二次函数之动点产生的面积问题

二次函数-因动点产生的面积问题例1、如图1,己知抛物线y = -x2-}-bx + c（力、Q是常数，且c<0）与”轴交于人〃两点（点/在点〃的左侧），与y轴的负半轴交于点G点力的坐标为（-1,0）.（1） ______ b=______________________，点〃的横坐标为（上述结果均用含c的代数式表示）；（2）连结饥；过点/作直线力伤/应；与抛物线交于点仅点〃是/轴上一点，坐标为（2, 0）,当C、〃、E三点在同一直线上时，求抛物线的解析式；（3）在（2）的条件下，点P是x轴下方的抛物线上的一动点，连结刖、PC.设比的面积为S.①求S的取值范围；②若的面积S为正整数，则这样的△/犹共有___________ 个.思路点拨1. 用c表示方以后，把抛物线的一般式改写为两点式，会发现OB=2OC.2. 当C、D、£、三点共线时，'EHAs'COB、'EHLS'COD.3. 求△观面积的取值范圉，要分两种情况计算，户在％上方或下方.4. 求得了S的取值范围，然后罗列P从M经过C运动到〃的过程中，面积的正整数值，再数一数个数•注意排除点久C.〃三个时刻的值.满分解答（1）b=c +丄，点〃的横坐标为— 2c.过点E作EHLx轴于〃.由于当AE//BC时，AH=2EIL所以x + l = (x+l)Cx+2c).因此x = l — 2c.所以E(l-2c,l-c).当C 、D 、F 三点在同一直线上时，—.所以 I =Z£.DH DO -2c-1 2整理，得2<?+3c —2 = 0.解得c=~2或0 =丄（舍去）.2（3）①当P 在力下方时，过点P 作x 轴的垂线交氏于F.直线〃C'的解析式为y = ^x-2.131 1设 —- — tn -2),那么, FP = —nr +2m.2222所以S MB 卜+ S^pct-=丄FP{X B —X C ) = 2FP — —m 2+ 4m = —(m — 2)2 + 4 •2因此当P 在氏下方时，的最大值为4.当P 在比上方时，因为SHABC=5、所以S\PBC<5・ 综上所述，0VSV5.②若△/沆、的而积S 为止整数，则这样的△/沉共有11个. 考点伸展点P 沿抛物线从力经过C 到达〃的过程中，的面积为整数，依次为（5）, 4, 3, 2, 3, 4, 3, 2, 1, （0）.当戶在兀下方，S=4时，点P 在氏的中点的正下方，尸是应'的中点. 例2、如图1,在平面直角坐标系中放置一直角三角板，其顶点为水0, 1)、〃(2, 0)、0(0, 0),将此三 角板绕原点0逆时针旋转90° ,得到三角形/ B' 0.(1) 一抛物线经过点川、B, B,求该抛物线的解析式；(2) 设点"是第一象限内抛物线上的一个动点，是否存在点"，使四边形/行A' 〃的面积是△彳夕0而积的4倍？若存在，请求出点戶的坐标；若不存在，请说明理由；(3) 在(2)的条件下，试指出四边形PB* 〃是哪种形状的四边形？并写出它的两条性质.2, 1, (0), 1,图1思路点拨1. 四边形丹'A9〃的面积是△才B' 0面积的4倍，可以转化为四边形丹'防的面积是△才B' 0面积的3倍.2. 联结四边形/为'必可以分割为两个三角形.3. 过点向无轴作垂线，四边形丹'血也可以分割为一个直角梯形和一个直角三角形.满分解答(1) 防绕着原点0逆时针旋转90°，点彳、B'的坐标分别为(一1, 0)、(0, 2).因为抛物线与x轴交于A1 (-1, 0)、凤2, 0),设解析式为尸=臼匕+1)匕一2),代入B r (0, 2),得&=1.所以该抛物线的解析式为y=-d+l)d-2) =-/+x+2・(2) o— 1.如果S四边形w A f g=4 S^A r g 0=4,那么S四边形曲加=3 S^A f ff o=3.如图2,作刃丄防，垂足为设点"的坐标为匕，—x+x+i).1 1 9 1 . 1 9 =-DO^O-^ PD) = -x(2-x2+x+2) = --x3 +-x2 + 2x .1 | 1 3S、PDB =—DB X PD=-(2-X)(-X2 + x + 2) = 一一兀2 + 2 .解方程一,+2/+2 = 3,得 K = Z =1.所以点戶的坐标为（1, 2）.（3）如图3,四边形"F A r〃是等腰梯形，它的性质有：等腰梯形的对角线相等；等腰梯形同以底上的两个内角相等；等腰梯形是轴对称图形，对称轴是经过两底中点的直线. 考点伸展第（2）题求四边形加的面积，也可以如图4那样分割图形，这样运算过程更简单.S、PB （）=运 B'O ・心= — x2x = x-&PBO — — BO • yp — — x 2（—+ 兀 + 2） — —+ 无 + 2 • 21 2所以 ％ 边形阳池=Sp&o += —x + 2x+2 •甚至我们可以更大胆地根据抛物线的对称性直接得到点P ： 作OB'关于抛物线的对称轴对称的△从加，那么点F 的坐标为（1, 2）.而矩形励’0〃与△才OB'、△尿沪是等底等高的，所以四边形防'A f3的面积是△才ff 0面积的 4倍.因此点疋就是要探求的点尢所以％边 形PBAD图2图3=—x 2 + 2兀+2 •2图4S 梯形PBOD例3、如图1,在平面直角坐标系屮，直线y = -x+\与抛物线y= ax + bx — 3交于弭、〃两点，点力在/ 轴上，点〃的纵坐标为3.点P 是直线力〃下方的抛物线上的一动点(不与点/、〃重合)，过点"作/轴 的垂线交直线力〃于点C,作皿丄血/于点〃.(1) 求曰、b 及sin^ACP 的值； (2) 设点P 的横坐标为饥① 用含刃的代数式表示线段刃的长，并求出线段刃长的最大值；② 连结/为，线段/乞把△/%矽分成两个三角形，是否存在适合的/〃的值，使这两个三角形的面积比为9 : 10?若存在，直接写出/〃的值；若不存在，请说明理由・思路点拨1. 第(1)题由于GV/y 轴，把z/m 转化为它的同位角.2. 第(2)题中，PD=PCskZACP,第(1)题已经做好了铺垫.3.与△"伪是同底边&、的两个三角形，面积比等于对应高〃V 与射的比.4. 两个三角形的面积比为9 : 10,要分两种情况讨论. 满分解答(1) 设直线 y = -x + 1 与 y 轴交于点 那么 71(-2, 0), 〃(4,3), MO,1).2在Rt △肋0屮，04=2, OE=\,所以AE =亦.所以sin ZAEO = 迈・5将力(一2,0)、8(4,3)分别代入尸/+&—3,得.⑵由"巧心尹一3)，帥了+1)，因为PG7%,所以ZACP=ZAEO.因此sin4。

二次函数中动点三角形面积最值问题在二次函数包含动点的三角形面积，一般用“铅锤法”，即S=×水平宽×铅锤高；以下图为例：二次函数y=−x2+2+3,一次函数y=−x+3，交点为B（3,0），C（0,3）；点P是直线上方抛物线的面积最大值。

上一个动点，求S△BCP【方法介绍】三角形面积的变形公式：S=×水平宽×铅锤高；对于三角形ABC，过点C做一条铅垂线，交于AB于一点D，过点B作CD的垂线，过点A作CD垂线；=×C×；垂线CD将△ABC分为△ACD和△BCD，这两个三角形有一条公共边CD，以CD为底，S△ACDS△BCD=×C×；+S△BCD=×C×(+);那么S△ABC=S△ACD其中CD称之为“铅锤高”；(+)称之为水平宽，即两个定点之间的水平距离；【解题步骤】首先过动点P 作一条垂直于x 轴的垂线，交于BC 于点Q ；设动点P 的坐标为（m ，−+B +）;则Q 的坐标为（m ，-m+3）；那么PQ=y P -y Q =−+B +-(-m+3)=−+B ；S △BPC =×（）×（−+B ）=×（−）×（−+B ）=×（−+B ）当x=−2=时，面积最大，最大面积是S=2；将m=代入P 点的坐标表达式（m ，−+B +）中得出P 的坐标为（，1）；1．如图，抛物线2y ax 2x c =++与x 轴交于,A B 两点，于y 轴交于C 点，连接BC ，已知(1,0A ），B(-3,0)．（1）求抛物线的解析式；（2）点P 是线段BC 上一动点，过点P 作x PD ⊥轴，交抛物线于点D ，求PD 的长的最大值；2．已知：如图，抛物线y=ax2+bx+c与坐标轴分别交于点A（0，6），B（6，0），C（﹣2，0），点P是线段AB上方抛物线上的一个动点．（1）求抛物线的解析式；（2）当点P运动到什么位置时，△PAB的面积有最大值？3．如图，已知抛物线y＝ax2+bx+c过点A（﹣3，0），B（﹣2，3），C（0，3），顶点为D．（1）求抛物线的解析式；（2）设点M（1，m），当MB+MD的值最小时，求m的值；（3）若P是抛物线上位于直线AC上方的一个动点，求△APC的面积的最大值．4.（昭阳区2019-2020学年九上期末真题）如图，抛物线y＝ax2+32x+c（a≠0）与x轴交于A、B两点，与y轴交于点C，抛物线的对称轴交x轴于点D，已知点A的坐标为（﹣1，0），点C的坐标为（0，2）．（1）求抛物线的解析式；（2）在抛物线的对称轴上是否存在点P，使△PCD是以CD为腰的等腰三角形？如果存在，直接写出P点的坐标；如果不存在，请说明理由；（3）点E是线段BC上的一个动点，过点E作x轴的垂线与抛物线相交于点F，当点E运动到什么位置时，四边形CDBF的面积最大？求出四边形CDBF的最大面积及此时E点的坐标．。

二次函数”关于动点求最大面积的问题”课后反思
在二次函数”关于动点求最大面积的问题”教学中，根据它在初中数学函数在教学中的地位，细心地准备《二次函数》的教学，教学重点为二次函数的图象性质及应用，教学难点为a、b、c与二次函数的图象的关系。

根据反思备课过程和讲课效果，感受颇深，有收获，也有不足。

本章的教学是我对选题有了进一步认识，要体现教学目标，要有实际意义。

要体现学生的“最近发展区”，有利于学生分析。

如为了帮助学生建立二次函数的概念，从学生非常熟悉的正方形的面积的研究出发，通过建立函数解析式，归纳解析式特点，给出二次函数的定义。

建立了二次函数概念后，再通过三个例题的分析和解决，促进学生理解和建构二次函数的概念，在建构概念的过程中，让学生体验从问题出发到列二次函数解析式的过程。

体验用函数思想去描述、研究变量之间变化规律的意义。

接下来教学主要从“抛物线的开口方向、对称轴、顶点坐标、增减性”循序渐进，由特殊到一般的学习二次函数的性质，并帮助学生总结性的去记忆。

在学习过程中加强利用配方法将二次函数一般式化顶点式、判断抛物线对称轴、借图象分析函数增减性等的训练。

这部分内容就是中等偏下的学生容易混淆，还需掌握方法，加强记忆，强调必须利用图形去分析。

通过教学，让学生对建模思想、图形结合思想及分类讨论思想都有了较清晰的认识，学会了分析问题的初步方法。

二次函数动点问题专题一、因动点产生的面积问题1、如图，抛物线与x轴交与A(1,0),B(- 3，0)两点，（1）求该抛物线的解析式；（2）设（1）中的抛物线交y轴与C点，在该抛物线的对称轴上是否存在点Q，使得△QAC的周长最小？若存在，求出Q点的坐标；若不存在，请说明理由. （3）在（1）中的抛物线上的第二象限上是否存在一点P，使△PBC的面积最大？，若存在，求出点P的坐标及△PBC的面积最大值.若没有，请说明理由.cbxxy++-=2ABC2、如图，抛物线y=12x2+b x-2与x轴交于A、B两点，与y轴交于C点，且A（-1,0）。

（1）求抛物线的解析式及顶点D的坐标；（2）判断△ABC的形状，证明你的结论；（3）点M（m，0）是x轴上一个动点，当CM+DM的值最小时，求m的值；（4）点P为直线BC下方抛物线上一动点，问当P在什么位置时，四边形ACPB 的面积最大，求出此时的P点坐标及最大面积。

3．如图，在平面直角坐标系中，二次函数y＝x2＋bx＋c的图象与x轴交于A、B 两点，B点的坐标为（3，0），与y轴交于C（0，－3）点，点P是直线BC下方抛物线上的动点．（1）求这个二次函数表达式；（2）连接PO、PC，并将△POC沿y轴对折，得到四边形POP′C，那么是否存在点P，使得四边形POP′C为菱形？若存在，请求出此时点P的坐标；若不存在，请说明理由；（3）当点P运动到什么位置时，四边形ABPC的面积最大？求出此时P点的坐标和四边形ABPC的最大面积．4、（2015中大附中一模）如图，已知抛物线c bx ax y ++=2过点A （6，0），B （－2，0），C （0，－3）．（1）求此抛物线的解析式；（2）若点H 是该抛物线第四象限的任意一点，求四边形OCHA 的最大面积；（3）若点Q 在y 轴上，点G 为该抛物线的顶点，且∠GQA =45º，求点Q 的坐标．5、（2016•越秀区一模）如图，已知抛物线y=x 2﹣（m +3）x +9的顶点C 在x 轴正半轴上，一次函数y=x +3与抛物线交于A 、B 两点，与x 、y 轴分别交于D 、E 两点．（1）求m 的值；（2）求A 、B 两点的坐标；（3）当﹣3＜x ＜1时，在抛物线上是否存在一点P ，使得△PAB 的面积是△ABC 面积的2倍？若存在，请求出点P 的坐标；若不存在，请说明理由．二、因动点产生的等腰三角形存在性问题1、已知：如图抛物线a x x y +-=421过点A （0,3），抛物线1y 与抛物线2y 关于y 轴对称，抛物线2y 的对称轴交x 轴于点B ，点P 是x 轴上的一个动点，点Q 是第四象限内抛物线1y 上的一点。

广州市南沙第一中学教学公开课教案时间：201 5 学年二学期第 8 周第 4 节初三级 7 班数学科上课地点：录播室授课人：胡倩
教
学过程
【设计意图】通过二次函数最基本的知识点，由简到难，引出本节课的主题.
环节二:课堂精讲
典型例题
在上题的条件下，若点M在第三象限．问：
①①当点M运动到何处时，△AMB 的面积最大？求出△AMB的最大面积及此时
点M的坐标；
②当点M运动到何处时，四边形 AMCB 的面积最大？求出四边形 AMCB 的
最大面积及此时点 M 的坐标．
备用图1 备用图2
【设计意图】二次函数中因动点产生的面积问题是中考中压轴题的易考点，本题学生要学会根据题意找出表示动点的坐标，敢于做出图形，通过观察，利用割补法表示图形的面积，从而列出表示面积的二次函数解析式，利用求最值的方法解答题目.
环节三：巩固练习
如如图，直线4
3
4
+
-
=x
y与x轴交于点A，与y轴交于点C，抛物线
4
3
8
3
4
2+
+
-
=x
x
y经过点A、C和点()0,1-
B.有两动点D、E同时。

二次函数中的动点与面积计算问题复习教学目标：1、已知三角形各顶点的坐标，会用多种方法熟练地计算出三角形的面积；2、在例题的学习中，感受解决运动变化题型的一般策略，进一步体会方程、函数、不等式等知识间的相互联系，强化学生的分类意识，感悟运动变化、数形结合、方程、函数、极值等重要数学思想方法。

二、复习尝试 （一）、回顾 右图中，计算： (1)图①△DBC 的面积为 (2)图②△PAE 的面积为（二）、例题教学已知：如图，某抛物线的顶点为E(2,3),且经过点A （-4,0），其对称轴与x 轴交与点F ．yxP(-2,4)E(2,3)A(-4,0)备用图 yxP(-2,4)E(2,3)A(-4,0)备用图 yxP(-2,4)E(2,3)A(-4,0)备用图y xP(-2,4)E(2,3)A(-4,0)图②图 ①D(1,6)OB(1,2)C(3,1)xy x P(-2,4)E(2,3)A(-4,0)备用图 y x P(-2,4)E(2,3)A(-4,0)备用图 y P(-2,4)E(2,3)A(-4,0)备用图（1）该抛物线关系式为 ；（2）若点P 是该抛物线上位于A 、E 之间的一动点，连接 PA 、PE ，求△PA E 面积的最大值；（3）若点P 在 x 轴上方的抛物线上运动，连接PA 、PE ，设所得△PA E 的面积为S ， ①求当S=10时点P 的坐标；②存在 个相应的P 点，使得S=2 ？四、思维拓展在例题（3）中，S 取何值时，相应的P 点有且只有1个？请说明理由。

五、课后作业1、如图是二次函数k m x y ++=2)(的图象，其顶点坐标为M （1，-4） （1）求出图象与x 轴的交点A 、B 的坐标；（2）在二次函数的图象上是否存在点P ，使 △P AB 的面积是△MAB 面积的45，若存在，请求 出P 点的坐标；若不存在，请说明理由．F O xA x=2C E y AMBOyxF O xA x=2CEy2、如图，已知二次函数y=423412++-x x 的图象与y 轴交于点A ，与x 轴交于B 、C 两点，其对称轴与x 轴交于点D ，连接AC ．(1)点A 的坐标为_______ ，点C 的坐标为_______ ； (2)点P 为抛物线上位于B 、C 间的一个动点，当P 点运动到何位置时，以P 、A 、O 、C 为顶点的四边形面积最大？ 最大面积为多少？。

仅供个人学习参考二次函数最大面积例1如图所示，等边△ABC 中，BC=10cm ，点1P ,2P 分别从B,A 同时出发，以1cm/s 的速度沿线段BA,AC 移动，当移动时间t 为何值时，△21P AP 的面积最大？并求出最大面积。

ABC练习1如图，在矩形ABCD 中，AB=6cm ，BC=12cm,点P 从点A 出发沿AB 边向点B 以1cm/s 的速度移动，同时点Q 从点B 出发沿BC 边向C 以2cm/s 的速度移动，如果P,Q 同时出发，分别到达B 、C 两点就停止移动。

（1）设运动开始后第t 秒，五边形APQCD 的面积是2Scm ，写出S 与t 函数关系式，并指出t 的取值范围。

（2）t 为何值时，S 最小？并求出这个最小值。

DCQAPB2如图，在△ABC 中，∠B=90°，AB=22CM,BC=20CM ，点P 从点A 开始沿AB 边向点B 以2cm/S 的速度移动，点Q 从点B 开始沿着BC 边向点C 以1cm/S 的速度移动，P,Q 分别从A,B 同时出发。

求四边形APQC 的面积y （2cm ）与PQ 移动时间x （s ）的函数关系式，A以及自变量x 的取值范围。

PBQC3如图正方形ABCD 的边长为4cm ，点P 是BC 边上不与B,C 重合的任意一点，连接AP ，过点P 作PQ ⊥AP 交DC 于点Q,设BP 的长为xcm ，CQ 的长为ycm 。

（1）求点P 在BC 上的运动的过程中y 的最大值。

（2）当y=41cm 时，求x 的值。

AD BPC4如图所示，边长为1的正方形OABC 的顶点O 为坐标原点，点A 在x 轴的正半轴上，动点D 在线段BC 上移动（不与B,C 重合），连接OD ，过点D 作DE ⊥OD,交AB 于点E ，连接OE ，记CD 的长为t 。

y（1） 当t=31时，求线段DE 所在直线的函数表达式。

CDB （2） 如果梯形CDEB 的面积为S ，那么S 是否E存在最大值？若存在，请求出最大值，以及此时t 的值；若不存在，请说明理由。

二次函数--由动点生成面积问题二次函数是数学中重要的一个概念，它描述了一类以二次项为主导的多项式函数。

而这篇文章将重点探讨一个有趣的问题：如何由动点生成二次函数并应用于面积问题。

首先，我们需要了解什么是动点。

动点是平面上一个不固定的点，它的位置随着时间的推移而变化。

在二维平面上，我们通常用坐标系来描述动点的位置，其中x轴和y轴代表两个独立的变量。

考虑以下问题：假设我们有一条规定的直线，上面有两个动点A和B，它们沿着直线运动。

我们假设初始时刻A和B分别位于直线的两个不同的点，运动速度相同且方向相反。

我们还假设直线是垂直于x轴的。

为了简化问题，我们将直线的方程表示为 y = kx + b，其中 k 是直线的斜率，b 是 y 轴的截距。

此外，我们假设 A 和 B 分别运动的距离为 d1 和 d2，而 d1 和 d2 的长度相等。

我们的目标是通过动点A和B的运动来生成一个面积问题，并进一步将其转化为二次函数。

为了实现这一目标，我们需要引入一个新的点C，它是动点A和B的垂直平分线上的一个固定点。

通过仔细观察，我们可以发现三角形ABC的两条边的长度与动点A和B的距离之间存在一定的关系。

假设三角形ABC的高度为h，底边的长度为b，同时A和B分别位于底边的两个端点。

根据数学原理，我们可以通过两个已知长度和一个夹角来计算一个三角形的面积。

那么如何计算三角形ABC的面积呢？首先，我们可以根据两个动点A和B的运动距离d1和d2来计算出三角形底边的长度b。

由于d1和d2的长度相等，我们可以将它们的和除以2来得到b的长度。

即b=(d1+d2)/2接下来，我们需要确定三角形ABC的高度h。

由于点C是动点A和B的垂直平分线上的一个固定点，因此我们可以用坐标系来表示其位置。

假设点C的坐标为(x0,y0)。

由于点C是动点A和B的垂直平分线的交点，因此动点A在以点C为圆心的圆上运动。

同样地，动点B也在以点C为圆心的圆上运动。

我们可以将动点A和B的位置分别表示为(x1,y1)和(x2,y2)。

二次函数动点与面积问题二次函数动点与面积问题在高中数学的二次函数学习中，常常会碰到一类问题，即如何确定二次函数图像与坐标系的位置关系。

在这类问题中，最常见的方法就是利用动点法和面积法来解决问题。

动点法主要用于确定二次函数的顶点和对称轴的位置，而面积法则则主要用于确定二次函数与坐标轴之间的相互位置关系，下面我们来详细讨论一下这两种方法的具体应用。

一、二次函数的顶点和对称轴的确定考虑如何确定一个二次函数的顶点和对称轴，最常见的方法就是采用动点法。

动点法的基本思想就是将二次函数拆分成一元二次函数 f(x) = ax^2+bx+c，并通过对f(x) 的导数求零点来确定顶点的位置。

具体来说，我们可以通过以下步骤来进行顶点和对称轴的确定：第一步，分离 y = ax^2+bx+c 函数中的常数项：y - c = ax^2+bx ----->f(x) = ax^2+bx第二步，求解导数f’(x) = 2ax+b 的根（也就是切线的斜率），令其等于0，解出 x = -b/2a，这个值就是二次函数的对称轴的位置；第三步，将求得的对称轴的位置带入一元二次函数f(x) = ax^2+bx+c 中，即可求出二次函数的顶点位置，也就是 (x, y) = (-b/2a, f(-b/2a)+c)。

可以说，这个动点法是二次函数解题中的一个基本应用，学习二次函数的选手一定要掌握。

二、二次函数与坐标轴的相对位置的确定二次函数的另一个常见问题是如何确定它与坐标轴之间的相对位置关系。

为此，我们可以采用面积法，基本思想是利用图形所围成的面积，从而确定二次函数与坐标轴之间的相对位置。

具体来说，我们可以通过以下步骤来确定二次函数与坐标轴之间的相对位置：第一步，确定二次函数的顶点位置和二次函数的开口方向（向上还是向下）；第二步，利用顶点和坐标轴的交点，将整个坐标系分成不同的部分；第三步，分别计算出不同部分围成的面积，具体的计算方式以二次函数与 x 轴的相对位置情况为准，例如：情形1：当二次函数与 x 轴没有任何交点时，可以直接计算出二次函数的面积，此时，图形所围成的面积就是函数的定积分的绝对值：S = ∫_{x1}^{x2}|f(x)|dx情形2：当二次函数与 x 轴只有一个交点时，此时，图形所围成的面积就是上下两个三角形的面积之和：S = [f(x)-0] × (x-x1)÷2 + [0-f(x)] × (x2-x)÷2情形3：当二次函数与 x 轴有两个交点时，此时，图形所围成的面积就是上下两个三角形面积和与中间小矩形部分的面积之和：S = [f(x)-0] × (x-x1)÷2 + [0-g(x)] × (x2-x)÷2 + g(x)×(x2-x1)其中，g(x)就是与原函数相对称的一条直线的函数表达式。

二次函数动点问题中面积最值的解法策略摘要：我国正在实施新的基础教育课程改革，《义务教育数学课程标准（２０22年版）》指出要培养学生的数学核心素养，而二次函数和几何图形的综合应用题，能充分的考查学生的数学抽象，逻辑推理，数学运算以及数学建模等综合能力。

这种类型的综合题，通常出现在中考的压轴题中，综合性强，计算强度大，具有较大的难度，在二次函数与几何图形的综合题中，求二次函数面积的最值问题比较常见，本文就此问题解法进行探讨。

关键词：二次函数与几何图形；函数动点问题；二次函数面积最值二次函数动点问题就是通过点的运动生成一种函数关系及函数图象，抛物线上点的运动与直线相结合而产生的三角形面积问题，就是将几何图形与函数图象有机地融合在一起，解决的关键是结合图形通过点坐标衔接函数、方程找到函数关系。

本文就求解二次函数面积最值的问题，浅谈几种解决此类问题的方法策略。

一、割补法在解决二次函数面积最值问题时，不规则多边形的面积往往可以通过割补法把多边形分为几个三角形或者是规则的四边形的面积来求解，当三角形中有一边是在坐标轴上，或者在以坐标轴平行的直线上，那么就可以把这一条边当作三角形的底边，第三个点到这一条边的距离，作为三角形的高，直接利用三角形的面积公式求解，或者过图形的各端点作两坐标轴的平行线，构造与轴平行的最小矩形对所要求面积的图形进行覆盖，然后所求图形的面积即为矩形面积减去多余的几个直角三角形的面积。

最终把多边形面积的最值问题，转化为求三角形面积的最值问题，这也体现了一种“化归”的思想方法。

题目1、(2019枣庄)已知抛物线y＝ax2＋x＋4的对称轴是直线x＝3，与x轴相交于A，B两点(点B在点A右侧)，与y轴交于点C.(1)求抛物线的解析式和A，B两点的坐标；(2)如图①，若点P是抛物线上B、C两点之间的一个动点(不与B、C重合)，是否存在点P，使四边形PBOC的面积最大？若存在，求点P的坐标及四边形PBOC面积的最大值；若不存在，请说明理由.[思路分析]（1）由抛物线的对称轴是直线x=3，解出a的值，即可求得抛物线的表达式，再令其y值为0，解一元二次方程即可求出A和B的坐标。

专题12 二次函数中动点引起的面积最值及图形存在性问题思路提示：二次函数中的面积问题通常用转化的数学思想将面积转化为线段的最值问题求解，常见的是先分割再用三角形的面积计算方法（“铅垂高、水平宽法”）求解.题型一、四边形面积最值问题1.（2019·山东枣庄中考）如图，已知抛物线y =4232++x ax 的对称轴是直线x =3，且与x 轴相交于A ，B 两点（B 点在A 点右侧）与y 轴交于点C ．（1）求抛物线的解折式和A 、B 两点的坐标；（2）如图1，若点P 是抛物线上B 、C 两点之间的一个动点（不与B 、C 重合），是否存在点P ，使四边形PBOC 的面积最大?若存在，求点P 的坐标及四边形PBOC 面积的最大值；若不存在，试说明理由；（3）如图2，若M 是抛物线上任意一点，过点M 作y 轴的平行线，交直线BC 于点N ，当MN =3时，求点M 的坐标．【答案】见解析.【解析】解：（1）∵抛物线的对称轴为x =3， ∴3232a -=，解得：a =14- 即抛物线的解析式为：y =213442x x -++， 令y =0，得：213442x x -++=0， 解得：x =－2或x =8，即A (－2,0)，B (8,0)；（2）如图，过P 作PD ⊥x 轴交直线BC 于点D ，由题意知，C (0,4),设直线BC 的解析式为：y =kx +b ，得：480b k b =⎧⎨+=⎩，解得：412b k =⎧⎪⎨=-⎪⎩， 即直线BC 的解析式为：y =12-x +4， S 四边形PBOC =S △BOC +S △PBC =1184822PD ⨯⨯+⨯⨯=4PD +16， 设P (m ，213442m m -++)，D (m ，12-m +4)，则PD =2124m m -+ ∴S 四边形PBOC =4PD +16=2816m m -++=()2432m --+∴当m =4时，四边形PBOC 的面积取最大值，为32，此时P 点坐标为（4,6）；（3）设M (x ，213442x x -++)，N (x ，12-x +4)，则MN =|2124x x -+|， ∵MN =3， ∴|2124x x -+|=3， 即2124x x -+=3（0<x <8）或2124x x -+=－3（x <0或x >8）， 解得：x 1=2，x 2=6，或x 3=4－，x 4，综上所述，当MN =3时，点M 的坐标为：(2,6)，（6,4），（4－－1），（－1）.2. （2019·四川自贡中考）如图，已知直线AB 与抛物线2:2C y ax x c =++相交于点A （－1,0）和点B （2,3）两点.（1）求抛物线C 函数表达式；（2）若点M 是位于直线AB 上方抛物线上的一动点，以MA 、MB 为相邻的两边作平行四边形MANB，当平行四边形MANB 的面积最大时，求此时平行四边形MANB 的面积S 及点M 的坐标；（3）在抛物线C 的对称轴上是否存在定点F ，使抛物线C 上任意一点P 到点F 的距离等于到直线417=y 的距离，若存在，求出定点F 的坐标；若不存在，请说明理由.【答案】见解析.【解析】解：（1）把A （－1,0），B （2,3）代入抛物线得：⎩⎨⎧=++=+-34402c a c a解得⎩⎨⎧=-=31c a∴抛物线的函数表达式为：y =－x 2+2x +3（2）∵A （－1,0），B （2,3），∴直线AB 的解析式为：y =x +1，如下图所示，过M 作MN ∥y 轴交AB 于N ，设M (m ,－m 2+2m +3)，N (m ,m +1)，（－1＜m ＜2）∴MN =－m 2+m +2，∴S △ABM =S △AMN +S △BMN =1()2B A x x MN -∴S △ABM =2213127(2)3()2228m m m -++⨯=--+， ∴当21=m 时，△ABM 的面积有最大值827，而S □MANB =2S △ABM =427，此时)27,21(M（3）存在，点)415,1(F 理由如下：抛物线顶点为D ，则D （1,4），则顶点D 到直线417=y 的距离为41， 设),1(n F 、)32,(2++-x x x P ，设P 到直线417=y 的距离为PG . 则PG =22175(23)244x x x x --++=-+， ∵P 为抛物线上任意一点都有PG =PF ，∴当P 与顶点D 重合时，也有PG =PF .此时PG =41，即顶点D 到直线417=y 的距离为14， ∴PF =DF =41， ∴)415,1(F ， ∵PG =PF ，∴PG 2=PF 2， ∵2222222153(1)(23)(1)(2)44PF x x x x x x =-++--=-+-+ 2225(2)4PG x x =-+ ∴222222153(1)(23)(1)(2)44x x x x x x -++--=-+-+225(2)4x x =-+ 整理化简可得0x =0， ∴当)415,1(F 时，无论x 取任何实数，均有PG =PF . 3. （2019·甘肃中考）如图，已知二次函数y ＝x 2+bx +c 的图象与x 轴交于点A （1，0）、B （3，0），与y 轴交于点C ．（1）求二次函数的解析式；（2）若点P 为抛物线上的一点，点F 为对称轴上的一点，且以点A 、B 、P 、F 为顶点的四边形为平行四边形，求点P 的坐标；（3）点E 是二次函数第四象限图象上一点，过点E 作x 轴的垂线，交直线BC 于点D ，求四边形AEBD 面积的最大值及此时点E 的坐标．【答案】见解析.【解析】解：（1）∵二次函数y＝x2+bx+c的图象与x轴交于点A（1，0）、B（3，0），∴10930b cb c++=⎧⎨++=⎩，解得：b=－4，c=3，∴二次函数表达式为：y＝x2﹣4x+3；（2）①当AB为平行四边形一条边时，如图1所示，则AB＝PE＝2，则点P坐标为（4，3），当点P在对称轴左侧时，即点C的位置，点A、B、P、F为顶点的四边形为平行四边形，即点P（4，3）或（0，3）；②当AB是四边形的对角线时，如图2所示，AB中点坐标为（2，0）设点P的横坐标为m，点F的横坐标为2，其中点坐标为：22m+，即：22m+＝2，解得：m＝2，即点P（2，﹣1）；综上所述，点P（4，3），（0，3），（2，﹣1）；（3）直线BC的表达式为：y＝﹣x+3，设点E坐标为（x，x2﹣4x+3），则点D（x，﹣x+3），S四边形AEBD＝12AB（y D﹣y E）＝﹣x+3﹣x2+4x﹣3＝﹣x2+3x=23924x⎛⎫--+⎪⎝⎭，∵﹣1＜0，所以四边形AEBD面积有最大值，当x＝32，其最大值为94，此时点E（32，﹣34）．4. （2019·山东枣庄中考）已知抛物线y＝ax2+32x+4的对称轴是直线x＝3，与x轴相交于A，B两点（点B在点A右侧），与y轴交于点C．（1）求抛物线的解析式和A，B两点的坐标；（2）如图1，若点P是抛物线上B、C两点之间的一个动点（不与B、C重合），是否存在点P，使四边形PBOC的面积最大？若存在，求点P的坐标及四边形PBOC面积的最大值；若不存在，请说明理由；（3）如图2，若点M是抛物线上任意一点，过点M作y轴的平行线，交直线BC于点N，当MN＝3时，求点M的坐标．【答案】见解析．【解析】解：（1）∵抛物线的对称轴是直线x ＝3， ∴322a -＝3，解得a ＝14-， ∴抛物线的解析式为：y ＝14-x 2+32x +4． 当y ＝0时，14-x 2+32x +4＝0，解得x 1＝﹣2，x 2＝8， ∴点A 的坐标为（﹣2，0），点B 的坐标为（8，0）．（2）当x ＝0时，y ＝4，∴点C 的坐标为（0，4），设直线BC 的解析式为y ＝kx +b （k ≠0），将B （8，0），C （0，4）代入得：804k b b +=⎧⎨=⎩，解得124k b ⎧=-⎪⎨⎪=⎩， ∴直线BC 的解析式为y ＝12-x +4， 过点P 作PD ∥y 轴，交直线BC 于点D ，如图所示，设点P 的坐标为（x ，14-x 2+32x +4），则点D 的坐标为（x ，12-x +4）， 则PD ＝14-x 2+32x +4﹣（12-x +4）＝14-x 2+2x ，（0＜x ＜8）， ∴S 四边形PBOC ＝S △BOC +S △PBC ＝12×8×4+12PD •OB ＝﹣（x ﹣4）2+32，∴当x ＝4时，四边形PBOC 的面积最大，最大值是32，即存在点P （4，6），使得四边形PBOC 的面积最大．（3）设点M的坐标为（m，14-m2+32m+4）则点N的坐标为（m，12-m+4），∴MN＝|14-m2+2m|，∵MN＝3，∴14-m2+2m=3或14-m2+2m=－3，解得：m1＝2，m2＝6，m3＝4﹣，m4＝，∴点M的坐标为（2，6）、（6，4）、（4﹣﹣1）或（﹣1）．题型二、三角形面积最值问题5. （2019·海南中考）如图，已知抛物线y=ax2+bx+5经过点A(－5,0)，B(－4，－3)两点，与x轴的另一个交点为C，顶点为D，连接CD.（1）求该抛物线的解析式；（2）点P是该抛物线上一动点（与B、C不重合），设点P的横坐标为t，①当点P在直线BC的下方运动时，求△PBC面积的最大值；②该抛物线上是否存在点P，使得∠PBC=∠BCD？若存在，求出所以点P的坐标，若不存在，请说明理由？【答案】见解析.【解析】解：（1）∵抛物线y=ax2+bx+5经过点A(－5,0)，B(－4，－3)两点，∴2555016453a b a b -+=⎧⎨-+=-⎩，解得：a =1，b =6， 即抛物线的解析式为：y =x 2+6x +5.（2）①在y =x 2+6x +5中，当y =0时，x =－1或x =－5，即C （－1,0），设直线BC 的解析式为：y =mx +n ， ∴043m n m n -+=⎧⎨-+=-⎩，解得：m =1，n =1， 即直线BC 的解析式为：y =x +1，过P 作PD ∥y 轴交BC 于点E ，∴S △PBC =()12C B PE x x ⨯⨯- =32PE 设P 点坐标为（t ，t 2+6t +5），则E 点坐标为（t ，t +1），∴PE =t +1－（t 2+6t +5）=－t 2－5t －4，∴S △PBC =32PE =()23542t t --- =23527228t ⎛⎫-++ ⎪⎝⎭ ∴当t =52-时，△PBC 面积有最大值，最大值为278； ②由y =x 2+6x +5=（x +3）2－4知，D 点坐标为（－3，－4），∴直线CD 的解析式为：y =2x +2，由B (－4，－3)，C （－1,0）得：BD 2=2，CD 2=20，BC 2=18,∴BD 2+ BC 2=CD 2，即△CBD 是直角三角形，∠DBC =90°，（i ）过B 作BE ∥CD ，则∠EBC =∠BCD ，即点P 在直线BE 上，设直线BE 的解析式为：y =2x +k ，将点B (－4，－3)代入，得：k =5，即直线BE 解析式为：y =2x +5，联立y =2x +5，y=x 2+6x +5，并解得： 0453x x y y ==-⎧⎧⎨⎨==-⎩⎩或（与B 点重合，舍）， ∴P 点坐标为（0,5）；（ii ）∵∠CBD =90°，取CD 中点F ，得F 点坐标为（12--，）连接BF ，则BF =FC ，∠FBC =∠BCD ，点P 在直线BF 上，由B (－4，－3)、F （－2，－2）可得直线BF 的解析式为： y =12x －1， 联立y =12x －1，y =x 2+6x +5，并解得：342734x x y y ⎧=-⎪=-⎧⎪⎨⎨=-⎩⎪=-⎪⎩或（与B 点重合，舍）， ∴P 点坐标为（32-,74-）； 综上所述，点P 的坐标为：（0,5），（32-,74-）. 6. （2019·甘肃兰州中考）二次函数y ＝ax 2+bx +2的图象交x 轴于点A （－1，0），点B （4，0）两点，交y 轴于点C .动点M 从点A 出发，以每秒2个单位长度的速度沿AB 方向运动，过点M 作MN ⊥x 轴交直线BC 于点N ，交抛物线于点D ，连接AC ，设运动的时间为t 秒.（1）求二次函数y ＝ax 2+bx +2的表达式；（2）连接BD ，当t ＝23时，求△DNB 的面积； （3）在直线MN 上存在一点P ，当△PBC 是以∠BPC 为直角的等腰直角三角形时，求此时点D 的坐标；（4）当t ＝45时，在直线MN 上存在一点Q ，使得∠AQC +∠QAC ＝900,求点Q 的坐标.【答案】见解析.【解析】解：（1）将点A （－1，0），点B （4，0）代入y ＝ax 2+bx +2中，得： 2016420a b a b -+=⎧⎨++=⎩，解得：1232a b ⎧=-⎪⎪⎨⎪=⎪⎩， 二次函数的表达式为：y ＝－21x 2+23x +2． （2）∵ t ＝23， ∴AM ＝3，∵OA ＝1,∴OM ＝2,设直线BC 的解析式为：y ＝kx +b (k ≠0),将点C （0,2）、B （4，0）代入，得：⎩⎨⎧=+=042b k b ，解得：⎪⎩⎪⎨⎧=-=221b k ， 即直线BC 的解析式为：y ＝－21x +2． 将x ＝2分别代入y ＝－21x 2+23x +2和y ＝－21x +2中，得：D （2，3）、N （2，1） ∴DN ＝2,∴ S △DNB ＝21×2×2＝2. (3)过点P 作x 轴的平行线，交y 轴于点E ，过点B 作y 轴的平行线，交EP 的延长线于点F ，设D （m ，－2m 2+2m +2）、E （0，n ）、P （m ,n ）、F （4，n ），由题意得： △PEC ≌△BFP ,∴PE ＝BF , CE ＝PF ,∴⎩⎨⎧=--=-mn n m 24∴⎩⎨⎧-==11n m点D 的坐标为：（1，3）.（4）当t ＝45时，AM ＝25,此时M 点在二次函数的对称轴上， 以M 点为圆心，AM 长为半径作圆，交MN 于Q 1、Q 2两点，∵C （0，2），M （23，0）,∴CM ＝25＝R , ∴C 点在该圆上,∴∠ACB ＝90°,∴∠CAB +∠CBA ＝90°,∵∠CQ 1A ＝∠CAB ,∴∠CQ 1A +∠CBA ＝90°,∠CQ 2A +∠CBA ＝90°,∴Q （23，25）或（23，－25）. 7. （2019·山东聊城中考）如图，在平面直角坐标系中，抛物线y ＝ax 2+bx +c 与x 轴交于点A （﹣2，0），点B （4，0），与y 轴交于点C （0，8），连接BC ，又已知位于y 轴右侧且垂直于x 轴的动直线l ，沿x 轴正方向从O 运动到B （不含O 点和B 点），且分别交抛物线、线段BC 以及x 轴于点P ，D ，E ．（1）求抛物线的表达式；（2）连接AC ，AP ，当直线l 运动时，求使得△PEA 和△AOC 相似的点P 的坐标；（3）作PF ⊥BC ，垂足为F ，当直线l 运动时，求Rt △PFD 面积的最大值．【答案】见解析．【解析】解：（1）将点A 、B 、C 的坐标代入二次函数表达式得：42016408a b c a b c c -+=⎧⎪++=⎨⎪=⎩，解得：128a b c =-⎧⎪=⎨⎪=⎩，故抛物线的表达式为：y ＝﹣x 2+2x +8；（2）∵点A （﹣2，0）、C （0，8），∴OA ＝2，OC ＝8，∵l ⊥x 轴，∴∠PEA ＝∠AOC ＝90°，∵∠PAE ≠∠CAO ，∴当∠PEA ＝∠AOC 时，PEA △∽AOC ， ∴AE PE OC OA=，即：82AE PE =， ∴AE ＝4PE ，设点P 的纵坐标为y ，则PE ＝y ，AE ＝4y ，∴OE ＝4y ﹣2，将点P 坐标（4y ﹣2，y ）代入二次函数表达式并解得：y ＝0（舍去）或2316， 即点P （154，2316）； （3）在Rt △PFD 中，∠PFD ＝∠COB ＝90°，∵l ∥y 轴，∴∠PDF ＝∠COB ，∴Rt △PFD ∽Rt △BOC ， ∴2PDF BOC S PD S BC ⎛⎫= ⎪⎝⎭V V ， ∴S △PDF ＝2BOC PD S BC ⎛⎫⨯ ⎪⎝⎭V=21482⨯⨯⨯ =215PD ⨯，设直线BC 的解析式为：y =kx +b ，将B 、C 坐标代入并解得， 直线BC 的表达式为：y ＝﹣2x +8，设点P （m ，﹣m 2+2m +8），则点D （m ，﹣2m +8），则PD ＝﹣m 2+2m +8+2m ﹣8＝﹣（m ﹣2）2+4，∴当m ＝2时，PD 的最大值为4，1 5PD＝165．∴当PD＝4时，△PDF的面积最大，最大值为：S△PDF＝2。

抛物线与直线型——由动点生成面积问题 知识点归纳面积是平面几何中一个重要的概念，关联这平面图形中的重要元素与角。

由动点而生成的面积问题，是抛物线与直线形结合的常见形式。

解这类问题常用到以下与面积相关的知识：（1）图形的割补；（2）等积变形；（3）等比变化。

经典例题【例1】 如图，在直角坐标系中，点A 的坐标为（-2，0），连接OA ，将线段OA 绕原点O 顺时针旋转120°，得到线段OB ．（1）求点B 的坐标；（2）求经过A 、O 、B 三点的抛物线的解析式；（3）在（2）中抛物线的对称轴上是否存在点C ，使△BOC 的周长最小？若存在，求出点C 的坐标；若不存在，请说明理由．（昆明市中考题）思路点拨 对于（3），抛物线的对称轴是直线1-=x ，当点C 位于的对称轴与线段AB 的交点时，BOC ∆的周长为最小，为此需求出直线AB 的解析式；对于（4）过点p 作y 轴的平行线交AB 解析式；对于（4），过点p 作y 轴的平行线交AB 于D ，则))((21A B P D PBD PAD PAB x x y y S S S --=+=∆∆∆，代入展开整理得关于x 的二次函数。

【例2】 如图①，在平面直角坐标系中，点A 的坐标为（1，2），点B 的坐标为（3，1），二次函数2x y =的图象记为抛物线1l ．（1）平移抛物线1l ，使平移后的抛物线过A ，B 两点，记为抛物线2l ，如图②，求抛物线2l 的函数表达式；（2）设抛物线2l 的顶点为C ，K 为y 轴上一点．若ABC ABK S S ∆∆=，求点k 的坐标；（威海市中考题）思路点拨 （1）设k 点坐标为),0(h ，通过图形的分割计算，建立h 的方程；（2）K 点必在平行于AB 的直线上，从等积变形入手。

【例3】 如图，已知点A （m,6)、B(m,1)为两动点，其中0＜m ＜3，连接OA 、OB ，OA ⊥OB 。

（1）求证：mn=－6；（2）当6-=∆AO B S 时，抛物线经过A ，B 两点且以y 轴为对称轴，求抛物线对应的二次函数的关系式；(3) 在（2）的条件下，设直线AB 交y 轴于点F ，过点F 作直线l 交抛物线于P ，Q 两点，问是否存在直线l ，使 ？若存在，求出直线l 对应的函数关系式；若不存在，请说明理由。