中等职业教育十四五教材数学基础模块

一个国家平均家庭生活质量的情况．恩格尔通过研究得出规律：一个家庭收入越少，恩格尔系数就越大，反之家庭收入越多，恩格尔系数就会越小．表3-1 中为近8 年来全国居民恩格尔系数情况，请问恩格尔系数r 与年份x 之间有什么关系呢？解决：由表3-1 可知，恩格尔系数r 是年份x 的函数，对于数集D ={2012, 2013, 2014, 2015, 2016, 2017, 2018, 2019}中的每一个年份x ，按照表3-1 所示，恩格尔系数r 都有唯一确定的值和它对应．例如，当x = 2017 时，有r = 29.3 和它对应，即2017 年我国恩格尔系数为29.3．情境与问题（3）下图为某地某天的气温变化图．请观察气温f与时间f之间有什么关系呢？解决：气温f是时间t 的函数．对于数集f＝{f|0 ≤f≤ 24}中的每一个时刻f，气温f都有唯一确定的值和它对应．例如，当f= 14时，有f = 32°C 和它对应，即14 时的气温为32°C．归纳：对于数集f中的每一个f，按照某个确定的对应法则f，都有唯一确定的值f和它对应．必须f— 3 ≤ 0，即f≤ 3．所以定义域为使学生掌[3, +∞)．求解握定义域例 2 判断下列函数是否为同一个函数，并说提问的基本求明理由．法、判断（1）f(f) = f+ 1与f(f) = f+ 1；（2）函数是否f(f) = f与f(f) = s2．为同一函s解（1）虽然函数f(f)=f+ 1与函数f(f)=f+强调观察数及求函1中表示自变量的字母不同，但它们的定义域同一数值的方和对应法则都是相同的，所以它们表示的是同函数思考法．一个函数；的要（2）因为函数f(f) = f的定义域为f，函求判断数f(f)=s 2的定义域为{x|x≠0}，它们的定义域s不同，因此它们表示的不是同一个函数．例 3 设函数f(f) = 2f2 — 5，求提问观察f(0), f(f), f(—f)．解将数f(f) = 2f2 — 5中的数f分别用0，思考a，−f代入，得分析f(0) = 2 × 02 — 5 = —5；理解f(f) = 2 × f2 — 5 = 2f2 —5；f(−f)=2(−f)2−5=2f2−5．练习 3.11．求下列函数的定义域：（1）f(f) = f2 — 2f— 1；（2）f(f) = 1；s2–4（3）f(f) = √1 —f；（4）f=ƒ|f| — 3．2．圆的面积f与直径f之间的关系是f=提问思考通过练习及时掌握学生的知巩固识掌握情练习巡视况，查漏补缺动手求解nd 2．试求函数f 的定义域；当直径f = 2√54时，求圆的面积S (f = 3.14)． 3．判断下列各组函数是否为同一个函数，并说明理由．（1）y f = f x 2+ 5f 与f = f (f + 5)； （2）f (f ) = f— 1与f (f ) = s(s –1) ； s（3）f (f ) = s2–4与f (f ) = f — 2．s+24．设函数f (f ) = f 2 + 2f ，x ∈R ． 求f (2)，f (—2)，f (f )，f (—f )． 5．设函数f (f ) = 1–s ，求f (— 1).1+s3指导交流培养学生引导 反思 总结学习归纳 总结总结 交流 爱过程能力1.书面作业：完成课后习题和学习与训练；巩 固 提布置 2.查漏补缺：根据个人情况对课堂学习复习回高，查漏 作业 顾； 说明 记录 补缺3.拓展作业：阅读教材扩展延伸内容．。

十四五中等职业学校教材数学学习指导与练习基础
模块2下册
本教材根据职业教育的特点，把知识传授与能力培养相结合，在尊重学生的基础上，遵循学生的认知规律，面向大多数学生精选最基本、应用最广泛的内容搭建数学知识平台。

课程内容的设置注意了多样性和选择性，确保“人人都能学习数学”，让数学基础不同的学生都能获得不同的提高。

教材注意从学生熟悉、感兴趣的事物或可能产生的疑问出发，提出问题。

解决问题，引入知识，以利学生理解，提高学习的积极性和兴趣。

教材编写中，注意与初中阶段学习的衔接；注重结论，淡化过程，减少证明，简化计算；注意数形结合，增强直观；引导学生边学边做，在问题解决中学习知识；不过分追求系统性、完整性和严密性，对传统的体系作了部分调整。

对于提前出现的概念，可作为问题留待后续学习中解决。

叙述尽可能简洁通俗，深入浅出，体现亲切。

插入彩图，增强趣味性，激发学生的求知欲。

由图可知：时间从4ℎ到14ℎ曲线呈上升趋势，说明气温随时间的增加而逐渐升高，也就是说当y∈ [4，14] 时，函数y = y(y)的值随自变量x 的增大而增大．时间从14ℎ到24ℎ曲线呈下降趋势，说明气温随时间的增加而逐渐降低，也就是说当y∈ [14，24] 时，函数y = y(y)的值随自变量x 的增大而减小．由图可知：在给定区间[4，14]上，对于图像上的任意两点y1(y1, y1)，y2(y2, y2)，当y1€ y2时，都有y1€ y2，即，f(x1)＜f(x2)．在给定区间[14，24]上，对于图像上的任意两点y3(y3, y3)，y4(y4, y4)，当y3€ y4时，都有y3Σ y4，即f(x3)＞f(x4)．（2）如果对于区间y上的任意两点y1，y2，当y1€ y2时，都有y(y1) Σ y(y2)，那么称函数y = y(y)在区间y上是减函数，区间y称为函数y = y(y)的减区间．如图（2）所示．如果函数y= y(y)在区间y上是增函数或减函数，那么称函数y = y(y)在区间y上具有单调性，区间y称为单调区间．增区间也称为单调增区间，减区间也称为单调减区间．讲解和定量关键刻画函词语数的单调性，培引导养学生学生数学抽观察象等核图像记忆心素养领会说明观察例1 根据函数在R 上的图像，如图所示，写出其单调区间：解（1）由图（1）所示函数图像可知，函数y = y(y)的定义域为R，增区间为(—∞，0]，减区间为[0，+ ∞)．（2）由函数图像（2）可知，函数y = y(y)的定义域为(—∞，0) ∪ （0, +∞) ，增区间为(—∞，0)和（0, +∞)．提问观察通过例题帮助学生理解函数思考的单调强调性，并学会利用例题辨析分析求解图像法和定义法判断函数的单调性，在解决问题时强调学练习 3.3.1提问 思考 通过练1．填空题（填“增”或“减”）：习及时 （1）函数y = y + 1在（－∞，+∞）上是 掌握学函数；生的知 （2）函数y = －2y 在（－∞，+∞）上是 识掌握函数；情况，查 （3）函数y = 2在（－∞，0）上是s巡视 动手 求解漏补缺函数；（4）函数y = — 5在（0，+∞）上是s函数；2．已知函数y = y (y )，y ∈ [—2,4]，如图所巩固示，试写出函数的单调区间，并说明在每一单调练习 区间上函数的单调性．指导 交流3． 若函数 y (y ) = yy + 2y — 5在 R 上是 减函数，求y 的取值范围．4．证明：（1）函数y (y ) = —y — 2在(—∞, +∞)上是 减函数．（2）函数y (y ) = 2y 2 + 1在(—∞, 0)上是减函数．情境导入3.3.2 函数的奇偶性 大千世界，美无处不在．下图展示了生活中的对称之美．说明 观察 通过实例让学 生观察其实，我们的数学中也存在着对称美，函数图像的对称就是其中一种．义务教育阶段，我们已经知道函数y(y) = y2 的图像和y(y) = 1的图s像：函数y(y) = y2 的图像是关于y轴对称的轴对称图形，函数y(y) = 1的图像是关于原点对称s的中心对称图形．观察这两种对称的函数图像，自变量互为相反数时，它们对应的函数值有什么关系？关于函数y(y) = y2的图像分析：从函数值的角度看，对于函数y(y) = y2，有：y(—1) = 1 = y(1)，y(—2) = 4 = y(2)，y(—3) = 9 = y(3)，……对于函数y(y) = y2，自变量互为相反数时，对应的函数值相等．即对于定义域R 上的任意一个y，都有y(—y) = y2 = y(y)．关于函数y(y) = 1的图像分析：s函数图引导思考像的对学生称情况，观察归纳在教师分析总结的引导下学会用数学语言描思考述函数归纳值的特总结征规律，分析引出奇偶性么，从具培养学体的生逻辑函数推理和启发体会数学抽学生象等核观察领悟心素养函数值的特点思考引导从具分析体的函数对于函数y(y) = 1有：启发sy(—1) = —1 = —y(1)，学生y(—2) = —1 = —y(2)，观察体会2函数y(—3) = —1 = —y(3)，3值的领悟……特点事实上，对于函数y(y) = 1，自变量互为相s反数时，对应的函数值也互为相反数．即对于定引导义域(—∞, 0) ∪ (0, +∞)上的任意一个y，都有y(—y) = —1 = —y(y)．s关于函数y(y) = y2的图像分析引出设函数y= y(y)的定义域为数集y，若对于任意的y∈ y，都有—y∈ y，且y(—y) = y(y)，则称y= y(y)是偶函数．偶函数的图像关于y 轴对称．关于函数y(y) = 1的图像分析引出s设函数y= y(y)的定义域为数集y，若对于任意的y∈ y，都有—y∈ y，且y(—y) = —y(y)，则称y= y(y)是奇函数．奇函数的图像关于原点中心对称．如果一个函数是奇函数或偶函数，就说这个函数具有奇偶性，其定义域一定关于原点中心对称．探究与发现有没有某个函数，它既是奇函数又是偶函数？如果有，请举例说明．师生共归纳理解同归纳总结函数的记忆奇偶性的定义，归纳理解学会定总结性描述和定量记忆刻画函探索新知数的奇说明偶性，培养学生数学抽引导象和逻学生辑推理思考等核心素养思考讨论例 4 讨论下列函数的奇偶性：提问观察通过例（1）y(y) = y3；（2）y(y) = y2 + y4；题帮助（3）y(y) = y+ 1；（4）y(y) = √y．学生理解（1）y(y) = y3的定义域为R，对于任意的y∈解函数y，都有—y∈ y，且思考的奇偶y(—y) = (—y)3 = —y3 = —y(y)，强调性，并学所以y(y) = y3是奇函数．会利用（2）y(y) = y2 + y4的定义域为R，对于任定义法意的y∈ y，都有—y∈ y，且求解判断函y(—y) = (—y)2 + (—y)4 = y2 + y4 =y(y)，数的奇所以y(y) = y2 + y4是偶函数．分析偶性，以（3）y(y) = y+ 1的定义域为R，对于任意及利用的y∈ y，，都有—y∈ y，且图像的例题辨析y(—y) = —y + 1 G —y(y)，y(—y) = —y + 1 G y(y)，讲解对称性完成整所以y(y) = y+ 1既不是奇函数也不是偶函个函数数．的描画，（4）y(y)=√y的定义域为[0，+∞)，对于培养学生直观1 ∈ [0，+∞)，而— 1∉[0，+∞)，所以函数y(y)=形象、逻√y既不是奇函数也不是偶函数．辑推理例5（1）图（1）给出了偶函数y=y(y)在[0, +∞)等核心上的函数图像，试将y = y(y)的图像补充完整，提问观察素养并指出函数的单调区间．（2）图（2）给出了奇函数y=y(y)在0, +∞)上的函数图像，试将y = y(y)的图像补充完整，并指出函数的单调区间．解（1）由于函数y = y(y)是偶函数，所以它的图像关于y轴对称，因此它的图像如图所示．函数y = y(y)的减区间为(—∞, 0]，增区间为[0, +∞)．（2）由于函数y = y(y)是奇函数，所以它的图像关于原点中心对称，因此它的图像如图所示．函数y = y(y)的增区间为(—∞, +∞)．温馨提示利用函数图像可以判断函数的奇偶性，根据函数的奇偶性也可以研究函数图像．如在研究函数时，如果我们知道它是奇函数或偶函数，就可以先研究它在非负区间上的性质，然后利用对称性便可得到它在非正区间上的性质，从而减少工作量．引导分析思考讲解求解理解领悟说明练习 3.3.21．填空题：（1）点y(2,3)关于y轴对称的点为，关于y轴对称的点为，关于坐标原点对称的点为；提问思考通过练习及时巩固练习掌握学生的知识掌握（ 2 ） 点 y (y , y ) 关 于 y 轴 对 称 的 点情况，查 为，关于y 轴对称的点为，动手 漏补缺关于坐标原点对称的点为．巡视 求解2．讨论下列函数的奇偶性： （1）y (y ) = y + 1；（2）y (y ) = |y |；s（3）y (y ) = 1 — 2y ； （4）y (y ) = y 2 + 1．3．已知偶函数y = y (y )和奇函数y = y (y ) 的定义域均为[－4，4]，下图为它们在[0，4]上 的图像．（1）求y (—2)与y (—2)；指导 交流（2）将函数y = y (y )和y = y (y )在定义域内的图像补充完整．3.3.3 几种常见的函数 回顾义务教育阶段学过的一次函数、反比例函数与二次函数，它们的定义域、值域、单调性、奇偶性等各是怎样的呢？如何用数学的语言表达？ 引导 思考 利用新回顾授知识 情境导入 分析 来再次认识已 学函数 1．一次函数y = yy + y (y G 0)是一次函数，其图像为直线，如图所示． 由一次函数y = yy + y (y G 0)的解析式和图像不难发现，其定义域和值域均为 R ，并有如下性质：（1）当y Σ 0时，在 R 上是增函数，如图（1）师生共同归纳启发 一次函 探索 新知学生数的性 质，对函 数性质进行再所示；当y € 0时，在 R 上是减函数，如图（2） 所示．（2）当y = 0时，如图（3）（4）所示.一次函数 y = yy (y G 0)是奇函数，其图像关于原点中心对称．归纳总结分析 认识、再提高，培养学生直观形 象、逻辑记忆 推理等核心素养例 6 设函数y = (3y + 4)y + y 在 R 上是减函 提问 观察 通过例数，求y 的取值范围．题帮助例题 解 由函数y = (3y + 4)y + y 在 R 上是减函数，强调 思考 学生理 辨析 可得3y + 4y € 0，即y € — 4，所以y 的取值范 3解一次围(— 4 , +∞)3分析求解 函数的 性质2．反比例函数y = k (y G 0)是反比例函数，其图像如图所 s示．由反比例函数y = k (y G 0)的解析式和图 s像可知：其定义域和值域均为（ — ∞，0） ∪（0， + ∞），并有如下性质：（1）当y Σ 0时，函数图像在第一、三象限，在(—∞，0)和(0， + ∞)上都是减函数；当y € 0时，函数图像在第二、四象限，在师生共同归纳 启发 反比例 学生函数的 性质，对 函数性质进行 探索再认识、新知分析 再提高，培养学 归纳 生直观 总结形象、逻 记忆 辑推理等核心素养(—∞，0)和(0，+ ∞)上都是增函数．（2）函数是奇函数，图像关于原点中心对称．例题辨析例7 设反比例函数y= k(y G 0)的图像经过s点(—3, —2)，问函数图像是否一定经过点(3,2)?解因为反比例函数y= k(y G 0)是奇函数，它s的图像关于原点y对称．而点(—3, —2)关于原点y对称的点是(3,2)，所以函数图像一定经过点(3,2)．例8 一次函数y = (2y + 1)y + y在R 上是增函数，其图像与反比例函数y=N2的图像交于s点（1，4），求这个一次函数与反比例函数．解由一次函数y = (2y + 1)y + y在R上是增函数，可得2y+ 1 Σ 0，所以yΣ —1；2因为两个函数的图像交于点（1，4），将该点坐标代入反比例函数，得4=N2，1所以，m=±2．由于yΣ —1，所以y= —2不合2题意，舍去，故y= 2．一次函数为y = 5y + y，将点（1，4）代入得， 4 = 5 × 1 + y，即y = —1．所以这个一次函数为y= 5y— 1，反比例函数为y= 4．s提问强调分析提问强调分析讲解观察思考求解观察思考求解通过例题帮助学生理解正比例函数的性质探索新知3．二次函数y= yy2 + yy+ y(y G 0)是二次函数，其图像是抛物线，顶点坐标为(—b , 4ac–b2)，对称轴2a 4a方程为y= —b．2a一般地，当yΣ 0时，二次函数y= yy2+启发学生师生共同归纳二次函数的性质，对函数性质yy + y 的图像是一条开口向上的抛物线，定义域 为 R ，值域为[4ac –b 2, +∞)．并有如下性质：4a（ 1 ）在 (—∞, — b ] 上是减函数，在2a[— b , +∞) 是增函数；2a（2）当y = 0时为偶函数．当y € 0时，二次函数y = yy 2 + yy + y 的图像是一条开口向下的抛物线，定义域为 R ，值域为(—∞, 4ac –b2]．并有如下性质：4a（ 1 ）在 (—∞, — b ] 上是增函数，在2a[— b , +∞)是减函数；2a（2）当y = 0时为偶函数．温馨提示对二次函数进行总结，见表：进行再认识、再 分析 提高，培养学生 归纳 直观形 总结象、逻辑记忆 推理等核心素养说明总结思考归纳记忆 总结领悟例 9 作出二次函数y = y 2 — 2y — 3的图像，并 提问 观察 通过例讨论其单调性．题帮助 例题 解 由y = y 2 — 2y — 3知：a ＝1，b ＝－2，c ＝－学生理 辨析3，所以解二次 − b ＝− −2 ＝1，思考 函数的2a 2×1性质，并4ac －b2 4×1×(－3)－(－2)24a ＝4×1 ＝－4，从而顶点坐标为（1，－4），对称轴方程为x＝1．（1）列表（2）描点连线图像过点（−1，0），（0，−3），（1，−4），（2，−3），（3，0），光滑曲线依次连接以上各点，画出函数y= y2 —2y—3的图像，如图所示．由图知，二次函数y= y2 — 2y— 3的图像是开口向上的抛物线，定义域为R，值域为[−4，＋∞）．函数在（−∞，1]上是减函数，函数在[1，＋∞）上是增函数．探究与发现已知函数f (x)=x2 +ax +1在(-∞, 2]上是减函数，在[2，+∞)上是增函数，请求出a的值．复习描求解点法作图，利用图像总结函数性质强调分析利用引导描点学生发作数形图结合提问观察强调思考分析求解巩固练习练习 3.3.31．填空题：（1）一次函数y = —3y + 5的定义域是练习及时掌握学生的，值域是，是函数(减或增)，它的图像与坐标轴的交点坐标为．（2）当时，一次函数y(y) =yy+ y是奇函数．（3）若反比例函数y = k在（－ ，0）上s是增函数，则y的取值范围为．（4）二次函数y(y) = 2y2 — 5的定义域为，值域为；在上是增函数，在上是减函数；为函数（奇偶性）；它的图像与x 轴的交点为，与y 轴的交点为．（5）二次函数y(y) = —y2 —y+ 2的定义域为，值域为；在上是增函数，在上是减函数；是函数（奇偶性）；它的图像与x 轴的交点为，与y 轴的交点为．2．设反比例函数y(y) = k(y G 0)，y(y)s是定义域在R 上的偶函数，且y(2) = y(2) = 2．比较y(—2)与y(—2)的大小．3．设点y(1, y)在函数y = 2y的图像上，求点y关于y轴对称点的坐标．4．设函数y(y) = y2 + yy—2是R 上的偶函数，求实数y．5．设函数y(y) = —y+ y— 2是R 上的奇函数，求实数y.知识掌握情况，查漏补动手缺巡视求解指导交流引导反思生总结归纳总结交流学习过总结程能力1.书面作业：完成课后习题和学习与训练；巩固提布置2.查漏补缺：根据个人情况对课堂学习复习回高，查漏作业顾；说明记录补缺3.拓展作业：阅读教材扩展延伸内容．。

中等职业学校公共基础课程教材数学基础模块上册答案（十四五）应用题：1. 某超市打折促销，酸奶原价2元一杯，现在减价1折，求现在的价格是多少元一杯？答案：0.2元/杯2. 一根长15cm的铁丝剪成若干段后可以组成一些平行四边形，其中最大的平行四边形的面积是6平方厘米，求剪成的铁丝段的最短长度是多少厘米？答案：20cm3. 假设一张A4纸的长为29.7cm，宽为21cm，用这张纸最多可以制作多少个面积为100平方厘米的正方形？答案：29个4. Tom在网上购买了一台价值550元的电动剃须刀，店家为其提供了分3期付款的服务，需要在第1期支付总价值的30%，第2期支付20%，最终一期支付剩余的钱，问Tom每个月需要支付多少钱？答案：第1期支付165元，第2期支付110元，最终一期支付275元5. 有一只鱼缸，其长、宽、高分别为40cm、30cm、20cm，现在该鱼缸里面有水深10cm，如果将水全部倒出，求倒出水的体积是多少立方厘米？答案：24000立方厘米填空题：6. (-3 + 4) × 5 = ( )答案：57. 20 ÷ (-2) × 5 = ( )答案：-508. 1024 ÷ 16 ÷ 8 = 8 ÷ ( )答案：29. 7的2次方÷ 7的1次方 = ( )答案：710. 2的3次方÷ 2的(-3)次方 = ( )答案：8选择题：11. 下列哪个数是3的倍数？A. 32B. 123C. 48D. 210答案：C12. 下列哪个数是偶数？A. 57B. 82C. 91D. 33答案：B13. 下列哪个数是整数？A. 3.5B. -4C. 1/2D. 0.7答案：B14. 下列哪个数是负数？A. 23B. 0C. -10D. 4答案：C15. 下列哪个数是正数？A. -7B. 5C. 0D. -2答案：B证明题：16. 证明二次方程 3x² + 4x + 1 = 0 的两个根为 -1和-1/3。

同学们，与相等关系相比，不等关系在现实世界中更为普遍．我们知道，不等式就是描述不等关系的一种重要的数学表示形式，我们将通过实数大小的比较，来研究不等式的基本性质．2.1.1 实数的大小你知道吗？两个周长相等的矩形，如图所示，它们的面积哪个更大呢？图2-1 （1 ）所示为正方形，面积为3c m×3c m=9c m2；图2-1（2）所示为长方形，面积为4cm×2cm=8cm2．由于9−8=1＞0，所以一般地，对于任意实数a，b，如果a -b > 0, 那么称a 大于b（或b 小于a）．因为实数与数轴上的点是一一对应的，对于任意实数a，a都可以在数轴上找到对应的点a和a，如图所示．从图中，我们容易观察到，当点a在点a的右边时，aΣ a；当点a在点a的左边时，a€ a；当点a与点a重合时，a= a．因此，关于实数a，a的大小关系，我们可以通过以下运算来表示：a >b ⇔a -b > 0a <b ⇔a -b < 0a =b ⇔a -b = 0由此可知，要比较两个实数（或代数式）的大小，可以转化为比较它们的差与0 的大小．这种比较大小的方法称为作差比较法．5 2性质 1 的证明由a＞b 知，a–b＞0，于是(a＋c)–(b＋c)=a＋c–b–c=a–b＞0，所以a＋c＞b＋c．当然，我们也可以借助数轴来看性质1，如图所示，实数a、b 和在数轴上分别对应点a 和a，a+c 和b+c 在数轴上分别对应点a′和点a′．当a>0 时，点a和点a同时向右平移a个单位，即可到达点a′和点a′的位置；当a<0 时，点a和点a同时向左平移|a|个单位，即可到达点a′和点a′的位置．显然，两种情况中，点a′点a′的左右位置与点a和点a的情况相同．性质 3 如果a >b ， b >c ，那么a >c ．点a，即aΣ aΣ a．于3，求x 的取值范围．。

党的十八大以来，我国实施精准扶贫、精准脱贫方略，脱贫攻坚取得了的成就，为全面建成小康社会打下了坚实基础．我国成为世界上减贫人口最多的国家，也是世界上率先完成联合国千年发展目标的国家．2015-2019 年，全国农村贫困人口数见表这个表格建立了全国农村贫困人口数与年份之间的对应关系．在义务教育阶段，我们已经学习了利用数学表达式来表示函数，那么是否也可以用这个表格来表示函数？探究与发现：回顾学过的知识，除了表达式、列表，我们1．解析法3.1“情境与问题（1）”中，我们用数学表达式y = 30y表示销售额y与销售量y之间的对应关系，这个数学表达式称为函数解析式，简称解析式．像这样利用解析式表示函数的方法称为解析法．如义务教育阶段学习的一次函数、一元二次函数、反比例函数等都是用解析法表示的．2.列表法我们用表格表示全国农村贫困人口数与年份之间的对应关系．像这样通过列出自变量的值与对应函数值的相应表格来表示函数的方法称为列表法．3.1“情境与问题（2）”中的恩格尔系数y随着时间y的对应关系也是用列表法表示的．3.图像法在汽车的研发过程中，需要对汽车进行一系列的性能测试，图3－2 是一种新型家用小汽车在高速公路上行驶时，油箱剩余油量y(y) 随时间y(h)变化的图像．像这样利用图像表示函数的方法称为图像法．例1 文具店内出售某种签字笔，每支售价6.5元，分别用列表法和解析法表示购买4支以内的签字笔时，应付款与签字笔支数之间的函数．解设y表示购买签字笔的支数，y表示应付款数（元），则y∈ {1,2,3,4}．（1）列表法表示见表（2）解析法表示为：y= 6.5y，y∈ {1,2,3,4}．例2 现阶段,我国很多城市普遍采用“阶梯水价” 的办法计量水费，发挥市场价格作用，增强了企业和居民的节水意识，避免水资源的浪费．如某市居民用水“阶梯水价”的收费标准如下：每户每年用水不超过180m³时，水价为5 元/ m³；超过180m³不超过260m³时，超过的部分按7 元/m³收费；超过260m³时，超过的部分按9 元/m³收费．结合给出的数据（不考虑其他影响因素）（1） 求出每户每年应缴水费y （元）与用水量y （y 3）之间的函数解析式，并画出函数的图像；（2） 若某用户某年用水 200m³，试求该用 户这一年应缴水费多少元？解 （1）依题意，得到应缴水费与用水量之间的关系，见表由表得到函数的解析式：⎧ 5x ,0 x 180, y = ⎪ x - 360, 180 < x 260,⎨7 ⎪⎩ 9x - 880,x > 260. 根据这个解析式，可以画出函数的图像．（2）因为该用户用水为 200m³，即 x =200， 处于收费标准的第二阶梯水价，所以y ＝7×200－360＝1040即该用户这一年度应缴水费为 1040 元．在现实生活中，有很多函数是分段描述的．如，阶梯电费、出租车费、个人所得税等．这类函数的特点是：当自变量在不同范围内取值时，需要用不同的解析式来表示，我们称这样的函数为分段函数．练习 3.21.已知圆的半径为y，试分别写出圆的周长y和圆的面积y关于半径y的解析式．2.已知定义在R 上的一次函数y=ax+b 可以用下表表示，写出它的解析式．3.已知函数y = y(y)的图像，如下图，则（1）函数y=y(y)的定义域为；（2）y(1.6) = ；（3）函数y=y(y)的值域为．2，— 1 ≤ y≤ 0，4．已知函数y(y) = {y + 2，0 € y€ 2，4，y≤2.则（1）函数的定义域为，（2）y(1.5) = ；。

授课题目4.1 角的概念的推广选用教材高等教育出版社《数学》（基础模块上册）授课时长2 课时授课类型新授课教学提示本课通过熟悉的情境，感知推广角的必要性，从运动的角度定义角，并引进正角、负角和零角，从而将角的概念推广到任意角，进而学习终边相同的角、象限角以及界限角等；在学习推广角的意义和任意角所在的象限的基础上进而识别终边相同的角，学习用集合语言表示终边相同的角．教学目标会结合熟悉的实例描述角的相关概念，能举例说明正角、负角、零角、象限角、终边相同的角等，能根据图像判断角是正角、负角还是零角，并能根据给出的角的度数和角的始边确定角的终边的位置，并判断角是第几象限的角，逐步提升数学抽象和直观想象等核心素养；知道象限角的概念，并能用集合语言表示出来，逐步提升数学抽象等核心素养；能写出与角α终边相同角的集合，并能找出给定范围内与已知角终边相同的角，提升直观想象和数学运算等核心素养．教学重点角的概念推广的必要性；终边相同的角组成的集合；角所在象限的判断．教学难点终边相同的角的理解和表示；角所在象限的判断；各象限的角的表示．教学环节教学内容教师活动学生活动设计意图引入在义务教育阶段我们学习过，角是有公共端点的两条射线构成的图形.角是平面内由一条射线绕着端点从一个位置旋转到另一个位置所形成的图形.讲解介绍提问回忆思考作答借助原有知识为新知学习做好铺垫已经学习过的角包括锐角、直角、钝角、平角、周角等，它们都在0°~ 360°范围内.情境导入4.1.1任意角(1)公园里的摩天轮，选定一个机械臂的起始位置作为始边，如果机械臂从这个起始位置旋转一周，就说它转过了360°，那么当它转过一周半或者转过两周时，它转过了多少度呢？摩天轮的机械臂从起始位置,旋转了一周，则说它转过了360°，旋转一周半,则说它转过了540°，旋转了两周，则说它转过了720°.(2)如果时钟快2h，应该如何校准？校准过程中分针相对起始位置转过了多少度？如果时钟慢了2h 呢？如果时钟快了2h，则需要将分针相对于起始位置逆时针旋转720°，如果时钟慢了2h，则需要将分针相对于起始位置顺时针旋转720°.提问启发引导思考作答交流用学生熟悉的情境引发学生思考激发求知欲调动积极性探索新知规定：一条射线绕其端点按逆时针方向旋转形成的角称为正角，如下图(1)所示；按顺时针方向旋转形成的角称为负角，如图(2)所示．如果一条射线没有做任何旋转,也认为形成讲解作图说明理解观察思考数形结合说明问题帮助学生理解动态定义角的方角. 将角的顶点与原点重合,角的始边与x 轴的非负半轴重合,此时角的终边在第几象限,就称这个角为第几象限角．如图，α=420°，所以角α 是第一象限角，β=−135°，所以角β 是第三象限角．如果角的终边在坐标轴上, 就认为这个角不属于任何一个象限，称为界限角．如，0°，90°，180°，360°，−90°角都是界限角．是130°角．温馨提示因为−950°与130°终边相同，集合S={β|β＝−950°+k⋅360°，k∈Z}也可写成S={β|β＝130°+k⋅360°，k∈Z}．例4 写出终边在射线y=x(x≥0)上的角组成的集合.解在0°~360°范围, 终边在射线y=x(x≥0)上的角为45°角, 因此终边在射线y=x(x≥0)上的角组成的集合为S={β|β=450°+kꞏ360°, k∈Z}.例 5 写出终边在y 轴上的角组成的集合.解在0°~360°范围, 终边在y 轴上的角有90°角和270°角.所有与90°角和270°角终边相同的角组成的集合分别为S1={β|β=90°+ kꞏ360°, k∈Z} 和S2={β|β=270°+ kꞏ360°, k∈Z}.所以, S=S1∪S2={β|β=90°+ kꞏ360°, k∈Z}∪{β|β=270° + kꞏ360°, k∈Z}={β|β= 90°+ 2kꞏ180°,k ∈Z} ∪{β|β=90°+(2k+1) ꞏ180°, k∈Z}= {β|β=90°+nꞏ180°, n∈Z}．探究与发现若角α 是第一象限角，试写出角α 的集合.4.写出终边在x 轴上的角组成的集合.。

授课题目2.2 区间选用教材高等教育出版社《数学》（基础模块上册）授课时长1 课时授课类型新授课教学提示本课由实际问题入手，引出数集的其他表示方式——区间，通过数形结合的学习过程，让学生理解区间的概念，并能在数轴上表示区间，直观认识数轴上实数绝对值的几何意义．能结合实例体会用区间表示数集的简洁性，会用不等式、数轴、区间表教学示数集，逐步提高观想象和数学抽象等核心素养；能结合数轴分析区间目标之间的包含关系，能对用区间表示的数集进行交、并、补运算，逐步提高直观想象和了逻辑推理等核心素养．教学重点用不等式、数轴、区间表示数集教学难点区间的表示，区间端点的处理教学环节教学内容教师活动学生活动设计意图如图所示是高速公路上的限速标志，它表示机动车在该车道上的行驶速度x(km/h)不能低于100 km/h，且不能高于120 km/h．在数学上，我们可以用集合{x|100 ≤ x≤ 120}表示，也可以在数轴上表示，如图所示．因此，不等式3x— 2 Σ 1的解集可以表示为集合{x|3x—2 Σ 1}，化简得集合{x|xΣ 1}，在数轴上表示出来，如图所示．体会从具体的问题引导学生发现说明观察并理解情境区间与思考集合、数情境导入引导问题轴之间学生的关系，观察培养学分析数形生直观结合想象、数讲解学抽象的核心提问分析素养．一般地，由数轴上两点间的所有实数所组成的集合称为区间，这两个点称为区间端点.设a ， b ∈R ，且a <b ，那么：（1）满足不等式a ≤x ≤b 的实数x的集合表示为[a,b]，称为闭区间；（2）满足不等式a <x <b 的实数x的集合表示为(a,b) ，称为开区间；（3）满足不等式a ≤x <b 的实数x的集合表示为[a,b) ，称为左闭右开区间；（4）满足不等式a <x ≤b 的实数x的集合表示为(a,b] ，称为左开右闭区间．其中（3）（4）两类区间统称为半开半闭区间．实数a 与b称为相应区间的端点．这些区间表示的集合及其数轴表示归纳如表所示．按照区间的概念，图中所示限速标志所要求的车速范围可用区间表示为[100，120]．特别的是，实数集R 可以用区间表示为(—∞, +∞)．其中符号“∞”读作“无穷大”，“+∞”读作“正无穷大”，“—∞”读作“负无穷大”.由此，集合{x | x ≥a} 和{x | x ≤b} ，以及{x | x >a} 和{x | x <b} 就可以用区间表示为[a, +∞) 、(-∞, b] 、(a, +∞) 和(-∞, b) .(-∞, +∞) ，[a, +∞) ，(a, +∞) ，(-∞, b] ，(-∞, b) 都称为无穷区间．我们把这些内容归纳整理下：例 1 已知集合 A = (-4, 2) ，集合 B = (-1, 3] ，求A B ，A B ．解集合A 与集合B 的数轴表示如图（1）所示：由图（2）（3），得A B = (-1，2) ，A B = (-4, 3] ．例 2 设全集为R ，已知集合 A = [-2, +∞) ，B = (-∞, 3) ，求 A B ， B ， A B .解集合 A 、 B 的数轴表示如图所示，因此A B = R ； B = [3, +∞) ；A B = [3, +∞) ．练习 2.21．完成下表．2 ．设集合A = (-2, 3] ，集合 B = (0, 4] ，求A B ，A B ．3．设集合A = (-2, +∞），集合B = (-∞, 4] ，求A B ，A B ．4．设全集为R，已知集合A=（-∞,-1)，集合B = (0, 5) ，求 A 、 B 、B A ．。