题考查了三角函数的性质和参数的计算，难度较大，意在考查学生的计算能力和综合应用能力. 三、填空题13．在平面直角坐标系中，对任意角α，设α的终边上异于原点的任意一点P 的坐标为(,)x y ，它与原点的距离是r .我们规定：比值,,r r xx y y分别叫做角α的正割､余割､余切，分别记作sec α，csc α，cot α，把sec ,csc ,cot y x y x y x ===分别叫做正割函数､余割函数､余切函数，则下列叙述正确的有___________(填上所有正确的序号)①3cot14π=； ②sin csc 1αα⋅=；③sec y x =的定义域为{}|,Z x x k k π≠∈；④22sec csc 4αα+；⑤2cot 1cot22cot ααα-=.【答案】②④⑤ 【解析】由题设新定义知：1sec cos αα=，1csc sin αα=，1cot tan αα=，由31cot 34tan 4ππ=、1sin csc sin sin αααα⋅=⋅、1sec =cos y x x =、2224sec csc sin 2ααα+=以及正切二倍角公式，即可判断各项的正误.①31cot134tan4ππ==-，故错误； ②1sin csc sin =1sin αααα⋅=⋅，故正确； ③1sec =cos y x x =，即cos 0x ≠，有|,Z 2x x k k ππ⎧⎫≠+∈⎨⎬⎩⎭，故错误； ④22222221114seccsc 4cos sin cos sin sin 2ααααααα+=+==≥，故正确；⑤212tan cot2,tan 2tan 21tan ααααα==-，所以221tan cot 1cos 22tan 2cot ααααα--==，故正确. 故答案为：②④⑤ 【点睛】关键点点睛：新定义有1sec cos αα=，1csc sin αα=，1cot tan αα=，结合三角恒等变换判断各项的正误.14．已知2()sin ||sin ||f x x x ππ=-，()|ln |g x x =，若对于121,36x ⎡⎤∀∈--⎢⎥⎣⎦，122,x e e -⎡⎤∃∈⎣⎦使得()()12f x g x ≥，则实数m 的取值范围是_________．【答案】2⎡⎫-+∞⎪⎢⎪⎣⎭【解析】先分析题意即()()12min min f x g x ≥，再利用单调性求解()f x 的最小值和()g x 的最小值，解不等式即得结果.依题意，对于121,36x ⎡⎤∀∈--⎢⎥⎣⎦，122,x e e -⎡⎤∃∈⎣⎦使得()()12f x g x ≥，只需()()12min min f x g x ≥. 21,36x ⎡⎤∀∈--⎢⎥⎣⎦时()sin sin sin y x x x πππ==-=-，2,36x πππ⎡⎤--⎢⎣∈⎥⎦，0y <，故当232,x πππ⎡⎤--⎢⎣∈⎥⎦，即212,3x ⎡⎤∈--⎢⎥⎣⎦时，sin y x π=单调递增， 当2,6x πππ⎡-∈⎤-⎢⎥⎣⎦，即1261,x ⎡⎤∈--⎢⎥⎣⎦时，sin y x π=单调递减. 而函数2()f x x x=-，显然在(),0x ∈-∞单调递减. 故根据复合函数单调性可知，2()sin ||sin ||f x x x ππ=-在212,3x ⎡⎤∈--⎢⎥⎣⎦单调递减，在1261,x ⎡⎤∈--⎢⎥⎣⎦上单调递增，故min 122()sin 11221sin 2f x f ππ⎛⎫=-=-=-= ⎪⎝⎭. 对于12,x e e -⎡⎤∈⎣⎦，()|ln |g x x =，当1,1x e -⎡⎤∈⎣⎦时ln 0x ≤，故()ln g x x =-是单调递减的，当(21,x e ⎤∈⎦时ln 0x >，故()ln g x x =是单调递增的，故min()(1)|ln1|g x g ===.故依题意知，1≥，即2m ≥-.所以实数m的取值范围是2⎡⎫-+∞⎪⎢⎪⎣⎭.故答案为：,2⎡⎫-+∞⎪⎢⎪⎣⎭. 【点睛】结论点睛：本题考查不等式的恒成立与有解问题，可按如下规则转化： 一般地，已知函数()[],,y f x x a b =∈，()[],,y g x x c d =∈（1）若[]1,x a b ∀∈，[]2,x c d ∀∈，有()()12f x g x >成立，故()()12a min m x f x g x >； （2）若[]1,x a b ∀∈，[]2,x c d ∃∈，有()()12f x g x >成立，故()()12min min f x g x >；（3）若[]1,x a b ∃∈，[]2,x c d ∃∈，有()()12f x g x >成立，故()()12max min f x g x >； （4）若[]1,x a b ∀∈，[]2,x c d ∃∈，有()()12f x g x =，则()f x 的值域是()g x 值域的子集.15．关于函数()sin cos |sin cos |f x x x x x =++-，下列说法正确．．的是___________（将正确的序号写在横线上）（1）()f x 是以2π为周期的函数； （2）当且仅当52,4x k k Z ππ=+∈时，函数取得最小值 （3）()f x 图像的对称轴为直线,4x k k Z ππ=+∈；（4）当且仅当322,2k x k k Z ππππ+<<+∈时，()0f x <. 【答案】(1)(2)(4) 【解析】由函数解析式，转化为分段函数的形式，并画出其函数图象，结合各分段的函数性质，判断它的周期、最小值及对应的自变量值、对称轴、以及()0f x ≤<对应的区间，即可判断各项的正误.由题设，52sin ,2244()592cos ,2244x k x k f x x k x k ππππππππ⎧+≤≤+⎪⎪=⎨⎪+≤≤+⎪⎩，k Z ∈，∴(2)sin(2)cos(2)|sin(2)cos(2)|sin cos |sin cos |()f x x x x x x x x x f x πππππ+=+++++-+=++-=，所以()f x 周期为2π.由解析式可得()f x 的图象如下：由图知：当且仅当52,4x k k Z ππ=+∈时，函数取得最小值2-()f x 图像的对称轴为直线2,4x k k Z ππ=+∈；当且仅当322,2k x k k Z ππππ+<<+∈时，2()0f x -<. 故答案为：(1)(2)(4).【点睛】关键点点睛：分类讨论并求出()f x 的分段函数形式，进而画出函数图象，应用数形结合的方法判断各项的正误. 16．给出以下命题：①若α、β是第一象限角且αβ<，则tan tan αβ<；②函数sin ,22y x x x ππ⎛⎛⎫=-∈- ⎪ ⎝⎭⎝有三个零点；③函数2sin sin sin 1x xy x +=+是奇函数；④函数1sin 2y x =-的周期是2π；⑤函数2()4sin4cos 1f x x x a =-++-，当2,43x ππ⎡⎤∈-⎢⎥⎣⎦时()0f x =恒有解，则a 的范围是[4,5]-.其中正确命题的序号为____________. 【答案】④⑤ 【解析】根据正切周期性，对①举反例；根据sin x 与x 关系，可解()f x 零点；根据奇函数定义域，判断2sin sin sin 1x xy +=+是非奇非偶函数.对于①，令60,390αβ==，3tan 3,tan tan 303αβ===则①错；对于②，当0,2x π⎛⎫∈ ⎪⎝⎭有sin x x <恒成立，则0,2x π⎛⎫∈ ⎪⎝⎭无零点；又sin y x x =-为奇函数，,02x π⎛⎫∴∈- ⎪⎝⎭，sin y x x =-也无零点；则sin y x x =-只有0x =一个零点，则②错；对于③，求2sin sin sin 1x xy x +=+定义域，sin 1x ≠-则定义域为2,2x x k k Z ππ⎧⎫≠-+∈⎨⎬⎩⎭定义域不关于原点对称，则函数为非奇非偶函数，则③错误； 对于④，函数1sin 2y x =-是函数sin y x =向下平移12个单位，再沿x 轴将下方图像翻折到x 轴上方，故2T π=，则④正确对于⑤，222()4sin 4cos 14cos 4cos 3(2cos 1)4f x x x a x x a x a =-++-=+--=+--当2,43x ππ⎡⎤∈-⎢⎥⎣⎦，1cos ,12x ⎡⎤∴∈-⎢⎥⎣⎦，[]2cos 10,3x ∴+∈，[]2(2cos 1)0,9x ∴+∈使()0f x =恒有解，则2(2cos 1)4x a +=+恒有根[]40,9a ∴+∈，[]4,5a ∴∈-，则⑤正确故答案为：④⑤ 【点睛】本题考查，正切函数周期性、奇偶性定义、翻折变换、三角函数有界性，综合性较强，考查计算能力，有一定难度.四、解答题 17．已知函数()sin cos cos sin f x x x αα=+，()cos cos sin sin g x x x ββ=⋅-⋅，,αβ是参数，x ∈R ，(,)22ππα∈-，(,)22ππβ∈-.（1）若,44ππαβ==，判别()()()h x f x g x =+的奇偶性，若,44ππαβ=-=，判别22()()()h x f x g x =+的奇偶性； （2）若3πα=，()()()t x f x g x =是偶函数，求β；（3）请你仿照问题（1）（2）提一个问题（3），使得所提问题或是（1）的推广或是问题（2）的推广，问题（1）或（2）是问题（3）的特例.（不必证明命题）将根据写出真命题所体现的思维层次和对问题探究的完整性，给予不同的评分.【答案】（1）非奇非偶函数；（2）6π；（3）答案见解析. 【解析】化简()f x 和()g x ，（1）化简()h x 的解析式，根据奇偶函数的定义可判断出结果； （2）由()()33t t ππ=-求出6πβ=，再验证()t x 为偶函数； （3）根据（1）或（2）中α和β的值，猜αβ+与αβ-的值与和函数、积函数的奇偶性的关系可得解.()sin cos cos sin f x x x αα=⋅+⋅，()cos cos sin sin g x x x ββ=⋅-⋅ ，()sin()f x x α=+， ()cos()g x x β=+，（1）当,44ππαβ==，所以()sin()cos()sin cos cos sin cos cos sin sin 444444h x x x x x x x ππππππ=+++=++-x =，所以()h x 是偶函数；当,44ππαβ=-=时，221cos(2)1cos(2)22()sin ()cos ()4422x x h x x x ππππ--++=-++=+ 1sin 21sin 21sin 22x x x -+-==-，所以()1sin(2)1sin 2h x x x -=--=+， 因为()()2044h h ππ-+=≠，所以()h x 不是奇函数， 因为()()2sin20442h h πππ--=-=-≠，所以()h x 不是偶函数所以()h x 是非奇非偶函数；（2）因为()()()t x f x g x =⋅为偶函数，所以()()t x t x =-对一切x ∈R 恒成立，所以()()33t t ππ=-，所以()()()()3333f g f g ππππ=--，所以sin()cos()sin()cos()333333ππππππββ++=-+-+，所以cos()03πβ+=，因为(,)22ππβ∈-，所以6πβ=， 当6πβ=时，()sin()cos()36t x x x ππ=++，()sin()cos()36t x x x ππ-=-+-+cos[()]sin[()]2326x x ππππ=--+--+cos()sin()()63x x t x ππ=++=，所以()t x 为偶函数， 综上所述：6πβ=. （3）第一层次，写出任何一种的一个（加法或乘法）均可以， 1、,()()2f xg x παβ+=+是偶函数；2、,()()2f xg x παβ+=-+是奇函数；3、,()()2f xg x παβ-=+是非奇非偶函数；4、,()()2f xg x παβ-=-+是既奇又偶函数；第二层次，写出任何一种的一个（加法或乘法）均可以， 1、33,()()2f xg x παβ+=+是偶函数（数字不分奇偶）；2、55,()()2f xg x παβ+=-+是奇函数；44,()()2f xg x παβ+=-+是偶函数（数字只能同奇数）；3、55,()()2f xg x παβ-=+是非奇非偶函数（数字不分奇偶，但需相同）；4、33,()()2f xg x παβ-=-+是既奇又偶函数（数字只能奇数；22,()()2f xg x παβ-=-+是非奇非偶函数；第三层次，写出逆命题任何一种的一个（加法或乘法）均可以， 1、33()()f x g x +是偶函数（数字不分奇偶，但相同），则2παβ+=；2、55()()f x g x +是奇函数（数字只能正奇数），则 2παβ+=-；22()()f x g x +是偶函数（数字只能正偶数），则 2παβ+=- ；3、33()()f x g x +是偶函数（数字只能正奇数），则2παβ-=-；第四层次，写出充要条件中的任何一种均可以，1、2παβ+=的充要条件是()()f x g x +是偶函数，2、55()()f x g x +是奇函数（数字只能正奇数）的充要条件是2παβ+=-；22()()f x g x +是偶函数（数字只能正偶数）的充要条件是2παβ+=-；3、33()()f x g x +是偶函数（数字只能正奇数）的充要条件是 则2παβ-=-；第五层次，写出任何一种均可以（逆命题，充要条件等均可以）， 1、*,2n N παβ+=∈时，()()n n f x g x +都是偶函数；2、*,2n N παβ+=-∈时，n 是正奇数，()()n n f x g x +是奇函数；*,2n N παβ+=-∈时，n 是正偶数，()()n n f x g x +是偶函数；3、*,2n N παβ-=-∈，n 奇数，()()n n f x g x +既奇又偶函数； 4、*,2n N παβ-=-∈，n 偶数，()()n n f x g x +是非奇非偶函数.【点睛】关键点点睛：掌握三角恒等变换公式与三角函数的奇偶性是解题关键. 18．已知函数()()()2sin 0,f x x ωϕωϕπ=+><，()f x 图象上相邻的最高点与最低点的横坐标相差2π，______； （1）①()f x 的一条对称轴3x π=-且()16f f π⎛⎫> ⎪⎝⎭； ②()f x 的一个对称中心5,012π⎛⎫⎪⎝⎭，且在2,63ππ⎡⎤⎢⎥⎣⎦上单调递减；③()f x 向左平移6π个单位得到的图象关于y 轴对称且(0)0f >从以上三个条件中任选一个补充在上面空白横线中，然后确定函数的解析式； （2）在（1）的情况下，令()()1cos 22h x f x x =-，()()g x h h x =⎡⎤⎣⎦，若存在,123x ππ⎡⎤∈⎢⎥⎣⎦使得()()()2230g g x a x a +-+-≤成立，求实数a 的取值范围.【答案】（1）选①②③，()2sin 26f x x π⎛⎫=+ ⎪⎝⎭；（2）)⎡+∞⎣. 【解析】（1）根据题意可得出函数()f x 的最小正周期，可求得ω的值，根据所选的条件得出关于ϕ的表达式，然后结合所选条件进行检验，求出ϕ的值，综合可得出函数()f x 的解析式；（2）求得()sin 26h x x π⎛⎫=-⎪⎝⎭，由,123x ππ⎡⎤∈⎢⎥⎣⎦可计算得出()[]0,1h x ∈，进而可得出()1,sin 226g x π⎡⎤⎛⎫∈-- ⎪⎢⎥⎝⎭⎣⎦，由参变量分离法得出()()211a g x g x ≥+++，利用基本不等式求得()()211g x g x +++的最小值，由此可得出实数a 的取值范围.（1）由题意可知，函数()f x 的最小正周期为22T ππ=⨯=，22Tπω∴==. 选①，因为函数()f x 的一条对称轴3x π=-，则()232k k Z ππϕπ⎛⎫⨯-+=+∈ ⎪⎝⎭， 解得()76k k Z πϕπ=+∈， ϕπ<，所以，ϕ的可能取值为56π-、6π. 若56π=-ϕ，则()52sin 26f x x π⎛⎫=-⎪⎝⎭，则()2sin 2162f f ππ⎛⎫⎛⎫=-=-< ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭，不合乎题意； 若6π=ϕ，则()2sin 26f x x π⎛⎫=+ ⎪⎝⎭，则()2sin 2162f f ππ⎛⎫==> ⎪⎝⎭，合乎题意.所以，()2sin 26f x x π⎛⎫=+⎪⎝⎭；选②，因为函数()f x 的一个对称中心5,012π⎛⎫⎪⎝⎭，则()5212k k Z πϕπ⨯+=∈，解得()56k k Z πϕπ=-∈， ϕπ<，所以，ϕ的可能取值为56π-、6π. 若56π=-ϕ，则()52sin 26f x x π⎛⎫=-⎪⎝⎭，当2,63x ππ⎡⎤∈⎢⎥⎣⎦时，52,622x πππ⎡⎤-∈-⎢⎥⎣⎦，此时，函数()f x 在区间2,63ππ⎡⎤⎢⎥⎣⎦上单调递增，不合乎题意；若6π=ϕ，则()2sin 26f x x π⎛⎫=+ ⎪⎝⎭，当2,63x ππ⎡⎤∈⎢⎥⎣⎦时，532,622x πππ⎡⎤+∈⎢⎥⎣⎦， 此时，函数()f x 在区间2,63ππ⎡⎤⎢⎥⎣⎦上单调递减，合乎题意；所以，()2sin 26f x x π⎛⎫=+⎪⎝⎭； 选③，将函数()f x 向左平移6π个单位得到的图象关于y 轴对称，所得函数为2sin 22sin 263y x x ππϕϕ⎡⎤⎛⎫⎛⎫=++=++ ⎪ ⎪⎢⎥⎝⎭⎝⎭⎣⎦，由于函数2sin 23y x πϕ⎛⎫=++ ⎪⎝⎭的图象关于y 轴对称，可得()32k k Z ππϕπ+=+∈，解得()6k k Z πϕπ=+∈，ϕπ<，所以，ϕ的可能取值为56π-、6π. 若56π=-ϕ，则()52sin 26f x x π⎛⎫=-⎪⎝⎭，()502sin 16f π⎛⎫=-=- ⎪⎝⎭，不合乎题意； 若6π=ϕ，则()2sin 26f x x π⎛⎫=+ ⎪⎝⎭，()02sin 16f π==，合乎题意.所以，()2sin 26f x x π⎛⎫=+⎪⎝⎭； （2）由（1）可知()2sin 26f x x π⎛⎫=+ ⎪⎝⎭， 所以，()()11cos 2sin 2cos 22cos 2cos 2262h x f x x x x x x x π⎛⎫=-=+-=+- ⎪⎝⎭12cos 2sin 226x x x π⎛⎫=-=- ⎪⎝⎭，当,123x ππ⎡⎤∈⎢⎥⎣⎦时，0262x ππ≤-≤，()01h x ∴≤≤，所以，()22666h x πππ-≤-≤-，所以，()()()1sin 2,sin 2626g x h h x h x ππ⎡⎤⎡⎤⎛⎫==-∈--⎡⎤ ⎪⎢⎥⎣⎦⎢⎥⎣⎦⎝⎭⎣⎦， ()11,1sin 226g x π⎡⎤⎛⎫∴+∈+- ⎪⎢⎥⎝⎭⎣⎦，2223ππ<<，2362πππ∴<-<sin 216π⎛⎫<-< ⎪⎝⎭， 由()()()2230gg x a x a +-+-≤可得()()()2231g x g x a g x ++≤+⎡⎤⎣⎦，所以，()()()()()()()22122321111g x g x g x a g x g x g x g x ++⎡⎤++⎣⎦≥==+++++， 由基本不等式可得()()211g x g x ++≥=+当且仅当()11,1sin 226g x π⎡⎤⎛⎫+=+- ⎪⎢⎥⎝⎭⎣⎦时，等号成立，所以，a ≥【点睛】结论点睛：利用参变量分离法求解函数不等式恒（能）成立，可根据以下原则进行求解： （1）x D ∀∈，()()min m f x m f x ≤⇔≤； （2）x D ∀∈，()()max m f x m f x ≥⇔≥； （3）x D ∃∈，()()max m f x m f x ≤⇔≤； （4）x D ∃∈，()()min m f x m f x ≥⇔≥.19．已知函数2())2sin 1(0,0)2x f x x πωϕωϕωϕ+⎛⎫++-><< ⎪⎝⎭为奇函数，且()f x 图象的相邻两对称轴间的距离为π2. （1）求()f x 的解析式.（2）求()()sin cos h x f x x x =++的最大值. （3）将函数()f x 的图象向右平移π6个单位长度，再把横坐标缩小为原来的12(纵坐标变)，得到函数()y g x =的图象，当[,]126ππx ∈-时，求函数()g x 的值域. （4）对于第（3）问中的函数()g x ，记方程4()3g x =在4[,]63ππx ∈上的根从小到依次为1x ，2x ，n x ，试确定n 的值，并求1231222n n x x x x x -+++++的值.【答案】（1）()2sin 2f x x =（2）2+3）[-（4）203π【解析】（1）利用三角恒等变换的公式，化简函数()f x 的解析式，利用正弦函数的周期，奇偶性求得函数的解析式；（2）令sin cos t x x =+，利用换元法转化为222y t t =+-，[t ∈求最大值即可；（3）利用函数()sin()f x A x ωϕ=+的图象变换规律，求得函数()g x 的解析式，进而求得函数的值域；（4）由方程4()3g x =，得到2sin(4)33x π-=，根据4[,]63ππx ∈，求得4[,5]33πx ππ-∈，设43x πθ=-，转化为2sin 3θ=，结合正弦函数的图象与性质，即可求解.（1）由题意，函数2())2sin 12x f x x ωϕωϕ+⎛⎫++- ⎪⎝⎭)cos()2sin()6x x x πωϕωϕωϕ=+-+=+-因为函数()f x 图象的相邻两对称轴间的距离为π2，所以T π=，可得2ω=，又由函数()f x 为奇函数，可得()02sin()06f πϕ=-=，所以,6k k Z πϕπ-=∈，因为0πϕ<<，所以6π=ϕ，所以函数()2sin 2f x x =.（2）()()sin cos 2sin 2sin cos h x f x x x x x x =++=++，令sin cos )[4t x x x π=+=+∈，则212sin cos t x x =+，所以222y t t =+-，[t ∈，因为对称轴14t =-， 所以当2t=时，max 22y =+，即()h x 的最大值为22+.（3）将函数()f x 的图象向右平移π6个单位长度，可得2sin(2)3y x π=-的图象，再把横坐标缩小为原来的12，得到函数()2sin(4)3y g x x π==-的图象，当[,]126ππx ∈-时，24[,]333x πππ-∈-， 当432x ππ-=-时，函数()g x 取得最小值，最小值为2-，当433x ππ-=时，函数()g x 取得最大值，最小值为3，故函数()g x 的值域[2,3]-. （4）由方程4()3g x =，即42sin(4)33x π-=，即2sin(4)33x π-=， 因为4[,]63ππx ∈，可得4[,5]33πx ππ-∈， 设43x πθ=-，其中[,5]3πθπ∈，即2sin 3θ=， 结合正弦函数sin y θ=的图象，如图可得方程2sin 3θ=在区间[,5]3ππ有5个解，即5n =，其中122334453,5,7,9θθπθθπθθπθθπ+=+=+=+=，即12233445443,445,447,44933333333x x x x x x x x ππππππππππππ-+-=-+-=-+-=-+-= 解得1223344511172329,,,12121212x x x x x x x x ππππ+=+=+=+=所以122331443552420()()()()2223x x x x x x x x x x x x x π=+++++++=+++++. 【点睛】关键点点睛：解决三角函数图象与性质的综合问题的关键是首先正确的将已知条件转化为三角函数解析式和图象，然后再根据数形结合思想研究函数的性质（单调性、奇偶性、对称性、周期性），进而加深理解函数的极值点、最值点、零点及有界函数等概念.20．已知向量3sin π2a x x ⎛⎫⎛⎫=- ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭，ππsin ,cos 22b x x ⎛⎫⎛⎫⎛⎫=-+ ⎪ ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭⎝⎭，函数3()f x a b =⋅-.（1）求()f x 的最小正周期及()f x 图象的对称轴方程；（2）若先将()f x 的图象上每个点纵坐标不变，横坐标变为原来的2倍，然后再向左平移π3个单位长度得到函数()g x 的图象，求函数()15y g x =-在区间[]π,3π-内的所有零点之和.【答案】（1）最小正周期为π，对称轴方程为5ππ,122k x k =+∈Z ；（2）6π. 【解析】（1）结合向量的数量积的坐标运算，化简求得()πsin 23f x x ⎛⎫=- ⎪⎝⎭，再利用三角函数的图象与性质，即可求解；（2）根据三角函数的图象变换，求得()sin gx x =，结合函数的零点的概念和正弦函数的图象的性质，即可求解.（1）由题意，向量3sin π2a x x ⎛⎫⎛⎫=- ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭，ππsin ,cos 22b x x ⎛⎫⎛⎫⎛⎫=-+ ⎪ ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭⎝⎭，所以3()f x a b =⋅-π3ππsin sin cos 2222x x x x ⎛⎫⎛⎫⎛⎫=⋅--⋅+- ⎪ ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭⎝⎭sin cos sin )(sin )x x x x =⋅+-⋅-1sin 2cos 2)2x x =+-πsin 23x ⎛⎫=- ⎪⎝⎭. 可得22ππ2T w π===，即函数的最小正周期为π， 令ππ2π,32x k k -=+∈Z ，解得5ππ,122k x k =+∈Z所以函数()f x 的最小正周期为π，对称轴方程为5ππ,122k x k =+∈Z . （2）由（1）知()πsin 23f x x ⎛⎫=-⎪⎝⎭， 将()f x 的图象上每个点横坐标变为原来的2倍，可得πsin 3y x ⎛⎫=- ⎪⎝⎭，然后将πsin 3y x ⎛⎫=- ⎪⎝⎭向左平移π3个单位长度得到函数()sin g x x =，令1()05g x -=，即1sin 5x =， 由图可知，1sin 5x =在[π,3π]-上有4个零点：1x ，2x ，3x ，4x ，根据对称性有12π22x x +=，345π22x x +=， 所以所有零点和为12346πx x x x +++=.【点睛】本题主要考查了三角函数的图象与性质，三角函数的图象变换，以及向量的数量积运算，函数与方程等知识点的综合应用，着重考查推理与运算能力，属于中档试题. 21．已知向量33cos,sin 22x x a ⎛⎫= ⎪⎝⎭，cos ,sin 22x x b ⎛⎫=- ⎪⎝⎭，函数()1f x a b m a b =⋅-++，,34x ππ⎡⎤∈-⎢⎥⎣⎦，m R ∈.（1）当0m =时，求6f π⎛⎫⎪⎝⎭的值； （2）若()f x 的最小值为1-，求实数m 的值；（3）是否存在实数m ，使函数()()22449g x f x m =+，,34x ππ⎡⎤∈-⎢⎥⎣⎦有四个不同的零点？若存在，求出m 的取值范围；若不存在，说明理由.。

玩转压轴题，争取满分之备战2020年中考数学解答题高端精品专题二等腰三角形的存在性问题【考题研究】近几年各地的中考数学试题中，探索等腰三角形的存在性问题频频出现，这类试题的知识覆盖面较广，综合性较强，题意构思精巧，要求学生要有较高的分析问题的能力和解决问题的能力，这类问题符合课标对学生能力提高的要求。

【解题攻略】在讨论等腰三角形的存在性问题时，一般都要先分类．如果△ABC是等腰三角形，那么存在①AB＝AC，②BA＝BC，③CA＝CB三种情况．解等腰三角形的存在性问题，有几何法和代数法，把几何法和代数法相结合，可以使得解题又好又快．几何法一般分三步：分类、画图、计算．哪些题目适合用几何法呢？如果△ABC的∠A（的余弦值）是确定的，夹∠A的两边AB和AC可以用含x的式子表示出来，那么就用几何法．①如图1，如果AB＝AC，直接列方程；②如图2，如果BA＝BC，那么；③如图3，如果CA＝CB，那么．代数法一般也分三步：罗列三边长，分类列方程，解方程并检验．如果三角形的三个角都是不确定的，而三个顶点的坐标可以用含x的式子表示出来，那么根据两点间的距离公式，三边长（的平方）就可以罗列出来．【解题类型及其思路】解题类型：动态类型：1.一动点类型问题；2.双动点或多动点类型问题背景类型：1.几何图形背景；2.平面直角坐标系和几何图形背景解题思路：几何法一般分三步：分类、画图、计算；代数法一般也分三步：罗列三边长，分类列方程，解方程并检验．如果△ABC是等腰三角形，那么存在①AB＝AC，②BA＝BC，③CA＝CB三种情况．已知腰长画等腰三角形用圆规画圆，已知底边画等腰三角形用刻度尺画垂直平分线．解等腰三角形的存在性问题，有几何法和代数法，把几何法和代数法相结合，可以使得解题又好又快．【典例指引】类型一 【二次函数综合题中根据条件判定三角形的形状】典例指引1．抛物线2y x bx c =++与x 轴交于点A ，点B （1，0），与y 轴交于点C （0，﹣3），点M 是其顶点． （1）求抛物线解析式；（2）第一象限抛物线上有一点D,满足∠DAB=45°,求点D 的坐标；（3）直线x t = (﹣3＜t ＜﹣1)与x 轴相交于点H ．与线段AC ，AM 和抛物线分别相交于点E ，F ，P ．证明线段HE ，EF ，FP 总能组成等腰三角形.【解析】试题分析：（1）把B 、C 的坐标代入，解方程组即可得到结论；（2）令y =0，求出A 、B 的坐标，设直线AD 交y 轴于点N ，求出求直线AN 的解析式， 与抛物线联立成方程组，解方程组，即可得到D 的坐标；（3）求出直线AM 、AC 的解析式，当x =t 时，表示出HE ，HF ，HP ，得到HE =EF =HF ﹣HE =t +3，FP =243t t ---，由HE +EF ﹣FP =23t +（）＞0， 得到HE +EF ＞FP ，再由HE +FP ＞EF ，EF +FP ＞HE ，得到当﹣3＜t ＜﹣1时，线段HE ，EF ，FP 总能组成等腰三角形．试题解析：解：（1）∵抛物线经过点B 、C ，∴ 10{3b c c ++==-，解得： 2{ 3b c ==-，∴抛物线的解析式为：223y x x =+-；（2）令y =0，得： 2230x x +-=，解得： 11x =， 23x =- ，∴A （﹣3，0），B （1，0）， 设直线AD 交y 轴于点N ，∵∠DAB =45°，∴△NAO 是等腰直角三角形，N （0，3）， 可求直线AN 的解析式为y =x +3，联立223{ 3y x x y x =+-=+，解得： 3{ 0x y =-=或2{ 5x y ==，∴D 的坐标为（2，5）； （3）M （﹣1，﹣4），可求直线AM 的解析式为：y =﹣2x ﹣6，直线AC 的解析式为y =﹣x ﹣3，∵当x =t 时，HE =﹣（﹣t ﹣3）=t +3，HF =﹣（﹣2t ﹣6）=2t +6，HP =﹣（223t t +-）∴HE =EF =HF ﹣HE =t +3，FP =243t t ---， ∵HE +EF ﹣FP =2223433t t t t ++++=+（）（）＞0，∴HE +EF ＞FP ，又HE +FP ＞EF ，EF +FP ＞HE ，∴当﹣3＜t ＜﹣1时，线段HE ，EF ，FP 总能组成等腰三角形．【名师点睛】本题是二次函数的综合题，难度较大．解答第（2）问的关键是：利用∠DAB=45°，找出直线AN与y轴交点的坐标；解答第（3）问的关键是：用含t的代数式表示出HE，HF，HP，EF的长．【举一反三】（2020·江西初三期中）如图①，已知抛物线y=ax2+bx+3（a≠0）与x轴交于点A（1，0）和点B（-3，0），与y轴交于点C．（1）求抛物线的解析式；（2）设抛物线的对称轴与x轴交于点M，问在对称轴上是否存在点P，使△CMP为等腰三角形？若存在，请直接写出所有符合条件的点P的坐标；若不存在，请说明理由；（3）如图②，若点E为第二象限抛物线上一动点，连接BE、CE，求四边形BOCE面积的最大值，并求此时E点的坐标．【答案】（1）y=-x2-2x+3；（2）存在，P（-110）或P（-1，10）或P（-1，6）或P（-1，53）；（3）当a=-32时，S四边形BOCE最大，且最大值为638，此时，点E坐标为（-32，154）．【解析】【分析】（1）已知抛物线过A、B两点，可将两点的坐标代入抛物线的解析式中，用待定系数法即可求出二次函数的解析式；（2）可根据（1）的函数解析式得出抛物线的对称轴，也就得出了M点的坐标，由于C是抛物线与y轴的交点，因此C的坐标为（0，3），根据M、C的坐标可求出CM的距离．然后分三种情况进行讨论：①当CP=PM时，P位于CM的垂直平分线上．求P点坐标关键是求P的纵坐标，过P作PQ⊥y轴于Q，如果设PM=CP=x，那么直角三角形CPQ中CP=x，OM的长，可根据M的坐标得出，CQ=3-x，因此可根据勾股定理求出x 的值，P 点的横坐标与M 的横坐标相同，纵坐标为x ，由此可得出P 的坐标． ②当CM=MP 时，根据CM 的长即可求出P 的纵坐标，也就得出了P 的坐标（要注意分上下两点）． ③当CM=CP 时，因为C 的坐标为（0，3），那么直线y=3必垂直平分PM ，因此P 的纵坐标是6，由此可得出P 的坐标；（3）由于四边形BOCE 不是规则的四边形，因此可将四边形BOCE 分割成规则的图形进行计算，过E 作EF ⊥x 轴于F ，S 四边形BOCE =S △BFE +S 梯形FOCE ．直角梯形FOCE 中，FO 为E 的横坐标的绝对值，EF 为E 的纵坐标，已知C 的纵坐标，就知道了OC 的长．在△BFE 中，BF=BO-OF ，因此可用E 的横坐标表示出BF 的长．如果根据抛物线设出E 的坐标，然后代入上面的线段中，即可得出关于四边形BOCE 的面积与E 的横坐标的函数关系式，根据函数的性质即可求得四边形BOCE 的最大值及对应的E 的横坐标的值．即可求出此时E 的坐标． 【详解】(1)∵抛物线y=ax 2+bx+3(a≠0)与x 轴交于点A(1,0)和点B(−3,0)，∴309330a b a b ++=⎧⎨-+=⎩解得：12a b =-⎧⎨=-⎩. ∴所求抛物线解析式为：y=−x 2−2x+3； (2)∵抛物线解析式为：y=−x 2−2x+3， ∴其对称轴为212x -==-， ∴设P 点坐标为(−1,a )，当x=0时，y=3， ∴C(0,3),M(−1,0)∴当CP=PM 时,(−1)2+(3−a)2=a 2,解得a=53， ∴P 点坐标为：151,3P ⎛⎫- ⎪⎝⎭；∴当CM=PM 时,(−1)2+32=a 2,解得a =，∴P 点坐标为：2(P -或3(1,P -； ∴当CM=CP 时,由勾股定理得：(−1)2+32=(−1)2+(3−a)2，解得a=6， ∴P 点坐标为：P 4 (−1,6).综上所述存在符合条件的点P,其坐标为(1,10)P -或 (1,10)P -- 或P(−1,6)或51,3P ⎛⎫- ⎪⎝⎭； (3)过点E 作EF ⊥x 轴于点F,设E(a,−a 2−2a+3)(−3<a<0)∴EF=−a 2−2a+3，BF=a+3，OF=−a ∴11()22BOCE S BF EF OC EF OF 四边形=⋅++g ()()2211(3)2326()22a a a a a a =+⋅--++--+⋅- 2399222a a =--+23363228a ⎛⎫=-++ ⎪⎝⎭∴当a=32-时,S 四边形BOCE 最大,且最大值为638. 此时,点E 坐标为315,24⎛⎫-⎪⎝⎭. 类型二 【利用二次函数的性质与等腰三角形的性质确定点的坐标】典例指引2．（2019·山东初三期末）如图1，已知抛物线2()30y ax bx a =++≠与x 轴交于点(1,0)A 和点(3,0)B -，与y 轴交于点C .（l ）求抛物线的表达式；（2）如图l ，若点E 为第二象限抛物线上一动点，连接,BE CE ，求四边形BOCE 面积的最大值，并求此时E 点的坐标；（3）如图2，在x 轴上是否存在一点D 使得ACD ∆为等腰三角形？若存在，请求出所有符合条件的点D 的坐标；若不存在，请说明理由.【答案】（1）223y x x =--+；（2）BOCE S 四边形最大值为638，点E 坐标为315(,)24-；（3）存在符合条件的点D ，其坐标为1(1,0)D -或2(101,0)D -，或3(101,0)D 或4(4,0)D - 【解析】 【分析】（1）将点A 、B 的坐标代入解析式即可得到答案；（2）设2(,23)(30)E a a a a --+-<<，过点E 作EF x ⊥轴于点F ，利用11()22BOCE S BF EF OC EF OF =•++•四边形求出解析式即得到面积的最大值及点E 的坐标； （3）存在，分以点C 、A 为顶点及线段AC 为底边三种情况，分别求出点D 的坐标即可. 【详解】 解：（1）由题知：309330a b a b ++=⎧⎨-+=⎩，解得：12a b =-⎧⎨=-⎩∴所求抛物线表达式为223y x x =--+ （2）过点E 作EF x ⊥轴于点F 设2(,23)(30)E a a a a --+-<<∴223EF a a =--+，3BF a =+，OF a =-，∴11()22BOCE S BF EF OC EF OF =•++•四边形 2211(3)(23)(233)()22a a a a a a =+--++--++•- 2399222a a =--+23363()228a =-++∴当32a =-时，BOCE S 四边形最大，且最大值为638.当32a =-时，2915233344a a --+=-++=此时，点E 坐标为315(,)24-（3）连接AC①当点C 为顶点，CA CB =时，此时CO 为底边的垂直平分线， 满足条件的点1D ，与点A 关于y 轴对称， ∴点1D 坐标为(1,0)-②当点A 为顶点，AB AC =时，在Rt ACO ∆中， ∵1OA =，3OC =，由勾股定理得：10AC =以点A 为圆心，AC 的长为半径作弧，交x 轴于两点23D D ，，即为满足条件的点， 此时它们的坐标分别为2(101,0)D -，3(101,0)D +③当AC 为底边时，线段AC 的垂直平分线与x 轴的交点4D ，即为满足条件的点， 设垂直AC 的垂直平分线交y 轴于点P ，过AC 中点Q ， ∵=90AOC BOC PQC ∠∠=∠=o ，BPO CPQ ∠=∠ ∴4ACO OD P ∠=∠ ∴4CPQ CAO D PO ∆∆∆::∴4OD CQ CP OA CO AC ==，106PQ =，5=3CP 4OD OP CQ PQ =，45331010-=，44OD =， 点4D 的坐标为(4,0)-综上所述存在符合条件的点D ，其坐标为1(1,0)D -或2(101,0)D -+，或3(101,0)D +或4(4,0)D - 【名师点睛】此题是二次函数的综合题，考查待定系数法，最值问题的确定需将所求问题列出解析式并配方为顶点式，即可得到答案；（3）是图形中存在等腰三角形问题，此类问题需分三种情况进行讨论，依次求出点的坐标. 【举一反三】（2019·广东省中山市中山纪念中学三鑫双语学校初三期中）如图，已知抛物线y ＝ax 2+bx +c 的图象与x 轴交于A （2，0），B （﹣8，0）两点，与y 轴交于点C （0，﹣8）．（1）求抛物线的解析式；（2）点F是直线BC下方抛物线上的一点，当△BCF的面积最大时，求出点F的坐标；（3）在（2）的条件下，是否存在这样的点Q（0，m），使得△BFQ为等腰三角形？如果有，请直接写出点Q的坐标；如果没有，请说明理由．【答案】（1）y＝12x2+3x﹣8；（2）点F的坐标是F（﹣4，﹣12）；（3）点Q有坐标为（0，）或（0，﹣）或（0，﹣4）或（0，0）．【解析】【分析】（1）将A，B，C的坐标代入函数y＝ax2+bx+c即可；（2）如图1中，作FN∥y轴交BC于N，求出直线BC的解析式，设F（m，12m2+3m﹣8），则N（m，﹣m﹣8），再用含m的代数式表示出△BCF的面积，用函数的思想即可推出结论；（3）此问要分BQ＝BF，QB＝QF，FB＝FQ三种情况进行讨论，分别用勾股定理可求出m的值，进一步写出点Q的坐标．【详解】（1）将A（2，0），B（﹣8，0）C（0，﹣8）代入函数y＝ax2+bx+c，得，4a+2b+c=0 64a-8b+c=0 0a+0b+c=-8⎧⎪⎨⎪⎩解得，1a=2b=3c=8⎧⎪⎪⎨⎪⎪⎩﹣，∴抛物线解析式为y＝12x2+3x﹣8；（2）如图1中，作FN∥y轴交BC于N，将B（﹣8，0）代入y＝kx﹣8，得，k＝﹣1，∴y BC＝﹣x﹣8，设F（m，12m2+3m﹣8），则N（m，﹣m﹣8），∴S△FBC＝S△FNB+S△FNC＝12FN×8＝4FN＝4[（﹣m﹣8）﹣（12m2+3m﹣8）]＝﹣2m2﹣16m＝﹣2（m+4）2+32，∴当m＝﹣4时，△FBC的面积有最大值，此时F（﹣4，﹣12），∴点F的坐标是F（﹣4，﹣12）；（3）存在点Q（0，m），使得△BFQ为等腰三角形，理由如下：①如图2﹣1，当BQ＝BF时，由题意可列，82+m2＝（8﹣4）2+122，﹣解得，m1＝46，m2＝46∴Q1（0，46），Q2（0，46﹣）；②如图2﹣2，当QB＝QF时，由题意可列，82+m2＝（m+12）2+42，解题，m＝﹣4，∴Q3（0，﹣4）；③如图2﹣3，当FB＝FQ时，由题意可列，（8﹣4）2+122＝（m+12）2+42，解得，m1＝0，m2＝﹣24，∴Q4（0，0），Q5（0，﹣24）；设直线BF的解析式为y＝kx+b，将B（﹣8，0），F（﹣4，﹣12）代入，得8k b=04k b=12⎧⎨⎩﹣＋﹣＋﹣，解得，k＝﹣3，b＝﹣24，∴y BF＝﹣3x﹣24，当x＝0时，y＝﹣24，∴点B，F，Q重合，故Q5舍去，∴点Q有坐标为（0，46）或（0，﹣46）或（0，﹣4）或（0，0）．类型三【确定满足等腰三角形的动点的运动时间】典例指引3．（2018济南中考）如图1，抛物线平移后过点A （8，,0）和原点，顶点为B，对称轴与轴相交于点C，与原抛物线相交于点D．（1）求平移后抛物线的解析式并直接写出阴影部分的面积；（2）如图2，直线AB与轴相交于点P，点M为线段OA上一动点，为直角，边MN与AP相交于点N，设，试探求：①为何值时为等腰三角形；②为何值时线段PN的长度最小，最小长度是多少．【答案】（1）平移后抛物线的解析式，= 12；（2）①，②当＝3时，PN取最小值为．【解析】【分析】（1）设平移后抛物线的解析式y=x2+bx，将点A（8，0）代入，根据待定系数法即可求得平移后抛物线的解析式，再根据割补法由三角形面积公式即可求解；（2）作NQ垂直于x轴于点Q，①分当MN=AN时，当AM=AN时，当MN=MA时，三种情况讨论可得△MAN为等腰三角形时t的值；②由MN所在直线方程为y=，与直线AB的解析式y=﹣x+6联立，得x N的最小值为6，此时t=3，PN 取最小值为．【详解】（1）设平移后抛物线的解析式，将点A（8，,0）代入，得=，所以顶点B（4,3），所以S阴影=OC•CB=12；（2）设直线AB解析式为y=mx+n，将A（8，0）、B（4，3）分别代入得，解得：，所以直线AB的解析式为，作NQ垂直于x轴于点Q，①当MN＝AN时， N点的横坐标为，纵坐标为，由三角形NQM和三角形MOP相似可知,得，解得（舍去）.当AM＝AN时，AN＝,由三角形ANQ和三角形APO相似可知，，MQ＝，由三角形NQM和三角形MOP相似可知得：，解得：t＝12（舍去）；当MN＝MA时，故是钝角，显然不成立,故；②由MN所在直线方程为y=，与直线AB的解析式y=﹣x+6联立，得点N的横坐标为X N=，即t2﹣x N t+36﹣x N=0，由判别式△=x2N﹣4（36﹣）≥0，得x N≥6或x N≤﹣14，又因为0＜x N＜8，所以x N的最小值为6，此时t=3，当t=3时，N的坐标为（6，），此时PN取最小值为．【名师点睛】本题着重考查了二次函数的性质、图形平移变换、等腰三角形的判定等知识点，综合性强，考查学生分类讨论，数学结合的数学思想方法.【举一反三】如图所示，抛物线y=ax2+bx+c（a≠0）经过A（﹣1，0）、B（3，0）、C（0，3）三点．点D从C出发，沿线段CO以1个单位/秒的速度向终点O运动，过点D作OC的垂线交BC于点E，作EF∥OC，交抛物线于点F．（1）求此抛物线的解析式；（2）小明在探究点D运动时发现，①当点D与点C重合时，EF长度可看作O；②当点D与点O重合时，EF长度也可以看作O，于是他猜想：设点D运动到OC中点位置时，当线段EF最长，你认为他猜想是否正确，为什么？（3）连接CF、DF，请直接写出△CDF为等腰三角形时所有t的值．【答案】（1）y=﹣x2+2x+3（2）点D为OC的中点时，线段EF最长（3）当t=2或或3时，△CDF为等腰三角形【解析】【分析】（1）由于已知抛物线与x轴交点坐标，则设交点式y=a（x+1）（x-3），然后把C点坐标代入求出a即可得到抛物线解析式；（2）先利用待定系数法求出直线BC的解析式，再设E（t，-t+3），接着表示出D（0，-t+3），F（t，-t2+2t+3），然后用t表示出EF的长，再利用二次函数的性质确定EF最大时的t的值，从而判断点D是否为OC的中点；（3）先由C（0，3），D（0，-t+3），F（t，-t2+2t+3）和利用两点间的距离公式表示出CD2，CF2，DF2，然后分类讨论：当CD=CF或FC=FD或DC=DF时得到关于t的方程，接着分别解关于t的方程即可．【详解】（1）设抛物线的解析式为y=a（x+1）（x﹣3），把C（0，3）代入得a•1•（﹣3）=3，解得a=﹣1，所以抛物线解析式为y=﹣（x+1）（x﹣3），即y=﹣x2+2x+3；（2）他猜想正确．理由如下：设直线BC的解析式为y=mx+n，把C（0，3），B（3，0）代入得，解得，则直线BC的解析式为y=﹣x+3，设E（t，﹣t+3），则D（0，﹣t+3），F（t，﹣t2+2t+3），所以EF=﹣t2+2t+3﹣（﹣t+3）=﹣t2+3t=﹣（t﹣）2+，当t=时，EF最大，最大值为，此时D点坐标为（0，），所以点D为OC的中点时，线段EF最长；（3）∵C（0，3），D（0，﹣t+3），F（t，﹣t2+2t+3），∴CD2=（﹣t+3﹣3）2=t2， CF2=t2+（﹣t2+2t+3﹣3）2=t2+（﹣t2+2t）2， DF2=t2+（﹣t2+2t+3+t﹣3）2=t2+（﹣t2+3t）2，当CD=CF时，即t2=t2+（﹣t2+2t）2，解得t1=0，t2=2；当FC=FD，即t2+（﹣t2+2t）2=t2+（﹣t2+3t）2，解得t1=0，t2=；当DC=DF时，即t2=t2+（﹣t2+3t）2，解得t1=0，t2=3；综上所述，当t=2或或3时，△CDF为等腰三角形．【新题训练】1．（2020·江西初三）如图，在平面直角坐标系中，已知点A(﹣2，﹣4)，直线x=﹣2与x轴相交于点B，连接OA，抛物线y=﹣x2从点O沿OA方向平移，与直线x=﹣2交于点P，顶点M到点A时停止移动．（1）线段OA所在直线的函数解析式是；（2）设平移后抛物线的顶点M的横坐标为m，问：当m为何值时，线段PA最长？并求出此时PA的长．（3）若平移后抛物线交y轴于点Q，是否存在点Q使得△OMQ为等腰三角形？若存在，请求出点Q的坐标；若不存在，请说明理由．【答案】（1）y=2x；（2）当m=1时，PA的值最大，PA的最大值为1；（3）存在，(0，5﹣5或(0，﹣8)【详解】解：（1）设直线OA的解析式为y=kx，把（﹣2，﹣4）代入得﹣2k=﹣4，解得k=2，所以直线OA的解析式为y=2x；故答案为y=2x；（2）设M点的坐标为（m，2m），（﹣2≤m＜0），∴平移后抛物线解析式为y=﹣（x﹣m）2+2m，当x=﹣2时，y=﹣（2﹣m）2+2m=﹣m2﹣2m﹣4，∴P点的坐标为（﹣2，﹣m2﹣2m﹣4），∴PA=﹣m2﹣2m﹣4﹣（﹣4）=﹣m2﹣2m=﹣（m﹣1）2+1∴当m=1时，PA的值最大，PA的最大值为1；（3）存在，理由如下：当x=0时，y=﹣（0﹣m）2+2m=﹣m2+2m，则Q（0，﹣m2+2m），∵OQ=m2﹣2m，OM=，当OM=OQ2﹣2m，即m2﹣（2m=0，解得m1=0（舍去），m2=2Q点坐标为（0，5﹣；当OM=MQ，作MH⊥OQ于H，如图1，则OH=QH，﹣2m=m2﹣2m﹣（﹣2m），即m2+2m=0，解得m1=0（舍去），m2=﹣2，此时Q点坐标为（0，﹣8）；当QM=QO，作QF⊥OM于F，如图2，则OF=MF=，∵OQ∥AB，∴∠QOF=∠BAO，∴Rt△OFQ∽Rt△ABO，∴OF OQAB OA=，即224=4m2﹣3m=0，解得m1=0（舍去），m2=34（舍去），综上所述，满足条件的Q点坐标为（0，5﹣0，﹣8）．2．（2018·山东中考真题）如图，在平面直角坐标系中，二次函数2y ax bx c =++交x 轴于点()4,0A -、()2,0B ，交y 轴于点()0,6C ，在y 轴上有一点()0,2E -，连接AE .（1）求二次函数的表达式；（2）若点D 为抛物线在x 轴负半轴上方的一个动点，求ADE ∆面积的最大值；（3）抛物线对称轴上是否存在点P ，使AEP ∆为等腰三角形，若存在，请直接写出所有P 点的坐标，若不存在请说明理由.【答案】（1）二次函数的解析式为233642y x x =--+；（2）当23x =-时，ADE ∆的面积取得最大值503；（3）P 点的坐标为()1,1-，()1,11-±，()1,219--±.【详解】（1）∵二次函数y =ax 2+bx +c 经过点A （﹣4，0）、B （2，0），C （0，6），∴16404206a b c a b c c -+=⎧⎪++=⎨⎪=⎩， 解得：34326a b c ⎧=-⎪⎪⎪=-⎨⎪=⎪⎪⎩，所以二次函数的解析式为：y =233642x x --+； （2）由A （﹣4，0），E （0，﹣2），可求AE 所在直线解析式为y =122x --， 过点D 作DN ⊥x 轴，交AE 于点F ，交x 轴于点G ，过点E 作EH ⊥DF ，垂足为H ，如图，设D （m ，233642m m --+），则点F （m ，122m --）， ∴DF =233642m m --+﹣（122m --）=2384m m --+，∴S △ADE =S △ADF +S △EDF =12×DF ×AG +12DF ×EH =12×DF ×AG +12×DF ×EH=12×4×DF=2×（2384m m --+） =23250233m -++（），∴当m =23-时，△ADE 的面积取得最大值为503．（3）y =233642x x --+的对称轴为x =﹣1，设P （﹣1，n ），又E （0，﹣2），A （﹣4，0），可求P A =29n +，PE =212n ++（），AE =16425+=，分三种情况讨论： 当P A =PE 时，29n +=212n ++（），解得：n =1，此时P （﹣1，1）； 当P A =AE 时，29n +=16425+=，解得：n =11±，此时点P 坐标为（﹣1，11±）；当PE =AE 时，212n ++（）=16425+=，解得：n =﹣219±，此时点P 坐标为：（﹣1，﹣219±）． 综上所述：P 点的坐标为：（﹣1，1），（﹣1，11±），（﹣1，﹣219±）．3．（2016·广西中考真题）在平面直角坐标系中，抛物线223y x x =--+与x 轴交于A ，B 两点（A 在B的左侧），与y 轴交于点C ，顶点为D ． （1）请直接写出点A ，C ，D 的坐标；（2）如图（1），在x 轴上找一点E ，使得△CDE 的周长最小，求点E 的坐标；（3）如图（2），F 为直线AC 上的动点，在抛物线上是否存在点P ，使得△AFP 为等腰直角三角形？若存在，求出点P 的坐标，若不存在，请说明理由．【答案】（1）A （﹣3，0），C （0，3），D （﹣1，4）；（2）E （37-，0）；（3）P （2，﹣5）或（1，0）． 【详解】（1）当223y x x =--+中y=0时，有2230x x --+=，解得：1x =﹣3，2x =1，∵A 在B 的左侧，∴A（﹣3，0），B （1，0）．当223y x x =--+中x=0时，则y=3，∴C （0，3）． ∵223y x x =--+=2(1)4x -++，∴顶点D （﹣1，4）．（2）作点C 关于x 轴对称的点C′，连接C′D 交x 轴于点E ，此时△CDE 的周长最小，如图1所示． ∵C （0，3），∴C′（0，﹣3）．设直线C′D 的解析式为y=kx+b ，则有：3{4b k b =--+=，解得：7{3k b =-=-，∴直线C′D 的解析式为y=﹣7x ﹣3，当y=﹣7x ﹣3中y=0时，x=37-，∴当△CDE 的周长最小，点E 的坐标为（37-，0）． （3）设直线AC 的解析式为y=ax+c ，则有：3{30c a c =-+=，解得：1{3a c ==，∴直线AC 的解析式为y=x+3．假设存在，设点F （m ，m+3），△AFP 为等腰直角三角形分三种情况（如图2所示）：①当∠PAF=90°时，P （m ，﹣m ﹣3），∵点P 在抛物线223y x x =--+上，∴2323m m m --=--+，解得：m 1=﹣3（舍去），m 2=2，此时点P 的坐标为（2，﹣5）； ②当∠AFP=90°时，P （2m+3，0）∵点P 在抛物线223y x x =--+上，∴20(23)2(23)3m m =-+-++，解得：m 3=﹣3（舍去），m 4=﹣1，此时点P 的坐标为（1，0）；③当∠APF=90°时，P （m ，0），∵点P 在抛物线223y x x =--+上，∴2023m m =--+，解得：m 5=﹣3（舍去），m 6=1，此时点P 的坐标为（1，0）．综上可知：在抛物线上存在点P ，使得△AFP 为等腰直角三角形，点P 的坐标为（2，﹣5）或（1，0）．4．（2019·广东广州市第二中学初三）如图（1），在平面直角坐标系中，矩形ABCO，B点坐标为（4，3），抛物线y＝12-x2＋bx＋c经过矩形ABCO的顶点B、C，D为BC的中点，直线AD与y轴交于E点，与抛物线y＝12-x2＋bx＋c交于第四象限的F点．（1）求该抛物线解析式与F点坐标；（2）如图，动点P从点C出发，沿线段CB以每秒1个单位长度的速度向终点B运动；同时，动点M从点A出发，沿线段AE 13个单位长度的速度向终点E运动．过点P作PH⊥OA，垂足为H，连接MP，MH．设点P的运动时间为t秒．①问EP＋PH＋HF是否有最小值，如果有，求出t的值；如果没有，请说明理由．②若△PMH是等腰三角形，求出此时t的值．【答案】（1）y＝1 2 -x2＋2x＋3，F(6，-3) （2）①有，t=3；②1425t=，45，1，165【详解】（1）∵矩形ABCO，B点坐标为（4，3）∴C点坐标为（0，3）∵抛物线y＝12-x2＋bx＋c经过矩形ABCO的顶点B、C∴3{843cb c=-++=∴3{2cb==∴y＝12-x2＋2x＋3设直线AD的解析式为11y k x b=+∵A(4，0)、D(2，3) ∴111140{23k bk b+=+=∴113{26kb=-=∴362y x=-+2362{1232y xy x x=-+=-++∵F点在第四象限，∴F(6，-3)（2）∵E(0，6) ∴CE=CO连接CF交x轴于H′，过H′作x轴的垂线交BC于P′，当P运动到P′，当H运动到H′时，EP+PH+HF的值最小.设直线CF的解析式为22y k x b=+∵C(0，3)、F(6，-3) ∴2223{63bk b=+=-∴221{3kb=-=∴3y x=-+当y=0时，x=3，∴H′(3，0) ∴CP=3 ∴t=3 如图1，过M作MN⊥OA交OA于N∵△AMN∽△AEO，∴AM AN MN AE AO EO==13246213t AN MN==∴AN=t，MN=32tI．如图1，当PM=H M时，M在PH的垂直平分线上，∴MN=12PH ∴MN=3322t=∴t=1II．如图2，当PH=HM时，MH=3，MN=32t，HN=OA-AN-OH=4-2t 在Rt△HMN中，222MN HN MH+=，2223()(42)32t t+-=，22564280t t-+=12t=（舍去），21425t=III．如图3．如图4，当PH=PM时，PM=3，MT=21425t=，PT=BC-CP-BT=42t-在Rt△PMT中，222MT PT PM+=，2223(3)(42)32t t-+-=，25t2-100t+64=01165t=，245t=∴1165t=，45，1，1655．（2019·湖南中考模拟）如图，关于x的二次函数y=x2+bx+c的图象与x轴交于点A（1，0）和点B与y 轴交于点C（0，3），抛物线的对称轴与x轴交于点D．（1）求二次函数的表达式；（2）在y 轴上是否存在一点P ，使△PBC 为等腰三角形？若存在．请求出点P 的坐标；（3）有一个点M 从点A 出发，以每秒1个单位的速度在AB 上向点B 运动，另一个点N 从点D 与点M 同时出发，以每秒2个单位的速度在抛物线的对称轴上运动，当点M 到达点B 时，点M 、N 同时停止运动，问点M 、N 运动到何处时，△MNB 面积最大，试求出最大面积．【答案】（1）二次函数的表达式为：y=x 2﹣4x+3；（2）点P 的坐标为：（0，2）或（0，3﹣2）或（0，-3）或（0，0）；（3）当点M 出发1秒到达D 点时，△MNB 面积最大，最大面积是1．此时点N 在对称轴上x 轴上方2个单位处或点N 在对称轴上x 轴下方2个单位处． 【详解】解：（1）把A （1，0）和C （0，3）代入y=x 2+bx+c ，103b c c ++=⎧⎨=⎩解得：b=﹣4，c=3，∴二次函数的表达式为：y=x 2﹣4x+3； （2）令y=0，则x 2﹣4x+3=0， 解得：x=1或x=3， ∴B （3，0）， ∴2点P 在y 轴上，当△PBC 为等腰三角形时分三种情况进行讨论：如图1， ①当CP=CB 时，2，∴2或OP=PC ﹣2﹣3 ∴P 1（0，2），P 2（0，3﹣2）； ②当PB=PC 时，OP=OB=3， ∴P 3（0，-3）；③当BP=BC时，∵OC=OB=3∴此时P与O重合，∴P4（0，0）；综上所述，点P的坐标为：（0，3+32）或（0，3﹣32）或（﹣3，0）或（0，0）；（3）如图2，设AM=t，由AB=2，得BM=2﹣t，则DN=2t，∴S△MNB=12×（2﹣t）×2t=﹣t2+2t=﹣（t﹣1）2+1，当点M出发1秒到达D点时，△MNB面积最大，最大面积是1．此时点N在对称轴上x轴上方2个单位处或点N在对称轴上x轴下方2个单位处．6．（2018·山东中考模拟）如图，抛物线y=﹣x2+mx+n与x轴交于A、B两点，与y轴交于点C，抛物线的对称轴交x轴于点D，已知A（﹣1，0），C（0，2）．（1）求抛物线的表达式；（2）在抛物线的对称轴上是否存在点P，使△PCD是以CD为腰的等腰三角形？如果存在，直接写出P点的坐标；如果不存在，请说明理由；（3）点E时线段BC上的一个动点，过点E作x轴的垂线与抛物线相交于点F，当点E运动到什么位置时，四边形CDBF的面积最大？求出四边形CDBF的最大面积及此时E点的坐标．【答案】(1)抛物线的解析式为：y=﹣x2+x+2；(2)存在，P1（，4），P2（，），P3（，﹣）；(3)当点E运动到（2，1）时，四边形CDBF的面积最大，S四边形CDBF的面积最大=．【详解】（1）∵抛物线y=﹣x2+mx+n经过A（﹣1，0），C（0，2）．解得：，∴抛物线的解析式为：y=﹣x2+x+2；（2）∵y=﹣x2+x+2，∴y=﹣（x﹣）2+，∴抛物线的对称轴是x=．∴OD=．∵C（0，2），∴OC=2．在Rt△OCD中，由勾股定理，得CD=．∵△CDP是以CD为腰的等腰三角形，∴CP1=CP2=CP3=CD．作CH⊥x轴于H，∴HP1=HD=2，∴DP1=4．∴P1（，4），P2（，），P3（，﹣）；（3）当y=0时，0=﹣x2+x+2∴x1=﹣1，x2=4，∴B（4，0）．设直线BC的解析式为y=kx+b，由图象，得，解得：，∴直线BC的解析式为：y=﹣x+2．如图2，过点C作CM⊥EF于M，设E（a，﹣a+2），F（a，﹣a2+a+2），∴EF=﹣a2+a+2﹣（﹣a+2）=﹣a2+2a（0≤x≤4）．∵S四边形CDBF=S△BCD+S△CEF+S△BEF=BD•OC+EF•CM+EF•BN，=+a（﹣a2+2a）+（4﹣a）（﹣a2+2a），=﹣a2+4a+（0≤x≤4）．=﹣（a﹣2）2+∴a=2时，S四边形CDBF的面积最大=，∴E（2，1）．7．（2019·山东中考模拟）已知：如图，抛物线y=ax2+bx+c与坐标轴分别交于点A（0，6），B（6，0），C （﹣2，0），点P是线段AB上方抛物线上的一个动点．（1）求抛物线的解析式；（2）当点P运动到什么位置时，△PAB的面积有最大值？（3）过点P作x轴的垂线，交线段AB于点D，再过点P做PE∥x轴交抛物线于点E，连结DE，请问是否存在点P使△PDE为等腰直角三角形？若存在，求出点P的坐标；若不存在，说明理由．【答案】（1）抛物线解析式为y=﹣12x2+2x+6；（2）当t=3时，△PAB的面积有最大值；（3）点P（4，6）．【详解】（1）∵抛物线过点B（6，0）、C（﹣2，0），∴设抛物线解析式为y=a（x﹣6）（x+2），将点A（0，6）代入，得：﹣12a=6，解得：a=﹣12， 所以抛物线解析式为y=﹣12（x ﹣6）（x+2）=﹣12x 2+2x+6； （2）如图1，过点P 作PM ⊥OB 与点M ，交AB 于点N ，作AG ⊥PM 于点G ，设直线AB 解析式为y=kx+b ， 将点A （0，6）、B （6，0）代入，得：660b k b =⎧⎨+=⎩， 解得：16k b =-⎧⎨=⎩，则直线AB 解析式为y=﹣x+6， 设P （t ，﹣12t 2+2t+6）其中0＜t ＜6， 则N （t ，﹣t+6）， ∴PN=PM ﹣MN=﹣12t 2+2t+6﹣（﹣t+6）=﹣12t 2+2t+6+t ﹣6=﹣12t 2+3t ， ∴S △PAB =S △PAN +S △PBN=12PN•AG+12PN•BM =12PN•（AG+BM ） =12PN•OB =12×（﹣12t 2+3t ）×6 =﹣32t 2+9t=﹣32（t ﹣3）2+272，∴当t=3时，△PAB 的面积有最大值；（3）△PDE 为等腰直角三角形， 则PE=PD ， 点P （m ，-12m 2+2m+6）， 函数的对称轴为：x=2，则点E 的横坐标为：4-m ， 则PE=|2m-4|， 即-12m 2+2m+6+m-6=|2m-4|， 解得：m=4或-2或5+17或5-17（舍去-2和5+17） 故点P 的坐标为：（4，6）或（5-17，317-5）．8．（2018·广东中考模拟）如图，在平面直角坐标系xOy 中，二次函数24y ax bx =+-（0a ≠）的图象与x 轴交于A （﹣2，0）、B （8，0）两点，与y 轴交于点B ，其对称轴与x 轴交于点D ．（1）求该二次函数的解析式；（2）如图1，连结BC ，在线段BC 上是否存在点E ，使得△CDE 为等腰三角形？若存在，求出所有符合条件的点E 的坐标；若不存在，请说明理由；（3）如图2，若点P （m ，n ）是该二次函数图象上的一个动点（其中m ＞0，n ＜0），连结PB ，PD ，BD ，求△BDP 面积的最大值及此时点P 的坐标． 【答案】（1）213442y x x =--；（2）E 的坐标为（825-5-、（0，﹣4）、（112，54-）；（3）28924，（173，16136-）． 【详解】（1）∵二次函数24y ax bx =+-（0a ≠）的图象与x 轴交于A （﹣2，0）、C （8，0）两点，∴4240{64840a b a b --=+-=，解得：14{32a b ==-，∴该二次函数的解析式为213442y x x =--；（2）由二次函数213442y x x =--可知对称轴x=3，∴D （3，0），∵C （8，0），∴CD=5，由二次函数213442y x x =--可知B （0，﹣4），设直线BC 的解析式为y kx b =+，∴80{4k b b +==-，解得：1{24k b ==-，∴直线BC 的解析式为142y x =-，设E （m ，142m -）， 当DC=CE 时，22221(8)(4)2ED m m CD =-+-=，即2221(8)(4)52m m -+-=，解得1825m =-，2825m =+（舍去），∴E （825-，5-）； 当DC=DE 时，22221(3)(4)2ED m m CD =-+-=，即2221(3)(4)52m m -+-=，解得30m =，48m =（舍去），∴E （0，﹣4）；当EC=DE 时，222211(8)(4)(3)(4)22m m m m -+-=-+-，解得5m =112，∴E （112，54-）． 综上，存在点E ，使得△CDE 为等腰三角形，所有符合条件的点E 的坐标为（825-，5-）、（0，﹣4）、（112，54-）； （3）过点P 作y 轴的平行线交x 轴于点F ，∵P 点的横坐标为m ，∴P 点的纵坐标为：，∵△PBD 的面积BOD PFD S S S S ∆∆=--梯形=221131131[4(4)](3)[(4)]342422422m m m m m m ---------⨯⨯=231784m m -+ =2317289()8324m --+，∴当m=173时，△PBD 的最大面积为28924，∴点P 的坐标为（173，16136-）．9．（2019·四川中考模拟）如图，已知二次函数y ＝﹣x 2+bx+c （c ＞0）的图象与x 轴交于A 、B 两点（点A 在点B 的左侧），与y 轴交于点C ，且OB ＝OC ＝3，顶点为M ．（1）求二次函数的解析式；（2）点P为线段BM上的一个动点，过点P作x轴的垂线PQ，垂足为Q，若OQ＝m，四边形ACPQ的面积为S，求S关于m的函数解析式，并写出m的取值范围；（3）探索：线段BM上是否存在点N，使△NMC为等腰三角形？如果存在，求出点N的坐标；如果不存在，请说明理由．【答案】（1）二次函数的解析式为y=﹣x2+2x+3；（2）S=﹣m2+92m+32（1≤m＜3）；（3）线段BM上存在点N（75，165），（2，2），（1+105，4﹣2105）使△NMC为等腰三角形.【详解】解：（1）∵OB=OC=3，∴B（3，0），C（0，3）∴0933b cc=-++⎧⎨=⎩,解得23 bc=⎧⎨=⎩,∴二次函数的解析式为y=﹣x2+2x+3；（2）y=﹣x2+2x+3=﹣（x﹣1）2+4，M（1，4）设直线MB的解析式为y=kx+n，则有403k nk n=+⎧⎨=+⎩,解得26 kn=-⎧⎨=⎩,∴直线MB的解析式为y=﹣2x+6,∵PQ ⊥x 轴，OQ=m ，∴点P 的坐标为（m ，﹣2m +6）S 四边形ACPQ =S △AOC +S 梯形PQOC =12AO•CO +12（PQ+CO ）•OQ （1≤m ＜3） =12×1×3+12（﹣2m +6+3）•m =﹣m 2+92m +32；（3）线段BM 上存在点N （75，165），（2，2），（，4）使△NMC 为等腰三角形,CM ，CN MN①当CM=NC =解得x 1=75，x 2=1（舍去）此时N （75，165），②当CM=MN =，解得x 1x 2舍去），此时N （1+5，4﹣5）.③当CN=MN 时，=解得x =2，此时N （2，2）．10．（2019·甘肃中考模拟）如图，已知二次函数y=ax 2+bx+c 的图象与x 轴相交于A （﹣1，0），B （3，0）两点，与y 轴相交于点C （0，﹣3）． （1）求这个二次函数的表达式；（2）若P 是第四象限内这个二次函数的图象上任意一点，PH ⊥x 轴于点H ，与BC 交于点M ，连接PC ． ①求线段PM 的最大值；②当△PCM 是以PM 为一腰的等腰三角形时，求点P 的坐标．【答案】（1）二次函数的表达式y=x 2﹣2x ﹣3；（2）①PM 最大=94；②P （2，﹣3）或（2，2﹣2）．【详解】（1）将A ，B ，C 代入函数解析式，得09303a b c a b c c -+=⎧⎪++=⎨⎪=-⎩，解得123a b c =⎧⎪=-⎨⎪=-⎩，这个二次函数的表达式y=x 2﹣2x ﹣3； （2）设BC 的解析式为y=kx+b ， 将B ，C 的坐标代入函数解析式，得303k b b +=⎧⎨=-⎩，解得13k b =⎧⎨=-⎩， BC 的解析式为y=x ﹣3，设M （n ，n ﹣3），P （n ，n 2﹣2n ﹣3），PM=（n ﹣3）﹣（n 2﹣2n ﹣3）=﹣n 2+3n=﹣（n ﹣32）2+94，当n=32时，PM 最大=94；②当PM=PC 时，（﹣n 2+3n ）2=n 2+（n 2﹣2n ﹣3+3）2， 解得n 1=0（不符合题意，舍），n 2=2， n 2﹣2n ﹣3=-3， P （2，-3）；当PM=MC 时，（﹣n 2+3n ）2=n 2+（n ﹣3+3）2，解得n 1=0（不符合题意，舍），n 22（不符合题意，舍），n 32， n 2﹣2n ﹣3=2-42，P （3-2，2-42）；综上所述：P （2，﹣3）或（3-2，2﹣42）．11．（2019·安徽中考模拟）如图，已知直线1y x =+与抛物线2y ax 2x c =++相交于点()1,0A -和点()2,B m 两点.（1）求抛物线的函数表达式；（2）若点P 是位于直线AB 上方抛物线上的一动点，当PAB ∆的面积S 最大时，求此时PAB ∆的面积S 及点P 的坐标；（3）在x 轴上是否存在点Q ，使QAB ∆是等腰三角形？若存在，直接写出Q 点的坐标（不用说理）；若不存在，请说明理由.【答案】（1）所求抛物线的函数表达式为2y x 2x 3=-++；（2）PAB ∆的面积S 有最大值是278，此时点P 坐标为115(,)24；（3）存在点Q 坐标为(321,0)--或(321,0)或(5,0)或(2,0). 【详解】解（1）Q 点()2,B m 在直线1y x =+上，213m ∴=+=，∴点B 坐标为()2,3，Q 点()1,0A -和点()2,3B 在抛物线22y ax x c =++上，20443a c a c -+=⎧∴⎨++=⎩，解得13a c =-⎧⎨=⎩，∴所求抛物线的函数表达式为223y x x =-++；（2）过点P 作PM x ⊥轴于点M ，交AB 于点N ， 设点P 的横坐标为m ，则点P 的坐标为()2,23m m m -++，点N 的坐标为(,1m m +）， Q 点P 是位于直线AB 上方，PN PM MN ∴=-= 223(1m m m -++-+）2=2m m -++. PAB ∴∆的面积PAN PBN S S S ∆=+∆()()21212m m m =⨯-+++ ()()()()()222113222122222m m m m m m m m m +⨯-++-=-++++-=-++ 23127228m ⎛⎫=--+⎪⎝⎭,302-Q ＜ ∴抛物线开口向下，又12m ＜＜-， ∴当12m =时， PAB ∆的面积S 有最大值，最大值是278. 此时点P 坐标为115,24⎛⎫⎪⎝⎭；（3）存在点Q 坐标为()321,0-或()321,0或()5,0或()2,0.12．（2018·江苏中考模拟）（2017南宁，第26题，10分）如图，已知抛物线2239y ax ax a =--与坐标轴交于A ，B ，C 三点，其中C （0，3），∠BAC 的平分线AE 交y 轴于点D ，交BC 于点E ，过点D 的直线l 与射线AC ，AB 分别交于点M ，N ．（1）直接写出a 的值、点A 的坐标及抛物线的对称轴；（2）点P 为抛物线的对称轴上一动点，若△PAD 为等腰三角形，求出点P 的坐标； （3）证明：当直线l 绕点D 旋转时，11AM AN+均为定值，并求出该定值．【答案】（1）a =13-，A 3，0），抛物线的对称轴为x 3；（2）点P 303，﹣4）；（3）32． 【详解】（1）∵C （0，3），∴﹣9a =3，解得：a =13-．令y =0得：22390ax ax a --=，∵a ≠0，∴22390x x --=，解得：x =3或x =33A 的坐30），B （330），∴抛物线的对称轴为x 3． （2）∵OA 3OC =3，∴tan ∠CAO 3，∴∠CAO =60°．∵AE 为∠BAC 的平分线，∴∠DAO =30°，∴DO 3=1，∴点D 的坐标为（0，1）． 设点P 3a ）．依据两点间的距离公式可知：AD 2=4，AP 2=12+a 2，DP 2=3+（a ﹣1）2． 当AD =P A 时，4=12+a 2，方程无解．当AD =DP 时，4=3+（a ﹣1）2，解得a =0或a =2（舍去），∴点P 30）． 当AP =DP 时，12+a 2=3+（a ﹣1）2，解得a =﹣4，∴点P 34）． 综上所述，点P 3034）．。