【名师一号】2014-2015学年人教A版高中数学必修3双基限时练14]

"【名师一号】2014-2015学年高中数学第二章统计双基限时练10（含解析）新人教A版必修3 "1．对于简单随机抽样，个体被抽到的机会( )A．相等B．不相等C．不确定D．与抽取的次数有关解析简单随机抽样的公平性在于每个个体被抽到的机会相等．答案 A2．抽签法中确保样本代表性的关键是( )A．制签B．搅拌均匀C．逐一抽取D．抽取不放回解析抽签法每抽取一次之前，把签都要搅拌均匀．答案 B3．为了了解全校240名高一学生的身高情况，从中抽取40名学生进行测量．下列说法正确的是( )A．总体是240名B．个体是每一个学生C．样本是40名学生D．样本容量是40解析在这个问题中，总体是240名学生的身高，个体是每个学生的身高，样本是40名学生的身高，样本容量是40.因此选D.答案 D4．为了了解所加工的一批零件的长度，抽测了其中200个零件的长度．在这个问题中，200个零件的长度是( )A．总体B．个体C．总体的一个样本D．样本容量解析由题意知，这200个零件的长度应为一个样本．答案 C5．从10个篮球中任取一个，检验其质量，则抽样为( )A．简单随机抽样B．不放回或放回抽样C．随机数表法D．有放回抽样答案 A6．从某批零件中抽取50个，然后再从50个中抽出40个进行合格检查，发现合格品有36个，则这批产品的合格率为( )A ．36%B ．72%C ．90%D ．25%解析 合格率为3640＝0.9＝90%. 答案 C7．从总体为N 的一批零件中抽取一个容量为30的样本，若每个零件被抽取的可能性为25%，则N ＝________.解析 依题意得30N ＝25100，∴N ＝120. 答案 1208．某中学为了了解高一学生的年龄情况，从所有的1200名高一学生中抽出100名调查，则样本是________．答案 这100名学生的年龄9．为了考察一段时间内某路口的车流量，测得每小时的平均车流量是576辆，所测时间内的总车流量是11520辆，那么，这个问题中，样本的容量是________．解析 样本容量应为这段时间内的总车流量．答案 1152010．使用随机数表法对100件产品进行编号时，有如下几种编号方法：①1,2,3，…，99,100；②01,02,03，…，99,100；③00,01,02，…，98,99；④001,002,003，…，099,100.其中编号方法正确的是________(只填顺序号)．答案 ③④11．某合资企业有150名职工，要从中随机地抽出20人去参观学习．请用抽签法和随机数表法进行抽取，并写出过程．解 (抽签法)先把150名职工编号：1,2,3，…，150，把编号写在小纸片上，揉成小球，放入一个不透明的袋子中，充分搅拌均匀后，从中逐个不放回地抽取20个小球，这样就抽出了去参观学习的20名职工．(随机数表法)第一步，先把150名职工编号：001,002,003， (150)第二步，从随机数表中任选一个数，如第10行第4列数0.第三步，从数字0开始向右连续读数，每3个数字为一组，在读取的过程中，把大于150的数和与前面重复的数去掉，这样就得到20个号码如下：086,027,079,050,074,146,148,093,077,119,022,025,042,045,128,121,038,130,125 ,033.12．有同学认为随机数表只有一张，并且读数时，只能按照从左向右的顺序读取，否则，产生的随机样本就不同了，对整体的估计就不准确了，你认为正确吗？解不正确．因为随机数表的产生是随机的，在随机数表中，任意从某一数开始，向左、向右，向上，向下都可以读取不同的样本．但对总体的估计相差不大．。

双基限时练(三)1．在△ABC 中，角A ，B ，C 的对边分别为a ，b ，c ，若a 2＋c 2－b 2＝3ac ，则角B 的值为( )A.π6B.π3C.π6，或5π6D.π3，或2π3解析 由余弦定理，得cos B ＝a 2＋c 2－b 22ac ＝3ac 2ac ＝32，又0<B <π，∴B ＝π6.答案 A2．在△ABC 中，AB ＝3，A ＝45°，C ＝75°，则BC ＝( ) A ．3－ 3 B. 2 C ．2D ．3＋ 3解析 由正弦定理，知BC sin A ＝AB sin C ，∴BC ＝AB sin Asin C ＝3×226＋24＝3－ 3.答案 A3．在△ABC 中，已知a ＝52，c ＝10，A ＝30°，则B 等于( ) A ．105° B ．60°C ．15°D ．105°，或15°解析 先用正弦定理求角C ，由a sin A ＝c sin C ，得sin C ＝c sin A a ＝10×1252＝22.又c >a ，∴C ＝45°，或135°，故B ＝105°，或15°. 答案 D4．已知三角形的三边之比为a ：b ：c ＝2：3：4，则此三角形的形状为( ) A ．锐角三角形 B ．钝角三角形 C ．直角三角形D ．等腰直角三角形解析 设三边长为2a,3a,4a (a >0)，它们所对的三角形内角依次为A ，B ，C . 则cos C ＝ 2a 2＋ 3a 2－ 4a 22×2a ×3a ＝－14<0，∴C 为钝角．故该三角形为钝角三角形． 答案 B5．在△ABC 中，下列关系中一定成立的是( )A ．a >b sin AB ．a ＝b sin AC ．a <b sin AD ．a ≥b sin A解析 在△ABC 中，由正弦定理，知a ＝b sin A sin B，∵0<sin B ≤1，∴a ≥b sin A .答案 D6．△ABC 中，已知2A ＝B ＋C ，且a 2＝bc ，则△ABC 的形状是( ) A ．两直角边不等的直角三角形B ．顶角不等于90°，或60°的等腰三角形C ．等边三角形D ．等腰直角三角形解析 解法1：由2A ＝B ＋C ，知A ＝60°.又cos A ＝b 2＋c 2－a 22bc ，∴12＝b 2＋c 2－bc2bc∴b 2＋c 2－2bc ＝0.即(b －c )2＝0，∴b ＝c . 故△ABC 为等边三角形． 解法2：验证四个选项知C 成立． 答案 C7．在△ABC 中，AC ＝3，A ＝45°，C ＝75°，则BC 的长为____________． 解析 由A ＋B ＋C ＝180°，求得B ＝60°.∴BCsin A ＝AC sin B ⇒BC ＝AC sin A sin B＝3×2232＝ 2.答案 28．△ABC 中，已知a ＝2，c ＝3，B ＝45°，则b ＝________. 解析 由余弦定理，得b 2＝a 2＋c 2－2ac cos B ＝2＋9－2×2×3×22＝5，∴b ＝ 5. 答案59．在△ABC 中，a ＝23，cos C ＝13，S △ABC ＝43，则b ＝________.解析 ∵cos C ＝13，∴sin C ＝223.又S △ABC ＝12ab sin C ，∴43＝12×23×b ×223，∴b ＝3 2.答案 3 210．在△ABC 中，a ＋b ＝10，而cos C 是方程2x 2－3x －2＝0的一个根，求△ABC 周长的最小值．解 解方程2x 2－3x －2＝0，得x 1＝－12，x 2＝2，而cos C 为方程2x 2－3x －2＝0的一个根，∴cos C ＝－12.由余弦定理c 2＝a 2＋b 2－2ab cos C ，得c 2＝a 2＋b 2＋ab .∴c 2＝(a ＋b )2－ab＝100－ab ＝100－a (10－a )＝a 2－10a ＋100＝(a －5)2＋75≥75，∴当a ＝b ＝5时，c min ＝5 3.从而三角形周长的最小值为10＋5 3.11．在△ABC 中，如果lg a －lg c ＝lgsin B ＝－lg 2，且B 为锐角，试判断此三角形的形状．解 ∵lgsin B ＝－lg 2，∴sin B ＝22.又∵B 为锐角，∴B ＝45°.∵lg a －lg c ＝－lg 2，∴a c ＝22. 由正弦定理，得sin A sin C ＝22.即2sin(135°－C )＝2sin C .∴2(sin135°cos C －cos135°sin C )＝2sin C . ∴cos C ＝0，∴C ＝90°，∴A ＝B ＝45°. ∴△ABC 是等腰直角三角形．12．a ，b ，c 分别是△ABC 中角A ，B ，C 的对边，且(sin B ＋sin C ＋sin A )(sin B ＋sin C －sin A )＝185sin B sin C ，边b 和c 是关于x 的方程x 2－9x ＋25cos A ＝0的两根(b >c )．(1)求角A 的正弦值； (2)求边a ，b ，c ； (3)判断△ABC 的形状．解 (1)∵(sin B ＋sin C ＋sin A )(sin B ＋sin C －sin A )＝185sin B sin C ，由正弦定理，得(b ＋c ＋a )(b ＋c －a )＝185bc ，整理，得b 2＋c 2－a 2＝85bc .由余弦定理，得cos A ＝b 2＋c 2－a 22bc ＝45，∴sin A ＝35.(2)由(1)知方程x 2－9x ＋25cos A ＝0可化为x 2－9x ＋20＝0， 解之得x ＝5或x ＝4，∵b >c ，∴b ＝5，c ＝4.由余弦定理a2＝b2＋c2－2bc cos A，∴a＝3.(3)∵a2＋c2＝b2，∴△ABC为直角三角形．。

双基限时练(十)1．对于简单随机抽样，个体被抽到的机会()A．相等B．不相等C．不确定D．与抽取的次数有关解析简单随机抽样的公平性在于每个个体被抽到的机会相等．答案 A2．抽签法中确保样本代表性的关键是()A．制签B．搅拌均匀C．逐一抽取D．抽取不放回解析抽签法每抽取一次之前，把签都要搅拌均匀．答案 B3．为了了解全校240名高一学生的身高情况，从中抽取40名学生进行测量．下列说法正确的是()A．总体是240名B．个体是每一个学生C．样本是40名学生D．样本容量是40解析在这个问题中，总体是240名学生的身高，个体是每个学生的身高，样本是40名学生的身高，样本容量是40.因此选D.答案 D4．为了了解所加工的一批零件的长度，抽测了其中200个零件的长度．在这个问题中，200个零件的长度是( )A ．总体B ．个体C ．总体的一个样本D ．样本容量解析 由题意知，这200个零件的长度应为一个样本．答案 C5．从10个篮球中任取一个，检验其质量，则抽样为( )A ．简单随机抽样B ．不放回或放回抽样C ．随机数表法D ．有放回抽样答案 A6．从某批零件中抽取50个，然后再从50个中抽出40个进行合格检查，发现合格品有36个，则这批产品的合格率为( )A ．36%B ．72%C ．90%D ．25%解析 合格率为3640＝0.9＝90%.答案 C7．从总体为N 的一批零件中抽取一个容量为30的样本，若每个零件被抽取的可能性为25%，则N ＝________.解析 依题意得30N ＝25100，∴N ＝120.答案 1208．某中学为了了解高一学生的年龄情况，从所有的1200名高一学生中抽出100名调查，则样本是________．答案这100名学生的年龄9．为了考察一段时间内某路口的车流量，测得每小时的平均车流量是576辆，所测时间内的总车流量是11520辆，那么，这个问题中，样本的容量是________．解析样本容量应为这段时间内的总车流量．答案1152010．使用随机数表法对100件产品进行编号时，有如下几种编号方法：①1,2,3，…，99,100；②01,02,03，…，99,100；③00,01,02，…，98,99；④001,002,003，…，099,100.其中编号方法正确的是________(只填顺序号)．答案③④11．某合资企业有150名职工，要从中随机地抽出20人去参观学习．请用抽签法和随机数表法进行抽取，并写出过程．解(抽签法)先把150名职工编号：1,2,3，…，150，把编号写在小纸片上，揉成小球，放入一个不透明的袋子中，充分搅拌均匀后，从中逐个不放回地抽取20个小球，这样就抽出了去参观学习的20名职工．(随机数表法)第一步，先把150名职工编号：001,002,003， (150)第二步，从随机数表中任选一个数，如第10行第4列数0.第三步，从数字0开始向右连续读数，每3个数字为一组，在读取的过程中，把大于150的数和与前面重复的数去掉，这样就得到20个号码如下：086,027,079,050,074,146,148,093,077,119,022,025,042,045,128,12 1,038,130,125,033.12．有同学认为随机数表只有一张，并且读数时，只能按照从左向右的顺序读取，否则，产生的随机样本就不同了，对整体的估计就不准确了，你认为正确吗？解不正确．因为随机数表的产生是随机的，在随机数表中，任意从某一数开始，向左、向右，向上，向下都可以读取不同的样本．但对总体的估计相差不大．。

双基限时练(三)1．已知角α的终边与单位圆交于点⎝ ⎛⎭⎪⎫－32，－12，则sin α的值为( ) A ．－32B ．－12C.32D.12解析 利用三角函数的定义可得sin α＝－12，故选B.答案 B2．若角α的终边经过M (0,2)，则下列各式中，无意义的是( ) A ．sin α B ．cos α C ．tan αD ．sin α＋cos α解析 因为M (0,2)在y 轴上，所以α＝π2＋2k π，k ∈Z ，此时tan α无意义．答案 C3．下列命题正确的是( )A ．若cos θ<0，则θ是第二或第三象限的角B ．若α>β，则cos α<cos βC ．若sin α＝sin β，则α与β是终边相同的角D ．若α是第三象限角，则sin αcos α>0且cos αtan α<0解析 当θ＝π时，cos θ＝－1，此时π既不是第二象限的角，也不是第三象限的角，故A 错误；当α＝390°，β＝30°时，cos α＝cos β，故B 错误；当α＝30°，β＝150°时，sin α＝sin β，但α与β终边并不相同，故C 错误，只有D 正确．答案 D4．若三角形的两内角α，β满足sin αcos β<0，则此三角形必为( ) A ．锐角三角形 B ．钝角三角形 C ．直角三角形D ．以上三种情况都可能解析 ∵α，β为三角形的内角，且sin αcos β<0， 又sin α>0，∴cos β<0，∴β为钝角． ∴三角形为钝角三角形． 答案 B5．设角α的终边过点P (3a,4a )(a ≠0)，则下列式子中正确的是( ) A ．sin α＝45B ．cos α＝35C ．tan α＝43D ．tan α＝－43解析 ∵a ≠0，∴tan α＝4a 3a ＝43.答案 C6．已知⎝ ⎛⎭⎪⎫12sin2θ<1，则θ所在的象限为( )A ．第一或第三象限B ．第二或第四象限C ．第二或第三象限D ．第一或第四象限解析 ∵⎝ ⎛⎭⎪⎫12sin2θ<1，且y ＝⎝ ⎛⎭⎪⎫12x 在R 上递减，∴sin2θ>0，∴2k π<2θ<π＋2k π，k ∈Z ， ∴k π<θ<π2＋k π，k ∈Z .当k ＝2n ，n ∈Z 时，2n π<θ<π2＋2n π，此时θ在第一象限内．当k ＝2n ＋1，n ∈Z时，π＋2n π<θ<3π2＋2n π，n ∈Z ，此时θ在第三象限内．综上可得θ所在的象限为第一象限或第三象限，故选A. 答案 A7．角α终边上有一点P (x ，x )(x ∈R ，且x ≠0)，则sin α的值为________． 解析 由题意知，角α终边在直线y ＝x 上，当点P 在第一象限时，x >0，r ＝x 2＋x 2＝2x ，∴sin α＝x2x＝22.当点P 在第三象限时，同理，sin α＝－22. 答案 ±228．使得lg(cos αtan α)有意义的角α是第________象限角．解析 要使原式有意义，必须cos αtan α>0，即需cos α，tan α同号，所以α是第一或第二象限角．答案 一或二9．点P (tan2 012°，cos2 012°)位于第____________象限． 解析 ∵2 012°＝5×360°＋212°，212°是第三象限角， ∴tan2 012°＞0，cos2 012°＜0，故点P 位于第四象限． 答案 四10．若角α的终边经过P (－3，b )，且cos α＝－35，则b ＝________，sin α＝________.解析 ∵cos α＝－39＋b2，∴－39＋b 2＝－35，∴b ＝4或b ＝－4.当b ＝4时，sin α＝b9＋b2＝45，当b ＝－4时，sin α＝b 9＋b2＝－45. 答案 4或－4 45或－4511．计算sin810°＋tan765°＋tan1125°＋cos360°.解 原式＝sin(2×360°＋90°)＋tan(2×360°＋45°)＋tan(3×360°＋45°)＋cos(360°＋0°)＝sin90°＋tan45°＋tan45°＋cos0° ＝1＋1＋1＋1＝4.12．一只蚂蚁从坐标原点沿北偏西30°方向爬行6 cm 至点P 的位置．试问蚂蚁离x 轴的距离是多少？解 如下图所示，蚂蚁离开x 轴的距离是PA .在△OPA 中，OP ＝6，∠AOP ＝60°， ∴PA ＝OP sin60° ＝6×32＝3 3. 即蚂蚁离x 轴的距离是3 3 cm.13．已知角α的终边落在直线y ＝2x 上，试求α的三个三角函数值． 解 当角α的终边在第一象限时，在y ＝2x 上任取一点P (1,2)，则有r ＝5，∴sin α＝25＝255，cos α＝15＝55，tan α＝2.当角α的终边在第三象限时，同理可求得： sin α＝－255，cos α＝－55，tan α＝2.。

"【名师一号】2014-2015学年高中数学 第三章 概率双基限时练18（含解析）新人教A 版必修3 "1．如果事件A ，B 互斥，记A ，B 分别为A ，B 的对立事件，那么( ) A ．A ∪B 是必然事件 B.A ∪B 是必然事件 C.A 与B 一定互斥 D.A 与B 一定不互斥解析 ∵A ，B 互斥，∴A ，B 至少有一个不发生，即A 与B 至少有一个发生，∴A ∪B 是必然事件．答案 B2．下列各组事件中，不是互斥事件的是( )A ．一个射手进行一次射击，命中环数大于8与命中环数小于6B ．统计一个班级数学期中考试成绩，平均分数低于90分与平均分数高于90分C ．播种菜籽100粒，发芽90粒与至少发芽80粒D ．检查某种产品，合格率高于70%与合格率为70% 解析 读题易知，C 不是互斥事件． 答案 C3．某产品分甲、乙、丙三级，其中乙、丙两级均属次品，若生产中出现乙级品的概率为0.03，丙级品的概率为0.01，则对成品抽查一件抽得正品的概率为( )A ．0.96B ．0.98C ．0.97D ．0.09解析 设抽查1件，抽得正品为事件A ，则P (A )＝1－0.03－0.01＝0.96. 答案 A4．设C ，D 是两个随机事件，记D 的对立事件为D ，则下面哪个叙述是正确的( ) A ．C ∩D 与C ∪D 互斥 B ．C ∩D 与C ∩D 互斥 C ．C ∩D 与C －∪D 互斥D ．C ∩D 与C ∪D 互斥解析 类比集合的关系和运算可知选项B 正确． 答案 B5．甲、乙两人下棋，下成和棋的概率是12，乙获胜的概率是13，则甲胜的概率是( )A.16B.56C.12D.23解析 由题意知甲获胜的概率为1－12－13＝16.答案 A6．某人在打靶中，连续射击2次，事件“至少有一次中靶”的互斥事件是__________________．答案 两次都不中靶7．某产品分一、二、三级，其中一、二级是正品，若生产中出现正品的概率是0.98，二级品的概率是0.21，则出现一级品和三级品的概率分别是________，________.解析 由题意知出现一级品的概率为0.98－0.21＝0.77，出现三级品的概率是1－0.98＝0.02.答案 0.77 0.028．同时抛掷两枚骰子，没有5点或6点的概率是49，则至少一个5点或6点的概率是________．解析 由对立事件的概率公式，得所求的概率为1－49＝59.答案 599．某家庭电话在家中有人时，打进的电话响第一声时被接的概率为0.1，响第二声时被接的概率为0.2，响第三声被接的概率为0.3，响第四声时被接的概率为0.3，那么电话在响前四声内被接的概率是多少？解 记电话响第i 声时被接为事件A i (i ＝1,2,3,4)，电话响第五声之前被接为事件A ，由于A 1，A 2，A 3，A 4彼此互斥，所以P (A )＝P (A 1∪A 2∪A 3∪A 4)＝P (A 1)＋P (A 2)＋P (A 3)＋P (A 4) ＝0.1＋0.2＋0.3＋0.3＝0.9.10．一个盒子中有10个完全相同的球，分别标有号码1,2，…，10.从中任取一球，求下列事件的概率：(1)A ＝{球的标号不大于3}； (2)B ＝{球的标号是3的倍数}； (3)C ＝{球的标号是质数}．解 (1)球的标号不大于3包括三种情形，即球的标号分别为1,2,3，则P (A )＝P (球的标号是1)＋P (球的标号是2)＋P (球的标号是3)＝110＋110＋110＝310.(2)球的标号是3的倍数的球号数是3,6,9三种情况，则P (B )＝110＋110＋110＝310.(3)球的标号是质数包括2,3,5,7四种情形， 则P (C )＝110＋110＋110＋110＝410＝25.11．在某一时期内，一条河流某处的年最高水位在各个范围内的概率如下表：(1)[10,16)(m)； (2)[8,12)(m)； (3)水位不低于14 m.解 设水位在[a ，b )范围的概率为P ([a ，b ))，由于水位在各范围内对应的事件是互斥的．由概率加法公式得：(1)P ([10,16))＝P ([10,12))＋P ([12,14))＋P ([14,16)) ＝0.28＋0.38＋0.16 ＝0.82.(2)P ([8,12))＝P ([8,10))＋P ([10,12)) ＝0.1＋0.28＝0.38.(3)P ([14,18))＝P ([14,16))＋P ([16,18)) ＝0.16＋0.08＝0.24.12．袋中有12个小球，分别为红球、黑球、黄球、绿球，从中任取一球，得到红球的概率是13，得到黑球或黄球的概率是512，得到黄球或绿球的概率是512，试求得到黑球、得到黄球、得到绿球的概率各是多少？解 从袋中任取一球，记事件“得到红球”、“得到黑球”、“得到黄球”、“得到绿球”分别为A ，B ，C ，D ，则P (A )＝13，P (B ∪C )＝P (B )＋P (C )＝512，P (C ∪D )＝P (C )＋P (D )＝512，P (B ∪C ∪D )＝P (B )＋P (C )＋P (D )＝1－P (A )＝1－13＝23.则由⎩⎪⎨⎪⎧P B ＋P C ＝512，PC ＋PD ＝512，P B ＋P C ＋P D ＝23，解得⎩⎪⎨⎪⎧P B ＝14，PC ＝16，PD ＝14.即得到黑球、得到黄球、得到绿球的概率分别为14，16，14.。

双基限时练(二十八)1．已知cos α＝－35，且α∈⎝ ⎛⎭⎪⎫π，3π2，则cos α2的值为( ) A.55 B ．－55C.255D ．－255解析 ∵π<α<3π2，∴π2<α2<3π4，∴cos α2<0.由cos α＝2cos2α2－1＝－35，得cos 2α2＝15， ∴cos α2＝－55.答案 B2．设α∈(π，2π)，则 1－π＋α2等于( ) A ．sin α2B ．cos α2C ．－sin α2D ．－cos α2解析 ∵α∈(π，2π)，∴α2∈⎝ ⎛⎭⎪⎫π2，π，∴cos α2<0. ∴1－cos π＋α2＝1＋cos α2＝|cos α2| ＝－cos α2.答案 D3．函数y ＝8sin x cos x cos2x 的最小正周期为T ，最大值为A ，则( ) A ．T ＝π，A ＝4 B ．T ＝π2，A ＝4C ．T ＝π，A ＝2D ．T ＝π2，A ＝2解析 y ＝8sin x cos x cos2x ＝4sin2x cos2x ＝2sin4x ， ∴最小正周期T ＝2π4＝π2，最大值A ＝2.答案 D4．若3sin α＋cos α＝0，则1cos 2α＋sin2α的值为( )A.103 B.53 C.23D ．－2解析 ∵3sin α＋cos α＝0，∴tan α＝－13.1cos 2α＋sin2α＝sin 2α＋cos 2αcos 2α＋2sin αcos α＝tan 2α＋11＋2tan α＝⎝ ⎛⎭⎪⎫－132＋11＋2×⎝ ⎛⎭⎪⎫－13＝10913＝103. 故应选择A. 答案 A5．若f (x )＝cos2x ＋8sin x ，则它的最大值和最小值分别是( ) A ．最大值是9，最小值是－9 B ．最大值不存在，最小值为7 C ．最大值是7，最小值是－9 D ．最大值是7，最小值不存在解析 f (x )＝cos2x ＋8sin x ＝1－2sin 2x ＋8sin x ＝－2(sin 2x －4sin x )＋1＝－2(sin x －2)2＋9. ∵x ∈R ，－1≤sin x ≤1，∴当sin x ＝1时，f (x )有最大值7； 当sin x ＝－1时，f (x )有最小值－9. 答案 C6．使f (x )＝sin(2x ＋θ)＋3cos(2x ＋θ)为奇函数，且在区间⎣⎢⎡⎦⎥⎤0，π4上是减函数的θ的一个值是( )A ．－π3B.π3C.23π D.43π 解析 f (x )＝2sin ⎝ ⎛⎭⎪⎫2x ＋θ＋π3，当θ取－π3时，为奇函数，但在⎣⎢⎡⎦⎥⎤0，π4上递增；θ取π3和43π时为非奇非偶函数；当θ取2π3时，f (x )＝－2sin2x 符合题意． 答案 C7.⎝ ⎛⎭⎪⎫sin α2＋cos α22＋2sin 2⎝ ⎛⎭⎪⎫π4－α2的值等于__________．解析 原式＝1＋sin α＋2·1－cos ⎝ ⎛⎭⎪⎫π2－α2＝1＋sin α＋1－sin α ＝2. 答案 28．函数y ＝3sin x cos x ＋3cos 2x －32的最大值为________．解析 y ＝32sin2x ＋3×1＋cos2x 2－32＝32sin2x ＋32cos2x ＝3sin ⎝ ⎛⎭⎪⎫2x ＋π3≤ 3.答案39．化简：sin A ＋sin2A1＋cos A ＋cos2A ＝________.解析 原式＝sin A ＋2sin A cos Acos A ＋2cos 2A ＝sin A 1＋2cos Acos A 1＋2cos A＝tan A .答案 tan A10．若tan x ＝2，则2cos 2x2－sin x －1sin x ＋cos x ＝________.解析 2cos 2x2－sin x －1sin x ＋cos x＝cos x －sin x sin x ＋cos x ＝1－tan xtan x ＋1＝1－22＋1＝22－3. 答案 22－311．已知tan2θ＝－22，π<2θ<2π，求2cos 2θ2－sin θ－12sin ⎝⎛⎭⎪⎫θ＋π4.解2cos 2θ2－sin θ－12sin ⎝⎛⎭⎪⎫θ＋π4＝cos θ－sin θcos θ＋sin θ＝1－tan θ1＋tan θ， ∵tan2θ＝－22，∴2tan θ1－tan 2θ＝－2 2. ∴2tan 2θ－tan θ－2＝0.∴tan 2θ－22tan θ－1＝0. ∴tan θ＝2或tan θ＝－22.∵π<2θ<2π， ∴π2<θ<π，∴tan θ<0. ∴tan θ＝－22.∴原式＝1－⎝ ⎛⎭⎪⎫－221－22＝3＋2 2.12.如图所示，已知矩形ABCD 中，AB ＝a ，AD ＝b ，试求其外接矩形EFGH 面积的最大值． 解 设∠CBF ＝θ，则∠EAB ＝θ，EB ＝a sin θ，BF ＝b cos θ，AE ＝a cos θ，HA ＝b sin θ， 所以S矩形EFGH＝(b sin θ＋a cos θ)(b cos θ＋a sin θ)＝b 2sin θcos θ＋ab sin 2θ＋ab cos 2θ＋a 2sin θcos θ＝a 2＋b 22sin2θ＋ab .由|sin2θ|≤1，知当θ＝45°时，S 矩形EFGH取得最大值为12(a 2＋b 2)＋ab .13．已知函数f (x )＝cos 2x 2－sin x 2cos x 2－12. (1)求函数f (x )的最小正周期和值域； (2)若f (α)＝3210，求sin2α的值．分析 (1)先利用余弦的二倍角公式和辅助角公式将f (x )化成f (x )＝A sin(ωx ＋φ)形式．再求解．(2)利用同角间三角函数关系与二倍角正弦公式求值．解 (1)由已知f (x )＝cos 2x 2－sin x 2cos x 2－12＝12(1＋cos x )－12sin x －12＝22cos ⎝⎛⎭⎪⎫x ＋π4.所以函数f (x )的最小正周期为2π，值域为⎣⎢⎡⎦⎥⎤－22，22. (2)由(1)知，f (x )＝22cos ⎝⎛⎭⎪⎫α＋π4＝3210，∴cos ⎝⎛⎭⎪⎫α＋π4＝35.∴cos α－sin α＝325，平方得1－sin2α＝1825.∴sin2α＝725.。

双基限时练(二十)1．若函数f (x )＝x 3(x ∈R )，则函数y ＝f (－x )在其定义域上( ) A ．单调递减的偶函数 B ．单调递减的奇函数 C ．单调递增的偶函数 D ．单调递增的奇函数解析 ∵f (x )＝x 3为奇函数． ∴y ＝f (－x )＝－f (x )＝－x 3.∴y ＝f (－x )在其定义域上单调递减且为奇函数，故选B. 答案 B2．设α∈⎩⎨⎧⎭⎬⎫－2，－1，－12，13，12，1，2，3，则使f (x )＝x α为奇函数，且在(0，＋∞)上单调递减的α的值的个数是( )A ．1B ．2C ．3D ．4解析 仅有α＝－1时，f (x )＝x －1满足题意，因此选A. 答案 A3．已知幂函数y ＝x m 在第一象限内的图象，如图所示．已知m 取2，－2，12，－12四个值，则相应于曲线C 1，C 2，C 3，C 4的m 依次是( )A ．－2，－12，12，2 B ．2，12，－12，－2 C ．－12，－2,2，12D ．2，12，－2，－12解析 由图象知，相应于曲线C 1，C 2，C 3，C 4的幂依次从大到小排列，∴选B.答案 B4．函数y ＝x 53的图象大致是( )解析 由于53>1，故可排除选项A ，D.根据幂函数的性质可知，当a >1时，幂函数的图象在第一象限内下凸，故排除选项C ，只有选项B 正确．答案 B5．函数y ＝log a (2x －3)＋22的图象恒过定点P ，P 在幂函数f (x )的图象上，则f (9)＝( )A.13B. 3 C ．3D ．9解析 由log a 1＝0，对任意a >0且a ≠1都成立知，函数y ＝log a (2x－3)＋22的图象恒过定点⎝⎛⎭⎪⎫2，22，设f (x )＝x α，则22＝2α，故α＝－12，所以f (x )＝x －12，所以f (9)＝9－12＝3－1＝13.答案 A6．设a ＝⎝ ⎛⎭⎪⎫1234，b ＝⎝ ⎛⎭⎪⎫1534，c ＝⎝ ⎛⎭⎪⎫1212，则( )A ．a <b <cB ．c <a <bC ．b <c <aD ．b <a <c解析 构造幂函数y ＝x 34(x ∈R )，则该函数在定义域内单调递增，知a >b ；构造指数函数y ＝⎝ ⎛⎭⎪⎫12x，由该函数在定义域内单调递减，所以a <c ，故c >a >b .答案 D7．函数y ＝(m －1)xm 2－m为幂函数，则该函数为________(填序号)．①奇函数；②偶函数；③增函数；④减函数． 解析 由y ＝(m －1)xm 2－m为幂函数，得m －1＝1，即m ＝2，则该函数为y ＝x 2，故该函数为偶函数，在(－∞，0)上是减函数，在(0，＋∞)上是增函数．答案 ②8．给出以下列结论：①当α＝0时，函数y ＝x α的图象是一条直线；②幂函数的图象都经过(0,0)，(1,1)两点；③若幂函数y ＝a α的图象关于原点对称，则y ＝x α在定义域内y 随x 的增大而增大；④幂函数的图象不可能在第四象限，但可能在第二象限．则正确结论的序号为________．解析 当α＝0时，函数y ＝x α的定义域为{x |x ≠0，x ∈R }，故①不正确；当α<0时，函数y ＝x α的图象不过(0,0)点，故②不正确；幂函数y ＝x －1的图象关于原点对称，但其在定义域内不是增函数，故③不正确．④正确．答案 ④9．已知n ∈{－2，－1,0,1,2,3}，若⎝ ⎛⎭⎪⎫－12n >⎝ ⎛⎭⎪⎫－13n，则n ＝________.解析 ∵－12<－13，且⎝ ⎛⎭⎪⎫－12n >⎝ ⎛⎭⎪⎫－13n ，∴y ＝x n 在(－∞，0)上为减函数． 又n ∈{－2，－1,0,1,2,3}， ∴n ＝－1，或n ＝2. 答案 －1或2已知函数f (x )＝(m 2－m －1)x －5m －3，m 为何值时，f (x ) (1)是幂函数； (2)是正比例函数； (3)是反比例函数； (4)是二次函数． 解 (1)∵f (x )是幂函数，故m 2－m －1＝1，即m 2－m －2＝0， 解得m ＝2或m ＝－1. (2)若f (x )是正比例函数， 则－5m －3＝1，解得m ＝－45. 此时m 2－m －1≠0，故m ＝－45.(3)若f (x )是反比例函数，则－5m －3＝－1，则m ＝－25，此时m 2－m －1≠0，故m ＝－25. (4)若f (x )是二次函数，则－5m －3＝2， 即m ＝－1，此时m 2－m －1≠0，故m ＝－1.11．点(2，2)与点⎝ ⎛⎭⎪⎫－2，－12分别在幂函数f (x )，g (x )的图象上，问当x 为何值时，有：①f (x )>g (x )；②f (x )＝g (x )；③f (x )<g (x )．解 设f (x )＝x α，g (x )＝x β. ∵(2)α＝2，(－2)β＝－12， ∴α＝2，β＝－1. ∴f (x )＝x 2，g (x )＝x －1.分别作出它们的图象，如图所示．由图象知，当x ∈(－∞，0)∪(1，＋∞)时，f (x )>g (x )； 当x ＝1时，f (x )＝g (x )； 当x ∈(0,1)时，f (x )<g (x )．12．已知幂函数y ＝x 3－p (p ∈N *)的图象关于y 轴对称，且在(0，＋∞)上为增函数，求满足条件(a ＋1) p 2 <(3－2a ) p 2的实数a 的取值范围．解 ∵幂函数y ＝x 3－p (p ∈N *)的图象关于y 轴对称，∴函数y ＝x 3－p是偶函数．又y ＝x 3－p 在(0，＋∞)上为增函数， ∴3－p 是偶数且3－p >0， ∵p ∈N *，∴p ＝1，∴不等式(a ＋1) p 2 <(3－2a ) p2化为：(a ＋1) 12<(3－2a ) 12.∵函数y ＝x 是[0，＋∞)上的增函数， ∴⎩⎪⎨⎪⎧a ＋1<3－2a ，a ＋1≥0，3－2a ≥0⇒⎩⎪⎨⎪⎧a <23，a ≥－1，a ≤32⇒－1≤a <23，故实数a 的取值范围为⎣⎢⎡⎭⎪⎫－1，23.。

双基限时练(十四)1．已知a ，b ，c 是非零向量，则(a ＋c )＋b ，b ＋(a ＋c )，b ＋(c ＋a )，c ＋(a ＋b )，c ＋(b ＋a )中，与向量a ＋b ＋c 相等的向量的个数为( )A ．5B ．4C ．3D ．2解析 向量加法满足交换律， 所以五个向量均等于a ＋b ＋c . 答案 A2．向量(AB →＋MB →)＋(BO →＋BC →)＋OM →化简后等于( )A.CB →B.AB →C.AC →D.AM → 解析 (AB →＋MB →)＋(BO →＋BC →)＋OM →＝(AB →＋BC →)＋(BO →＋OM →＋MB →)＝AC →＋0＝AC →，故选C.答案 C3．向量a ，b 皆为非零向量，下列说法不正确的是( ) A ．向量a 与b 反向，且|a |>|b |，则向量a ＋b 与a 的方向相同 B ．向量a 与b 反向，且|a |<|b |，则向量a ＋b 与a 的方向相同 C ．向量a 与b 同向，则向量a ＋b 与a 的方向相同 D ．向量a 与b 同向，则向量a ＋b 与b 的方向相同解析 向量a 与b 反向，且|a |<|b |，则a ＋b 应与b 方向相同，因此B 错． 答案 B4．设P 是△ABC 所在平面内一点，BC →＋BA →＝2BP →，则( )A.PA →＋PB →＝0B.PB →＋PC →＝0C.PC →＋PA →＝0D.PA →＋PB →＋PC →＝0解析 由向量加法的平行四边形法则易知，BA →与BC →的和向量过AC 边的中点，且长度是AC 边中线长的2倍，结合已知条件知，P 为AC 的中点，故PA →＋PC →＝0.答案 C5．正方形ABCD 的边长为1，AB →＝a ，AC →＝c ，BC →＝b ，则|a ＋b ＋c |为( ) A ．0 B. 2 C ．3D ．2 2解析 |a ＋b ＋c |＝|2c |＝2|c |＝2 2.应选D. 答案 D6．在▱ABCD 中，若|BC →＋B A →|＝|B C →＋AB →|，则四边形ABCD 是( )A ．菱形B ．矩形C ．正方形D ．不确定解析 |BC →＋AB →|＝|AB →＋BC →|＝|AC →|， |BC →＋BA →|＝|BD →|，由|BD →|＝|AC →|知四边形ABCD 为矩形．答案 B 7.根据图示填空． (1)AB →＋OA →＝________； (2)BO →＋OD →＋DO →＝________； (3)AO →＋BO →＋2OD →＝________. 解析 由三角形法则知 (1)AB →＋OA →＝OA →＋AB →＝OB →；(2)BO →＋OD →＋DO →＝BO →； (3)AO →＋BO →＋2OD →＝AD →＋BD →. 答案 (1)OB → (2)BO →(3)AD →＋BD →8．在正方形ABCD 中，边长为1，AB →＝a ，BC →＝b ，则|a ＋b |＝________.解析 a ＋b ＝AB →＋BC →＝AC →，∴|a ＋b |＝|AC →|＝ 2. 答案29．若P 为△ABC 的外心，且PA →＋PB →＝PC →，则∠ACB ＝__________.解析 ∵PA →＋PB →＝PC →，则四边形APBC 是平行四边形． 又P 为△ABC 的外心， ∴|PA →|＝|PB →|＝|PC →|. 因此∠ACB ＝120°. 答案 120°10．设a 表示“向东走了2 km”，b 表示“向南走了2 km”，c 表示“向西走了2 km”，d 表示“向北走了2 km”，则(1)a ＋b ＋c 表示向________走了________km ； (2)b ＋c ＋d 表示向________走了________km ； (3)|a ＋b |＝________，a ＋b 的方向是________． 解析 (1)如图①所示，a ＋b ＋c表示向南走了2 km.(2)如图②所示，b ＋c ＋d 表示向西走了2 km.(3)如图①所示，|a ＋b |＝22＋22＝22，a ＋b 的方向是东南． 答案 (1)南 2 km (2)西 2 km (3)2 2 东南 11.如图，O 为正六边形ABCDEF 的中心，试通过计算用图中有向线段表示下列向量的和： (1)OA →＋OC →； (2)BC →＋FE →； (3)OA →＋FE →.解 (1)因为四边形OABC 是平行四边形，所以OA →＋OC →＝OB →. (2)因为BC ∥AD ∥FE ；BC ＝FE ＝12AD ，所以BC →＝AO →，FE →＝OD →， 所以BC →＋FE →＝AO →＋OD →＝AD →.(3)因为|OA →|＝|FE →|，且OA →与FE →反向． 所以利用三角形法则可知OA →＋FE →＝0.12．化简：(1)AB →＋CD →＋BC →； (2)(MA →＋BN →)＋(AC →＋CB →)； (3)AB →＋(BD →＋CA →)＋DC →.解 (1)AB →＋CD →＋BC →＝AB →＋BC →＋CD →＝AD →.(2)(MA →＋BN →)＋(AC →＋CB →) ＝(MA →＋AC →)＋(CB →＋BN →) ＝MC →＋CN →＝MN →.(3)AB →＋(BD →＋CA →)＋DC →＝AB →＋BD →＋DC →＋CA →＝013.如右图所示，P ，Q 是△ABC 的边BC 上的两点，且BP →＝QC →.求证：AB →＋AC →＝AP →＋AQ →.证明 由图可知AB →＝AP →＋PB →，AC →＝AQ →＋QC →，∴AB →＋AC →＝AP →＋AQ →＋PB →＋QC →.∵BP →＝QC →，又PB →与BP →模相等，方向相反， 故PB →＋QC →＝PB →＋BP →＝0. ∴AB →＋AC →＝AP →＋AQ →.。

双基限时练(三)1．设f ′(x 0)＝0，则曲线y ＝f (x )在点(x 0，f (x 0))处的切线( ) A ．不存在 B ．与x 轴垂直 C ．与x 轴平行 D ．与x 轴平行或重合答案 D2．一木块沿某一斜面自由下滑，测得下滑的水平距离s 与时间t 之间的函数关系为s ＝18t 2，则当t ＝2时，此木块在水平方向的瞬时速度为( ) A. 2 B. 1 C.12D.14解析 s ′＝lim Δt →0ΔsΔt＝lim Δt →018t ＋Δt2－18t 2Δt＝lim Δt →014t Δt ＋18Δt 2Δt＝lim Δt →0(14t ＋18Δt )＝14t .∴当t ＝2时，s ′＝12.答案 C3．若曲线y ＝h (x )在点P (a ，h (a ))处切线方程为2x ＋y ＋1＝0，则( ) A ．h ′(a )<0 B ．h ′(a )>0 C ．h ′(a )＝0D ．h ′(a )的符号不定解析 由2x ＋y ＋1＝0，得h ′(a )＝－2<0. ∴h ′(a )<0. 答案 A4．曲线y ＝9x在点(3,3)处的切线方程的倾斜角α等于( )A ．45°B ．60°C ．135°D ．120°解析 k ＝y ′＝lim Δx →0ΔyΔx ＝lim Δx →09x ＋Δx －9x Δx＝lim Δx →0－9x x ＋Δx ＝－9x2.∴当x ＝3时，tan α＝－1.∴α＝135°. 答案 C5．在曲线y ＝x 2上切线倾斜角为π4的点是( )A ．(0,0)B ．(2,4)C ．(14，116)D ．(12，14)解析 y ′＝lim Δx →0Δy Δx ＝lim Δx →0 x ＋Δx 2－x2Δx＝lim Δx →02x Δx ＋Δx 2Δx＝lim Δx →0(2x ＋Δx )＝2x .令2x ＝tan π4＝1，∴x ＝12，y ＝14.故所求的点是(12，14)．答案 D6．已知曲线y ＝2x 2上一点A (2,8)，则过点A 的切线的斜率为________． 解析 k ＝f ′(2)＝lim Δx →0＋Δx 2－2×22Δx＝lim Δx →08Δx ＋Δx 2Δx＝lim Δx →0(8＋2Δx )＝8.答案 87．若函数f (x )在x 0处的切线的斜率为k ，则极限lim Δx →0f x 0－Δx －f x 0Δx＝________.解析 lim Δx →0f x 0－Δx －f x 0Δx＝－lim Δx →0f x 0－Δx －f x 0－Δx＝－k .答案 －k8．已知函数f (x )在区间[0,3]上图象如图所示，记k 1＝f ′(1)，k 2＝f ′(2)，k 3＝f ′(3)，则k 1，k 2，k 3之间的大小关系为________．(请用“>”连接)解析 由f (x )的图象及导数的几何意义知，k 1>k 2>k 3. 答案 k 1>k 2>k 39．已知曲线y ＝2x 2上的点(1,2)，求过该点且与过该点的切线垂直的直线方程． 解 ∵f ′(1)＝lim Δx →0f＋Δx －fΔx＝4，∴过点(1,2)的切线的斜率为4.设过点(1,2)且与过该点的切线垂直的直线的斜率为k ，则4k ＝－1，k ＝－14.∴所求的直线方程为y －2＝－14(x －1)，即x ＋4y －9＝0. 10．已知曲线y ＝1t －x 上两点P (2，－1)，Q ⎝⎛⎭⎪⎫－1，12.求： (1)曲线在点P 处、点Q 处的切线的斜率； (2)曲线在点P ，Q 处的切线方程． 解 将P (2，－1)代入y ＝1t －x 得t ＝1，∴y ＝11－x. ∴y ′＝lim Δx →0f x ＋Δx －f xΔx＝lim Δx →011－x ＋Δx －11－xΔx＝lim Δx →01[1－x ＋Δx－x＝1－x2.(1)曲线在点P 处的切线的斜率为y ′|x ＝2＝1－2＝1； 曲线在点Q 处的切线的斜率为y ′|x ＝－1＝1[1－－2＝14. (2)曲线在点P 处的切线方程为y －(－1)＝x －2，即x －y －3＝0.曲线在点Q 处的切线方程为y －12＝14(x ＋1)，即x －4y ＋3＝0.11．已知点M (0，－1)，F (0,1)，过点M 的直线l 与曲线y ＝13x 3－4x ＋4在x ＝2处的切线平行．(1)求直线l 的方程；(2)求以点F 为焦点，l 为准线的抛物线C 的方程． 解 (1)∵f ′(2)＝lim Δx →013＋Δx3－＋Δx ＋4－⎝ ⎛⎭⎪⎫13×23－4×2＋4Δx＝0，∴直线l 的斜率为0，其直线方程为y ＝－1.(2)∵抛物线以点F (0,1)为焦点，y ＝－1为准线，∴设抛物线的方程为x 2＝2py ，则－p2＝－1，p ＝2.故抛物线C 的方程为x 2＝4y .12．已知曲线y ＝x 2＋1，问是否存在实数a ，使得经过点(1，a )能作出该曲线的两条切线？若存在，求出实数a 的取值范围；若不存在，请说明理由．解 存在． 理由如下： ∵y ＝x 2＋1，∴y ′＝lim Δx →0Δy Δx＝lim Δx →0x ＋Δx2＋1－x 2＋Δx＝lim Δx →02x Δx ＋Δx 2Δx＝2x .设切点坐标为(t ，t 2＋1)，∵y ′＝2x ，∴切线的斜率为k ＝y ′|x ＝t ＝2t . 于是可得切线方程为y －(t 2＋1)＝2t (x －t )． 将(1，a )代入，得a －(t 2＋1)＝2t (1－t )， 即t 2－2t ＋a －1＝0.∵切线有两条，∴方程有两个不同的解．故Δ＝4－4(a －1)>0.∴a <2.故存在实数a ，使得经过点(1，a )能作出该曲线的两条切线，a 的取值范围是(－∞，2)．。

【名师一号】2014-2015学年高中数学 第三章 导数及其应用双基限时练15（含解析）新人教A 版选修1-11．已知函数f (x )＝－x 2＋x 的图象上一点(－1，－2)及邻近一点(－1＋Δx ，－2＋Δy )，则ΔyΔx＝( ) A ．3 B ．3Δx －(Δx )2C ．3－(Δx )2D ．3－Δx答案 D2．当自变量x 由x 0变到x 1时，函数值的增量与相应自变量的增量的比是函数( ) A ．在区间[x 0，x 1]上的平均变化率 B ．在x 1处的导数C ．在区间[x 0，x 1]上的导数D ．在x 处的平均变化率 答案 A3．对于函数f (x )＝c (c 为常数)，则f ′(x )为( ) A ．0 B ．1 C ．c D ．不存在答案 A4．y ＝x 2在x ＝1处的导数为( ) A ．2x B ．2 C ．2＋ΔxD ．1解析 lim Δx →0 Δy Δx ＝lim Δx →0 f 1＋Δx －f 1Δx ＝lim Δx →0 1＋Δx 2－1Δx ＝lim Δx →0 (2＋Δx )＝2. 答案 B5．已知函数f (x )＝2x 2的图象上点P (1,1)及邻近点Q (1＋Δx,1＋Δy )，则lim Δx →0ΔyΔx＝( )A ．4xB ．4C ．4＋2ΔxD ．4＋2(Δx )2解析 lim Δx →0 Δy Δx ＝lim Δx →0 2 1＋Δx 2－2Δx ＝lim Δx →0 (4＋2Δx )＝4. 答案 B6．某质点的运动方程是S ＝t －(2t －1)2，则在t ＝1 s 时的瞬时速度为________．解析 ΔS ＝S (1＋Δt )－S (1)＝[1＋Δt －(2＋2Δt －1)2]－[1－(2－1)2] ＝4(Δt )2－3Δt ，∴lim Δt →0 ΔS Δt ＝lim Δt →0 (4Δt －3)＝－3. 答案 －37．函数y ＝x 2－2x ＋3在2到94之间的平均变化率为________．解析 Δy Δx ＝[ 94 2－2×94＋3]－ 22－2×2＋394－2＝94.答案 948．若f ′(x 0)＝2，则lim Δx →0 f x 0 －f x 0＋Δx2Δx＝________.解析 lim Δx →0f x 0 －f x 0＋Δx2Δx＝－12·lim Δx →0 f x 0＋Δx －f x 0 Δx ＝－12·f ′(x 0)＝－1.答案 －19．汽车行驶的路程s 和时间t 之间的函数图象如图所示，在时间段[t 0，t 1]，[t 1，t 2]，[t 2，t 3]上的平均速度分别为v －1，v －2，v －3，则三者的大小关系为________．解析 v －1＝s t 1 －s t 0 t 1－t 0＝k OA ，v －2＝s t 2 －s t 1 t 2－t 1＝k AB ，v －3＝s t 3 －s t 2 t 3－t 2＝k BC ，又∵k BC >k AB >k OA ，∴v －3>v －2>v －1. 答案 v －3>v －2>v －110．甲、乙二人慢跑的路程与时间关系以及百米赛跑路程和时间关系分别如图①②，试问：(1)甲、乙二人慢跑时，________跑得快；(2)甲、乙二人百米赛跑，快到终点时，________跑得较快． 答案 乙 乙11．比较函数f (x )＝2x与g (x )＝3x，当x ∈[1,2]时，平均增长率的大小． 解 设f (x )＝2x在x ∈[1,2]时的平均变化率为k 1，则k 1＝f 2 －f 12－1＝2，设g (x )＝3x在x ∈[1,2]时的平均变化率为k 2，则k 2＝g 2 －g 12－1＝6，∵k 1<k 2，故当x ∈[1,2]时，g (x )的平均增长率大于f (x )的平均增长率． 12．已知f (x )＝ax 2＋2，若f ′(1)＝4，求a 的值． 解 Δy ＝f (1＋Δx )－f (1) ＝a (1＋Δx )2＋2－(a ×12＋2) ＝2a ·Δx ＋a (Δx )2，∴f ′(1)＝lim Δx →0 ΔyΔx ＝lim Δx →0 (2a ＋a ·Δx )＝2a ＝4 ∴a ＝2.。