【强烈推荐】2014高二理科数学上学期期末试卷及答案

2014-2015学年河北省邯郸市高二（上）期末数学试卷（理科）一、选择题1．（3分）在等比数列{a n}中，a2=2，a4=8，则a6=（）A．64B．32C．28D．142．（3分）已知命题p：当0＜x＜2时x2＜4，命题q：当b＜a＜0时b2＜a2，则（）A．p∧（￢q）为真B．p∧q为真C．（￢p）∨q为真D．（￢p）∧q为真3．（3分）下列双曲线中，渐近线方程是y=±x的是（）A．﹣=1B．﹣=1C．﹣=1D．﹣=14．（3分）已知命题p：2＜x＜3，q：x2﹣5x+4＜0，则p是q的（）A．充分不必要条件B．必要不充分条件C．充要条件D．既不充分也不必要条件5．（3分）已知△ABC的三条边长分别为8，10，15，则该三角形为（）A．钝角三角形B．直角三角形C．锐角三角形D．不能确定6．（3分）已知曲线y=﹣3lnx的一条切线的斜率为﹣2，则该切线的方程为（）A．y=﹣2x﹣﹣3ln3B．y=﹣2x+C．y=﹣2x+﹣3ln3D．y=﹣2x+7．（3分）已知变量x，y，满足约束条件，则z=3x+y的取值范围为（）A．[﹣12，3]B．[3，12]C．[﹣12，]D．[﹣，3] 8．（3分）已知正数a，b满足a+2b=1，则+的最小值为（）A．8B．8+4C．8+2D．209．（3分）已知抛物线y=x2的焦点与椭圆+=1的一个焦点重合，则m=（）A．B．C．D．10．（3分）若非零实数a，b，c成等差数列，则函数y=ax2+bx+c的图象与x 轴交点的个数为（）A．0B．1C．2D．1或2 11．（3分）已知双曲线﹣=1（a＞0，b＞0），F 1，F2分别为其左右焦点，A1，A2分别为其左右顶点，若在该双曲线的右支上存在一点P，使得PF1与以线段A1A2为直径的圆相切于点M，且点M为线段PF1的中点，则该双曲线的离心率为（）A．B．2C．D．12．（3分）已知函数f（x）=2x3﹣3ax2+8，若f（x）存在唯一的零点x0，且x0＜0，则实数a的取值范围是（）A．（﹣∞，0）B．（﹣∞，0）∪[2，+∞）C．[0，2]D．（﹣∞，2）二、填空题13．（3分）命题“∃x0∈R，使sinx0=lgx0”的否定是．14．（3分）过抛物线y2=4x的焦点且斜率为1的直线交该抛物线于A、B两点，则|AB|=．15．（3分）如图是函数y=f（x）的导函数图象，给出下面四个判断：①f（x）在区间[﹣2，1]上是增函数；②x=﹣1是f（x）的极小值点；③f（x）在区间[﹣1，2]上是增函数，在区间[2，4]上是减函数；④x=1是f（x）的极大值点．其中，判断正确的是．（写出所有正确的编号）16．（3分）已知函数f（x）=x2+bx的图象在点A（1，f（1））处的切线l与直线x+3y﹣2=0垂直，若数列{}的前n项和为S n，则S9=．三、解答题17．已知数列{a n}是等差数列，S n是其前n项和，a1=2，S3=12．（1）求数列{a n}的通项公式；（2）设b n=a n+4n，求数列{b n}的前n项和T n．18．在△ABC中，三个内角A，B，C的对边分别是a，b，c，且．（1）求角B；=，求b的值．（2）若a+c=3，S△ABC19．某商厦欲在春节期间对某新上市商品开展促销活动，经测算该商品的销售量s万件与促销费用x万元满足s=4﹣．已知s万件该商品的进价成本为20+3s 万元，商品的销售价格定为5+元/件．（1）将该商品的利润y万元表示为促销费用x万元的函数；（2）促销费用投入多少万元时，商家的利润最大？最大利润为多少？20．如图所示，已知正方形ABCD和直角梯形ACEF所在的平面互相垂直，AB=，CE=2AF=2．（1）求证：AE⊥平面BDF；（2）求二面角D﹣EF﹣B的余弦值．21．已知函数f（x）=12lnx+3x2﹣18x+8a．（1）若a=2，求f（x）的极大值和极小值；（2）若对任意的x∈（0，4]，f（x）＜4a恒成立，求a的取值范围．22．已知点A，B的坐标分别为（0，﹣3），（0，3）．直线AM，BM相交于点M，且它们的斜率之积是﹣3．（1）求点M的轨迹方程；（2）斜率为k的直线l过点E（0，1），且与点M的轨迹交于C，D两点，k AC，k AD分别为直线AC，AD的斜率，探索对任意的实数k，k AC•k AD是否为定值，若是，则求出该值，若不是，请说明理由．2014-2015学年河北省邯郸市高二（上）期末数学试卷（理科）参考答案与试题解析一、选择题1．（3分）在等比数列{a n}中，a2=2，a4=8，则a6=（）A．64B．32C．28D．14【解答】解：由等比数列的性质可得a2a6=a42，∴2a6=a42=64，解得a6=32故选：B．2．（3分）已知命题p：当0＜x＜2时x2＜4，命题q：当b＜a＜0时b2＜a2，则（）A．p∧（￢q）为真B．p∧q为真C．（￢p）∨q为真D．（￢p）∧q为真【解答】解：命题p：当0＜x＜2时，x2＜4，是真命题；命题q：当b＜a＜0时，b2＜a2，是假命题，∴￢q是真命题．∴p∧（￢q）是真命题．故选：A．3．（3分）下列双曲线中，渐近线方程是y=±x的是（）A．﹣=1B．﹣=1C．﹣=1D．﹣=1【解答】解：对于A.﹣=1的渐近线方程为y=x；对于B.﹣=1的渐近线方程为y=x；对于C.=1的渐近线方程为y=x；对于D.=1的渐近线方程为y=x．故选：B．4．（3分）已知命题p：2＜x＜3，q：x2﹣5x+4＜0，则p是q的（）A．充分不必要条件B．必要不充分条件C．充要条件D．既不充分也不必要条件【解答】解：由x2﹣5x+4＜0得1＜x＜4，则p是q的充分不必要条件，故选：A．5．（3分）已知△ABC的三条边长分别为8，10，15，则该三角形为（）A．钝角三角形B．直角三角形C．锐角三角形D．不能确定【解答】解：设边15所对的角为θ，则cosθ=＜0，因此角θ为钝角，∴该三角形为钝角三角形．故选：A．6．（3分）已知曲线y=﹣3lnx的一条切线的斜率为﹣2，则该切线的方程为（）A．y=﹣2x﹣﹣3ln3B．y=﹣2x+C．y=﹣2x+﹣3ln3D．y=﹣2x+【解答】解：由y=﹣3lnx，得，再由，得x0=﹣3（舍）或x0=1，∴，则切线方程为y﹣（x﹣1），即．故选：D．7．（3分）已知变量x，y，满足约束条件，则z=3x+y的取值范围为（）A．[﹣12，3]B．[3，12]C．[﹣12，]D．[﹣，3]【解答】解：作出不等式组对应的平面区域如图：由z=3x+y得y=﹣3x+z，平移直线y=﹣3x+z，由图象可知当直线y=﹣3x+z，经过点A时，直线的截距最大，此时z最大．由，解得，即A（，3），此时z max=3×+3=，当直线y=﹣3x+z，经过点B时，直线的截距最小，此时z最小．由，解得，即B（﹣5，3），此时z min=3×（﹣5）+3=﹣12，故﹣12≤z≤，故选：C．8．（3分）已知正数a，b满足a+2b=1，则+的最小值为（）A．8B．8+4C．8+2D．20【解答】解：∵正数a，b满足a+2b=1，∴+=（+）（a+2b）=8++≥8+2=8+4当且仅当=时取等号，故选：B．9．（3分）已知抛物线y=x2的焦点与椭圆+=1的一个焦点重合，则m=（）A．B．C．D．【解答】解：∵抛物线y=x2的焦点为（0，），∴m﹣2=，∴m=+2=，故选：C．10．（3分）若非零实数a，b，c成等差数列，则函数y=ax2+bx+c的图象与x 轴交点的个数为（）A．0B．1C．2D．1或2【解答】解：∵a，b，c成等差数列，∴2b=a+c，∴4△=4b2﹣4ac=（a+c）2﹣4ac=（a﹣c）2≥0，∴二次函数y=ax2+2bx+c的图象与x轴的交点的个数为1或2个，故选：D．11．（3分）已知双曲线﹣=1（a＞0，b＞0），F1，F2分别为其左右焦点，A1，A2分别为其左右顶点，若在该双曲线的右支上存在一点P，使得PF1与以线段A1A2为直径的圆相切于点M，且点M为线段PF1的中点，则该双曲线的离心率为（）A．B．2C．D．【解答】解：由于O为F1F2的中点，M为线段PF1的中点，则由中位线定理可得OM∥PF2，|OM|=|PF2|，由PF1与以线段A1A2为直径的圆相切于点M，则|OM|=a，|PF2|=2a，由双曲线的定义可得，|PF1|﹣|PF2|=2a，即有|PF1|=4a，由OM⊥PF1，由勾股定理可得a2+（2a）2=c2，即c2=5a2，e==．故选：A．12．（3分）已知函数f（x）=2x3﹣3ax2+8，若f（x）存在唯一的零点x0，且x0＜0，则实数a的取值范围是（）A．（﹣∞，0）B．（﹣∞，0）∪[2，+∞）C．[0，2]D．（﹣∞，2）【解答】解：∵f（x）=2x3﹣3ax2+8，∴f′（x）=6x2﹣6ax=6x（x﹣a），当a=0时，f（x）存在唯一的零点x0=﹣；故排除A、B；当a＜0时，f′（x）=6x（x﹣a），故当x＜a或x＞0时，f′（x）＞0；当a＜x＜0时，f′（x）＜0；故f（x）在（﹣∞，a）上是增函数，在（a，0）上是减函数，在（0，+∞）上是增函数；又∵f（0）=8＞0；故f（x）存在唯一的零点x0，故排除C；故选：D．二、填空题13．（3分）命题“∃x0∈R，使sinx0=lgx0”的否定是∀x∈R，使sinx≠lgx．【解答】解：因为特称命题的否定是全称命题，所以，命题“∃x0∈R，使sinx0=lgx0”的否定是∀x∈R，使sinx≠lgx．故答案为：∀x∈R，使sinx≠lgx．14．（3分）过抛物线y2=4x的焦点且斜率为1的直线交该抛物线于A、B两点，则|AB|=8．【解答】解：抛物线焦点为（1，0），且斜率为1，则直线方程为y=x﹣1，代入抛物线方程y2=4x得x2﹣6x+1=0，设A（x1，y1），B（x2，y2）∴x1+x2=6根据抛物线的定义可知|AB|=x1++x2+=x1+x2+p=6+2=8，故答案为：8．15．（3分）如图是函数y=f（x）的导函数图象，给出下面四个判断：①f（x）在区间[﹣2，1]上是增函数；②x=﹣1是f（x）的极小值点；③f（x）在区间[﹣1，2]上是增函数，在区间[2，4]上是减函数；④x=1是f（x）的极大值点．其中，判断正确的是②③．（写出所有正确的编号）【解答】解：①x∈[﹣2，﹣1）时，f′（x）＜0；∴f（x）在[﹣2，﹣1）上是减函数；∴该判断错误；②x∈[﹣2，﹣1）时，f′（x）＜0；x∈（﹣1，1]时，f′（x）＞0；∴x=﹣1是f（x）的极小值点；∴该判断正确；③x∈[﹣1，2]时，f′（x）≥0；x∈[2，4]时，f′（x）≤0；∴f（x）在区间[﹣1，2]上是增函数，在区间[2，4]上是减函数；∴该判断正确；④f′（1）＞0，所以x=1不是f（x）的极大值点；∴该判断错误；∴判断正确的是：②③．故答案为：②③．16．（3分）已知函数f（x）=x2+bx的图象在点A（1，f（1））处的切线l与直线x+3y﹣2=0垂直，若数列{}的前n项和为S n，则S9=．【解答】解：函数的导数f′（x）=2x+b，则f′（1）=2+b，∵切线l与直线x+3y﹣2=0垂直，∴切线斜率k=f′（1）=2+b=3，解得b=1，即f（x）=x2+x，则==﹣，则S9==1﹣=，故答案为：三、解答题17．已知数列{a n}是等差数列，S n是其前n项和，a1=2，S3=12．（1）求数列{a n}的通项公式；（2）设b n=a n+4n，求数列{b n}的前n项和T n．【解答】解：（1）∵数列{a n}是等差数列，S n是其前n项和，a1=2，S3=12，∴，解得d=2，∴a n=2+（n﹣1）×2=2n．（2）∵b n=a n+4n=2n+4n，∴T n=2（1+2+3+…+n）+（4+42+43+…+4n）=2×+=．18．在△ABC中，三个内角A，B，C的对边分别是a，b，c，且．（1）求角B；=，求b的值．（2）若a+c=3，S△ABC【解答】解：（1）∵，由正弦定理可得，化为sinAcosB+cosAsinB=2sinCcosB，∴sin（A+B）=sinC=2sinCcosB，∵sinC≠0，∴cosB=，∵B∈（0，π），∴B=．===，∴ac=6，（2）∵S△ABC又a+c=3，∴b2=a2+c2﹣2accosB=（a+c）2﹣2ac﹣2ac=﹣3×6=9，解得b=3．19．某商厦欲在春节期间对某新上市商品开展促销活动，经测算该商品的销售量s万件与促销费用x万元满足s=4﹣．已知s万件该商品的进价成本为20+3s 万元，商品的销售价格定为5+元/件．（1）将该商品的利润y万元表示为促销费用x万元的函数；（2）促销费用投入多少万元时，商家的利润最大？最大利润为多少？【解答】解：（1）由题意知，y=（5+）s﹣x﹣（20+3s）=2s+10﹣x将s=4﹣代入化简得：y=18﹣﹣x；（2）y=18﹣﹣x=20﹣[+（x+2]∵+（x+2）≥2，当且仅当=x+2，即x=﹣2时，取等号，∴x=﹣2时，商家的利润最大，最大利润为20﹣2．20．如图所示，已知正方形ABCD和直角梯形ACEF所在的平面互相垂直，AB=，CE=2AF=2．（1）求证：AE⊥平面BDF；（2）求二面角D﹣EF﹣B的余弦值．【解答】证明：（1）∵正方形ABCD和直角梯形ACEF所在的平面互相垂直，∴CE⊥平面ABCD，以C为坐标原点，以CD，CB，CE分别为x，y，z轴建立坐标系如图：∵AB=，CE=2AF=2．∴C（0，0，0），D（，0，0），B（0，，0），A（，，0），F（，，1），E（0，0，2），则=（﹣，﹣，2），=（，﹣，0），=（，0，﹣1），则•=（﹣，﹣，2）•（，﹣，0）=﹣2+2+0=0，•=（，﹣，2）•（，0，﹣1）=2﹣0﹣2=0，即AE⊥BD，AE⊥BF，∵BD∩BF=B，∴AE⊥平面BDF；（2）设平面DEF的法向量为=（x，y，z）=（﹣，0，2），=（0，，1），则，得，令z=，则y=﹣1，x=2，即=（2，﹣1，），设平面EFB的法向量=（x，y，z），=（，，﹣1），），=（，0，﹣1），则，即，令z=，则x=1，y=0，即=（1，0，），则cos＜，＞====，即二面角D﹣EF﹣B的余弦值为=．21．已知函数f（x）=12lnx+3x2﹣18x+8a．（1）若a=2，求f（x）的极大值和极小值；（2）若对任意的x∈（0，4]，f（x）＜4a恒成立，求a的取值范围．【解答】解：（1）函数f（x）=12lnx+3x2﹣18x+8a的导数为f′（x）=+6x﹣18=，当x＞2或0＜x＜1时，f′（x）＞0，f（x）在（0，1），（2，+∞）递增；当1＜x＜2时，f′（x）＜0，f（x）在（1，2）递减．即有f（x）在x=1处取得极大值，且为1，在x=2处取得极小值，且为12ln2﹣8；（2）对任意的x∈（0，4]，f（x）＜4a恒成立，即为对任意的x∈（0，4]，f（x）max＜4a．由f（x）在（0，1），（2，4）递增，在（1，2）递减，又f（1）=8a﹣15，f（2）=12ln2﹣24+8a，f（4）=12ln4﹣24+8a，即有f（4）为最大值，则4a＞12ln4﹣24+8a，解得a＜6﹣3ln4．则a的取值范围是（﹣∞，6﹣3ln4）．22．已知点A，B的坐标分别为（0，﹣3），（0，3）．直线AM，BM相交于点M，且它们的斜率之积是﹣3．（1）求点M的轨迹方程；（2）斜率为k的直线l过点E（0，1），且与点M的轨迹交于C，D两点，k AC，k AD分别为直线AC，AD的斜率，探索对任意的实数k，k AC•k AD是否为定值，若是，则求出该值，若不是，请说明理由．【解答】解：（1）设M（x，y），∵k AM•k BM=﹣3，∴=﹣3，（x≠0）．化为=1，∴点M的轨迹方程为=1，（x≠0）．（2）k AC•k AD为定值﹣6．设C（x1，y1），D（x2，y2）．直线l的方程为：y=kx+1．联立，化为（3+k2）x2+2kx﹣8=0，∴x1+x2=﹣，x1x2=．∴（y1+3）（y2+3）=y1y2+3（y1+y2）+9=（kx1+1）（kx2+1）+3（kx1+kx2+2）+9=k2x1x2+4k（x1+x2）+16=﹣+16=．∴k AC •k AD =•==﹣6为定值．赠送—高中数学知识点二次函数（1）一元二次方程20(0)ax bx c a ++=≠根的分布一元二次方程根的分布是二次函数中的重要内容，这部分知识在初中代数中虽有所涉及，但尚不够系统和完整，且解决的方法偏重于二次方程根的判别式和根与系数关系定理（韦达定理）的运用，下面结合二次函数图象的性质，系统地来分析一元二次方程实根的分布．设一元二次方程20(0)ax bx c a ++=≠的两实根为12,x x ，且12x x ≤．令2()f x ax bx c =++，从以下四个方面来分析此类问题：①开口方向：a ②对称轴位置：2bx a=-③判别式：∆ ④端点函数值符号． ①k ＜x 1≤x 2 ⇔xy1x 2x 0>a O∙ab x 2-=0)(>k f k x y1x 2x O∙ab x 2-=k<a 0)(<k f②x 1≤x 2＜k ⇔③x 1＜k ＜x 2 ⇔ af (k )＜0④k 1＜x 1≤x 2＜k 2 ⇔xy1x 2x 0>a O ∙∙1k2k 0)(1>k f 0)(2>k f ab x 2-=xy1x 2x O∙<a 1k ∙2k 0)(1<k f 0)(2<k f ab x 2-=⑤有且仅有一个根x 1（或x 2）满足k 1＜x 1（或x 2）＜k 2 ⇔ f (k 1)f (k 2)<0，并同时考虑f (k 1)=0或f (k 2)=0这两种情况是否也符合xy1x 2x 0>a O ∙∙1k2k 0)(1>k f 0)(2<k fxy1x 2x O∙<a 1k∙2k 0)(1>k f 0)(2<k f⑥k 1＜x 1＜k 2≤p 1＜x 2＜p 2 ⇔ 此结论可直接由⑤推出．（5）二次函数2()(0)f x ax bx c a =++≠在闭区间[,]p q 上的最值 设()f x 在区间[,]p q 上的最大值为M ，最小值为m ，令01()2x p q =+． （Ⅰ）当0a >时（开口向上） ①若2b p a -<，则()m f p = ②若2b p q a ≤-≤，则()2b m f a =- ③若2b q a->，则()m f q =①若02b x a -≤，则()M f q = ②02b x a->，则()M f p =(Ⅱ)当0a <时(开口向下) ①若2b p a -<，则()M f p = ②若2b p q a ≤-≤，则()2b M f a =- ③若2b q a->，则()M f q =①若02b x a -≤，则()m f q = ②02b x a->，则()m f p =．x>O-=f(p)f (q)()2bf a-0x x>O-=f(p) f(q)()2b f a-0x x<O-=f (p) f (q) ()2bf a-x<O-=f (p)f(q)()2b f a-x<O-=f (p)f(q)()2bf a-x x<O-=f (p)f (q)()2b f a-x<O-=f (p)f (q)()2b f a-x。

2014届高二上学期期末调研测试数学（理科） （必修5、选修2-1）说明：1．本试卷共4页，考试时间为120分钟，满分150分；2．各题均在答题卷指定位置上作答，否则无效；考试结束时，只交回答题卷．第Ⅰ卷（选择题部分）一、选择题(本大题共8小题，每小题5分，共40分，每小题给出的4个选项中只有一个是正确的，请将所选选项的字母填写在答题卷相应的位置上)1．已知a ，b ，c 分别是ABC ∆的三个内角A ，B ，C 所对的边，若︒=45A ，︒=60B ，3=b ，则a 等于A ．2B ．6C ．22D ．1 2．在正方体1111D C B A ABCD -中，点E 为上底面11C A 的中心，若y x AA ++=1，则x ，y 的值是A ．21=x ，21=y B ．1=x ，21=y C ．21=x ，1=y D ．1=x ，1=y3．已知两点)0,1(1-F ，)0,1(2F ，且21F F 是1PF 与2PF 的等差中项，则动点P 的轨迹方程是A ．191622=+y x B ．1121622=+y x C ．13422=+y x D ．14322=+y x 4．已知等比数列}{n a 的公比为正数，且25932a a a =⋅，22=a ，则=1aA B C ．2 D5．双曲线3322=-y x 的渐近线方程是 A ．x y 3±=B ．C ．x y 3±=D ．x y 33±=6．设变量x ，y 满足约束条件⎪⎩⎪⎨⎧≤-+≥+-≥03010y x y x y ，则y x z +=2的最大值为A ． 8B ．6C ．4D ．2-7．下列命题错误．．的是 A ．命题“若0>m ，则方程02=-+m x x 有实数根”的逆否命题是“若方程02≠-+m x x 没有实数根，则0≤m ”；B ．“1=x ”是“0232=+-x x ”的充分不必要条件；C ．命题“若0=xy ，则x ，y 中至少有一个为零”的否命题是“若0≠xy ，则x ，y 中至多有一个为零”；D ．对于命题p ：R x ∈∃，使得012<++x x ；则p ⌝：R x ∈∀，均有012≥++x x ．8．甲、乙两人同时从图书馆走向教室，甲一半路程步行，一半路程跑步；乙一半时间步行，一半时间跑步，若两人步行、跑步的速度一样，则先到教室的是 A ．甲 B ．乙 C ．甲、乙同时到达 D ．无法确定第Ⅱ卷（非选择题部分）二、填空题(本大题共6小题，每小题5分，共30分，请把下列各题的正确答案填写在答题卷相应的位置上)9．若关于x 的不等式0422≤+-a x x 的解集是空集，则实数a 的取值范围是 ．10．ABC ∆中，D 在边BC 上，且2=BD ，1=DC ，︒=∠60B ，︒=∠150ADC ，则AC 的长等于 ．11．已知n S 是等差数列{}n a 的前n 项和， 且6531=++a a a ，则=5S ．12．已知双曲线C 与椭圆125922=+y x 有共同的焦点，且它们的离心率之和为514，则双曲线C 的方程是 ．13．过抛物线)0(22>=p py x 的焦点F 作倾斜角为︒30的直线与抛物线分别交于A ，B 两点（A 在y 轴左侧），则=BFAF ．14．若正数x ，y 满足012=-+y x ，则xyyx 2+的最小值为 ．三、解答题：本大题共6小题，满分80分．解答须写出文字说明、证明过程和演算步骤．15．(本小题满分12分)已知a ，b ，c 分别是ABC ∆的三个内角A ，B ，C 所对的边，且ab b a c -+=222．(1)求角C 的值；(2)若2=b ，ABC ∆的面积233=S ，求a 的值．16．（本小题满分12分）已知数列}{n a 是公差不为零的等差数列，11=a ，且3a 是1a 和9a 的等比中项． (1)求数列}{n a 的通项公式；(2)设数列}{n a 的前n 项和为n S ，1)18()(++=n nS n S n f ，试问当n 为何值时，)(n f 最大？并求出)(n f 的最大值．17．（本小题满分14分）在直三棱柱111C B A ABC -中，1==AC AB ，090=∠BAC ，异面直线B A 1与11C B 所成的角等于060，设a AA =1．(1)求a 的值；(2)求平面11BC A 与平面11BC B 所成的锐二面角的大小．18．（本小题满分14分）设R a ∈，解关于x 的不等式02)21(2>--+x a ax ．19．（本小题满分14分）设数列{}n a 的前n 项和为n S ，0≠q ，1≠q ．证明：数列{}n a 是公比为q 的等比数列的充要条件是q q a S n n --=1)1(1．20．（本小题满分14分）在平面直角坐标系中，已知点)0,1(A ，点B 在直线l ：1-=x 上运动，过点B 与l 垂直的直线和线段AB 的垂直平分线相交于点M ．(1)求动点M 的轨迹E 的方程；(2)过(1)中的轨迹E 上的定点),(00y x P )0(0>y 作两条直线分别与轨迹E 相交于),(11y x C ，),(22y x D 两点．试探究：当直线PC ，PD 的斜率存在且倾斜角互补时，直线CD 的斜率是否为定值？若是，求出这个定值；若不是，说明理由．参考答案一、选择题(每小题5分，共40分) AACD CBCB二、填空题(每小题5分，共30分)9．()()+∞-∞-,22, 10．7 11．10 12．112422=-x y 13．3114．9三、解答题15．解：(1)∵ab b a c -+=222∴2122cos 222==-+=ab ab ab c b a C ………4分 ∴︒=60C ………6分 (2)由233sin 21==C ab S 及2=b ，︒=60C 得 23360sin 221=︒⨯a ………10分 解得 3=a ………12分16．解：(1)设等差数列}{n a 的公差为d ，则d a 213+=d a 819+= ………2分∵3a 是1a 和9a 的等比中项∴9123a a a ⋅=，即)81(1)21(2d d +⨯=+ ………3分∵0≠d∴1=d ………4分 ∴n n a n =⨯-+=1)1(1 ………5分 (2)由(1)可得n a n =，2)1(n n S n += ………6分 ∴1)18()(++=n nS n S n f2)2)(1()18(2)1(++++=n n n n n 20361++=nn ………8分 20121+≤321= ………10分 当且仅当n n 36=，即6=n 时，)(n f 取得最大值321． ………12分17．解：(1)建立如图所示的空间直角坐标系，则)0,0,1(B ，)1,0,1(1B ，)1,1,0(1C ，),0,0(1a A （0>a ） ………1分 ∴)0,1,1(11-=C B ，),0,1(1a A -= ∴ 1111-=⋅A C B ………3分 ∵异面直线B A 1与11C B 所成的角060 ︒=60cos 即212112=⋅+-a ………5分 又0>a ，所以 1=a ………6分(2)设平面11BC A 的一个法向量为),,(z y x =，则B A n 1⊥，11C A n ⊥，即01=⋅B A n 且011=⋅C A n 又)1,0,1(1-=A ，)0,1,0(11=C A∴⎩⎨⎧==-00y z x ，不妨取)1,0,1(=n ………8分 同理得平面11C BB 的一个法向量)0,1,1(= ………10分 设→m 与→n 的夹角为θ，则21221cos =⨯==θ ………12分 ∴060=θ ………13分 ∴平面11BC A 与平面11BC B 所成的锐二面角的大小为060 ……14分18．解：(1)若0=a ，则不等式化为02>-x ，解得2>x ………2分(2)若0≠a ，则方程的两根分别为2和a1-………4分 ①当21-<a 时，解不等式得21<<-x a ………6分②当21-=a 时，不等式的解集为∅ ………8分③当021<<-a 时，解不等式得ax 12-<< ………10分④当0>a 时，解不等式得ax 1-<或2>x ………12分综上所述，当21-<a 时，不等式的解集为{}21<<-x a x ；当21-=a 时，不等式的解集为∅；当021<<-a 时，不等式的解集为{}ax x 12-<<；当0=a 时，不等式的解集为{}2>x x ； 当0>a 时，不等式的解集为{}21>-<x ax x ………14分 19．证明：(1)必要性：∵数列{}n a 是公比为q 的等比数列 ∴n n a a a a S ++++= 321)1(121-++++=n q q q a ………① ………2分 ①式两边同乘q ，得)(321n n q q q q a qS ++++= ………② ………4分① - ②，得)1()1(1n n q a S q -=- ………6分 ∵1≠q∴q q a S n n --=1)1(1 ………7分(2)充分性：由q q a S n n --=1)1(1，得 )2(1)1(111≥--=--n q q a S n n ………8分∴1111111)1(1)1(---=-----=-n n n n n q a qq a q q a S S即)2(11≥=-n q a a n n ………10分 ∵1a 也适合上式∴1-=n n q a ………12分 ∵0≠q∴当2≥n 时，q q q a a n n n n ==---211∴数列{}n a 是公比为q 的等比数列 ………14分20．解：(1)依题意，得MB MA = ………1分∴动点M 的轨迹E 是以)0,1(A 为焦点，直线1:-=x l 为准线的抛物线 ………3分 ∴动点M 的轨迹E 的方程为x y 42= ………4分 (2)∵),(00y x P 、),(11y x C ，),(22y x D 在抛物线x y 42=上∴ ⎪⎪⎩⎪⎪⎨⎧===222121020444x y x y x y ………5分……① ……②……③由①-②得，)(4))((101010x x y y y y -=-+ ∴直线PC 的斜率为1010104y y x x y y k PC +=--=………7分 同理可得，直线PD 的斜率为204y y k PD +=………9分∴当直线PC ，PD 的倾斜角互补时，有PD PC k k -= 即201044y y y y +-=+ ∴0212y y y -=+ ………11分 由②-③得，)(4))((212121x x y y y y -=-+ ∴直线CD 的斜率为2121214y y x x y y k CD +=--=……④ ………13分 将0212y y y -=+代入④，得 02y k CD -= ∴当直线PC ，PD 的斜率存在且倾斜角互补时，直线CD 的斜率为定值2y -………14分。

适用精选文件资料分享2014-2015 年高二数学期末（理）试卷及答案2014-2015 学年度第一学期八县（市）一中期末联考高中二年数学（理）科试卷一、选择题（本大题共 12 小题，每题 5 分，共 60 分。

在每题给出的四个选项中，只有一项吻合题目要求。

）1 ．命题：“，”的否定形式是（）A ， B ，C ， D ，2 ．抛物线的焦点坐标为（）A B C D 3．若向量，向量，且满足向量 // ，则等于（） A B C D 4．“ ”是“方程表示的曲线是焦点在轴上的椭圆”的 ( ) A 充分不用要条件 B 必需不充分条件 C 充要条件 D 既不充分也不用要条件 5 ．经过点，且与双曲线有同样渐近线的双曲线方程是（）A B C D 6．以下列图，在平行六面体中，点为上底面对角线的中点，若，则（）ABCD7 ．中,，点在双曲线上，则 = （）A B C D 8．以下列图，在棱长为 1 的正方体中，是棱的中点，则与所成角的余弦值为（）ABCD9．已知抛物线的焦点为，准线为，过抛物线上一点作垂直于，若,则的面积为（）AB C D 10．假如命题“若，，则”是假命题，那么字母在空间所表示的几何图形可能是 () A 全部是直线 B 全部是平面 C 是直线，是平面 D 是平面，是直线 11 ．已知椭圆与双曲线有共同的焦点和，且满足是与的等比中项，是与的等差中项，则椭圆的离心率为( ) A B C D 12 ．在平面直角坐标系中，一条双曲线经过旋转或平移所产生的一系列双曲线都拥有同样的离心率和焦距，称它们为一组“共性双曲线”；比方将等轴双曲线绕原点逆时针转动，就会获得它的一条“共性双曲线” ；依据以上资料可推理得出双曲线的焦距为（）ABCD二、填空题（本大题共 4 小题，每题 4 分，共 16 分。

） 13 ．命题“若，则是直角三角形”的否命题的真假性为 14 ．若“ ”是“ ”的充分不用要条件，则的取值范围为 15 ．已知是以为直角极点的等腰直角三角形，此中 , （）, 则 16 ．在平面直角坐标系中，已知此中 , 若直线上有且只有一点，使得，则称直线为“黄金直线”，点为“黄金点”。

12014年上学期湖南省永州市祁阳二中高二期末考试理科数学试题命题人：杨晓星 审题人：范维利一、选择题:本大题共10小题,每小题5分,满分50分,在每小题给出的四个选项中,只有一项是符合题目要求的. 1．已知i 是虚数单位，则11ii+=- ( ) A ．1-B ．1C ．i -D ．i2．下列函数中既是奇函数，又在区间()1,1-上是增函数的为( )A ．y x =B ．sin y x =C ．x x y e e -=+D ．3y x =-3．已知O 为坐标原点，向量(3sin ,cos )OA αα=，(2sin ,5sin 4cos )OB ααα=-，3(,2)2παπ∈，且OA OB ⊥，则tan α值为 A ． 45- B ．43- C ．1423或－ D ．344．“关于x 的不等式220x ax a -+>的解集为R ”是“01a ≤≤” ( )A ．充分而不必要条件B ．必要而不充分条件C ．充要条件D ．既不充分也不必要条件5．一个体积为 则这个三棱柱的左视图的面积为( )A. 36 B ．8 C ．38D ．126．已知点P 是抛物线24x y =上的一个动点，则点P 到点(2,0)M 的距离与点P 到该抛物线准线的距离之和的最小值为( )ABC．D ．922 7．某市要对两千多名出租车司机的年龄进行调查，现从中随机抽出100名司机，已知抽到的司机年龄都在[)20,45岁之间，根据调查结果得出司机的年龄情况残缺的频率分布直方图如图所示，利用这个残缺的频率分布直方图估计该市出租车司机年龄的中位数大约是( )A ．31.6岁B ．32.6岁C ．33.6D ．36.6岁 8. 四面体的一个顶点为A ,从其它顶点与各棱的中点中取3个点,使它们和点A 在同一平面上,不同的取法有( ) A. 30种 B. 33种 C. 36种 D. 39种9．若a >0，b >0，且函数f (x )＝4x 3－ax 2－2bx ＋2在x ＝1处有极值，则ab 的最大值等于( ) A ．2 B ．3 C ．6 D ．9 10. 非空集合,A B ，定义运算：{|,}A B x x AB x A B ⊕=∈∉且，已知}|{},|{d x c x N b x a x M <<=<<=，其中d c b a 、、、满足a b c d +=+， 0ab cd <<，则=⊕N M ( )A. (,)(,)a d b c B.(,][,)c a b d C. (,][,)a c d b D.(,)(,)c a d b二、填空题: 本大题共5小题,每小题5分,满分25分;11．某学校三个社团的人员分布如下表（每名同学只参加一个社团） 学校要对这三个社团的活动效果进行抽样调查，按分层抽样的方法从社团成员中抽取30人，结果合唱社被抽出12人，则a =_______________.12.右图中是一个算法流程图,3 13．已知向量=a (,2)x ，=b (1,)y ，其中0,0x y >>.若4=a b ，则12x y+的最小值为 .14.已知双曲线1162522=-y x 左支上一点M 到右焦点F 的距离为16,N 是线段MF 的中点,O 为坐标原点,则||ON 的值是15.若等差数列}{n a 的首项为1a ,公差为d ，前n 项的和为S n ，则数列}{nS n为等差数列，且通项为2)1(1dn a n S n ⋅-+=．类似地，请完成下列命题：若各项均为等比数列}{n b 的首项为1b ，公比为q ，前n 项的积为T n ，则 ． 三、解答题:本大题共6小题,满分75分,解答须写出文字说明、证明过程或演算步骤. 16．（本题满分12分）在△ABC 中，角A 、B 、C 的对边分别为a b c 、、，满足2A C B +=，且1411)cos(-=+C B . （1）求C cos 的值；（2）若5=a ，求△ABC 的面积.17. (本小题满分12分）某教研机构准备举行一次高中数学新课程研讨会,拟邀请50名使用不同版(Ⅰ)从这50名教师中随机选出2名教师发言,求第一位发言的教师所使用版本是北大师大版的概率;(Ⅱ)设使用北师大版的5名教师中有3名男教师,2名女教师,使用苏教版的10名教师中有6名男教师,4名女教师,若从这15名教师中随机选出3名教师发言,求选到用苏教版的女教师人数的分布列和期望.4 18．（本题满分12分）如图所示，圆柱的高为2，、DF 是圆柱的两条母线，过AD 作圆柱的截面交下底面于BC , 四边形ABCD 是正方形. （Ⅰ）求证BC BE ⊥；（Ⅱ）求四棱锥E-ABCD 的体积.19．（本题满分13分）已知圆221:(4)1C x y -+=，圆222:(2)1C x y +-=，动点P 到圆1C 与2C 上点的距离的最小值相等. （1）求点P 的轨迹方程；（2）点P 的轨迹上是否存在点Q ，使得点Q到点(A -的距离减去点Q 到点B 的距离的差为4，如果存在求出Q 点坐标，如果不存在说明理由.20. （本题满分13分）已知等差数列{}n a 的前n 项和为n S ，公差0d ≠，且3550S S +=，1413,,a a a 成等比数列.（Ⅰ）求数列{}n a 的通项公式； （Ⅱ）设{}nnb a 是首项为1公比为2 的等比数列，求数列{}n b 前n 项和n T .21. (本小题满分13分）已知函数()1()x f x e ax a R =--∈.(Ⅰ)求函数()y f x =的单调区间;(Ⅱ)试探究函数()()ln F x f x x x =-在定义域内是否存在零点,若存在,请指出有几个零点;若不存在,请说明理由.5 二、填空题：本大题共5小题,每小题5分,满分25分;11. ， 12. ， 13. ，14. ， 15. ，三、解答题： 16．（本题满分12分）在△ABC 中，角A 、B 、C 的对边分别为a b c 、、，满足2A C B +=，且1411)cos(-=+C B . （1）求C cos 的值；（2）若5=a ，求△ABC 的面积.617. (本小题满分12分）某教研机构准备举行一次高中数学新课程研讨会,拟邀请50名使用不同版(Ⅰ)从这50名教师中随机选出2名教师发言,求第一位发言的教师所使用版本是北大师大版的概率;(Ⅱ)设使用北师大版的5名教师中有3名男教师,2名女教师,使用苏教版的10名教师中有6名男教师,4名女教师,若从这15名教师中随机选出3名教师发言,求选到用苏教版的女教师人数的分布列和期望. 18．（本题满分12分）如图所示，圆柱的高为2，、DF 是圆柱的两条母线，过AD 作圆柱的截面交下底面于BC , 四边形ABCD 是正方形. （Ⅰ）求证BC BE ；（Ⅱ）求四棱锥E-ABCD 的体积.7 19．（本题满分13分）已知圆221:(4)1C x y -+=，圆222:(2)1C x y +-=，动点P 到圆1C 与2C 上点的距离的最小值相等.（1）求点P 的轨迹方程；（2）点P 的轨迹上是否存在点Q ，使得点Q到点(A -的距离减去点Q 到点B 的距离的差为4，如果存在求出Q 点坐标，如果不存在说明理由.20. （本题满分13分）已知等差数列{}n a 的前n 项和为n S ，公差0d ≠，且3550S S +=，1413,,a a a 成等比数列.（Ⅰ）求数列{}n a 的通项公式； （Ⅱ）设{}nnb a 是首项为1公比为2 的等比数列，求数列{}n b 前n 项和n T .821. (本小题满分13分）已知函数()1()x f x e ax a R =--∈.(Ⅰ)求函数()y f x =的单调区间;(Ⅱ)试探究函数()()ln F x f x x x =-在定义域内是否存在零点,若存在,请指出有几个零点;若不存在,请说明理由.9 2014年上学期湖南省永州市祁阳二中高二期末考试理科数学试题答案1.D2.B3. B4.A5.A6.B7.C8.B9.D 10. C 11．30 12.11 13．9414..3 15b = 16．（本题满分12分）解：（1）∵2A C B +=，且A B C π++=，∴3B π=∵1411)cos(-=+C B ,∴1435)(cos 1)sin(2=+-=+C B C B ∴()cos cos cos()cos sin()sin C B C B B C B B C B =+-=+++⎡⎤⎣⎦7123143521411=⨯+⨯-= （2）由（1）可得734cos 1sin 2=-=C C 在△ABC 中，由正弦定理A aB bC c sin sin sin == ∴8sin sin ==ACa c ,三角形面积11sin 58S ac B ==⨯⨯⨯=10∴AE ⊥下底面，又BC ⊂下底面，∴AE BC ⊥…………………………….3分又截面ABCD 是正方形，所以BC ⊥AB ，又AB AE A =∴BC ⊥面ABE ，又BE ⊂面ABE ，∴BC BE ⊥ ……………………………5分 （Ⅱ）因为母线AE 垂直于底面，所以AE 是三棱锥A BCE -的高………………6分， 由（Ⅰ）知BC ⊥面ABE ，BC ⊂面ABCD ，∴面ABCD ⊥面ABE ， 过E 作EO AB ⊥，交AB 于O ，又面ABCD ⋂面ABE AB =，EO ⊂面ABE ，∴EO ⊥面ABCD ，即EO 就是四棱锥E ABCD -的高…………………（8分） 设正方形ABCD 的边长为x , 则AB BC x ==，BE =又BC BE ⊥，∴EC为直径，即EC =在Rt BEC 中，222EC BE BC =+,即22244x x x =+-⇒= ∴4416ABCD S =⨯=， …………………（10分）24AE BE EO AB ⋅===∴111633E ABCD ABCD V OE S -=⋅⋅==（12分）19（本题满分13分） 解：（1）设动点P 的坐标为(,)x y ，圆1C 的圆心1C 坐标为(4,0)，圆2C 的圆心2C 坐标为(0,2)， 因为动点P 到圆1C ,2C 上的点距离最小值相等，所以12||||PC PC =,=23y x =-，因此点P 的轨迹方程是23y x =-； ……………5分 （2）假设这样的Q 点存在，因为Q点到(A -点的距离减去Q点到B 点的距离的差为4， 所以Q点在以(A -和B 为焦点，实轴长为4的双曲线的右支上，即Q 点在曲线221(2)44x y x -=≥上， 又Q 点在直线:23l y x =-上， Q 点的坐标是方程组2223144y x x y =-⎧⎪⎨-=⎪⎩的解，消元得2312130x x -+=，21243130∆=-⨯⨯<，方程组无解，所以点P 的轨迹上不存在满足条件的点Q .1120.解： （Ⅰ）依题得1121113254355022(3)(12)a d a d a d a a d ⨯⨯⎧+++=⎪⎨⎪+=+⎩…………2分 解得132a d =⎧⎨=⎩…………4分 1(1)32(1)21n a a n d n n ∴=+-=+-=+，即21n a n ∴=+………6分 （Ⅱ）1112,2(21)2n n n n n n nb b a n a ---==⋅=+⋅…………7分 0121325272(21)2n n T n -∴=⨯+⨯+⨯+⋅⋅⋅++ ①12312325272(21)2(21)2n n n T n n -=⨯+⨯+⨯+⋅⋅⋅+-++ ②………9分 两式相减得：12(12)32(21)212n n n T n --=--⨯++- 1(21)2n n =+- ………………13分21．解：（1）由),(,1)(R a R x ax e x f x ∈∈--=a e x f x-=∴)('………………(1分) ① 当0≤a 时，则R x ∈∀有0)('>x f ∴函数)(x f 在区间),(+∞-∞单调递增；…(2分) ② 当0>a 时，0)('>x f a x ln >⇒,0)('<x f a x ln <⇒∴函数)(x f 的单调增区间为),(ln +∞a ，单调减区间为)ln ,(a -∞。

2013-2014学年辽宁省沈阳市高二（上）期末数学试卷（理科）一、选择题：本大题共12小题，每小题5分，共60分.在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的.1．（5分）命题“∀x∈R，cosx≤1”的否定是（）A．∃x∈R，cosx≥1B．∃x∈R，cosx＞1C．∀x∈R，cos ≥1D．∀x∈R，cosx＞12．（5分）椭圆的焦距为2，则m的取值是（）A．7B．5C．5或7D．103．（5分）c≠0是方程ax2+y2=c表示椭圆或双曲线的（）A．充分不必要条件B．必要不充分条件C．充要条件D．不充分不必要条件4．（5分）过点（0，1）作直线，使它与抛物线y2=4x仅有一个公共点，这样的直线有（）A．0条B．1条C．2条D．3条5．（5分）在空间直角坐标系O﹣xyz中，平面OAB的法向量为=（2，﹣2，1），已知P（﹣1，3，2），则P到平面OAB的距离等于（）A．4B．2C．3D．16．（5分）已知F是抛物线y2=x的焦点，A，B是该抛物线上的两点，|AF|+|BF|=3，则线段AB的中点到y轴的距离为（）A．B．1C．D．7．（5分）与双曲线有共同的渐近线，且经过点P（1，4）的双曲线方程为（）A．B．C．D．8．（5分）已知F1、F2为双曲线C：x2﹣y2=1的左、右焦点，点P在C上，∠F1PF2=60°，则P到x轴的距离为（）A．B．C．D．9．（5分）P为椭圆=1上一点，M．N分别是圆（x+3）2+y2=4和（x﹣3）2+y2=1上的点，则|PM|+|PN|的取值范围是（）A．[7，13]B．[10，15]C．[10，13]D．[7，15] 10．（5分）已知椭圆+=1（a＞0，b＞0），A是椭圆长轴的一个端点，B是椭圆短轴的一个端点，F为椭圆的一个焦点．若AB⊥BF，则该椭圆的离心率为（）A．B．C．D．11．（5分）设F1、F2分别为双曲线的左、右焦点．若在双曲线右支上存在点P，满足|PF2|=|F1F2|，且F2到直线PF1的距离等于双曲线的实轴长，则该双曲线的渐近线方程为（）A．3x±4y=0B．3x±5y=0C．4x±3y=0D．5x±4y=0 12．（5分）若直线y=x+b与曲线有公共点，则b的取值范围是（）A．[，]B．[，3]C．[﹣1，]D．[，3]二、填空题：本大题共4小题，每小题5分，共20分.13．（5分）在三棱锥P﹣ABC中，PA⊥底面ABC，AC⊥BC，PA=AC=BC=2，则直线PC与AB所成角的大小是．14．（5分）已知命题p：不等式|x|+|x﹣1|＞m的解集为R，命题q：f（x）=﹣（5﹣2m）x是减函数，若p或q为真命题，p且q为假命题，则实数m的取值范围是．15．（5分）以下几个命题中：其中真命题的序号为（写出所有真命题的序号）①设A、B为两个定点，k为非零常数，，则动点P的轨迹为双曲线；②过定圆C上一定点A作圆的动弦AB，O为坐标原点，若则动点P的轨迹为椭圆；③双曲线与椭圆有相同的焦点．④在平面内，到定点（2，1）的距离与到定直线3x+4y﹣10=0的距离相等的点的轨迹是抛物线．16．（5分）设F1，F2分别为椭圆+y2=1的焦点，点A，B在椭圆上，若=5；则点A的坐标是．三、解答题：本大题共6小题，共70分.解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤.17．（10分）已知p：﹣x2+8x+20≥0，q：x2﹣2x+1﹣m2≤0（m＞0）．（1）若p是q充分不必要条件，求实数m的取值范围；（2）若“非p”是“非q”的充分不必要条件，求实数m的取值范围．18．（12分）椭圆的离心率是，它被直线x﹣y﹣1=0截得的弦长是，求椭圆的方程．19．（12分）设抛物线y2=2px（p＞0）的焦点为F，经过点F的直线交抛物线于A、B两点，点C在抛物线的准线上，且BC∥x轴．证明直线AC经过原点O．20．（12分）如图，直三棱柱ABC﹣A1B1C1中，AB⊥AC，D、E分别为AA1、B1C 的中点，DE⊥平面BCC1．（Ⅰ）证明：AB=AC；（Ⅱ）设二面角A﹣BD﹣C为60°，求B1C与平面BCD所成的角的大小．21．（12分）如图，平面PAC⊥平面ABC，△ABC是以AC为斜边的等腰直角三角形，E，F，O分别为PA，PB，AC的中点，AC=16，PA=PC=10．（Ⅰ）设G是OC的中点，证明：FG∥平面BOE；（Ⅱ）证明：在△ABO内存在一点M，使FM⊥平面BOE，并求点M到OA，OB 的距离．22．（12分）如图，动点M到两定点A（﹣1，0）、B（2，0）构成△MAB，且∠MBA=2∠MAB，设动点M的轨迹为C．（Ⅰ）求轨迹C的方程；（Ⅱ）设直线y=﹣2x+m与y轴交于点P，与轨迹C相交于点Q、R，且|PQ|＜|PR|，求的取值范围．2013-2014学年辽宁省沈阳市高二（上）期末数学试卷（理科）参考答案与试题解析一、选择题：本大题共12小题，每小题5分，共60分.在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的.1．（5分）命题“∀x∈R，cosx≤1”的否定是（）A．∃x∈R，cosx≥1B．∃x∈R，cosx＞1C．∀x∈R，cos ≥1D．∀x∈R，cosx＞1【分析】根据全称命题的否定是特称命题，写出其否定即可得到答案．【解答】解：根据全称命题的否定是特称命题，则命题“∀x∈R，cosx≤1”的否定是∃x∈R，cosx＞1；故选：B．2．（5分）椭圆的焦距为2，则m的取值是（）A．7B．5C．5或7D．10【分析】直接利用椭圆的简单性质求解．【解答】解：∵椭圆的焦距为2，∴若椭圆的焦点在x轴上，则m﹣6=（）2，解得m=7；若椭圆的焦点在y轴上，则6﹣m=（）2，解得m=5．故选：C．3．（5分）c≠0是方程ax2+y2=c表示椭圆或双曲线的（）A．充分不必要条件B．必要不充分条件C．充要条件D．不充分不必要条件【分析】想使方程表示椭圆或双曲线必须是c≠0，进而推断出条件的必要性，进而举c=1．a=1时方程并不表示椭圆或双曲线，推断出条件的非充分性．【解答】解：方程ax2+y2=c表示双曲线，则c≠0，反之若a=1，c=1，则不能表示椭圆或双曲线．故c≠0是方程ax2+y2=c表示椭圆或双曲线的必要不充分条件．故选：B．4．（5分）过点（0，1）作直线，使它与抛物线y2=4x仅有一个公共点，这样的直线有（）A．0条B．1条C．2条D．3条【分析】当直线为x=0，或y=1时，即直线和x轴，y轴垂直时，显然满足与抛物线y2=4x仅有一个公共点．当直线的斜率等于k 时，直线方程为y﹣1=k（x ﹣0），代入抛物线方程化简，由判别式等于0解得k=1，故满足条件的直线共有3条．【解答】解：由题意可得，当直线为x=0，或y=1时，即直线和x轴，y轴垂直时，显然满足与抛物线y2=4x仅有一个公共点．当直线的斜率等于k 时，直线方程为y﹣1=k（x﹣0），代入抛物线y2=4x可得k2x2+（2k﹣4）x+1=0，∴△=（2k﹣4）2﹣4k2=0，解得k=1，故满足条件的直线共有3条，故选：D．5．（5分）在空间直角坐标系O﹣xyz中，平面OAB的法向量为=（2，﹣2，1），已知P（﹣1，3，2），则P到平面OAB的距离等于（）A．4B．2C．3D．1【分析】设点P到平面OAB的距离为d，则d=，即可得出结论．【解答】解：设点P到平面OAB的距离为d，则d=，∵=（2，﹣2，1），P（﹣1，3，2），∴d==2．故选：B．6．（5分）已知F是抛物线y2=x的焦点，A，B是该抛物线上的两点，|AF|+|BF|=3，则线段AB的中点到y轴的距离为（）A．B．1C．D．【分析】根据抛物线的方程求出准线方程，利用抛物线的定义抛物线上的点到焦点的距离等于到准线的距离，列出方程求出A，B的中点横坐标，求出线段AB的中点到y轴的距离．【解答】解：∵F是抛物线y2=x的焦点，F（）准线方程x=，设A（x1，y1），B（x2，y2），根据抛物线的定义抛物线上的点到焦点的距离等于到准线的距离|AF|=，|BF|=，∴|AF|+|BF|==3解得，∴线段AB的中点横坐标为，∴线段AB的中点到y轴的距离为．故选：C．7．（5分）与双曲线有共同的渐近线，且经过点P（1，4）的双曲线方程为（）A．B．C．D．【分析】设所求双曲线方程为（λ≠0），把点P（1，4）代入，能求出这个双曲线方程．【解答】解：与双曲线有共同的渐近线的双曲线方程设为（λ≠0），把点P（1，4）代入，得：=﹣3，∴所求的双曲线方程为．故选：A．8．（5分）已知F1、F2为双曲线C：x2﹣y2=1的左、右焦点，点P在C上，∠F1PF2=60°，则P到x轴的距离为（）A．B．C．D．【分析】设点P（x0，y0）在双曲线的右支，由双曲线的第二定义得，．由余弦定理得cos∠F1PF2=，由此可求出P到x轴的距离．【解答】解：不妨设点P（x0，y0）在双曲线的右支，由双曲线的第二定义得，．由余弦定理得cos∠F1PF2=，即cos60°=，解得，所以，故P到x轴的距离为故选：B．9．（5分）P为椭圆=1上一点，M．N分别是圆（x+3）2+y2=4和（x﹣3）2+y2=1上的点，则|PM|+|PN|的取值范围是（）A．[7，13]B．[10，15]C．[10，13]D．[7，15]【分析】由题设知椭圆=1的焦点分别是两圆圆（x+3）2+y2=4和（x﹣3）2+y2=1的圆心，由此能求出|PM|+|PN|的最小值、最大值．【解答】解：依题意，椭圆的焦点分别是两圆（x+3）2+y2=4和（x﹣3）2+y2=1的圆心，所以（|PM|+|PN|）max=2×5+3=13，（|PM|+|PN|）min=2×5﹣3=7，则|PM|+|PN|的取值范围是[7，13]故选：A．10．（5分）已知椭圆+=1（a＞0，b＞0），A是椭圆长轴的一个端点，B是椭圆短轴的一个端点，F为椭圆的一个焦点．若AB⊥BF，则该椭圆的离心率为（）A．B．C．D．【分析】先AB于BF垂直判断出两直线的斜率乘积为﹣1，进而求得b于a，c 的关系，利用a2﹣c2=b2进而替换消去b，进而求得a和c的关系式，则椭圆的离心率可求．【解答】解：∵AB⊥BF，∴k AB•k BF=﹣1，即•（﹣）=﹣1，即b2=ac，∴a2﹣c2=ac，两边同除以a2，得e2+e﹣1=0，∴e=（舍负），故选：B．11．（5分）设F1、F2分别为双曲线的左、右焦点．若在双曲线右支上存在点P，满足|PF2|=|F1F2|，且F2到直线PF1的距离等于双曲线的实轴长，则该双曲线的渐近线方程为（）A．3x±4y=0B．3x±5y=0C．4x±3y=0D．5x±4y=0【分析】利用题设条件和双曲线性质在三角形中寻找等量关系，得出a与b之间的等量关系，可知答案选C，【解答】解：依题意|PF2|=|F1F2|，可知三角形PF2F1是一个等腰三角形，F2在直线PF1的投影是其中点，由勾股定理知可知|PF1|=2=4b根据双曲定义可知4b﹣2c=2a，整理得c=2b﹣a，代入c2=a2+b2整理得3b2﹣4ab=0，求得=∴双曲线渐近线方程为y=±x，即4x±3y=0故选：C．12．（5分）若直线y=x+b与曲线有公共点，则b的取值范围是（）A．[，]B．[，3]C．[﹣1，]D．[，3]【分析】本题要借助图形来求参数b的取值范围，曲线方程可化简为（x﹣2）2+（y﹣3）2=4（1≤y≤3），即表示圆心为（2，3）半径为2的半圆，画出图形即可得出参数b的范围．【解答】解：曲线方程可化简为（x﹣2）2+（y﹣3）2=4（1≤y≤3），即表示圆心为（2，3）半径为2的半圆，如图依据数形结合，当直线y=x+b与此半圆相切时须满足圆心（2，3）到直线y=x+b 距离等于2，即解得或，因为是下半圆故可知（舍），故当直线过（0，3）时，解得b=3，故，故选：D．二、填空题：本大题共4小题，每小题5分，共20分.13．（5分）在三棱锥P﹣ABC中，PA⊥底面ABC，AC⊥BC，PA=AC=BC=2，则直线PC与AB所成角的大小是60°．【分析】取PA中点E，PB中点F，BC中点G，连接AG，由三角形中位线定理可得∠EFG（或其补角）就是异面直线AB与PC所成的角．然后在Rt△AEG中算出EG的长，用中位线定理得到EF=FG=，最后在△EFG中用余弦定理算出∠EFG=120°，即得异面直线AB与PC所成角的大小．【解答】解：取PA中点E，PB中点F，BC中点G，连接EF，FG，EG，∵EF、FG分别是△PAB、△PBC的中位线∴EF∥AB，FG∥PC，因此，∠EFG（或其补角）就是异面直线AB与PC所成的角．连接AG，则Rt△ACG中，AG==，EG==，又∵AB=PC=2，∴EF=FG=．由此可得，在△EFG中，cos∠EFG==﹣结合∠EFG是三角形内角，可得∠EFG=120°．综上所述，可得异面直线AB与PC所成角的大小为60°．故答案为：60°．14．（5分）已知命题p：不等式|x|+|x﹣1|＞m的解集为R，命题q：f（x）=﹣（5﹣2m）x是减函数，若p或q为真命题，p且q为假命题，则实数m的取值范围是[1，2）．【分析】由绝对值得意义知，p：即m＜1；由指数函数的单调性与特殊点得，q：即m＜2．从而求得当这两个命题有且只有一个正确时实数m的取值范围．【解答】解：p：∵不等式|x|+|x﹣1|＞m的解集为R，而|x|+|x﹣1|表示数轴上的x到0和1的距离之和，最小值等于1，∴m＜1．q：∵f（x）=﹣（5﹣2m）x是减函数，∴5﹣2m＞1，解得m＜2．∴当1≤m＜2时，p不正确，而q正确，两个命题有且只有一个正确，实数m 的取值范围为[1，2）．故答案为：[1，2）．15．（5分）以下几个命题中：其中真命题的序号为③（写出所有真命题的序号）①设A、B为两个定点，k为非零常数，，则动点P的轨迹为双曲线；②过定圆C上一定点A作圆的动弦AB，O为坐标原点，若则动点P的轨迹为椭圆；③双曲线与椭圆有相同的焦点．④在平面内，到定点（2，1）的距离与到定直线3x+4y﹣10=0的距离相等的点的轨迹是抛物线．【分析】利用圆锥曲线的定义及其性质即可判断出．【解答】解：①设A、B为两个定点，k为非零常数，=k，则动点P 的轨迹为双曲线的一支，因此①不正确；②过定圆C上一定点A作圆的动弦AB，O为坐标原点，若则动点P的轨迹为椭圆，不正确．若定圆C的圆心C与原点O重合，可得动点P的轨迹为以OA为直径的圆，因此不正确．③双曲线的焦点为，椭圆的焦点为，因此有相同的焦点，故正确．④在平面内，∵定点（2，1）在定直线3x+4y﹣10=0上，∴到定点（2，1）的距离与到定直线3x+4y﹣10=0的距离相等的点的轨迹是过定点与此直线垂直的直线．因此④不正确．故答案为：③16．（5分）设F1，F2分别为椭圆+y2=1的焦点，点A，B在椭圆上，若=5；则点A的坐标是（0，±1）．【分析】作出直线F1A的反向延长线与椭圆交于点B'，由椭圆的对称性，得，利用椭圆的焦半径公式及向量共线的坐标表示列出关于x1，x2的方程，解之即可得到点A的坐标．【解答】解：方法1：直线F1A的反向延长线与椭圆交于点B'又∵由椭圆的对称性，得设A（x1，y1），B'（x2，y2）由于椭圆的a=，b=1，c=∴e=，F1（，0）．∵|F1A|=|x1﹣|，|F1B'|=|x2﹣|，从而有：|x1﹣|=5×|x2﹣|，由于≤x1，x2，∴﹣x1＞0，﹣x2＞0，即=5×=5．①又∵三点A，F1，B′共线，∴（，y 1﹣0）=5（﹣﹣x2，0﹣y2）∴．②由①+②得：x1=0．代入椭圆的方程得：y1=±1，∴点A的坐标为（0，1）或（0，﹣1）方法2：因为F 1，F2分别为椭圆的焦点，则，设A，B的坐标分别为A（x A，y A），B（x B，y B），若；则，所以，因为A，B在椭圆上，所以，代入解得或，故A（0，±1）．方法三、由e=||，λ=5，e=，cosθ=，sinθ=，k=tanθ=，由，即可得到A（0，±1）．故答案为：（0，±1）．三、解答题：本大题共6小题，共70分.解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤.17．（10分）已知p：﹣x2+8x+20≥0，q：x2﹣2x+1﹣m2≤0（m＞0）．（1）若p是q充分不必要条件，求实数m的取值范围；（2）若“非p”是“非q”的充分不必要条件，求实数m的取值范围．【分析】P：﹣2≤x≤10，Q：1﹣m≤x≤1+m．（1）由P是Q的充分不必要条件，知，由此能求出实数m的取值范围．（2）由“非P”是“非Q”的充分不必要条件，知由此能求出实数m的取值范围．【解答】解：P：﹣2≤x≤10，Q：1﹣m≤x≤1+m（1）∵P是Q的充分不必要条件，∴[﹣2，10]是[1﹣m，1+m]的真子集．∴∴m≥9．∴实数m的取值范围为m≥9．（2）∵“非P”是“非Q”的充分不必要条件，∴Q是P的充分不必要条件．∴∴0＜m≤3．∴实数m的取值范围为0＜m≤3．18．（12分）椭圆的离心率是，它被直线x﹣y﹣1=0截得的弦长是，求椭圆的方程．【分析】根据椭圆的离心率是，可得a，c的关系，利用被直线x﹣y﹣1=0截得的弦长是，根据韦达定理，即可求椭圆的方程．【解答】解：∵，∴a2=3c2∴b2=a2﹣c2=2c2，∴椭圆方程可写为…（2分）将直线方程x﹣y﹣1=0代入椭圆方程，消去y，整理得5x2﹣6x+3﹣6c2=0，依韦达定理得…（6分）∴=解得c=1，∴a2=3，b2=2，∴椭圆方程为…（12分）19．（12分）设抛物线y2=2px（p＞0）的焦点为F，经过点F的直线交抛物线于A、B两点，点C在抛物线的准线上，且BC∥x轴．证明直线AC经过原点O．【分析】先求出抛物线的焦点坐标，然后得到经过点F的直线的方程后代入到抛物线中消去x得到关于y的一元二次方程，进而得到两根之积，根据BC∥x 轴与点c在准线上可求得c的坐标，进而可表示出直线CO的斜率，同时可得到k也是直线OA的斜率，所以直线AC经过原点O．得证．【解答】证明：如图因为抛物线y2=2px（p＞0）的焦点为F（，0），所以经过点F的直线的方程可设为；代入抛物线方程得y2﹣2pmy﹣p2=0，若记A（x1，y1），B（x2，y2），则y1，y2是该方程的两个根，所以y1y2=﹣p2．因为BC∥x轴，且点c在准线x=﹣上，所以点c的坐标为（﹣，y2），故直线CO的斜率为．即k也是直线OA的斜率，当直线AB的斜率不存在时，结论亦成立．所以直线AC经过原点O．20．（12分）如图，直三棱柱ABC﹣A1B1C1中，AB⊥AC，D、E分别为AA1、B1C 的中点，DE⊥平面BCC1．（Ⅰ）证明：AB=AC；（Ⅱ）设二面角A﹣BD﹣C为60°，求B1C与平面BCD所成的角的大小．【分析】（1）连接BE，可根据射影相等的两条斜线段相等证得BD=DC，再根据相等的斜线段的射影相等得到AB=AC；（2）求B1C与平面BCD所成的线面角，只需求点B1到面BDC的距离即可，作AG⊥BD于G，连GC，∠AGC为二面角A﹣BD﹣C的平面角，在三角形AGC 中求出GC即可．【解答】解：如图（I）连接BE，∵ABC﹣A1B1C1为直三棱柱，∴∠B1BC=90°，∵E为B1C的中点，∴BE=EC．又DE⊥平面BCC1，∴BD=DC（射影相等的两条斜线段相等）而DA⊥平面ABC，∴AB=AC（相等的斜线段的射影相等）．（II）求B1C与平面BCD所成的线面角，只需求点B1到面BDC的距离即可．作AG⊥BD于G，连GC，∵AB⊥AC，∴GC⊥BD，∠AGC为二面角A﹣BD﹣C的平面角，∠AGC=60°不妨设，则AG=2，GC=4在RT△ABD中，由AD•AB=BD•AG，易得设点B1到面BDC的距离为h，B1C与平面BCD所成的角为α．利用，可求得h=，又可求得，∴α=30°．即B1C与平面BCD所成的角为30°．21．（12分）如图，平面PAC⊥平面ABC，△ABC是以AC为斜边的等腰直角三角形，E，F，O分别为PA，PB，AC的中点，AC=16，PA=PC=10．（Ⅰ）设G是OC的中点，证明：FG∥平面BOE；（Ⅱ）证明：在△ABO内存在一点M，使FM⊥平面BOE，并求点M到OA，OB 的距离．【分析】由于PAC⊥平面ABC，△ABC是以AC为斜边的等腰直角三角形，O为AC的中点，AC=16，PA=PC=10，所以PO、OB、OC是两两垂直的三条直线，因此可以考虑用空间向量解决：连接OP，以O为坐标原点，分别以OB、OC、OP所在直线为x轴，y轴，z轴，建立空间直角坐标系O﹣xyz，对于（I），只需证明向量FG与平面BOE的一个法向量垂直即可，而根据坐标，平面的一个法向量可求，从而得证；对于（II），在第一问的基础上，课设点M的坐标，利用FM⊥平面BOE求出M 的坐标，而其道OA、OB的距离就是点M 横纵坐标的绝对值．【解答】证明：（I）如图，连接OP，以O为坐标原点，分别以OB、OC、OP所在直线为x轴，y轴，z轴，建立空间直角坐标系O﹣xyz，则O（0，0，0），A（0，﹣8，0），B（8，0，0），C（0，8，0），P（0，0，6），E（0，﹣4，3），F（4，0，3），（3分）由题意得，G（0，4，0），因，因此平面BOE的法向量为，）得，又直线FG不在平面BOE内，因此有FG∥平面BOE．（6分）（II）设点M的坐标为（x0，y0，0），则，因为FM⊥平面BOE，所以有，因此有，即点M的坐标为（8分）在平面直角坐标系xoy中，△AOB的内部区域满足不等式组，经检验，点M的坐标满足上述不等式组，所以在△ABO内存在一点M，使FM⊥平面BOE，由点M的坐标得点M到OA，OB的距离为．（12分）22．（12分）如图，动点M到两定点A（﹣1，0）、B（2，0）构成△MAB，且∠MBA=2∠MAB，设动点M的轨迹为C．（Ⅰ）求轨迹C的方程；（Ⅱ）设直线y=﹣2x+m与y轴交于点P，与轨迹C相交于点Q、R，且|PQ|＜|PR|，求的取值范围．【分析】（Ⅰ）设出点M（x，y），分类讨论，根据∠MBA=2∠MAB，利用正切函数公式，建立方程化简即可得到点M的轨迹方程；（Ⅱ）直线y=﹣2x+m与3x2﹣y2﹣3=0（x＞1）联立，消元可得x2﹣4mx+m2+3=0①，利用①有两根且均在（1，+∞）内可知，m＞1，m≠2设Q，R的坐标，求出x R，x Q，利用，即可确定的取值范围．【解答】解：（Ⅰ）设M的坐标为（x，y），显然有x＞0，且y≠0当∠MBA=90°时，点M的坐标为（2，±3）当∠MBA≠90°时，x≠2，由∠MBA=2∠MAB有tan∠MBA=，化简可得3x 2﹣y 2﹣3=0而点（2，±3）在曲线3x 2﹣y 2﹣3=0上综上可知，轨迹C 的方程为3x 2﹣y 2﹣3=0（x ＞1）；（Ⅱ）直线y=﹣2x +m 与3x 2﹣y 2﹣3=0（x ＞1）联立，消元可得x 2﹣4mx +m 2+3=0①∴①有两根且均在（1，+∞）内设f （x ）=x 2﹣4mx +m 2+3，∴，∴m ＞1，m ≠2设Q ，R 的坐标分别为（x Q ，y Q ），（x R ，y R ）， ∵|PQ |＜|PR |，∴x R =2m +，x Q =2m ﹣，∴==∵m ＞1，且m ≠2 ∴，且∴，且∴的取值范围是（1，7）∪（7，7+4）赠送—高中数学知识点二次函数（1）一元二次方程20(0)ax bx c a ++=≠根的分布一元二次方程根的分布是二次函数中的重要内容，这部分知识在初中代数中虽有所涉及，但尚不够系统和完整，且解决的方法偏重于二次方程根的判别式和根与系数关系定理（韦达定理）的运用，下面结合二次函数图象的性质，系统地来分析一元二次方程实根的分布．设一元二次方程20(0)ax bx c a ++=≠的两实根为12,x x ，且12x x ≤．令2()f x ax bx c =++，从以下四个方面来分析此类问题：①开口方向：a ②对称轴位置：2bx a=-③判别式：∆ ④端点函数值符号． ①k ＜x 1≤x 2 ⇔②x 1≤x 2＜k ⇔③x 1＜k ＜x 2 ⇔ af (k )＜0)(<k f xy1x 2x 0>a O∙kx y1x 2x O∙k<a 0)(>k f④k 1＜x 1≤x 2＜k 2 ⇔⑤有且仅有一个根x 1（或x 2）满足k 1＜x 1（或x 2）＜k 2 ⇔ f (k 1)f (k 2)<0，并同时考虑f (k 1)=0或f (k 2)=0这两种情况是否也符合⑥k 1＜x 1＜k 2≤p 1＜x 2＜p 2 ⇔ 此结论可直接由⑤推出．（5）二次函数2()(0)f x ax bx c a =++≠在闭区间[,]p q 上的最值 设()f x 在区间[,]p q 上的最大值为M ，最小值为m ，令01()2x p q =+． （Ⅰ）当0a >时（开口向上） ①若2b p a -<，则()m f p = ②若2b p q a ≤-≤，则()2b m f a =- ③若2b q a->，则()m f q =①若02b x a -≤，则()M f q = ②02b x a->，则()M f p = (Ⅱ)当0a <时(开口向下) ①若2b p a -<，则()M f p = ②若2b p q a ≤-≤，则()2b M f a =- ③若2b q a->，则()M f q =x>O-=f(p) f (q)()2b f a-x>O-=f (p)f (q)()2b f a-x>O-=f (p)f (q)()2bf a-xx x(q)0x①若02b x a -≤，则()m f q = ②02b x a->，则()m f p =．x<O-=f (p) f (q) ()2bf a-x<O-=f (p)f(q)()2b f a-x<O-=f (p)f(q)()2bf a-x x<O-=f (p)f (q)()2b f a-x<O-=f (p)f (q)()2b f a-x。

2014-2015学年河南省平顶山市高二（上）期末数学试卷（理科）一、选择题：每小题5分，共60分，在四个选项中只有一项是正确的．1．（5分）已知集合A={x|y=lg[x（x﹣2）]}，B={x|＜1}，则A∩B等于（）A．（﹣∞，0）∪（2，+∞）B．（2，+∞）C．（1，2）D．（﹣∞，0）∪（1，2）2．（5分）若x，y∈R，则“x，y≤1”是“x2+y2≤1”的（）A．充分不必要条件B．必要不充分条件C．充要条件D．既不充分也不必要条件3．（5分）如图，设A、B两点在河的两岸，一测量者在A的同侧，在所在的河岸边选定一点C，测出AC的距离为50m，∠ACB=45°，∠CAB=105°后，就可以计算出A、B两点的距离为（）A．m B．m C．m D．m 4．（5分）等差数列{a n}中，已知前15项的和S15=90，则a8=（）A．B．12C．D．65．（5分）命题“若∠C=90°，则△ABC是直角三角形”与它的逆命题、否命题、逆否命题这四个命题中，真命题的个数是（）A．0B．1C．2D．36．（5分）已知空间四边形ABCD中，O是空间中任意一点，，=，=点M在OA上，且OM=2MA，N为BC中点，则=（）A．B．﹣C．D．7．（5分）下列结论正确的是（）A．当x＞0且x≠1时，lgx+≥2B．当x＞0时，+≥2C．当x≥2时，x+的最小值为2D．当0＜x≤2时，x﹣无最大值8．（5分）若椭圆+=1（a＞b＞0）的离心率为，则双曲线﹣=1的渐近线方程为（）A．y=±x B．y=±2x C．y=±4x D．y=±x 9．（5分）在△ABC中，a，b，c分别是∠A，∠B，∠C所对应的边，∠C=90°，则的取值范围是（）A．（1，2）B．C．D．10．（5分）若不等式x2﹣px+q=0的解集为（﹣，），则不等式qx2+px+1＞0的解集为（）A．（﹣3，2）B．（﹣2，3）C．（﹣，）D．（﹣，）11．（5分）如图，在60°二面角的棱上有两点A、B，线段AC、BD分别在这个二面角的两个面内，并且都垂直于棱AB，若AB=4，AC=6，BD=8，则线段CD的长为（）A．B．10C．2D．212．（5分）已知点A（﹣1，0）以及抛物线y2=4x的焦点F，若P是抛物线上的动点，则的取值范围是（）A．[0，]B．[，1]C．（，1]D．（，1）二、填空题：每小题5分，共20分．13．（5分）已知数列{a n}为等比数列，a3=4，a6=32，则=．14．（5分）在△ABC中，a，b，c分别是角A，B，C的对边，且a=2，b=，B=60°，则△ABC的面积为．15．（5分）直线ax﹣y+1=0（a∈R）与椭圆=1总有公共点，则m∈．16．（5分）若实数x、y满足不等式组，则的最小值为．三、解答题：共70分．解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤．17．（10分）已知抛物线y2=2px（p＞0）的准线方程为x=﹣1，斜率为1的直线过抛物线的焦点F，且与抛物线交于A、B两点，求线段AB的长度．18．（12分）已知p：∀x∈R，不等式恒成立，q：椭圆的焦点在x轴上．若命题p∧q为真命题，求实数m的取值范围．19．（12分）在△ABC中，a、b、c分别是角A、B、C的对边，且满足（a+c）c=（b﹣a）（b+a）．（1）求角B的大小；（2）若△ABC最大边的长为，且sinA=2sinC，求最小边长．20．（12分）已知等差数列{a n}，a1=3，前n项和为S n，又等比数列{b n}的各项均为正数，b1=1，公比为q，若b2+S2=12，q=．（1）求a n与b n；（2）设c n=a n+b n，求{c n}的前n项和T n．21．（12分）如图，已知三角形△ABC与△BCD所在平面互相垂直，且∠BAC=∠BCD=90°，AB=AC，CB=CD，点P，Q分别在线段BD，CD上，沿直线PQ将△PQD向上翻折，使D与A重合．（Ⅰ）求证：AB⊥CQ；（Ⅱ）求直线AP与平面ACQ所成的角．22．（12分）已知椭圆的中心在原点，焦点在x轴上，离心率为，且经过点M（4，1）．（1）求椭圆的方程；（2）若不过点M的直线l：y=x+m交椭圆于A、B两点，试问直线MA、MB与x 轴能否围成等腰三角形？2014-2015学年河南省平顶山市高二（上）期末数学试卷（理科）参考答案与试题解析一、选择题：每小题5分，共60分，在四个选项中只有一项是正确的．1．（5分）已知集合A={x|y=lg[x（x﹣2）]}，B={x|＜1}，则A∩B等于（）A．（﹣∞，0）∪（2，+∞）B．（2，+∞）C．（1，2）D．（﹣∞，0）∪（1，2）【解答】解：由x（x﹣2）＞0，得x＜0或x＞2，∴A={x|y=lg[x（x﹣2）]}={x|x＜0或x＞2}，由，得，即，解得：x＜0或x＞1．B={x|＜1}={x|x＜0或x＞1}，则A∩B={x|x＜0或x＞2}∩{x|x＜0或x＞1}=（﹣∞，0）∪（2，+∞）．故选：A．2．（5分）若x，y∈R，则“x，y≤1”是“x2+y2≤1”的（）A．充分不必要条件B．必要不充分条件C．充要条件D．既不充分也不必要条件【解答】解：∵1≥x2+y2≥2xy∴xy≤∴xy≤1反之，x=2，y=满足“xy≤1”但不满足“x2+y2≤1”所以“xy≤1”是“x2+y2≤1”的必要不充分条件故选：B．3．（5分）如图，设A、B两点在河的两岸，一测量者在A的同侧，在所在的河岸边选定一点C，测出AC的距离为50m，∠ACB=45°，∠CAB=105°后，就可以计算出A、B两点的距离为（）A．m B．m C．m D．m【解答】解：由正弦定理得，∴，故A，B两点的距离为50m，故选：A．4．（5分）等差数列{a n}中，已知前15项的和S15=90，则a8=（）A．B．12C．D．6【解答】解：由等差数列的性质可得a1+a15=2a8，∴S15==15a8，又S15=90，∴15a8=90，解得a8=6故选：D．5．（5分）命题“若∠C=90°，则△ABC是直角三角形”与它的逆命题、否命题、逆否命题这四个命题中，真命题的个数是（）A．0B．1C．2D．3【解答】解：命题“若∠C=90°，则△ABC是直角三角形”是真命题，∴其逆否命题也为真命题．原命题的逆命题为：“若△ABC是直角三角形，则∠C=90°”是假命题（△ABC是直角三角形不一定角C为直角），∴原命题的否命题也是假命题．∴真命题的个数是2．故选：C．6．（5分）已知空间四边形ABCD中，O是空间中任意一点，，=，=点M在OA上，且OM=2MA，N为BC中点，则=（）A．B．﹣C．D．【解答】解：由题意，=∵OM=2MA，N为BC中点，，=，=∴=﹣，=∴=﹣+故选：B．7．（5分）下列结论正确的是（）A．当x＞0且x≠1时，lgx+≥2B．当x＞0时，+≥2C．当x≥2时，x+的最小值为2D．当0＜x≤2时，x﹣无最大值【解答】解：A中，当0＜x＜1时，lgx＜0，lgx+≥2不成立；由基本不等式B正确；C中“=”取不到；D中x﹣在0＜x≤2时单调递增，当x=2时取最大值．故选：B．8．（5分）若椭圆+=1（a＞b＞0）的离心率为，则双曲线﹣=1的渐近线方程为（）A．y=±x B．y=±2x C．y=±4x D．y=±x【解答】解：椭圆+=1（a＞b＞0）的离心率为，则=，即有=，则双曲线﹣=1的渐近线方程为y=x，即有y=±x．故选：A．9．（5分）在△ABC中，a，b，c分别是∠A，∠B，∠C所对应的边，∠C=90°，则的取值范围是（）A．（1，2）B．C．D．【解答】解：由正弦定理得：，又sinC=1，∴a=csinA，b=csinB，所以=，由A+B=90°，得到sinB=cosA，则=sinA+sinB=sinA+cosA=sin（A+），∵∠C=∴A∈（0，），∴sin（A+）∈（，1]，∴∈（1，]．故选：C．10．（5分）若不等式x2﹣px+q=0的解集为（﹣，），则不等式qx2+px+1＞0的解集为（）A．（﹣3，2）B．（﹣2，3）C．（﹣，）D．（﹣，）【解答】解：不等式x2﹣px+q=0的解集为（﹣，），则﹣，是方程x2﹣px+q=0的两根，则﹣+=p，﹣×=q，即有p=﹣，q=﹣．则qx2+px+1＞0即为﹣x2﹣x+1＞0，即为x2+x﹣6＜0，解得﹣3＜x＜2．则解集为（﹣3，2）．故选：A．11．（5分）如图，在60°二面角的棱上有两点A、B，线段AC、BD分别在这个二面角的两个面内，并且都垂直于棱AB，若AB=4，AC=6，BD=8，则线段CD的长为（）A．B．10C．2D．2【解答】解：，∴+++，∵，，∴=0，=0，===﹣24．∴=62+42+82﹣2×24=68，∴=2．故选：D．12．（5分）已知点A（﹣1，0）以及抛物线y2=4x的焦点F，若P是抛物线上的动点，则的取值范围是（）A．[0，]B．[，1]C．（，1]D．（，1）【解答】解：如图所示，由抛物线y2=4x，可得焦点F（1，0），抛物线的准线l：x=﹣1．设P（x0，y0），过点P作PM⊥l，垂足为M．则|PF|=|PM|=x0+1，|PA|===，∴=，当x0=0时，==1，即=1．当x0≠0时，===，当且仅当x 0=1时取等号．即≥．综上可得：≤≤1．故选：B．二、填空题：每小题5分，共20分．13．（5分）已知数列{a n}为等比数列，a3=4，a6=32，则=9．【解答】解：∵数列{a n}为等比数列，a3=4，a6=32，∴，解得a1=1，q=2，∴===1+q3=9．故答案为：9．14．（5分）在△ABC中，a，b，c分别是角A，B，C的对边，且a=2，b=，B=60°，则△ABC的面积为．【解答】解：在△ABC中，a=2，b=，B=60°，则由余弦定理可得b2=7=a2+c2﹣2ac•cosB=4+c2﹣2c，解得c=3，或c=﹣1（舍去）故△ABC的面积为ac•sinB=×2×3×=，故答案为：．15．（5分）直线ax﹣y+1=0（a∈R）与椭圆=1总有公共点，则m∈[1，4）∪（4，+∞）．【解答】解：直线ax﹣y+1=0（a∈R）恒过（0，1）．∵直线ax﹣y+1=0（a∈R）与椭圆=1总有公共点，∴（0，1）在椭圆内或椭圆上，∴，∴m≥1，∵m≠4，∴m∈[1，4）∪（4，+∞）．故答案为：[1，4）∪（4，+∞）．16．（5分）若实数x、y满足不等式组，则的最小值为﹣2．【解答】解：作出不等式组对应的平面区域如图：=+=1+，设k=，则k的几何意义为区域内的点P（x，y）到定点D（﹣1，3）的斜率，由图象可知，OD的斜率最小，此时k=﹣3，则的最小值为1﹣3=﹣2，故答案为：﹣2三、解答题：共70分．解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤．17．（10分）已知抛物线y2=2px（p＞0）的准线方程为x=﹣1，斜率为1的直线过抛物线的焦点F，且与抛物线交于A、B两点，求线段AB的长度．【解答】解：∵抛物线y2=2px（p＞0）的准线方程为x=﹣1，∴=1，解得p=2．∴抛物线方程为y2=4x，直线AB的方程为：y=x﹣1．设A（x1，y1），B（x2，y2），联立，化为x2﹣6x+1=0．∴x1+x2=6，x1x2=1，∴|AB|===8．18．（12分）已知p：∀x∈R，不等式恒成立，q：椭圆的焦点在x轴上．若命题p∧q为真命题，求实数m的取值范围．【解答】解：∵p：∀x∈R，不等式恒成立，∴（x﹣）2+，即，解得：；q：椭圆的焦点在x轴上，∴m﹣1＞3﹣m＞0，解得：2＜m＜3，由p∧q为真知，p，q皆为真，解得．19．（12分）在△ABC中，a、b、c分别是角A、B、C的对边，且满足（a+c）c=（b﹣a）（b+a）．（1）求角B的大小；（2）若△ABC最大边的长为，且sinA=2sinC，求最小边长．【解答】解：（1）∵（a+c）c=（b﹣a）（b+a），∴ac+c2=b2﹣a2，即a2+c2﹣b2=﹣ac，则cosB==，则B=；（2）∵B=，∴b为最大边，则b=，∵sinA=2sinC，∴由正弦定理得a=2c，则a＞c，即最小边为c，由余弦定理得b2=a2+c2﹣2accosB．即14=4c2+c2﹣2×2c2×=7c2，即c2=2，则c=．20．（12分）已知等差数列{a n}，a1=3，前n项和为S n，又等比数列{b n}的各项均为正数，b1=1，公比为q，若b2+S2=12，q=．（1）求a n与b n；（2）设c n=a n+b n，求{c n}的前n项和T n．【解答】解：（1）由已知得，解得q=3或q=﹣4（舍），∴d=3，∴a n=3+（n﹣1）×3=3n，b n=3n﹣1．（2）∵c n=a n+b n=3n+3n﹣1，∴T n=3（1+2+3+…+n）+（1+3+32+…+3n﹣1）=3×+=+．21．（12分）如图，已知三角形△ABC与△BCD所在平面互相垂直，且∠BAC=∠BCD=90°，AB=AC，CB=CD，点P，Q分别在线段BD，CD上，沿直线PQ将△PQD向上翻折，使D与A重合．（Ⅰ）求证：AB⊥CQ；（Ⅱ）求直线AP与平面ACQ所成的角．【解答】（I）证明：∵面ABC⊥面BCQ又CQ⊥BC∴CQ⊥面ABC∴CQ⊥AB（5分）（Ⅱ）解：取BC的中点O，BD的中点E，如图以OB所在直线为x轴，以OE所在直线为y轴，以OA所在直线为z轴，建立空间直角坐标系．（6分）不妨设BC=2，则A（0，0，1），D（﹣1，2，0），P（x，1﹣x，0），（8分）由|AP|=|DP|即x2+（1﹣x）2+1=（x+1）2+（x+1）2，解得x=0，所以P（0，1，0），（10分）故=（0，1，﹣1）设=（x，y，z）为平面ACQ的一个法向量，因为=（﹣1，0，﹣1），==λ（0，1，0）由即所以=（1，0，﹣1）（12分）设直线AP与平面ACQ所成的角为α则Sinα=|cos＜AP，n＞|=所以α=即直线AP与平面ACQ所成的角为V（14分）22．（12分）已知椭圆的中心在原点，焦点在x轴上，离心率为，且经过点M（4，1）．（1）求椭圆的方程；（2）若不过点M的直线l：y=x+m交椭圆于A、B两点，试问直线MA、MB与x 轴能否围成等腰三角形？【解答】解：（1）设椭圆方程为，因为e=，所以a2=4b2，又椭圆过点M（4，1），所以，解得b2=5，a2=20，故椭圆方程为（5分）（2）将y=x +m 代入并整理得5x 2+8mx +4m 2﹣20=0，再根据△=（8m ）2﹣20（4m 2﹣20）＞0，求得5＞m ＞﹣5． 设直线MA ，MB 斜率分别为k 1和k 2， 设A （x 1，y 1），B （x 2，y 2），则x 1+x 2=﹣，x 1x 2=，∴k 1+k 2==．而此分式的分子等于（x 1+m ﹣1）（x 2﹣4）+（x 2+m ﹣1）（x 1﹣4） =2x 1x 2+（m ﹣5）（x 1+x 2）﹣8（m ﹣1）=﹣﹣8（m ﹣1）=0，可得k 1+k 2=0，因此MA ，MB 与x 轴所围的三角形为等腰三角形．（14分）赠送—高中数学知识点二次函数（1）一元二次方程20(0)ax bx c a ++=≠根的分布一元二次方程根的分布是二次函数中的重要内容，这部分知识在初中代数中虽有所涉及，但尚不够系统和完整，且解决的方法偏重于二次方程根的判别式和根与系数关系定理（韦达定理）的运用，下面结合二次函数图象的性质，系统地来分析一元二次方程实根的分布．设一元二次方程20(0)ax bx c a ++=≠的两实根为12,x x ，且12x x ≤．令2()f x ax bx c =++，从以下四个方面来分析此类问题：①开口方向：a ②对称轴位置：2bx a=-③判别式：∆ ④端点函数值符号． ①k ＜x 1≤x 2 ⇔②x 1≤x 2＜k ⇔③x 1＜k ＜x 2 ⇔ af (k )＜0)(<k f xy1x 2x 0>a O∙kx y1x 2x O∙k<a 0)(>k f④k 1＜x 1≤x 2＜k 2 ⇔⑤有且仅有一个根x 1（或x 2）满足k 1＜x 1（或x 2）＜k 2 ⇔ f (k 1)f (k 2)<0，并同时考虑f (k 1)=0或f (k 2)=0这两种情况是否也符合⑥k 1＜x 1＜k 2≤p 1＜x 2＜p 2 ⇔ 此结论可直接由⑤推出．（5）二次函数2()(0)f x ax bx c a =++≠在闭区间[,]p q 上的最值 设()f x 在区间[,]p q 上的最大值为M ，最小值为m ，令01()2x p q =+． （Ⅰ）当0a >时（开口向上） ①若2b p a -<，则()m f p = ②若2b p q a ≤-≤，则()2b m f a =- ③若2b q a->，则()m f q =①若02b x a -≤，则()M f q = ②02b x a->，则()M f p = (Ⅱ)当0a <时(开口向下) ①若2b p a -<，则()M f p = ②若2b p q a ≤-≤，则()2b M f a =- ③若2b q a->，则()M f q =x>O-=f(p) f (q)()2b f a-x>O-=f (p)f (q)()2b f a-x>O-=f (p)f (q)()2bf a-xx x(q)0x①若02b x a -≤，则()m f q = ②02b x a->，则()m f p =．x<O-=f (p) f (q) ()2bf a-x<O-=f (p)f(q)()2b f a-x<O-=f (p)f(q)()2bf a-x x<O-=f (p)f (q)()2b f a-x<O-=f (p)f (q)()2b f a-x。

2014-2015学年河南省南阳市高二（上）期末数学试卷（理科）一、选择题（本大题共12小题，每小题5分，共60分）1．（5分）不等式≤1的解集为（）A．（﹣∞，2]B．（﹣∞，﹣1）∪（﹣1，2]C．[﹣1，2]D．（﹣1，2]2．（5分）在△ABC中的内角A、B、C所对的边分别为a，b，c，若b=2ccosA，c=2bcosA则△ABC的形状为（）A．直角三角形B．锐角三角形C．等边三角形D．等腰直角三角形3．（5分）已知圆C1：（x+4）2+y2=4，圆C2：（x﹣4）2+y2=1，若圆C与圆C1外切且与圆C2内切，则圆心C的轨迹是（）A．椭圆B．椭圆在y轴上及其右侧部分C．双曲线D．双曲线右支4．（5分）如图所示，为测一建筑物的高度，在地面上选取A，B两点，从A，B 两点分别测得建筑物顶端的仰角为30°，45°，且A，B两点间的距离为60m，则该建筑物的高度为（）A．（30+30）m B．（30+15）m C．（15+30）m D．（15+15）m 5．（5分）已知等比数列{a n}的公比为q，前n项和为S n，且S3，S9，S6成等差数列，则q3等于（）A．﹣1或B．1或﹣C．1D．﹣6．（5分）已知，则以为邻边的平行四边形的面积为（）A．B．C．4D．87．（5分）双曲线C与椭圆+=1有相同的焦距，一条渐近线方程为x﹣2y=0，则双曲线C的标准方程为（）A．﹣y2=1B．﹣y2=1或y2﹣=1C．x2﹣=1或y2﹣=1D．y2﹣=18．（5分）下面命题中，正确命题的个数为（）①命题：“若x2﹣2x﹣3=0，则x=3”的逆否命题为：“若x≠3，则x2﹣2x﹣3≠0”；②命题：“存在x∈R，使x﹣2＞lgx”的否定是“任意x∈R，x﹣2≤lgx”；③“点M在曲线y2=4x上”是“点M的坐标满足方程y=﹣2”的必要不充分条件；④设{a n}是等比数列，则“a1＜a2＜a3”是“数列{a n}是递增数列”的充要条件．A．1个B．2个C．3个D．4个9．（5分）若x，y满足条件，当且仅当x=y=3时，z=ax﹣y取最小值，则实数a的取值范围是（）A．（﹣，）B．（﹣，）C．（﹣，）D．（，）10．（5分）已知直二面角α﹣l﹣β，点A∈α，AC⊥l，C为垂足，B∈β，BD⊥l，D为垂足，若AB=2，AC=BD=1，则D到平面ABC的距离等于（）A．B．C．D．111．（5分）若数列，则称数列{a n}为“调和数列”．已知正项数列为“调和数列”，且b1+b2+…+b9=90，则b4•b6的最大值是（）A．10B．100C．200D．40012．（5分）已知椭圆C：=1（a＞b＞0）的左焦点为F，C与过原点的直线相交于A，B两点，连接AF，BF，若|AB|=10，|BF|=8，cos∠ABF=，则C 的离心率为（）A．B．C．D．二、填空题（本大题共4小题，每小题5分）13．（5分）已知数列{a n}满足a1=0，a n+1=a n+2n，那么a10的值是．14．（5分）已知F为双曲线C：的左焦点，P，Q为C上的点，若PQ 的长等于虚轴长的2倍，点A（5，0）在线段PQ上，则△PQF的周长为．15．（5分）如图，正方体ABCD﹣A1B1C1D1的棱长为2，M，N分别是C1D1，CC1的中点，则直线B1N与平面BDM所成角的正弦值为．16．（5分）已知抛物线y=﹣x2+3上存在关于直线x+y=0对称的相异两点A、B，则|AB|=．三、解答题（本大题共6小题，共70分.解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤）17．（10分）已知命题p：“1≤x≤5是x2﹣（a+1）x+a≤0的充分不必要条件”，命题q：“满足AC=6，BC=a，∠CAB=30°的△ABC有两个”．若￢p∧q是真命题，求实数a的取值范围．18．（12分）已知△ABC的角A，B，C所对的边分别为a，b，c，且．（Ⅰ）求角A的大小；（Ⅱ）若a=1，，求b+c的值．19．（12分）如图，四棱锥P﹣ABCD中，侧面PDC是边长为2的正三角形，且与底面垂直，底面ABCD是∠ADC=60°的菱形，M为PB的中点．（Ⅰ）求PA与底面ABCD所成角的大小；（Ⅱ）求证：PA⊥平面CDM；（Ⅲ）求二面角D﹣MC﹣B的余弦值．20．（12分）如图，已知抛物线C：y2=4x的焦点为F，过F的直线l与抛物线C 交于A（x1，y1）（y1＞0），B（x2，y2）两点，T为抛物线的准线与x轴的交点．（1）若，求直线l的斜率；（2）求∠ATF的最大值．21．（12分）已知等比数列{a n}的首项为1，公比q≠1，S n为其前n项和，a l，a2，a3分别为某等差数列的第一、第二、第四项．（I）求a n和S n；（Ⅱ）设b n=log2a n+1，数列{}的前n项和为T n，求证：T n＜．22．（12分）已知椭圆C的中心在原点O，焦点在x轴上，离心率为，右焦点到右顶点的距离为1（1）求椭圆C的方程；（2）如图，动直线l：y=kx+m与椭圆C有且仅有一个公共点，点M、N是直线l上的两点F1、F2是椭圆的左右焦点，且F1M⊥l，F2N⊥l，求四边形F1MNF2面积S的最大值．2014-2015学年河南省南阳市高二（上）期末数学试卷（理科）参考答案与试题解析一、选择题（本大题共12小题，每小题5分，共60分）1．（5分）不等式≤1的解集为（）A．（﹣∞，2]B．（﹣∞，﹣1）∪（﹣1，2]C．[﹣1，2]D．（﹣1，2]【解答】解：不等式≤1，即，即，解得﹣1＜x ≤2，故选：D．2．（5分）在△ABC中的内角A、B、C所对的边分别为a，b，c，若b=2ccosA，c=2bcosA则△ABC的形状为（）A．直角三角形B．锐角三角形C．等边三角形D．等腰直角三角形【解答】解：因为在△ABC中的内角A、B、C所对的边分别为a，b，c，若b=2ccosA，c=2bcosA所以，所以b=c，2bcosA=c，所以cosA=，A=60°，所以三角形是正三角形．故选：C．3．（5分）已知圆C1：（x+4）2+y2=4，圆C2：（x﹣4）2+y2=1，若圆C与圆C1外切且与圆C2内切，则圆心C的轨迹是（）A．椭圆B．椭圆在y轴上及其右侧部分C．双曲线D．双曲线右支【解答】解：设动圆圆心C（x，y），半径为r，∵圆M与圆C1：（x+4）2+y2=4外切，与圆C2：（x﹣4）2+y2=1内切，∴|CC1|=2+r，|CC2|=r﹣1，∴|CC1|﹣|CC2|=3＜8，由双曲线的定义，C的轨迹为以C1，C2为焦点的双曲线的右支，故选：D．4．（5分）如图所示，为测一建筑物的高度，在地面上选取A，B两点，从A，B 两点分别测得建筑物顶端的仰角为30°，45°，且A，B两点间的距离为60m，则该建筑物的高度为（）A．（30+30）m B．（30+15）m C．（15+30）m D．（15+15）m 【解答】解：在△PAB，∠PAB=30°，∠APB=15°，AB=60，sin15°=sin（45°﹣30°）=sin45°cos30°﹣cos45°sin30°=由正弦定理得：=30（+），∴建筑物的高度为PBsin45°=30（+）×=（30+30）m，故选：A．5．（5分）已知等比数列{a n}的公比为q，前n项和为S n，且S3，S9，S6成等差数列，则q3等于（）A．﹣1或B．1或﹣C．1D．﹣【解答】解：若q=1，则有S3=3a1，S6=6a1，S9=9a1．∵a1≠0，∵S3+S6≠2S9，与已知矛盾，故q≠1．由题意可得S3+S6=2S9，∴+=2可得整理得q3（2q6﹣q3﹣1）=0，由q≠0得方程2q6﹣q3﹣1=0．分解因式可得（2q3+1）（q3﹣1）=0，∵q≠1，q3﹣1≠0，∴2q3+1=0，∴q3=故选：D．6．（5分）已知，则以为邻边的平行四边形的面积为（）A．B．C．4D．8【解答】解：设向量和的夹角是θ，则由向量的数量积和题意得，cosθ===，∴sinθ==，∴以和为邻边的平行四边形的面积S=2××||×||×=．故选：A．7．（5分）双曲线C与椭圆+=1有相同的焦距，一条渐近线方程为x﹣2y=0，则双曲线C的标准方程为（）A．﹣y2=1B．﹣y2=1或y2﹣=1C．x2﹣=1或y2﹣=1D．y2﹣=1【解答】解：∵椭圆+=1中，c==，∴焦距|F1F2|=2c=2，∵双曲线C与椭圆+=1有相同的焦距，一条渐近线方程为x﹣2y=0，∴设双曲线方程为，λ≠0化为标准方程，得：，当λ＞0时，c==，解得λ=1，∴双曲线方程为；当λ＜0时，c==，解得λ=﹣1，∴双曲线方程为．∴双曲线方程为﹣y2=1或y2﹣=1．故选：B．8．（5分）下面命题中，正确命题的个数为（）①命题：“若x2﹣2x﹣3=0，则x=3”的逆否命题为：“若x≠3，则x2﹣2x﹣3≠0”；②命题：“存在x∈R，使x﹣2＞lgx”的否定是“任意x∈R，x﹣2≤lgx”；③“点M在曲线y2=4x上”是“点M的坐标满足方程y=﹣2”的必要不充分条件；④设{a n}是等比数列，则“a1＜a2＜a3”是“数列{a n}是递增数列”的充要条件．A．1个B．2个C．3个D．4个【解答】解：①命题：“若x2﹣2x﹣3=0，则x=3”的逆否命题为：“若x≠3，则x2﹣2x﹣3≠0”，正确；②命题：“存在x∈R，使x﹣2＞lgx”的否定是“任意x∈R，x﹣2≤lgx”，正确；③“点M在曲线y2=4x上”是“点M的坐标满足方程y=﹣2”的必要不充分条件，正确；④设{a n}是等比数列，则“数列{a n}是递增数列”⇒“a1＜a2＜a3”，反之：，则，a1＞0，q＞1，或a1＜0，0＜q＜1．因此“a1＜a2＜a3”是“数列{a n}是递增数列”的充要条件，正确．故选：D．9．（5分）若x，y满足条件，当且仅当x=y=3时，z=ax﹣y取最小值，则实数a的取值范围是（）A．（﹣，）B．（﹣，）C．（﹣，）D．（，）【解答】解：作出不等式组对应的平面区域如图：由z=ax﹣y得y=ax﹣z，则直线y=ax﹣z截距最大时，此时z最小．直线3x﹣5y+6=0的斜率k1=，直线2x+3y﹣15=0的斜率k2=，∵当且仅当x=y=3时，z=ax﹣y取最小值，∴直线y=ax﹣z经过点A（3，3）时，截距最大，此时z最小．则直线直线y=ax﹣z的斜率a满足：k2＜a＜k1，即＜a＜，故实数a的取值范围是：（，），故选：C．10．（5分）已知直二面角α﹣l﹣β，点A∈α，AC⊥l，C为垂足，B∈β，BD⊥l，D为垂足，若AB=2，AC=BD=1，则D到平面ABC的距离等于（）A．B．C．D．1【解答】解：由题意画出图形如图：直二面角α﹣l﹣β，点A∈α，AC⊥l，C为垂足，B∈β，BD⊥l，D为垂足，若AB=2，AC=BD=1，则D到平面ABC的距离转化为三棱锥D﹣ABC的高为h，所以AD=，CD=，BC=由V B=V D﹣ABC可知﹣ACD所以，h=故选C．11．（5分）若数列，则称数列{a n}为“调和数列”．已知正项数列为“调和数列”，且b1+b2+…+b9=90，则b4•b6的最大值是（）A．10B．100C．200D．400﹣b n=d（d为常数）【解答】解：由已知数列为调和数列可得b n+1∴{b n}为等差数列，由等差数列的性质可得，b1+b2+…+b9=9b5=90，∴b4+b6=2b5=20，又b n＞0，∴．故选：B．12．（5分）已知椭圆C：=1（a＞b＞0）的左焦点为F，C与过原点的直线相交于A，B两点，连接AF，BF，若|AB|=10，|BF|=8，cos∠ABF=，则C 的离心率为（）A．B．C．D．【解答】解：如图所示，在△AFB中，|AB|=10，|BF|=8，cos∠ABF=，由余弦定理得|AF|2=|AB|2+|BF|2﹣2|AB||BF|cos∠ABF=100+64﹣2×10×8×=36，∴|AF|=6，∠BFA=90°，设F′为椭圆的右焦点，连接BF′，AF′．根据对称性可得四边形AFBF′是矩形．∴|BF′|=6，|FF′|=10．∴2a=8+6，2c=10，解得a=7，c=5．∴e==．故选：B．二、填空题（本大题共4小题，每小题5分）13．（5分）已知数列{a n}满足a1=0，a n+1=a n+2n，那么a10的值是90．【解答】解：∵数列{a n}满足a1=0，a n+1=a n+2n，﹣a n=2n，∴a n+1∴a10=a1+a2﹣a1+a3﹣a2+…+a10﹣a9=0+2+4+…+18==90．故答案为：90．14．（5分）已知F为双曲线C：的左焦点，P，Q为C上的点，若PQ 的长等于虚轴长的2倍，点A（5，0）在线段PQ上，则△PQF的周长为44．【解答】解：根据题意，双曲线C：的左焦点F（﹣5，0），所以点A（5，0）是双曲线的右焦点，虚轴长为：8；双曲线图象如图：|PF|﹣|AP|=2a=6 ①|QF|﹣|QA|=2a=6 ②而|PQ|=16，①+②得：|PF|+|QF|﹣|PQ|=12，∴周长为：|PF|+|QF|+|PQ|=12+2|PQ|=44故答案为：44．15．（5分）如图，正方体ABCD﹣A1B1C1D1的棱长为2，M，N分别是C1D1，CC1的中点，则直线B1N与平面BDM所成角的正弦值为．【解答】解：建立如图所示的坐标系，则B1（2，2，2），N（0，2，1），B（2，2，0），D（0，0，0），M（0，1，2）．设平面BDM的法向量为=（x，y，z），则∵=（2，2，0），=（0，1，2），∴，∴=（2，﹣2，1），∵=（﹣2，0，﹣1），∴直线B1N与平面BDM所成角的正弦值为||=．故答案为：．16．（5分）已知抛物线y=﹣x2+3上存在关于直线x+y=0对称的相异两点A、B，则|AB|=3．【解答】解：由题意可得，可设AB的方程为y=x+b，代入抛物线y=﹣x2+3化简可得x2 +x+b﹣3=0，∴x1+x2=﹣1，x1•x2=b﹣3，故AB 的中点为（﹣，﹣+b）．根据中点在直线x+y=0上，∴﹣+（﹣+b）=0，∴b=1，故x1•x2=﹣2，∴|AB|=•=3，故答案为3．三、解答题（本大题共6小题，共70分.解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤）17．（10分）已知命题p：“1≤x≤5是x2﹣（a+1）x+a≤0的充分不必要条件”，命题q：“满足AC=6，BC=a，∠CAB=30°的△ABC有两个”．若￢p∧q是真命题，求实数a的取值范围．【解答】解：对于命题p：“1≤x≤5是x2﹣（a+1）x+a≤0的充分不必要条件”，∴1≤x≤5是1≤x≤a的真子集∴a＞5对于命题q：“满足AC=6，BC=a，∠CAB=30°的△ABC有两个”．∴3＜a＜6∵若￢p∧q是真命题∴p假q真则，综上，实数a的取值范围：3＜a≤518．（12分）已知△ABC的角A，B，C所对的边分别为a，b，c，且．（Ⅰ）求角A的大小；（Ⅱ）若a=1，，求b+c的值．【解答】解：（Ⅰ）△ABC中，∵，∴sinAcosB+sinBsinA=sinC，∵sinC=sin（A+B）=sinAcosB+cosAsinB∴sinAcosB+sinBsinA=sinAcosB+cosAsinB整理得sinA=cosA，即tanA=，∴A=．（Ⅱ）AB•AC•cosA=|•|=3，∴bc•=3，即bc=2，∵a2=b2+c2﹣2bccosA，即1=b2+c2﹣2•2•，∴b2+c2=1+6=7，∴b+c==．19．（12分）如图，四棱锥P﹣ABCD中，侧面PDC是边长为2的正三角形，且与底面垂直，底面ABCD是∠ADC=60°的菱形，M为PB的中点．（Ⅰ）求PA与底面ABCD所成角的大小；（Ⅱ）求证：PA⊥平面CDM；（Ⅲ）求二面角D﹣MC﹣B的余弦值．【解答】（Ⅰ）解：取DC的中点O，∵△PDC是正三角形，∴PO⊥DC，又∵平面PDC⊥底面ABCD，∴PO⊥平面ABCD于O，连接OA，则OA是PA在底面上的射影，∴∠PAO就是PA与底面所成的角，∵∠ADC=60°，△PCD和△ACD都是边长为2的全等的等边三角形，∴OA=OP==，∴∠PAO=45°，所以PA与底面ABCD所成角的大小为45°．（Ⅱ）证明：∵底面ABCD是菱形，且∠ADC=60°，DC=2，DO=1，∴OA⊥DC，以OA为x轴，以OC为y轴，以OP为z轴，建立空间直角坐标系，则A（，0，0），P（0，0，），D（0，﹣1，0），B（，2，0），C（0，1，0），∵M为PB的中点，∴M（），∴=（），，，∴==0，=0×+2×0+0×=0，∴PA⊥DM，PA⊥DC，∴PA⊥平面DMC．（Ⅲ）解：设二面角D﹣MC﹣B的平面角为θ，=（），=（），设平面BMC的法向量，则，，∴，解得，设平面CDM的法向量=（x 1，y1，z1），则，∴，解得=（1，0，﹣1），∵θ是钝角，∴cosθ=﹣|cos＜＞|=﹣||=﹣．故二面角D﹣MC﹣B的余弦值为﹣．20．（12分）如图，已知抛物线C：y2=4x的焦点为F，过F的直线l与抛物线C 交于A（x1，y1）（y1＞0），B（x2，y2）两点，T为抛物线的准线与x轴的交点．（1）若，求直线l的斜率；（2）求∠ATF的最大值．【解答】解：（1）由题意可得F（1，0），T（﹣1，0），当直线l与x轴垂直时，A（1，2），B（1，﹣2），此时，，这与矛盾．故直线l与x轴不垂直，设直线l的方程为y﹣0=k（x﹣1），代入抛物线C：y2=4x 的方程化简可得k2 x2﹣（2k2+4）x+k2=0．∴x1+x2=，且x1•x2=1…①．∴=16x1•x2=16，∴y1y2=﹣4…②．由可得（x1+1）（x2+1）+y1•y2=1．把①②代入可得k2=4，∴k=±2．（2）∵y1＞0，tan∠ATF===≤1，当且仅当=，即y1=2时，取等号，故tan∠ATF 的最大值为1，故∠ATF的最大值为．21．（12分）已知等比数列{a n}的首项为1，公比q≠1，S n为其前n项和，a l，a2，a3分别为某等差数列的第一、第二、第四项．（I）求a n和S n；（Ⅱ）设b n=log2a n+1，数列{}的前n项和为T n，求证：T n＜．【解答】解：（I）a l，a2，a3分别为某等差数列的第一、第二、第四项∴a3﹣a2=2（a2﹣a1）∴∵a1=1∴q2﹣3q+2=0∴q=2∴a n=2n﹣1=2n﹣1（II）由（I）可知，b n=log2a n+1=n∴==（）∴T n===22．（12分）已知椭圆C的中心在原点O，焦点在x轴上，离心率为，右焦点到右顶点的距离为1（1）求椭圆C的方程；（2）如图，动直线l：y=kx+m与椭圆C有且仅有一个公共点，点M、N是直线l上的两点F1、F2是椭圆的左右焦点，且F1M⊥l，F2N⊥l，求四边形F1MNF2面积S的最大值．【解答】解：（1）设椭圆C的方程为（a＞b＞0），半焦距为c．依题意，由右焦点到右顶点的距离为1，得a﹣c=1．解得c=1，a=2．所以b2=a2﹣c2=3．所以椭圆C的标准方程是．…（4分）（2）将直线l的方程y=kx+m代入椭圆y的方程中，得（3+4k2）x2+8kmx+4m2﹣12=0由直线与椭圆仅有一个公共点知△=64k2m2﹣4（4k2+3）（4m2﹣12）=0，化简得：m2=4k2+3．设，，∵，．∴=．…（8分）四边形F1MNF2的面积=，=．当且仅当k=0时，，故．所以四边形F1MNF2的面积S的最大值为．…（12分）。

2013-2014学年上学期期末考试高二数学试卷（理）注意事项：本试卷分为第Ⅰ卷（选择题）和第Ⅱ卷（非选择题）两部分,满分150分,考试时间120分钟．第Ⅰ卷（选择题 共50分）一、选择题：本大题共10小题，每小题5分，共50分．在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的．1.已知点(3,1,4)A -，则点A 关于原点的对称点的坐标为（ ）A ．(1,3,4)--B ．(4,1,3)--C ．(3,1,4)--D ．(4,1,3)-2．已知命题：“若x ≥0，y ≥0，则xy ≥0”，则原命题、逆命题、否命题、逆否命题这四个命题中，真命题的个数为( )A ．1个B ．2个C ．3个D ．4个 3. “0ab >”是“方程221ax by +=表示椭圆”的（ ）A. 充分非必要条件B. 必要非充分条件C. 充要条件D. 既不充分也不必要条件4．与命题“若a M ∈，则b M ∉”等价的命题是( )A ．若a M ∉，则b M ∉B ．若b M ∉，则a M ∈C ．若a M ∉，则b M ∈D ．若b M ∈，则a M ∉5. 已知空间四边形ABCD 中，,,OA a OB b OC c === ，点M 在OA 上，且OM=2MA ，N 为BC 中点，则MN = （ ）A ．121232a b c -+B ．211322a b c -++C ．111222a b c +- D ．221332a b c +- 6．设α、β、γ为两两不重合的平面，c 、m 、n 为两两不重合的直线，给出下列四个命题： ①如果α⊥γ，β⊥γ，则α∥β； ②如果m ⊂α，n ⊂α，m ∥β，n ∥β，则α∥β； ③如果α∥β，c ⊂α，则c ∥β； ④如果α∩β＝c ，β∩γ＝m ，γ∩α＝n ，c ∥γ，则m ∥n .其中真命题个数是( )A ．1个B ．2个C ．3个D ．4个7.将两个顶点在抛物线22(0)y px p =>上，另一顶点是此抛物线焦点的正三角形数记为则()A ．n=0B ．n=1C ． n=2D ．n 38．设F 1，F 2是双曲线22221x y a b-= (a >0，b >0)的左、右两个焦点，若双曲线右支上存在一点P ，使22()0OP OF F P +∙= (O 为坐标原点)，且|PF 1|PF 2|，则双曲线的离心率为( )A. B.1 D. 1+9.一个几何体的三视图如图所示，其中正视图和侧视图是腰长为4的两个全等的等腰十角三角形。