九年级
二次函数单元测试卷（word版，含解析）
一、初三数学二次函数易错题压轴题（难）
1．已知，抛物线y＝-
1
2
x2 +bx+c交y轴于点C（0,2），经过点Q（2,2）.直线y＝x+4分别交x轴、y轴于点B、A．
（1）直接填写抛物线的解析式________；
（2）如图1，点P为抛物线上一动点（不与点C重合），PO交抛物线于M，PC交AB于N，连MN.
求证：MN∥y轴；
（3）如图,2，过点A的直线交抛物线于D、E，QD、QE分别交y轴于G、H.求证：CG •CH 为定值.
【答案】（1）2
1
2
2
y x x
=-++；（2）见详解；（3）见详解．
【解析】
【分析】
（1）把点C、D代入y＝-
1
2
x2 +bx+c求解即可；
（2）分别设PM、PC的解析式，由于PM、PC与抛物线的交点分别为：M、N.，分别求出M、N的代数式即可求解；
（3）先设G、H的坐标，列出QG、GH的解析式，得出与抛物线的交点D、E的横坐标，再列出直线AE的解析式，算出它与抛物线横坐标的交点方程.运用韦达定理即可求证．【详解】
详解：（1）∵y＝-
1
2
x2 +bx+c过点C（0,2），点Q（2,2），
∴
2
1
222
2
2
b c
c
⎧
-⨯++
⎪
⎨
⎪=
⎩
＝
,
解得：12b c =⎧⎨=⎩
. ∴y=-12
x 2+x+2； （2） 设直线PM 的解析式为：y=mx ，直线PC 的解析式为：y=kx+2 由22122y kx y x x =+⎧⎪⎨=-++⎪⎩
得12
x 2+（k-1）x=0, 解得：120,22x x k ==-，
x p =22p x k =- 由21=22y mx y x x =⎧⎪⎨-++⎪⎩
得12
x 2+(m-1)x-2=0， ∴124b x x a
⋅=-=- 即x p•x m =-4，
∴x m =4p x -=21
k -. 由24y kx y x =+⎧⎨=+⎩
得x N =21
k -=x M , ∴MN ∥y 轴.
（3）设G （0，m ）,H （0，n ）.
设直线QG 的解析式为y kx m =+，
将点()2,2Q 代入y kx m =+
得22k m =+
22
m k -∴= ∴直线QG 的解析式为22m y x m -=
+ 同理可求直线QH 的解析式为22
n y x n -=+； 由222122m y x m y x x -⎧=+⎪⎪⎨⎪=-++⎪⎩
得221=222
m x m x x -+-++ 解得：122,2x x m ==-
2D x m ∴=-
同理，2E x n =-
设直线AE 的解析式为：y=kx+4， 由24122y kx y x x =+⎧⎪⎨=-++⎪⎩
， 得12
x 2-(k-1)x+2=0 124b x x a
∴⋅=-
= 即x D x E =4， 即（m-2）•（n-2）=4
∴CG•CH=（2-m ）•（2-n ）=4.
2．如图1，抛物线y ＝mx 2﹣3mx +n （m ≠0）与x 轴交于点C （﹣1，0）与y 轴交于点B （0，3），在线段OA 上有一动点E （不与O 、A 重合），过点E 作x 轴的垂线交直线AB 于点N ，交抛物线于点P ，过点P 作PM ⊥AB 于点M ．
（1）分别求出抛物线和直线AB 的函数表达式；
（2）设△PMN 的面积为S 1，△AEN 的面积为S 2，当123625
S S = 时，求点P 的坐标； （3）如图2，在（2）的条件下，将线段OE 绕点O 逆时针旋转的到OE ′，旋转角为α
（0°＜α＜90°），连接E′A、E′B，求E'A+
2
3
E'B的最小值．
【答案】（1）抛物线y＝﹣
3
4
x2+
9
4
x+3，直线AB解析式为y＝﹣
3
4
x+3；（2）P（2，
3
2
）；（3）
410
3
【解析】
【分析】
（1）由题意令y＝0，求出抛物线与x轴交点，列出方程即可求出a，根据待定系数法可以确定直线AB解析式；
（2）根据题意由△PNM∽△ANE，推出
6
5
PN
AN
=，以此列出方程求解即可解决问题；（3）根据题意在y轴上取一点M使得OM′＝
4
3
，构造相似三角形，可以证明AM′就是E′A+
2
3
E′B的最小值．
【详解】
解：（1）∵抛物线y＝mx2﹣3mx+n（m≠0）与x轴交于点C（﹣1，0）与y轴交于点B （0，3），
则有
3
30
n
m m n
⎧
⎨
⎩++
＝
＝
，解得4
3
3
m
n
⎧
⎪
⎨
⎪
-
⎩
＝
＝
，
∴抛物线2
39
3
44
y x x
=-++，
令y＝0，得到2
39
3
44
x x
-++＝0，
解得：x＝4或﹣1，
∴A（4，0），B（0，3），
设直线AB解析式为y＝kx+b，则
3
40
b
k b
+
⎧
⎨
⎩
＝
＝
，
