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数学归纳法

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数学归纳法

数学归纳法

数学归纳法数学上证明与自然数N有关的命题的一种特殊方法，它主要用来研究与正整数有关的数学问题，在高中数学中常用来证明等式成立和数列通项公式成立。

（一）第一数学归纳法：一般地，证明一个与自然数n有关的命题P(n)，有如下步骤：（1）证明当n取第一个值n0时命题成立。

n0对于一般数列取值为0或1，但也有特殊情况；（2）假设当n=k（k≥n0，k为自然数）时命题成立，证明当n=k+1时命题也成立。

综合（1）（2），对一切自然数n（≥n0），命题P(n)都成立。

（二）第二数学归纳法：对于某个与自然数有关的命题P(n)，（1）验证n=n0时P(n)成立；（2）假设n0≤n<=k时P(n)成立，并在此基础上，推出P(k+1)成立。

综合（1）（2），对一切自然数n（≥n0），命题P(n)都成立。

（三）倒推归纳法（反向归纳法）：（1）验证对于无穷多个自然数n命题P(n)成立（无穷多个自然数可以是一个无穷数列中的数，如对于算术几何不等式的证明，可以是2^k，k≥1）；（2）假设P(k+1)（k≥n0）成立，并在此基础上，推出P(k)成立，综合（1）（2），对一切自然数n（≥n0），命题P(n)都成立；（四）螺旋式归纳法对两个与自然数有关的命题P(n)，Q(n)，（1）验证n=n0时P(n)成立；（2）假设P(k)（k>n0）成立，能推出Q(k)成立，假设 Q(k)成立，能推出 P(k+1)成立；综合（1）（2），对一切自然数n（≥n0），P(n)，Q(n)都成立（1）确定一个表达式在所有自然数范围内是成立的或者用于确定一个其他的形式在一个无穷序列是成立的。

（2）数理逻辑和计算机科学广义的形式的观点指出能被求出值的表达式是等价表达式。

（3）证明数列前n项和与通项公式的成立。

（4）证明和自然数有关的不等式。

在应用，数学归纳法常常需要采取一些变化来适应实际的需求。

下面介绍一些常见的数学归纳法变体。

从0以外的数字开始如果我们想证明的命题并不是针对全部自然数，而只是针对所有大于等于某个数字b的自然数，那么证明的步骤需要做如下修改：第一步，证明当n=b时命题成立。

数学归纳法

数学归纳法

课堂互动讲练
证明】 左式＝ 【证明】 (1)当 n＝1 时，左式＝ 当 ＝ 12(1－ 1)(1＋ 1) － ＋ 2 1 － 1＝0，右式＝ ＝ ，右式＝ ＝0， ， 4 等式成立． ∴等式成立． (2)假设 n＝k(k∈N )时等式成立， 假设 ＝ ∈ 时等式成立 时等式成立， 即 (k2 － 1)＋ 2(k2－ 22)＋ … ＋ k(k2 － k2) ＋ ＋ k2(k－ 1)(k＋ 1) － ＋ . ＝ 4
数学归纳法
基础知识梳理
证明一个与正整数n有关的命题， 证明一个与正整数 有关的命题，可 有关的命题 按下列步骤进行： 按下列步骤进行： (1)(归纳奠基 证明当 取第一个值 归纳奠基)证明当 归纳奠基 证明当n取第一个值 n0(n0∈N*)时命题成立； 时命题成立； 时命题成立 (2)(归纳递推 假设 ＝k(k≥n0，k∈N*) 归纳递推)假设 归纳递推 假设n＝ ∈ 时命题成立，证明当n＝ ＋ 时命题也成 时命题成立，证明当 ＝k＋1时命题也成 立． 只要完成这两个步骤， 只要完成这两个步骤，就可以断定命 题对从n 开始的所有正整数n都成立 都成立． 题对从 0开始的所有正整数 都成立．
基础知识梳理
上述证明方法叫做数学归纳法． 上述证明方法叫做数学归纳法．用 框图表示就是： 框图表示就是：
三基能力强化
1．数学归纳法适用于证明 ． ________类型的命题 类型的命题( ) 类型的命题 A．已知⇒结论 ．已知⇒ B．结论⇒已知 ．结论⇒ C．直接证明比较困难 ． D．与正整数有关 ． 答案： 答案：D
课堂互动讲练
【证明】 (1)当n＝1时，f(1)＝36， 证明】 当 ＝ 时 ＝ ， 能被36整除 整除． 能被 整除． (2)假设 ＝k(k∈N*)时，f(k)能被 假设n＝ ∈ 时 能被36 假设 能被 整除， 整除， 能被36整除 即f(k)＝(2k＋7)·3k＋9能被 整除； ＝ ＋ 能被 整除； ＋ 当n＝k＋1时，[2(k＋1)＋7]·3k＋1＋9 ＝ ＋ 时 ＋ ＋ ＋ ＋ ＝(2k＋7)·3k＋1＋27－27＋2·3k＋1＋9 ＋ － ＋ － ＝3[(2k＋7)·3k＋9]＋18(3k－1－1)， ＋ ＋ ，

数学归纳法

数学归纳法

用数学归纳法需注意：
1.第一步是奠基步骤，是命题论证的基础，称之为 归纳 基础。 2.第二步是归纳步骤，是推理的依据，是判断命题的正确 性能否由特殊推广到一般，它反映了无限递推关系，其中 “假设n=k时成立” 称为归纳假设(注意是“假设”，而 不是确认命题成立)。 3.第三步是总体结论，也不可少。
k (2k 2 1) Sk=12+22+…+k2+(k-1)2+ …+22+12 ， 3
=[12+22+…+k2+ (k-1)2 …+22+12] +(k+1)2+ k2 2 2+2k+1 = k ( 2k 1) + 2k2+2k+1 =Sk+2k 3 1 1 3+k+6k2+6k+3) = [(2k3+2)+6(k2+k)+(k+1)] = 3 (2k 3 = 1 (k+1)(2k2+4k+2+1) = 1 (k+1)[2(k+1)2+1],
3
∴ 当n=k+1时公式仍成立。

3
由1）、 2）可知，对一切n∈N ，均有
n( 2n 2 1) Sn 3
。
练习：
1 a n2 1、用数学归纳法证明1 a a a a 1 a （a≠1），在 1+a+a2 验证n=1等式成立时 ，左边应取的项是__________.
例2、求证:(n+1)(n+2)…(n+n)=2n• 1• 3•… •(2n-1)

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成才之路：P69----73
课堂练习二 下面是某同学用数学归纳法证明命题
1 1 1 n 1 2 2 3 n (n 1) n 1
的过程.你认为他的证法正确吗?为什么?
1 1 1 1 (1)当n=1时,左边= , 右边= 1 2 2 11 2
(2)假设n=k(k∈N+且k≥1)时命题成立 即 1 1 1 k 1 2 2 3 k (k 1) k 1 那么当n=k+1时, 1 1 1 1 1 ) 左边 (1 ) ( ) ( 2 2 3 k 1 k 2 1 k 1 =右边, 1 k 2 (k 1) 1 所以n=k+1时命题也成立. (3)由(1)(2)知,对一切自然数,命题均正确.
k (k + 1)(2k + 1) + (k + 1) 2 6 k (k + 1)(2k + 1) + 6(k + 1) 2 6 (k + 1)(2k 2 + 7 k + 6) 6 (k + 1)(k + 2)(2k + 3) 6 (k + 1) [(k + 1) + 1][2( k + 1) + 1] 6
复习引入
结果具有或然性
归纳推理
由特殊到一般
合情推理
类比推理
由特殊到特殊
推理
三段论
结果具有必然性
演绎推理
由一般到特殊
关系推理
完全归纳推理
新课引例 ①观察：6＝3＋3，8＝5＋3，10＝3＋7，12＝5＋7，14＝3＋ 11， 16＝5＋11，· · · 78＝67＋11，· · · 我们能得出什么结论？ 完全 任何一个大于等于 6的偶数，都可以表示成两个奇质数之和． 不完全归 归纳 纳法 法 ②教师根据成绩单，逐一核实后下结论：“全班及 格” ． 思考一：归纳推理的特征是什么？ 由特殊到一般

数学归纳法

数学归纳法
an an1 (n 1,2,3,...),猜想 1 an 其通项公式并用数学归 纳法进行证明！
步骤： 递推基础不可少，（基础）
归纳假设要用到，（依据）
结论写明莫忘掉。（结论）
例2：证明方法是否正确？为什么？
n 3 11n 6 ⑴ 1＋3＋5＋…＋(2n－1)＝ 6 解：等式成立。证明如下：
1 11 6 ∵n=1时，左边=1，右边= =1 ∴等式成立 6 8 22 6 n=2时，左边=1+3=4，右边= =4 ∴等式成立 6
本节课我们学习的知识： 1、由特殊到一般的归纳思想。
2、数学归纳法：证明与自然数n有关的命题。 步骤：⑴ 证明当n取第一个值n0时命题成立
⑵ 假设当n=k(k∈N,k≥n0)时命题成立， 证明当n=k+1时命题也成立。
由⑴ ⑵可知,对n∈N (n≥n0)命题都成立
两个步骤缺一不可
作业
an ，已知a1 1， 对于数列
答：不一定
举例说明：用数学归纳法证明 n边形 n n 3 的对角线的条数是 2 此时n取的第一值 n0 3
1、用数学归纳法证明 3＋5＋…＋(2n－1)＝﹝n＋1﹞﹝n－1﹞时， 2 时，等式成立。 第一步应验证n＝___
2、用数学归纳法证明1＋2＋3＋…＋2n＝n(2n＋1)时， ⑴ 在验证n=1时，左端计算所得项为 （ B ） (A) 1 (B) 1+2 (C) 1＋2＋3 (D) 1＋2＋3＋…＋2· 1 ⑵ 则当n＝k＋1时，左端应在n＝k时的左端加上
有一天，财主要请一位姓万的朋友，叫儿子写请帖。可 是老半天不见儿子写好，他就去催儿子。儿子抱怨说：“你 不识字，不知道写字有多难。此人姓万，我手都写酸了，才 刚刚写完三千横！”

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请问： 第②步中“当n=k+1时”的证明可否改换为：
1+3+5+……+(2k-1)+[2(k+1)-1]= 1+3+5+……+(2k-1)+(2k+1)

= （k +1)[1+ (2k +1)] = (k+1)2 ?为什么？
2
例3:用数学归纳法证明
1 +2 +3 +
2 2 2 2
n(n +1)(2n +1) +n = 6
证明：① n=1时：左边=1+1=2，右边=21•1=2，左边=右边，等 式成立。 ② 假设当n=k((k∈N ）时有： (k+1)(k+2)…(k+k)=2k• 1• 3•…• (2n-1), 当n=k+1时： 左边=(k+2)(k+3)…(k+k)(k+k+1)(k+k+2)
（ 2k+1)(2k+2) =(k+1)(k+2)(k+3)…(k+k)• k+1
n-1
例2、用数学归纳法证明1+3+5+……+(2n-1)=n2

（n∈N ）

证明：①当n=1时，左边=1，右边=1，等式成立。 ②假设n=k(k∈N ,k≥1)时等式成立,即： 1+3+5+……+(2k-1)=k2， 当n=k+1时： 1+3+5+……+(2k-1)+[2(k+1)-1]=k2+2k+1=(k+1)2， 所以当n=k+1时等式也成立。 由①和②可知，对n∈N ，原等式都成立。

数学归纳法


②一个袋子里共有18个球，归要纳判断这一袋球是红球,还是白球,
请问怎么办？
法
由一系列有限的特殊事例得出一般结论的推理方法，通常叫做
归纳法．
完全归纳法：
为了研究一组（或一个）对象所具有的属性，考查它的所有元
素并归纳得出结论。
不完全归纳法：
为了研究一组（或一个）对象所具有的属性，考查它的特有几
个或部分元素并归纳得出结论。
归纳假设要用到， 结论写明莫忘掉。
根据(1)和(2)，猜想对于任何 n∈ N * 都成立。
数学归纳法的概念
找准起点 奠基要稳
数学归纳法是一种证明与正整数有关的数学命题的重要方法。 主要有两个步骤、一个结论:
（1）证明当n取第一个值n0（如 n0=1或2等）时结论正确
（2）假设n=k (k∈N＋ ， 且k≥ n0)时结论正确， 证明n=k+1时结论也正确
条件（2）事实上给出了一个递推关系，换言之 就是假设第K块倒下，则相邻的第K+1块也倒下
数学归纳法.
多米诺骨牌游戏与我们前面所提到的要解决的问题的相似
性。 多米诺骨牌游戏原理
1
通项公式为an
明方法
n
的证
（1）第一块骨牌倒下。 （1）当n=1时，猜想成立
（2）若第k块倒下时， 则 相 邻 的 第 k+1 块 也 倒下。
证明:(1)当n=1时,左边=20=1, 右边=21 － 1=1 等式成立
（2）假设n=k时，等式成立，即
20 + 21 + 22 + • • • + 2k-1 = 2k－ 1
错误！ 那么，当n=k+1时 20 21 22 • • • 2k-1 2k

数学归纳法


k1k11
2
即当n=k+1时等式也成立
根据(1)和(2),可知等式对任何 n∈N*都成立.
错误原因：由证明n=k+1等式成立时
没有用到n=k命题成立的归纳假设
(2)第二步------归纳递推
在第二步证明中,必需以“n=k时命题成立”为条件，结合其 它数学知识，证明当“n=k+1时命题成立”,如果不使用归纳假 设这个条件,直接得n=k+1时命题成立,这样不能得出递推关系, 证明并没有完成.
思考：第二步，假设n=k(k≥n0)时命题成立，推证 n=k+1 时命题也成立。既然是假设，为什么还要把
它当成条件呢？
练习：用数学归纳法证明：1 2 3 nn n 2 1 n N *
证 1 当 明 n 1 时 ：， 1 ， 左 右 1 边 1 1 边 1 ，等式 2 假 n 设 k 时等式 1 2 2 3 成 k 立 kk ， 1 即
作业
教材P96 A组1（2），2
祝同学们学习进步!
问题情景
你见过多米诺骨牌游戏吗?请欣赏一 下那场景!
请同学们思考所有的骨牌都一一倒下只需满足 哪几个条件 1、第一块骨牌倒下
2、任意相邻的两块骨牌，前一块倒下一定导致 后一块倒下
条件（2）事实上给出了一个递推关系，换言之 就是假设第K块倒下，则相邻的第K+1块也倒下
这与我们要解决的 问题有相似性吗？
2.3数学归纳法
复习：什么是归纳推理？
这种由某类事物的部分对象具有某些特征,推 出该类事物的全部对象都具有这些特征的推理, 或者由个别事实概栝出一般结论的推理,称为 归纳推理.(简称：归纳)
特点: 由特殊
一般
1.在等差数列{an}中，已知首项为a1，公差为d，那么

数学归纳法(各种全)

解：设椭圆221mx ny +=，则4191m n m n +=⎧⎨+=⎩，解得335835m n ⎧=⎪⎪⎨⎪=⎪⎩，所以椭圆方程为223813535x y +=.六、数学归纳法（一）数学归纳法应用关于正整数的命题的证明可以用数学归纳法.本部分的数学归纳法指的是第一数学归纳法.第一数学归纳法的思维方法是：命题在1n =成立的条件下，如果n k =时命题成立能够推出1n k =+时命题也成立，我们就可以下结论，对于任意正整数命题都成立.1.证明等式典型例题：证明222112(1)(21)6n n n n ++⋅⋅⋅+=++，其中n N *∈.证明：（1）当1n =时，左边211==，右边11(11)(21)16=⨯⨯++=，等式成立.(2)假设n k =时等式成立，即222112(1)(21)6k k k k ++⋅⋅⋅+=++.则当1n k =+时，左边22222112(1)(1)(21)(1)6k k k k k k =++⋅⋅⋅+++=++++1(1)(2)(23)6k k k =+++1(1)[(1)1][2(1)1]6k k k =+++++=右边，即1n k =+时等式成立.根据（1）（2）可知，等式对于任意n N *∈都成立.2.证明不等式典型例题 1.证明1111223n n+++⋅⋅⋅+<，其中n N *∈.证明：（1）当1n =时，左边1=，右边2=，不等式成立.（2）假设n k =时不等式成立，即1111223k k+++⋅⋅⋅+<，则当1n k =+时，左边11111122311k k k k =+++⋅⋅⋅++<+++，右边21k =+.要证左边<右边，536只需证12211k k k +<++，而此式2112(1)k k k ⇔++<+2121k k k ⇔+<+24(1)(21)01k k k ⇔+<+⇔<，显然01<成立，故1n k =+时不等式也成立.综上所述，不等式对任意n N *∈都成立.典型例题2.已知,0a b >，a b ≠，n N ∈，2n ≥，证明()22n nn a b a b ++<.证明：（1）当2n =时，2222222222()2442a b a ab b a b a b +++++=<=，不等式成立.（2）假设n k =时不等式成立，即()22k kk a b a b ++<，则当1n k =+时，左边1()2k a b ++11224k k k k k k a b a b a b a b ab +++++++<⋅=，因为11()()k k k ka b a b ab +++-+()()k k a b a b =--0>，所以11k k k k a b ab a b +++<+，则111142k k k k k k a b a b ab a b ++++++++<，即111()22k k k a b a b +++++<，故1n k =+时不等式也成立.由（1）（2）可知，不等式对任意n N ∈，2n ≥都成立.3.证明整除性问题典型例题：证明22nn ab -能被a b +整除，其中n N *∈.证明：（1）当1n =时，显然22a b -能被a b +整除.（2）假设n k =时命题成立，即22k k a b -能被a b +整除，则当1n k =+时，2(1)2(1)2(1)2(1)2222k k k k k k a b a b a b a b ++++-=-+-222222()()k k k a a b b a b =-+-，因为22a b -与22k k a b -都能被a b +整除，所以222222()()k kk a a b b a b -+-能被a b +整除，即1n k =+时命题也成立.综上所述，原命题成立.4.证明几何问题典型例题：求证平面内n 条直线的交点最多有1(1)2n n -个.证明：平面内n 条直线的交点最多，只需任意三条直线不过同一点，任意两条直线不平行，下面在此条件下证明.（1）当2n =时，显然两条直线只有1个交点，而1(1)12n n -=，命题成立.537（2）假设n k =时命题成立，即平面内k 条直线的交点有1(1)2k k -个，则当1n k =+即平面上有1k +条直线时，因为任意三条直线不过同一点，任意两条直线不平行，所以第1k +条直线与原来的k 条直线共有k 个交点.这时交点的总个数为1(1)2k k k-+1(1)[(1)1)]2k k =++-，即1n k =+时命题也成立.综上所述，原命题成立.（二）其他数学归纳法除了第一数学归纳法以外，还有一些特别的数学归纳法.1.第二数学归纳法典型例题:设n N *∈，且12cos x x α+=，证明：12cos n n x n x α+=.证明：（1）当1n =时，12cos x xα+=，命题成立.当2n =时，21()x x +2212x x =++24cos α=，得2212cos 2x xα+=，命题成立.(2)假设n k ≤(2)k ≥时命题成立，则当1n k =+时，有111k k x x +++11111()()()k k k k x x x x x x--=++-+2cos 2cos 2cos(1)k k ααα=⋅--2[cos(1)cos(1)]2cos(1)k k k ααα=++---2cos(1)k α=+，故1n k =+时不等式也成立.由（1）（2）可知，命题成立.2.反向数学归纳法典型例题:函数:f N N **→满足（1）(2)2f =，（2）对任意正整数m 、n ，()()()f mn f m f n =，（3）当m n >时，()()f m f n >；证明：()f n n =.证明：令2m =、1n =，则(2)(2)(1)f f f =，故(1)1f =.令2m =、2n =，则22(2)(2)(2)2f f f ==；令22m =、2n =，则323(2)(2)(2)2f f f ==；由第一数学归纳法易证(2)2mmf =.下面用反向数学归纳法证()f n n =.（1）由上面推证知，存在无数个形如2m的数使()f n n =成立.（2）假设1n k =+时成立，即(1)1f k k +=+.因为存在t N *∈满足1212t t k +<+≤，则122t t k +≤<.设2t k s =+，s N *∈，则1112(2)(21)(22)(2)(21)(2)2t t t t t t t t f f f f s f f +++=<+<+<⋅⋅⋅<+<⋅⋅⋅<-<=.所以1(21),(22),,(2),,(21)t t t t f f f s f +++⋅⋅⋅+⋅⋅⋅-是区间1(2,2)t t +内的21t -个不同的自然数，538而区间1(2,2)t t +内恰好有21t -个不同的自然数121,22,,2,,21t t t t s +++⋅⋅⋅+⋅⋅⋅-，于是11(21)21,(22)22,,(21)21t t t t t t f f f +++=++=+⋅⋅⋅-=-，即()f k k =.由反向数学归纳法知，对任意n N *∈都有()f n n =.3.跷跷板数学归纳法典型例题:n S 是数列{}n a 的前n 项和，设223n a n =，213(1)1n a n n -=-+，n N *∈，求证：2211(431)2n S n n n -=-+及221(431)2n S n n n =++.证明：设()P n ：2211(431)2n S n n n -=-+；()Q n ：221(431)2n S n n n =++.（1）当1n =时，111S a ==，则(1)P 成立.（2）假设n k =时，则()P k 成立，即2211(431)2k S k k k -=-+，则2212k k k S S a -=+=221(431)32k k k k -++21(431)2k k k =++，即()Q k 成立.当()Q k 成立时，21k S +=221k k S a ++21(431)3(1)12k k k k k =+++++21(1)[4(1)3(1)1]2k k k =++-++，即(1)P k +成立.由跷跷板数学归纳法可知，原命题成立.4.二重数学归纳法典型例题:设(,)f m n 满足(,)(,1)(1,)f m n f m n f m n ≤-+-，其中,m n N *∈，1mn >，且(,1)(1,)1f m f n ==，证明：12(,)m m n f m n C -+-≤.证明：设命题(,)P m n 表示(,)f m n .（1）112(,1)1m m f m C -+-==，012(1,)1n f n C +-==，即(,1)P m 、(1,)P n 成立.（2）假设(1,)P m n +、(,1)P m n +成立，即1(1,)m m n f m n C +-+≤，11(,1)m m n f m n C -+-+≤.则(1,1)(1,)(,1)f m n f m n f m n ++≤+++11111(1)(1)2m m m m m n m n m n m n C C C C -+++-+-++++-≤+==，即(1,1)P m n ++也成立.由二重数学归纳法知，原不等式成立.539。

数学归纳法

概述：数学上证明与自然数N 有关的命题的一种特殊方法，它主要用来研究与正整数有关的数学问题，在高中数学中常用来证明等式成立和数列通项公式成立。

基本步骤：（一）第一数学归纳法：一般地，证明一个与正整数n 有关的命题，有如下步骤： （1）证明当n 取第一个值时命题成立；（2）假设当n=k （k≥n 的第一个值，k 为自然数）时命题成立，证明当n=k+1时命题也成立。

（二）第二数学归纳法：对于某个与自然数 有关的命题 ， （1）验证 n=n0时 P(n)成立；（2）假设 no<n<k 时 P(n)成立，并在此基础上，推出 P(k+1)成立。

综合（1）（2）对一切自然数 n(>n0)，命题P(n)都成立； （三）倒推归纳法（反向归纳法）：（1）对于无穷多个自然数命题 P （n ）成立； （2）假设P(k+1)成立，并在此基础上推出P(k)成立， 综合（1）（2），对一切自然数 n(>n0),命题P(n)都成立； （四）螺旋式归纳法P （n ），Q （n ）为两个与自然数 有关的命题，假如 （1）P(n0)成立；（2）假设 P(k) (k>n0)成立，能推出Q(k)成立，假设 Q(k)成立，能推出 P(k+1)成立；综合（1）（2）,对于一切自然数n （>n0），P(n),Q(n)都成立；数学归纳法练习题一、选择题1. 用数学归纳法证明121*11(,1)1n n a a a an N a a++-++++=∈≠- ,在验证1n =成立时,左边所得的项为( )A. 1B. 1+aC. 21a a ++ D. 231a a a +++ 2. 用数学归纳法证明111111111234212122n n n n n-+-++-=+++-++ *()n N ∈,则从k 到k+1时,左边所要添加的项是( )A.121k + B. 112224k k -++ C. 121k -+ D. 112122k k -++3. 用数学归纳法证明“当n 为正奇数时,n n x y +能被x y +整除”第二步的归纳假设应写成( )A. 假设*21()n k k N =+∈正确,再推23n k =+正确;B. 假设*21()n k k N =-∈正确,再推21n k =+正确;C. 假设*()n k k N =∈正确,再推1n k =+正确;D. 假设(1)n k k =≥正确,再推2n k =+正确.二、填空题4. 数列{}n a 中,111,21n n n a a a a +==+,则数列的前5项为 , 猜想它的通项公式是5. 猜想1=1, 1-4=-(1+2), 1-4+9=1+2+3, ……的第n 个式子为6. 用数学归纳法证明“当*2351,12222n n N -∈+++++ 时是31的倍数”时,1n =时的原式是 ,从k 到1k +时需添加的项是三、解答题7. 求证:对于整数0n ≥时,2211112n n +++能被133整除.8. 若*n N ∈,求证:23sin coscoscoscos 22222sin2nn nααααα=.9. 若*n N ∈,且2n ≥,求证:1111312224n n n +++>++ . 10. 数列{}n a 满足,2n n S n a =-*n N ∈,先计算前4项后,猜想n a 的表达式,并用数学归纳法证明.11. 是否存在自然数m ,使得 ()(27)39n f n n =+⋅+ 对于任意*n N ∈都能被m 整除,若存在,求出m ;若不存在,请说明理由. 12. 正数数列{}n a 中,11()2n n nS a a =+.⑴ 求123a a a 、、;⑵ 猜想n a 的表达式并证明. 13. 设*n N ∈,试比较 3(1)!nn +和 的大小.【答案】一、选择题1. C2. D3. B 二、填空题4. 11111,,,,23456. 11n a n =+(*n N ∈)5. 12114916(1)(1)(1234)n n n n ++-+-++-=-+++++6. 23412222++++, 55152535422222kk k k k ++++++++.三、解答题(略解)7. ① 0n =时,原式=21112133+=能被133整除;② 设n k =时,2211112k k +++ 能被133整除1n k =+时,原式=3232212123111211(1112)111212k k k k k k +++++++=+-⋅+ =2212111(1112)12133k k k +++++⋅能被133整除. 8. ① 1n =时,左=cos2α, 右=sin cos22sin2ααα=,左=右② 设n k =时, 23sin coscoscoscos 22222sin2kk kαααααα=1n k =+时, 2311sin (coscoscoscos )cos cos2222222sin2kk k kkαααααααα++⋅=⋅=111111sin sin cos22sincos2sin222k k k k k k αααααα++++++⋅=9. ① 2n =时,左=11713341224+=> ② 设n k =时, 1111312224k k k +++>++ 1n k =+时, 左=1111222122k k k k +++++++ =111111()12212122k k k k k k +++-+++++++ ∵111110*********k k k k k -++=->+++++,∴左>1324.10. 计算得: 123437151,,,248a a a a ====.猜想 1212n n n a --=① 1n =时,计算得11a =,结论成立;② 设n k =时, 1212k k k a --=, 则1n k =+时, 11111121[2(1)](2)2k k k k k k k k a S S k a k a a +++++--=-=+---=-∴11212k k ka ++-=. 11. (1)36,(2)108,(3)360f f f ===.猜想m 的值应为其最大公约数36. ① 1n =显然正确.② 设n k =正确即 ()(27)39k f k k =+⋅+ 能被36整除. 则1n k =+时 ,11(1)[2(1)7]393[(27)39]27239k k k f k k k +++=++⋅+=+⋅+-+⋅+13[(27)39]18(31)k k k -=+⋅++-能被36整除.12. ⑴ 11a =,21a =,3a = ⑵ 猜想: n a =① 1n =显然正确. ② 设n k =正确即n a =则 1n k =+ 时111111[()2k k k k k a S S a a ++++=-=+-21110k k a ++⇒+-=,解得(取正值) 1k a +=13. 3=31>(1+1)!=2, 9=32>(2+1)!=6, 27=33>(3+1)!=24, 81=34<(4+1)!=120, ……猜想: 1,2,3n = 时,3(1)!n n >+; 当 4n ≥ 时, 3(1)!nn <+① 4n = 时,显;② 设n k =时,结论成立, 即 3(1)!kk <+ 则 1n k =+ 时1333(1)!3(1)!(2)(2)!k k k k k k +=⋅<+⋅<+⋅+=+ (∵4,32k k ≥∴<+ )即 13(11)!k k +<++。

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数学归纳法 导学目标： 1.了解数学归纳法的原理.2.能用数学归纳法证明一些简单的数学命题．

自主梳理 1．归纳法 由一系列有限的特殊事例得出________的推理方法叫归纳法．根据推理过程中考查的对象是涉及事物的全体或部分可分为____归纳法和________归纳法． 2．数学归纳法 设{Pn}是一个与正整数相关的命题集合，如果：(1)证明起始命题________(或________)成立；(2)在假设______成立的前提下，推出________也成立，那么可以断定{Pn}对一切正整数成立． 3．数学归纳法证题的步骤 (1)(归纳奠基)证明当n取第一个值__________时命题成立． (2)(归纳递推)假设______________________________时命题成立，证明当________时命题也成立．只要完成这两个步骤，就可以断定命题对从n0开始的所有正整数n都成立． 自我检测

1．用数学归纳法证明：“1＋a＋a2＋…＋an＋1＝1－an＋21－a (a≠1)”在验证n＝1时，左端计算所得的项为( ) A．1 B．1＋a C．1＋a＋a2 D．1＋a＋a2＋a3 2．如果命题P(n)对于n＝k (k∈N*)时成立，则它对n＝k＋2也成立，又若P(n)对于n＝2时成立，则下列结论正确的是( ) A．P(n)对所有正整数n成立 B．P(n)对所有正偶数n成立 C．P(n)对所有正奇数n成立 D．P(n)对所有大于1的正整数n成立

3．(2017·台州月考)证明n＋22<1＋12＋13＋14＋…＋12n1)，当n＝2时，中间式子等于( ) A．1 B．1＋12

C．1＋12＋13 D．1＋12＋13＋14 4．用数学归纳法证明“2n>n2＋1对于n>n0的正整数n都成立”时，第一步证明中的起始值n0应取( ) A．2 B．3 C．5 D．6 5．用数学归纳法证明“n3＋(n＋1)3＋(n＋2)3 (n∈N*)能被9整除”，要利用归纳假设证n＝k＋1时的情况，只需展开( ) A．(k＋3)3 B．(k＋2)3 C．(k＋1)3 D．(k＋1)3＋(k＋2)3

探究点一 用数学归纳法证明等式 例1 对于n∈N*，用数学归纳法证明： 1·n＋2·(n－1)＋3·(n－2)＋…＋(n－1)·2＋n·1＝16n(n＋1)(n＋2)． 变式迁移1 (2017·金华月考)用数学归纳法证明： 对任意的n∈N*,1－12＋13－14＋…＋12n－1－12n＝1n＋1＋1n＋2＋…＋12n.

探究点二 用数学归纳法证明不等式 例2 用数学归纳法证明：对一切大于1的自然数，不等式

1＋

1

3

1＋

15…1＋12n－1>2n＋1

2均成立．

变式迁移2 已知m为正整数，用数学归纳法证明：当x>－1时，(1＋x)m≥1＋mx. 探究点三 用数学归纳法证明整除问题 例3 用数学归纳法证明：当n∈N*时，an＋1＋(a＋1)2n－1能被a2＋a＋1整除． 变式迁移3 用数学归纳法证明：当n为正整数时，f(n)＝32n＋2－8n－9能被64整除． 从特殊到一般的思想 例 (14分)已知等差数列{an}的公差d大于0，且a2、a5是方程x2－12x＋27＝0的两根，

数列{bn}的前n项和为Tn，且Tn＝1－12bn. (1)求数列{an}、{bn}的通项公式； (2)设数列{an}的前n项和为Sn，试比较1bn与Sn＋1的大小，并说明理由． 【答题模板】

解 (1)由已知得 a2＋a5＝12a2a5＝27，又∵{an}的公差大于0，

∴a5>a2，∴a2＝3，a5＝9.∴d＝a5－a23＝9－33＝2，a1＝1， ∴an＝1＋(n－1)×2＝2n－1.[2分] ∵Tn＝1－12bn，∴b1＝23，当n≥2时，Tn－1＝1－12bn－1，

∴bn＝Tn－Tn－1＝1－12bn－1－12bn－1， 化简，得bn＝13bn－1，[4分] ∴{bn}是首项为23，公比为13的等比数列， 即bn＝23·13n－1＝23n，

∴an＝2n－1，bn＝23n.[6分]

(2)∵Sn＝1＋2n－12n＝n2，∴Sn＋1＝(n＋1)2，1bn＝3n2. 以下比较1bn与Sn＋1的大小： 当n＝1时，1b1＝32，S2＝4，∴1b1当n＝3时，1b3＝272，S4＝16，∴1b31b4

>S5. 猜想：n≥4时，1bn

>Sn＋1.[9分]

下面用数学归纳法证明： ①当n＝4时，已证． ②假设当n＝k (k∈N*，k≥4)时，1bk>Sk＋1，即3k2>(k＋1)2.[10分]

那么，n＝k＋1时，1bk＋1＝3k＋12＝3·3k2>3(k＋1)2＝3k2＋6k＋3＝(k2＋4k＋4)＋2k2＋2k－1>[(k＋1)＋1]2＝S(k＋1)＋1，∴n＝k＋1时，1bn>Sn＋1也成立．[12分] 由①②可知n∈N*，n≥4时，1bn>Sn＋1都成立． 综上所述，当n＝1,2,3时，1bn1bn

>Sn＋1.[14分]

【突破思维障碍】 1．归纳——猜想——证明是高考重点考查的内容之一，此类问题可分为归纳性问题和存在性问题，本例中归纳性问题需要从特殊情况入手，通过观察、分析、归纳、猜想，探索出一般规律． 2．数列是定义在N*上的函数，这与数学归纳法运用的范围是一致的，并且数列的递推公式与归纳原理实质上是一致的，数列中有不少问题常用数学归纳法解决． 【易错点剖析】 1．严格按照数学归纳法的三个步骤书写，特别是对初始值的验证不可省略，有时要取两个(或两个以上)初始值进行验证；初始值的验证是归纳假设的基础．

2．在进行n＝k＋1命题证明时，一定要用n＝k时的命题，没有用到该命题而推理证明的方法不是数学归纳法．

1．数学归纳法：先证明当n取第一个值n0时命题成立，然后假设当n＝k (k∈N*，k≥n0)时命题成立，并证明当n＝k＋1时命题也成立，那么就证明了这个命题成立．这是因为第一步首先证明了n取第一个值n0时，命题成立，这样假设就有了存在的基础，至少k＝n0时命题成立，由假设合理推证出n＝k＋1时命题也成立，这实质上是证明了一种循环，如验证了n0＝1成立，又证明了n＝k＋1也成立，这就一定有n＝2成立，n＝2成立，则n＝3成立，n＝3成立，则n＝4也成立，如此反复以至无穷，对所有n≥n0的整数就都成立了． 2．(1)第①步验证n＝n0使命题成立时n0

不一定是1，是使命题成立的最小正整数．

(2)第②步证明n＝k＋1时命题也成立的过程中一定要用到归纳递推，否则就不是数学归纳法．

(满分：75分) 一、选择题(每小题5分，共25分) 1．用数学归纳法证明命题“当n是正奇数时，xn＋yn能被x＋y整除”，在第二步时， 正确的证法是( ) A．假设n＝k(k∈N*)时命题成立，证明n＝k＋1命题成立 B．假设n＝k(k是正奇数)时命题成立，证明n＝k＋1命题成立 C．假设n＝2k＋1 (k∈N*)时命题成立，证明n＝k＋1命题成立 D．假设n＝k(k是正奇数)时命题成立，证明n＝k＋2命题成立

2．已知f(n)＝1n＋1n＋1＋1n＋2＋…＋1n2，则( )

A．f(n)中共有n项，当n＝2时，f(2)＝12＋13 B．f(n)中共有n＋1项，当n＝2时，f(2)＝12＋13＋14 C．f(n)中共有n2－n项，当n＝2时，f(2)＝12＋13 D．f(n)中共有n2－n＋1项，当n＝2时，f(2)＝12＋13＋14 3．如果命题P(n)对n＝k成立，则它对n＝k＋1也成立，现已知P(n)对n＝4不成立，则下列结论正确的是( ) A．P(n)对n∈N*成立 B．P(n)对n>4且n∈N*成立 C．P(n)对n<4且n∈N*成立 D．P(n)对n≤4且n∈N*不成立

4．(2017·日照模拟)用数学归纳法证明1＋2＋3＋…＋n2＝n4＋n22，则当n＝k＋1时左端应在n＝k的基础上加上( ) A．k2＋1 B．(k＋1)2

C.k＋14＋k＋122 D．(k2＋1)＋(k2＋2)＋(k2＋3)＋…＋(k＋1)2 5．(2017·湛江月考)已知f(x)是定义域为正整数集的函数，对于定义域内任意的k，若f(k)≥k2成立，则f(k＋1)≥(k＋1)2成立，下列命题成立的是( ) A．若f(3)≥9成立，且对于任意的k≥1，均有f(k)≥k2成立 B．若f(4)≥16成立，则对于任意的k≥4，均有f(k)C．若f(7)≥49成立，则对于任意的k<7，均有f(k)D．若f(4)＝25成立，则对于任意的k≥4，均有f(k)≥k2成立 二、填空题(每小题4分，共12分) 6．用数学归纳法证明“1＋2＋3＋…＋n＋…＋3＋2＋1＝n2 (n∈N*)”时，从n＝k到n＝k＋1时，该式左边应添加的代数式是________．

7．(2017·南京模拟)用数学归纳法证明不等式1n＋1＋1n＋2＋…＋1n＋n>1324的过程中，由n＝k推导n＝k＋1时，不等式的左边增加的式子是______________． 8．凸n边形有f(n)条对角线，凸n＋1边形有f(n＋1)条对角线，则f(n＋1)＝f(n)＋________. 三、解答题(共38分)

9．(12分)用数学归纳法证明1＋n2≤1＋12＋13＋…＋12n≤12＋n (n∈N*)．