2012高中数学 暑假培训资料 1-1 集合及其运算 新人教A版必修1

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高中数学必修1集合与函数知识点总结【1.1。

1】集合的含义与表示（1）集合的概念集合中的元素具有确定性、互异性和无序性.（2）常用数集及其记法N表示自然数集，N*或N+表示正整数集，Z表示整数集,Q表示有理数集，R表示实数集。

（3）集合与元素间的关系对象a与集合M的关系是a M∉,两者必居其一.∈，或者a M（4）集合的表示法①自然语言法：用文字叙述的形式来描述集合.②列举法:把集合中的元素一一列举出来，写在大括号内表示集合。

③描述法:｛x｜x具有的性质｝，其中x为集合的代表元素。

④图示法:用数轴或韦恩图来表示集合。

(5）集合的分类①含有有限个元素的集合叫做有限集。

②含有无限个元素的集合叫做无限集。

③不含有任何元素的集合叫做空集（∅)。

【1.1。

2】集合间的基本关系（6）子集、真子集、集合相等（7）已知集合A有(1)n-个真子集,它n n≥个元素，则它有2n个子集，它有21有21n-个非空子集，它有22n-非空真子集.【1。

1。

3】集合的基本运算（8）交集、并集、补集名称 记号意义性质 示意图交集A B{|,x x A ∈且}x B ∈(1)AA A =(2）A ∅=∅（3）A B A ⊆ A B B ⊆ BA并集A B{|,x x A ∈或}x B ∈（1)AA A = （2）A A ∅=（3）A B A ⊇ AB B ⊇BA补集UA{|,}x x U x A ∈∉且1()U A A =∅2()U AA U=【补充知识】含绝对值的不等式与一元二次不等式的解法（1)含绝对值的不等式的解法不等式解集||(0)x a a <>{|}x a x a -<< ||(0)x a a >>|x x a <-或}x a >||,||(0)ax b c ax b c c +<+>>把ax b +看成一个整体,化成||x a <，||(0)x a a >>型不等式来求解(2）一元二次不等式的解法()()()U U U AB A B =()()()UU U A B A B =判别式24b ac ∆=-0∆> 0∆= 0∆<二次函数2(0)y ax bx c a =++>的图象O一元二次方程20(0)ax bx c a ++=>的根21,242b b ac x a-±-=(其中12)x x <122b x x a==-无实根20(0)ax bx c a ++>>的解集1{|x x x <或2}x x >{|x }2b x a≠-R20(0)ax bx c a ++<>的解集12{|}x x x x <<∅ ∅〖1。

1-1.3集合的基本运算考察下列各个集合，你能说出集合C与集合A，B之间的关系吗?⑴ A={1,3,5}, B={2,4,6} ,C={1,2,3,4,5,6}(2) A={x|x是有理数},B={x|x是无理数},C={x|x是实数}・1 ■并集一般地，由所有属于集合A或属于集合B的元素所组成的集合，称为集合A与B的并集，记作AUB,（读作“人并矿）.艮卩AUB={x|xeA,^xeB}例4 设人={4,5,6,8}, B={3,5,7,8},求AUB・解：AUB={4,5,6,8} U {3,5,7,8}= {33,5,6,7,8}例5 设集合A={x|・2 vxv2}‘集合B={x|2 vxv3} 求AUB.解：AUB={x|-1 <x<2} U {x\l<x<3}= {x\-l <x<3}2■交集考察下列各个集合，你能说出集合A，B与集合C 之间的关系吗?(l)A={2,4,6,8,10}, B={3,5,8,12} ,C={8};(2)A={x|x是新华中学2004年9月在校的女同学}, B={x | x是新华中学2004年9月入学的高一级同学},C={x|x是新华中学2004年9月入学的高一级女同学}・—一般地丿由属于集合A且属于集合B的所有元素组成的集合「称为A与B的交集，记作AQB）（读作7交旷）丿即AnB={x|xeA,<xeB }・A AAB例6新华中学开运动会，设A =令年x是新华中学高一年级参加百米赛跑的同学｝B=｛x|x是新华中学高一年级参加跳高比赛的同学｝, 求AAB.解:AnB=｛x|x是新华中学高一年级既参加百米赛跑又参加跳高比赛的同学｝・例7设平面内直缆上的点的集合为-,直线乙上点的集合为乙2,试用集合的运算表田川2的位置关系解:⑴直线人,仇相交于一点P可表示为L] cZ>2 = ｛点尸｝；(2)直线厶乙平行可表示为L] cL° = 0;(3)直线厶」2重合可表示为JL// — ] —・3 •并集与交集的性质(1)AnA = A(2)An0 = 0(3)AnB = BnA(4)4C B Q A,A C B Q B(5)4匸3 则Ar>B = A(1)AuA = A(2)Au0 = A(3)AuB = BuA(4)AcAuB,BcAuB,An5cAuB(5)AcB则AuB二B4 •补集一般地，如果一个集合含有我们所研究问题中所涉的所有元素，那么就称这个集合为全集，通常记作u.对于一个集合A,由全集U中不属于A的所有元素组成的集合称为集合A相对于全集U的补集，简称为集合A的补集.i 己作C V A - {X\XE U,且兀e A}补集可用Venn图表示为:例8设U = {x|x是小于9的正整数},A={1,2,3}B={3,4,5,6}Z^<C L/\/C L/B・解:根据题意可知,U = {1,2,3,4,5,6,7,8}, 所以C/ = {4,5,6,7,8}：氐{1,2,7,8}・例9设全集U = {x|x是三角形},A={x|x是锐角三角形},B={x|x是钝角三角形}求AQB,Cu(AUB)・解：根据三角形的分类可知Ar^B — 0,= 是锐角三角形或钝角三角形},C V{A<J B^{X\X直角三角形}.练习：判断正误(1) 若U={四边形}, A叫梯形},则CuA={平行四边形}(2) 若U是全集，且AuB,贝JC U A C C U B(3) 若U={1, 2, 3}, A=U,则CuA=©2・设集合A={|2a/|, 2}, B={2, 3, a2+2a-3} 且C B A叫5},求实数a的值。

知识·巧学·升华一、并集1.并集的定义一般地，由所有属于集合A或属于集合B的元素所组成的集合，称为集合A与集合B 的并集，记作A∪B，读作“A并B”，即A∪B=｛x|x∈A或x∈B｝.2.并集的图形表示“A∪B”可用Venn图中的阴影部分来表示.3.并集的运算性质①A∪B=B∪A；②A∪A=A；③A∪∅=∅∪A=A; ④如果A⊆B，则A∪B=B.要点提示注意此处空半格（1）并集是研究集合间关系的，能正确使用集合符号表示出并集，是求并集的关键.（2）用Venn图表示A∪B时，每一个图形扫过的面积都在“A∪B”中.（3）并集满足交换律；任何集合同自身或空集的并集等于集合自身；若A是B的子集，则A∪B=B.资料剖析注意此处空半格(教材P9)例4剖析：若集合A、B是元素能够一一列举出来的有限集时，可直接求A∪B，但要注意两个集合的公共元素在并集中只能出现一次，如例4中A∪B的结果不能写成A∪B={3,4,5,5,6,7,8,8}，因为这种写法不符合集合中元素的互异性.资料剖析注意此处空半格(课本P10)例5集合A={x|-1＜x＜2}，集合B={x|1＜x＜3}，求A∪B.剖析：由于集合A、B都是无限数集，A、B的元素无法一一写出来，此时要求A∪B 只能借助于数轴的直观性求解，由于集合A中不含有-1，2，集合B中不含有-1，3，所以在用数轴表示不等式的解集时，要把这些端点值用虚点来表示（包括时要用实点去表示）.虽然A中不含2，但B中含有2；虽然B中不含1，但A中含有1，因此，在A∪B中含有数值1和2.二、交集1.交集的定义一般地，由属于集合A且属于集合B的所有元素组成的集合，称为A与B的交集，记作A∩B，读作“A交B”，即A∩B=｛x|x∈A且x∈B｝.集合的对象可以是自然界的所有事物，点集是数学中常见的一种集合，因此我们可以用集合的运算判断几何图形的位置关系.比如例7，由于L1，L2分别是直线l1，l2上点的集合，两条直线的位置关系就可以用集合的运算符号来表示了，即当l1与l2相交时，只有一个交点；当l1与l2平行时，没有交点，交集是空集；当l1与l2重合时，有无数个交点，交集是直线本身.若集合是用语言文字描述的，求它们的交集时，要紧扣交集的定义.又如若设C={圆C上的点}，L={直线l上点}，则(1)直线l与圆C相交于两点P、Q，可以表示为L∩C={点P、点Q}；(2)直线l与圆C相切于一点P，可以表示为L∩C={点P}；(3)直线l与圆C相离，可表示为依此我们也可以用集合的交集表示两圆的位置关系或是两曲线的位置关系.2.交集的图形表示“A∩B”可用Venn图来表示.3.交集的运算性质（1）A∩B=B∩A；（2）A∩A=A；（3）A∩∅=∅∩A=∅；（4）若A⊆B，则A∩B=A.要点提示注意此处空半格（1）交集是由集合的公共元素组成的集合，能正确使用集合符号表示一些简单集合非常关键.（2）用韦恩图表示集合使集合间关系非常明确，因此常用韦恩图或数轴表示集合，来解决综合性题目，往往起到事半功倍的效果.（3）交集满足交换律；任何一个集合同自身的交集等于集合本身；任何集合同空集的交集都是空集；集合同它的子集的交集等于子集.三、补集1.补集的定义如果A是全集U的一个子集，由U中所有不属于A的元素构成的集合，叫做A在U中的补集，简称集合A的补集，记作A，即A=｛x|x∈U且x∉A｝.如果所要研究的集合都是某一给定集合的子集，那么称这个给定的集合为全集，通常用“U”表示.全集是一个相对概念，是由研究的需要给出的，但它必须含有我们所要研究的所有元素.如果把实数集R看作全集，那么有理数集Q的补集就是所有无理数组成的集合.A的数学表达式是A=｛x|x∈U，且x∉A｝，它不同于集合的差集，A与B的差集记作A-B，即A-B=｛x|x∈A，且x ∉B｝，虽然记法相似，但A-B中的B不一定是A的子集，根据前面交集的定义可以得到：A-B=（B）∩A.要点提示注意此处空半格在补集“A”中，“”是一个专门的符号，U表示全集，A⊆U.U因研究的问题不同而不同.2.补集的图形表示补集可用Venn图表示.利用Venn图，可以表示集合的并、交、补运算，如下图中的各部分所示，在求有关集合的交、并、补运算时，可借助于该图求解.3.补集的运算性质①A∪A=U；②A∩ A =∅；③（A）=A.记忆要诀注意此处空半格集合平时很常用,数学概念有不同.理解集合并不难,三个要素是关键.元素确定和互异,还有无序要牢记.集合不论空不空,总有子集在其中.集合用图很方便,子交并补很明显.问题·思路·探究问题两个集合的补集的交（并）集与它们的并（交）集的补集之间有何关系?思路：将文字语言转化为集合语言，猜想并证明即可.探究：两个集合的补集的交（并）集与它们的并（交）集的补集相等，即（A）∩（B）（A∪B）；（A）∪（B）=（A∩B）.设x∈（A）∩（B），则x∈（A）且x∈（B），即x∉A且x∉B，所以x∉（A∪B），即x∈（A∪B），故有（A）∩（B）⊆（A∪B）；若x∈（A∪B），则x∉(A∪B)，即x∉A且x∉B，即x∈（A）且x∈（B），所以x∈（A）∩（B），故有（A∪B）⊆（A）∩（B），因此：（A）∩（B）=（A∪B），同理可证（A）∪（B）=（A∩B）.典题·热题·新题例1 满足{1,3}∪A={1,3,5}的所有集合A的个数是（）A.1B.2C.3D.4思路解析：根据A∪B的定义可知，集合{1,3,5}应该是集合{1,3}和A的元素并在一起构成的集合，所以A中必有元素5，且其他元素只能从1,3中选出一个或两个或不选，因此A有四种可能：{5},{1,5},{3,5},{1,3,5}.答案：D误区警示 注意此处空半格求两个集合的并集时，两个集合中的相同元素在并集中只能出现一次，所以本例的集合A 中有可能含有元素1和3中一个或两个.例2 (2006浙江高考理)设集合A={x|-1≤x ≤2},B={x|0≤x ≤4},则A ∩B 为（ ）A.［0,2］B.［1,2］C.［0,4］D.[1,4]思路解析：在数轴上表示两集合可得A ∩B=［0，2］.答案：A例3 已知A={x|-m 2≤x ＜4},B={x|2＜x ＜-4m+1},若A ∪B={x|-1≤x ＜5},求m 的值.思路解析：由于集合A 、B 都是无限数集，A ∪B 可以借助于数轴的直观性进行分析，因为A ∪B 有元素-1，故只能-m 2=-1，同时-4m+1=5.如下图.解：由已知作出数轴如图，根据题意可知⎩⎨⎧=+--=-.514,12m m 解得m=-1.方法归纳 注意此处空半格一般地，当集合表示不等式的解集或是实数的一个无限子集时，集合间的运算常用数轴表示.例4 设集合A={x 2，2x-1，-4}，B={x-5，1-x ，9}，若A ∩B={9}，求A ∪B.思路解析：欲求A ∪B ，需根据A ∩B={9}，列出关于x 的方程，求出x ，从而确定A 、B.但若将A 、B 中元素为9的情况一并考虑，则较繁.本题宜先考虑集合A ，再代入B 中检验. 解：由A ∩B={9}得由9∈A ，可得x 2=9或2x-1=9，解得x=±3或x=5.当x=3时，A={9，5，-4}，B={-2，-2，9}，B 中元素违背了互异性，舍去；当x=-3时，A={9，-7，-4}，B={-8，4，9}，A ∩B={9}满足题意，故A ∪B= {-7，-4，-8，4，9}；当x=5时，A={25，9，-4}，B={0，-4，9}，此时A ∩B={-4，9}与A ∩B={9}矛盾，故舍去.综上所述，x=-3且A ∪B={-8，-4，4，-7，9}.误区警示 注意此处空半格本题主要考查了分类讨论的思想，在解题过程中易出现的错误：一是分类讨论过于复杂；二是不进行检验，导致出现增根；三是分类讨论之后没有进行总结.例5 已知A=｛（x ，y ）|4x+y=6｝，B=｛（x ，y ）|3x+2y=7｝，求A ∩B.思路解析：集合A 和B 的元素是有序实数对（x ，y ），A 、B 的交集即为方程组⎩⎨⎧=+=+723,64y x y x 的解组成的集合.解：A ∩B=｛（x ，y ）|4x+y=6｝∩｛（x ，y ）|3x+2y=7｝=｛（x ，y ）|⎩⎨⎧=+=+72364y x y x ｝=｛（x ，y ）|⎩⎨⎧==21y x ｝=｛（1，2）｝.深化升华把几何问题用符号语言表示出来时，它的代表元素通常是点.平面上点的坐标是有序实数对（x ，y ），空间点的坐标是有序实数对（x ，y ，z ）.求两个点集的交集也就是求两个点集对应的曲线的交点构成的集合，当交集为空集时，说明这两条曲线没有公共点. 例6 设A 、B 、I 均为非空集合，且满足A ⊆B ⊆I ，则下列各式中错误的是（ ）A.（A ）∪B=IB.（A ）∪（B ）=IC.A ∩（B ）= ∅D.（A ）∩（B ）= B思路解析：本题综合考查了集合的基本运算，即集合的交集、并集、补集运算.（1）可根据题意画出韦恩图，借助于图形的直观性，对照选项A 、B 、C 、D 即可求解.（2）根据题意A ⊆B ⊆I 构造集合A 、B 、I ，不妨设A=｛1｝，B=｛1，2｝，I=｛1，2，3｝，利用特殊值代入法可求解.（3）根据集合的反演律求解.即（A ∪B ）=（A ）∩（B ）；（A ∩B ）=（A ）∪(B). 对A 选项，（A ）∪B=（A ∩（B ））=I ；对B 选项，（A ）∪（B ）=（A ∩B ）=A ；对C 选项，A ∩（B ）=（A ∪B ）=∅；对D 选项，（A ）∩（B ）=（A ∪B ）= B.综上所述，应选B.答案：B深化升华 注意此处空半格解有关集合的交、并、补运算时，可根据题设条件构造出一些新的数学形式（韦恩图或符合题设条件的集合A 、B 、I ），并借助它认识和解决原问题，这种构造法对解好选择题有很大的帮助.例7 设全集U={2，3，a 2+2a-3}，A={|2a-1|，2}，A={5}，求实数a 的值. 思路解析：A={5}包含了三层意义，即5∈U ，且5∉A ，且A ⊆U. 解：∵A={5}，∴5∈U ，且5∉A.∴a 2+2a-3=5，解得a=2或a=-4.（*）当a=2时，|2a-1|=3≠5；当a=-4时，|2a-1|=9≠5，但是9∉U.故a 的值为2.误区警示 注意此处空半格集合是一种数学语言，如果不能从这种语言中破译出它的全部意义，就会造成各种各样的错误.本题解到（*）式后要注意验根.例8 已知全集U={x|x2-3x+2≥0}，A={x|x＜1或x＞3}，B={x|x≤1或x＞2}.求A，B，A∪B，A∩B，（A）∩（B），（A）∪（B），（A∪B），（A∩B）.思路解析：要计算出各个集合，首先得将集合U、A、B化为最简形式，然后结合数轴逐个求得.解：U={x|x2-3x+2≥0}= {x|x≤1或x≥2},又A={x|x＜1或x＞3=，B={x|x≤1或x＞2}，则A={x|x=1或2≤x≤3},A）∩（B）={2},（A）∪（B）={x|x=1或2≤x ≤3},（A∪B）={2},（A∩B）={x|x=1或2≤x≤3}.例9 某班举行数理化竞赛，每人至少参加一科，已知参加数学竞赛的有27人，参加物理竞赛的有25人，参加化学竞赛的有27人，其中参加数学、物理两科的有10人，参加物理、化学两科的有7人，参加数学、化学两科的有11人，而参加数、理、化三科的有4人，画出集合关系图，并求出全班人数.思路解析：本题考查集合的运算，解题的关键是把文字语言转化成符号语言，借助于韦恩图的直观性把它表示出来，再根据集合中元素的互异性求出问题的解.解：设参加数学、物理、化学三科竞赛的同学组成的集合分别为A、B、C，由题意可知A、B、C三集合中元素个数分别为27、25、27，A∩B、B∩C、A∩C、A∩B∩C的元素个数分别为10、7、11、4.画出韦恩图：可知全班人数为10+13+12+6+4+7+3=55（人）.深化升华注意此处空半格能正确使用一些集合符号把文字语言转化成符号语言、图形语言，是我们把实际问题转化成数学问题的关键，它实现了实际问题向数学问题的转化.。