七年级数学下册8.1二元一次方程组教案

8.1 二元一次方程组（大单元教学设计）一、【单元目标】通过情景导入，了解二元一次方程与二元一次方程组的概念与区别，学会根据题目的条件列出二元一次方程或二元一次方程组，学会根据实际情况，找出二元一次方程组的整数解情况等；（1）用生活中常见的事例，让学生可以根据题目中所给的条件，列出二元一次方程组，从中提炼出二元一次方程和二元一次方程组的概念；由之前所学内容“一元一次方程”，归纳总结出二元一次方程与一元一次方程的联系与区别，从而加深学生对方程的理解；（2）通过小组合作探究，让学生参与教学过程，加深对二元一次方程和二元一次方程组解的理解，同时会根据实际情况找出满足要求的整数解，提升了学生的数学抽象素养，进一步发展了学生的类比推理素养；（3）通过典型例题的训练，加强学生的做题技巧，训练做题的方法，提升学生的逻辑推理素养；（4）在师生共同思考与合作下，学生通过概括与抽象、类比的方法，体会了归因与转化的数学思想，同时提升了学生的数学抽象素养，并发展了学生的逻辑推理素养；（5）通过生活中的事例，提高学生对周围事物的感知能力，同时激发学生的学习兴趣，提升学生的人文素养；二、【单元知识结构框架】二元一次方程组{二元一次方程及其解的定义二元一次方程组及其解的定义列二元一次方程组三、【学情分析】1．认知基础二元一次方程和二元一次方程组及其解的定义，对我们后面学习的消元法解二元一次方程组和二元一次方程组的应用题具有关键作用，本节内容强调基础概念，锻炼学生的思维能力和判断能力；2.认知障碍学生在理解二元一次方程组的概念时，会和分式方程混淆，导致概念不清晰；在讲到二元一次方程的解时，要理解此时的解具有无数组，但一旦限定在整数范围内，那就要根据题目实际含义缩小范围；根据题意列二元一次方程组时，要读清题意，加强对逻辑关系的分辨，准确列出二元一次方程组；四、【教学设计思路/过程】课时安排： 约1课时教学重点： 二元一次方程及其解的定义，二元一次方程组及其解的定义；根据实际情况列二元一次方程组；教学难点： 二元一次方程组的认识与识别，根据二元一次方程组解的情况求参数的值；五、【教学问题诊断分析】 情境导入小红到邮局寄挂号信，需要邮费3元8角．小红有票额为6角和8角的邮票若干张，问各需要多少张这两种票额的邮票？这个问题中有几个未知数，能列一元一次方程求解吗？如果设需要票额为6角的邮票x 张，需要票额为8角的邮票y 张，你能列出方程吗？8.1.1二元一次方程及其解的定义问题1（利用二元一次方程的定义求参数）：已知|m －1|x |m |＋y 2n －1＝3是二元一次方程，则m ＋n ＝________．问题2（二元一次方程的解）：已知⎩⎪⎨⎪⎧x ＝1，y ＝－1是方程2x －ay ＝3的一个解，那么a 的值是( )A ．1B ．3C ．－3D ．－1 8.1.2二元一次方程组及其解的定义问题3（识别二元一次方程组）：有下列方程组：①⎩⎪⎨⎪⎧xy ＝1，x ＋y ＝2；②⎩⎪⎨⎪⎧x －y ＝3，1x＋y ＝1；③⎩⎪⎨⎪⎧2x ＋z ＝0，3x －y ＝15；④⎩⎪⎨⎪⎧x ＝5，x 2＋y3＝7；⑤⎩⎪⎨⎪⎧x ＋π＝3，x －y ＝1，其中二元一次方程组有( )A ．1个B ．2个C ．3个D ．4个问题4（利用二元一次方程组的解求参数的值）甲、乙两人共同解方程组⎩⎪⎨⎪⎧ax ＋5y ＝15；①4x －by ＝－2.②由于甲看错了方程①中的a ，得到方程组的解为⎩⎪⎨⎪⎧x ＝－3，y ＝－1；乙看错了方程②中的b ，得到方程组的解为⎩⎪⎨⎪⎧x ＝5，y ＝4.试计算a 2014＋(－110b )2015的值．8.1.3列二元一次方程组问题5：小刘同学用10元钱购买了两种不同的贺卡共8张，单价分别是1元与2元．设他购买了1元的贺卡x 张，2元的贺卡y 张，那么可列方程组( )A.⎩⎪⎨⎪⎧x ＋y 2＝10，x ＋y ＝8B.⎩⎪⎨⎪⎧x 2＋y 10＝8，x ＋2y ＝10C.⎩⎪⎨⎪⎧x ＋y ＝10，x ＋2y ＝8D.⎩⎪⎨⎪⎧x ＋y ＝8，x ＋2y ＝10六、【教学成果自我检测】 1．课前预习设计意图：落实与理解教材要求的基本教学内容. 1．下列方程组是二元一次方程组的是（ ） A ．57x y y z +=⎧⎨=+⎩B ．24257x y x y ⎧+=⎨+=⎩C ．23xy x y =⎧⎨+=⎩D ．515328y x y =⎧⎨+=⎩2．下列方程的解为21x y =⎧⎨=-⎩的是（ ）A ．3410x y -=B ．1232x y += C ．32x y += D ．2()6x y y -=3．已知12x y =-⎧⎨=⎩是二元一次方程组321x y mnx y +=⎧⎨-=⎩的解，则m n +的值是( )A ．2B ．2-C ．3D ．3-4．若方程()135mm x y ++=是关于x ，y 的二元一次方程，则m 的值为 ______ ．5．已知11x y =⎧⎨=-⎩是方程35x ay -=的一个解，那么a 的值是______．6．哪些是二元一次方程？为什么？（1）x 2＋y ＝20；（2）2x ＋5＝10；（3）2a ＋3b ＝1；（4）x 2＋2x ＋1＝0；（5）2x ＋y ＋z ＝1.2．课堂检测设计意图：例题变式练.【变式1】在下列方程组中，不是二元一次方程组的是（ ）A ．331x y y -=⎧⎨=-⎩B ．1321x y +=⎧⎨+=-⎩C ．23321x y x y +=⎧⎨-=-⎩D ．34xy x y ⎧=⎪⎨⎪-=⎩【变式2】已知21x y =⎧⎨=-⎩是二元一次方程7y kx -=的解，则k 的值是（ ）A ．2B ．2-C ．4D ．4-【变式3】已知21x y =⎧⎨=⎩是方程3ax by +=的解，则代数式631a b +-的值为_________．【变式4】已知124x y ⎧=⎪⎨⎪=⎩是二元一次方程2x y a +=的一个解． (1)则=a _________(2)试直接写出二元一次方程2x y a +=的所有正整数解． 3．课后作业设计意图：巩固提升.1．下列是二元一次方程35x y +=的解为（ ）A ．10x y =⎧⎨=⎩B ．21x y =⎧⎨=-⎩C ．12x y =-⎧⎨=-⎩D ．05x y =⎧⎨=-⎩2．下列方程组中，表示二元一次方程组的是（ ）A ．35x y z x +=⎧⎨+=⎩B ．51x y x y +=⎧⎪⎨=⎪⎩C ．2512x y x y +=⎧⎨+=⎩D ．11122x y y x =+⎧⎪⎨+=⎪⎩3．下列方程中，二元一次方程的个数是（ ） ①423=-x ，②57=+y x ，③02=-y x ，④x y =，⑤122=++x yx ，⑥2210x x -+=，⑦z y x 4=+-，⑧20.x y -=，⑨1xy =． A ．2B ．3C ．4D ．54．方程22136m n x y -+-=是关于x ，y 的二元一次方程，则2m n +的值为______．5．若32x y =⎧⎨=-⎩是二元一次方程2ax by +=-的一个解，则322025a b -+的值为______________．6．哪些是二元一次方程组？为什么？（1）32950x y y x -=⎧⎨+=⎩；（2）39835x y z y z -+=⎧⎨+=⎩；（3）21x x y =⎧⎨+=⎩；（4）54xy y x y +=⎧⎨-=⎩7．（1）找到几组适合方程0x y +=的x ，y 值； （2）找到几组适合方程2x y -=的x ，y 值；（3）找出一组x ，y 值，使它们同时适合方程0x y +=和2x y -=；（4）根据上面的结论，你能直接写出二元一次方程组02x y x y +=⎧⎨-=⎩的解吗？七、【教学反思】。

课题：8.1二元一次方程组教学目标：了解二元一次方程组及其解的概念重点：二元一次方程组及其解的概念难点：理解二元一次方程组的解的含义教学流程：一、情境引入问题：篮球联赛中，每场比赛都要分出胜负，每队胜一场得2分，负一场得1分．某队在10场比赛中得到16分，那么这个队胜负场数分别是多少？追问：如何列一元一次方程来解决这个问题？解：设胜x场，则负(10－x)场.2x＋(10－x)＝16解得：x＝6∴10－x＝4答：这个队胜了6场，负了4场.二、探究1问题：篮球联赛中，每场比赛都要分出胜负，每队胜一场得2分，负一场得1分．某队在10场比赛中得到16分，那么这个队胜负场数分别是多少？追问1：能不能根据题意直接设两个未知数，使列方程变的容易呢？分析：胜的场数＋负的场数＝总场数胜场积分＋负场积分＝总积分胜负合计场数x y10积分2x y16x ＋y ＝102x ＋y ＝16追问2：想一想：这两个方程与一元一次方程有什么不同？它们有什么特点？x ＋y ＝102x ＋y ＝16特点：(1)都含有2个未知数x 和y ； (2)未知数的项的次数是1； (3)方程的左右两边都是整式．概念：像这样，含有两个未知数，并且含有未知数的项的次数都是1的方程，叫做二元一次方程．练习1：判断下列方程哪些是二元一次方程，哪些不是？并说一说理由. (1)2x ＋3y ＝11；(2)2x ＋6xy ＝0；(3)3x －2π＝25；2(4)78x y+=-. 答案：是；不是；不是；不是. 三、探究2问题：篮球联赛中，每场比赛都要分出胜负，每队胜一场得2分，负一场得1分．某队在10场比赛中得到16分，那么这个队胜负场数分别是多少？胜的场数＋负的场数＝总场数 即：x ＋y ＝10 胜场积分＋负场积分＝总积分 即：2x ＋y ＝16 强调：未知数x ，y 必须同时满足这两个方程10216x y x y +=⎧⎨+=⎩这就组成了一个方程组． 想一想：这个方程组含有几个未知数？含有未知数的项的次数是多少？概念：含有两个未知数，每个未知数的项的次数都是1，并且一共有两个方程，像这样的方程组叫做二元一次方程组．练习2：判别下列各方程组是不是二元一次方程组？并说明理由.25(1)33x y x y +=⎧⎨-=-⎩；5(2)7m n n a =+⎧⎨+=⎩；26(3)1p q pq +=⎧⎨=⎩；25(4)31x y +=⎧⎨-=⎩. 答案：是；不是；是；不是. 四、探究3问题：篮球联赛中，每场比赛都要分出胜负，每队胜一场得2分，负一场得1分．某队在10场比赛中得到16分，那么这个队胜负场数分别是多少？追问1：满足方程：x＋y＝10，且符合问题的实际意义的值有哪些？把它们填入表中.解.通常记作：x a y b=⎧⎨=⎩追问2：如果不考虑方程表示的实际意义,这个方程还有解吗？答案：有，111xy=-⎧⎨=⎩，0.59.5xy=⎧⎨=⎩，…强调：一般地，一个二元一次方程有无数个解.练习3：填表，使上下每对x，y的值是方程3x＋y＝5的解.答案：11；5；3.8；－1；6；2；3；3.五、探究4问题：篮球联赛中，每场比赛都要分出胜负，每队胜一场得2分，负一场得1分．某队在10场比赛中得到16分，那么这个队胜负场数分别是多少？满足方程：x＋y＝10，答案：有，64xy=⎧⎨=⎩，像这样同时满足这两个方程的的，叫做这两个方程的公共解.概念：组成二元一次方程组的两个方程的公共解，叫做二元一次方程组的解．练习4：二元一次方程组810x y x y +=⎧⎨-=⎩的解是( )3A.5x y =⎧⎨=⎩ 11B.1x y =⎧⎨=⎩ 9C.1x y =⎧⎨=-⎩ 1.5D. 6.5x y =⎧⎨=⎩答案：C 六、应用提高对下面的问题，列出二元一次方程组，并根据问题的实际意义，找出问题的解. 你知道1听果奶和1听可乐各多少钱吗？解:设1听果奶x 元,1听可乐y 元，得：0.54203x yx y +=⎧⎨+=-⎩解得：33.5x y =⎧⎨=⎩答：1听果奶3元,1听可乐3.5元. 七、体验收获今天我们学习了哪些知识？1.举例说明二元一次方程、二元一次方程组的概念;2.举例说明二元一次方程、二元一次方程组的解的概念. 八、达标测评1.下面方程是二元一次方程的有__________.(只填写序号)①x 2＋y ＝20；②2x ＋5＝18；③2m ＋3n ＝5.5；④x 2＋2x ＋1＝0；⑤x ＋y ＋z ＝4 答案：③追问：猜一猜：方程⑤这是什么方程呢？方程④呢？ 答案：三元一次方程；一元二次方程2.已知关于x 、y 的二元一次方程组3253x y x y k -=⎧⎨-=⎩的解中有x ＝－1，求y 、k 的值.解：把x ＝－1代入3x －2y ＝5， 得：y ＝－4，把x ＝－1，y ＝－4代入3x －y ＝k ， 解得：k ＝1 ∴y ＝－4，k ＝1.3.请你写出满足二元一次方程2x ＋3y ＝15的所有自然数解.解：满足二元一次方程2x ＋3y ＝15的所有自然数解有：05x y =⎧⎨=⎩；33x y =⎧⎨=⎩；61x y =⎧⎨=⎩.对下面的问题，列出二元一次方程组，并根据问题的实际意义，找出问题的解. 4.加工某种产品需经两道工序，第一道工序每人每天可完成900件，第二道工序每人每天可完成1200件.现有7位工人参加这两道工序，应怎样安排人力，才能使每天第一、第二道工序所完成的件数相等？解：设x 位工人参加第一道工序，y 位工人参加第二道工序，可列二元一次方程组：79001200.x y x y +=⎧⎨=⎩，解得：43x y =⎧⎨=⎩ 答：4位工人参加第一道工序，3位工人参加第二道工序. 九、布置作业教材90页习题8.1第2、3题．。

8.1.1 二元一次方程组（1）（3）你能给它取名吗?（4）你能给它下一个定义吗?含有两个未知数,并且所含未知数的项的次数都是1的方程叫做二元一次方程.请判断下列各方程中，哪些是二元一次方程，哪些不是？并说明理由。

(1)2x+5y=10 (2) 2x+y+z=1 (3)x2+y=20(4)2x+1=0 (5) (6)2x+10xy =0在上面的方程x+y=22 和2x+y=40 中,X，Y的含义分别相同吗?X,Y 的含义分别相同.因而X,Y必须同时满足方程x+y=22 和2x+y=40把它们联立起来,得{x+y=22 2x+y=40结论：像这样把含有两个相同未知数的二元一次方程合在一起就组成了一个二元一次方程组。

判断下列方程组哪些是二元一次方程组？一元一次方程与二元一次方程组的对比表学习目标2：掌握二元一次方程组的解活动2满足方程x+y=22①且符合问题的实际意义的x 、y 的值有哪些？在一元一次方程中使方程两边的值相等的未知数的值叫一元一次方程的解，故可类推出使二元一次方程两边的值相等的两个未知数的值，叫做二元一次方程的解。

抛开实际意义，二元一次方程有无数个解.发现x＝18,y＝4是这两个方程的公共解，，把x＝18,y＝4叫做二元一次方程组的解，这个解通常记作一般地，二元一次方程组的两个方程的公共解，叫做这个二元一次方程组的解。

引，得出结论。

【教学提示】学生独立思考，然后再分组交流，教师深入小组，参与活动，关注、学生能否理解概念，并紧扣概念解决问题。

二元一次方程组有且只有一组解。

你能告诉大家如何检验它们的解吗？答：判断一对数是不是方程组的解,应把这对数值代入方程组里的每个方程，同时满足所有方程的一对未知数的值才是方程组的解.学习目标3：利用二元一次方程组解实际问题著名的“鸡兔同笼”问题：“今有鸡兔同笼，上有三十五头，下有九十四足，问鸡兔各几何？”解：设鸡有x只，兔y只，根据题意，得三、巩固训练，熟练技能1．下列方程中，是二元一次方程的是（）A．3x－2y=4z B．6xy+9=0C．1x+4y=6 D．4x=24y-2．下列方程组中，是二元一次方程组的是（）A．228423119...23754624x yx y a b xB C Dx y b c y x x y+=+=-=⎧⎧=⎧⎧⎨⎨⎨⎨+=-==-=⎩⎩⎩⎩3．二元一次方程5a－11b=21 （）A．有且只有一解B．有无数解C．无解D．有且只有两解4．方程y=1－x与3x+2y=5的公共解是（）A．3333...2422x x x xB C Dy y y y==-==-⎧⎧⎧⎧⎨⎨⎨⎨===-=-⎩⎩⎩⎩5．下列各式，属于二元一次方程的个数有（）①xy+2x－y=7；②4x+1=x－y；③1x+y=5；④x=y；⑤x2－y2=2⑥6x－2y ⑦x+y+z=1 ⑧y（y－1）=2y2－y2+xA．1 B．2 C．3 D．4【教学提示】根据一元一次方程的解的概念类比出二元一次方程的解的概念。

8.1二元一次方程组教学目标：使学生掌握二元一次方程、二元一次方程组的概念，会把二元一次方程化为用一个未知数的代数式表示另一个未知数的形式。

使学生了解二元一次方程、二元一次方程组的解的含义，会检验一对数是不是它们的解。

教学重点难点重点：是学生认识到一对数必须同时满足两个二元一次方程，才是相应的二元一次方程组的解。

掌握检验一对数是否是某个二元一次方程的解的书写格式。

难点：理解二元一次方程组的解的含义。

课时安排 1课时教与学互动设计（一） 创设情境，导入新课鸡兔同笼问题：今有鸡兔同笼，上有三十五头，下有九十四足。

问鸡兔各几何？ 学生思考自行解答，教师巡视。

最后集体讨论解决方案。

设有x 只鸡，则有)35(x -只兔子。

根据题意得： 94)35(42=-+x x ……交流 此时复习一元一次方程的有关概念,“元”指什么？“次”指什么？教师：上面的问题还有其他的方法求解吗？（引入新课）（二） 合作交流，解读探究自主探索 放学生独立看书、自学教材。

想一想 上面的问题还有其他的方法求解吗？（若学生想不到，教师要引导学生，要求的是两个未知数，能否设两个未知数列方程求解呢？让学生自己设未知数列方程。

）设有x 只鸡，有y 只兔，根据题意得：⎩⎨⎧=+=+944235y x y x 1. 针对学生列出的这两个方程，引入二元一次方程和二元一次方程组 2. 二元一次方程、二元一次方程组的解教师：那么什么是二元一次方程组的解呢？学生讨论达成共识：二元一次方程组的解必须同时满足方程组中的两个方程。

即：既是方程①的解又是方程②的解.教师：二元一次方程的两个方程的公共解叫做这个二元一次方程组的解。

例如：从方案一中我们知道12,23==y x 能使方程组中的每一个方程成立，所以我们把⎩⎨⎧==1223y x 叫做二元一次方程组⎩⎨⎧=+=+944235y x y x 的解。

（注意：二元一次方程组的解是成对出现的，要用大括号连接起来，表示“且”。

《二元一次方程组》教学设计一、教学目标1．知识与技能目标：（1）理解二元一次方程组的概念和二元一次方程组解的含义；（2）会检验一对数是不是二元一次方程组的解，会利用列表尝试的方法求简单二元一次方程组的解；（3）通过对实际问题的分析，使学生进一步体会方程组是刻画现实世界的有效数学模型，同时培养学生观察、归纳、概括能力。

2．过程与方法目标从一个学生熟悉的生活实例引入二元一次方程组的概念，并通过“辩一辩”“填一填”“试一试”“做一做”，加深学生对“二元一次方程组”和“二元一次方程组的解”的概念的理解；并使学生初步了解用列表尝试的方法求二元一次方程组的解，并使学生在解决问题的过程中经历知识的产生过程。

3．情感与态度目标从学生的生活实际提出问题，既体现知识的学习过程，又体现知识的应用过程，同时还有利于激发学生的学习兴趣，有利于学生养成关注身边的事例、关心他人，培养一种社会的责任感。

二、教学重点、难点重点是二元一次方程组的意义和二元一次方程组解的概念。

难点是利用列表尝试的方法求简单二元一次方程组的解。

三、教学准备多媒体、实物投影仪。

四、教学方法和手段基于本节课内容的特点和七年级学生的心理及思维发展的特征，在教学中选择激趣法、讨论法和总结法相结合。

与学生建立平等融洽的互动关系，营造合作交流的学习氛围。

在引导学生进行观察分析、抽象概括、练习巩固各个环节中运用多媒体进行演示，增强直观性，提高教学效率，激发学生的学习兴趣。

五、教学过程环节一创设情境，探索新知问题1：假设你们每人手上有一根长20cm的铁丝，将这根铁丝首尾相连围成一个正方形，围出来的正方形都完全一样吗？问题2：同样用这根20厘米长的铁丝，首尾相连围成的长方形都完全一样吗？你能用二元一次方程来表示吗？【设计意图】①通过问题情境复习旧知，真正理解二元一次方程的意义；②为探索新知做好铺垫。

问题3：前面两个问题中都存在二元一次方程10=+yx,为何围成的长方形有无数种情况，而围成的正方形只有一种情况？【设计意图】通过两个问题的对比，让学生感受到10=+yx与yx=同时满足时，存在解的唯一性的过程，为二元一次方程组的形成做铺垫。