湖南省衡阳县四中2014-2015学年高一下学期期中检测数学试题 Word版含答案

湖南省衡阳四中2014-2015学年高一下学期期末数学试卷一．选择题：本大题共10小题，每小题4分，共计40分，在每小题给出的四个选项中，只有一项符合题目要求，请把正确答案的代号填在答题卡上1．下列给出的赋值语句中正确的是（）A．4=M B．B=A=3 C．x+y=0 D．M=﹣M2．的值等于（）A．B．C．D．3．如图程序图输出的结果是（）A．2，1 B．2，2 C．1，2 D．1，14．化简﹣+﹣得（）A．B．C．D．5．从装有2个红球和2个黑球的口袋内任取2个球，那么互斥而不对立的两个事件是（）A．“至少有一个红球”与“都是黑球”B．“至少有一个黑球”与“都是黑球”C．“至少有一个黑球”与“至少有1个红球”D．“恰有1个黑球”与“恰有2个黑球”6．已知x与y之间的一组数据：x 0 1 2 3y 1 3 5 7则x与y的线性回归方程为必过点（）A．（1，2）B．（1.5，4）C．（2，2）D．（1.5，0）7．已知向量=（1﹣sinθ，1），=（，1+sinθ），若∥，则锐角θ等于（）A．30°B．45°C．60°D．75°8．函数的图象（）A．关于原点对称B．关于点（﹣，0）对称C．关于y轴对称D．关于直线x=对称9．已知||=2，||=1，与的夹角为，那么|﹣4|等于（）A．2B．2C．6D．1210．α，β都是锐角，且，，则sinβ的值是（）A．B．C．D．二．填空题：本大题共5小题，每小题4分，共20分.把答案填在答题卡上的相应横线上. 11．将二进制数101101（2）化为八进制数，结果为．12．若扇形OAB的面积是1cm2，它的周长是4cm，则该扇形圆心角的弧度数是．13．为了测算如图阴影部分的面积，作一个边为6的正方形将其包含在内，并向正方形内随即投掷800个点，已知恰有200个点落在阴影部分内，据此，可估计阴影部分的面积是．14．若，则tanα的值为．15．已知程序框图如图：如果程序运行的结果为S=132，那么判断框中应填入．三．解答题（本大题共5小题，共40分，答题时应写出文字说明、证明过程或和演算步骤）16．已知sin（3π+θ）=，（1）求cos2θ的值（2）求+的值．17．已知向量=（1，y），=（1，﹣3），且满足（2+）⊥．（1）求向量的坐标；（2）求向量与的夹角．18．某校100名学生期2015届中考试数学成绩的频率分布直方图如图，其中成绩分组区间如下：组号第一组第二组第三组第四组第五组分组[50，60）[60，70）[70，80）[80，90）[90，100]（1）求图中a的值；（2）根据频率分布直方图，估计这100名学生期2015届中考试数学成绩的平均数．19．某校在一次趣味运动会的颁奖仪式上，2014-2015学年高一、2014-2015学年高二、2015届高三各代表队人数分别为120人、120人、n人．为了活跃气氛，大会组委会在颁奖过程中穿插抽奖活动，并用分层抽样的方法从三个代表队中共抽取20人在前排就坐，其中2014-2015学年高二代表队有6人．（1）求n的值；（2）把在前排就坐的2014-2015学年高二代表队6人分别记为a，b，c，d，e，f，现随机从中抽取2人上台抽奖．求a和b至少有一人上台抽奖的概率；（3）抽奖活动的规则是：代表通过操作按键使电脑自动产生两个[0，1]之间的均匀随机数x，y，并按如上图所示的程序框图执行．若电脑显示“中奖”，则该代表中奖；若电脑显示“谢谢”，则不中奖，求该代表中奖的概率．20．已知函数（1）求函数f（x）的最小正周期；（2）求函数f（x）的最大值及取得最大值时x的取值集合；（3）求函数f（x）的单调递增区间．湖南省衡阳四中2014-2015学年高一下学期期末数学试卷一．选择题：本大题共10小题，每小题4分，共计40分，在每小题给出的四个选项中，只有一项符合题目要求，请把正确答案的代号填在答题卡上1．下列给出的赋值语句中正确的是（）A．4=M B．B=A=3 C．x+y=0 D．M=﹣M考点：赋值语句．专题：算法和程序框图．分析：根据赋值语句的功能，分析选项中的语句是否满足：左边为一个合法的变量名，右边为一个合法的表达式．解答：解：对于A，4=M，赋值符号左边不是变量，∴不正确；对于B，B=A=3，赋值语句不能连续直接对两个变量赋值，∴不正确；对于C，x+y=0，赋值符号左边不是变量，∴不正确；对于D，M=﹣M，左边为一个合法的变量名，右边为一个合法的表达式，∴正确．故选：D．点评：本题考查了赋值语句的应用问题，解题的关键是理解赋值语句的特点，抓住赋值语句的特定形式，是基础题目．2．的值等于（）A．B．C．D．考点：运用诱导公式化简求值．分析：先根据诱导公式一将角度变为正值，再将角进行缩小．解答：解：∵sin（﹣）=sin（﹣+4π）=sin=sin（）=sin=故选A．点评：本题主要考查运用三角函数的诱导公式化简求值的问题．属基础题．对于三角函数的诱导公式一定要强化记忆．3．如图程序图输出的结果是（）A．2，1 B．2，2 C．1，2 D．1，1考点：顺序结构．专题：算法和程序框图．分析：根据已知中的程序框图，逐步分析执行完相应语句后的变量的值，可得答案．解答：解：执行A=1，B=2后：A=1，B=2；执行T=A后：A=1，B=2，T=1；执行A=B后：A=2，B=2，T=1；执行B=T后：A=2，B=1，T=1；执行PRINT A，B后，输出的结果为2，1，故选：A点评：本题考查的知识点是程序框图，顺序结构，难度不大，属于基础题．4．化简﹣+﹣得（）A．B．C．D．考点：向量加减混合运算及其几何意义．专题：计算题．分析：本题考查的知识点是向量加减混合运算及其几何意义，根据向量加法及减法的三角形法则，我们易得﹣+﹣的值．解答：解：﹣+﹣=﹣﹣=﹣=故选D点评：向量加法的三角形法则，可理解为“首尾相接”，向量减法的三角形法则，可理解为“同起点，连终点，方向指被减．”或是“同终点，连起点，方向指向减．”5．从装有2个红球和2个黑球的口袋内任取2个球，那么互斥而不对立的两个事件是（）A．“至少有一个红球”与“都是黑球”B．“至少有一个黑球”与“都是黑球”C．“至少有一个黑球”与“至少有1个红球”D．“恰有1个黑球”与“恰有2个黑球”考点：互斥事件与对立事件．专题：概率与统计．分析：列举每个事件所包含的基本事件，结合互斥事件和对立事件的定义，依次验证即可解答：解：对于A：事件：“至少有一个红球”与事件：“都是黑球”，这两个事件是对立事件，∴A不正确对于B：事件：“至少有一个黑球”与事件：“都是黑球”可以同时发生，如：一个红球一个黑球，∴B不正确对于C：事件：“至少有一个黑球”与事件：“至少有1个红球”可以同时发生，如：一个红球一个黑球，∴C不正确对于D：事件：“恰有一个黑球”与“恰有2个黑球”不能同时发生，∴这两个事件是互斥事件，又由从装有2个红球和2个黑球的口袋内任取2个球，得到所有事件为“恰有1个黑球”与“恰有2个黑球”以及“恰有2个红球”三种情况，故这两个事件是不是对立事件，∴D正确故选D点评：本题考查互斥事件与对立事件．首先要求理解互斥事件和对立事件的定义，理解互斥事件与对立事件的联系与区别．同时要能够准确列举某一事件所包含的基本事件．属简单题6．已知x与y之间的一组数据：x 0 1 2 3y 1 3 5 7则x与y的线性回归方程为必过点（）A．（1，2）B．（1.5，4）C．（2，2）D．（1.5，0）考点：线性回归方程．专题：计算题．分析：先求出横标和纵标的平均数，写出这组数据的样本中心点，根据线性回归直线过样本中心点，得到本题要选的点是样本中心点．解答：解：∵=1.5，=4，∴这组数据的样本中心点是（1.5，4）∵线性回归直线必过样本中心点，∴x与y的线性回归方程为必过点（1.5，4）故选B．点评：本题考查样本中心点，是一个基础题，这种题目解决的关键是写出正确的平均数，进而得到样本中心点，不需要大量的运算．7．已知向量=（1﹣sinθ，1），=（，1+sinθ），若∥，则锐角θ等于（）A．30°B．45°C．60°D．75°考点：平面向量共线（平行）的坐标表示．专题：平面向量及应用．分析：利用向量平行推出关系式，然后求解角的值．解答：解：向量=（1﹣sinθ，1），=（，1+sinθ），若∥，则：（1﹣sinθ）（1+sinθ）=．∴cos2θ=，∵θ是锐角，∴cosθ=，∴θ=60°故选：C．点评：本题考查向量的平行的充要条件的应用，三角函数值的求法，基本知识的考查．8．函数的图象（）A．关于原点对称B．关于点（﹣，0）对称C．关于y轴对称D．关于直线x=对称考点：正弦函数的对称性．分析：将题中角：看成一个整体，利用正弦函数y=sinx的对称性解决问题．解答：解：∵正弦函数y=sinx的图象如下：其对称中心必在与x轴的交点处，∴当x=﹣时，函数值为0．∴图象关于点（﹣，0）对称．故选B．点评：本题主要考查正弦函数的图象与性质，其解法是利用正弦曲线的对称性加以解决．9．已知||=2，||=1，与的夹角为，那么|﹣4|等于（）A．2B．2C．6D．12考点：平面向量数量积的运算．专题：平面向量及应用．分析：由题意利用两个向量的数量积的定义可得=1，再根据|﹣4|==，计算求的结果．解答：解：由题意可得=2×1×cos=1，那么|﹣4|=====2，故选：B．点评：本题主要考查两个向量的数量积的定义，求向量的模，属于基础题．10．α，β都是锐角，且，，则sinβ的值是（）A．B．C．D．考点：角的变换、收缩变换；同角三角函数间的基本关系；两角和与差的正弦函数．专题：计算题．分析：将β化为（α+β）﹣α，再利用两角和与差三角函数公式计算即可．解答：解：α，β都是锐角，∴α+β∈（0，π），∵∴cosα===，∵∴sin（α+β）===∴sinβ=sin[（α+β）﹣α]=sin（α+β）cosα﹣cos（α+β）sinα==故选C．点评：本题考查两角和与差三角函数公式，同角的三角函数基本关系式．考查转化、计算能力．属于中档题．二．填空题：本大题共5小题，每小题4分，共20分.把答案填在答题卡上的相应横线上. 11．将二进制数101101（2）化为八进制数，结果为55．考点：排序问题与算法的多样性．专题：计算题．分析：利用2进制化为十进制和十进制化为其它进制的“除8取余法”方法即可得出．解答：解：∵101101（2）=1×25+0+1×23+1×22+0+1×20=45（10）．再利用“除8取余法”可得：45（10）=55（8）．故答案为55．点评：熟练掌握其它进制化为十进制和十进制化为其它进制的方法是解题的关键．12．若扇形OAB的面积是1cm2，它的周长是4cm，则该扇形圆心角的弧度数是2．考点：弧度制．专题：计算题．分析：设该扇形圆心角的弧度数是α，半径为r，由扇形的面积与弧长公式，可得关系式，求解可得答案．解答：解：设该扇形圆心角的弧度数是α，半径为r，根据题意，有，解可得，α=2，r=1，故答案为：2．点评：本题考查弧度制下，扇形的面积及弧长公式的运用，注意与角度制下的公式的区别与联系．13．为了测算如图阴影部分的面积，作一个边为6的正方形将其包含在内，并向正方形内随即投掷800个点，已知恰有200个点落在阴影部分内，据此，可估计阴影部分的面积是9．考点：模拟方法估计概率；几何概型．专题：计算题．分析：根据几何概率的计算公式可求，向正方形内随机投掷点，落在阴影部分的概率P（A）=，根据公式=可求．解答：解：本题中向正方形内随机投掷800个点，相当于800个点均匀分布在正方形内，而有200个点落在阴影部分，可知阴影部分的面=．故答案为：9．点评：本题考查的是一个关于几何概型的创新题，属于基础题．解决此类问题的关键是读懂题目意思，然后与学过的知识相联系转化为熟悉的问题．14．若，则tanα的值为﹣2．考点：同角三角函数间的基本关系．专题：计算题．分析：已知等式左边分子分母除以cosα，利用同角三角函数间的基本关系变形后，整理即可求出tanα的值．解答：解：∵==10，∴tanα=﹣2．故答案为：﹣2点评：此题考查了同角三角函数间的基本关系，熟练掌握基本关系是解本题的关键．15．已知程序框图如图：如果程序运行的结果为S=132，那么判断框中应填入k≤10或k＜11．考点：程序框图．专题：计算题．分析：按照程序框图依次执行，直到s=132，求出此时的k，进一步确定判断框内的条件即可．解答：解：按照程序框图依次执行：k=12，s=1；进入循环，s=1×12=12，k=11；s=12×11=132，k=10，跳出循环，故k=10满足判断框内的条件，而k=11不满足，故判断框内的条件应为k≤10或k＜11故答案为：k≤10或k＜11点评：本题考查循环结构的程序框图，弄清进入循环体和跳出循环体的条件是解决问题的关键．三．解答题（本大题共5小题，共40分，答题时应写出文字说明、证明过程或和演算步骤）16．已知sin（3π+θ）=，（1）求cos2θ的值（2）求+的值．考点：三角函数的化简求值；运用诱导公式化简求值．专题：三角函数的求值．分析：由已知求出isnθ，然后了基本关系式以及诱导公式求值．解答：解：由已知sin（3π+θ）=，所以sinθ=﹣，（1）cos2θ=﹣1sin2θ=1﹣=；（2）+=====32．点评：本题考查了三角函数的诱导公式以及基本关系式的混合运用；注意三角函数的名称以及符号．17．已知向量=（1，y），=（1，﹣3），且满足（2+）⊥．（1）求向量的坐标；（2）求向量与的夹角．考点：数量积表示两个向量的夹角；平面向量的坐标运算；平面向量数量积的运算．专题：平面向量及应用．分析：（1）由条件利用两个向量垂直的性质、两个向量的数量积公式求得y的值，可得向量的坐标．（2）设向量与的夹角为θ，求得cosθ=的值，可得θ的值．解答：解：（1）∵已知向量=（1，y），=（1，﹣3），且满足（2+）⊥，∴（2+）•=2+=2（1﹣3y）+10=0，求得y=2，可得向量=（1，2）．（2）设向量与的夹角为θ，∵cosθ===﹣，∴θ=．点评：本题主要考查两个向量的数量积的定义，两个向量的数量积公式，两个向量垂直的性质，属于基础题．18．某校100名学生期2015届中考试数学成绩的频率分布直方图如图，其中成绩分组区间如下：组号第一组第二组第三组第四组第五组分组[50，60）[60，70）[70，80）[80，90）[90，100]（1）求图中a的值；（2）根据频率分布直方图，估计这100名学生期2015届中考试数学成绩的平均数．考点：频率分布直方图．专题：概率与统计．分析：（1）根据所以概率的和为1，即所求矩形的面积和为1，建立等式关系，可求出所求；（2）均值为各组组中值与该组频率之积的和；解答：解：（1）由题意得10a+0.01×10+0.02×10+0.03×10+0.035×10=1，所以a=0.005．（2）由直方图分数在[50，60]的频率为0.05，[60，70]的频率为0.35，[70，80]的频率为0.30，[80，90]的频率为0.20，[90，100]的频率为0.10，所以这100名学生期2015届中考试数学成绩的平均分的估计值为：55×0.05+65×0.35+75×0.30+85×0.20+95×0.10=74.5点评：本题主要考查频率分布直方图，平均数的求法．难度不大，属于基础题．19．某校在一次趣味运动会的颁奖仪式上，2014-2015学年高一、2014-2015学年高二、2015届高三各代表队人数分别为120人、120人、n人．为了活跃气氛，大会组委会在颁奖过程中穿插抽奖活动，并用分层抽样的方法从三个代表队中共抽取20人在前排就坐，其中2014-2015学年高二代表队有6人．（1）求n的值；（2）把在前排就坐的2014-2015学年高二代表队6人分别记为a，b，c，d，e，f，现随机从中抽取2人上台抽奖．求a和b至少有一人上台抽奖的概率；（3）抽奖活动的规则是：代表通过操作按键使电脑自动产生两个[0，1]之间的均匀随机数x，y，并按如上图所示的程序框图执行．若电脑显示“中奖”，则该代表中奖；若电脑显示“谢谢”，则不中奖，求该代表中奖的概率．考点：几何概型；列举法计算基本事件数及事件发生的概率；程序框图．专题：综合题；概率与统计．分析：（1）根据分层抽样可得，故可求n的值；（2）求出2014-2015学年高二代表队6人，从中抽取2人上台抽奖的基本事件，确定a和b 至少有一人上台抽奖的基本事件，根据古典概型的概率公式，可得a和b至少有一人上台抽奖的概率；（3）确定满足0≤x≤1，0≤y≤1点的区域，由条件得到的区域为图中的阴影部分，计算面积，可求该代表中奖的概率．解答：解：（1）由题意可得，∴n=160；（2）2014-2015学年高二代表队6人，从中抽取2人上台抽奖的基本事件有（a，b），（a，c），（a，d），（a，e），（a，f），（b，c），（b，d），（b，e），（b．f），（c，d），（c，e），（c，f），（d，e），（d，f），（e，f）共15种，其中a和b至少有一人上台抽奖的基本事件有9种，∴a和b至少有一人上台抽奖的概率为=；（3）由已知0≤x≤1，0≤y≤1，点（x，y）在如图所示的正方形OABC内，由条件得到的区域为图中的阴影部分由2x﹣y﹣1=0，令y=0可得x=，令y=1可得x=1∴在x，y∈[0，1]时满足2x﹣y﹣1≤0的区域的面积为=∴该代表中奖的概率为=．点评：本题考查概率与统计知识，考查分层抽样，考查概率的计算，确定概率的类型是关键．20．已知函数（1）求函数f（x）的最小正周期；（2）求函数f（x）的最大值及取得最大值时x的取值集合；（3）求函数f（x）的单调递增区间．考点：正弦函数的单调性；两角和与差的正弦函数；三角函数的周期性及其求法；正弦函数的定义域和值域．专题：计算题．分析：（1）先运用三角函数的两角和与差的正弦公式及二倍角公式将函数化简为y=Asin （wx+ρ）+b的形式，根据T=可求出最小正周期；（2）因为f（x）取最大值时应该有sin（2x﹣）=1成立，即2x﹣=2kπ+，k∈Z，可得答案．（3）将2x﹣看做一个整体，根据正弦函数的性质可得，进而求出x的范围，得到答案．解答：解：（1）∵∴f（x）===．∵，即函数f（x）的最小正周期为π．（2）当即时，f（x）取最大值1因此f（x）取最大值时x的集合是（3）f（x）=．再由，解得．所以y=f（x）的单调增区间为．点评：本题主要考查三角函数最小正周期的求法、正弦函数的定义域和值域和单调区间的求法，一般都是将函数化简为y=Asin（wx+ρ）的形式，再根据三角函数的图象和性质解题．。

2015-2016学年某某省某某四中高一（下）期末数学试卷一、选择题（共12小题，每小题3分，满分36分）1．向量，的坐标分别为（1，﹣1），（2，3），则•=（）A．5 B．4 C．﹣2 D．﹣12．已知sinA=，那么cos（）=（）A．﹣ B．C．﹣D．3．某公司现有职员160人，中级管理人员30人，高级管理人员10人，要从其中抽取20个人进行身体健康检查，如果采用分层抽样的方法，则职员、中级管理人员和高级管理人员各应该抽取多少（）A．8，5，17 B．16，2，2 C．16，3，1 D．12，3，54．函数f（x）=sinαcosα的周期为（）A．B．C．2πD．π5．若向量=（1，1），=（1，﹣1），=（﹣1，﹣2），则=（）A．B．C．D．6．10名工人某天生产同一零件，生产的件数是15，17，14，10，15，17，17，16，14，12，设其平均数为a，中位数为b，众数为c，则有（）A．a＞b＞c B．b＞c＞a C．c＞a＞b D．c＞b＞a7．将函数y=sinx的图象上所有的点向右平行移动个单位长度，再把所得各点的横坐标伸长到原来的2倍（纵坐标不变），所得图象的函数解析式是（）A．y=sin（2x﹣） B．y=sin（2x﹣） C．y=sin（x﹣）D．y=sin（x﹣）8．△ABC中，∠A，∠B的对边分别为a，b，且∠A=30°，a=，b=2，那么满足条件的△ABC （）A．有一个解 B．有两个解 C．不能确定 D．无解9．已知角α的终边经过点（3，﹣4），则sinα+cosα的值为（）A．B．C．D．10．某产品的广告费用x与销售额y的统计数据如下表广告费用x（万元） 4 2 3 5销售额y（万元）49 26 39 54根据上表可得回归方程=x+的为9.4，据此模型预报广告费用为6万元时销售额为（）A．63.6万元B．65.5万元C．67.7万元D．72.0万元11．有四个游戏盘，将它们水平放稳后，在上面扔一颗玻璃小球，若小球落在阴影部分，则可中奖，小明要想增加中奖机会，应选择的游戏盘是（）A．B．C．D．12．阅读如图的流程图，若输入的a，b，c分别是5，2，6，则输出的a，b，c分别是（）A．6，5，2 B．5，2，6 C．2，5，6 D．6，2，5二、填空题（共4小题，每小题3分，满分12分）13．下列各数85（9）、210（6）、1000（4）、111111（2）中最小的数是．14．取一根长为3米的绳子，拉直后在任意位置剪断，则剪得两段的长都不小于1米的概率为．15．一列数据分别为1，2，3，4，5，则方差为．16．已知，那么tanα的值为．三、解答题（共5小题，满分52分）17．已知tanx=2，求的值．18．统计局就某地居民的月收入情况调查了10000人，并根据所得数据画出了样本频率分布直方图，每个分组包括左端点，不包括右端点，如第一组表示收入在[500，1000）元．（1）为了分析居民的收入与年龄、职业等方面的关系，必须按月收入再从这10000人中用分层抽样方法抽出100人作进一步分析，则月收入在[2000，2500）元的应抽取多少人？（2）根据频率分布直方图估计样本数据的中位数；（3）根据频率分布直方图估计样本数据的平均数．19．已知α、β∈（0，π），且tanα、tanβ是方程x2﹣5x+6=0的两根．（1）求tan（α+β）的值；（2）求cos（α﹣β）的值．20．已知函数f（x）=5sinx•cosx﹣5（x∈R）（1）求f（x）的最小正周期；（2）求f（x）的单调区间．21．一个口袋内装有大小相同的3个红球和2个黄球，从中一次摸出两个球．（1）问共有多少个基本事件；（2）求摸出两个球都是红球的概率；（3）求摸出的两个球都是黄球的概率；（4）求摸出的两个球一红一黄的概率．2015-2016学年某某省某某四中高一（下）期末数学试卷参考答案与试题解析一、选择题（共12小题，每小题3分，满分36分）1．向量，的坐标分别为（1，﹣1），（2，3），则•=（）A．5 B．4 C．﹣2 D．﹣1【考点】平面向量数量积的运算．【分析】根据两个向量的坐标以及两个向量的数量积公式，求得的值．【解答】解：∵向量，的坐标分别为（1，﹣1），（2，3），则=（1，﹣1）•（2，3）=2﹣3=﹣1，故选B．2．已知sinA=，那么cos（）=（）A．﹣ B．C．﹣D．【考点】运用诱导公式化简求值．【分析】直接利用诱导公式化简求值即可．【解答】解：cos（）=﹣sinA=﹣故选A．3．某公司现有职员160人，中级管理人员30人，高级管理人员10人，要从其中抽取20个人进行身体健康检查，如果采用分层抽样的方法，则职员、中级管理人员和高级管理人员各应该抽取多少（）A．8，5，17 B．16，2，2 C．16，3，1 D．12，3，5【考点】分层抽样方法．【分析】根据所给的三个层次的人数，得到公司的总人数，利用要抽取的人数除以总人数，得到每个个体被抽到的概率，用概率乘以三个层次的人数，得到结果．【解答】解：∵公司现有职员160人，中级管理人员30人，高级管理人员10人∴公司共有160+30+10=200人，∵要从其中抽取20个人进行身体健康检查，∴每个个体被抽到的概率是，∴职员要抽取160×人，中级管理人员30×人，高级管理人员10×人，即抽取三个层次的人数分别是16，3，1故选C．4．函数f（x）=sinαcosα的周期为（）A．B．C．2πD．π【考点】三角函数的周期性及其求法．【分析】根据二倍角的正弦公式化简函数的解析式，再利用函数y=Asin（ωx+φ）的周期为，得出结论．【解答】解：f（x）=sinαcosα=sin2α的周期为=π，故选：D．5．若向量=（1，1），=（1，﹣1），=（﹣1，﹣2），则=（）A．B．C．D．【考点】平面向量的基本定理及其意义．【分析】设=λ+μ，利用两个向量坐标形式的运算，待定系数法求出λ和μ 的值．【解答】解：设=λ+μ，∵=（1，1），=（1，﹣1），=（﹣1，﹣2），∴（﹣1，﹣2）=（λ，λ）+（μ，﹣μ）=（λ+μ，λ﹣μ），∴λ+μ=﹣1，λ﹣μ=﹣2，∴λ=﹣，μ=，∴=﹣+，故选：D．6．10名工人某天生产同一零件，生产的件数是15，17，14，10，15，17，17，16，14，12，设其平均数为a，中位数为b，众数为c，则有（）A．a＞b＞c B．b＞c＞a C．c＞a＞b D．c＞b＞a【考点】众数、中位数、平均数．【分析】先由已知条件分别求出平均数a，中位数b，众数c，由此能求出结果．【解答】解：由已知得：a=（15+17+14+10+15+17+17+16+14+12）=14.7；b==15；c=17，∴c＞b＞a．故选：D．7．将函数y=sinx的图象上所有的点向右平行移动个单位长度，再把所得各点的横坐标伸长到原来的2倍（纵坐标不变），所得图象的函数解析式是（）A．y=sin（2x﹣） B．y=sin（2x﹣） C．y=sin（x﹣）D．y=sin（x﹣）【考点】函数y=Asin（ωx+φ）的图象变换．【分析】先根据左加右减进行左右平移，然后根据横坐标伸长到原来的2倍时w变为原来的倍进行横向变换．【解答】解：将函数y=sinx的图象上所有的点向右平行移动个单位长度，所得函数图象的解析式为y=sin（x﹣）再把所得各点的横坐标伸长到原来的2倍（纵坐标不变），所得图象的函数解析式是y=sin（x ﹣）．故选C．8．△ABC中，∠A，∠B的对边分别为a，b，且∠A=30°，a=，b=2，那么满足条件的△ABC （）A．有一个解 B．有两个解 C．不能确定 D．无解【考点】三角形中的几何计算．【分析】利用正弦定理求得sinB=，可得B=，或B=，从而得出结论．【解答】解：△ABC中，∵∠A=30°，a=，b=2，由正弦定理可得=，即=，求得sinB=，∴B=，或B=，故△ABC有2个解．故选：B．9．已知角α的终边经过点（3，﹣4），则sinα+cosα的值为（）A．B．C．D．【考点】任意角的三角函数的定义．【分析】由题意可得 x=3、y=﹣4、r=5，求得sinα=的值，cosα=的值，可得sinα+cosα 的值．【解答】解：由题意可得 x=3、y=﹣4、r=5，∴sinα==﹣，cosα==，∴sinα+cosα=﹣，故选C．10．某产品的广告费用x与销售额y的统计数据如下表广告费用x（万元） 4 2 3 5销售额y（万元）49 26 39 54根据上表可得回归方程=x+的为9.4，据此模型预报广告费用为6万元时销售额为（）A．63.6万元B．65.5万元C．67.7万元D．72.0万元【考点】线性回归方程．【分析】首先求出所给数据的平均数，得到样本中心点，根据线性回归直线过样本中心点，求出方程中的一个系数，得到线性回归方程，把自变量为6代入，预报出结果．【解答】解：∵=3.5，=42，∵数据的样本中心点在线性回归直线上，回归方程中的为9.4，∴42=9.4×3.5+a，∴=9.1，∴线性回归方程是y=9.4x+9.1，∴广告费用为6万元时销售额为9.4×6+9.1=65.5，故选：B．11．有四个游戏盘，将它们水平放稳后，在上面扔一颗玻璃小球，若小球落在阴影部分，则可中奖，小明要想增加中奖机会，应选择的游戏盘是（）A．B．C．D．【考点】几何概型．【分析】根据几何概型的概率公式，要使中奖率增加，则对应的面积最大即可．【解答】解：要使中奖率增加，则对应的面积最大即可，则根据几何概型的概率公式可得，A．概率P=，B．概率P=，C概率P=，D．概率P=，则概率最大的为，故选：A．12．阅读如图的流程图，若输入的a，b，c分别是5，2，6，则输出的a，b，c分别是（）A．6，5，2 B．5，2，6 C．2，5，6 D．6，2，5【考点】程序框图．【分析】根据执行框的功能，依次赋值可得答案．【解答】解：根据框图的流程得：x=5a=6，c=2，b=5，∴输出a，b，c为6，5，2．故选：A．二、填空题（共4小题，每小题3分，满分12分）13．下列各数85（9）、210（6）、1000（4）、111111（2）中最小的数是111111（2）．【考点】带余除法．【分析】由非十进制转化为十进制的方法，我们将各数位上的数字乘以其权重累加后，将各数化成十进制数后比较大小即可得到答案．【解答】解：85（9）=5+8•91=77，210（6）=0+1•6+2•62=78，1000（4）=1•43=64，111111（2）=1+1•2+1•22+1•23+1•24+1•25=63，最小的数是 111111（2）．故答案为111111（2）．14．取一根长为3米的绳子，拉直后在任意位置剪断，则剪得两段的长都不小于1米的概率为．【考点】几何概型．【分析】根据题意确定为几何概型中的长度类型，将长度为3m的绳子分成相等的三段，在中间一段任意位置剪断符合要求，从而找出中间1m处的两个界点，再求出其比值．【解答】解：记“两段的长都不小于1m”为事件A，则只能在中间1m的绳子上剪断，才使得剪得两段的长都不小于1m，所以由几何概型的公式得到事件A发生的概率 P（A）=．故答案为：15．一列数据分别为1，2，3，4，5，则方差为 2 ．【考点】极差、方差与标准差．【分析】先求出该列数据的平均数，再计算该列数据的方差．【解答】解：∵一列数据分别为1，2，3，4，5，∴该列数据的平均数==3，该列数据的方差S2= [（1﹣3）2+（2﹣3）2+（3﹣3）2+（4﹣3）2+（5﹣3）2]=2．故答案为：2．16．已知，那么tanα的值为﹣．【考点】同角三角函数基本关系的运用；弦切互化．【分析】将已知等式中的左边分子、分母同时除以余弦，转化为关于正切的方程，解方程求出tanα．【解答】解：∵==﹣5，解方程可求得tanα=﹣，故答案为﹣．三、解答题（共5小题，满分52分）17．已知tanx=2，求的值．【考点】运用诱导公式化简求值．【分析】运用诱导公式和同角的平方关系、商数关系，即可化简得到．【解答】解：====由于tanx=2，则原式=．18．统计局就某地居民的月收入情况调查了10000人，并根据所得数据画出了样本频率分布直方图，每个分组包括左端点，不包括右端点，如第一组表示收入在[500，1000）元．（1）为了分析居民的收入与年龄、职业等方面的关系，必须按月收入再从这10000人中用分层抽样方法抽出100人作进一步分析，则月收入在[2000，2500）元的应抽取多少人？（2）根据频率分布直方图估计样本数据的中位数；（3）根据频率分布直方图估计样本数据的平均数．【考点】频率分布直方图；众数、中位数、平均数；极差、方差与标准差．【分析】（1）根据频率和为1求出月收入在[2000，2500）的频率，再根据分层抽样原理计算应抽取的人数；（2）根据中位数左右两边频率相等，列出方程求出即可；（3）取中间数乘频率，再求和，即可求得平均数．【解答】解：（1）月收入在[2000，2500）的频率为×[1﹣（0.0002+0.0004+0.0003+0.0001）×500]=0.25，∴对应的频数为0.25×10000=2500（人），又抽取的样本容量为100．∴抽取比例为=0.01，∴月收入在[2000，2500）的这段应抽取2500×0.01=25（人）；（2）从左数第一组的频率为0.0002×500=0.1；第二组的频率为0.0004×500=0.2；第三组的频率为0.0005×500=0.25；∴中位数位于第三组，设中位数为2000+x，则x×0.0005=0.5﹣0.1﹣0.2=0.2⇒x=400．∴中位数为2400（元）（3）由1250×0.1+1750×0.2+2250×0.25+2750×0.25+3250×0.15+3750×0.05=2400，所以样本数据的平均数为2400（元）．19．已知α、β∈（0，π），且tanα、tanβ是方程x2﹣5x+6=0的两根．（1）求tan（α+β）的值；（2）求cos（α﹣β）的值．【考点】两角和与差的余弦函数；正切函数的图象．【分析】（1）利用韦达定理，同角三角的基本关系，求得tan（α+β）的值．（2）利用同角三角的基本关系，两角和差的三角公式，求得cos（α﹣β）的值．【解答】解．①由根与系数的关系得：tanα+tanβ=5，tanα•tanβ=6，∴tan（α+β）==﹣1．②由（1）得tanα=2，tanβ=3，或tanα=3，tanβ=2，∴α∈（，）、β∈（，），∴α+β∈（，π ），∴α+β=，∴cos（α+β）=﹣．即cos（α+β ）=cosαcosβ﹣sinαsinβ=﹣．再根据tanα•tanβ=6，可得sinαsinβ=6cosαcosβ，求得cosαcosβ=，sinαsinβ=，∴．20．已知函数f（x）=5sinx•cosx﹣5（x∈R）（1）求f（x）的最小正周期；（2）求f（x）的单调区间．【考点】三角函数中的恒等变换应用；复合三角函数的单调性．【分析】（1）利用二倍角的增函数、余弦函数以及两角和与差的正弦函数化简函数为一个角的一个三角函数的形式，直接求f（x）的最小正周期；（2）通过正弦函数的单调增区间直接求f（x）的单调区间．【解答】解：===5（1）T=π；（2）因为，k∈Z，解得x∈的单增区间，，k∈Z，解得x∈的单减区间；21．一个口袋内装有大小相同的3个红球和2个黄球，从中一次摸出两个球．（1）问共有多少个基本事件；（2）求摸出两个球都是红球的概率；（3）求摸出的两个球都是黄球的概率；（4）求摸出的两个球一红一黄的概率．【考点】古典概型及其概率计算公式；等可能事件的概率．【分析】（1）所有的基本事件共有个．（2）摸出两个球都是红球的基本事件共有=3个，而所有的基本事件共有10个，由此求得摸出两个球都是红球的概率．（3）摸出的两个球都是黄球的基本事件共有1个，而所有的基本事件共有10个，由此求得摸出两个球都是黄球的概率．（4）摸出的两个球一红一黄的基本事件共有3×2=6个，而所有的基本事件共有10个，由此求得摸出两个球是一红一黄的概率．【解答】解：（1）所有的基本事件共有=10个．（2）摸出两个球都是红球的基本事件共有=3个，而所有的基本事件共有10个，故摸出两个球都是红球的概率为．（3）摸出的两个球都是黄球的基本事件共有1个，而所有的基本事件共有10个，故摸出两个球都是黄球的概率为．（4）摸出的两个球一红一黄的基本事件共有3×2=6个，而所有的基本事件共有10个，故摸出两个球是一红一黄的概率为=．。

2014-2015学年湖南省衡阳市衡阳县四中高二（上）模块数学试卷一．选择题（本题10小题，每小题5分，共50分，只有一项是符合题目要求的）1．设命题甲为：0＜x＜5，命题乙为：|x﹣2|＜3，则甲是乙的（） A．充分不必要条件 B．必要不充分条件C．充要条件 D．既不充分又不必要条件2．已知命题p：所有有理数都是实数，命题q：正数的对数都是负数，则下列命题中为真命题的是（）A．（￢p）∨q B． p∧q C．（￢p）∧（￢q） D．（￢p）∨（￢q）3．命题“若α=，则tan α=1”的逆否命题是（）A．若α≠，则tan α≠1 B．若α=，则tan α≠1C．若tan α≠1，则α≠ D．若tan α≠1，则α=4．双曲线的渐近线方程为（）A． y=± B． y=±x C． y=±2x D． y=±4x5．已知f（x）=xln x，若f′（x0）=2，则x0等于（）A． e2 B． e C． D． ln 26．双曲线﹣=1的渐近线与圆（x﹣3）2+y2=r2（r＞0）相切，则r=（）A． B． 2 C． 3 D． 67．设F1，F2分别为双曲线﹣=1（a＞0，b＞0）的左、右焦点，双曲线上存在一点P使得|PF1|+|PF2|=3b，|PF1|•|PF2|=ab，则该双曲线的离心率为（）A． B． C． D． 38．设椭圆C：=1（a＞b＞0）的左、右焦点分别为F1、F2，P是C上的点PF2⊥F1F2，∠PF1F2=30°，则C的离心率为（）A． B． C． D．9．已知直线l1：4x﹣3y+6=0和直线l2：x=﹣1，抛物线y2=4x上一动点P到直线l1和直线l2的距离之和的最小值是（）A． 2 B． 3 C． D．10．△ABC的顶点A（﹣5，0），B（5，0），△ABC的内切圆圆心在直线x=3上，则顶点C的轨迹方程是（）A．﹣=1 B．=1C．﹣=1（x＞3） D．=1（x＞4）二、填空题：本大题共5小题，每小题5分，共25分.11．若a≤b，则ac2≤bc2，则命题的原命题、逆命题、否命题和逆否命题中正确命题的个数是．12．“p或q”为真命题是“p且q”为真命题的条件．13．已知抛物线的顶点为坐标原点，对称轴为x轴，且过点P（﹣2，2），则抛物线的方程为．14．若函数存在垂直于y轴的切线，则实数a的取值范围是．15．椭圆的焦点为F1，F2，点P在椭圆上，若|PF1|=4，∠F1PF2的大小为．三、解答题：本大题共6小题，共75分.解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤. 16．命题p：实数x满足x2﹣4ax+3a2＜0，其中a＜0；命题q：实数x满足x2﹣x﹣6≤0或x2+2x ﹣8＞0；若￢p是￢q的必要不充分条件，求a的取值范围．17．如图，直线y=x与抛物线y=x2﹣4交于A、B两点，线段AB的垂直平分线与直线y=﹣5交于Q点．（1）求点Q的坐标；（2）当P为抛物线上位于线段AB下方（含A、B）的动点时，求△OPQ面积的最大值．18．已知椭圆上的点P到左右两焦点F1，F2的距离之和为，离心率为．（Ⅰ）求椭圆的方程；（Ⅱ）过右焦点F2的直线l交椭圆于A、B两点，若y轴上一点满足|MA|=|MB|，求直线l的斜率k的值．19．已知二次函数f（x）满足：①在x=1时有极值；②图象过点（0，﹣3），且在该点处的切线与直线2x+y=0平行．（1）求f（x）的解析式；（2）求函数g（x）=f（x2）的单调递增区间．20．若函数f（x）=ax3﹣bx+4，当x=2时，函数f（x）有极值为，（Ⅰ）求函数f（x）的解析式；（Ⅱ）若f（x）=k有3个解，求实数k的取值范围．21．已知x=1是函数f（x）=mx3﹣3（m+1）x2+nx+1的一个极值点，其中m，n∈R，m＜0．（Ⅰ）求m与n的关系表达式；（Ⅱ）求f（x）的单调区间；（Ⅲ）当x∈[﹣1，1]时，函数y=f（x）的图象上任意一点的切线斜率恒大于3m，求m的取值范围．2014-2015学年湖南省衡阳市衡阳县四中高二（上）模块数学试卷参考答案与试题解析一．选择题（本题10小题，每小题5分，共50分，只有一项是符合题目要求的）1．设命题甲为：0＜x＜5，命题乙为：|x﹣2|＜3，则甲是乙的（）A．充分不必要条件 B．必要不充分条件C．充要条件 D．既不充分又不必要条件考点：必要条件、充分条件与充要条件的判断．分析：如果能从命题甲推出命题乙，且能从命题乙推出命题甲，那么条件乙与条件甲互为充分必要条件，简称充要条件，如果只是其中之一，则是充分不必要条件或是必要不充分条件．解答：解：∵：|x﹣2|＜3，∴﹣1＜x＜5，显然，甲⇒乙，但乙不能⇒甲，故甲是乙的充分不必要条件．故选A．点评：本题主要考查了充要条件，以及绝对值不等式的解法，属于基础题．如果能从命题p 推出命题q，且能从命题q推出命题p，那么条件q与条件p互为充分必要条件，简称充要条件．2．已知命题p：所有有理数都是实数，命题q：正数的对数都是负数，则下列命题中为真命题的是（）A．（￢p）∨q B． p∧q C．（￢p）∧（￢q） D．（￢p）∨（￢q）考点：复合命题的真假．分析：先判断命题p和命题q的真假，命题p为真命题，命题q为假命题，再由真值表对照答案逐一检验．解答：解：不难判断命题p为真命题，命题q为假命题，从而¬p为假命题，¬q为真命题，所以A、B、C均为假命题，故选D．点评：本题考查复合命题的真值判断，属基本题．3．命题“若α=，则tan α=1”的逆否命题是（）A．若α≠，则tan α≠1 B．若α=，则tan α≠1C．若tan α≠1，则α≠ D．若tan α≠1，则α=考点：四种命题．专题：简易逻辑．分析：根据命题“若p，则q”的逆否命题是“若￢q，则￢p”，直接写出它的逆否命题即可．解答：解：命题“若α=，则tan α=1”的逆否命题是“若tan α≠1，则α≠”．故选：C．点评：本题考查了命题和它的逆否命题之间的关系的应用问题，解题时应根据四种命题之间的关系进行解答，是基础题．4．双曲线的渐近线方程为（）A． y=± B． y=±x C． y=±2x D． y=±4x考点：双曲线的简单性质．专题：圆锥曲线的定义、性质与方程．分析：把双曲线，其渐近线方程是，整理后就得到双曲线的渐近线方程．解答：解：双曲线，其渐近线方程，整理得y=±．故选：A．点评：本题考查双曲线的标准方程，以及双曲线的简单性质的应用，令标准方程中的“1”为“0”即可求出渐近线方程．5．已知f（x）=xln x，若f′（x0）=2，则x0等于（）A． e2 B． e C． D． ln 2考点：导数的运算．专题：导数的概念及应用．分析：先对函数进行求导，然后根据f′（x0）=2，建立等式关系，解之即可求得答案．解答：解：∵f（x）=xln x，（x＞0）∴f′（x）=lnx+1，∵f′（x0）=2，∴f′（x0）=lnx0+1=2，解得x0=e，∴x0的值等于e．故选：B．点评：本题主要考查了导数的运算，以及函数求值和对数方程的求解，同时考查了运算求解的能力，注意函数的定义域，属于基础题．6．双曲线﹣=1的渐近线与圆（x﹣3）2+y2=r2（r＞0）相切，则r=（）A． B． 2 C． 3 D． 6考点：双曲线的简单性质；点到直线的距离公式．专题：计算题．分析：求出渐近线方程，再求出圆心到渐近线的距离，根据此距离和圆的半径相等，求出r．解答：解：双曲线的渐近线方程为y=±x，即x±y=0，圆心（3，0）到直线的距离d==，∴r=．故选A．点评：本题考查双曲线的性质、点到直线的距离公式．7．设F1，F2分别为双曲线﹣=1（a＞0，b＞0）的左、右焦点，双曲线上存在一点P使得|PF1|+|PF2|=3b，|PF1|•|PF2|=ab，则该双曲线的离心率为（）A． B． C． D． 3考点：双曲线的简单性质．专题：圆锥曲线的定义、性质与方程．分析：不妨设右支上P点的横坐标为x，由焦半径公式有|PF1|=ex+a，|PF2|=ex﹣a，结合条件可得a=b，从而c==b，即可求出双曲线的离心率．解答：解：不妨设右支上P点的横坐标为x由焦半径公式有|PF1|=ex+a，|PF2|=ex﹣a，∵|PF1|+|PF2|=3b，|PF1|•|PF2|=ab，∴2ex=3b，（ex）2﹣a2=ab∴b2﹣a2=ab，即9b2﹣4a2﹣9ab=0，∴（3b﹣4a）（3b+a）=0∴a=b，∴c==b，∴e==．故选：B．点评：本题主要考查了双曲线的简单性质，考查了双曲线的第二定义的灵活运用，属于中档题．8．设椭圆C：=1（a＞b＞0）的左、右焦点分别为F1、F2，P是C上的点PF2⊥F1F2，∠PF1F2=30°，则C的离心率为（）A． B． C． D．考点：椭圆的简单性质．专题：圆锥曲线的定义、性质与方程．分析：设|PF2|=x，在直角三角形PF1F2中，依题意可求得|PF1|与|F1F2|，利用椭圆离心率的性质即可求得答案．解答：解：|PF2|=x，∵PF2⊥F1F2，∠PF1F2=30°，∴|PF1|=2x，|F1F2|=x，又|PF1|+|PF2|=2a，|F1F2|=2c∴2a=3x，2c=x，∴C的离心率为：e==．故选D．点评：本题考查椭圆的简单性质，求得|PF1|与|PF2|及|F1F2|是关键，考查理解与应用能力，属于中档题．9．已知直线l1：4x﹣3y+6=0和直线l2：x=﹣1，抛物线y2=4x上一动点P到直线l1和直线l2的距离之和的最小值是（）A． 2 B． 3 C． D．考点：直线与圆锥曲线的关系；点到直线的距离公式．专题：计算题．分析：先确定x=﹣1为抛物线y2=4x的准线，再由抛物线的定义得到P到l2的距离等于P到抛物线的焦点F（l2，0）的距离，进而转化为在抛物线y2=4x上找一个点P使得P到点F（l2，0）和直线l2的距离之和最小，再由点到线的距离公式可得到距离的最小值．解答：解：直线l2：x=﹣1为抛物线y2=4x的准线，由抛物线的定义知，P到l2的距离等于P到抛物线的焦点F（l2，0）的距离，故本题化为在抛物线y2=4x上找一个点P使得P到点F（l2，0）和直线l2的距离之和最小，最小值为F（l2，0）到直线l2：4x﹣3y+6=0的距离，即d=，故选A．点评：本小题考查抛物线的定义、点到直线的距离，考查基础知识的综合应用．圆锥曲线是高考的热点也是难点问题，一定要强化复习．10．△ABC的顶点A（﹣5，0），B（5，0），△ABC的内切圆圆心在直线x=3上，则顶点C的轨迹方程是（）A．﹣=1 B．=1C．﹣=1（x＞3） D．=1（x＞4）考点：轨迹方程．专题：计算题；数形结合．分析：根据图可得：|CA|﹣|CB|为定值，利用根据双曲线定义，所求轨迹是以B为焦点，实轴长为6的双曲线的右支，从而写出其方程即得．解答：解：如图设△ABC与圆的切点分别为D、E、F，则有|AD|=|AE|=8，|BF|=|BE|=2，|CD|=|CF|，所以|CA|﹣|CB|=8﹣2=6．根据双曲线定义，所求轨迹是以B为焦点，实轴长为6的双曲线的右支，方程为﹣=1（x＞3）．故选C点评：本题考查轨迹方程，利用的是定义法，定义法：若动点轨迹的条件符合某一基本轨迹的定义（如椭圆、双曲线、抛物线、圆等），可用定义直接探求．二、填空题：本大题共5小题，每小题5分，共25分.11．若a≤b，则ac2≤bc2，则命题的原命题、逆命题、否命题和逆否命题中正确命题的个数是 2 ．考点：四种命题．专题：简易逻辑．分析：首先，判断原命题为假命题，然后，分别写出它的其它三种形式的命题，然后，分别判断真假．解答：解：若a≤b，则ac2≤bc2，为真命题；逆命题为：若ac2≤bc2，则a≤b，为假命题；否命题：若a＞b，则ac2＞bc2，为假命题；逆否命题：若ac2＞bc2，则a＞b，为真命题；故正确命题的个数为2，故答案为：2．点评：本题重点考查了四种命题的真假判断，属于中档题．12．“p或q”为真命题是“p且q”为真命题的必要不充分条件．考点：必要条件、充分条件与充要条件的判断．专题：简易逻辑．分析：根据复合命题之间的关系进行判断即可．解答：解：若“p或q”为真命题，则p，q至少有一个为真，则此时“p且q”不一定为真命题，若“p且q”为真命题，则p，q同时为真，必要性成立，故“p或q”为真命题是“p且q”为真命题的必要不充分条件，故答案为：必要不充分点评：本题主要考查充分条件和必要条件的判断，根据复合命题之间的关系是解决本题的关键．13．已知抛物线的顶点为坐标原点，对称轴为x轴，且过点P（﹣2，2），则抛物线的方程为y2=﹣4x ．考点：抛物线的标准方程．专题：计算题；圆锥曲线的定义、性质与方程．分析：设抛物线方程为y2=mx，代入P（﹣2，2），得到方程，解方程即可得到所求抛物线方程．解答：解：设抛物线方程为y2=mx，代入P（﹣2，2），可得，8=﹣2m，即有m=﹣4，则抛物线的方程为y2=﹣4x．故答案为：y2=﹣4x．点评：本题考查抛物线的方程的求法，考查待定系数法的运用，考查运算能力，属于基础题．14．若函数存在垂直于y轴的切线，则实数a的取值范围是[2，+∞）．考点：导数的几何意义．分析：先对函数f（x）求导，然后令导函数等于0得到关于a，x的关系式，再由基本不等式可求出a的范围．解答：解：∵∴f'（x）=x﹣a+由题意可知存在实数x＞0使得f'（x）=x﹣a+=0，即a=x+成立∴a=x+≥2（当且仅当x=，即x=1时等号取到）故答案为：[2，+∞）点评：本题主要考查导数的几何意义，即函数在某点的导数值等于切点为该点的切线的斜率．15．椭圆的焦点为F1，F2，点P在椭圆上，若|PF1|=4，∠F1PF2的大小为120°．考点：椭圆的简单性质．专题：计算题；圆锥曲线的定义、性质与方程．分析：由|PF1|+|PF2|=6，且|PF1|=4，易得|PF2|，再利用余弦定理，即可求得结论．解答：解：∵|PF1|+|PF2|=2a=6，|PF1|=4，∴|PF2|=6﹣|PF1|=2．在△F1PF2中，cos∠F1PF2==﹣，∴∠F1PF2=120°．故答案为：120°点评：本题主要考查椭圆定义的应用及焦点三角形问题，考查余弦定理的运用，考查学生的计算能力，属于基础题．三、解答题：本大题共6小题，共75分.解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤. 16．命题p：实数x满足x2﹣4ax+3a2＜0，其中a＜0；命题q：实数x满足x2﹣x﹣6≤0或x2+2x ﹣8＞0；若￢p是￢q的必要不充分条件，求a的取值范围．考点：必要条件、充分条件与充要条件的判断；命题的否定；一元二次不等式的应用．专题：计算题．分析：利用不等式的解法求解出命题p，q中的不等式范围问题，结合二者的关系得出关于字母a的不等式，从而求解出a的取值范围．解答：解：x2﹣4ax+3a2=0对应的根为a，3a；由于a＜0，则x2﹣4ax+3a2＜0的解集为（3a，a），故命题p成立有x∈（3a，a）；由x2﹣x﹣6≤0得x∈[﹣2，3]，由x2+2x﹣8＞0得x∈（﹣∞，﹣4）∪（2，+∞），故命题q成立有x∈（﹣∞，﹣4）∪[﹣2，+∞）．若¬p是¬q的必要不充分条件，即p是q的充分不必要条件，因此有（3a，a）⊊（﹣∞，﹣4）或（3a，a）⊊[﹣2，+∞），又a＜0，解得a≤﹣4或；故a的范围是a≤﹣4或．点评：本题考查一元二次不等式的解法，考查二次不等式与二次函数的关系，注意数形结合思想的运用．17．如图，直线y=x与抛物线y=x2﹣4交于A、B两点，线段AB的垂直平分线与直线y=﹣5交于Q点．（1）求点Q的坐标；（2）当P为抛物线上位于线段AB下方（含A、B）的动点时，求△OPQ面积的最大值．考点：抛物线的应用；直线与圆锥曲线的综合问题．专题：计算题．分析：（1）把直线方程抛物线方程联立求得交点A，B的坐标，则AB中点M的坐标可得，利用AB的斜率推断出AB垂直平分线的斜率，进而求得AB垂直平分线的方程，把y=﹣5代入求得Q的坐标．（2）设出P的坐标，利用P到直线0Q的距离求得三角形的高，利用两点间的距离公式求得QO的长，最后利用三角形面积公式表示出三角形OPQ，利用x的范围和二次函数的单调性求得三角形面积的最大值．解答：解：（1）解方程组得或即A（﹣4，﹣2），B（8，4），从而AB的中点为M（2，1），由k AB═，直线AB的垂直平分线方程y﹣1=﹣2（x﹣2）．令y=﹣5，得x=5，∴Q（5，﹣5）．（2）直线OQ的方程为x+y=0，设P（x，x2﹣4）．∵点P到直线OQ的距离d==．，∴S△OPQ=|OQ|d=∵P为抛物线上位于线段AB下方的点，且P不在直线OQ上，∴﹣4≤x＜4﹣4或4﹣4＜x≤8．∵函数y=x2+8x﹣32在区间[﹣4，8]上单调递增，∴当x=8时，△OPQ的面积取到最大值30．点评：本题主要考查了抛物线的应用，点到直线的距离公式．考查了对解析几何基础知识的灵活运用．18．已知椭圆上的点P到左右两焦点F1，F2的距离之和为，离心率为．（Ⅰ）求椭圆的方程；（Ⅱ）过右焦点F2的直线l交椭圆于A、B两点，若y轴上一点满足|MA|=|MB|，求直线l的斜率k的值．考点：直线与圆锥曲线的综合问题．专题：综合题；圆锥曲线的定义、性质与方程．分析：（Ⅰ）利用椭圆的定义求出a，根据离心率为，求出c，从而可求b，即可求椭圆的方程；（Ⅱ）设直线的方程为y=k（x﹣1），联立直线与椭圆的方程，可得AB的中点坐标，确定AB 的中垂线方程，利用|MA|=|MB|，即可求直线l的斜率k的值．解答：解：（Ⅰ），∴﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣（1分）∵，∴，﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣（2分）∴b2=a2﹣c2=2﹣1=1﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣（3分）∴椭圆的标准方程为﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣（4分）（Ⅱ）已知F2（1，0），设直线的方程为y=k（x﹣1），A（x1，y1）B（x2，y2）﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣（5分）联立直线与椭圆的方程，化简得：（1+2k2）x2﹣4k2x+2k2﹣2=0﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣（6分）∴，∴AB的中点坐标为﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣（8分）①当k≠0时，AB的中垂线方程为﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣（9分）∵|MA|=|MB|，∴点M在AB的中垂线上，将点M的坐标代入直线方程得：，即，解得或﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣（11分）②当k=0时，AB的中垂线方程为x=0，满足题意．﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣（12分）∴斜率k的取值为．﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣（13分）点评：本题考查椭圆的方程，考查直线与椭圆的位置关系，考查分类讨论的数学思想，考查学生分析解决问题的能力，属于中档题．19．已知二次函数f（x）满足：①在x=1时有极值；②图象过点（0，﹣3），且在该点处的切线与直线2x+y=0平行．（1）求f（x）的解析式；（2）求函数g（x）=f（x2）的单调递增区间．考点：利用导数研究曲线上某点切线方程；利用导数研究函数的单调性；函数在某点取得极值的条件．专题：计算题．分析：（1）先根据函数模型设出函数解析式，然后对函数f（x）求导，令f'（1）=0，f'（0）=﹣2，f（0）=﹣3建立方程组，解之即可得到答案；（2）将函数f（x）的解析式代入求出函数g（x）的解析式后求导，令导函数大于0求出x的范围即可求出函数g（x）的单调递增区间．解答：解：（1）设f（x）=ax2+bx+c，则f¢（x）=2ax+b．由题设可得：即解得所以f（x）=x2﹣2x﹣3．（2）g（x）=f（x2）=x4﹣2x2﹣3， g′（x）=4x3﹣4x=4x（x﹣1）（x+1）．列表：x （﹣∞，﹣1）﹣1 （﹣1，0） 0 （0，1） 1 （1，+∞）f′（x）﹣ 0 + 0 ﹣ 0 +f（x）↘↗↘↗由表可得：函数g（x）的单调递增区间为（﹣1，0），（1，+∞）．点评：本题主要考查导数的几何意义、导数的正负情况和原函数的增减性的关系，属基础题．20．若函数f（x）=ax3﹣bx+4，当x=2时，函数f（x）有极值为，（Ⅰ）求函数f（x）的解析式；（Ⅱ）若f（x）=k有3个解，求实数k的取值范围．考点：利用导数研究函数的极值；利用导数研究函数的单调性．专题：计算题；综合题．分析：（1）先对函数进行求导，然后根据f（2）=﹣．f'（2）=0可求出a，b的值，进而确定函数的解析式．（2）根据（1）中解析式然后求导，然后令导函数等于0求出x的值，然后根据函数的单调性与其导函数的正负之间的关系确定单调性，进而确定函数的大致图象，最后找出k的范围．解答：解：（Ⅰ）f′（x）=3ax2﹣b由题意；，解得，∴所求的解析式为（Ⅱ）由（1）可得f′（x）=x2﹣4=（x﹣2）（x+2）令f′（x）=0，得x=2或x=﹣2，∴当x＜﹣2时，f′（x）＞0，当﹣2＜x＜2时，f′（x）＜0，当x＞2时，f′（x）＞0因此，当x=﹣2时，f（x）有极大值，当x=2时，f（x）有极小值，∴函数的图象大致如图．由图可知：．点评：本题主要考查函数的单调性、极值与其导函数之间的关系．导数是高等数学下放到高中的内容，是高考的热点问题，每年必考，要给予充分重视．21．已知x=1是函数f（x）=mx3﹣3（m+1）x2+nx+1的一个极值点，其中m，n∈R，m＜0．（Ⅰ）求m与n的关系表达式；（Ⅱ）求f（x）的单调区间；（Ⅲ）当x∈[﹣1，1]时，函数y=f（x）的图象上任意一点的切线斜率恒大于3m，求m的取值范围．考点：利用导数研究函数的极值；函数恒成立问题；利用导数研究函数的单调性．分析：（Ⅰ）求出f′（x），因为x=1是函数的极值点，所以得到f'（1）=0求出m与n的关系式；（Ⅱ）令f′（x）=0求出函数的极值点，讨论函数的增减性确定函数的单调区间；（Ⅲ）函数图象上任意一点的切线斜率恒大于3m即f′（x）＞3m代入得到不等式即3m（x﹣1）[x﹣（1+）]＞3m，又因为m＜0，分x=1和x≠1，当x≠1时g（t）=t﹣，求出g（t）的最小值．要使＜（x﹣1）﹣恒成立即要g（t）的最小值＞，解出不等式的解集求出m的范围．解答：解：（Ⅰ）f′（x）=3mx2﹣6（m+1）x+n．因为x=1是f（x）的一个极值点，所以f'（1）=0，即3m﹣6（m+1）+n=0．所以n=3m+6．（Ⅱ）由（Ⅰ）知f′（x）=3mx2﹣6（m+1）x+3m+6=3m（x﹣1）[x﹣（1+）]当m＜0时，有1＞1+，当x变化时f（x）与f'（x）的变化如下表：x （﹣∞，1+） 1+（1+，1） 1 （1，+∞）f′（x）＜0 0 ＞0 0 ＜0f（x）单调递减极小值单调递增极大值单调递减由上表知，当m＜0时，f（x）在（﹣∞，1+）单调递减，在（1+，1）单调递增，在（1，+∞）单调递减．（Ⅲ）由已知，得f′（x）＞3m，即3m（x﹣1）[x﹣（1+）]＞3m，∵m＜0．∴（x﹣1）[x﹣1（1+）]＜1．（*）10x=1时．（*）式化为0＜1怛成立．∴m＜0．20x≠1时∵x∈[﹣1，1]，∴﹣2≤x﹣1＜0．（*）式化为＜（x﹣1）﹣．令t=x﹣1，则t∈[﹣2，0），记g（t）=t﹣，则g（t）在区间[﹣2，0）是单调增函数．∴g（t）min=g（﹣2）=﹣2﹣=﹣．由（*）式恒成立，必有＜﹣⇒﹣＜m，又m＜0．∴﹣＜m＜0．综上10、20知﹣＜m＜0．点评：考查学生利用待定系数法求函数解析式的能力，利用导数研究函数极值和单调性的能力，以及掌握不等式恒成立的条件．。

一、选择题（本大题共10个小题，每小题4分，共40分）1．已知函数x x f -=1)(定义域为M ，x x g ln )(=定义域为N ，则=N M ( ) A ．{}1|≤x x B ．{}10|≤<x x C ．{}10|<<x x D ．{}10|≤≤x x 2．函数12)(-=x x f 的值域为 （ ）[)∞+-，A 、1 (]1-∞-，B 、 ()∞+-，C 、1 [)∞+，D 、0 3．下列函数在(0,)+∞上单调递增的是（ ）A ．2(1)y x =- B ．lg(3)y x =+ C ．12xy -=D ．11y x =+ 4．设已知23=a ，则8log 6log 233-等于（ ） A ．a -2 B ．12+-a aC ．a 52-D ．a a 32-5．在正方体1111D C B A ABCD -中，1BD 与AC 所成的角是 （ ）A ． 60B ． 30C ． 90D ． 456．已知平面,αβ，直线,l m ，且有,l m αβ⊥⊂，则下列四个命题正确的个数为（ ）①若α∥β则l m ⊥； ②若l ∥m 则l ∥β； ③若αβ⊥则l ∥m ； ④若l m ⊥则l β⊥； A ．1 B ．2C ．3D ．47．设函数1()ln (0)3f x x x x =->,则函数()f x （ ）A ．在区间(0,1)(1,)+∞，　内均有零点B ．在区间(0,1)(1,)+∞，　内均无零点C ．在区间(0,1)内有零点,在区间(1,)+∞内无零点D ．在区间(0,1)内无零点,在区间(1,)+∞内有零点8．已知减函数(1)y f x =-是定义在R 上的奇函数，则不等式(1)0f x ->的解集为（ ）A ．(1,)+∞B ．(2,)+∞C ．(,0)-∞D ．(0,)+∞9．几何体的三视图如图所示,则该几何体的体积为 （ ）A．2π+ B．4π+ C．2π+ D．4π+10．已知f (x )＝⎩⎪⎨⎪⎧a x(x >1)，⎝⎛⎭⎫4－a 2x ＋2 (x ≤1)是R 上的单调递 增函数，则实数a 的取值范围为 ( ) A ．(1，＋∞)B ．[4,8)C ．(4,8)D ．(1,8)二、填空题（本大题共6个小题，每小题4分，共24分） 11、设集合{}|12M x x =-≤<，{}|0N x x k =-≤，若M N ⊆，则k 的取值范围是 。

2014-2015学年高一下学期期中考试数学试卷-Word版含答案2014——2015学年下学期高一年级期中考数学学科试卷本试卷分第Ⅰ卷（选择题）和第Ⅱ卷（非选择题）两部分，满分150分，考试时间120分钟第Ⅰ卷（选择题 共60分）一、选择题：本大题共12小题，每小题5分，共60分。

在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的。

1. 不等式0121≤+-x x 的解集为( )A.⎝ ⎛⎭⎪⎫－∞，－12∪[1，＋∞) B.⎣⎢⎡⎦⎥⎤－12，1C.⎝ ⎛⎦⎥⎤－∞，－12∪[1，＋∞) D. ⎝ ⎛⎦⎥⎤－12，12. 若0<<b a ，则下列不等式不能成立的是 ( ) A.ba11> B ．b a 22> C ．b a > D ．b a )21()21(> 3. 不等式16)21(1281≤<x 的整数解的个数为 （ ）A ．10B ．11C ．12D ．134. 等差数列{}n a 中，如果39741=++a a a ，27963=++a a a ，则数列{}n a 前9项的和为( )A ．297B ．144C ．99D ．665. 已知直线1l ：01)4()3(=+-+-y k x k 与2l ：032)3(2=+--y x k 平行，则k 的值是( )A ．1或3B ．1或5C ．3或5D ．1或26. 在△ABC 中，80=a ，70=b ，45=A ，则此三角形解的情况是 （ ） A 、一解 B 、两解 C 、一解或两解 D 、无解7. 如果0<⋅C A ，且0<⋅C B ，那么直线0=++C By Ax 不通过( ) A ．第一象限 B ．第二象限 C ．第三象限 D ．第四象限8.已知点()5,x 关于点),1(y 的对称点为()3,2--,则点()y x p ,到原点的距离为( )A ．4B ．13C ．15D ．179. 计算机是将信息转换成二进制进行处理的，二进制即“逢二进一”，如(1 101)2表示二进制数，将它转换成十进制数是1×23＋1×22＋0×21＋1×20＝13，那么将二进制数(11…114个01)2转换成十进制数是( )A ．216－1B ．216－2C ．216－3D ．216－4 10. 数列{}n a 满足21=a ，1111+-=++n n n a a a ，其前n 项积为n T ，则=2014T ( ) A.61B ．61- C ．6 D ．6- 11. 已知0,0>>y x ，且112=+yx，若m m y x 222+>+恒成立，则实数m 的取值范围是( )A ．(－∞，－2]∪[4，＋∞)B ．(－2，4)C ．(－∞，－4]∪[2，＋∞)D ．(－4，2) 12. 设数列{}n a 的前n 项和为n S ，令nS S S T nn +++=21，称n T 为数列n a a a ,,,21 的“理想数”，已知数列50021,,,a a a 的“理想数”为2004，那么数列12,50021,,,a a a 的“理想数”为( ) A ．2012 B ．2013 C ．2014 D ．2015第Ⅱ卷（非选择题 共90分）19.(12分) 已知直线l 过点)2,3(P ，且与x 轴、y 轴的正半轴分别交于A ，B 两点，如图所示，求OAB ∆的面积的最小值及此时直线l 的方程．20. (12分) 某观测站C 在城A 的南偏西20˚的方向上，由A 城出发有一条公路，走向是南偏东40˚，在C 处测得距C 为31千米的公路上B 处有一人正沿公路向A 城走去，走了20千米后，到达D 处，此时C 、D 间距离为21千米，问还需走多少千米到达A 城？21. (12分) 在各项均为正数的等差数列{}n a 中，对任意的*N n ∈都有12121+=+++n n n a a a a a . (1)求数列{}n a 的通项公式n a ；(2)设数列{}n b 满足11=b ，na n nb b 21=-+，求证：对任意的*N n ∈都有212++<n n n b b b .22. (12分)设函数())0(132>+=x xx f ，数列{}n a 满足11=a ，)1(1-=n n a f a ，*N n ∈，且2≥n .(1)求数列{}n a 的通项公式； (2)对*N n ∈，设13221111++++=n n n a a a a a a S ，若ntS n 43≥恒成立，求实数t 的取值范围．答案一、选择题：（每题5分，共60分）13、 3 14、349π15、 2 16、 ①②⑤三、解答题：本大题共6小题，共70分．解答应写出文字说明，证明过程或演算步骤．17. 解：(1)由题意，得⎩⎪⎨⎪⎧a 3a 6＝55，a 3＋a 6＝a 2＋a 7＝16.∵公差d>0，∴⎩⎪⎨⎪⎧a 3＝5，a 6＝11，∴d ＝2，a n ＝2n －1.(2)∵b n ＝a n ＋b n －1(n≥2，n ∈N *)， ∴b n －b n －1＝2n －1(n≥2，n ∈N *)．∵b n ＝(b n －b n －1)＋(b n －1－b n －2)＋…＋(b 2－b 1)＋b 1(n≥2，n ∈N *)，且b 1＝a 1＝1，∴b n ＝2n －1＋2n －3＋…＋3＋1＝n 2(n≥2，n ∈N *)． ∴b n ＝n 2(n ∈N *)．题号 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 答案 D BBCCACDCDDA18. 解析 27(1)4sin cos 2180,:22B C A A B C +-=++=︒由及得 22272[1cos()]2cos 1,4(1cos )4cos 5214cos 4cos 10,cos ,20180,60B C A A A A A A A A -+-+=+-=-+=∴=︒<<︒∴=︒即 22222222(2):cos 211cos ()3.2223123,3: 2 :.221b c a A bcb c a A b c a bc bc b c b b a b c bc bc c c +-=+-=∴=∴+-=+===⎧⎧⎧=+==⎨⎨⎨===⎩⎩⎩由余弦定理得代入上式得由得或 19. 解：由题意设直线方程为x a ＋y b ＝1(a ＞0，b ＞0)，∴3a ＋2b ＝1.由基本不等式知3a ＋2b ≥26ab，即ab≥24(当且仅当3a ＝2b，即a ＝6，b ＝4时等号成立)．又S ＝12a ·b ≥12×24＝12，此时直线方程为x 6＋y4＝1，即2x ＋3y －12＝0.∴△ABO 面积的最小值为12，此时直线方程为2x ＋3y －12＝0. 20. 解 据题意得图02，其中BC=31千米，BD=20千米，CD=21千米，∠CAB=60˚．设∠ACD = α ，∠CDB = β ． 在△CDB 中，由余弦定理得：71202123120212cos 222222-=⨯⨯-+=⋅⋅-+=BD CD BC BD CD β，734cos 1sin 2=-=ββ．()CDA CAD ∠-∠-︒=180sin sin α ()β+︒-︒-︒=18060180sin()143523712173460sin cos 60cos sin 60sin =⨯+⨯=︒-︒=︒-=βββ在△ACD 中得1514352321143560sin 21sin sin =⨯=⋅︒=⋅=αA CD AD ． 所以还得走15千米到达A 城． 21. 解：(1)设等差数列{a n }的公差为d.令n ＝1，得a 1＝12a 1a 2.由a 1>0，得a 2＝2.令n ＝2，得a 1＋a 2＝12a 2a 3，即a 1＋2＝a 1＋2d ，得d ＝1.从而a 1＝a 2－d ＝1.故a n ＝1＋(n －1)·1＝n. (2)证明：因为a n ＝n ，所以b n ＋1－b n ＝2n ，所以b n ＝(b n －b n －1)＋(b n －1－b n －2)＋…＋(b 2－b 1)＋b 1 ＝2n －1＋2n －2＋…＋2＋1 ＝2n －1.又b n b n ＋2－b 2n ＋1＝(2n －1)(2n ＋2－1)－(2n ＋1－1)2＝－2n <0， 所以b n b n ＋2<b 2n ＋1.22. 解：(1)由a n ＝f ⎝⎛⎭⎪⎫1a n －1，可得a n －a n －1＝23，n ∈N *，n≥2.所以{a n }是等差数列．又因为a 1＝1，所以a n ＝1＋(n －1)×23＝2n ＋13，n ∈N *.(2)因为a n ＝2n ＋13，所以a n ＋1＝2n ＋33，所以1a n a n ＋1＝92n ＋12n ＋3＝92⎝⎛⎭⎪⎫12n ＋1－12n ＋3.所以S n ＝92⎝ ⎛⎭⎪⎫13－12n ＋3＝3n 2n ＋3，n ∈N *. S n ≥3t 4n ，即3n 2n ＋3≥3t 4n ，得t≤4n 22n ＋3(n ∈N *)恒成立．令g(n)＝4n 22n ＋3(n ∈N *)，则g(n)＝4n 22n ＋3＝4n 2－9＋92n ＋3＝2n ＋3＋92n ＋3－6(n ∈N *)．令p ＝2n ＋3，则p≥5，p ∈N *.g(n)＝p ＋9p －6(n ∈N *)，易知p ＝5时，g(n)min ＝45.所以t≤45，即实数t 的取值范围是⎝⎛⎦⎥⎤－∞，45.。

2013-2014届高三第二学期模拟检测试卷数 学(理科)一、选择题:本大题共10小题,每小题5分,满分50分.在每小题给出的四个选项中,只有一项是符合题目要求的.1.在复平面内,复数11,(11i i i+-为虚数单位）对应的点分别为A 、B ,若点C 为线段AB 的中 点,则点C 对应的复数为（ ） A.12 B.1 C.12i D. i 2.以下茎叶图记录了甲乙两组各五名学生在一次英语听力测试中的成绩(单位:分),已知甲 组数据的中位数为17,乙组数据的平均数为17.4,则x ,y 的值分别为（ ） A.7, 8 B. 5, 7 C.8, 5 D. 8, 73下列命题中正确的是( ) A. 命题“∀x ∈R ,2x x -≤ 0”的否定是“∃x ∈R ,2x B. 命题“p ∧q 为真”是命题“p ∨q 为真”C. 若“22am bm ≤,则a ≤b ”的否命题为假命题;D. 已知图像连续不断的函数()y f x =在区间(,)a b (其中0.1b a -=)上有唯一零点,若 “二分法”求这个零点(精确度0.0001)的近似值,则将区间(,)a b 等分的次数至少是10次.4.一四面体的三视图如图所示,则该四面体四个面中最大的 面积是( )5.设函数3()lg3x f x x +=-,则3()()3x f f x+的定义域为( ) A.)9,0()0,9(⋃- B.)9,1()1,9(⋃-- C.)3,1()1,3(⋃--D. )9,3()3,9(⋃--6.如图右,正六边形P 1P 2P 3P 4P 5P 6中,下列向量的数量积中最大的是( ) A.1213PP PP ⋅ B.1214PP PP ⋅ C.1215PP PP ⋅D.1216PP PP ⋅7.设x ,y 满足2,31,1,x x y y x ≥⎧⎪-≥⎨⎪≥+⎩若目标函数z =ax +by (a >0,b >0)的最小值为2,则ab 的最大值为( )A.1B.C.D.8.数列{a n }的通项222(cos sin )33n n n a n ππ=-,其前n 项和为S n ,则S 30为( ) A. 470 B. 490 C. 495 D. 5109.四面体的一个顶点为A ,从其它顶点与各棱的中点中取3个点,使它们和点A 在 同一平面上,不同的取法有( ) A. 30种 B. 33种 C. 36种 D. 39种10.已知函数)(,)()(2R t t t x x f t ∈--=,设(),()(),()(),()()a a b ba b f x f x f x a b f x f x f x f x <⎧<=⎨≥⎩,若函数y =b a x x f -++)(有四个零点,则a b -的取值范围是( )A. ),52(+∞+B. )52,0(+C. )32,0(+D. ),32(+∞+ 二、填空题:本大题共6小题,考生作答5小题,每小题5分 ,共25分,把答案填在答题卡中对应题号后的横线上.（一）选做题（请考生在第11、12、13三题中选两题作答案,如果全做,则按前两题记分）11.在直角坐标系xoy 中,曲线1C 的参数方程为cos ,1sin x y αα=⎧⎨=+⎩(其中α为参数);在极坐标系(与直角坐标系xoy 取相同的长度单位,且原点O 为极点,以x 轴正半轴为极轴）中,曲线2C 的方程为(cos sin )10ρθθ-+=,则1C 与2C 交点个数为 . 12.若+∈R c b a ,,,且131211=++cb a ,则23a bc ++的最小值为 . 13.如图,已知p 是O 外一点,PD 为O 的切线,D 为 切点,割线PEF 经过圆心O ,若34,12==PD PF ,则EFD ∠的度数为 . (二)必做题（14-16题）14.右图中是一个算法流程图,则输出的n = .15.已知双曲线1162522=-yx 左支上一点M 到右 焦点F 的距离为16,N 是线段MF 的中点,O 为坐标原点,则||ON 的值是 . 16. 定义一种新运算如下:12211012212222)1(a a a a a a a a a t t t t t t t +⨯++⨯+⨯+=------,其中)1,,2,1,0(},1,0{-=∈t k a k ,给定)1(012211a a a a a X t t --=,构造无穷数列),1(:}{122102a a a a a X X t t k --=)1(221013a a a a a X t t --=,)1(345210124a a a a a a a a X t t --=,……,(1)若301=X ,则=4X (2)若)(,12221222321++++∈+++=N m X m m m ,则满足),2(,*1N k k X X k ∈≥=的k 的最小值为 （用m 的式子作答）三、解答题:本大题共6小题,共75分.解答应写出必要文字说明,证明过程或演算步骤.. 17.(本小题满分12分）在△ABC 中,内角,,A B C 的对边分别为,,a b c ,()(),,sin ,cos m a b n B A ==-, 且0m n ⋅=.(Ⅰ)求内角A 的大小;(Ⅱ)若10a =,求ABC △面积的最大值.18. (本小题满分12分）某教研机构准备举行一次高中数学新课程研讨会,拟邀请50名使用不同版本(Ⅰ)从这50名教师中随机选出2名教师发言,求第一位发言的教师所使用版本是北大师大版的概率;(Ⅱ)设使用北师大版的5名教师中有3名男教师,2名女教师,使用苏教版的10名教师中有6名男教师,4名女教师,若从这15名教师中随机选出3名教师发言,求选到用苏教版的女教师人数的分布列和期望.19. (本小题满分12分）如图,ABC ∆的外接圆⊙O CD ⊥O 所在的平面,BE //CD ,CD =4,BC =2,且BE =1,cos 21AEB ∠=. (Ⅰ)求证:平面ADC ⊥平面BCDE ;(Ⅱ)试问线段DE 上是否存在点M ,使得直线AM 与平面ACD 所成角的正弦值为27？若存在,确定点M 的位置,若不存在,请说明理由.20. (本小题满分13分）岳阳市临港新区自2009年6月8日开港来,吸引了一批投资过亿元的现代工业和物流储运企业落户.根据规划,2025年新港将全部建成13个泊位,从2014年（第一年）开始对其中某个子港口今后10年的发展规划,有如下两种方案:方案甲:按现状进行运营.据测算,每年可收入800万元,但由于港口淤积日益严重,从明年开始需投资进行清淤,第一年投资50万元,以后逐年递增20万元.方案乙:从2014年起开始投资4000万元进港口改造,以彻底根治港口淤积并提高吞吐能力.港口改造需用时4年,在此期间边改造边运营.据测算,开始改造后港口第一年的收入为400万元,在以后的4年中,每年收入都比上一年增长50%,而后各年的收入都稳定在第5年的水平上. (Ⅰ)至少经过多少年,方案乙能收回投资(累计总收益为正数)？ (Ⅱ)到哪一年,方案乙的累计总收益超过方案甲？(收益＝收入－投资)21. (本小题满分13分）设斜率为1k 的直线1l 与椭圆1222=+y x 交于不同的A 、B 两点,直线x k y 2=与直线1l 的交点为M ,（21k k ≠,且01≠k ）. (Ⅰ)若点M 为弦AB 的中点,求21k k 的值;(Ⅱ)把题设中的椭圆一般化为12222=+by a x (0,0,)a b a b >>≠,其他条件不变(i)根据(Ⅰ)的运算结果,写出一个关于21k k 的一般性结论,并判断与证明它的逆命题是否为真命题;(ii)根据以上探究,在双曲线12222=-by a x (0,0)a b >>中写出类似结论22. (本小题满分13分）已知函数()1()x f x e ax a R =--∈.(Ⅰ)求函数()y f x =的单调区间;(Ⅱ)试探究函数()()ln F x f x x x =-在定义域内是否存在零点,若存在,请指出有几个零点;若不存在,请说明理由.(Ⅲ)若()ln(1)ln x g x e x =--,且(())()f g x f x <在(0,)x ∈+∞上恒成立,求实数a 的取值范围.模拟检测试卷(二)数学参考答案及评分标准(理科)一、选择题1．A 2．D 3. D 4．D 5. B ６. A ７.D ８. A ９. B 10. A 二、填空题11.2 12.9 13． 30度 (二)必做题（14-16题）14． 11 15．3 16.（1）29 （2）2m+4 三、解答题17.解：（1）∵()(),,sin ,cos m a b n B A ==-，且0m n ⋅=，∴sin cos 0a B b A -=，∴由正弦定理得sin sin sin cos 0A B B A -=.∵0B π<< ，∴sin 0B ≠，∴sin cos A A =，tan 1A =.∵0A π<<，sin cos 0A A =>，∴4A π=.（2）∵10a =，∴由余弦定理得22222cos 10a b c bc A =+-=，即22100b c +=. ∵222b c bc +≥，∴1002bc ≥，∴(1002bc ≥.∵)1sin 251244S bc A ==≤=，∴当且仅当b c =时，ABC △面积有最大值，最大值为)251.18（2 ）设选到用苏教版的女教师的人数为X ，则0,1,2,3X =19. 解：（1）∵CD ⊥平面ABC ，BE//CD ∴ BE ⊥平面ABC ，∴BE ⊥AB ……………………1分∴cosBEAEBAE∠==∵BE=1 ∴AE=从而AB==…………………………………………………………2分∵⊙OAB是直径，∴AC⊥BC ……………………………………………………3分又∵CD ⊥平面ABC，∴CD⊥BC，故BC⊥平面ACDBC ⊂平面BCDE，∴平面ADC⊥平面BCDE ………………………………………………6分（2）方法一：假设点M存在，过点M作MN⊥CD于N，连结AN，作MF⊥CB于F，连结AF∵平面ADC⊥平面BCDE，∴MN⊥平面ACD，∴∠MAN为MA与平面ACD所成的角 (9)分设MN=x，计算易得，DN=32x，MF=342x-……………………………………………11分故AM===2sin7MNMANAM∠===解得：83x=-（舍去）43x=， (11)故23MN CB=，从而满足条件的点M存在，且23DM DE=…………………………12分方法二：建立如图所示空间直角坐标系C—xyz，则：A（4，0，0），B（0，2，0），D（0，0，4），E（0，2，1），O（0，0，0），则(0,2,3)DE=-…………………………………………………9分易知平面ABC的法向量为(0,2,0)OB =，假设M点存在，设(,,)M a b c，则(,,4)D M a b c=-，再设,D M D Eλλ=∈00224343a ab bc cλλλλ==⎧⎧⎪⎪∴=⇒=⎨⎨⎪⎪-=-=-⎩⎩，即(0,2Mλλ-，从而(4,2,43)AMλλ=--…… 10分设直线BM与平面ABD所成的角为θ，则：22sin cos,72164AM OBθλ===+……12分解得4233λλ=-=或，其中4(0,1]3λ=-∉应舍去，而2(0,1]3λ=∈故满足条件的点M存在，且点M 的坐标为4(0,,2)3……………………………13分20. 解：（1）设从2014年开始经过n 年，方案乙的累计总收益为正数。

湖南省衡阳市衡阳县四中2014-2015学年高一上学期期末数学复习试卷一、选择题（本大题共8小题，每小题4，共32分．）1．（4分）已知全集U={1，2，3，4，5}，A={1，2}，B={2，3}，则（C u A）∩B=（）A．{3} B．{1，2，3} C．{5} D．{1，2，3，4，5}2．（4分）两圆x2+y2﹣1=0和x2+y2﹣4x+2y﹣4=0的位置关系是（）A．内切B．相交C．外切D．外离3．（4分）如图是一个几何体的三视图，根据图中数据，可得该几何体的表面积是（）A．9πB．10πC．11πD．12π4．（4分）下列函数中，在区间（0，2）上是增函数的是（）A．y=x2﹣4x+5 B．C．y=2﹣x D．5．（4分）点P（﹣2，1）到直线4x﹣3y+1=0的距离等于（）A．B．C．2D．6．（4分）如图，正方体ABCD﹣A1B1C1D1中，①DA1与BC1平行；②DD1与BC1垂直；③A1B1与BC1垂直．以上三个命题中，正确命题的序号是（）A．①②B．②③C．③D．①②③7．（4分）若f（x）=3ax+1﹣2a在（﹣1，1）上存在零点，则实数a的取值范围是（）A．B．C．D．a＜﹣18．（4分）已知f（x）为奇函数，且在（0，+∞）上是递增的，若f（﹣2）=0，则xf（x）＜0的解集是（）A．{x|﹣2＜x＜0或x＞2} B．{ x|x＜﹣2或0＜x＜2}C．{ x|x＜﹣2或x＞2} D．{ x|﹣2＜x＜0或0＜x＜2}二．填空题：（把答案填在题中横线上．每小题4分，共28分）9．（4分）若f（x）=（m﹣2）x2+mx+4 （x∈R）是偶函数，则m=．10．（4分）已知函数f（x）=，则f=．11．（4分）在空间直角坐标系中，在z轴上求一点C，使得点C到点A（1，0，2）与点B（1，1，1）的距离相等，则点C的坐标为．12．（4分）已知A（0，﹣1），B（﹣2a，0），C（1，1），D（2，4），若直线AB与直线CD垂直，则a的值为．13．（4分）已知圆C的半径为2，圆心在x轴的正半轴上，直线3x+4y+4=0与圆C相切，则圆C的方程为．14．（4分）计算：log6+（6）×（0.2）﹣2﹣lg4﹣lg25﹣log6．15．（4分）已知函数f（x）=mx2+3（m﹣2）x﹣1在区间（﹣∞，3]上单调减函数，则实数m的取值范围是．三．解答题（本大题共5题，共40分．应写出文字说明，证明过程或演算步骤）16．（8分）已知直线l1：ax+2y+6=0和直线l2：x+（a﹣1）y+a2﹣1=0．（1）判断直线l1与l2是否能平行；（2）当l1⊥l2时，求a的值．17．（8分）已知集合U=R，A={x|y=}，B={y|y=（）x+1，﹣2≤x≤﹣1}，D={x|x＜a﹣1}．（1）求A∩B；（2）若D⊊∁U A，求a的取值范围．18．（8分）如图，有一块半径为2的半圆形钢板，计划剪裁成等腰梯形ABCD的形状，它的下底AB是圆的直径，上底CD的端点在圆周上，写出这个梯形周长y和腰长x间的函数解析式，定义域，并求出周长的最大值．19．（8分）如图所示，四棱锥P﹣ABCD的底面为一直角梯形，BA⊥AD，CD⊥AD，CD=2AB，PA⊥底面ABCD，E为PC的中点．（14分）（1）证明：EB∥平面PAD；（2）若PA=AD，证明：BE⊥平面PDC．20．（8分）已知圆C：x2+y2﹣2x+4y﹣4=0，是否存在斜率为1的直线l，使l被圆C截得的弦长AB为直径的圆过原点，若存在求出直线的方程l，若不存在说明理由．湖南省衡阳市衡阳县四中2014-2015学年高一上学期期末数学复习试卷参考答案与试题解析一、选择题（本大题共8小题，每小题4，共32分．）1．（4分）已知全集U={1，2，3，4，5}，A={1，2}，B={2，3}，则（C u A）∩B=（）A．{3} B．{1，2，3} C．{5} D．{1，2，3，4，5}考点：交、并、补集的混合运算．专题：集合．分析：根据集合的基本运算进行求解即可．解答：解：∵全集U={1，2，3，4，5}，A={1，2}，B={2，3}，∴（C u A）∩B={3，4，5}∩{2，3}={3}，故选：A．点评：本题主要考查集合的基本运算，比较基础．2．（4分）两圆x2+y2﹣1=0和x2+y2﹣4x+2y﹣4=0的位置关系是（）A．内切B．相交C．外切D．外离考点：圆与圆的位置关系及其判定．专题：计算题．分析：由已知中两圆的方程：x2+y2﹣1=0和x2+y2﹣4x+2y﹣4=0，我们可以求出他们的圆心坐标及半径，进而求出圆心距|O1O2|，比较|O1O2|与R2﹣R1及R2+R1的大小，即可得到两个圆之间的位置关系．解答：解：圆x2+y2﹣1=0表示以O1（0，0）点为圆心，以R1=1为半径的圆；圆x2+y2﹣4x+2y﹣4=0表示以O2（2，﹣1）点为圆心，以R2=3为半径的圆；∵|O1O2|=∴R2﹣R1＜|O1O2|＜R2+R1，∴圆x2+y2﹣1=0和圆x2+y2﹣4x+2y﹣4=0相交故选B．点评：本题考查的知识点是圆与圆的位置关系及其判定，若圆O1的半径为R1，圆O2的半径为R2，（R2≤R1），则当|O1O2|＞R2+R1时，两圆外离，当|O1O2|=R2+R1时，两圆外切，当R2﹣R1＜|O1O2|＜R2+R1时，两相交，当|O1O2|=R2﹣R1时，两圆内切，当|O1O2|＜R2﹣R1时，两圆内含．3．（4分）如图是一个几何体的三视图，根据图中数据，可得该几何体的表面积是（）A．9πB．10πC．11πD．12π考点：由三视图求面积、体积．专题：计算题．分析：由题意可知，几何体是由一个球和一个圆柱组合而成的，依次求表面积即可．解答：解：从三视图可以看出该几何体是由一个球和一个圆柱组合而成的，其表面为S=4π×12+π×12×2+2π×1×3=12π故选D．点评：本题考查学生的空间想象能力，是基础题．4．（4分）下列函数中，在区间（0，2）上是增函数的是（）A．y=x2﹣4x+5 B．C．y=2﹣x D．考点：函数单调性的判断与证明．专题：函数的性质及应用．分析：根据函数的单调性的定义和性质分别进行判断即可．解答：解：A．y=x2﹣4x+5的对称轴为x=2，在区间（0，2）上是减函数，不满足条件．B.在区间（0，2）上是增函数，满足条件．C．y=2﹣x在区间（0，2）上是减函数，不满足条件．D.在区间（0，2）上是减函数，不满足条件．故满足条件的函数是．故选：B．点评：本题主要考查函数单调性的判断，要求熟练掌握常见函数的单调性，比较基础．5．（4分）点P（﹣2，1）到直线4x﹣3y+1=0的距离等于（）A．B．C．2D．考点：点到直线的距离公式．专题：计算题．分析：把点P（﹣2，1）直接代入点到直线的距离公式进行运算．解答：解：由点到直线的距离公式得，点P（﹣2，1）到直线4x﹣3y+1=0的距离等于=2，故选C．点评：本题考查点到直线的距离公式的应用，要注意先把直线的方程化为一般式．6．（4分）如图，正方体ABCD﹣A1B1C1D1中，①DA1与BC1平行；②DD1与BC1垂直；③A1B1与BC1垂直．以上三个命题中，正确命题的序号是（）A．①②B．②③C．③D．①②③考点：空间中直线与直线之间的位置关系．专题：常规题型；综合题．分析：根据线面平行、线面垂直的判定与性质，即可得到正确答案．解答：解：①在正方体ABCD﹣A1B1C1D1中，由图可知DA1与BC1异面，故①不正确．②因为DD1∥CC1，BC1不垂直CC1，所以DD1与BC1不垂直．故②不正确．③在正方体ABCD﹣A1B1C1D1中，A1B1⊥平面BCC1B1，又∵BC1⊂平面BCC1B1，∴A1B1与BC1垂直．故③正确．故选C．点评：此题考查线线平行、线线垂直，考查学生的空间想象能力和对线面平行、线面垂直的判定与性质的理解与掌握．7．（4分）若f（x）=3ax+1﹣2a在（﹣1，1）上存在零点，则实数a的取值范围是（）A．B．C．D．a＜﹣1考点：函数的零点；函数的零点与方程根的关系．分析：根据零点的性质和不等式性质进行求解．解答：解：由f（x）=3ax+1﹣2a=0得，∵f（x）=3ax+1﹣2a在（﹣1，1）上存在零点，∴，解得．故选C．点评：求出零点后再根据零点的范围判断实数a的取值范围．8．（4分）已知f（x）为奇函数，且在（0，+∞）上是递增的，若f（﹣2）=0，则xf（x）＜0的解集是（）A．{x|﹣2＜x＜0或x＞2} B．{ x|x＜﹣2或0＜x＜2}C．{ x|x＜﹣2或x＞2} D．{ x|﹣2＜x＜0或0＜x＜2}考点：奇偶性与单调性的综合．专题：函数的性质及应用．分析：易判断f（x）在（﹣∞，0）上的单调性及f（x）图象所过特殊点，作出f（x）的草图，根据图象可解不等式．解答：解：∵f（x）在R上是奇函数，且f（x）在（0，+∞）上是增函数，∴f（x）在（﹣∞，0）上也是增函数，由f（﹣2）=0，得f（﹣2）=﹣f（2）=0，即f（2）=0，由f（﹣0）=﹣f（0），得f（0）=0，作出f（x）的草图，如图所示：由图象，得xf（x）＜0⇔或，解得0＜x＜2或﹣2＜x＜0，∴xf（x）＜0的解集为：（﹣2，0）∪（0，2），故选：D点评：本题考查函数奇偶性、单调性的综合应用，考查数形结合思想，灵活作出函数的草图是解题关键．二．填空题：（把答案填在题中横线上．每小题4分，共28分）9．（4分）若f（x）=（m﹣2）x2+mx+4 （x∈R）是偶函数，则m=0．考点：函数奇偶性的性质．专题：计算题；函数的性质及应用．分析：由题意知f（x）﹣f（﹣x）=（m﹣2）x2+mx+4﹣（（m﹣2）x2﹣mx+4）=2mx=0，从而解得．解答：解：∵f（x）=（m﹣2）x2+mx+4 （x∈R）是偶函数，∴f（x）﹣f（﹣x）=（m﹣2）x2+mx+4﹣（（m﹣2）x2﹣mx+4）=2mx=0；故m=0；故答案为：0．点评：本题考查了函数的奇偶性的应用，属于基础题．10．（4分）已知函数f（x）=，则f=8．考点：函数的值．专题：函数的性质及应用．分析：根据自变量的大小确定该选用哪一段的函数解析式求解，从内向外逐一去括号即可求出所求．解答：解：∵﹣2＜0，∴f（﹣2）=（﹣2）2=4，即f=f（4），∵4≥0，∴f（4）=2×4=8，即f=f（4）=8，故答案为：8．点评：本题考查了函数的求值问题．涉及了分段函数的求值，对于分段函数，一般选用分类讨论和数形结合的思想方法进行求解，解题中要注意判断变量的取值范围，以确定该选用哪一段的函数解析式求解．属于基础题．11．（4分）在空间直角坐标系中，在z轴上求一点C，使得点C到点A（1，0，2）与点B（1，1，1）的距离相等，则点C的坐标为（0，0，1）．考点：空间中的点的坐标．专题：计算题．分析：根据点C在z轴上，设出点C的坐标，再根据C到A与到B的距离相等，由空间中两点间的距离公式求得AC，BC，解方程即可求得C的坐标．解答：解：设C（0，0，z）由点C到点A（1，0，2）与点B（1，1，1）的距离相等，得12+02+（z﹣2）2=12+12+（z﹣1）2解得z=1，故C（0，0，1）故答案为：（0，0，1）．点评：考查空间两点间的距离公式，空间两点的距离公式和平面中的两点距离公式相比较记忆，利于知识的系统化，属基础题．12．（4分）已知A（0，﹣1），B（﹣2a，0），C（1，1），D（2，4），若直线AB与直线CD垂直，则a 的值为．考点：两条直线垂直与倾斜角、斜率的关系．专题：直线与圆．分析：利用直线相互垂直与斜率之间的关系即可得出．解答：解：∵k CD==3，k AB=，AB⊥CD．∴k CD•k AB=×3=﹣1，解得a=．故答案为：．点评：本题考查了直线相互垂直与斜率之间的关系，属于基础题．13．（4分）已知圆C的半径为2，圆心在x轴的正半轴上，直线3x+4y+4=0与圆C相切，则圆C的方程为（x﹣2）2+y2=4．考点：圆的标准方程．专题：直线与圆．分析：直线与圆相切，设圆心坐标为（a，0），则圆方程为（x﹣a）2+y2=4，由已知得d=R=2=，由此能求出圆C的方程．解答：解：直线与圆相切，设圆心坐标为（a，0），则圆方程为：（x﹣a）2+y2=4，∵圆心与切点连线必垂直于切线，根据点与直线距离公式，得d=R=2=，解得a=2或a=﹣，（因圆心在正半轴，不符合舍去）∴a=2，∴圆C的方程为：（x﹣2）2+y2=4．故答案为：（x﹣2）2+y2=4．点评：本题考查圆的方程的求法，解题时要认真审题，注意圆的方程的性质的合理运用．14．（4分）计算：log6+（6）×（0.2）﹣2﹣lg4﹣lg25﹣log610．考点：对数的运算性质．专题：函数的性质及应用．分析：化带分数为假分数，化负指数为正指数，然后结合有理指数幂的运算性质及对数的运算性质化简求值．解答：解：log6+（6）×（0.2）﹣2﹣lg4﹣lg25﹣log6===2+=10．故答案为：10．点评：本题考查了有理指数幂的运算性质及对数的运算性质，是基础的计算题．15．（4分）已知函数f（x）=mx2+3（m﹣2）x﹣1在区间（﹣∞，3]上单调减函数，则实数m的取值范围是．考点：二次函数的性质．专题：函数的性质及应用．分析：首先对参数进行分类讨论①m=0②m≠0，进一步对二次函数的对称轴和单调区间进行分类讨论，最后通过几种情况的分析取集合的并集，求得相应的结果．解答：解：①当m=0时，函数f（x）=﹣6x﹣1根据一次函数的单调性得：函数在区间（﹣∞，3]上单调减函数．②当m＞0时，函数f（x）=mx2+3（m﹣2）x﹣1的对称轴方程为：x=，由于函数在（﹣∞，3]上单调减函数，所以：，解得：．③当m＜0时，函数f（x）=mx2+3（m﹣2）x﹣1的对称轴方程为：x=，由于函数在（﹣∞，3]上单调减函数，而对于开口方向向下的抛物线在（﹣∞，3]不可能是递减函数．所以m∈Φ．综上所述：m的取值范围为：．点评：本题考查的知识要点：二次函数的对称轴与单调区间的关系，分类讨论思想的应用．属于基础题型．三．解答题（本大题共5题，共40分．应写出文字说明，证明过程或演算步骤）16．（8分）已知直线l1：ax+2y+6=0和直线l2：x+（a﹣1）y+a2﹣1=0．（1）判断直线l1与l2是否能平行；（2）当l1⊥l2时，求a的值．考点：直线的一般式方程与直线的平行关系；直线的一般式方程与直线的垂直关系．专题：直线与圆．分析：（1）把直线方程分别化为斜截式，利用斜率相等截距不相等即可得出；（2）利用两条直线垂直的充要条件即可得出．解答：解：（1）直线l1：ax+2y+6=0化为y=﹣﹣3，直线l2：x+（a﹣1）y+a2﹣1=0化为y=．若直线l1：ax+2y+6=0和直线l2：x+（a﹣1）y+a2﹣1=0平行，则．解得a=﹣1．只有当a=﹣1时，直线l1与l2能平行．（2）当l1⊥l2时，由（1）可得=﹣1，解得a=．点评：本题考查了斜率相等截距不相等证明两条直线平行、两条直线垂直的条件，属于基础题．17．（8分）已知集合U=R，A={x|y=}，B={y|y=（）x+1，﹣2≤x≤﹣1}，D={x|x＜a﹣1}．（1）求A∩B；（2）若D⊊∁U A，求a的取值范围．考点：集合的包含关系判断及应用．专题：计算题；集合．分析：化简A={x|y=}=；（1）利用集合的运算求A∩B；（2）化简∁U A=（﹣∞，2），从而得到a＜3．解答：解：A={x|y=}=，（1）A∩B=；（2）∁U A=（﹣∞，2），故由D⊊∁U A知，a﹣1＜2；故a＜3．点评：本题考查了集合的化简与运算，属于基础题．18．（8分）如图，有一块半径为2的半圆形钢板，计划剪裁成等腰梯形ABCD的形状，它的下底AB是圆的直径，上底CD的端点在圆周上，写出这个梯形周长y和腰长x间的函数解析式，定义域，并求出周长的最大值．考点：不等式的实际应用．专题：应用题；函数的性质及应用．分析：作DE⊥AB于E，连接BD，根据相似关系求出AE，而CD=AB﹣2AE，从而求出梯形ABCD的周长y与腰长x间的函数解析式，根据AD＞0，AE＞0，CD＞0，可求出定义域；利用二次函数在给定区间上求出最值的知识可求出函数的最大值．解答：解：如图，作DE⊥AB于E，连接BD．因为AB为直径，所以∠ADB=90°．在Rt△ADB与Rt△AED中，∠ADB=90°=∠AED，∠BAD=∠DAE，所以Rt△ADB∽Rt△AED．所以，即．又AD=x，AB=4，所以．所以CD=AB﹣2AE=4﹣，于是y=AB+BC+CD+AD=4+x+4﹣+x=﹣+2x+8由于AD＞0，AE＞0，CD＞0，所以x＞0，，4﹣＞0，解得0＜x，故所求的函数为y=﹣+2x+8（0＜x）y=﹣+2x+8=﹣（x﹣2）2+10，又0＜x，所以，当x=2时，y有最大值10．点评：本题考查利用数学知识解决实际问题．射影定理的应用是解决此题的关键，二次函数在解决实际问题中求解最值的常用的方法，属于中档题．19．（8分）如图所示，四棱锥P﹣A BCD的底面为一直角梯形，BA⊥AD，CD⊥AD，CD=2AB，PA⊥底面ABCD，E为PC的中点．（14分）（1）证明：EB∥平面PAD；（2）若PA=AD，证明：BE⊥平面PDC．考点：空间中直线与平面之间的位置关系．专题：计算题；证明题．分析：（1）欲证EB∥平面PAD，根据直线与平面平行的判定定理可知只需证EB与平面PAD内一直线平行，取PD的中点F，连接FA，FE，根据中位线定理可知EF∥AB，EF=AB，从而ABEF是平行四边形，则EB∥FA，EB⊄平面PAD，FA⊂平面PAD，满足定理所需条件；（2）欲证BE⊥平面PDC，根据直线与平面垂直的判定定理可知只需证BE与平面PDC内两相交直线垂直，而BE∥AF，可先证AF⊥平面PDC，而AF⊥PD，PD∩CD=D，PD⊂平面PDC，CD⊂平面PDC，满足线面垂直的判定定理，问题得证．解答：证明（1）取PD的中点F，连接FA，FE，则EF为△PDC的中位线．∴EF∥CD，EF=CD．∵BA⊥AD，CD⊥AD．∴AB∥CD∵CD=2AB，∴AB=CD．∴EF∥AB，EF=AB．∴ABEF是平行四边形．∴EB∥FA．∵EB⊄平面PAD，FA⊂平面PAD∴EB∥平面PAD（6分）（2）∵PA⊥底面ABCD，CD⊂底面ABCD∴PA⊥CD∵CD⊥AD，PA∩AD=APA⊂平面PAD，AD⊂平面PAD∴CD⊥平面PAD，∵AF⊂平面PAD∴CD⊥AF．∵PA=AD，PF=FD∴AF⊥PD．∵PD∩CD=D，PD⊂平面PDC，CD⊂平面PDC∴AF⊥平面PDC．由（1）可知，BE∥AF∴BE⊥平面PDC点评：判断或证明线面平行的常用方法有：①利用线面平行的定义（无公共点）；②利用线面平行的判定定理（a⊂α，b⊄α，a∥b⇒a∥α）；③利用面面平行的性质定理（α∥β，a⊂α⇒a∥β）；④利用面面平行的性质（α∥β，a⊄α，a⊄，a∥α⇒ a∥β）．本题可采用方法②，属于中档题．20．（8分）已知圆C：x2+y2﹣2x+4y﹣4=0，是否存在斜率为1的直线l，使l被圆C截得的弦长AB为直径的圆过原点，若存在求出直线的方程l，若不存在说明理由．考点：直线与圆相交的性质．专题：计算题；数形结合．分析：将圆C化成标准方程，假设存在以AB为直径的圆M，圆心M的坐标为（a，b）．因为CM⊥l，则有k CM•k l=﹣1，表示出直线l的方程，从而求得圆心到直线的距离，再由：求解．解答：解：圆C化成标准方程为（x﹣1）2+（y+2）2=9，假设存在以AB为直径的圆M，圆心M的坐标为（a，b）．∵CM⊥l，即k CM•k l=×1=﹣1∴b=﹣a﹣1∴直线l的方程为y﹣b=x﹣a，即x﹣y﹣2a﹣1=0∴|CM|2=（）2=2（1﹣a）2∴|MB|2=|CB|2﹣|CM|2=﹣2a2+4a+7∵|MB|=|OM|∴﹣2a2+4a+7=a2+b2，得a=﹣1或，当a=时，b=﹣，此时直线l的方程为x﹣y﹣4=0当a=﹣1时，b=0，此时直线l的方程为x﹣y+1=0故这样的直线l是存在的，方程为x﹣y﹣4=0或x﹣y+1=0．点评：本题主要考查直线与圆的位置关系其其方程的应用，本题是一道探究题，出题新颖，体现知识的灵活运用．。

2014-2015学年湖南省衡阳市衡阳县四中高三（上）段考数学试卷（理科）一、选择题：本大题共10小题，每小题5分，共50分，在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的．1．在复平面内复数（1﹣i）2对应的点位于（）A．一、三象限的角平分线上 B．二、四象限的角平分线上C．实轴上 D．虚轴上2．命题“若α=，则tanα=1”的逆否命题是（）A．若α≠，则tanα≠1 B．若α=，则tanα≠1C．若tanα≠1，则α≠ D．若tanα≠1，则α=3．已知sinθ=，sinθ﹣cosθ＞1，则sin2θ=（）A．﹣ B．﹣ C．﹣ D．4．已知等差数列{a n}满足a1+a2+a3+…+a101=0，则有（）A． a1+a101＞0 B． a2+a100=0 C． a3+a99＜0 D． a1=515．下列函数中在区间（1，+∞）上为增函数，且其图象为轴对称图形的是（）A． y=﹣x2+2x﹣1 B． y=cosx C． y=lg|x﹣1| D． y=x3﹣3x2+3x6．曲线y=sinx，y=cosx与直线x=0，所围成的平面区域的面积为（）A． B．C． D．7．如图是某几何体的三视图，其中正视图是腰长为2的等腰三角形，侧视图是半径为1的半圆，则该几何体的表面积是（）A． B． C． D．8．已知直线l过抛物线C的焦点，且与C的对称轴垂直．l与C交于A，B两点，|AB|=12，P为C的准线上一点，则△ABP的面积为（）A． 18 B． 24 C． 36 D． 489．如图在矩形ABCD中，AB=，BC=4，点E为BC的中点，点F在CD上，若，则的值是（）A． B． C． D．10．已知函数g（x）=ax3+bx2+cx+d（a≠0）的导函数为f（x），a+b+c=0，且f（0）•f（1）＞0，设x1，x2是方程f（x）=0的两个根，则|x1﹣x2|的取值范围为（）A． B． C． D．【坐标系与参数方程选做题】（共1小题，每小题5分，满分5分）11．已知圆C的圆心是直线（t为参数）与x轴的交点，且圆C与直线x+y+3=0相切，则圆C的方程为．【不等式】（共1小题，每小题5分，满分5分）12．若不等式＞|a﹣2|+1对于一切非零实数x均成立，则实数a的取值范围是．【几何证明选讲选做题】（共1小题，每小题0分，满分0分）13．（几何证明选讲选做题）如图，P是⊙O外一点，PD为⊙O的切线，D为切点，割线PEF 经过圆心O，若PF=12，PD=，则∠EFD= ，线段FD的长为．六、填空题（共3小题，每小题5分，满分15分）14．某校选修乒乓球课程的学生中，高一年级有30名，高二年级有40名．现用分层抽样的方法在这70名学生中抽取一个样本，已知在高一年级的学生中抽取了6名，则在高二年级的学生中应抽取的人数为．15．如图所示，程序框图（算法流程图）的输出结果是．16．记[x]为不超过实数x的最大整数，例如，[2]=2，[1.5]=1．设a为正整数，数列{x n}满足x1=a，x n+1=[]（n∈N*），现有下列命题：①当a=5时，数列{x n}的前3项依次为5，3，2；②对数列{x n}都存在正整数k，当n≥k时总有x n=x k；③当n≥1时，x n＞﹣1；④对某个正整数k，若x k+1≥x k，则当n≥k时，总有x n=[]．其中的真命题有．（写出所有真命题的编号）．三、解答题：本大题共6小题，共75分，解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤. 17．已知函数f（x）=2sin cos+cosx．（1）求f（x）的最小正周期；（2）若将f（x）的图象向右平移个单位，得到函数g（x）的图象，并求出关于x的方程g（x）=1∈，当x[0，π]时的根．18．如图，已知E，F分别是正方形ABCD边BC、CD的中点，EF与AC交于点O，PA、NC都垂直于平面ABCD，且PA=AB=4，NC=2，M是线段PA上一动点．（Ⅰ）求证：平面PAC⊥平面NEF；（Ⅱ）若PC∥平面MEF，试求PM：MA的值．19．某工厂生产甲、乙两种产品，每种产品都是经过第一道和第二道工序加工而成，两道工序的加工结果相互独立，每道工序的加工结果均有A、B两个等级，对每种产品，两道工序的加工结果都为A级时，产品为一等品，其余均为二等品（1）已知甲、乙两种产品每一道工序的加工结果为A级的概率如表一所示，分别求生产的甲、乙产品为一等品的概率P甲、P乙；（2）已知一件产品的利润如表二所示，用ξ、η分别表示一件甲、乙产品的利润，在（1）的条件下，分别求甲、乙两种产品利润的分布列及数学期望．20．已知数列{a n}是首项为a且公比q不等于1的等比数列，S n是其前n项的和，a1，2a7，3a4成等差数列．（I）证明12S3，S6，S12﹣S6成等比数列；（II）求和T n=a1+2a4+3a7+…+na3n﹣2．21．已知点A（﹣1，0），B（1，0），动点M的轨迹曲线C满足∠AMB=2θ||•||cos2θ=3，过点B的直线交曲线C于P、Q两点．（1）求||+||的值，并写出曲线C的方程；（2）求△APQ面积的最大值．22．已知函数f（x）=lnx+x2．（1）若函数g（x）=f（x）﹣ax在定义域内为增函数，求实数a的取值范围；（2）在（1）的条件下，且a＞1，h（x）=e3x﹣3ae x，x∈[0，ln2]，求h（x）的极小值；（3）设F（x）=2f（x）﹣3x2﹣k（k∈R），若函数F（x）存在两个零点m，n（0＜m＜n），且满足2x0=m+n，问：函数F（x）在（x0，F（x0））处的切线能否平行于x轴？若能，求出该切线方程，若不能，请说明理由．2014-2015学年湖南省衡阳市衡阳县四中高三（上）段考数学试卷（理科）参考答案与试题解析一、选择题：本大题共10小题，每小题5分，共50分，在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的．1．在复平面内复数（1﹣i）2对应的点位于（）A．一、三象限的角平分线上 B．二、四象限的角平分线上C．实轴上 D．虚轴上考点：复数的代数表示法及其几何意义．专题：计算题．分析：根据复数的代数表示法的乘除运算化简（1﹣i）2=﹣2i，则该复数对应的点为（0，﹣2），此点在虚轴上．解答：解：由题意知，（1﹣i）2=1﹣2i+i2=﹣2i，所以该复数对应的点为（0，﹣2）．选D．点评：本题考查了复数的代数表示法的乘除运算和复数的几何意义，是考查概念的题．2．命题“若α=，则tanα=1”的逆否命题是（）A．若α≠，则tanα≠1 B．若α=，则tanα≠1C．若tanα≠1，则α≠ D．若tanα≠1，则α=考点：四种命题间的逆否关系．专题：简易逻辑．分析：原命题为：若a，则b．逆否命题为：若非b，则非a．解答：解：命题：“若α=，则tanα=1”的逆否命题为：若tanα≠1，则α≠．故选C．点评：考查四种命题的相互转化，掌握四种命题的基本格式，本题是一个基础题．3．已知sinθ=，sinθ﹣cosθ＞1，则sin2θ=（）A．﹣ B．﹣ C．﹣ D．考点：二倍角的正弦．分析：由角的正弦值为正，判断角在第一和第二象限，又有sinθ﹣cosθ＞1知，余弦值一定小于零，从而得到角在迪尔象限，求出余弦值，用二倍角公式得到2θ的正弦值．解答：解：∵sinθ=，∴θ是第一或第二象限角，∵sinθ﹣cosθ＞1，∴cosθ＜0，∴θ是第二象限角，∴cosθ=﹣，∴sin2θ=2sinθcosθ=﹣故选A点评：已知一个角的某个三角函数式的值，求这个角的其他三角函数式的值，一般需用三个基本关系式及其变式，通过恒等变形或解方程求解，熟记二倍角的正弦、余弦、正切公式是解题的关键．4．已知等差数列{a n}满足a1+a2+a3+…+a101=0，则有（）A． a1+a101＞0 B． a2+a100=0 C． a3+a99＜0 D． a1=51考点：等差数列的性质．专题：计算题．分析：由求和公式可得a1+a101=0，进而由性质可得可得a2+a100=a3+a99=0，可得答案．解答：解：由等差数列的求和公式和性质可得：a1+a2+a3+…+a101===0，故可得a2+a100=0故选B点评：本题看等差数列的求和公式和性质，属中档题．5．下列函数中在区间（1，+∞）上为增函数，且其图象为轴对称图形的是（）A． y=﹣x2+2x﹣1 B． y=cosx C． y=lg|x﹣1| D． y=x3﹣3x2+3x考点：函数单调性的判断与证明；函数的图象与图象变化；奇偶函数图象的对称性．专题：函数的性质及应用．分析：根据题干，选定的函数必须同时满足两个条件：其一，在区间（1，+∞）上为增函数；其二，图象为轴对称图形，对选项进行逐个判断即可．解答：解：选项A中，函数y=﹣x2+2x﹣1，它在区间（1，+∞）上为减函数，∴选项A不符合题意；选项B中，函数y=cosx是周期函数，∴在区间（1，+∞）上不具备单调性，∴不符合题意；选项C则符合题意，选项D中，函数y=x3﹣3x2+3x图象不是轴对称图形，∴只有选项C符合题意，故选C．点评：本题考查函数的单调性的判断，函数图象变换等知识．掌握常见函数的单调性是解题关键．6．曲线y=sinx，y=cosx与直线x=0，所围成的平面区域的面积为（）A． B．C． D．考点：定积分．专题：计算题；数形结合．分析：本题利用直接法求解，画出图形，根据三角函数的对称性知，曲线y=sinx，y=cosx 与直线x=0，所围成的平面区域的面积S为：曲线y=sinx，y=cosx与直线x=0，所围成的平面区域的面积的两倍．最后结合定积分计算面积即可．解答：解：如图，根据对称性，得：曲线y=sinx，y=cosx与直线x=0，所围成的平面区域的面积S为：曲线y=sinx，y=cosx与直线x=0，所围成的平面区域的面积的两倍．∴S=．故选D．点评：本小题主要考查定积分、定积分的应用、三角函数的图象等基础知识，考查考查数形结合思想．属于基础题．7．如图是某几何体的三视图，其中正视图是腰长为2的等腰三角形，侧视图是半径为1的半圆，则该几何体的表面积是（）A． B． C． D．考点：由三视图求面积、体积．专题：计算题．分析：利用三视图判断几何体的形状与特征，利用三视图的数据求出几何体的表面积．解答：解：由三视图可知，该几何体为两个半圆锥的对接图形．显然圆锥的底面圆的半径为1，母线长为2，但是这个对接圆面不是底面，底面正好是轴截面．所以该几何体的表面积为：=2（）．故选A．点评：本题考查几何体的表面积的求法，几何体的特征是解题的关键，考查空间想象能力，计算能力．8．已知直线l过抛物线C的焦点，且与C的对称轴垂直．l与C交于A，B两点，|AB|=12，P为C的准线上一点，则△ABP的面积为（）A． 18 B． 24 C． 36 D． 48考点：直线与圆锥曲线的关系．专题：数形结合法．分析：首先设抛物线的解析式y2=2px（p＞0），写出次抛物线的焦点、对称轴以及准线，然后根据通径|AB|=2p，求出p，△ABP的面积是|AB|与DP乘积一半．解答：解：设抛物线的解析式为y2=2px（p＞0），则焦点为F（，0），对称轴为x轴，准线为x=﹣∵直线l经过抛物线的焦点，A、B是l与C的交点，又∵AB⊥x轴∴|AB|=2p=12∴p=6又∵点P在准线上∴DP=（+||）=p=6∴S△ABP=（DP•AB）=×6×12=36故选C．点评：本题主要考查抛物线焦点、对称轴、准线以及焦点弦的特点；关于直线和圆锥曲线的关系问题一般采取数形结合法．9．如图在矩形ABCD中，AB=，BC=4，点E为BC的中点，点F在CD上，若，则的值是（）A． B． C． D．考点：平面向量数量积的性质及其运算律．专题：平面向量及应用．分析：由题意得选择基向量和，求出它们的长度和，由向量加法的三角形法则求出，代入式子由数量积运算求出，同理求出和，代入进行化简求值．解答：解：选基向量和，由题意得，=，=4，∴，∴==+=，即cos0=，解得=1，∵点E为BC的中点，=1，∴，，∴=（）•（）==5+，故选B．点评：本题考查了向量数量积的性质和运算律在几何中的应用，以及向量加法的三角形法则，关键是根据题意选基向量，其他向量都用基向量来表示．10．已知函数g（x）=ax3+bx2+cx+d（a≠0）的导函数为f（x），a+b+c=0，且f（0）•f（1）＞0，设x1，x2是方程f（x）=0的两个根，则|x1﹣x2|的取值范围为（）A． B． C． D．考点：根与系数的关系；导数的加法与减法法则．专题：计算题；综合题；压轴题．分析：由题意得：f（x）=3ax2+2bx+c，x1，x2是方程f（x）=0的两个根，由韦达定理得，x1+x2=，x1x2=，于是求=，又a+b+c=0，从而有=•+（）+①，又f（0）•f（1）＞0，可求得﹣2＜＜﹣1，代入①即可求得的范围，从而得到选项．解答：解：由题意得：f（x）=3ax2+2bx+c，∵x1，x2是方程f（x）=0的两个根，故x1+x2=，x1x2=，∴=﹣4x1•x2=，又a+b+c=0，∴c=﹣a﹣b代入上式，∴===•+（）+①，又∵f（0）•f（1）＞0，∴（a+b）（2a+b）＜0，即2a2+3ab+b2＜0，∵a≠0，两边同除以a2得：+3+2＜0；∴﹣2＜＜﹣1，代入①得∈[，）∴|x1﹣x2|∈[，）．故选A．点评：本题考查根与系数的关系，着重考查韦达定理的使用，难点在于对条件“f（0）•f （1）＞0”的挖掘，充分考察数学思维的深刻性与灵活性，属于难题．【坐标系与参数方程选做题】（共1小题，每小题5分，满分5分）11．已知圆C的圆心是直线（t为参数）与x轴的交点，且圆C与直线x+y+3=0相切，则圆C的方程为（x+1）2+y2=2 ．考点：直线与圆的位置关系．专题：计算题．分析：直线与圆的位置关系通常利用圆心到直线的距离或数形结合的方法求解，欲求圆的方程则先求出圆心和半径，根据圆与直线相切建立等量关系，解之即可．解答：解：直线（t为参数）化成普通方程是x﹣y+1=0，令y=0得x=﹣1，所以直线x﹣y+1=0，与x轴的交点为（﹣1.0）因为直线与圆相切，所以圆心到直线的距离等于半径，即，所以圆C的方程为（x+1）2+y2=2；故答案为（x+1）2+y2=2点评：本题主要考查直线与圆的位置关系，以及圆的标准方程等基础知识，属于容易题．【不等式】（共1小题，每小题5分，满分5分）12．若不等式＞|a﹣2|+1对于一切非零实数x均成立，则实数a的取值范围是（1，3）．考点：绝对值不等式的解法；基本不等式在最值问题中的应用．专题：计算题；压轴题．分析：由题意求出的最小值，只要|a﹣2|+1小于最小值，即可满足题意，求出a的范围即可．解答：解：∵x与同号，∴．（当且仅当x=±1时取“=”）∴2＞|a﹣2|+1．∴|a﹣2|＜1，解得1＜a＜3．故答案为：（1，3）点评：本题考查绝对值不等式的解法，恒成立问题一般通过函数的最值解决，注意端点问题的处理．是高考常考题．【几何证明选讲选做题】（共1小题，每小题0分，满分0分）13．（几何证明选讲选做题）如图，P是⊙O外一点，PD为⊙O的切线，D为切点，割线PEF经过圆心O，若PF=12，PD=，则∠EFD= 30°，线段FD的长为．考点：与圆有关的比例线段；余弦定理；弦切角．专题：计算题；压轴题．分析：连接OD，首先根据切割线定理计算出PE的长，再进一步计算出OP的长和圆的半径的长；从而在直角三角形OPD中，根据边之间的关系求得角的度数，再根据圆周角定理进行计算要求的角．解答：解：连接DO，∵PD为切线，PEF为割线，∴由切割线定理得到PD2=PE•PF；∵PD=4 ，PF=12，∴PE==4，∴EF=PF﹣PE=8，EO=4；∵PD为切线，D为切点，∴OD⊥PD；∵在Rt△PDO中，OD=4，PO=PE+EO=8，∴∠DPO=30°，∠DOP=60°，∵OD=OF，∠DOP为∠DOF的外角，∴∠EFD=∠DOP=30°．在三角形DOF中FD=2=故答案为：30°；4点评：本题主要考查圆的切线的性质定理，考查与圆有关的比例线段，考查直角三角形中有关的三角函数的知识，本题解题的关键是熟练应用平面几何中有关的定理定义和性质，本题属于基础题．六、填空题（共3小题，每小题5分，满分15分）14．某校选修乒乓球课程的学生中，高一年级有30名，高二年级有40名．现用分层抽样的方法在这70名学生中抽取一个样本，已知在高一年级的学生中抽取了6名，则在高二年级的学生中应抽取的人数为8 ．考点：分层抽样方法．专题：计算题．分析：首先根据高一年级的总人数和抽取的人数，做出每个个体被抽到的概率，根据在抽样过程中每个个体被抽到的概率相等，利用这个概率乘以高二的学生数，得到高二要抽取的人数．解答：解：∵高一年级有30名学生，在高一年级的学生中抽取了6名，∴每个个体被抽到的概率是=∵高二年级有40名学生，∴要抽取40×=8名学生，故答案为：8点评：本题考查分层抽样，在分层抽样过程中每个个体被抽到的概率相等，本题解题的关键是做出每个个体被抽到的概率，用这个概率乘以指定年级的人数，就可以得到这个年级要抽取的样本数，本题是一个基础题．15．如图所示，程序框图（算法流程图）的输出结果是﹣2 ．考点：程序框图．专题：操作型．分析：分析程序中各变量、各语句的作用，再根据流程图所示的顺序，可知：该程序的作用是利用循环计算并输出y值，模拟程序的运行过程，可得答案．解答：解：当x=1时，满足循环条件，此时x=2，y=0当x=2时，满足循环条件，此时x=4，y=﹣1当x=4时，满足循环条件，此时x=8，y=﹣2当x=8时，不满足循环条件，退出循环故输出结果为﹣2故答案为：﹣2点评：根据流程图（或伪代码）写程序的运行结果，是算法这一模块最重要的题型，其处理方法是：：①分析流程图（或伪代码），从流程图（或伪代码）中即要分析出计算的类型，又要分析出参与计算的数据（如果参与运算的数据比较多，也可使用表格对数据进行分析管理）⇒②建立数学模型，根据第一步分析的结果，选择恰当的数学模型③解模．16．记[x]为不超过实数x的最大整数，例如，[2]=2，[1.5]=1．设a为正整数，数列{x n}满足x1=a，x n+1=[]（n∈N*），现有下列命题：①当a=5时，数列{x n}的前3项依次为5，3，2；②对数列{x n}都存在正整数k，当n≥k时总有x n=x k；③当n≥1时，x n＞﹣1；④对某个正整数k，若x k+1≥x k，则当n≥k时，总有x n=[]．其中的真命题有①，③，④．（写出所有真命题的编号）．考点：函数的值．专题：函数的性质及应用．分析：按照给出的定义对四个命题结合数列的知识逐一进行判断真假．对于①：列举即可；对于②：需举反例；对于③，可用数学归纳法加以证明；对于④：可由归纳推理判断其正误．解答：解：对于①：当a=5时，x1=5，x2==3，x3==2，故①正确；对于②：当a=1时，=1，x3=1，x k恒等于[]=1；当a=2时，x1=2，=1，x3==1，∴当k≥2时，恒有；当a=3时，x1=3，x2=2，x3=1，x4=2，x5=1，x6=2，x7=1，…，此时数列{x n}除第一项外，从第二项起以后的项以2为周期重复出现，因此不存在正整数k，使得n≥k时，总有x n=x k，故②不正确；对于③：在中，当为正整数时，=，∴x n+1=≥=[]；当不是正整数时，令=，t为[]的小数部分，0＜t＜1，x n+1==＞[]=[]=[]，∴，∴，∴，故③正确；由以上论证知，存在某个正整数k，若x k+1≥x k，则当n≥k时，总有x n=[]，故④正确．故答案为：①，③，④．点评：本题主要考查了数列递推公式的应用，归纳推理和演绎推理的方法，直接证明和间接证明方法，数学归纳法的应用，难度较大，需有较强的推理和思维能力．三、解答题：本大题共6小题，共75分，解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤. 17．已知函数f（x）=2sin cos+cosx．（1）求f（x）的最小正周期；（2）若将f（x）的图象向右平移个单位，得到函数g（x）的图象，并求出关于x的方程g（x）=1∈，当x[0，π]时的根．考点：三角函数中的恒等变换应用；三角函数的周期性及其求法；函数y=Asin（ωx+φ）的图象变换．专题：计算题；三角函数的图像与性质．分析：（1）由倍角公式化简可得解析式f（x）=2sin（x+），从而可求f（x）的最小正周期．（2）将f（x）的图象向右平移个单位，得到函数g（x）的解析式为g（x）=2sin（x+），由x∈[0，π]时，可得x+∈[，]，从而可求方程的根．解答：解：（1）f（x）=2（sinx+cosx）=2sin（x+）…4分所以f（x）的最小正周期为2π．…6分（2）∵将f（x）的图象向右平移个单位，得到函数g（x）的图象，∴g（x）=f（x﹣）=2sin[（x﹣）+]=2sin（x+）…9分∵x∈[0，π]时，x+∈[，]，由g（x）=1得x=0或…12分．点评：本题主要考查了三角函数中的恒等变换应用，三角函数的周期性及其求法，函数y=Asin（ωx+φ）的图象变换，属于基本知识的考查．18．如图，已知E，F分别是正方形ABCD边BC、CD的中点，EF与AC交于点O，PA、NC都垂直于平面ABCD，且PA=AB=4，NC=2，M是线段PA上一动点．（Ⅰ）求证：平面PAC⊥平面NEF；（Ⅱ）若PC∥平面MEF，试求PM：MA的值．考点：平面与平面垂直的判定；直线与平面平行的判定．专题：计算题；证明题．分析：（Ⅰ）连结BD，通过证明EF⊥平面PAC，然后证明平面PAC⊥平面NEF；（Ⅱ）法一：利用直线与平面平行，通过相似比直接推出PM：MA的值．法二：建立如图所示的直角坐标系，推出点M为线段PA上靠近P的四等分点，得到结果．解答：解：（Ⅰ）连结BD，∵PA⊥平面ABCD，BD⊂平面ABCD，∴PA⊥BD，又∵BD⊥AC，AC∩PA=A，∴BD⊥平面PAC，又∵E，F分别是BC、CD的中点，∴EF∥BD，∴EF⊥平面PAC，又EF⊂平面NEF，∴平面PAC⊥平面NEF；（Ⅱ）法1：连结OM，∵PC∥平面MEF，平面PAC∩平面MEF=OM，∴PC∥OM，∴，故PM：MA=1：3法2：建立如图所示的直角坐标系，则P（0，0，4），C（4，4，0），E（4，2，0），F（2，4，0），∴，，设点M的坐标为（0，0，m），平面MEF的法向量为，则，所以，即，令x=1，则y=1，，故，∵PC∥平面MEF，∴，即，解得m=3，故AM=3，即点M为线段PA上靠近P的四等分点；故PM：MA=1：3点评：本题考查平面与平面的垂直，直线与平面平行的性质定理的应用，考查空间想象能力以及计算能力．19．某工厂生产甲、乙两种产品，每种产品都是经过第一道和第二道工序加工而成，两道工序的加工结果相互独立，每道工序的加工结果均有A、B两个等级，对每种产品，两道工序的加工结果都为A级时，产品为一等品，其余均为二等品（1）已知甲、乙两种产品每一道工序的加工结果为A级的概率如表一所示，分别求生产的甲、乙产品为一等品的概率P甲、P乙；（2）已知一件产品的利润如表二所示，用ξ、η分别表示一件甲、乙产品的利润，在（1）的条件下，分别求甲、乙两种产品利润的分布列及数学期望．考点：离散型随机变量的期望与方差；等可能事件的概率．专题：计算题．分析：（1）每种产品都是经过第一和第二工序加工而成，两道工序的加工结果相互独立，应用相互独立事件同时发生的概率公式可以得到（2）由题意得到两个变量的取值，做出对应事件的概率，写出分布列，求出期望．解答：解：（1）∵每种产品都是经过第一和第二工序加工而成，两道工序的加工结果相互独立，∴应用相互独立事件同时发生的概率公式可以得到P甲=0.8×0.85=0.68，P乙=0.75×0.8=0.6．（2）由题意知ξ的取值是2.5，5η的取值是1.5，，2.5，∴随机变量ξ、η的分布列如下：P（ξ=2.5）=0.32P（ξ=5）=0.68P（η=2.5）=0.6P（η=1.5）=0.4∴Eξ=5×0.68+2.5×0.32=4.2，Eη=2.5×0.6+1.5×0.4=2.1点评：考查运用概率知识解决实际问题的能力，相互独立事件是指两事件发生的概率互不影响，而对立事件是指同一次试验中，不会同时发生的事件，遇到求用至少来表述的事件的概率时，往往先求它的对立事件的概率．20．已知数列{a n}是首项为a且公比q不等于1的等比数列，S n是其前n项的和，a1，2a7，3a4成等差数列．（I）证明12S3，S6，S12﹣S6成等比数列；（II）求和T n=a1+2a4+3a7+…+na3n﹣2．考点：等比关系的确定；数列的求和．专题：证明题．分析：（1）由a1，2a7，3a4成等差数列，我们得到一个关于数列基本量（首项和公比）的方程，由于首项为a，则易求出公式，然后根据等比数列的定义判断即可．（2）由于T n=a1+2a4+3a7+…+na3n﹣2中累加的每一项都是由两部分的积组成，这两部分一部分是等差数列，一部分是等比数列，故可用错位相消法解答．解答：（Ⅰ）证明：由a1，2a7，3a4成等差数列，得4a7=a1+3a4，即4aq6=a+3aq3．变形得（4q3+1）（q3﹣1）=0，又∵公比q不等于1，所以4q3+1=0由．．得．所以12S3，S6，S12﹣S6成等比数列．（Ⅱ）解：T n=a1+2a4+3a7+…+na3n﹣2=a+2aq3+3aq6+…+naq3（n﹣1）．即．①①×得：…②．①﹣②得=．所以．点评：要判断一个数列是否为等差（比）数列，我们常用如下几种办法：①定义法，判断数列连续两项之间的差（比）是否为定值；②等差（比）中项法，判断是否每一项都是其前一项与后一项的等差（比）中项；③通项公式法，判断其通项公式是否为一次（指数）型函数；④前n项和公式法．21．已知点A（﹣1，0），B（1，0），动点M的轨迹曲线C满足∠AMB=2θ||•||cos2θ=3，过点B的直线交曲线C于P、Q两点．（1）求||+||的值，并写出曲线C的方程；（2）求△APQ面积的最大值．考点：直线与圆锥曲线的综合问题；向量在几何中的应用．专题：综合题．分析：（1）设出M的坐标，利用余弦定理及||•||cos2θ=3，可求得||+||为定值，利用椭圆的定义可推断出点M的轨迹是以A、B为焦点的椭圆，进而求得a和c，则b 可求，从而求得椭圆的方程．（2）设直线PQ方程与椭圆的方程联立消去x，设出P，Q的坐标利用韦达定理进而求得（y1﹣y2）2的表达式，换元，利用函数的单调性，即可求得三角形面积的最大值．解答：解：（1）由题意，设M（x，y），在△MAB中，|AB|=2，∠AMB=2θ∴|AM|2+|BM2|﹣2|AM|•|BM|cos2θ=4∴（|AM|+|BM|）2﹣2|AM|•|BM|（1+cos2θ）=4∴（|AM|+|BM|）2﹣4|AM|•|BM|cos2θ=4∵||•||cos2θ=3∴|AM|+|BM|=4∴||+||=4因此点M的轨迹是以A、B为焦点的椭圆，a=2，c=1∴曲线C的方程为（2）设直线PQ方程为x=my+1（m∈R）由 x=my+1与，消元可得：（3m2+4）y2+6my﹣9=0显然，方程①的△＞0，设P（x1，y1），Q（x2，y2），则有S=×2×|y1﹣y2|=|y1﹣y2|y1+y2=，y1y2=∴（y1﹣y2）2=（y1+y2）2﹣4y1y2=令t=3m2+3，则t≥3，（y1﹣y2）2=由于函数y=t+在[3，+∞）上是增函数，∴t+≥故（y1﹣y2）2≤9，即S≤3∴△APQ的最大值为3，此时直线PQ的方程为x=1点评：本题考查椭圆的定义与标准方程，考查直线与圆锥曲线的综合问题．解题的关键是直线与椭圆联立，利用韦达定理计算三角形的面积，利用函数的单调性确定最值，综合性强．22．已知函数f（x）=lnx+x2．（1）若函数g（x）=f（x）﹣ax在定义域内为增函数，求实数a的取值范围；（2）在（1）的条件下，且a＞1，h（x）=e3x﹣3ae x，x∈[0，ln2]，求h（x）的极小值；（3）设F（x）=2f（x）﹣3x2﹣k（k∈R），若函数F（x）存在两个零点m，n（0＜m＜n），且满足2x0=m+n，问：函数F（x）在（x0，F（x0））处的切线能否平行于x轴？若能，求出该切线方程，若不能，请说明理由．考点：利用导数研究曲线上某点切线方程；利用导数研究函数的单调性；利用导数求闭区间上函数的最值．专题：计算题；分类讨论；导数的概念及应用；导数的综合应用．分析：（1）求出g（x）的导数，函数g（x）=f（x）﹣ax在定义域内为增函数即为g′（x）≥0，x＞0恒成立，运用分离参数，运用基本不等式求得函数的最小值即可；（2）令e x=t，则t∈[1，2]，则h（x）=H（t）=t3﹣3at，求出H′（t），由H′（t）=0，得t=，讨论①若1＜t，②若＜t≤2，函数的单调性，即可得到极小值；（3）即证是否存在，使F'（x0）=0，因为x＞0时y=F'（x）单调递减，且F'（1）=0，所以即证是否存在使x0=1．即证是否存在m，n使m=2﹣n．求F（x）的导数，求得单调区间，构造函数G（x）=F（x）﹣F（2﹣x），其中0＜x＜1，求出导数，求得单调性，运用单调性即可得证．解答：解：（1）g（x）=f（x）﹣ax=lnx+x2﹣ax，g′（x）=+2x﹣a由题意，知g′（x）≥0，x＞0恒成立，即a≤（2x+）min．又x＞0，2x+，当且仅当x=时等号成立．故（2x+）min=2，所以a．（2）由（Ⅰ）知，1＜a，令e x=t，则t∈[1，2]，则h（x）=H（t）=t3﹣3at H′（t）=3t2﹣3a=3（t﹣）（t），由H′（t）=0，得t=，由于1＜a，则∈[1，]，①若1＜t，则H′（t）＜0，H（t）单调递减；h（x）在（0，ln]也单调递减；②若＜t≤2，则H′（t）＞0，H（t）单调递增．h（x）在[ln，ln2]也单调递增；故h（x）的极小值为h（ln）=﹣2a．（3）即证是否存在，使F'（x0）=0，因为x＞0时y=F'（x）单调递减，且F'（1）=0，所以即证是否存在使x0=1．即证是否存在m，n使m=2﹣n．证明：F（x）=2lnx﹣x2﹣k.x、F'（x）、F（x）的变化如下：x （0，1） 1 （1，+∞）F'（x） + 0 ﹣F（x）↗↘即y=F（x）在（0，1）单调递增，在（1，+∞）单调递减．又F（m）=F（n）=0且0＜m＜n所以0＜m＜1＜n．构造函数G（x）=F（x）﹣F（2﹣x），其中0＜x＜1，即G（x）=（2lnx﹣x2）﹣[2ln（2﹣x）﹣（2﹣x）2]=2lnx﹣2ln（2﹣x）﹣4x+4，=，当且仅当x=1时G'（x）=0，故y=G（x）在（0，1）单调增，所以G（x）＜G（1）=0．所以0＜x＜1时，F（x）＜F（2﹣x）．又0＜m＜1＜n，所以F（m）＜F（2﹣m），所以F（n）=F（m）＜F（2﹣m）．因为n、2﹣m∈（1，+∞），所以根据y=F（x）的单调性知n＞2﹣m，即．又在（0，+∞）单调递减，所以．即函数F（x）在（x0，F（x0））处的切线不能平行于x轴．点评：本题考查导数的综合应用：求切线方程和极值、最值，考查分类讨论的思想方法，以及构造函数求导数，运用单调性解题，考查运算能力，属于中档题．。