重庆市2016中考数学 第二部分 题型研究 一、选填重难点突破 题型四 反比例函数综合题概要

新定义问题针对演练1. （2015扬州）平面直角坐标系中，点P （x ,y ）的横坐标x 的绝对值表示为|x |,纵坐标y 的绝对值表示为|y |，我们把点P (x ,y)的横坐标与纵坐标的绝对值之和叫做点P (x ,y )的勾股值，记为［P ］，即［P ］＝|x |+|y |.(其中的“+”是四则运算中的加法) （1）求点A (-1,3),B (3+2，3-2)的勾股值［A ］，［B ］; （2）点M 在反比例函数y =x3的图象上，且［M ］＝4，求点M 的坐标； ( 3)求满足条件［N ］=3的所有点N 围成的图形的面积.2. （2014扬州）对x ，y 定义一种新运算T ，规定：T （x ，y ）=yx byax ++2（其中a 、b 均为非零常数），这里等式右边是通常的四则运算，例如：T （0，1）=10210+⨯⨯+⨯b a =b .（1）已知T （1，-1）=-2，T （4，2）=1. ①求a ，b 的值； ②若关于m 的不等式组⎩⎨⎧>≤pm m T m m T )2-,3(4)4-,5(2恰好有3个整数解，求实数p 的取值范围；（2）若T （x ，y ）=T （y ，x ）对任意实数x ，y 都成立（这里T （x ，y ）和T （y ，x ）均有意义），则a ，b 应满足怎样的关系式？3. 先阅读下列材料，并解决后面的问题. 材料：一般地，n 个相同的因数a 相乘：记为a n，如23=8，此时，3叫做以2为底8的对数，记为log 28（即log 28=3）.一般地，若a n=b （a >0且a ≠1，b >0），则n 叫做以a 为底b 的对数，记为：log a b （即log a b =n ).如34＝81，则4叫做以3为底81的对数，记为log 381(即log 381＝4）. 问题：（1）计算以下各对数的值：log 24= ;log 216= ;log 264= ；（2）观察（1）中三个数4、16、64之间满足怎样的关系式？log 24、log 216、log 264之间又满足怎样的关系式？（3）由（2）的结果，你能归纳出一个一般性的结论吗？ log a M +log a N = (a >0且a ≠1,M >0,N >0)；（4）根据幂的运算法则：a n ²a m =a n +m以及对数的含义证明上述结论.4. （我们把表格中字母和所得的多项式称为特征多项式，例如第1格的“特征多项式”为4x ＋y ，回答下列问题：（1）第3格的“特征多项式”为 ，第4格的“特征多项式”为 ，第n 格的“特征多项式”为 .；（2）若第1格的“特征多项式”的值为－10，第2格的“特征多项式”的值为-16， ①求x ，y 的值；②在此条件下，第n 格的“特征多项式”是否有最小值？若有，求出最小值和相应的n 值；若没有，说明理由. 5. （2014兰州）给出定义，若一个四边形中存在相邻两边的平方和等于一条对角线的平方，则称该四边形为勾股四边形.（1）在你学过的特殊四边形中，写出两种勾股四边形的名称；（2）如图，将△ABC 绕顶点B 按顺时针方向旋转60°得到△DBE ，连接AD ，DC ，CE ，已知∠DCB =30°.①求证：△BCE 是等边三角形；②求证：DC 2+BC 2=AC 2，即四边形ABCD 是勾股四边形.第5题图6. 阅读下面的情景对话，然后解答问题：（1）①根据“奇异三角形”的定义，小红得出命题：“等边三角形一定是奇异三角形”，请判断小红提出的命题是否正确，并填空（填“正确”或“不正确”）;②若某三角形的三边长分别是2、4、10，则△ABC是奇异三角形吗？（填“是”或“不是”）；（2）①若Rt△ABC是奇异三角形，且其两边长分别为2、22，则第三边的边长为；且此直角三角形的三边之比为（请按从小到大排列）;②在Rt△ABC中，∠ACB=90°，AB=c，AC=b，BC=a，且b＞a，若Rt△ABC是奇异三角形，求a∶b∶c；（3）在Rt△ABC中，∠ACB=90°，以AB为斜边作等腰直角三角形ABD，点E是AC上方的一点，且满足AE=AD，CE=CB.求证：△ACE是奇异三角形.7. 阅读材料：关于三角函数还有如下的公式：sin （α±β）=sin αcos β±cos αsin β tan （α±β）=βαβαtan tan 1tan tan ⋅±利用这些公式可以将一些不是特殊角的三角函数转化为特殊角的三角函数来求值. 例：tan15°=tan（45°-30°）=︒⋅︒+︒︒tan30tan451tan30-tan45=331133-1⨯+=)3-)(33(3)3-)(33-(3+=636-12=2-3.根据以上阅读材料，请选择适当的公式解答下面问题：（1）计算：sin15°；（2）乌蒙铁塔是六盘水市标志性建筑物之一（图①），小华想用所学知识来测量该铁塔的高度，如图②，小华站在离塔底A 距离7米的C 处，测得塔顶B 的仰角为75°，小华的眼睛离地面的距离DC 为1.62米，请帮助小华求出乌蒙铁塔的高度.（精确到0.1米，参考数据3≈1.732, 2≈1.414）第7题图8. 对于非负实数x “四舍五入”到个位的值记为＜x ＞，即：当n 为非负整数时，如果n -21≤x ＜n +21，则＜x ＞=n .如：＜0＞=＜0.46＞=0，＜0.64＞=＜1.49＞=1，＜3.5＞=＜4.28＞=4，…,试解决下列问题：（1）填空：①＜π＞= （π为圆周率）；②如果＜2x -1＞=3，则实数x 的取值范围为 ；（2）试举例说明：当x = ，y = 时，＜x +y ＞=＜x ＞+＜y ＞不恒成立；（3）求满足＜x ＞=34x 的所有非负实数x 的值.9. 在平面直角坐标系xOy 中，对于任意两点P 1（x 1，y 1）与P 2（x 2，y 2）的“非常距离”，给出如下定义：若|x 1-x 2|≥|y 1-y 2|，则点P 1与点P 2的“非常距离”为|x 1-x 2|； 若|x 1-x 2|＜|y 1-y 2|，则点P 1与点P 2的“非常距离”为|y 1-y 2|. 例如：点P 1（1，2），点P 2（3，5），因为|1-3|＜|2-5|，所以点P 1与点P 2的“非常距离”为|2-5|=3，也就是图①中线段P 1Q 与线段P 2Q 长度的较大值（点Q 为垂直于y 轴的直线P 1Q 与垂直于x 轴的直线P 2Q 的交点）.图① 图② 第9题图 （1）已知点A （-21，0），B 为y 轴上的一个动点， ①若点A 与点B 的“非常距离”为2，写出一个满足条件的点B 的坐标； ②写出点A 与点B 的“非常距离”的最小值； （2）如图②，已知C 是直线y =43x +3上的一个动点，点D 的坐标是（0，1），求点C 与点D 的“非常距离”的最小值及相应的点C 的坐标.【答案】 针对演练 1.解：（1）［A ］=|-1|+|3|=4，［B ］=|2+3|+|3-2|=2+3+2-3=4. （2）设点M 的横坐标为x ，则它的纵坐标是y =x3， 由［M ］＝4得：|x |+|x3|=4, 即|x |2-4|x |+3=0,解之得：|x |=3或|x |=1,∴x ＝3或x ＝-3或x ＝1或x ＝-1， ∴满足条件的点M 有4个：M 1(3,1),M 2(-3,-1),M 3(1,3),M 4(-1,-3).（3）满足条件［N ］＝3的所有点组成的图形是正方形， 正方形的4个顶点依次为（3，0）（0，3）（-3，0）（0，-3）， ∴所有点N 围成的图形面积为18.2.解:（1）①根据题意得：T （1，-1）=1-2-ba = -2，即a -b =-2； T =（4，2）=2824++ba =1，即2a +b =5，解得：a =1，b =3. ②由①得T (x ,y )=yx yx ++23.根据题意得：⎪⎪⎩⎪⎪⎨⎧>++≤++②① 2-32)2-3(3 44-54)4-3(52p m m m m mm m m ，解①得：m ≥-21，解②得：m ＜53-9p .∴不等式组的解集为-21≤m ＜53-9p，∵不等式组恰好有3个整数解，即m =0，1，2， ∴2＜53-9p≤3，解得：-2≤p ＜-31.（2）由T （x ，y ）=T （y ，x ），得到y x by ax ++2=yx byax ++2，整理得：（x 2-y 2）（2b -a ）=0，∵T （x ，y ）=T （y ，x ）对任意实数x ，y 都成立， ∴2b -a =0，即a =2b . 3.(1)解：2；4；6. 【解法提示】 ∵22＝4，∴log 24＝2，∵24＝16，∴log 216＝4， ∵26＝64，∴log 264＝6.（2）解:4³16＝64，log 24+log 216=log 264. （3）解:log a （MN ）.(4)证明：设log a M ＝b 1,log a N =b 2,则a b 1=M , a b2=N ,∵a b 1²a b 2=ab b +12, ∴b 1+b 2=log a （a b 1²a b2）=log a (MN ),即log a M +log a N =log a (MN ).4.解:(1)16x ＋9y ;25x ＋16y;(n +1)2x ＋n 2y (n 为正整数).【解法提示】仔细观察每格的特征多项式的特点，找到规律，利用规律求得答案即可. 观察图形发现：第1格的“特征多项式”为 4x ＋y ， 第2格的“特征多项式”为 9x ＋4y ， 第3格的“特征多项式”为 16x ＋9y ， 第4格的“特征多项式”为25x ＋16y ， …第n 格的“特征多项式”为(n +1)2x ＋n 2y (n 为正整数). (2)①∵第1格的“特征多项式”的值为－10， 第2格的“特征多项式”的值为－16，∴⎩⎨⎧=+=+-1649-104y x y x ,解得：⎪⎪⎩⎪⎪⎨⎧==726724-y x ,∴x 、y 的值分别为724-, 726. ②设最小值为W ，则依题意得：W =(n +1)2x +n 2y =724- (n +1)2+726n 2=72 (n 2-24n -12)= 72 (n -12)2-7312.∴第n 格的“特征多项式”有最小值为-7312，相应的n 值为12. 5.（1）解:正方形、矩形、直角梯形任选两个均可. （2）证明：①∵△ABC ≌△DBE ，∴BC=BE，∵∠CBE=60°，∴△BCE是等边三角形.②∵△ABC≌△DBE，∴BC＝BE，AC=ED.∵△BCE为等边三角形，∴BC=CE，∠BCE=60°，∵∠DCB=30°，∴∠DCE=∠BCE+∠DCB＝90°，∴在Rt△DCE中，DC2+CE2=DE2，又∵BC=CE,AC=DE,∴DC2+BC2=AC2，即四边形ABCD是勾股四边形.6.解:（1）①正确；【解法提示】设等边三角形的边长为a，则a2+a2=2a2，∴符合“奇异三角形”的定义，∴小红提出的命题是正确的.②是.【解法提示】∵22+42=2³（10）2，∴符合“奇异三角形”的定义，∴△ABC是奇异三角形.（2）①23；1∶2∶3.【解法提示】∵22+（23）2=2³（22）2，且22+（22）2＝（23）2，∴第三边的边长为23,∴此直角三角形的三边之比为2∶22∶23=1∶2∶3.②∵∠ACB=90°，则a2+b2=c2 ①，∵Rt△ABC是奇异三角形，且b＞a，∴a2+c2=2b2②，由①②得：b=2a，c=3a，∴a∶b∶c=1∶2∶3.（3）∵以AB为斜边分别在AB的两侧作直角三角形，利用直角三角形外接圆直径就是斜边，AD=BD，∴AB是⊙O的直径，∴AB2=AD2+BD2=2AD2，∴AC2+CB2=AB2=2AD2，又∵CB=CE，AE=AD，∴AC 2+CE 2=2AE 2，∴△ACE 是奇异三角形.7.解:（1）sin15°=sin（45°-30°） =sin45°cos30°-cos45°sin30° =22³23-22³21=46-42=42-6.（2）在Rt△BDE 中，∵∠BED =90°，∠BDE =75°，DE =AC =7米， ∴BE =DE ²tan∠BDE =DE ²tan75°. ∵tan75°=tan（45°+30°） =︒⋅︒︒+︒tan30tan45-1tan30tan45=331-1331⨯+=2+3，∴BE =7（2+3）=14+73，∴AB =AE +BE =1.62+14+73≈27.7（米）. ∴乌蒙铁塔的高度约为27.7米. 8.解:（1）①3； ②47≤x <49. 【解法提示】如果＜2x -1＞=3，可得3-21≤2x -1＜3+21, 解得：47≤x <49. （2）0.6;0.7.【解法提示】说明：设x =n +a ，其中n 为x 的整数部分（n 为非负整数），a 为x 的小数部分（0≤a ＜1）. 分两种情况： （Ⅰ）当0≤a ＜21时，有＜x ＞=n , ∵x +y =（n +y ）+a ，这时（n +y ）为（x +y ）的整数部分，a 为（x +y ）的小数部分，∴＜x +y ＞=n +y , 又＜x ＞+y =n +y , ∴＜x +y ＞=＜x ＞+y . （Ⅱ）当21≤a ＜1时，有＜x ＞=n +1, ∵x +y =（n +y ）+a ,这时（n +y ）为（x +y ）的整数部分，a 为（x +y ）的小数部分， ∴＜x +y ＞=n +y +1,又＜x ＞+y =n +1+y =n +y +1, ∴＜x +y ＞=＜x ＞+y .综上所述：＜x +y ＞=＜x ＞+y ，∴x 可取0.6，y 取0.7（x 可取0.4，y 取0.4，答案不唯一）.（3）设34x =k （k 为非负整数），则x =43k ，根据题意可得： k -21≤43k <k +21， 即-2<k ≤2，∵k 为非负整数， ∴k =0，1，2， ∴x =0，43,23. 9.解:（1）①∵B 为y 轴上的一个动点， ∴设点B 的坐标为（0，y ）. ∵|-21-0|=21≠2， ∴|0-y |=2，解得，y =2或y =-2.∴点B 的坐标是（0，2）或（0，-2）. ②点A 与点B 的“非常距离”的最小值为21. （2）如解图，取点C 与点D 的“非常距离”的最小值时，需要根据运算定义“若|x 1-x 2|≥|y 1-y 2|，则点P 1与点P 2的“非常距离”为|x 1-x 2|”解答，此时|x 1-x 2|=|y 1-y 2|，即AC =AD .∵C 是直线y =43x +3上的一个动点，点D 的坐标是（0，1）， ∴设点C 的坐标为（x 0，43x 0+3），∴-x 0=43x 0+2，此时，x 0= -78，∴点C 与点D 的“非常距离”的最小值为：|x 0|=78，此时C （-78，715）.第9题。

2016年重庆市中考真题（A卷）一、选择题（本题共12个小题，每小题4分，共48分）1．（4分）在实数﹣2，2，0，﹣1中，最小的数是（）A．﹣2 B．2 C．0 D．﹣12．（4分）下列图形中是轴对称图形的是（）A．B．C．D．3．（4分）计算a3•a2正确的是（）A．a B．a5C．a6D．a94．（4分）下列调查中，最适合采用全面调查（普查）方式的是（）A．对重庆市辖区内长江流域水质情况的调查B．对乘坐飞机的旅客是否携带违禁物品的调查C．对一个社区每天丢弃塑料袋数量的调查D．对重庆电视台“天天630”栏目收视率的调查5．（4分）如图，AB∥CD，直线l交AB于点E，交CD于点F，若∠2=80°，则∠1等于（）A．120°B．110°C．100°D．80°6．（4分）若a=2，b=﹣1，则a+2b+3的值为（）A．﹣1 B．3 C．6 D．57．（4分）函数y=中，的取值范围是（）A．≠0B．＞﹣2 C．＜﹣2 D．≠﹣28．（4分）△ABC与△DEF的相似比为1：4，则△ABC与△DEF的周长比为（）A．1：2 B．1：3 C．1：4 D．1：169．（4分）如图，以AB为直径，点O为圆心的半圆经过点C，若AC=BC=，则图中阴影部分的面积是（）A．B．C．D．+10．（4分）下列图形都是由同样大小的小圆圈按一定规律所组成的，其中第①个图形中一共有4个小圆圈，第②个图形中一共有10个小圆圈，第③个图形中一共有19个小圆圈，…，按此规律排列，则第⑦个图形中小圆圈的个数为（）A．64 B．77 C．80 D．8511．（4分）某数学兴趣小组同学进行测量大树CD高度的综合实践活动，如图，在点A处测得直立于地面的大树顶端C的仰角为36°，然后沿在同一剖面的斜坡AB行走13米至坡顶B处，然后再沿水平方向行走6米至大树脚底点D处，斜面AB的坡度（或坡比）i=1：2.4，那么大树CD的高度约为（参考数据：sin36°≈0.59，cos36°≈0.81，tan36°≈0.73）（）A．8.1米B．17.2米C．19.7米D．25.5米12．（4分）从﹣3，﹣1，，1，3这五个数中，随机抽取一个数，记为a，若数a使关于的不等式组无解，且使关于的分式方程﹣=﹣1有整数解，那么这5个数中所有满足条件的a的值之和是（）A．﹣3 B．﹣2 C．﹣D．二、填空题（本题6个下题，每小题4分，共24分）13．（4分）据报道，2015年某市城镇非私营单位就业人员年平均工资超过60500元，将数60500用科学计数法表示为．14．（4分）计算：+（﹣2）0=．15．（4分）如图，OA，OB是⊙O的半径，点C在⊙O上，连接AC，BC，若∠AOB=120°，则∠ACB=度．16．（4分）从数﹣2，﹣，0，4中任取一个数记为m，再从余下的三个数中，任取一个数记为n，若=mn，则正比例函数y=的图象经过第三、第一象限的概率是．17．（4分）甲、乙两人在直线道路上同起点、同终点、同方向，分别以不同的速度匀速跑步1500米，先到终点的人原地休息，已知甲先出发30秒后，乙才出发，在跑步的整个过程中，甲、乙两人的距离y（米）与甲出发的时间（秒）之间的关系如图所示，则乙到终点时，甲距终点的距离是米．18．（4分）正方形ABCD中，对角线AC，BD相交于点O，DE平分∠ADO交AC于点E，把△ADE沿AD翻折，得到△ADE′，点F是DE的中点，连接AF，BF，E′F．若AE=．则四边形ABFE′的面积是．三、解答题（本题共2个小题，每小题7分，共14分）19．（7分）如图，点A，B，C，D在同一条直线上，CE∥DF，EC=BD，AC=FD．求证：AE=FB．20．（7分）为响应“全民阅读”号召，某校在七年级800名学生中随机抽取100名学生，对该年级学生在2015年全年阅读中外名著的情况进行调查，整理调查结果发现，学生阅读中外名著的本数，最少的有5本，最多的有8本，并根据调查结果绘制了如图所示的不完整的条形统计图，其中阅读了6本的人数占被调查人数的30%，根据图中提供的信息，补全条形统计图并估计该校七年级全体学生在2015年全年阅读中外名著的总本数．四、解答题（本题共4个下题，每小题10分，共40分）21．（10分）计算：（1）（a+b）2﹣b（2a+b）（2）（+﹣1）÷．22．（10分）在平面直角坐标系中，一次函数y=a+b（a≠0）的图形与反比例函数y=（≠0）的图象交于第二、四象限内的A、B两点，与y轴交于C点，过点A作AH⊥y轴，垂足为H，OH=3，tan∠AOH=，点B的坐标为（m，﹣2）．（1）求△AHO的周长；（2）求该反比例函数和一次函数的解析式．23．（10分）近期猪肉价格不断走高，引起了民众与政府的高度关注．当市场猪肉的平均价格每千克达到一定的单价时，政府将投入储备猪肉以平抑猪肉价格．（1）从今年年初至5月20日，猪肉价格不断走高，5月20日比年初价格上涨了60%．某市民在今年5月20日购买2.5千克猪肉至少要花100元钱，那么今年年初猪肉的最低价格为每千克多少元？（2）5月20日，猪肉价格为每千克40元.5月21日，某市决定投入储备猪肉并规定其销售价在每千克40元的基础上下调a%出售．某超市按规定价出售一批储备猪肉，该超市在非储备猪肉的价格仍为每千克40元的情况下，该天的两种猪肉总销量比5月20日增加了a%，且储备猪肉的销量占总销量的，两种猪肉销售的总金额比5月20日提高了a%，求a 的值．24．（10分）我们知道，任意一个正整数n都可以进行这样的分解：n=p×q（p，q是正整数，且p≤q），在n的所有这种分解中，如果p，q两因数之差的绝对值最小，我们就称p×q是n 的最佳分解．并规定：F（n）=．例如12可以分解成1×12，2×6或3×4，因为12﹣1＞6﹣2＞4﹣3，所有3×4是12的最佳分解，所以F（12）=．（1）如果一个正整数a是另外一个正整数b的平方，我们称正整数a是完全平方数．求证：对任意一个完全平方数m，总有F（m）=1；（2）如果一个两位正整数t，t=10+y（1≤≤y≤9，，y为自然数），交换其个位上的数与十位上的数得到的新数减去原的两位正整数所得的差为18，那么我们称这个数t为“吉祥数”，求所有“吉祥数”中F（t）的最大值．五、解答题（本题2个小题，每小题12分，共24分）解答时每小题必须给出必要的演算过程或推理步骤，画出必要的图形，请将解答过程书写在答题卡中对应的位置上. 25．（12分）在△ABC中，∠B=45°，∠C=30°，点D是BC上一点，连接AD，过点A作AG ⊥AD，在AG上取点F，连接DF．延长DA至E，使AE=AF，连接EG，DG，且GE=DF．（1）若AB=2，求BC的长；（2）如图1，当点G在AC上时，求证：BD=CG；（3）如图2，当点G在AC的垂直平分线上时，直接写出的值．26．（12分）如图1，在平面直角坐标系中，抛物线y=﹣2++3与轴交于A，B两点（点A在点B左侧），与y轴交于点C，抛物线的顶点为点E．（1）判断△ABC的形状，并说明理由；（2）经过B，C两点的直线交抛物线的对称轴于点D，点P为直线BC上方抛物线上的一动点，当△PCD的面积最大时，Q从点P出发，先沿适当的路径运动到抛物线的对称轴上点M处，再沿垂直于抛物线对称轴的方向运动到y轴上的点N处，最后沿适当的路径运动到点A处停止．当点Q的运动路径最短时，求点N的坐标及点Q经过的最短路径的长；（3）如图2，平移抛物线，使抛物线的顶点E在射线AE上移动，点E平移后的对应点为点E′，点A的对应点为点A′，将△AOC绕点O顺时针旋转至△A1OC1的位置，点A，C的对应点分别为点A1，C1，且点A1恰好落在AC上，连接C1A′，C1E′，△A′C1E′是否能为等腰三角形？若能，请求出所有符合条件的点E′的坐标；若不能，请说明理由．参考答案一、选择题（本题共12个小题，每小题4分，共48分）1．A【解析】在实数﹣2，2，0，﹣1中，最小的数是﹣2，故选A.2．D【解析】A、不是轴对称图形，不符合题意；B、不是轴对称图形，不符合题意；C、不是轴对称图形，不符合题意；D、是轴对称图形，对称轴有一条，符合题意．故选D．3．B【解析】a3•a2=a3+2=a5．故选B．4．B【解析】A、对重庆市辖区内长江流域水质情况的调查，应采用抽样调查；B、对乘坐飞机的旅客是否携带违禁物品的调查，应采用全面调查；C、对一个社区每天丢弃塑料袋数量的调查，应采用抽样调查；D、对重庆电视台“天天630”栏目收视率的调查，应采用抽样调查．故选B．5．C【解析】∵AB∥CD，∴∠1+∠DFE=180°，∵∠DFE=∠2=80°，∴∠1=180°﹣80°=100°；故选C．6．B【解析】当a=2，b=﹣1时，原式=2﹣2+3=3，故选B.7．D【解析】根据题意得：+2≠0，解得≠﹣2．故选D．8．C【解析】∵△ABC与△DEF的相似比为1：4，∴△ABC与△DEF的周长比为1：4；故选C．9．A【解析】∵AB为直径，∴∠ACB=90°，∵AC=BC=，∴△ACB为等腰直角三角形，∴OC⊥AB，∴△AOC和△BOC都是等腰直角三角形，∴S△AOC=S△BOC，OA=AC=1，∴S阴影部分=S扇形AOC==．故选A．10．D【解析】通过观察，得到小圆圈的个数分别是：第一个图形为：+12=4，第二个图形为：+22=10，第三个图形为：+32=19，第四个图形为：+42=31，…，所以第n个图形为：+n2，当n=7时，+72=85，故选D．11．A【解析】作BF⊥AE于F，如图所示：则FE=BD=6米，DE=BF，∵斜面AB的坡度i=1：2.4，∴AF=2.4BF，设BF=米，则AF=2.4米，在Rt△ABF中，由勾股定理得：2+（2.4）2=132，解得：=5，∴DE=BF=5米，AF=12米，∴AE=AF+FE=18米，在Rt△ACE中，CE=AE•tan 36°=18×0.73=13.14米，∴CD=CE﹣DE=13.14米﹣5米≈8.1米；故选A．12．A【解析】解得，∵不等式组无解，∴a≤1，解方程﹣=﹣1得=，∵=为整数，a＜1，∴a=﹣3或﹣1，∵a=﹣1时，原分式方程无解，故将a=﹣1舍去，∴所有满足条件的a的值之和是﹣3，故选A．二、填空题（本题6个下题，每小题4分，共24分）13．6.05×104【解析】60500=6.05×104．故答案为：6.05×104．14．3【解析】+（﹣2）0=2+1=3．故答案为：3．15．60【解析】∵∠AOB=120°，∴∠ACB=120°×=60°，故答案为：60．16．【解析】从数﹣2，﹣，0，4中任取1个数记为m，再从余下，3个数中，任取一个数记为n．根据题意画图如下：共有12种情况，∵正比例函数y=的图象经过第三、第一象限，∴=mn＞0．由树状图可知符合mn＞0的情况共有2种，∴正比例函数y=的图象经过第三、第一象限的概率是=．故答案为：．17．175【解析】根据题意得，甲的速度为：75÷30=2.5米/秒，设乙的速度为m米/秒，则（m﹣2.5）×（180﹣30）=75，解得：m=3米/秒，则乙的速度为3米/秒，乙到终点时所用的时间为：=500（秒），此时甲走的路程是：2.5×（500+30）=1325（米），甲距终点的距离是1500﹣1325=175（米）．故答案为：175．18．【解析】如图，连接EB、EE′，作EM⊥AB于M，EE′交AD于N．∵四边形ABCD是正方形，∴AB=BC=CD=DA，AC⊥BD，AO=OB=OD=OC，∠DAC=∠CAB=∠DAE′=45°，根据对称性，△ADE≌△ADE′≌△ABE，∴DE=DE′，AE=AE′，∴AD垂直平分EE′，∴EN=NE′，∵∠NAE=∠NEA=∠MAE=∠MEA=45°，AE=，∴AM=EM=EN=AN=1，∵ED平分∠ADO，EN⊥DA，EO⊥DB，∴EN=EO=1，AO=+1，∴AB=AO=2+，∴S△AEB=S△AED=S△ADE′=×1×（2+）=1+，S△BDE=S△ADB﹣2S△AEB=1+，∵DF=EF，∴S△EFB=，∴S△DEE′=2S△ADE﹣S△AEE′=+1，S△DFE′=S△DEE′=，∴S四边形AEFE′=2S△ADE﹣S△DFE′=，∴S四边形ABFE′=S四边形AEFE′+S△AEB+S△EFB=．故答案为．三、解答题（本题共2个小题，每小题7分，共14分）19．证明：∵CE∥DF，∴∠ACE=∠D，在△ACE和△FDB中，，∴△ACE≌△FDB（SAS），∴AE=FB．20．解：根据题意，阅读了6本的人数为100×30%=30（人），阅读了7本的人数为：100﹣20﹣30﹣15=35（人），补全条形图如图：∵平均每位学生的阅读数量为：=6.45（本），∴估计该校七年级全体学生在2015年全年阅读中外名著的总本数为800×6.45=5160本，答：估计该校七年级全体学生在2015年全年阅读中外名著的总本数约为5160本．四、解答题（本题共4个下题，每小题10分，共40分）21．解：（1）（a+b）2﹣b（2a+b）=a2+2ab+b2﹣2ab﹣b2=a2；（2）（+﹣1）÷=×=×=．22．解：（1）由OH=3，tan∠AOH=，得AH=4．即A（﹣4，3）．由勾股定理，得AO==5，△AHO的周长=AO+AH+OH=3+4+5=12；（2）将A点坐标代入y=（≠0），得=﹣4×3=﹣12，反比例函数的解析式为y=；当y=﹣2时，﹣2=，解得=6，即B（6，﹣2）．将A、B点坐标代入y=a+b，得，解得，一次函数的解析式为y=﹣+1．23．解：（1）设今年年初猪肉价格为每千克元；根据题意得：2.5×（1+60%）≥100，解得：≥25．答：今年年初猪肉的最低价格为每千克25元；（2）设5月20日两种猪肉总销量为1；根据题意得：40（1﹣a%）×（1+a%）+40×（1+a%）=40（1+a%），令a%=y，原方程化为：40（1﹣y）×（1+y）+40×（1+y）=40（1+y），整理得：5y2﹣y=0，解得：y=0.2，或y=0（舍去），则a%=0.2，∴a=20；答：a的值为20．24．解：（1）对任意一个完全平方数m，设m=n2（n为正整数），∵|n﹣n|=0，∴n×n是m的最佳分解，∴对任意一个完全平方数m，总有F（m）==1；（2）设交换t的个位上的数与十位上的数得到的新数为t′，则t′=10y+，∵t为“吉祥数”，∴t′﹣t=（10y+）﹣（10+y）=9（y﹣）=18，∴y=+2，∵1≤≤y≤9，，y为自然数，∴“吉祥数”有：13，24，35，46，57，68，79，∴F（13）=，F（24）==，F（35）=，F（46）=，F（57）=，F（68）=，F（79）=，∵＞＞＞＞＞，∴所有“吉祥数”中，F（t）的最大值是．五、解答题（本题2个小题，每小题12分，共24分）解答时每小题必须给出必要的演算过程或推理步骤，画出必要的图形，请将解答过程书写在答题卡中对应的位置上. 25．解：（1）如图1中，过点A作AH⊥BC于H．∴∠AHB=∠AHC=90°，在Rt△AHB中，∵AB=2，∠B=45°，∴BH=AB•cos B=2×=2，AH=AB•sin B=2，在Rt△AHC中，∵∠C=30°，∴AC=2AH=4，CH=AC•cos C=2，∴BC=BH+CH=2+2．（2）证明：如图1中，过点A作AP⊥AB交BC于P，连接PG，∵AG⊥AD，∴∠DAF=∠EAC=90°，在△DAF和△GAE中，，∴△DAF≌△GAE，∴AD=AG，∴∠BAP=90°=∠DAG，∴∠BAD=∠P AG，∵∠B=∠APB=45°，∴AB=AP，在△ABD和△APG中，，∴△ABD≌△APG，∴BD=PG，∠B=∠APG=45°，∴∠GPB=∠GPC=90°，∵∠C=30°，∴PG=GC，∴BD=CG．（3）如图2中，作AH⊥BC于H，AC的垂直平分线交AC于P，交BC于M．则AP=PC，在Rt△AHC中，∵∠ACH=30°，∴AC=2AH，∴AH=AP，在Rt△AHD和Rt△APG中，，∴△AHD≌△APG，∴∠DAH=∠GAP，∵GM⊥AC，P A=PC，∴MA=MC，∴∠MAC=∠MCA=∠MAH=30°，∴∠DAM=∠GAM=45°，∴∠DAH=∠GAP=15°，∴∠BAD=∠BAH﹣∠DAH=30°，作D⊥AB于，设B=D=a，则A=a，AD=2a，∴==，∵AG=CG=AD，∴=．26．解：（1）△ABC为直角三角形，当y=0时，即﹣2++3=0，∴1=﹣，2=3∴A（﹣，0），B（3，0），∴OA=，OB=3，当=0时，y=3，∴C（0，3），∴OC=3，根据勾股定理得，AC2=OB2+OC2=12，BC2=OB2+OC2=36，∴AC2+BC2=48，∵AB2=[3﹣（﹣）]2=48，∴AC2+BC2=AB2，∴△ABC是直角三角形，（2）如图，∵B（3，0），C（0，3），∴直线BC解析式为y=﹣+3，过点P作PG∥y轴，设P（a，﹣a2+a+3），∴G（a，﹣a+3），∴PG=﹣a2+a，设点D的横坐标为D，C点的横坐标为C，S△PCD=×（D﹣C）×PG=﹣（a﹣）2+，∵0＜a＜3，∴当a=时，S△PCD最大，此时点P（，），将点P向左平移个单位至P′，连接AP′，交y轴于点N，过点N作MN⊥抛物线对称轴于点M，连接PM，点Q沿P→M→N→A运动，所走的路径最短，即最短路径的长为PM+MN+NA 的长，∴P（，）∴P′（，），∵点A（﹣，0），∴直线AP′的解析式为y=+，当=0时，y=，∴N（0，），过点P′作P′H⊥轴于点H，∴AH=，P′H=，AP′=，∴点Q运动得最短路径长为PM+MN+AN=+=；（3）在Rt△AOC中，∵tan∠OAC==，∴∠OAC=60°，∵OA=OA1，∴△OAA1为等边三角形，∴∠AOA1=60°，∴∠BOC1=30°，∵OC1=OC=3，∴C1（，），∵点A（﹣，0），E（，4），∴AE=2，∴A′E′=AE=2，∵直线AE的解析式为y=+2，设点E′（a，a+2），∴点E移动（a﹣）单位到点E'，∴点A也移动（a﹣）单位到点A'，∴A′（a﹣2，﹣2）∴C1E′2=（a﹣2）2+（+2﹣）2=a2﹣a+7，C1A′2=（a﹣2﹣）2+（﹣2﹣）2=a2﹣a+49，①若C1A′=C1E′，则C1A′2=C1E′2即：a2﹣a+7=a2﹣a+49，∴a=，∴E′（，5），②若A′C1=A′E′，∴A′C12=A′E′2即：a2﹣a+49=28，∴a1=，a2=，∴E′（，7+），或（，7﹣），③若E′A′=E′C1，∴E′A′2=E′C12即：a2﹣a+7=28，∴a1=，a2=（由于点E'在射线AE上，所以舍），∴E′（，3+），即，符合条件的点E′（，5），（，7+），或（，7﹣），（，3+）．。

重庆市2016年初中毕业暨高中招生考试数学答案解析第Ⅰ卷一、选择题1.【答案】A【解析】2102-<-<<，∴最小的数为-2，故选A.【考点】实数的大小比较2.【答案】D【解析】根据轴对称图形的意义：如果一个图形沿着一条直线对折后两部分完全重合，这样的图形叫做轴对称图形，这条直线叫做对称轴.A ，B ，C 不是轴对称图形；D 选项是轴对称图形，故选D.【考点】轴对称图形3.【答案】B【解析】32325a a a a +⋅==，故选B.【考点】同底数幂的乘法4.【答案】B【解析】A ，C ，D 选项调查范围较大，不适宜全面调查，只有B 选项范围小，操作容易，适宜采用普查方式，故选B.【考点】全面调查，抽样调查5.【答案】C 【解析】AB ∥CD ，1018DFE ∴=∠+∠︒.又280DFE ∠=∠=︒，118018080100DFE ∠=︒-∠=︒-︒=︒，故选C.【考点】对顶角相等，平行线的性质6.【答案】B【解析】当2a =，1b =-时，2322322313()a b ⨯-++=++=-+=，故选B.【考点】求代数式的值7.【答案】D【解析】分式有意义的条件是分母不等于0，故20x +≠，所以2x ≠-，故选D.【考点】函数自变量的取值范围8.【答案】C【解析】根据相似三角形周长的比等于相似比，△ABC 与△DEF 的相似比为1:4，则周长比也为1:4，故选C.【考点】相似三角形的性质9.【答案】A【解析】AB 为直径，90ACB =∴∠︒，AC BC =，ACB ∴△为等腰直角三角形，OC AB ∴⊥，∴△AOC 和△BOC 都是等腰直角三角形，AOC BOC S S =∴，1OA =， 29013604AOC S S ππ===⨯⨯∴阴影部分扇形，故选A. 【考点】扇形面积的计算10.【答案】D 【解析】通过观察，得到小圆圈的个数分别是：第一个图形为2(12)21=42+⨯+；第二个图形为 2(13)22=102+⨯+；第三个图形为2(14)23=192+⨯+；第四个图形为2(15)24=312+⨯+；……，所以第n 个 图形为2(n+2)(n+1)+n 2.当n=7时，2(72)(71)7=852+⨯++，故选D. 【考点】规律性，图形的变化11.【答案】A【解析】如图所示，过点B 作BF AE ⊥于点F ，则FE =BD =6米，DE =BF .斜面AB 的坡度1:2.4i =，2.4AF BF =∴，设BF x =米，则 2.4AF x =米，在Rt ABF △中，由勾股定理得222(2.4)13x x +=，解得5x =，5DE BF ∴==米，12AF =米，12618AE AF FE =+∴=+=(米).在Rt ACE △中，tan36180.713.143AE CE ⋅⨯==︒≈(米)，∴13.1458.1CD CE DE =≈-=-(米)，故选A.【考点】直角三角形的应用12.【答案】B 【解析】化简127)330x x a ⎧+≥⎪⎨⎪-<⎩（，，得1.x x a ≥⎧⎨<⎩，.不等式组127)330x x a ⎧+≥⎪⎨⎪-<⎩（，，无解，1a ∴≤.解方程2133x a x x --=---，得5(3)2a x x -=≠，5(3)2a x x -=≠为整数，1a ≤，3a ∴=-或1，∴所有满足条件的a 的值之和是-2，故选B.【考点】解分式方程，解一元一次不等式组第Ⅱ卷二、填空题13.【答案】46.0510⨯【解析】46.056050010⨯=.【考点】科学计数法14.【答案】30(2)213-=+=.【考点】实数的运算15.【答案】60 【解析】111206022ACB AOB ∠=∠=⨯︒=︒. 【考点】圆周角定理16．【答案】16【解析】根据题意画树状图如下由树形图可知，共有12种情况.正比例函数y =kx 的图像经过第三、第一象限，0k ∴>，k mn =，0mn ∴>，∴符合条件的情况共有2种，∴正比例函数y =kx 的图像经过第三、第一象限的概率是21=126. 【考点】概率公式，正比例函数的图像17．【答案】175【解析】根据题意得甲的速度为7530=2.5÷(米/秒)，观察图形可知，乙出发18030150-=秒后，追上了甲.设乙的速度为m 米/秒，则( 2.5)15075m -⨯=，解得3m =，则乙的速度为3米/秒，乙到终点时所用的时间为1500=5003(秒)，此时甲走的路程是2.5(50030)=1325⨯+(米)，甲距终点的距离是150********-=(米).【考点】一次函数的应用，数形结合思想的应用18． 【解析】如图，连接EB ，'EE ，过点E 作EM AB ⊥于点M ，'EE 交AD 于点N .四边形ABCD 是正方形，AB BC CD DA ===∴，AC BD ⊥，AO OB OD OC ===，45DAC CAB ∠=∠=︒.根据对称性，△ABE ≌△ADE ≌△'ADE ，'DE DE ∴=，'AE AE =，∴AD 垂直平分'EE ，'EN NE ∴=，45NAE NEA MAE MEA ∠=∠=∠=∠=︒，2AE =∴AM =EM =EN =AN =1.ED 平分ADO ∠，EN DA ⊥，EO DB ⊥，1EN EO ∴==，1AO =，2AB ∴==+11(212AEB AED ADE S S S ∴===⨯⨯=.21BDE ADB AEB S S S =-=DF EF =，12EFB S ∴=，''221DEE ADE AEE S S S ∴=-=，''12122DFE DEE S S ==，∴'2ADE DFE AEFE S S S =-=四边形''AEB EFB ABFE AEFE S S S S ∴=++=四边形四边形【考点】正方形的性质，翻折变换，全等三角形的性质，角平分线的性质，等腰直角三角形的性质三、解答题19.【答案】证明：CE ∥DF ，ACE D ∴∠=∠.在△ACE 和△FDB 中，EC BD =，ACE D ∠=∠，AC FD =，∴ACE FDB ≌△△AE FB ∴=.【考点】全等三角形的判定与性质20.【答案】(1)补全条形统计图，如图所示.七年级部分学生阅读中外名著本数条形统计图(2)被抽查学生阅读中外名著的总本数的平均数为520630735835=6.45100⨯+⨯+⨯+⨯(本).七年级800名学生阅读中外名著的总本数约为6.45800=5160⨯(本).【考点】条形统计图，用样本估计总体21.【答案】(1)2a(2)-1x x【解析】解：(1)原式222=22a ab b ab b ++--2=a(2)原式22(1)(1)1=1(1)x x x x x x x -++-+⋅+- 2211=1(1)x x x x x x -++⋅+- 2(1)1=1(1)x x x x x -+⋅+- 1=x x- 【考点】整式的运算，分式的运算22.【答案】(1)12(2)112y x =-+【解析】解：(1)AH ⊥y 轴于点H ，90AHO ∴∠=︒. 4tan 3AH AOH OH ∠==，OH =3，∴AH =4.在Rt △AHO 中，5OA ===. ∴△AHO 的周长为3+4+5=12.(2)由（1）知，点A 的坐标为(-4，3)，点A 在反比例函数(0)k y k x=≠的图像上， 3=4k ∴-.12k ∴=-. ∴反比例函数的解析式为12y x=-. 点B (m ，-2)在反比例函数12y x=-的图像上， 122m∴-=-.6m ∴=.∴点B 的坐标为(6，-2).点A (-4，3)，B (6，-2)在一次函数(0)y ax b a =+≠的图像上，436 2.a b a b -+=⎧∴⎨+=-⎩， 解这个方程组，得121.a b ⎧=-⎪⎨⎪=⎩，∴一次函数的解析式为112y x =-+. 【考点】反比例函数与一次函数的交点问题，待定系数法求函数解析式，三角形的周长23.【答案】(1)设2016年年初猪肉价格每千克为x 元.根据题意，得2.5(160)100x ⨯+≥％.解这个不等式，得25x ≥.故2016年年初猪肉的最低价格为每千克25元.(2)设5月20日该超市猪肉的销售量为1，根据题意，得13140(1)40(1)(1)40(1)4410a a a a ⨯++-⨯+=+％％％％. 令a y =％，原方程可化为13140(1)40(1)(1)40(1)4410y y y y ⨯++-⨯+=+. 整理这个方程，得250y y -=.解这个方程，得10y =，20.2y =.所以10a =(不合题意，舍去)，220a =.答：a 的值是20.【考点】一元一次不等式的应用，一元二次方程的应用24.【答案】(1)证明：对任意一个完全平方数m ，设2m n =(n 为正整数).0n n -=，n n ∴⨯是m 的最佳分解.∴对任意一个完全平方数m ，总有()1n F m n==. (2)设交换t 的个位上的数与十位上的数得到的新数为't ，则'10t y x =+.t 为“吉祥数”，'(10)(10)9()18t t y x x y y x ∴-=+-+=-=.19x y ≤≤≤，x ，y 为自然数，∴“吉祥数”有：13，24，35，46，57，68，79.1(13)13F ∴=，42(24)=63F =，5(35)7F =，2(46)23F =，3(57)19F =，4(69)17F =，1(79)79F =. 5243211731719231379>>>>>>， ∴所有“吉祥数”中()F t 的最大值是57. 【考点】实数的运算25.【答案】(1)过点A 做AH BC ⊥于点H .90AHB AHC ∴∠=∠=︒.在Rt △AHB 中，2AB =45B ∠=︒，cos 22BH AB B ∴=⋅==.sin 2AH AB B ∴=⋅==. 在Rt △AHC 中，=30C ∠︒，24AC AH ∴==.cosC 4CH AC ∴===2BC BH CH ∴=+=+.(2)证明：AG AD ⊥，90DAF EAG ∴∠=∠=︒.在Rt △DAF 和Rt △GAE 中，AF AE =，DF GE =，Rt ∴△DAF Rt ≅△GAE ，AD AG ∴=.过点A 作AP AB ⊥交于BC 于点P ，连接PG .90BAP ∴∠=︒，即90BAD DAP ∠+∠=︒.90DAG ∠=︒，即90DAP PAG ∠+∠=︒.BAD PAG ∴∠=∠又45B ∠=︒，=90BAP ∠︒，45APB B ∴∠=∠=︒.AB AP ∴=.在ABD 和APG 中，AB AP =，BAD PAG ∠=∠，AD AG =，∴△ABD ≅△APG .BD PG ∴=，B APG ∠=∠.45APG ∴∠=︒.454590BPG APB APG ∴∠=∠+∠=︒+︒=︒.90CPG ∴∠=︒.在Rt △CPG 中，30C ∠=︒.12PG CG ∴=. 12BD CG ∴=.(3)AB CG =【考点】全等三角形的判定和性质，锐角三角形函数等26.【答案】(1)△ABC 为直角三角形.理由如下：当y =0时，即21303x x -+=，解这个方程，得1x =2x =.∴点A (0)，B (0).OA ∴=OB =当x =0时，y =3，∴点C (0，3)，3OC ∴=.在Rt △AOC 中，22222312AC OA OC =+=+=.在Rt △BOC 中，22222336BC OB OC =+=+=.又2248AB ⎡⎤==⎣⎦， 1236=48+，222AC BC AB ∴+=.△ABC 为直角三角形.(2)如图1，点B (0)，C (0，3).图1∴直线BC 的解析式为3y =+. 过点P 做PG ∥y 轴交直线BC 于点G .设点P (a ，21333a -++)，则点G (a ，33+)，21(3)(3)3PG a ∴=-++-+21=3a -+. 设D 点横坐标为D x ，C 点横坐标为C x .1()2PCD D C Sx x PG =⨯-⨯211()23a =-23=()a0a <<∴当a PCD 的面积最大，此时点P ，154).如图1，将点P 'P ，连接'AP 交y 轴于点N ，过点N 做NM ⊥抛物线对称轴于点M ，连接PM .点Q 沿P M N A →→→运动，所走的路径最短，即最短路径的长为PM +MN +NA 的长.又点A (0)，∴ 直线'AP 的解析式为562y x =+. 当x =0时，52y =，点N (0，52). 过'P 作'P H ⊥x 轴于点H ，则有HA =，15'4P H =，'AP =.∴点Q 运动的最短路径的长为PM MN AN +++(3)如图2，在Rt △AOC 中，图2tanOC OAC OA ∠===，60OAC ∴∠=︒. 1OA OA =，1OAA ∴为等边三角形，1=60AOA ∠︒. 130BOC ∠=︒.又由13OC OC ==，得点1C ，32).点A (0)，E 4)，AE ∴=.''A E AE ∴==直线AE 的解析式为2y +，设点'E (a 2+)，则点A (a -2-).22213'(2)2C E a ∴=++-27=73a -+22213A'(2)2C a =-+--27=493a + 若1'''C A A E =，则有221'''C A A E =，即22777=4933a a -++.解这个方程，得a =∴点'E ，5) 若1'''A C A E =，则有221'''A C A E =即2749=283a -+解这个方程，得1a =，2a .∴点'E 7或7. 若1'''E A E C =，则有221'''E A E C =，即277=283a +.解这个方程，得1a ，2a (舍去).∴点'E，3).综上所述，符合条件的点'E的坐标为(，5)或，7+或(，7或，3+.【考点】直角三角形的判定，利用待定系数法求一次函数、二次函数的解析式，轴对称的性质，等腰三角形的性质11 / 11。

2016年重庆市中考数学试卷（B卷）参考答案与试题解析一、（共12小题，每小题4分，满分48分）在每个小题的下面，都给出了代号为A、B、C、D的四个答案，其中只有一个是正确的，请将答题卡上题号右侧正确答案所对应的方框涂黑）1．4的倒数是（）A．﹣4 B．4 C．﹣D．【考点】倒数．【专题】计算题．【分析】根据倒数的定义：乘积是1的两个数，即可求解．【解答】解：4的倒数是．故选D．【点评】本题主要考查了倒数的定义，正确理解定义是解题关键．2．下列交通指示标识中，不是轴对称图形的是（）A．B．C．D．【考点】轴对称图形．【分析】根据轴对称图形的概念对各选项分析判断后利用排除法求解．【解答】解：A、是轴对称图形，故本选项错误；B、是轴对称图形，故本选项错误；C、不是轴对称图形，故本选项正确；D、是轴对称图形，故本选项错误．故选C．【点评】本题考查了轴对称图形，掌握中心对称图形与轴对称图形的概念：轴对称图形的关键是寻找对称轴，图形两部分沿对称轴折叠后可重合．3．据重庆商报2016年5月23日报道，第十九届中国（重庆）国际投资暨全球采购会（简称渝洽会）集中签约86个项目，投资总额1636亿元人民币，将数1636月科学记数法表示是（）A．0.1636×104B．1.636×103 C．16.36×102 D．163.6×10【考点】科学记数法—表示较大的数．【分析】科学记数法的表示形式为a×10n的形式，其中1≤|a|＜10，n为整数．确定n的值时，要看把原数变成a时，小数点移动了多少位，n的绝对值与小数点移动的位数相同．当原数绝对值＞1时，n是正数；当原数的绝对值＜1时，n是负数．【解答】解：1636=1636=1.636×103，故选B．【点评】本题考查科学记数法的表示方法．科学记数法的表示形式为a×10n的形式，其中1≤|a|＜10，n为整数，表示时关键要正确确定a的值以及n的值．4．如图，直线a，b被直线c所截，且a∥b，若∠1=55°，则∠2等于（）A．35°B．45°C．55°D．125°【考点】平行线的性质．【分析】由两直线平行，同位角相等即可得出结果．【解答】解：∵a∥b，∠1=55°，∴∠2=∠1=55°；故选：C．【点评】本题考查了平行线的性质；熟记两直线平行，同位角相等是解决问题的关键．5．计算（x2y）3的结果是（）A．x6y3B．x5y3C．x5y D．x2y3【考点】幂的乘方与积的乘方．【分析】根据积的乘方和幂的乘方法则求解．【解答】解：（x2y）3=（x2）3y3=x6y3，故选A．【点评】本题考查了积的乘方和幂的乘方，熟练掌握运算法则是解题的关键．6．下列调查中，最适合采用全面调查（普查）的是（）A．对重庆市居民日平均用水量的调查B．对一批LED节能灯使用寿命的调查C．对重庆新闻频道“天天630”栏目收视率的调查D．对某校九年级（1）班同学的身高情况的调查【考点】全面调查与抽样调查．【专题】计算题；数据的收集与整理．【分析】利用普查与抽样调查的定义判断即可．【解答】解：A、对重庆市居民日平均用水量的调查，抽样调查；B、对一批LED节能灯使用寿命的调查，抽样调查；C、对重庆新闻频道“天天630”栏目收视率的调查，抽样调查；D、对某校九年级（1）班同学的身高情况的调查，全面调查（普查），则最适合采用全面调查（普查）的是对某校九年级（1）班同学的身高情况的调查．故选D【点评】此题考查了全面调查与抽样调查，选择普查还是抽样调查要根据所要考查的对象的特征灵活选用，一般来说，对于具有破坏性的调查、无法进行普查、普查的意义或价值不大，应选择抽样调查，对于精确度要求高的调查，事关重大的调查往往选用普查．7．若二次根式有意义，则a的取值范围是（）A．a≥2 B．a≤2 C．a＞2 D．a≠2【考点】二次根式有意义的条件．【专题】计算题；实数．【分析】根据负数没有平方根列出关于a的不等式，求出不等式的解集确定出a的范围即可．【解答】解：∵二次根式有意义，∴a﹣2≥0，即a≥2，则a的范围是a≥2，故选A【点评】此题考查了二次根式有意义的条件，二次根式性质为：二次根式中的被开方数必须是非负数，否则二次根式无意义．8．若m=﹣2，则代数式m2﹣2m﹣1的值是（）A．9 B．7 C．﹣1 D．﹣9【考点】代数式求值．【分析】把m=﹣2代入代数式m2﹣2m﹣1，即可得到结论．【解答】解：当m=﹣2时，原式=（﹣2）2﹣2×（﹣2）﹣1=4+4﹣1=7，故选B．【点评】本题考查了代数式求值，也考查了有理数的计算，正确的进行有理数的计算是解题的关键．9．观察下列一组图形，其中图形①中共有2颗星，图形②中共有6颗星，图形③中共有11颗星，图形④中共有17颗星，…，按此规律，图形⑧中星星的颗数是（）A．43 B．45 C．51 D．53【考点】规律型：图形的变化类．【分析】设图形n中星星的颗数是a n（n为自然是），列出部分图形中星星的个数，根据数据的变化找出变化规律“a n=2+”，结合该规律即可得出结论．【解答】解：设图形n中星星的颗数是a n（n为自然是），观察，发现规律：a1=2，a2=6=a1+3+1，a3=11=a2+4+1，a4=17=a3+5+1，…，∴a n=2+．令n=8，则a8=2+=51．故选C．【点评】本题考查了规律型中的图形的变化类，解题的关键是找出变化规律“a n=2+”．本题属于中档题，难度不大，解决该题型题目时，根据给定条件列出部分数据，根据数据的变化找出变化规律是关键．10．如图，在边长为6的菱形ABCD中，∠DAB=60°，以点D为圆心，菱形的高DF为半径画弧，交AD 于点E，交CD于点G，则图中阴影部分的面积是（）A．18﹣9πB．18﹣3πC．9﹣D．18﹣3π【考点】菱形的性质；扇形面积的计算．【分析】由菱形的性质得出AD=AB=6，∠ADC=120°，由三角函数求出菱形的高DF，图中阴影部分的面积=菱形ABCD的面积﹣扇形DEFG的面积，根据面积公式计算即可．【解答】解：∵四边形ABCD是菱形，∠DAB=60°，∴AD=AB=6，∠ADC=180°﹣60°=120°，∵DF是菱形的高，∴DF⊥AB，∴DF=AD•sin60°=6×=3，∴图中阴影部分的面积=菱形ABCD的面积﹣扇形DEFG的面积=6×3﹣=18﹣9π．故选：A．【点评】本题考查了菱形的性质、三角函数、菱形和扇形面积的计算；由三角函数求出菱形的高是解决问题的关键．11．如图所示，某办公大楼正前方有一根高度是15米的旗杆ED，从办公楼顶端A测得旗杆顶端E的俯角α是45°，旗杆底端D到大楼前梯坎底边的距离DC是20米，梯坎坡长BC是12米，梯坎坡度i=1：，则大楼AB的高度约为（）（精确到0.1米，参考数据：≈1.41，≈1.73，≈2.45）A．30.6 B．32.1 C．37.9 D．39.4【考点】解直角三角形的应用-坡度坡角问题．【分析】延长AB交DC于H，作EG⊥AB于G，则GH=DE=15米，EG=DH，设BH=x米，则CH=x 米，在Rt△BCH中，BC=12米，由勾股定理得出方程，解方程求出BH=6米，CH=6米，得出BG、EG的长度，证明△AEG是等腰直角三角形，得出AG=EG=6+20（米），即可得出大楼AB的高度．【解答】解：延长AB交DC于H，作EG⊥AB于G，如图所示：则GH=DE=15米，EG=DH，∵梯坎坡度i=1：，∴BH：CH=1：，设BH=x米，则CH=x米，在Rt△BCH中，BC=12米，由勾股定理得：x2+（x）2=122，解得：x=6，∴BH=6米，CH=6米，∴BG=GH﹣BH=15﹣6=9（米），EG=DH=CH+CD=6+20（米），∵∠α=45°，∴∠EAG=90°﹣45°=45°，∴△AEG是等腰直角三角形，∴AG=EG=6+20（米），∴AB=AG+BG=6+20+9≈39.4（米）；故选：D．【点评】本题考查了解直角三角形的应用﹣坡度、俯角问题；通过作辅助线运用勾股定理求出BH，得出EG是解决问题的关键．12．如果关于x的分式方程﹣3=有负分数解，且关于x的不等式组的解集为x＜﹣2，那么符合条件的所有整数a的积是（）A．﹣3 B．0 C．3 D．9【考点】解一元一次不等式组；解分式方程．【专题】计算题；分式方程及应用；一元一次不等式(组)及应用．【分析】把a看做已知数表示出不等式组的解，根据已知解集确定出a的范围，分式方程去分母转化为整式方程，将a的整数解代入整式方程，检验分式方程解为负分数确定出所有a的值，即可求出之积．【解答】解：，由①得：x≤2a+4，由②得：x＜﹣2，由不等式组的解集为x＜﹣2，得到2a+4≥﹣2，即a≥﹣3，分式方程去分母得：a﹣3x﹣3=1﹣x，把a=﹣3代入整式方程得：﹣3x﹣6=1﹣x，即x=﹣，符合题意；把a=﹣2代入整式方程得：﹣3x﹣5=1﹣x，即x=﹣3，不合题意；把a=﹣1代入整式方程得：﹣3x﹣4=1﹣x，即x=﹣，符合题意；把a=0代入整式方程得：﹣3x﹣3=1﹣x，即x=﹣2，不合题意；把a=1代入整式方程得：﹣3x﹣2=1﹣x，即x=﹣，符合题意；把a=2代入整式方程得：﹣3x﹣1=1﹣x，即x=1，不合题意；把a=3代入整式方程得：﹣3x=1﹣x，即x=﹣，符合题意；把a=4代入整式方程得：﹣3x+1=1﹣x，即x=0，不合题意，∴符合条件的整数a取值为﹣3；﹣1；1；3，之积为9，故选D【点评】此题考查了解一元一次不等式组，以及解分式方程，熟练掌握运算法则是解本题的关键．二、填空题（共6小题，每小题4分，满分24分）请将每小题的答案直接填在答题卡中对应的横线上。

二次函数综合题类型一 与线段、周长有关的问题针对演练1. 如图，抛物线y =x 2+bx +c 过点A （3，0），B （1，0），交y 轴于点C ，点P 是该抛物线上一动点，点P 从C 点沿抛物线向A 点运动（点P 不与点A 重合），过点P 作PD ∥y 轴交直线AC 于点D .（1）求抛物线的解析式；（2）求点P 在运动的过程中线段PD 长度的最大值；（3）在抛物线对称轴上是否存在点M ，使|MA-MC |的值最大？若存在，请求出点M 的坐标；若不存在，请说明理由.第1题图 备用图2. （2015珠海）如图，折叠矩形OABC 的一边BC ，使点C 落在OA 边的点D 处，已知折痕BE =55,且OE OD =34.以O 为原点，OA 所在的直线为x 轴建立如图所示的平面直角坐标系，抛物线l ：y = -161x 2+21x +c 经过点E ，且与AB 边相交于点F . （1）求证：△ABD ∽△ODE ;（2）若M 是BE 的中点，连接MF ，求证：MF ⊥BD ;（3）P 是线段BC 上一动点，点Q 在抛物线l 上，且始终满足PD ⊥DQ ，在点P 运动过程中，能否使得PD =DQ ？若能，求出所有符合条件的Q 点坐标；若不能，请说明理由.第2题图3. （2015孝感改编）在平面直角坐标系中，抛物线y = -21x 2+bx +c 与x 轴交于点A ，B ，与y 轴交于点C ，直线y =x +4经过A ，C 两点.（1）求抛物线的解析式；（2）在AC 上方的抛物线上有一动点P .①如图①，过点P 作y 轴的平行线交AC 于点D ，当线段PD 取得最大值时，求出点P 的坐标；②如图②，过点O ，P 的直线y =kx 交AC 于点E ，若PE ∶OE =3∶8，求k 的值.图① 图②第3题图4. （2015天水）在平面直角坐标系中，已知抛物线y ＝-21x 2+bx +c (b 、c 为常数)的顶点为P ，等腰直角三角形ABC 的顶点A 的坐标为（0，-1），点C 的坐标为（4，3），直角顶点B 在第四象限.(1)如图，若抛物线经过A 、B 两点，求抛物线的解析式;(2)平移（1）中的抛物线，使顶点P 在AC 上并沿AC 方向滑动距离为2时，试证明：平移后的抛物线与直线AC 交于x 轴上的同一点;(3)在（2）的情况下，若沿AC 方向任意滑动时，设抛物线与直线AC 的另一交点为Q ，取BC 的中点N ，试探究NP +BQ 是否存在最小值？若存在，求出该最小值；若不存在，请说明理由.第4题图5. 如图，抛物线y = -21x 2+bx +c 与x 轴交于A 、B 两点，与y 轴交于点C ,且OA =2,OC =3. （1）求抛物线的解析式；（2）作Rt△OBC 的高OD ，延长OD 与抛物线在第一象限内交于点E ，求点E 的坐标；（3）在抛物线的对称轴上，是否存在一点Q ，使得△BEQ 的周长最小？若存在，求出点Q 的坐标；若不存在，请说明理由.第5题图6. 如图，已知在平面直角坐标系xOy 中，四边形OABC 的边OA 在y 轴的正半轴上，OC 在x 轴的正半轴上，AB ∥OC ,OA =AB =2,OC =3，过点B 作BD ⊥BC ，交OA 于点D ，将∠DBC 绕点B 顺时针方向旋转，角的两边分别交y 轴的正半轴、x 轴的正半轴于点E 、F.（1）求经过A 、B 、C 三点的抛物线的解析式；（2）当BE 经过（1）中抛物线的顶点时，求CF 的长；（3）在抛物线的对称轴上取两点P 、Q （点Q 在点P 的上方），且PQ =1，要使四边形BCPQ 的周长最小，求出P 、Q 两点的坐标.第6题图【答案】针对演练1.解：（1）∵抛物线y ＝x 2+bx +c 过点A （3，0），B （1，0），∴⎩⎨⎧=++=++01039c b c b ，解得⎩⎨⎧==3-4c b ,∴抛物线的解析式为y =x 2-4x +3.（2）令x =0,则y =3,∴点C （0，3），又∵点A (3,0),∴直线AC 的解析式为y = -x +3,设点P （x ,x 2-4x +3）,∵PD ∥y 轴，且点D 在AC 上，∴点D (x ,-x +3),∴PD =(-x +3)-(x 2-4x +3)=-x 2+3x =-(x-23)2+49, ∵a =-1<0,∴当x =23时，线段PD 的长度有最大值，最大值为49. (3)存在.由抛物线的对称性可知，对称轴垂直平分AB ，可得：MA ＝MB ，由三角形的三边关系，｜MA -MC ｜<BC ,可得：当M 、B 、C 三点共线时,｜MA -MC ｜最大，即为BC 的长度，设直线BC 的解析式为y =kx +b (k ≠0),由B 、C 两点的坐标分别为（1，0）、(0,3), 则⎩⎨⎧==+30b b k ,解得⎩⎨⎧==3-3b k ,∴直线BC 的解析式为y = -3x +3,∵抛物线y =x 2-4x +3的对称轴为直线x =2,∴当x =2时，y=-3×2+3＝－3，∴点M （2，－3），即抛物线对称轴上存在点M （2，－3），使｜MA -MC ｜最大.2.（1）证明：由折叠知∠ADB =90°-∠ODE ＝∠OED ，∵∠EOD ＝∠DAB =90°，∴Rt△ABD ∽Rt△ODE .（2）证明：设OE ＝3k ，则OD ＝4k ，CE ＝DE ＝5k ，AB ＝OC ＝8k ，由Rt△ABD ∽Rt△ODE 可得AD ＝6k ，则OA ＝BC ＝BD ＝10k ，于是BE ＝22)(10)(5k k +=55,解得k ＝1，∵抛物线y ＝-161x 2+21x +c 经过点E （0，3）， ∴c ＝3， 将点A 的横坐标x ＝10代入y ＝-161x 2+21x +3， 得到点F 的坐标为（10，47）， ∴DF ＝22AF AD +＝22476）（+＝425，∵BF ＝AB -FA ＝8-47＝425， ∴DF ＝BF ，又∵∠BDE =90°，M 是BE 的中点， 第2题解图∴MB ＝MD ，∴MF 是线段BD 的中垂线，∴MF ⊥BD .(3)解：能.如解图，令y ＝0，求得抛物线与x 轴交点坐标为H （-4，0），G （12，0）， ①当PD ⊥x 轴时，由于PD ＝8,DG ＝DH ＝8，故点Q 的坐标为（-4，0）或（12，0）时，△PDQ 是以D 为直角顶点的等腰直角三角形； ②当PD 不垂直x 轴时，分别过P ，Q 作x 轴的垂线，垂足分别为N ，I ，则Q 不与G 重合，从而I 不与G 重合，即DI ≠8,∵PD ⊥DQ ,∴∠QDI =90°-∠PDN ＝∠DPN ，∴Rt△PDN ∽Rt△DQI ,∵PN =8,∴PN ≠DI ,∴Rt△PDN 与Rt△DQI 不全等,∴PD ≠DQ ,另一侧同理可得PD ≠DQ .综上①，②所有满足题设的点Q 的坐标为（-4，0）和（12，0）.3.解：（1）对于直线y =x +4,令x =0，得y ＝4,令y =0，得x =-4,则A (-4,0),C (0,4),代入抛物线解析式得⎩⎨⎧==+404-8-c c b , 解得⎩⎨⎧==4-1c b ，∴抛物线的解析式为y = -21x 2-x +4. （2）①∵抛物线的解析式为y = -21x 2-x +4， ∴点P (x , -21x 2-x +4), ∵PD ∥y 轴，直线AC 的解析式为y =x +4，∴D （x ,x +4）,∵P 点在AC 的上方，∴PD = -21x 2-x +4-(x +4)= -21（x +2）2+2, ∵-2>-4,∴当x =-2时，线段PD 取得最大值，将x =-2代入y = -21x 2-x +4中得y =4, ∴线段PD 取得最大值时,点P 的坐标为（-2,4）.②过点P 作PF ∥OC 交AC 于点F ，如解图.∵PF ∥OC ,∴△PEF ∽△OEC , ∴OCPF OE PE =.又∵OE PE =83,OC =4,∴PF =23. ∴由 ①得PF ＝（-21x 2-x +4）-(x +4)= 23. 化简得：x 2+4x +3=0,解得x 1= -1,x 2= -3. 当x = -1时，y =29；当x = -3时，y =25. 即满足条件的P 点坐标是（-1，29）或（-3，25）.又∵点P 在直线y =kx 上，∴k = -29或k = -65.第3题解图4.(1)解：设AC 与x 轴的交点为M ，∵等腰直角三角形ABC 的顶点A 的坐标为(0,-1),C 的坐标为(4,3),∴直线AC 的解析式为y=x-1，∴直线AC 与x 轴的交点M (1，0).∴OM =OA ，∠CAO =45°.∵△CAB 是等腰直角三角形，∴∠ACB =45°，∴BC ∥y 轴,又∵∠OMA =45°，∴∠OAB ＝90°，∴AB ∥x 轴,∴点B 的坐标为(4，-1).∵抛物线过A (0，-1)，B (4，-1)两点，将两点代入抛物线的解析式中， 得⎪⎩⎪⎨⎧=++⨯=-141621--1c b c ,解得⎩⎨⎧==-12c b ，∴抛物线的解析式为y ＝-21x 2+2x -1.(2)证明：抛物线y = -21x 2+2x -1= -21(x 2-4x )-1=－21 (x －2)2+1,∴顶点P 的坐标为(2，1)，∵抛物线y = -21(x －2)2+1顶点P 平移到直线AC 上并沿AC 方向移动的距离为2，∴其实是先向右平移1个单位长度，再向上平移1个单位长度,∴平移后的二次函数的解析式为y = -21(x -3)2+2，∵当y =0时，有0= -21(x -3)2+2，解得x 1=1，x 2=5，∴y ＝-21(x -3)2+2过点(1，0)和(5,0)， ∵直线AC 的解析式为y=x-1，∴直线AC 与x 轴的交点坐标为(1，0)，∴平移后的抛物线与直线AC 交于x 轴上的同一点.(3)解：如解图，NP +BQ 存在最小值，最小值为25.理由：取AB 的中点F ，连接FN ，FQ ，作B 点关于直线AC 的对称点B ′，设平移后的抛物线的顶点为P ′.连接BB ′，B ′Q ,BQ ,则BQ ＝B ′Q ,∵抛物线y = -21(x -2)2+1的顶点P (2，1)，A (0,-1)，∴PA =221)(10)-(2++=22,∴抛物线沿AC 方向任意滑动时，P ′Q =22，∵A (0，-1)，B (4，-1)，∴AB 中点F(2，-1)，∵B (4，-1)，C (4，3)，∴N (4，1)，∴FN =22BN BF + =22,∴FN ＝P ′Q ,∵在△ABC 中，F 、N 分别为AB 、BC 的中点，第4题解图∴FN ∥P ′Q ，∴四边形P ′NFQ 是平行四边形，∴NP ′=FQ ,∴NP ′+BQ =FQ +B ′Q ≥FB ′=2242+=25.∴当B ′、Q 、F 三点共线时，NP +BQ 最小，最小值为25.5.解：（1）∵OA =2,∴点A 的坐标为（-2，0）.∵OC =3,∴点C 的坐标为（0，3）.把A （-2，0），C （0，3）分别代入抛物线y = -21x 2+bx +c ,得⎩⎨⎧=+=c cb 32--20，解得⎩⎨⎧==312c b ，∴抛物线的解析式为y ＝-21x 2+21x +3.(2)把y =0代入y = -21x 2+21x +3, 解得x 1=3,x 2=-2,∴点B 的坐标为（3，0），∴OB =OC =3,∵OD ⊥BC ,∴OE 所在的直线为y =x . 解方程组⎪⎩⎪⎨⎧++==32121-2x x y x y , 解得⎩⎨⎧==2,211y x ⎩⎨⎧=-3=-3 22y x , ∵点E 在第一象限内， 第5题解图∴点E 的坐标为（2，2）.（3）存在，如解图，设Q 是抛物线对称轴上的一点，连接QA 、QB 、QE 、BE ，∵QA =QB ,∴△BEQ 的周长＝BE +QA +QE ,∵BE 为定值，且QA +QE ≥AE ,∴当A 、Q 、E 三点在同一直线上时，△BEQ 的周长最小，由A (-2,0)、E (2，2)可得直线AE 的解析式为y =21x +1, 由（2）易得抛物线的对称轴为x =21, ∴点Q 的坐标为（21，45）, ∴在抛物线的对称轴上，存在点Q （21，45），使得△BEQ 的周长最小. 6.解：(1)由题意得A (0，2)、B (2，2)、C (3，0).设经过A ,B,C 三点的抛物线的解析式为y =ax 2+bx +2(a ≠0),将点B 、C 分别代入得⎩⎨⎧=++=++02392224b a b a , 解得⎪⎪⎩⎪⎪⎨⎧==3432-b a , ∴抛物线的解析式为y = - 32x 2+ 34x+2.(2)∵y= -32x 2+ 34x +2= -()2132-x +38， 设抛物线的顶点为G ， 则顶点G 的坐标为（1，38）， 过G 作GH ⊥AB ，垂足为H ，如解图①,则AH =BH =1,GH =38-2=32, ∵EA ⊥AB ,GH ⊥AB ,∴EA ∥GH ,∴GH 是△BEA 的中位线,∴EA =2GH =34. 过B 作BM ⊥O C,垂足为M,如解图①,则MB =OA =AB .第6题解图① 第6题解图②∵∠EBF =∠ABM =90°,∴∠EBA =∠FBM =90°-∠ABF .∴Rt△EBA ≌Rt△FBM .∴FM =EA =34. ∵CM =OC -OM =3-2=1, ∴CF =FM +CM =37. (3)如解图②,要使四边形BCPQ 的周长最小，将B 点向下平移一个单位至点K ，取C 点关于对称轴对称的点M ，连接KM 交对称轴于P ，将P 向上平移1个单位至Q ，此时M 、P 、K 三点共线可使KP +PM 最短，则QPKB 为平行四边形，QB =PK ,连接CP ，根据轴对称求出CP =MP ，则CP +BQ 最小，∵CB ，QP 为定值，∴四边形BCPQ 周长最短.∵将点C 向上平移一个单位，坐标为（3，1），再作其关于对称轴对称的对称点C 1， ∴得点C 1的坐标为（-1，1）.可求出直线BC 1的解析式为y =31x +34. 直线y ＝31x +34与对称轴x ＝1的交点即为点Q ，坐标为（1， 35）. ∴点P 的坐标为（1，32）.综上所述，满足条件的P 、Q 两点的坐标分别为（1，32）、（1，35）.题型五 二次函数综合题 类型二 与面积有关的问题针对演练1. （2015桂林）如图，已知抛物线y = -21x 2+bx +c 与坐标轴分别交于点A (0，8)、B (8，0)和点E ,动点C 从原点O 开始沿OA 方向以每秒1个单位长度移动，动点D 从点B 开始沿BO 方向以每秒1个单位长度移动，动点C 、D 同时出发，当动点D 到达原点O 时，点C 、D 停止运动.(1)求抛物线的解析式；(2)求△CED 的面积S 与D 点运动时间t 的函数解析式：当t 为何值时，△CED 的面积最大?最大面积是多少?(3)当△CED 的面积最大时，在抛物线上是否存在点P (点E 除外)，使△PCD 的面积等于△CED 的最大面积，若存在，求出P 点的坐标；若不存在，请说明理由.第1题图2. （2015海南）如图①，二次函数y =ax 2+bx +3的图象与x 轴相交于点A （-3，0）、B (1,0)，与y 轴相交于点C ，点G 是二次函数图象的顶点，直线GC 交x 轴于点H (3,0)，AD 平行GC 交y 轴于点D .（1）求该二次函数的表达式；（2）求证：四边形ACHD 是正方形；（3）如图②，点M (t ,p )是该二次函数图象上的动点，并且点M 在第二象限内，过点M 的直线y =kx 交二次函数的图象于另一点N .①若四边形ADCM 的面积为S ，请求出S 关于t 的函数表达式，并写出t 的取值范围； ②若△CMN 的面积等于421，请求出此时①中S 的值.图① 图② 第2题图3. (2015深圳)如图①，关于x的二次函数y= -x2+bx+c经过点A(-3,0),点C(0，3)，点D 为二次函数的顶点,DE为二次函数的对称轴，E在x轴上.（1）求抛物线的解析式；（2）DE上是否存在点P到AD的距离与到x轴的距离相等？若存在,求出点P;若不存在,请说明理由；（3）如图②，DE的左侧抛物线上是否存在点F，使2S△FBC=3S△EBC？若存在,求出点F的坐标;若不存在,请说明理由.图① 图②第3题图4. （2015武威）如图，在平面直角坐标系中，抛物线经过点A（0，4），B（1，0），C（5，0），其对称轴与x轴相交于点M.（1）求此抛物线的解析式和对称轴；（2）在此抛物线的对称轴上是否存在一点P，使△PAB的周长最小？若存在，请求出点P 的坐标；若不存在，请说明理由；（3）连接AC，在直线AC下方的抛物线上，是否存在一点N，使△NAC的面积最大？若存在，请求出点N的坐标；若不存在，请说明理由.第4题图【答案】 针对演练1.解：(1)将点A (0，8)、B (8，0)代入抛物线y = -21x 2+bx +c ， 得⎪⎩⎪⎨⎧=++⨯=086421-8c b c ,解得⎩⎨⎧==83c b ，∴抛物线的解析式为y = -21x 2+3x +8. (2)∵点A (0,8)、B (8，0)，∴OA =8,OB =8， 令y =0，得 -21x 2+3x +8=0, 解得:x 1=8,x 2=-2,∵点E 在x 轴的负半轴上， ∴点E (-2，0)，∴OE =2，根据题意得：当D 点运动t 秒时，BD =t,OC =t , ∴OD =8-t ,∴DE =OE +OD =10-t ,∴S △CED =21DE ·OC =21 (10-t )·t = -21t 2+5t , 即S = -21t 2+5t =-21 (t -5)2+225, ∴当t =5时，S △CED 最大＝225(3)存在.由(2)知：当t =5时，S △CED 最大＝225∴当t =5时，OC =5,OD =3, ∴C (0,5),D (3,0), 由勾股定理得CD =34,设直线CD 的解析式为：y =kx +b （k ≠0）, 将C (0,5),D (3,0)，代入上式得：⎩⎨⎧=+=0,35b k b 解得⎪⎩⎪⎨⎧==535-b k ,∴直线CD 的解析式为 y = - 35x +5,过E 点作EF ∥CD ，交抛物线于点P 1，则S △CED ＝S DCP 1∆， 第1题解图如解图，设直线EF 的解析式为y = -35x +m , 将E (-2，0)代入得：m = -310, ∴直线EF 的解析式为y = -35x -310,将y = -35x -310与y = -21x 2+3x +8联立成方程组得：⎪⎪⎩⎪⎪⎨⎧8+3+21 -=310 - 35-=2x x y x y , 解得⎩⎨⎧==0-211y x （与E 点重合，舍去）,⎪⎪⎩⎪⎪⎨⎧==9200-33422y x ,∴P 1(334,- 9200); 过点E 作EG ⊥CD ，垂足为G ， ∵当t =5时，S △ECD =21CD ·EG =225,CD =34, ∴EG =343425, 过点D 作DN ⊥CD ,垂足为N ，且使DN =343425,过点N 作NM ⊥x 轴，垂足为M ，可得△EGD ∽△DMN ,∴DM EG =DN ED ,即DM343425＝3434255，解得：DM =34125,∴OM =34227, 由勾股定理得：MN =22-DM DN =)234125(-)3434(252＝3475,∴N (34227,3475), 过点N 作NP 2∥CD ，与抛物线交于点P 2，P 3(与B 点重合)，则S △CED ＝SDCP 2∆，S △CED ＝SDCP 3∆,设直线NP 2的解析式为y = -35x +n , 将N (34227,3475)，代入上式得n =340,∴直线NP 2的解析式为y = -35x +340,将y = -35x +340与y = -21x 2+3x +8联立成方程组得：⎪⎪⎩⎪⎪⎨⎧++=+=8321-34035-2x x y x y ,解得⎩⎨⎧==0811y x ,⎪⎪⎩⎪⎪⎨⎧==91003422y x , ∴P 2(34,9100)或P 3(8,0), 综上所述，当△CED 的面积最大时，在抛物线上存在点P (点E 除外)，使△PCD 的面积等于△CED 的最大面积，点P 的坐标为：(334,-9200)或(34,9100)或(8,0).2.(1)解：∵二次函数y =ax 2+bx +3过点A (-3，0)、 B (1，0)， ∴⎩⎨⎧=++=+03033-9b a b a ,，解得⎩⎨⎧==-2-1b a ，∴二次函数的表达式为y =－x 2－2x +3.(2)证明：由(1)知二次函数的表达式为y =－x 2－2x +3， 令x =0，则y =3,∴点C 的坐标为(0，3)， ∴OC =3，又点A 、H 的坐标分别为(-3,0)、(3,0)， ∴ OA =OH =OC =3， ∴ ∠OCH ＝∠OHC ， ∵AD ∥GC ，∴∠OCH ＝∠ODA ,∠OHC =∠OAD,∴∠OAD ＝∠ODA , ∴ OA =OD =OC =OH =3， 又AH ⊥CD ,∴四边形ACHD 为正方形.(3)解：①S 四边形ADCM =S 四边形A OCM +S △AOD ， 第2题解图 由(2)知OA =OD =3， ∴S △AOD =21×3×3=29， ∵点M (t ,p )是直线y =kx 与抛物线y = -x 2-2x +3在第二象限内的交点，∴点M 的坐标为(t ,-t 2-2t +3)，如解图，作MK ⊥x 轴于点K ,ME ⊥y 轴于点E ，则MK =-t 2-2t +3,ME =︱t ︱=-t ， ∴S 四边形AOCM =S △AOM +S △MOC=21×3(-t 2-2t +3)+ 21×3(-t )， 即S 四边形AOC M = -23t 2-29t +29，S 四边形ADCM ＝S 四边形AOCM +S △AOD =-23t 2-29t+29+29= -23t 2-29t+9,∴S = -23t 2-29t +9,-3＜t ＜0.②设点N 的坐标为(t 1,p 1),过点N 作NF ⊥y 轴于点F ，∴NF =︱t 1︱,又由①知ME =︱t ︱， 则S △CMN =S △COM +S △CON =21OC ·(︱t ︱+︱t 1︱)， 又∵点M (t ,p )、N(t 1,p 1)分别在第二、四象限内，∴t ＜0, t 1＞0, ∴S △CMN =23(t 1-t ), 即23 (t 1-t )= 421，∴t 1-t =27.由直线y =kx 交二次函数的图象于点M 、N 得：⎩⎨⎧+==32--y y 2x x kx ,则x 2+(2+k )x -3=0, ∴x =2(-3)14-)(2)(2-2⨯⨯+±+k k ,即t =2(-3)14-)(2-)(2-2⨯⨯++k k ,t 1=2(-3)14-)(2)(2-2⨯⨯+++k k ,∴t 1-t =12k)(22++=27,∴27是(2+k )2+12的算术平方根, ∴(2+k )2+12=449,解得k 1=-23,k 2=-25,又(k +2)2+12恒大于0，且k ＜0,∴k 1=-23,k 2=-25都符合条件. (i)若k = -23,有x 2+(2-23)x -3=0,解得x 1=-2,x 2=23(不符合题意，舍去);(ii)若k = -25,有x 2+(2-25)x -3=0,解得x 3=-23,x 4=2(不符合题意，舍去)，∴t = -2或-23，当t = -2时,S =12;当t =-23时,S =899，∴S 的值是12或899.3.解：（1）将A (-3，0)，C (0，3)代入y =-x 2+bx +c , 得⎩⎨⎧=+=03-9-3c b c ,解得⎩⎨⎧==3-2c b .∴抛物线的解析式为y = -x 2-2x +3.(2存在，由(1)知抛物线的解析式可化为顶点式y =-(x +1)2+4，则D (-1，4)，当P 在∠DAB 的平分线上时，如解图①，作PM ⊥AD ，设P (-1，y 0)， ∵sin∠ADE =AD AE =522=55，PE =y 0, 则PM =PD ·sin∠ADE =55(4-y 0), ∵PM =PE , 第3题解图① ∴55(4-y 0)=y 0, 解得y 0=5-1.当P 在∠DAB 的外角平分线上时， 如解图②，作PN ⊥AD ,设P (-1，y 0)，PE =-y 0,则PN =PD ·sin∠ADE =55(4-y 0), ∵PN =PE , ∴55(4-y 0)=-y 0，解得y 0=-5-1. 第3题解图② ∴存在满足条件的点P ，且点P 的坐标为（-1，5-1）或（-1，-5-1）. (3)存在.∵S △EBC =3,2S △FBC =3S △EBC , ∴S △FBC =23S △EBC ＝23×3＝29, 过点F 作FH ⊥x 轴，交BC 的延长线于点Q ，如解图③,连接BF ,设BF 交y 轴于点M ，易得△BMC ∽△BFQ ， ∴OH OB OB +＝QFCM，即CM ＝OH OB QFOB +⋅，∴S △FBC ＝21CM ·OB +21C M ·OH ＝21OB ·QF .∵S △FBC =21FQ ·OB =21FQ =29,∴FQ =9.∵BC 的解析式为y =-3x +3，设F (x 0,-x 20-2x 0+3),则Q 点的坐标为（x 0,-3x 0+3）,∴QF =-3x 0+3+x 02+2x 0-3=9, 解得x 0=237-1或2371+ (舍去)， ∴满足条件的点F 的坐标是(237-1，215-373). 第3题解图③4.解：（1）∵抛物线过点A （0，4）、B （1，0）、C （5，0），∴设过A 、B 、C 三点的抛物线的解析式为y =a (x -1)·(x -5)(a ≠0)， ∴将点A （0，4）代入y=a (x -1)(x -5)，得a =54， ∴此抛物线的解析式为y =54x 2-524x +4,∵抛物线过点B （1，0）、C （5，0），∴抛物线的对称轴为直线x ＝251+=3. （2）存在，如解图①，连接AC 交对称轴于点P ，连接B P 、BA ,∵点B 与点C 关于对称轴对称，∴PB =PC ,∴AB +AP +PB =AB +AP +PC =AB +AC ,∵AB 为定值，且AP +P C≥AC ,∴当A 、P 、C 三点共线时△PAB 的周长最小，∵ A （0，4）、C （5，0），设直线A C 的解析式为y =ax +b (a ≠0)， 第4题解图①将A 、C 两点坐标代入解析式得⎩⎨⎧=+=054b a b , 解得⎪⎩⎪⎨⎧==454-b a ,∴直线AC 的解析式为y = -54x +4. ∵在y = -54x +4中，当x ＝3时，y =58， ∴P 点的坐标为（3，58）， 即当对称轴上的点P 的坐标为（3，58）时，△ABP 的周长最小. （3）在直线AC 下方的抛物线上存在点N ，使△NAC 面积最大.如解图②，设N 点的横坐标为t ，此时点N （t , 54t 2-524t +4）（0＜t ＜5）， 过点N 作y 轴的平行线，分别交x 轴、AC 于点F 、G ，过点A 作 AD ⊥NG ，垂足为点D ， 由（2）可知直线AC 的解析式为y = -54x+4， 把x =t 代入y = -54x +4得y ＝-54t +4， 则G 点的坐标为（t ，-54t +4 ）， 此时，NG ＝-54t +4-（54t 2-524t +4）＝-54t 2+4t . ∵AD ＋CF ＝OC ＝5，∴S △NAC ＝S △ANG ＋S △CGN ＝21NG ·AD ＋21NG ·CF ＝ 21NG ·OC =21×（-54t 2+4t ）×5＝-2t 2+10t ＝-2（t -25）2+225. ∵-2<0，即在对称轴处取得最大值.∴当t =25时，△NAC 面积有最大值为225， 第4题解图② 由t =25，得y =54t 2524t +4＝-3， ∴N （25，-3）. ∴存在满足条件的点N ，使△NAC 的面积最大，N 点的坐标为（25,-3）.题型五 二次函数综合题类型三 与特殊三角形有关的问题针对演练1.（2015岳阳）如图，抛物线y=ax 2+bx +c 经过A (1,0)、B (4,0)、C (0,3)三点.（1）求抛物线的解析式；（2）如图①，在抛物线的对称轴上是否存在点P ，使得四边形PAOC 的周长最小？若存在，求出四边形PAOC 周长的最小值；若不存在，请说明理由；（3）如图②，点Q 是线段OB 上一动点，连接BC ,在线段BC 上是否存在这样的点M ，使△CQM为等腰三角形且△BQM 为直角三角形？若存在，求点M 的坐标；若不存在，请说明理由.图① 图②第1题图2. 如图，直线y =-21x +2与x 轴交于点B ，与y 轴交于点C ，已知二次函数的图象经过点B 、C 和点A （-1，0）.（1）求B 、C 两点坐标；（2）求该二次函数的关系式；（3）若抛物线的对称轴与x 轴的交点为点D ，则在抛物线的对称轴上是否存在点P ，使△PCD是以CD 为腰的等腰三角形？如果存在，直接写出P 点的坐标；如果不存在，请说明理由；（4）点E 是线段BC 上的一个动点，过点E 作x 轴的垂线与抛物线相交于点F ，当点E 运动到什么位置时，四边形CDBF 的面积最大？求出四边形CDBF 的最大面积及此时E 点的坐标.第2题图【答案】针对演练1.解：（1）∵点A （1，0），B （4,0）在抛物线上，∴设抛物线解析式为y =a (x -1)(x -4)，将点C （0,3）代入得a (0-1)(0-4)=3，解得a =43，∴抛物线解析式为y =43(x -1)(x -4)，即y =43x 2-415x+3.（2）存在.连接BC 交对称轴于点P ，连接PA ,如解图①,∵点A 与点B 关于对称轴x =25对称，∴BC ≤PB +PC =PA +PC ，即当点P 在直线BC 上时，四边形PAOC 的周长最小，在Rt△BOC 中，OB =4，OC =3，∠BOC =90°，∴BC =22OC OB =5，∴四边形PAOC 的周长的最小值为OA +O C+BC =1+3+5=9.（3）存在.设直线BC 的解析式为y =kx +t ，第1题解图①将点B (4,0)，点C （0,3）代入得⎩⎨⎧==+304t t k ，解得⎪⎩⎪⎨⎧==343-t k ，∴直线BC 的解析式为y = - 43x +3. 点M 在BC 上，设点M 的坐标为（m ,- 43m +3）（0＜m ＜4）， 要使△CQM 是等腰三角形，且△BQM 是直角三角形，则只有以下两种情况，(Ⅰ)当MQ ⊥OB ，CM =MQ 时，如解图②所示，则CM =MQ =-43m +3, MB =BC -CM =5-(- 43m +3)=2+43m ， 由sin∠CBO =BC OC =BM MQ =53， 即m m 432343-++=53，解得m =23, 则点M 的坐标为（23,815）； (Ⅱ)当CM =MQ ,MQ ⊥BC 时，如解图③， 第1题解图②过M 作MN ⊥OB 于N ，则ON =m ,MN =-43m +3, 在Rt△BMN 中，易得BM =MBN MN ∠sin =35×(-43m +3) =- 45m +5， ∴CM =BC -BM =45m ， 在Rt△BMQ 中，QM =BM ·tan∠MBQ =43 (-45m +5)， 由CM =MQ 得43 (-45m +5)= 45m ， 第1题解图③ 解得m =712，此时点M 的坐标为（712,712）. 综上所述，存在满足条件的点M ,点M 的坐标为（23,815）或（712，712）. 2. 解：（1）令x =0，可得y =2，令y =0，可得x =4，即点B （4，0），C （0，2）.（2）设二次函数的解析式为y =ax 2+bx +c ，将点A 、B 、C 的坐标代入解析式得，⎪⎩⎪⎨⎧==++=+204160-c c b a c b a ,解得b c b a ⎪⎪⎪⎩⎪⎪⎪⎨⎧===22321- , 即该二次函数的关系式为y=-21x 2+23x +2. （3）存在.满足条件的点P 的坐标分别为P 1（23,4），P 2（23,25）,P 3(23,-25). 【解法提示】∵y = -21x 2+23x +2， ∴y =-21（x -23）2+825， ∴抛物线的对称轴是x =23， ∴OD =23． ∵C （0，2），∴OC =2．在Rt△OCD 中，由勾股定理得CD =25． ∵△CDP 是以CD 为腰的等腰三角形，∴CP 1=DP 2=DP 3=CD ．如解图①所示，作CE ⊥对称轴于点E ，∴EP 1=ED =2，∴DP 1=4．∴P 1（23，4），P 2（23，25），P 3（23，-25）. 第2题解图①（4）如解图②，过点C 作CM ⊥EF 于点M ，设E （a ，-21a +2），F （a ，-21a 2+23a +2）， ∴EF =-21a 2+23a +2-（-21a +2） =-21a 2+2a （0≤a ≤4）． ∵S 四边形CDBF =S △BCD +S △CEF +S △BEF 第2题解图② =21BD ·OC +21E F ·CM +21EF ·BN =25+21a （-21a 2+2a ）+21（4-a ）·（-21a 2+2a ）=-a 2+4a +25 =-（a -2）2+213（0≤a ≤4）, ∴a =2时，S 四边形CDBF 最大=213， ∴E （2，1）．题型五 二次函数综合题类型四 与特殊四边形有关的问题针对演练1. （2015重庆模拟）已知正方形OABC 中，O 为坐标原点，点A 在y 轴的正半轴上，点C 在x 轴的正半轴上，点B （4，4）.二次函数y = -61x 2+bx +c 的图象经过点A 、B .点P （t ，0）是x 轴上一动点，连接AP .（1）求此二次函数的解析式；（2）如图①，过点P 作AP 的垂线与线段BC 交于点G ，当点P 在线段OC （点P 不与点C 、O重合）上运动至何处时，线段GC 的长有最大值，求出这个最大值；（3）如图②，过点O 作AP 的垂线与直线BC 交于点D ，二次函数y = -61x 2+bx +c 的图象上是否存在点Q ，使得以P 、C 、Q 、D 为顶点的四边形是以PC 为边的平行四边形？若存在，求出t 的值；若不存在，请说明理由.图① 图② 备用图第1题图2. 如图，在平面直角坐标系中，二次函数y=x2+bx+c的图象与x轴交于A、B两点，A点在原点左侧，B点的坐标为（4，0），与y轴交于C（0，-4）点，点P是直线BC下方的抛物线上一动点.（1）求这个二次函数的表达式;（2）连接PO、PC，并把△POC沿CO翻折，得到四边形POP′C，那么是否存在点P，使四边形POP′C为菱形？若存在，请求出此时点P的坐标；若不存在，请说明理由;（3）当点P运动到什么位置时，四边形ABPC的面积最大？求出此时P点的坐标和四边形ABPC的最大面积.第2题图【答案】针对演练1.解：（1）∵B （4，4），∴AB =BC =4，∵四边形ABCO 是正方形，∴OA =4，∴A （0，4），将点A （0，4），B （4，4）代入y = -61x 2+bx +c ， 得⎪⎩⎪⎨⎧=++⨯=441661-4c b c ， 解得⎪⎩⎪⎨⎧==432c b ，∴二次函数解析式为y =-61x 2+32x +4. （2）∵P （t ，0），∴OP =t ，PC =4-t ，∵AP ⊥PG ，∴∠APO +∠CPG =180°-90°=90°，∵∠OAP +∠APO =90°，∴∠OAP =∠CPG ，又∵∠AOP =∠PCG =90°，∴△AOP ∽△PCG ， ∴PCAO =GC OP ， 即t -44=GCt ， 整理得，GC =-41（t -2）2+1， ∴当t =2时，GC 有最大值是1，即P （2，0）时，GC 的最大值是1.（3）存在点Q ，使得以P 、C 、Q 、D 为顶点的四边形是以PC 为边的平行四边形．理由如下：如解图①、②，易得∠OAP =∠COD ，在△AOP 和△OCD 中，⎪⎩⎪⎨⎧︒=∠=∠=∠=∠90OCD AOP OCOA COD OAP , ∴△AOP ≌△OCD （ASA ），∴OP =CD ， 第1题解图①由P 、C 、Q 、D 为顶点的四边形是以PC 为边的平行四边形得，PC ∥DQ 且PC =DQ ，∵P（t ，0），D （4，t ），∴PC =DQ =|t-4|，∴点Q 的坐标为（t ，t ）或（8-t ，t ），①当Q （t ，t ）时，-61t 2+32t +4=t ， 整理得，t 2+2t-24=0，解得t 1=4（舍去），t 2=-6，②当Q （8-t ，t ）时，-61（8-t ）2+32（8-t ）+4=t ， 第1题解图②整理得，t 2-6t +8=0，解得t 1=2，t 2=4（舍去），综上所述，存在点Q （-6，-6）或（6，2），使得以P 、C 、Q 、D 为顶点的四边形是以PC 为边的平行四边形．2.解：（1）将B 、C 两点的坐标代入得： ⎩⎨⎧==++-40416c c b ，解得⎩⎨⎧==-4-3c b ， ∴二次函数的表达式为y =x 2-3x -4.（2）存在点P ，使四边形POP ′C 为菱形；设P 点坐标为（x ，x 2-3x -4），PP ′交CO 于点E ，若四边形POP′C 是菱形，则有PC =PO ；如解图①，连接PP ′，则PE ⊥CO 于点E ，∵C （0，-4），∴CO =4，又∵OE =EC ，∴OE =EC =2，∴y =-2，∴x 2-3x -4=-2， 第2题解图①解得x 1=2173+，x 2=217-3（不合题意，舍去）， ∴P 点的坐标为（2173+，-2）. （3）如解图②，过点P 作y 轴的平行线与BC 交于点Q ，与OB 交于点F ，设P （x ，x 2-3x -4），设直线BC 的解析式为y =kx +d ，则⎩⎨⎧=+=04-4d k d ,解得⎩⎨⎧==-41d k ， ∴直线BC 的解析式为y =x -4，则Q 点的坐标为（x ，x -4）；当0=x 2-3x -4，解得：x 1= -1，x 2=4，∴AO =1，AB =5， 第2题解图② S 四边形ABPC =S △ABC +S △BPQ +S △CPQ =21AB ·OC +21QP ·BF +21QP ·OF =21×5×4+21（4-x ）［x -4-（x 2-3x -4）］+21x ［x -4-（x 2-3x -4）］ =-2x 2+8x +10=-2（x -2）2+18,当x =2时，四边形ABPC 的面积最大，此时P 点的坐标为（2，-6），四边形ABPC 的面积的最大值为18．题型五 二次函数综合题拓展类型 与三角形相似有关的问题针对演练1. （2015广元）如图，已知抛物线y ＝-m1（x +2）（x -m ）（m ＞0）与x 轴相交于点A 、B ，与y 轴相交于点C ，且点A 在点B 的左侧.（1）若抛物线过点G （2，2），求实数m 的值.（2）在（1）的条件下，解答下列问题：①求△ABC 的面积.②在抛物线的对称轴上找一点H ，使AH +CH 最小，并求出点H 的坐标.（3）在第四象限内，抛物线上是否存在点M ，使得以点A 、B 、M 为顶点的三角形与△ABC 相似？若存在，求m 的值；若不存在，请说明理由.第1题图2. 如图，抛物线经过A（4，0），B（1，0），C（0，-2）三点.（1）求出抛物线的解析式；（2）P是抛物线上一动点，过P作P M⊥x轴，垂足为M，是否存在P点，使得以A，P，M 为顶点的三角形与△OAC相似？若存在，请求出符合条件的点P的坐标；若不存在，请说明理由；（3）在直线AC上方的抛物线上有一点D，使得△DCA的面积最大，求出点D的坐标.第2题图【答案】针对演练1.解：(1)∵抛物线过点G (2，2)，∴2=-m 1(2+2)(2-m )，∴m =4.(2)①y =0,- m 1(x +2)(x -m )=0，解得x 1=-2,x 2=m ,∵m ＞0,∴A (-2,0)、B (m ,0),又∵m =4,∴AB =6.令x =0,得y =2,∴C (0,2),∴OC =2，∴S △ABC =21×AB ×OC =21×6×2＝ 6.第1题解图①②∵m =4，∴抛物线y = -41(x +2)(x -4)的对称轴为x =1，如解图①，连接BC 交对称轴于点H ，由轴对称的性质和两点之间线段最短的性质可知，此时AH +CH =BH +CH =BC 最小.设直线BC 的解析式为y =kx +b (k ≠0).则⎩⎨⎧==+204b b k ,解得⎪⎩⎪⎨⎧==221-b k ,∴直线BC 的解析式为y=-21x +2.当x =1时，y =23,∴H (1, 23).(3)存在.如解图②，分两种情况讨论：(Ⅰ)当△ACB ∽△ABM 时，AB AC =AM AB，第1题解图②即AB 2=AC ·AM .∵A (-2,0),C (0,2)，即OA =OC=2,∴∠CAB =45°,∴∠BAM =45°.过点M 作MN ⊥x 轴于点N ，则AN =MN ，∴OA +ON =2+ON =M N ，∴令M (x ,-x-2)(x ＞0)，又∵点M 在抛物线上，∴-x -2=-m1 (x +2)(x-m )， ∵x ＞0,∴x +2＞0，又∵m ＞0,∴x =2m ,即M (2m ,-2m -2).∴AM =222)-(-22)(2m m ++=22 (m +1)，又∵AB 2=AC ·AM ,AC =22，AB =m +2,∴(m +2)2=22×22 (m +1)，解得m =2±22. ∵m ＞0,∴m =22+2.(Ⅱ)当△ACB ∽△MBA 时， 则MA AB =BACB ， ∴AB 2=CB ·MA ，又∵∠CBA =∠BAM ,∠ANM =∠BOC =90°,∴△ANM ∽△BOC , ∴AN NM =BOOC ， ∵OB =m ,令ON =x, ∴x NM +2=m2, ∴NM =m2 (x +2)， ∴令M (x ,- m 2 (x +2))(x ＞0), 又∵点M 在抛物线上，∴-m 2 (x +2)=- m1 (x +2)(x -m )， ∵x ＞0,∴x +2＞0,∵m ＞0,∴x =m +2,∴M (m +2,-m 2 (m +4))， 又∵AB 2=CB ·MA ,CB =42+m ,AN =m +4,MN =m 2 (m +4),∴(m +2)2=42+m ·,4)4(4)(222m m m +++ 整理得16=0,显然不成立.综上(Ⅰ)(Ⅱ)得，在第四象限内，当m =22+2时，抛物线上存在点M ，使得以点A 、B 、M 为顶点的三角形与△ACB 相似.2. 解：（1）∵该抛物线过点C （0，-2），∴可设该抛物线的解析式为y =ax 2+bx-2．将A （4，0），B （1，0）代入，得⎩⎨⎧=+=+02-02-416b a b a ,解得⎪⎪⎩⎪⎪⎨⎧==2521-b a ，∴此抛物线的解析式为y = - 21x 2+ 25x -2.（2）存在．如解图①，设P 点的横坐标为m ，则P 点的纵坐标为-21m 2+25m -2，当1＜m ＜4时，AM =4-m ，PM =-21m 2+25m -2．又∵∠COA =∠PMA =90°， ∴①当PM AM =OC AO时， ∴PM AM =OC AO =24=12，第2题解图① ∴△APM ∽△ACO ，即4-m =2(-21m 2+25m -2)．解得m 1=2，m 2=4（舍去），∴P （2，1）． ②当PM AM =OA OC =21时，△APM ∽△CAO ，即2(4-m )= -21m 2+25m -2．解得m 1=4，m 2=5（均不合题意，舍去）,∴当1＜m ＜4时，P （2，1）.当m ＞4时，AM =m -4，PM =21m 2-25m +2， ①PM AM =OA OC =21或②PM AM =OC AO=2，2（21m 2-25m +2）=m -4，2（m -4）=21m 2-25m +2，解得：第一个方程的解是m =2＜4（舍去）,m =4（舍去），第二个方程的解是m =5，m =4（舍去）,求出m =5，-21m 2+25m -2=-2， 则P （5，-2），当m ＜1时，AM =4-m ，PM =21m 2-25m +2． ①PM AM =OA OC =21或PM AM =OCAO =2， 则：2（21m 2-25m +2）=4-m ， 2（4-m ）=21m 2-25m +2， 解得：第一个方程的解是m =0（舍去），m =4（舍去），第二个方程的解是m =4（舍去），m =-3， m =-3时，-21m 2+25m -2=-14， 则P （-3，-14），综上所述，符合条件的点P 的坐标为（2，1）或（5，-2）或（-3，-14）(解图中未画出来).（3）如解图②，设D 点的横坐标为t （0＜t ＜4），则D 点的纵坐标为-21t 2+25t-2． 过点D 作y 轴的平行线交AC于点E ． 第2题解图②由题意可求得直线AC 的解析式为y =21x -2． ∴E 点的坐标为(t , 21t -2)． ∴DE =-21t 2+25t-2-(21t -2)=-21t 2+2t ， ∴S △DAC =S △DCE +S △DEA =21DE ·t +21DE ·（4-t ）=21DE ·4， ∴S △DAC =21×（-21t 2+2t ）×4=-t 2+4t =-(t-2)2+4， ∴当t =2时，△DAC 面积最大，∴D （2，1）．。

重庆市2016年中考数学试卷（A卷）一、选择题（本题共12个小题，每小题4分，共48分）1．在实数﹣2，2，0，﹣1中，最小的数是（）A．﹣2 B．2 C．0 D．﹣12．下列图形中是轴对称图形的是（）A．B．C．D．3．计算a3a2正确的是（）A．a B．a5C．a6D．a94．下列调查中，最适合采用全面调查（普查）方式的是（）A．对重庆市辖区内长江流域水质情况的调查B．对乘坐飞机的旅客是否携带违禁物品的调查C．对一个社区每天丢弃塑料袋数量的调查D．对重庆电视台“天天630”栏目收视率的调查5．如图，AB∥CD，直线l交AB于点E，交CD于点F，若∠2=80°，则∠1等于（）A．120°B．110°C．100°D．80°6．若a=2，b=﹣1，则a+2b+3的值为（）A．﹣1 B．3 C．6 D．57．函数y=中，x的取值范围是（）A．x≠0 B．x＞﹣2 C．x＜﹣2 D．x≠﹣28．△ABC与△DEF的相似比为1：4，则△ABC与△DEF的周长比为（）A．1：2 B．1：3 C．1：4 D．1：169．如图，以AB为直径，点O为圆心的半圆经过点C，若AC=BC=，则图中阴影部分的面积是（）A．B．C．D．+10．下列图形都是由同样大小的小圆圈按一定规律所组成的，其中第①个图形中一共有4个小圆圈，第②个图形中一共有10个小圆圈，第③个图形中一共有19个小圆圈，…，按此规律排列，则第⑦个图形中小圆圈的个数为（）A．64 B．77 C．80 D．8511．某数学兴趣小组同学进行测量大树CD高度的综合实践活动，如图，在点A处测得直立于地面的大树顶端C的仰角为36°，然后沿在同一剖面的斜坡AB行走13米至坡顶B处，然后再沿水平方向行走6米至大树脚底点D处，斜面AB的坡度（或坡比）i=1：2.4，那么大树CD的高度约为（参考数据：sin36°≈0.59，cos36°≈0.81，tan36°≈0.73）（）A．8.1米B．17.2米C．19.7米D．25.5米12．从﹣3，﹣1，，1，3这五个数中，随机抽取一个数，记为a，若数a使关于x的不等式组无解，且使关于x的分式方程﹣=﹣1有整数解，那么这5个数中所有满足条件的a的值之和是（）A．﹣3 B．﹣2 C．﹣D．二、填空题（本题6个下题，每小题4分，共24分）13．据报道，2015年某市城镇非私营单位就业人员年平均工资超过60500元，将数60500用科学计数法表示为．14．计算：+（﹣2）0=．15．如图，OA，OB是⊙O的半径，点C在⊙O上，连接AC，BC，若∠AOB=120°，则∠ACB=度．16．从数﹣2，﹣，0，4中任取一个数记为m，再从余下的三个数中，任取一个数记为n，若k=mn，则正比例函数y=kx的图象经过第三、第一象限的概率是．17．甲、乙两人在直线道路上同起点、同终点、同方向，分别以不同的速度匀速跑步1500米，先到终点的人原地休息，已知甲先出发30秒后，乙才出发，在跑步的整个过程中，甲、乙两人的距离y（米）与甲出发的时间x（秒）之间的关系如图所示，则乙到终点时，甲距终点的距离是米．18．正方形ABCD中，对角线AC，BD相交于点O，DE平分∠ADO交AC于点E，把△ADE沿AD翻折，得到△ADE′，点F是DE的中点，连接AF，BF，E′F．若AE=．则四边形ABFE′的面积是．三、解答题（本题共2个小题，每小题7分，共14分）19．如图，点A，B，C，D在同一条直线上，CE∥DF，EC=BD，AC=FD．求证：AE=FB．20．为响应“全民阅读”号召，某校在七年级800名学生中随机抽取100名学生，对概念机学生在2015年全年阅读中外名著的情况进行调查，整理调查结果发现，学生阅读中外名著的本数，最少的有5本，最多的有8本，并根据调查结果绘制了如图所示的不完整的条形统计图，其中阅读了6本的人数占被调查人数的30%，根据图中提供的信息，补全条形统计图并估计该校七年级全体学生在2015年全年阅读中外名著的总本数．四、解答题（本题共4个下题，每小题10分，共40分）21．计算：（1）（a+b）2﹣b（2a+b）（2）（+x﹣1）÷．22．在平面直角坐标系中，一次函数y=ax+b（a≠0）的图形与反比例函数y=（k≠0）的图象交于第二、四象限内的A、B两点，与y轴交于C点，过点A作AH⊥y轴，垂足为H，OH=3，tan∠AOH=，点B的坐标为（m，﹣2）．（1）求△AHO的周长；（2）求该反比例函数和一次函数的解析式．23．近期猪肉价格不断走高，引起了民众与政府的高度关注．当市场猪肉的平均价格每千克达到一定的单价时，政府将投入储备猪肉以平抑猪肉价格．（1）从今年年初至5月20日，猪肉价格不断走高，5月20日比年初价格上涨了60%．某市民在今年5月20日购买2.5千克猪肉至少要花100元钱，那么今年年初猪肉的最低价格为每千克多少元？（2）5月20日，猪肉价格为每千克40元.5月21日，某市决定投入储备猪肉并规定其销售价在每千克40元的基础上下调a%出售．某超市按规定价出售一批储备猪肉，该超市在非储备猪肉的价格仍为每千克40元的情况下，该天的两种猪肉总销量比5月20日增加了a%，且储备猪肉的销量占总销量的，两种猪肉销售的总金额比5月20日提高了a%，求a的值．24．我们知道，任意一个正整数n都可以进行这样的分解：n=p×q（p，q是正整数，且p≤q），在n的所有这种分解中，如果p，q两因数之差的绝对值最小，我们就称p×q是n的最佳分解．并规定：F（n）=．例如12可以分解成1×12，2×6或3×4，因为12﹣1＞6﹣2＞4﹣3，所有3×4是12的最佳分解，所以F（12）=．（1）如果一个正整数a是另外一个正整数b的平方，我们称正整数a是完全平方数．求证：对任意一个完全平方数m，总有F（m）=1；（2）如果一个两位正整数t，t=10x+y（1≤x≤y≤9，x，y为自然数），交换其个位上的数与十位上的数得到的新数减去原来的两位正整数所得的差为18，那么我们称这个数t为“吉祥数”，求所有“吉祥数”中F（t）的最大值．五、解答题（本题2个小题，每小题12分，共24分）解答时每小题必须给出必要的演算过程或推理步骤，画出必要的图形，请将解答过程书写在答题卡中对应的位置上.25．在△ABC中，∠B=45°，∠C=30°，点D是BC上一点，连接AD，过点A作AG⊥AD，在AG上取点F，连接DF．延长DA至E，使AE=AF，连接EG，DG，且GE=DF．（1）若AB=2，求BC的长；（2）如图1，当点G在AC上时，求证：BD=CG；（3）如图2，当点G在AC的垂直平分线上时，直接写出的值．26．如图1，在平面直角坐标系中，抛物线y=﹣x2+x+3与x轴交于A，B两点（点A在点B左侧），与y轴交于点C，抛物线的顶点为点E．（1）判断△ABC的形状，并说明理由；（2）经过B，C两点的直线交抛物线的对称轴于点D，点P为直线BC上方抛物线上的一动点，当△PCD的面积最大时，Q从点P出发，先沿适当的路径运动到抛物线的对称轴上点M处，再沿垂直于抛物线对称轴的方向运动到y轴上的点N处，最后沿适当的路径运动到点A处停止．当点Q的运动路径最短时，求点N的坐标及点Q经过的最短路径的长；（3）如图2，平移抛物线，使抛物线的顶点E在射线AE上移动，点E平移后的对应点为点E′，点A的对应点为点A′，将△AOC绕点O顺时针旋转至△A1OC1的位置，点A，C 的对应点分别为点A1，C1，且点A1恰好落在AC上，连接C1A′，C1E′，△A′C1E′是否能为等腰三角形？若能，请求出所有符合条件的点E′的坐标；若不能，请说明理由．重庆市2016年中考数学试卷（A卷）参考答案与解析一、选择题（本题共12个小题，每小题4分，共48分）1．在实数﹣2，2，0，﹣1中，最小的数是（）A．﹣2 B．2 C．0 D．﹣1【分析】找出实数中最小的数即可．【解答】解：在实数﹣2，2，0，﹣1中，最小的数是﹣2，故选A【点评】此题考查了实数大小比较，熟练掌握两个负数比较大小的方法是解本题的关键．2．下列图形中是轴对称图形的是（）A．B．C．D．【分析】根据轴对称图形的概念：如果一个图形沿一条直线折叠，直线两旁的部分能够互相重合，这个图形叫做轴对称图形，这条直线叫做对称轴进行分析即可．【解答】解：A、不是轴对称图形，不符合题意；B、不是轴对称图形，不符合题意；C、不是轴对称图形，不符合题意；D、是轴对称图形，对称轴有两条，符合题意．故选：D．【点评】此题主要考查了轴对称图形，确定轴对称图形的关键是寻找对称轴，图形两部分沿对称轴折叠后可重合．3．计算a3a2正确的是（）A．a B．a5C．a6D．a9【分析】根据同底数幂相乘，底数不变，指数相加计算后直接选取答案．【解答】解：a3a2=a3+2=a5．故选B．【点评】本题主要考查同底数幂的乘法的性质，熟练掌握性质是解题的关键．4．下列调查中，最适合采用全面调查（普查）方式的是（）A．对重庆市辖区内长江流域水质情况的调查B．对乘坐飞机的旅客是否携带违禁物品的调查C．对一个社区每天丢弃塑料袋数量的调查D．对重庆电视台“天天630”栏目收视率的调查【分析】逐项分析四个选项中们案例最适合的调查方法，即可得出结论．【解答】解：A、对重庆市辖区内长江流域水质情况的调查，应采用抽样调查；B、对乘坐飞机的旅客是否携带违禁物品的调查，应采用全面调查；C、对一个社区每天丢弃塑料袋数量的调查，应采用抽样调查；D、对重庆电视台“天天630”栏目收视率的调查，应采用抽样调查．故选B．【点评】本题考查了全面调查与抽样调查，解题的关键是逐项分析四个选项应用的调查方法．本题属于基础题，难度不大，解决该题型题目时，联系实际选择调查方法是关键．5．如图，AB∥CD，直线l交AB于点E，交CD于点F，若∠2=80°，则∠1等于（）A．120°B．110°C．100°D．80°【分析】由平行线的性质得出∠1+∠DFE=180°，由对顶角相等求出∠DFE=∠2=80°，即可得出结果．【解答】解：∵AB∥CD，∴∠1+∠DFE=180°，∵∠DFE=∠2=80°，∴∠1=180°﹣80°=100°；故选：C．【点评】本题考查了平行线的性质、对顶角相等的性质；熟记平行线的性质，由对顶角相等求出∠DFE是解决问题的关键．6．若a=2，b=﹣1，则a+2b+3的值为（）A．﹣1 B．3 C．6 D．5【分析】把a与b代入原式计算即可得到结果．【解答】解：当a=2，b=﹣1时，原式=2﹣2+3=3，故选B【点评】此题考查了代数式求值，熟练掌握运算法则是解本题的关键．7．函数y=中，x的取值范围是（）A．x≠0 B．x＞﹣2 C．x＜﹣2 D．x≠﹣2【分析】由分式有意义的条件得出不等式，解不等式即可．【解答】解：根据题意得：x+2≠0，解得x≠﹣2．故选：D．【点评】本题考查了函数中自变量的取值范围、分式有意义的条件；由分式有意义得出不等式是解决问题的关键．8．△ABC与△DEF的相似比为1：4，则△ABC与△DEF的周长比为（）A．1：2 B．1：3 C．1：4 D．1：16【分析】由相似三角形周长的比等于相似比即可得出结果．【解答】解：∵△ABC与△DEF的相似比为1：4，∴△ABC与△DEF的周长比为1：4；故选：C．【点评】本题考查了相似三角形的性质；熟记相似三角形周长的比等于相似比是解决问题的关键．9．如图，以AB为直径，点O为圆心的半圆经过点C，若AC=BC=，则图中阴影部分的面积是（）A．B．C．D．+【分析】先利用圆周角定理得到∠ACB=90°，则可判断△ACB为等腰直角三角形，接着判断△AOC和△BOC都是等腰直角三角形，于是得到S△AOC=S△BOC，然后根据扇形的面积公式计算图中阴影部分的面积．【解答】解：∵AB为直径，∴∠ACB=90°，∵AC=BC=，∴△ACB为等腰直角三角形，∴OC⊥AB，∴△AOC和△BOC都是等腰直角三角形，∴S△AOC=S△BOC，OA=AC=1，∴S阴影部分=S扇形AOC==．故选A．【点评】本题考查了扇形面积的计算：圆面积公式：S=πr2，（2）扇形：由组成圆心角的两条半径和圆心角所对的弧所围成的图形叫做扇形．求阴影面积常用的方法：①直接用公式法；②和差法；③割补法．求阴影面积的主要思路是将不规则图形面积转化为规则图形的面积．10．下列图形都是由同样大小的小圆圈按一定规律所组成的，其中第①个图形中一共有4个小圆圈，第②个图形中一共有10个小圆圈，第③个图形中一共有19个小圆圈，…，按此规律排列，则第⑦个图形中小圆圈的个数为（）A．64 B．77 C．80 D．85【分析】观察图形特点，从中找出规律，小圆圈的个数分别是3+12，6+22，10+32，15+42，…，总结出其规律为+n2，根据规律求解．【解答】解：通过观察，得到小圆圈的个数分别是：第一个图形为：+12=4，第二个图形为：+22=6，第三个图形为：+32=10，第四个图形为：+42=15，…，所以第n个图形为：+n2，当n=7时，+72=85，故选D．【点评】此题主要考查了学生分析问题、观察总结规律的能力．关键是通过观察分析得出规律．11．某数学兴趣小组同学进行测量大树CD高度的综合实践活动，如图，在点A处测得直立于地面的大树顶端C的仰角为36°，然后沿在同一剖面的斜坡AB行走13米至坡顶B处，然后再沿水平方向行走6米至大树脚底点D处，斜面AB的坡度（或坡比）i=1：2.4，那么大树CD的高度约为（参考数据：sin36°≈0.59，cos36°≈0.81，tan36°≈0.73）（）A．8.1米B．17.2米C．19.7米D．25.5米【分析】作BF⊥AE于F，则FE=BD=6米，DE=BF，设BF=x米，则AF=2.4米，在Rt△ABF 中，由勾股定理得出方程，解方程求出DE=BF=5米，AF=12米，得出AE的长度，在Rt△ACE 中，由三角函数求出CE，即可得出结果．【解答】解：作BF⊥AE于F，如图所示：则FE=BD=6米，DE=BF，∵斜面AB的坡度i=1：2.4，∴AF=2.4BF，设BF=x米，则AF=2.4x米，在Rt△ABF中，由勾股定理得：x2+（2.4x）2=132，解得：x=5，∴DE=BF=5米，AF=12米，∴AE=AF+FE=18米，在Rt△ACE中，CE=AEtan36°=18×0.73=13.14米，∴CD=CE﹣DE=13.14米﹣5米≈8.1米；故选：A．【点评】本题考查了解直角三角形的应用、勾股定理、三角函数；由勾股定理得出方程是解决问题的关键．12．从﹣3，﹣1，，1，3这五个数中，随机抽取一个数，记为a，若数a使关于x的不等式组无解，且使关于x的分式方程﹣=﹣1有整数解，那么这5个数中所有满足条件的a的值之和是（）A．﹣3 B．﹣2 C．﹣D．【分析】根据不等式组无解，求得a≤1，解方程得x=，于是得到a=﹣3或1，即可得到结论．【解答】解：解得，∵不等式组无解，∴a≤1，解方程﹣=﹣1得x=，∵x=为整数，a≤1，∴a=﹣3或1，∴所有满足条件的a的值之和是﹣2，故选B．【点评】本题考查了解分式方程，解一元一次不等式组，熟练掌握解分式方程和一元一次不等式组的方法是解题的关键．二、填空题（本题6个下题，每小题4分，共24分）13．据报道，2015年某市城镇非私营单位就业人员年平均工资超过60500元，将数60500用科学计数法表示为 6.05×104．【分析】科学记数法的表示形式为a×10n的形式，其中1≤|a|＜10，n为整数．确定n的值是易错点，由于60500有5位，所以可以确定n=5﹣1=4．【解答】解：60500=6.05×104．故答案为：6.05×104．【点评】此题考查科学记数法表示较大的数的方法，准确确定a与n值是关键．14．计算：+（﹣2）0=3．【分析】根据开平方，非零的零次幂等于1，可得答案．【解答】解：+（﹣2）0=2+1=3．故答案为：3．【点评】本题考查了零指数幂，利用非零的零次幂等于1是解题关键．15．如图，OA，OB是⊙O的半径，点C在⊙O上，连接AC，BC，若∠AOB=120°，则∠ACB= 60度．【分析】根据圆周角定理：在同圆或等圆中，同弧或等弧所对的圆周角相等，都等于这条弧所对的圆心角的一半可得答案．【解答】解：∵OA⊥OB，∴∠AOB=120°，∴∠ACB=120°×=60°，故答案为：60．【点评】此题主要考查了圆周角定理，关键是掌握圆周角定理：在同圆或等圆中，同弧或等弧所对的圆周角相等，都等于这条弧所对的圆心角的一半．16．从数﹣2，﹣，0，4中任取一个数记为m，再从余下的三个数中，任取一个数记为n，若k=mn，则正比例函数y=kx的图象经过第三、第一象限的概率是．【分析】根据题意先画出图形，求出总的情况数，再求出符合条件的情况数，最后根据概率公式进行计算即可．【解答】解：根据题意画图如下：共有12种情况，∵正比例函数y=kx的图象经过第三、第一象限，∴k＞0，∵k=mn，∴mn＞0，∴符合条件的情况数有2种，∴正比例函数y=kx的图象经过第三、第一象限的概率是=；故答案为：．【点评】本题考查了概率的知识．用到的知识点为：概率=所求情况数与总情况数之比．17．甲、乙两人在直线道路上同起点、同终点、同方向，分别以不同的速度匀速跑步1500米，先到终点的人原地休息，已知甲先出发30秒后，乙才出发，在跑步的整个过程中，甲、乙两人的距离y（米）与甲出发的时间x（秒）之间的关系如图所示，则乙到终点时，甲距终点的距离是175米．【分析】根据图象先求出甲、乙的速度，再求出乙到达终点时所用的时间，然后求出乙到达终点时甲所走的路程，最后用总路程﹣甲所走的路程即可得出答案．【解答】解：根据题意得，甲的速度为：75÷30=2.5米/秒，设乙的速度为m米/秒，则（m﹣2.5）×150=75，解得：m=3米/秒，则乙的速度为3米/秒，乙到终点时所用的时间为：=500（秒），此时甲走的路程是：2.5×（500+30）=1325（米），甲距终点的距离是1500﹣1325=175（米）．故答案为：175．【点评】本题考查了一次函数的应用，读懂题目信息，理解并得到乙先到达终点，然后求出甲、乙两人所用的时间是解题的关键．18．正方形ABCD中，对角线AC，BD相交于点O，DE平分∠ADO交AC于点E，把△ADE沿AD翻折，得到△ADE′，点F是DE的中点，连接AF，BF，E′F．若AE=．则四边形ABFE′的面积是．【分析】如图，连接EB 、EE ′，作EM ⊥AB 于M ，EE ′交AD 于N ．易知△AEB ≌△AED ≌△ADE ′，先求出正方形AMEN 的边长，再求出AB ，根据S 四边形ABFE ′=S四边形AEFE ′+S △AEB +S △EFB 即可解决问题．【解答】解：如图，连接EB 、EE ′，作EM ⊥AB 于M ，EE ′交AD 于N ．∵四边形ABCD 是正方形，∴AB=BC=CD=DA ，AC ⊥BD ，AO=OB=OD=OC ，∠DAC=∠CAB=∠DAE ′=45°，根据对称性，△ADE ≌△ADE ′≌△ABE ， ∴DE=DE ′，AE=AE ′，∴AD 垂直平分EE ′，∴EN=NE ′，∵∠NAE=∠NEA=∠MAE=∠MEA=45°，AE=，∴AM=EM=EN=AN=1，∵ED 平分∠ADO ，EN ⊥DA ，EO ⊥DB ，∴EN=EO=1，AO=+1，∴AB=AO=2+，∴S △AEB =S △AED =S △ADE ′=×1（2+）=1+，S △BDE =S △ADB ﹣2S △AEB =1+，∵DF=EF ， ∴S △EFB =，∴S △DEE ′=2S △ADE ﹣S △AEE ′=+1，S △DFE ′=S △DEE ′=，∴S 四边形AEFE ′=2S △ADE ﹣S △DFE ′=，∴S 四边形ABFE ′=S 四边形AEFE ′+S △AEB +S △EFB =．故答案为．【点评】本题考查正方形的性质、翻折变换、全等三角形的性质，角平分线的性质、等腰直角三角形的性质等知识，解题的关键是添加辅助线，学会利用分割法求四边形面积，属于中考填空题中的压轴题．三、解答题（本题共2个小题，每小题7分，共14分）19．如图，点A，B，C，D在同一条直线上，CE∥DF，EC=BD，AC=FD．求证：AE=FB．【分析】根据CE∥DF，可得∠ACE=∠D，再利用SAS证明△ACE≌△FDB，得出对应边相等即可．【解答】证明：∵CE∥DF，∴∠ACE=∠D，在△ACE和△FDB中，，∴△ACE≌△FDB（SAS），∴AE=FB．【点评】此题主要考查全等三角形的判定与性质和平行线的性质；熟练掌握平行线的性质，证明三角形全等是解决问题的关键．20．为响应“全民阅读”号召，某校在七年级800名学生中随机抽取100名学生，对概念机学生在2015年全年阅读中外名著的情况进行调查，整理调查结果发现，学生阅读中外名著的本数，最少的有5本，最多的有8本，并根据调查结果绘制了如图所示的不完整的条形统计图，其中阅读了6本的人数占被调查人数的30%，根据图中提供的信息，补全条形统计图并估计该校七年级全体学生在2015年全年阅读中外名著的总本数．【分析】由阅读了6本的人数占被调查人数的30%可求得阅读6本的人数，将总人数减去阅读数是5、6、8本的人数可得阅读7本人数，据此补全条形图可得；根据样本计算出平均每人的阅读量，再用平均数乘以七年级学生总数即可得答案．【解答】解：根据题意，阅读了6本的人数为100×30%=30（人），阅读了7本的人数为：100﹣20﹣30﹣﹣15=35（人），补全条形图如图：∵平均每位学生的阅读数量为：=6.45（本），∴估计该校七年级全体学生在2015年全年阅读中外名著的总本数为800×6.45=5160本，答：估计该校七年级全体学生在2015年全年阅读中外名著的总本数约为5160本．【点评】本题主要考查条形统计图，条形统计图能清楚地表示出每个项目的数据，熟知各项目数据个数之和等于总数，也考查了用样本估计总体．四、解答题（本题共4个下题，每小题10分，共40分）21．计算：（1）（a+b）2﹣b（2a+b）（2）（+x﹣1）÷．【分析】（1）根据完全平方公式和单项式乘多项式的法则计算即可；（2）根据分式的混合运算法则进行计算．【解答】解：（1）（a+b）2﹣b（2a+b）=a2+2ab+b2﹣2ab﹣b2=a2；（2）（+x﹣1）÷=×=×=．【点评】本题考查的是整式的混合运算、分式的混合运算，掌握完全平方公式、分式的混合运算法则是解题的关键．22．在平面直角坐标系中，一次函数y=ax+b（a≠0）的图形与反比例函数y=（k≠0）的图象交于第二、四象限内的A、B两点，与y轴交于C点，过点A作AH⊥y轴，垂足为H，OH=3，tan∠AOH=，点B的坐标为（m，﹣2）．（1）求△AHO的周长；（2）求该反比例函数和一次函数的解析式．【分析】（1）根据正切函数，可得AH的长，根据勾股定理，可得AO的长，根据三角形的周长，可得答案；（2）根据待定系数法，可得函数解析式．【解答】解：（1）由OH=3，tan∠AOH=，得AH=4．即A（﹣4，3）．由勾股定理，得AO==5，△AHO的周长=AO+AH+OH=3+4+5=12；（2）将A点坐标代入y=（k≠0），得k=﹣4×3=﹣12，反比例函数的解析式为y=；当y=﹣2时，﹣2=，解得x=6，即B（6，﹣2）．将A、B点坐标代入y=ax+b，得，解得，一次函数的解析式为y=﹣x+1．【点评】本题考查了反比例函数与一次函数的交点问题，利用待定系数法是解题关键．23．近期猪肉价格不断走高，引起了民众与政府的高度关注．当市场猪肉的平均价格每千克达到一定的单价时，政府将投入储备猪肉以平抑猪肉价格．（1）从今年年初至5月20日，猪肉价格不断走高，5月20日比年初价格上涨了60%．某市民在今年5月20日购买2.5千克猪肉至少要花100元钱，那么今年年初猪肉的最低价格为每千克多少元？（2）5月20日，猪肉价格为每千克40元.5月21日，某市决定投入储备猪肉并规定其销售价在每千克40元的基础上下调a%出售．某超市按规定价出售一批储备猪肉，该超市在非储备猪肉的价格仍为每千克40元的情况下，该天的两种猪肉总销量比5月20日增加了a%，且储备猪肉的销量占总销量的，两种猪肉销售的总金额比5月20日提高了a%，求a的值．【分析】（1）设今年年初猪肉价格为每千克x元；根据题意列出一元一次不等式，解不等式即可；（2）设5月20日两种猪肉总销量为1；根据题意列出方程，解方程即可．【解答】解：（1）设今年年初猪肉价格为每千克x元；根据题意得：2.5×（1+60%）x≥100，解得：x≥25．答：今年年初猪肉的最低价格为每千克25元；（2）设5月20日两种猪肉总销量为1；根据题意得：40（1﹣a%）×（1+a%）+40×（1+a%）=40（1+a%），令a%=y，原方程化为：40（1﹣y）×（1+y）+40×（1+y）=40（1+y），整理得：5y2﹣y=0，解得：y=0.2，或y=0（舍去），则a%=0.2，∴a=20；答：a的值为20．【点评】本题考查了一元一次不等式的应用、一元二次方程的应用；根据题意列出不等式和方程是解决问题的关键．24．我们知道，任意一个正整数n都可以进行这样的分解：n=p×q（p，q是正整数，且p≤q），在n的所有这种分解中，如果p，q两因数之差的绝对值最小，我们就称p×q是n的最佳分解．并规定：F（n）=．例如12可以分解成1×12，2×6或3×4，因为12﹣1＞6﹣2＞4﹣3，所有3×4是12的最佳分解，所以F（12）=．（1）如果一个正整数a是另外一个正整数b的平方，我们称正整数a是完全平方数．求证：对任意一个完全平方数m，总有F（m）=1；（2）如果一个两位正整数t，t=10x+y（1≤x≤y≤9，x，y为自然数），交换其个位上的数与十位上的数得到的新数减去原来的两位正整数所得的差为18，那么我们称这个数t为“吉祥数”，求所有“吉祥数”中F（t）的最大值．【分析】（1）根据题意可设m=n2，由最佳分解定义可得F（m）==1；（2）根据“吉祥数”定义知（10y+x）﹣（10x+y）=18，即y=x+2，结合x的范围可得2位数的“吉祥数”，求出每个“吉祥数”的F（t），比较后可得最大值．【解答】解：（1）对任意一个完全平方数m，设m=n2（n为正整数），∵|n﹣n|=0，∴n×n是m的最佳分解，∴对任意一个完全平方数m，总有F（m）==1；（2）设交换t的个位上的数与十位上的数得到的新数为t′，则t′=10y+x，∵t为“吉祥数”，∴t′﹣t=（10y+x）﹣（10x+y）=9（y﹣x）=18，∴y=x+2，∵1≤x≤y≤9，x，y为自然数，∴“吉祥数”有：13，24，35，46，57，68，79，∴F（13）=，F（24）==，F（35）=，F（46）=，F（57）=，F（68）=，F（79）=，∵＞＞＞＞＞，∴所有“吉祥数”中，F（t）的最大值是．【点评】本题主要考查实数的运算，理解最佳分解、“吉祥数”的定义，并将其转化为实数的运算是解题的关键．五、解答题（本题2个小题，每小题12分，共24分）解答时每小题必须给出必要的演算过程或推理步骤，画出必要的图形，请将解答过程书写在答题卡中对应的位置上.25．在△ABC中，∠B=45°，∠C=30°，点D是BC上一点，连接AD，过点A作AG⊥AD，在AG上取点F，连接DF．延长DA至E，使AE=AF，连接EG，DG，且GE=DF．（1）若AB=2，求BC的长；（2）如图1，当点G在AC上时，求证：BD=CG；（3）如图2，当点G在AC的垂直平分线上时，直接写出的值．【分析】（1）如图1中，过点A作AH⊥BC于H，分别在RT△ABH，RT△AHC中求出BH、HC即可．（2）如图1中，过点A作AP⊥AB交BC于P，连接PG，由△ABD≌△APG推出BD=PG，再利用30度角性质即可解决问题．（3）如图2中，作AH⊥BC于H，AC的垂直平分线交AC于P，交BC于M．则AP=PC，作DK⊥AB于K，设BK=DK=a，则AK=a，AD=2a，只要证明∠BAD=30°即可解决问题．【解答】解：（1）如图1中，过点A作AH⊥BC于H．∴∠AHB=∠AHC=90°，在RT△AHB中，∵AB=2，∠B=45°，∴BH=ABcosB=2×=2，AH=ABsinB=2，在RT△AHC中，∵∠C=30°，∴AC=2AH=4，CH=ACcosC=2，∴BC=BH+CH=2+2．（2）证明：如图1中，过点A作AP⊥AB交BC于P，连接PG，∵AG⊥AD，∴∠DAF=∠EAC=90°，在△DAF和△GAE中，，∴△DAF≌△GAE，∴AD=AG，∴∠BAP=90°=∠DAG，∴∠BAD=∠PAG，∵∠B=∠APB=45°，∴AB=AP，在△ABD和△APG中，，∴△ABD≌△APG，∴BD=PG，∠B=∠APG=45°，∴∠GPB=∠GPC=90°，∵∠C=30°，∴PG=GC，∴BD=CG．（3）如图2中，作AH⊥BC于H，AC的垂直平分线交AC于P，交BC于M．则AP=PC，在RT△AHC中，∵∠ACH=30°，∴AC=2AH，∴AH=AP，在RT△AHD和RT△APG中，，∴△AHD≌△APG，∴∠DAH=∠GAP，∵GM⊥AC，PA=PC，∴MA=MC，∴∠MAC=∠MCA=∠MAH=30°，∴∠DAM=∠GAM=45°，∴∠DAH=∠GAP=15°，∴∠BAD=∠BAH﹣∠DAH=30°，作DK⊥AB于K，设BK=DK=a，则AK=a，AD=2a，∴==，∵AG=CG=AD，∴=．【点评】本题考查相似三角形综合题、全等三角形的判定和性质、直角三角形30度角性质、线段垂直平分线性质等知识，解题的关键是添加辅助线构造全等三角形，学会设参数解决问题，属于中考压轴题．26．如图1，在平面直角坐标系中，抛物线y=﹣x2+x+3与x轴交于A，B两点（点A在点B左侧），与y轴交于点C，抛物线的顶点为点E．（1）判断△ABC的形状，并说明理由；（2）经过B，C两点的直线交抛物线的对称轴于点D，点P为直线BC上方抛物线上的一动点，当△PCD的面积最大时，Q从点P出发，先沿适当的路径运动到抛物线的对称轴上点M处，再沿垂直于抛物线对称轴的方向运动到y轴上的点N处，最后沿适当的路径运动到点A处停止．当点Q的运动路径最短时，求点N的坐标及点Q经过的最短路径的长；（3）如图2，平移抛物线，使抛物线的顶点E在射线AE上移动，点E平移后的对应点为点E′，点A的对应点为点A′，将△AOC绕点O顺时针旋转至△A1OC1的位置，点A，C的对应点分别为点A1，C1，且点A1恰好落在AC上，连接C1A′，C1E′，△A′C1E′是否能为。

反比例函数综合题类型一 反比例函数与几何图形结合 针对演练1. 如图，Rt △OAB 的直角边在x 轴正半轴上，∠AOB ＝60°，反比例函数y =x3的图象与Rt △OAB 两边OB 、AB 分别交于点C 、D ，若点C 是OB 边的中点，则点D 的坐标 是( )A. （1，3）B. （3，1）C. (2,23) D. （4, 23）第1题图 第2题图 2. 如图，反比例函数y =x2（x ＞0）与矩形OABC 的边BC ，BA 分别交于点E ，F ，且AF =BF ，连接EF ，则△OEF 的面积为 ( )A. 1.5B. 2C. 2.5D. 3 3. 如图，平行四边形ABOC 中，对角线交于点E ，反比例函数y =xk(k <0)经过C 、E 两点，若平行四边形ABOC 的面积为10，则k 的值是 ( )第3题图 A. -25 B. -310C. -4D. -5 4. 矩形OABC 在平面直角坐标系中如图，已知AB =10，BC =8，E 是BC 上一点，将△ABE 沿AE 折叠，点B 刚好与OC 边上点D 重合，过点E 的反比例函数y =xk（k ＞0）与AB 相交于点F ，则线段AF 的长为 ( ) A.815 B. 415 C. 2 D. 23第4题图5. 如图，等腰直角△OAB 的直角顶点O 是坐标原点，顶点A 在一、三象限的角平分线上，顶点B 在第四象限，Rt △ODE 的直角顶点E 在直线OB 上，且OD ＝4，∠OD E ＝30°，将Rt △ODE 绕点O 顺时针旋转15°，得到Rt △OD 1E 1，线段D 1E 1交直线OB 于点F ，若某反比例函数的图象经过点E 1，则这个反比例函数的解析式为 ( ) A. y= -x 23 B. y=x 3 C. y=x 23D. y=-x3第5题图 第6题图6. 如图，正方形OBCD 的边长为2，点E 是BC 上的中点，点F 是边OD 上一点，若反比例函数y =x k（x ＞0）经过点E ，交CF 于G ，且△OBG 的面积为215 ，则DF OF 的值等于 ( )A.54 B. 21 C. 23D. 1 7. 如图，反比例函数y =x2（x ＞0）经过四边形OABC 的顶点A 、C ，∠ABC =90°，OC 平分OA 与x 轴正半轴的夹角，AB ∥x 轴，将△ABC 沿AC 翻折后得到△AB ′C ，B ′点落在OA 上，则四边形OABC 的面积是( )A.23 B. 47 C. 2 D. 25第7题图 第8题图8. 如图，在直角坐标系中，有菱形OABC ，A 点的坐标为（10，0），对角线OB 、AC 相交于D 点，反比例函数y =xk（x ＞0）经过D 点，交BC 的延长线于E 点，且OB ·AC =160，则反比例函数的解析式为 .【答案】 针对演练1. C 【解析】设OA ＝a ,∵∠AOB ＝60°，∴AB =3a ，∴B(a , 3a ),∵点C 是OB 边的中点，∴C (2a ,23a ),∵点C 在反比例函数y =x 3上，∴23a =23a ,解得a =2,∵点D 在反比例函数y =x 3上，∴当x =2时，y =23,∴D (2, 23). 2. A 【解析】设点B 的坐标为（a ，b ），则点F 的坐标为(a ,2b ).∵点F 在反比例函数y =x2上，∴a ×2b=2，解得ab =4，又∵点E 在反比例函数上，且纵坐标为b ，所以点E 的坐标为（b 2，b ），则S △OEF =S 四边形OFBC -S △OEC -S △FBE =21×（2b +b ）a -21×b ×b 2-21×2b ×（a -b 2） =21（ab +1-2）=23＝1.5. 3. B 【解析】设点E 的坐标是（m ，n ），则mn =k ，∵平行四边形ABOC 中点E 是OA 的中点，∴点A 的坐标是（2m ，2n ），点C 的纵坐标是2n ，把y =2n 代入y =x k 得：x =nk2，即点C 的横坐标是n k 2.∴OB =AC =n k 2-2m ，OB 边上的高是2n ，∴（nk2-2m ）·2n =10，即 k -4mn =10，∴k -4k =10，解得：k =-310.4. B 【解析】∵将△ABE 沿AE 折叠，点B 刚好与OC 边上点D 重合，∴BE =DE ，AB =AD ，∠ABE =∠ADE =90°，∵AB =10，BC =8，∴AO =BC =8，AD =AB =10，∴在Rt △AOD 中由勾股定理得：OD =8102222-=-AO AD=6，∴DC =OC-OD =10-6=4，设点E 的坐标为（10，10k ），∴EC =10k，BE =ED =8-10k ，在Rt △ECD 中，由勾股定理得：DC 2+EC 2=DE 2，即：42+ （10k ）2=（8-10k ）2，解得：k =30，∴反比例函数的解析式是y =x 30，令y =8，解得：x =415，∴AF =415.5. D 【解析】在直角△ODE 中，∠ODE =30°，则OE =21OD =2，∠DOE =90°-30°=60°，∵OD 与x 轴的夹角是60°-45°=15°，则D 1在x 轴上，作E 1H ⊥y 轴于点H ， 如解图，∴D 1的坐标是（4，0），OE 1=OE =2,∵∠D 1OE 1=∠DOE =60°,∴∠E 1OH =30°,∴E 1H =12OE 1=1,OH =23OE 1=23,则E 1的坐标是(1,-3),设反比例函数的解析式是：y =x k ,点E 1(1,- 3)经过反比例函数的图象，∴k =-3,则反比例函数的解析式是：y =-x3.第5题解图 6. D 【解析】如解图，过点G 作GN ⊥OB 于点N ，并延长NG 交CD 于点M ，根据正方形OBCD ，得出MN ⊥CD ，∵正方形OBCD 的边长为2，点E 是BC 上的中点，∴E 点坐标为（2，1），将E 点代入反比例函数y =x k 得：xy =k=2，故y =x 2，∵△OBG 的面积为215+，∴21×GN ×BO =21×GN ×2=215+，∴GN=215+，∴MG =2-215+=253-，∵G 点在反比例函数上，故ON ×GN=k =2，∴215+×NO =2，解得：NO =5-1，∴DM =5-1，MC =2-（5-1）=3-5,∵GM ⊥CD ，∴DF ∥MG ，∴DC MC =DF MG ，∴253-=DF 253-， 解得：DF =1，故FO =1，则DFOF=1.第6题解图7. C 【解析】如解图，设BC 的延长线交x 轴于点D ，设点C （x ，y ），AB =a ，∵∠ABC = 90°，AB ∥x 轴，∴CD ⊥x 轴，由折叠的性质可得：∠AB ′C =∠ABC=90°，∴CB ′⊥OA ，∵OC 平分OA 与x 轴正半轴的夹角，∴CD =CB ′，再由翻折的性质得，BC =B ′C ，∴BC =CD ,∵反比例函数y =x 2（x ＞0）经过四边形OABC 的顶点A 、C ，∴S △OCD =21xy =1，在Rt △OB ′C 和Rt △ODC 中，⎩⎨⎧='=ODB O OCOC ，∴Rt △OB ′C ≌Rt △ODC （HL ），∴S △OCB ′=S △OCD =1，∵AB ∥x 轴，∴点A （x -a ，2y ），∴2y （x -a ）=2，∴xy -ay =1，∵xy =2，∴ay =1，∴S △ABC =21ay =21，∴S 四边形OABC=S △OCB ′+S △ABC +S △AB ′C =1+21+21=2.第7题解图8. y =x32(x >0)【解析】如解图，过点C 作CF ⊥x 轴于点F ，∵OB ·AC =160，A 点的 坐标为（10，0），∴OA ·CF =21OB ·AC =21×160=80，菱形OABC 的边长为10，∴CF =OA 80=1080=8，在Rt △OCF 中，∵OC =10，CF =8，∴OF =8102222-=-CF OC =6，∴C （6，8），∵点D 是线段AC 的中点，∴D 点坐标为（2610+，28），即D （8，4），∵反比例函数y=xk（x ＞0）经过D 点，∴4=8k ，即k =32，∴反比例函数的解析式为：y=x32（x ＞0）.第8题解图题型三 反比例函数综合题类型二 反比例函数、一次函数及几何图形结合针对演练1. 如图，直线y =21x -2与x 轴，y 轴分别交于点A 和点B ,P 为AB 上的中点，过P 作PQ ∥y 轴交反比例函数y =x k （k ＞0）的图象于点Q ，若S △OPQ ＝25，则k 的值为( )A. 4B. 6C. 3D. 2第1题图2. 如图，已知直线y =-x +4与两坐标轴分别相交于点A ，B 两点，点C 是线段AB 上任意一点，过C 分别作CD ⊥x 轴于点D ，CE ⊥y 轴于点E .反比例函数y=xk与CE ，CD 分别交于点P ，Q 两点，若四边形ODCE 为正方形，且S △OPQ ＝23，则点Q 的坐标是( ) A. （2，1） B. （1，2） C. (23,1) D. (23,23)第2题图 第3题图3. (2015盘锦)如图，直线y = -3x +3与x 轴交于点B ，与y 轴交于点A ，以线段AB 为边，在第一象限内作正方形ABCD ，点C 落在反比例函数y =xk(k ≠0)上，将正方形ABCD 沿x 轴负方向平移a 个单位长度，使点D 恰好落在反比例函数y =xk(k ≠0)上的点D 1处，则a = .【答案】 针对演练1. C 【解析】 对于y =21x -2,当x =0时，y =-2;当y =0时，x =4,∴A 点坐标为（4，0），B 点坐标为（0，-2），∵P 为AB 上的中点，PQ ∥y 轴，∴P 点坐标为（2,-1）,C 点坐标为（2，0），∴S △POC =21×2×1=1,∴S △OCQ =S △OPQ -S △POC =25-1=23,∴21|k |=23,而k >0,∴k =3. 2. A 【解析】如解图，连接OC ，∵四边形ODCE 为正方形，则OC 是第一象限的角平分线，则直线OC 的解析式是y =x ，根据题意得：⎩⎨⎧+==4-x y x y ，解得：⎩⎨⎧==22y x ，则C 的坐标是（2，2），设Q 的坐标是（2，a ），则DQ =EP =a ，PC =CQ =2-a ，S 正方形ODCE =4，S △ODQ =21×2·a =a ，同理S △OPE =a ，S △CPQ =21×（2-a ）2，∴S △OPQ ＝4-a-a -21（2-a ）2=23，解得：a =1或-1（舍去），则Q 的坐标是（2，1）.第2题解图3. 2【解析】对于直线y =-3x +3,令x =0,得到y ＝3；令y =0，得到x ＝1，即A （0，3），B （1，0），过C 作CE ⊥x 轴，交x 轴于点E ，过A 作AF ∥x 轴，过D 作D F 垂直AF 于点F ，如解图所示，∵四边形ABCD 为正方形,∴AB =BC ,∠ABC =90°,∴∠OAB +∠ABO =90°,∠ABO +∠EBC =90°，∴∠OAB =∠EBC ,在△AOB 和△BEC 中，⎪⎩⎪⎨⎧=∠=∠︒=∠=∠BC AB EBC OAB BEC AOB 90,∴△AOB ≌△BEC (AAS),∴BE =AO =3,CE =OB =1,∴C(4,1),把C 点坐标代入反比例解析式得：k =4,即y=x4,同理得到△DFA ≌△BOA,∴DF =BO =1,AF =AO =3,∴D (3,4),把y =4代入反比例解析式得：x =1,即D 1(1,4),则将正方形ABCD 沿x 轴负方向平移2个单位长度，使点D 恰好落在反比例函数y =xk(k ≠0)上的点D 1处，即a=2.第3题解图。