华师大版正比例、反比例、一次函数、二次函数知识点总结

正比例函数、反比例函数、一次函数、二次函数【教学目标】1．通过具体实例，了解简单的分段函数，并能简单应用；2．整理初中已学过的函数正比例函数、反比例函数、一次函数、二次函数，特别是二次函数；3．学会运用函数图象理解和研究函数的性质。

【教学重点】基础知识整理【教学难点】题型分类解析【教学方法】引导学生自主学习法教学过程：【知识回顾】1．正比例函数的定义是：；图象是：2．反比例函数的定义是：；图象是：3．一次函数的定义: ；图象是：4．二次函数解析式的三种形式：①一般式、②两根式、③顶点式5．二次函数的图象和性质，通常抓住以下三方面：①对称轴②单调性、③最值 .【基础练习】1．函数y=x2+bx+c(x≥0)是单调函数的充要条件是f x=x2+bx+c对任意实数t都有f(2+t)=f(2-t ),则f(1)、f(2)、2．若函数()f(4)的大小关系是：3．关于x的不等式－mx2－8mx－21>0的解为：－7<x<－1则m的值为f x的顶点为(4,0)，且过点(0,2)，则4．二次函数()f(x)= ．5．两个不同函数()f x =x 2+ax+1和g(x)=x 2+x+a (a 为常数)定义域都为R ，若()f x 与g(x)的值域相同，则a= . 6．函数()f x =2x 2－mx+3当x∈(－∞,－1)时是减函数，当x∈(－1,＋∞)时是增函数，则f(2)= . 7．实系数方程20(0)ax bx c a ++=≠两实根异号的充要条件是 ，有两正根的充要条件是 ；有两负根的充要条件是 .8．已知二次函数21(0)y ax bx c a =++≠与一次函数2(0)y kx m k =+≠的图象相交于点(2,4),A B -（如图），则能使12y y >成立的x 的取值范围是_______．参考答案： 1． b≥ 02． f(2)<f(1)<f(4) 3． 34． 2)4(81-x5． 5-或16． 197． ;000;02121⎪⎩⎪⎨⎧>>+≥∆<x x x x ac ;0002121⎪⎩⎪⎨⎧><+≥∆x x x x(A （第8题）8． x<-2 ,x>8【典型例题】1．正比例函数、反比例函数、一次函数的图象、性质、应用 例1．已知正比例函数(21)y m x =-的图象上两点11(,)A x y 、22(,)B x y ，当12x x <时，有12y y >，那么m 的取值范围是_______． 答案：12m <例2．（1）已知函数)0()(<+=a xax x f ,请写出它的单调区间，你能画出它的简图吗？（2）请画出函数)0()(>+=a xax x f 的图象,并写出它的单调区间. 答案：（1）在)0,(-∞、),0(+∞上为增函数（2）),[],,(+∞--∞a a 增函数；],0(),0,[a a -减函数2．求二次函数的解析式例1．分别求满足下列条件的二次函数的解析式：①过点（0，2），（1，-1），（-2，20） ②过点（-1，0），（-4，0），（2，-36）③图象的顶点是(1,2)-，且经过原点答案：①2522+-=x x y ；②81022---=x x y ；③x x y 422--=例2．已知二次函数f(x)满足f(2)= -1，f(-1)= -1且f(x)的最大值是8，试确定此二次函数．思维分析：恰当选择二次函数的解析式法一：利用一般式设f(x)=ax 2+bx+c(a ≠0)，由题意得：⎪⎪⎩⎪⎪⎨⎧=--=+--=++84411242a bac c b a c b a 解得：⎪⎩⎪⎨⎧==-=744c b a ∴f(x)= - 4x 2+4x+7法二：利用顶点式∵f(2)= f(-1) ∴对称轴212)1(2=-+=x 又最大值是8 ∴可设)0(8)21()(2<+-=a x a x f ，由f(2)= -1可得a= - 47448)21(4)(22++-=+--=∴x x x x f法三：由已知f(x)+1=0的两根为x 1=2,x 2=-1，故可设f(x)+1=a(x-2)(x+1)即f(x)=ax 2-ax-2a-1,又84)12(482max=---=aa a a y 即得a= - 4或a=0(舍)∴f(x)= - 4x 2+4x+7例3．已知二次函数f(x)=ax 2+bx+c 满足下列条件：(1)图象过原点，(2)f(－x+2002)=f(x －2000)，(3)方程f(x)=x 有重根； 试确定此二次函数． 解：由(1)得：c=0,由(2)对称轴1220002002=-++-=x x x 可确定12=-ab， 由(3) f(x)=x 即ax 2+（b-1）x+c=0有重根 .2110)1(:))1(0(02-==∴=-==∆a b b c 从而得由x x x f +-=∴221)(3．二次函数在给定区间上的最值问题 例1．（1）已知f(x)=－x 2+2x+6, x∈［2,3］,求f(x)的最大（小）值；（2）已知f(x)=－x 2+5x+6, x∈［2,3］,求f(x)的最大（小）值． 答案：（1）大6，小3；（2）大449，小12；例2．已知f(x)=－x 2+ax+6, x∈［2,3］,求f(x)的最大值答案：⎪⎪⎩⎪⎪⎨⎧>-≤≤+<+=).6(,33);64(,424);4(,22)(2maxa a a a a a x f例3．已知y=f(x)=x 2－2x+3,当x ∈[t,t+1]时，求函数的最大值和最小值． 答案：32,2,12min 2max +-=+=>t t y t y t 时2,2,121min 2max =+=≤<y t y t 时 2,32,210min 2max =+-=≤<y t t y t 时2,32,02min 2max +=+-=≤t y t t y t 时例4．已知函数f(x)= －x 2+2ax+1－a 在0≤x ≤1时有最大值2，求a 的值． 思维分析：一般配方后结合二次函数图象对字母参数分类讨论 解：f(x)= -(x-a)2+a 2-a+1(0≤x ≤1),对称轴x=a 10 a<0时，121)0()(max -=∴=-==a a f x f20 0≤a≤1时)(25121)()(2max舍得±==+-==aaaafxf30 a>1时，22)1()(max=∴===aafxf综上所述：a= - 1或a=24．一元二次方程根的分布的讨论例1．已知关于x的二次方程x2+2mx+2m+1=0(1)若方程有两根，一根在区间（-1，0）内，另一根在区间（1，2）内，求m 的取值范围．(2)若方程两根在区间（0，1）内，求m的范围．思维分析：一般需从三个方面考虑①判别式Δ②区间端点函数值的正负③对称轴abx2-=与区间相对位置．解：设f(x)=x2+2mx+2m+1(1)由题意画出示意图216556)1(2)1(12)0(-<<-⇒⎪⎩⎪⎨⎧>+>=-<+=⇔mmffmf（2）2121100)1(0)0(0-≤<-⇒⎪⎪⎩⎪⎪⎨⎧<-<>>≥∆⇔m m f f例2．方程k x x =-232在（－1，1）上有实根，求k 的取值范围． 分析：宜采用函数思想，求)11(23)(2<<--=x x x x f 的值域．答案：)25,169[-∈k5．函数应用题：例．某租赁公司拥有汽车100辆，当每辆车的月租金为3000元时，可全部租出，当每辆车的月租金每增加50元时，未租的车将会增加一辆，租出的车每辆需要维护费150元，未租的车每辆每月需要维护费50元， （1）当每辆车的月租金定为3600元时，能租出多少辆车？（2）当每辆车的月租金定为多少时，租赁公司的月收益最大？最大月收益是多少？思维分析：应用问题的数学建模，识模—建模—解模—验模 解：（1）当每辆车的月租金定为3600元时，未租出的车辆数为125030003600=-∴租出100-12=88辆。

中考数学一次函数、反比率函数、二次函数知识点20 年中考真题考点知识点记忆口诀认真领会下每一知识点与考点之真切企图理解记忆，记忆中理解1. 定义：一般地，假如y ax2bx c(a, b, c 是常数， a 0) ，那么y叫做 x 的二次函数.2.二次函数 y ax 2的性质〔 1〕抛物线y ax2的极点是坐标原点，对称轴是y 轴.〔 2〕函数y ax 2的图像与a的符号关系.①当②当a0 时抛物线张口向上极点为其最低点；a0 时抛物线张口向下极点为其最高点 .〔 3〕极点是坐标原点，对称轴是y轴的抛物线的分析式形式为2〕.y ax 〔a 03. 二次函数y ax 2bx c 的图像是对称轴平行于〔包含重合〕y轴的抛物线.4.二次函数 y ax 2bx c 用配方法可化成： y a x h 2k 的形式，其中h b， k4ac b 2. 2a4a5.二次函数由特别到一般，可分为以下几种形式：①y ax 2；② y ax 2k ；③ y a x h 2；④y a x h 2k ；⑤ y ax 2bx c .6.抛物线的三因素：张口方向、对称轴、极点.① a 的符号决定抛物线的张口方向：当a 0时，张口向上；当 a0时，张口向下；a 相等，抛物线的张口大小、形状同样.②平行于 y 轴〔或重合〕的直线记作x h .特别地， y 轴记作直线 x 0.7. 极点决定抛物线的地点. 几个不一样的二次函数，假如二次项系数 a 同样，那么抛物线的张口方向、张口大小完整同样，不过极点的地点不一样.b228. 求抛物线的极点、对称轴的方法〔1〕公式法：y ax2bx c a x4ac b2a4a，∴极点是〔b4ac b2b ，〕. 2a4a，对称轴是直线 x2a〔 2〕配方法：运用配方的方法，将抛物线的分析式化为y a x h 2k 的形式，获得极点为( h , k ) ，对称轴是直线x h .〔 3〕运用抛物线的对称性：因为抛物线是以对称轴为轴的轴对称图形，所以对称轴的连线的垂直均分线是抛物线的对称轴，对称轴与抛物线的交点是极点.用配方法求得的极点，再用公式法或对称性进行考证，才能做到十拿九稳.9. 抛物线y ax 2bx c 中， a,b, c 的作用〔 1〕a决定张口方向及张口大小，这与y ax 2中的a完整同样.〔 2〕b和a共同决定抛物线对称轴的地点. 因为抛物线y ax 2bx c 的对称轴是直线xb b0 〔即a、 b 同号〕时，对称轴在y 轴左边；，故：① b 0 时，对称轴为y 轴；②2a a③ b0 〔即a、 b 异号〕时，对称轴在y 轴右边. a〔 3〕c的大小决定抛物线y ax2bx c 与y轴交点的地点.当 x0 时， y c ，∴抛物线y ax 2bx c 与y轴有且只有一个交点〔0，c〕：① c0 ，抛物线经过原点;② c0 ,与 y 轴交于正半轴；③c0, 与y轴交于负半轴 .以上三点中，当结论和条件交换时，仍成立. 如抛物线的对称轴在y轴右边，那么b0. a10.几种特别的二次函数的图像特色以下：函数分析式张口方向对称轴极点坐标y ax 2x0 〔 y 轴〕〔0,0 〕y ax 2k x0 〔 y 轴〕(0, k )y a x h 2x h( h ,0)当 a 0时y a x h 2k张口向上x h( h , k )y ax2bx c当 a 0 时xbb 4ac b2张口向下 2a(，)2a 4a11. 用待定系数法求二次函数的分析式〔 1 〕一般式： y ax 2 bx c . 图像上三点或三对 x 、 y 的值，往常选择一般式 .〔 2 〕极点式： ya xh 2k . 图像的极点或对称轴，往常选择极点式.〔 3 〕交点式：图像与x 轴的交点坐标 x 1 、 x 2 ，往常采用交点式： y a x x 1 x x 2 .12. 直线与抛物线的交点〔 1 〕 y 轴与抛物线 yax 2 bx c 得交点为 (0,c ).〔 2 〕与 y 轴平行的直线 x h 与抛物线 yax 2 bx c 有且只有一个交点 ( h , ah 2bh c ).〔 3〕抛物线与 x 轴的交点二次函数 y ax 2 bx c 的图像与 x 轴的两个交点的横坐标 x 1 、 x 2 ，是对应一元二次方程ax 2 bx c0 的两个实数根 . 抛物线与 x 轴的交点状况能够由对应的一元二次方程的根的鉴识式判断：①有两个交点0 抛物线与 x 轴订交；②有一个交点〔极点在 x 轴上〕 0 抛物线与 x 轴相切；③没有交点0 抛物线与 x 轴相离 .〔 4〕平行于 x 轴的直线与抛物线的交点同〔 3〕同样可能有 0 个交点、 1 个交点、 2 个交点 . 当有 2 个交点时，两交点的纵坐标相等，设纵坐标为 k ，那么横坐标是 ax2bx c k 的两个实数根 .〔 5〕一次函数y kx n k 0 的图像 l 与二次函数 yax 2 bxc a0 的图像 G 的交点，由方ykx nl 与 G 有两个交点 ; ②程组bx c的解的数量来确立： ①方程组有两组不一样的解时y ax 2方程组只有一组解时l 与 G 只有一个交点；③方程组无解时l 与 G 没有交点 .6x 轴两交点之间的距离：假定抛物线y ax2bx c与 x 轴两交点为 A x 1，0 ， B x 2，0，〔 〕抛物线与因为 x 1 、 x 2 是方程 ax 2bx c 0 的两个根，故x1 x2b, x1 x2ca ab2b24acAB x1x2x1224cx2x1 x24x1x2a a aa一次函数与反比率函数考点一、平面直角坐标系〔3 分〕1、平面直角坐标系在平面内画两条相互垂直且有公共原点的数轴，就构成了平面直角坐标系。

正比例函数知识点总结正比例函数是数学中一种重要的函数形式，也是高中数学中常见的函数类型之一。

它是指两个变量之间的关系是成正比的，即当一个变量增大（或减小）时，另一个变量也相应地增大（或减小）。

下面将从定义、性质、图像、应用等方面对正比例函数进行总结。

一、定义正比例函数又称为一次函数，它的数学定义为：如果两个变量x和y之间的比值恒定，即y与x的比值为常数k，则称y是x的正比例函数，记作y=kx。

其中k为比例系数，表示y与x之间的关系。

正比例函数可以看作是一条直线，其斜率为k，过原点(0,0)。

二、性质1. 常数k为正比例函数的比例系数，它决定了函数图像的斜率。

当k>0时，函数图像向上倾斜；当k<0时，函数图像向下倾斜。

2. 正比例函数的定义域为全体实数，值域为全体实数。

因为无论x 取任何实数，对应的y都可以通过比例系数k计算得出。

3. 正比例函数的图像经过原点(0,0)，这是因为当x=0时，根据函数定义，y=k*0=0。

4. 当x>0时，y也大于0；当x<0时，y也小于0。

这是因为正比例函数的比例系数k为正，所以x的增大必然导致y的增大，x的减小必然导致y的减小。

三、图像正比例函数的图像为一条直线，过原点(0,0)，斜率为k。

当k>0时，图像向上倾斜；当k<0时，图像向下倾斜。

当k=0时，函数图像为一条水平直线，即y=0。

四、应用正比例函数在实际生活中有许多应用，例如：1. 速度与时间的关系：当物体的速度恒定时，速度与时间成正比。

速度为正比例函数，时间为自变量，速度为因变量。

2. 成本与产量的关系：在某些生产过程中，成本与产量呈正比例关系。

成本为正比例函数，产量为自变量，成本为因变量。

3. 周长与半径的关系：在一个圆形中，周长与半径成正比。

周长为正比例函数，半径为自变量，周长为因变量。

4. 温度与气压的关系：在恒定的体积下，温度与气压成正比。

温度为正比例函数，气压为自变量，温度为因变量。

中考数学一次函数、反比率函数、二次函数知识点20年中考真题考点知识点记忆口诀认真领会下每一知识点与考点之真切企图理解记忆，记忆中理解1.定义：一般地，假如y ax2bx c(a,b,c是常数，a 0)，那么y叫做x的二次函数. 二次函数yax2的性质（1）抛物线yax2的极点是坐标原点，对称轴是y轴.（2）函数y ax2的图像与a的符号关系.①当②当a时抛物线张口向上极点为其最低点；a0时抛物线张口向下极点为其最高点.（3）极点是坐标原点，对称轴是y轴的抛物线的分析式形式为2）.y ax（a03.二次函数yax2bxc的图像是对称轴平行于（包含重合）y轴的抛物线.4.二次函数yax2bxc用配方法可化成：y axh2k的形式，此中h b，k4acb2. 2a4a5.二次函数由特别到一般，可分为以下几种形式：①yax2；②y ax2k；③yaxh2；④yaxh2k；⑤yax2bxc.6.抛物线的三因素：张口方向、对称轴、极点.①a的符号决定抛物线的张口方向：当a0时，张口向上；当a0时，张口向下；a相等，抛物线的张口大小、形状同样.②平行于y轴（或重合）的直线记作x h.特别地，y轴记作直线x0.7.极点决定抛物线的地点.几个不一样的二次函数，假如二次项系数a同样，那么抛物线的张口方向、张口大小完整同样，不过极点的地点不一样.b228.求抛物线的极点、对称轴的方法（1）公式法：yax2bxc ax4acb2a4a，∴极点是（b4ac b2b ，）. 2a4a，对称轴是直线x2a（2）配方法：运用配方的方法，将抛物线的分析式化为yax h2k的形式，获得极点为(h,k)，对称轴是直线x h.3）运用抛物线的对称性：因为抛物线是以对称轴为轴的轴对称图形，所以对称轴的连线的垂直均分线是抛物线的对称轴，对称轴与抛物线的交点是极点.用配方法求得的极点，再用公式法或对称性进行考证，才能做到十拿九稳.9.抛物线y ax2bxc中，a,b,c的作用（1）a决定张口方向及张口大小，这与yax2中的a完整同样.（2）b和a共同决定抛物线对称轴的地点.因为抛物线y ax2bx c的对称轴是直线x b b0（即a、b同号）时，对称轴在y轴左边；，故：①b0时，对称轴为y轴；②③b2a a 0（即a、b异号）时，对称轴在y轴右边. a（3）c的大小决定抛物线yax2bx c与y轴交点的地点.当x0时，yc，∴抛物线y ax2bxc与y轴有且只有一个交点（0，c）：①c0，抛物线经过原点;②c0,与y轴交于正半轴；③c0,与y轴交于负半轴.以上三点中，当结论和条件交换时，仍成立.如抛物线的对称轴在y轴右边，则b0.a几种特别的二次函数的图像特色以下：函数分析式张口方向对称轴极点坐标y ax2x0（y轴）（0,0）y ax2k x0（y轴）(0,k)y zaa axhyax h2xh (h ,0)当a0时h(h ,k )2kx张口向上yax2bxc当a0时xbb4acb 22a (，)张口向下2a4a用待定系数法求二次函数的分析式（1 ）一般式：y ax 2 bx c .已知图像上三点或三对 x 、y 的值，往常选择一般式.（2 ）极点式：yaxh 2k .已知图像的极点或对称轴，往常选择极点式.（3 ）交点式：已知图像与x 轴的交点坐标x 1、x 2，往常采用交点式：yax 12.xx x直线与抛物线的交点（1 ）y 轴与抛物线y ax 2bxc 得交点为(0, c ).（2 ）与y 轴平行的直线x h 与抛物线yax 2bxc 有且只有一个交点(h ,ah 2bhc ).（3）抛物线与 x 轴的交点二次函数 yax 2bx c 的图像与 x 轴的两个交点的横坐标 x 1、x 2，是对应一元二次方程ax 2bx c0的两个实数根.抛物线与x 轴的交点状况能够由对应的一元二次方程的根的鉴识式判断：①有两个交点0 抛物线与x 轴订交；②有一个交点（极点在 x 轴上） 0抛物线与x 轴相切；③没有交点0 抛物线与x 轴相离.（4）平行于x 轴的直线与抛物线的交点同（3）同样可能有 0个交点、1个交点、2个交点.当有2个交点时，两交点的纵坐标相等，设纵坐标为k ，则横坐标是ax 2bxck 的两个实数根.（5）一次函数y kxnk 0的图像l 与二次函数yax 2bxca的图像G 的交点，由方y kx nl 与G 有两个交点;②程组bxc的解的数量来确立：①方程组有两组不一样的解时yax 2方程组只有一组解时l 与G 只有一个交点；③方程组无解时l 与G 没有交点.（6）抛物线与x 轴两交点之间的距离：若抛物线yax 2bxc 与x 轴两交点为Ax ，0，Bx ，0 ，12因为x1、x2是方程ax2bx c0的两个根，故x1x2b,x1x2ca ab2b24acABx1x2x1224x1x24cx2x1x2a a a a一次函数与反比率函数考点一、平面直角坐标系（3分）、平面直角坐标系在平面内画两条相互垂直且有公共原点的数轴，就构成了平面直角坐标系。

一次函数、二次函数、反比例函数性质总结1.一次函数一次函数)0(≠+=k b kx y ,当0=x 时,得到的y 的值也即b 叫做图象与坐标轴的纵截距,当0=y 时,得到的x 的值,叫做图象与坐标轴的横截距。

(1)当0=b 时,一次函数的解析式变为)0(≠=k kx y ,也称为正比例函数,此函数图象恒过原点)0,0(O ,且横,纵截距都为0。

且0>k 时,函数图象过一、三象限,0>k 时,图象过二、四象限。

② k (≠a )+∞（1）当0,0==c b 时,函数的解析式变为)0(2≠=a ax y ,则 ①0>a 时 ②0<a 时（2）b a ,决定二次函数的对称轴与开口方向②0,0,0=<>c b a 时③ 0,0,0=><c b a 时 ④ 0,0,0=<<c b a 时（3）c a ,决定开口方向与与y 轴的截距①0,0,0=>>b c a 时 ②a③0,0,0=>b c a 时 ④0,0,0=<<b c a 时y yOxx yOOyyOxxxxy y OOx xOOy（3）对于一般的二次函数,c b a ,,共同来决定其函数图像与性质,故通常采用配方的方法 )0(2≠++=a c bx ax y c aba b x a b x a c x a b x a +-++=++=))2()2(()(2222 c a b a b x a +-+=]4)2[(222=c a b a b x a +-+4)2(22 =ab ac a b x a 44)2(22-++ 我们称abx 2-=为二次函数的对称轴,坐标)44,2(2a b ac a b --为二次函数的顶点坐标,此时我们也称其解析式为二次函数的顶点式,并可设其解析式为)0()(2≠+-=a k h x a y 。

若知道二次函数与x 轴的两个交点坐标,可设其解析式为)0)()((21≠--=a x x x x a y 。

正反比例知识点正反比例是数学中常见的概念，用来描述两个变量之间的关系。

在正反比例中，当一个变量的值增加时，另一个变量的值相应地减少；反之亦然。

下面是关于正反比例的相关知识点：1. 正比例：正比例是指两个变量之间的关系是一种直线关系，当一个变量的值增加时，另一个变量的值也相应增加；当一个变量的值减少时，另一个变量的值也相应减少。

2. 反比例：反比例是指两个变量之间的关系是一种反比关系，当一个变量的值增加时，另一个变量的值相应减少；当一个变量的值减少时，另一个变量的值相应增加。

3. 正比例常数：在正比例中，两个变量之间的关系可以用一个常数来表示。

这个常数被称为正比例常数，通常用字母k表示。

正比例常数表示了两个变量之间的增长或减少的比例关系。

4. 反比例常数：在反比例中，两个变量之间的关系可以用一个常数来表示。

这个常数被称为反比例常数，通常用字母k表示。

反比例常数表示了两个变量之间的变化趋势。

5. 正比例图表：正比例关系可以通过绘制图表来表示。

图表中的数据点呈一条直线，斜率代表了正比例常数的值。

通常我们可以通过计算两个变量的比值来确定斜率。

6. 反比例图表：反比例关系也可以通过绘制图表来表示。

图表中的数据点呈一条曲线，而且曲线与x轴和y轴都不会相交。

通常我们可以通过计算两个变量的积来确定反比例关系。

7. 正反比例的应用：正反比例关系在日常生活中有着广泛的应用。

例如，速度和时间之间的关系可以用正比例来描述；面积和边长之间的关系可以用反比例来描述。

了解正反比例的概念可以帮助我们解决实际问题。

总结：正反比例是数学中的重要概念，用来描述两个变量之间的关系。

正比例关系是一种直线关系，而反比例关系是一种反比关系。

通过了解正反比例的知识点，我们可以更好地理解和应用数学。

正比例函数、一次函数、反比例函数的性质及图象一、正比例函数性质和图象：概念：一般地，形如(k是常数，且k≠0 )的函数，叫做正比例函数。

当k＞0时，图象过象限； y随x的增大而。

当k＜0时,图象过象限； y随x的增大而。

：概念：一般地，形如y=kx+b(k，b是常数，且k≠0 )的函数，叫做一次函数。

图像和性质：①k>0,b>O,则图象过象限②k>0,b<0,则图象过象限当k＞0时， y随x的增大而。

③k<0,b>0,则图象过象限④k<0,b<0,则图象过象限当k＜0时, y随x的增大而。

三、反比例函数性质和图象：1.定义：形如（k为常数，k≠0）的函数称为反比例函数。

其他形式2.图像：反比例函数的图像是双曲线。

反比例函数的图象既是轴对称图形又是中心对称图形。

3.性质:当k＞0时双曲线的两支分别位于，在每个象限内y值随x值的增大而减小。

当k＜0时双曲线的两支分别位于，在每个象限内y 值随x值的增大而增大。

4.|k|的几何意义：表示反比例函数图像上的点向两坐标轴所作的垂线段与两坐标轴围成的矩形的面积。

练习题 1、若y =(m －1)x22m -是正比例函数，则m 的值为（ ） A 、1 B 、－1 C 、1或－1 D 、2或－2 2、下列函数中，一次函数为（ ）A 、25y x = B ．25y x =－1 C ．245y x = D ．25y x=-3、下列函数中，反比例函数是（ ）A 、y=x+1B 、y=C 、=1D 、3xy=24、正比例函数y=kx （k ≠0）函数值y 随x 的增大而增大，则y=kx+k 的图象大致是（ ）5、直线443--=x y 与两坐标轴围成的三角形面积是（ ） A 3 B 4 C 12 D 66、函数y 1=kx 和y 2=的图象如图，自变量x 的取值范围相同的是（ ）7、若点A(x 1,1)、B(x 2,2)、C(x 3,－3)在双曲线上，（ ）A 、x 1>x 2>x 3B 、x 1>x 3>x 2C 、x 3>x 2>x 1D 、x 3>x 1>x 28、已知一次函数y=ax+b 图象在一、二、三象限，则反比例函数y=的函数值随x 的增大而__________。

《一次函数知识点总结》一、引言在数学的广阔天地中，一次函数犹如一座坚实的桥梁，连接着代数与几何的世界。

它不仅在数学学习中占据着重要的地位，而且在实际生活中也有着广泛的应用。

从简单的直线运动到复杂的经济模型，一次函数都发挥着不可或缺的作用。

那么，究竟什么是一次函数？它有哪些特点和性质呢？让我们一起深入探索一次函数的奥秘。

二、一次函数的定义一般地，形如 y = kx + b（k、b 是常数，k≠0）的函数，叫做一次函数。

当 b = 0 时，y = kx（k 为常数，k≠0），这时的一次函数叫做正比例函数。

其中，k 叫做斜率，表示函数图像的倾斜程度；b 叫做截距，表示当 x = 0 时，y 的值。

三、一次函数的图像1. 一次函数 y = kx + b 的图像是一条直线。

- 当 k > 0 时，直线从左到右上升，y 随 x 的增大而增大；- 当 k < 0 时，直线从左到右下降，y 随 x 的增大而减小。

2. 正比例函数 y = kx 的图像是经过原点（0,0）的一条直线。

四、一次函数的性质1. 增减性- 当 k > 0 时，函数为增函数；- 当 k < 0 时，函数为减函数。

2. 图像与坐标轴的交点- 与 y 轴的交点为（0,b）；- 令 y = 0，可求得与 x 轴的交点为（-b/k,0）。

3. 平行与垂直- 若两个一次函数的斜率相等，则它们的图像平行；- 若两个一次函数的斜率之积为 -1，则它们的图像垂直。

五、一次函数的应用1. 实际问题中的应用- 例如行程问题中，速度一定时，路程与时间的关系可以用一次函数表示；- 销售问题中，售价与销售量的关系也可能是一次函数。

2. 几何问题中的应用- 利用一次函数的图像可以求解直线与坐标轴围成的三角形的面积等问题。

六、求一次函数解析式的方法1. 待定系数法- 设一次函数的解析式为 y = kx + b；- 将已知的两个点的坐标代入解析式，得到关于 k 和 b 的方程组；- 解方程组，求出 k 和 b 的值，即可得到一次函数的解析式。

正反比例的知识点整理正反比例是数学中的一个重要概念，广泛应用于各个领域。

本文将对正反比例的相关知识点进行整理，以帮助读者更好地理解和应用这一概念。

1. 正比例和反比例的定义正比例和反比例是指两个变量之间的关系。

当两个变量的值成正比例关系时，一个变量的增加或减少会导致另一个变量的相应增加或减少。

反之，当两个变量的值成反比例关系时，一个变量的增加会导致另一个变量的相应减少，反之亦然。

2. 正比例的特征和表达方式正比例的特征是一方的增加导致另一方的增加，或者一方的减少导致另一方的减少。

正比例可以用等式 y = kx 表达，其中 y 和 x 分别表示两个变量的值，k 表示比例常数。

3. 反比例的特征和表达方式反比例的特征是一方的增加导致另一方的相应减少，或者一方的减少导致另一方的相应增加。

反比例可以用等式 y = k/x 表达，其中 y 和x 分别表示两个变量的值，k 表示比例常数。

4. 正反比例图像和趋势在正比例中，如果我们将 x-y 坐标系上的点连接起来，得到的图像是一条通过原点的直线。

直线的斜率表示正比例的比例关系，斜率越大，表示两个变量的变化关系越明显。

在反比例中，同样连接点得到的图像是一个弧线，呈现出曲线向 x 和 y 轴逼近的趋势。

5. 应用举例：速度和时间的关系正反比例的应用广泛，其中一个常见的例子是速度和时间的关系。

根据定义，当速度为恒定值时，速度与时间的乘积等于距离。

因此，速度与时间呈正比例关系。

而当速度不变时，时间与距离之比也保持不变，因此时间和距离呈反比例关系。

6. 正反比例的应用领域正反比例的概念在现实世界中有许多应用。

例如，经济学中的供求关系，物理学中的功率和电流关系，以及工程学中的时间和成本关系等，都涉及到正反比例的概念。

7. 正反比例的计算和解题方法在解决正反比例问题时，可以通过列举数对或者利用比例关系式来计算未知数的值。

对于复杂的问题，可以应用代数方法或者图像分析方法来求解。

正比例函数、一次函数、反比例函数的性质及图象一、正比例函数性质和图象：概念：一般地，形如(k是常数，且k≠0 )的函数，叫做正比例函数。

当k＞0时，图象过象限； y随x的增大而。

当k＜0时,图象过象限； y随x的增大而。

：概念：一般地，形如y=kx+b(k，b是常数，且k≠0 )的函数，叫做一次函数。

图像和性质：①k>0,b>O,则图象过象限②k>0,b<0,则图象过象限当k＞0时， y随x的增大而。

③k<0,b>0,则图象过象限④k<0,b<0,则图象过象限当k＜0时, y随x的增大而。

三、反比例函数性质和图象：1.定义：形如（k为常数，k≠0）的函数称为反比例函数。

其他形式2.图像：反比例函数的图像是双曲线。

反比例函数的图象既是轴对称图形又是中心对称图形。

3.性质:当k＞0时双曲线的两支分别位于，在每个象限内y值随x值的增大而减小。

当k＜0时双曲线的两支分别位于，在每个象限内y 值随x值的增大而增大。

4.|k|的几何意义：表示反比例函数图像上的点向两坐标轴所作的垂线段与两坐标轴围成的矩形的面积。

练习题 1、若y =(m －1)x22m -是正比例函数，则m 的值为（ ） A 、1 B 、－1 C 、1或－1 D 、2或－2 2、下列函数中，一次函数为（ ）A 、25y x = B ．25y x =－1 C ．245y x = D ．25y x=-3、下列函数中，反比例函数是（ ）A 、y=x+1B 、y=C 、=1D 、3xy=24、正比例函数y=kx （k ≠0）函数值y 随x 的增大而增大，则y=kx+k 的图象大致是（ ）5、直线443--=x y 与两坐标轴围成的三角形面积是（ ） A 3 B 4 C 12 D 66、函数y 1=kx 和y 2=的图象如图，自变量x 的取值范围相同的是（ ）7、若点A(x 1,1)、B(x 2,2)、C(x 3,－3)在双曲线上，（ ）A 、x 1>x 2>x 3B 、x 1>x 3>x 2C 、x 3>x 2>x 1D 、x 3>x 1>x 28、已知一次函数y=ax+b 图象在一、二、三象限，则反比例函数y=的函数值随x 的增大而__________。