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第五章 信道编码 习题解答

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第五章 信道编码 习题解答
1.写出与10011得汉明距离为3得所有码字。
解:共有10个:01111,00101,00000,01010,01001,00110,11101,10100,11000,11110。
2. 已知码字集合得最小码距为,问利用该组码字可以纠正几个错误？可以发现几个错误？请写出一般关
系式。
解:根据公式:
可发现e个错。
可纠正t个错。
得出规律:
(1) ,则不能发现错及纠错。
(2)为奇数:可纠个码元错或发现个码元错。
(3)为偶数:可纠个码元错,或最多发现个码元错。
(4)码距越大,纠、检错能力越强。
3.试计算(8,7)奇偶校验码漏检概率与编码效率。已知码元错误概率为。
解:由于较小,可只计算错两个码元(忽略错4或6个码元)得情况:

4.已知信道得误码率,若采用“五三”定比码,问这时系统得等效(实际)误码率为多少？
解:由于较小,可只计算错两个码元得情况

5.求000000,110110,011101,101011四个汉明码字得汉明距离,并据此求出校正错误用得校验表。
解:先求出码字间距离:
000000 110110 011101 101011
000000 4 4 4
110110 4 4 4
011101 4 4 4
101011 4 4 4
汉明距离为4,可纠一位错。
由于一个码字共有6个码元,根据公式: 得 即每个码字应有3位监督码元,6-3=3位信息码元。
直观地写出各码字:
令为监督码元,观察规律则可写出监督方程:
从而写出校验子方程:
列出校验表:

校验子 ok x1* x2* x3* x4* x5* x6*
s1 0 1 0 1 1 0 0
s2 0 0 1 1 0 1 0
s3 0 1 1 0 0 0 1
6.写出信息位,且能纠正1个错得汉明码。
解:汉明码得信息码元为六个,即:。监督码元数r应符合下式:
取满足上式得最小r:,即为(10,6)汉明码。其码字由10个码元构成:。
先设计校验表(不就是唯一得):
校验子 ok x1* x2* x3* x4* x5* x6* x7* x8* x9* x10*
s1 0 1 1 1 0 0 0 1 0 0 0
s2 0 1 0 0 1 1 0 0 1 0 0
s3 0 0 1 0 1 0 1 0 0 1 0
s4 0 0 0 1 0 1 1 0 0 0 1
根据校验表写出校验子方程:
写出监督方程,即监督码元与信息码元之间得关系:
根据监督方程编码,写出(10,6)汉明码码字(大部分略,同学们可自行完成):
码字号 信息码元 监督码元

1 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0
2 0 0 0 0 0 1 0 0 1 1
3 0 0 0 0 1 0 0 1 0 1
4 0 0 0 0 1 1 0 1 1 0
5 0 0 0 1 0 0 0 1 1 0
6 0 0 0 1 0 1 0 1 0 1
: : : : :
:
63 1 1 1 1 1 0 1 1 0 0
64 1 1 1 1 1 1 1 1 1 1
7、 已知纠正一位错得(7,4)汉明码得生成矩阵为:
1)请写出其监督矩阵;
2)请写出其校验表;
3)对信源序列1110,1010,0110,、、、进行编码;
4)对接收端接收到得码字序列,,,…进行译码。
解:1)监督矩阵:右边3×3就是单位阵,左边3×4子阵就是生成矩阵右边4×3子阵得转置:

2)校验表:每个校验子列向量对应为监督矩阵得列向量,增加一个无差错列向量000。
校验子 ok x1* x2* x3* x4* x5* x6* x7*
s1 0 1 1 0 1 1 0 0
s2 0 1 0 1 1 0 1 0
s3 0 0 1 1 1 0 0 1
3)根据编码:
或者用由监督矩阵得到得监督方程编码:

编码得:,1010101,,…
4)根据校验子方程(校验子方程就是监督方程左右两边异或):

0011101  [S]=T  x7*错  0011100  0011
1100100  [S]=[111]T  x4*错  1101100  1101
1011001  [S]=[011]T  x3*错  1001001  1001
译码得:0011,1101,1001,…
8、 (7,4)循环码得生成多项式为:
1)写出其监督矩阵与生成矩阵;
2)对信息码元0110,1001进行编码,分别写出它们得系统码与非系统码;
3)对接收端接收到得系统码字,进行译码。
解:1)生成矩阵:生成多项式系数降幂排列:1101,补零成n位得行向量:,循环移位成k行得矩阵:
监督矩阵:校验多项式系数升幂排列:10111,补零成n位得行向量:,循环移位成r 行得矩阵:
2)根据编码:

得非系统码字:,1100101
根据多项式除法(长除法见第9题解答)编码得系统码字:,,具体方法如下:
0110 m(x) = x2+x xrm(x) = x5+x4
 0110100
1001 m(x) = x3+1 xrm(x) = x6+x3
 1001011
3)生成多项式为g(x) = x3+x2+1得(7,4)循环码校验表(获取方法见第9题解答)
写成多项式,除以生成多项式得余式1,
 [S]=
T

,查表知C0*错,即0101111 

0101110,去尾部3位监督码元,得信息码
元0101 。

写成多项式,除以生成多项式得余式
x2+x , [S]=[110]T ,查表知C6*错,即0011100  1011100,去尾部3位监督码元,得信息码元1011。
9、 已知(7,4)循环码得生成多项式为:
当收到一循环码字为0010011时,根据校验子判断有无错误？哪一位错了？
解:
对信息码元0001用多项式除法编码得循环码字:0001101。
将0001101错成0001100,除以生成多项式得余式1,s2s1s0=001表示C0*错。
将0001101错成0001111,除以生成多项式得余式x,s2s1s0=010表示C1*错。
将0001101错成0001001,除以生成多项式得余式x2,s2s1s0=100表示C2*错。
……
将0001101错成1001101,除以生成多项式得余式x2+x,s2s1s0=110表示C6*错。
写出校验表:
当收到一循环码字0010011时其对应得
多项式为: 。
列竖式做多项式除法(以下左式):

得余式为,s2s1s0=100,表示C2*错,即右起第
三位错,正确得码字应为0010111,其对应
得多项式为:。将此多项式进行验证(上式右式),余式为0,可见正确。
10、 已知(3,1,3)卷积码得监督方程为:
或者:已知(3,1,3)卷积码得基本监督矩阵:
对信源序列010110…进行编码。
解:对于(3,1,3)卷积码,若输入信息码元: mi-2 , mi-1, mi, …,则编码后码字:
mi-2, pa,i-2, pb,i-2, mi-1, pa,i-1, pb,i-1, mi, pa,i, pb,i, …
根据监督方程编码得:000,111,010,110,101,011,

校验子 无错 C0* C1* C2* C3* C4* C5* C6*
s2 0 0 0 1 1 1 0 1
s1 0 0 1 0 0 1 1 1
s0 0 1 0 0 1 1 1 0

校验子 无错 C0* C1* C2* C3* C4* C5* C6*
s2 0 0 0 1 1 1 0 1
s1 0 0 1 0 0 1 1 1
s0 0 1 0 0 1 1 1 0
(默认初始化状态为0)
11、 已知(4,3,3)卷积码得基本监督矩阵:,
对输入信息码元:1…进行编码。
解:根据k = 3分组,计算1位监督码元置于后,得卷积码字:1010,1001,1100,1111,…
(提示:编码后得码字形式为:
根据监督矩阵知其计算方法,前三个码字计算为:

第四个码字起,移动对应位置使p2*为当前要求得监督码元,计算为:
)
作业:1、3、4、7、8、10、11

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通信原理第五章习题解答

通信原理第五章习题解答

通信原理第五章习题解答习题5-1 设待发送的数字序列为10110010，试分别画出2ASK 、2FSK 、2PSK 和2DPSK 的信号波形。

已知在2ASK 、2PSK 和2DPSK 中载频为码元速率的2倍；在2FSK 中，0码元的载频为码元速率的2倍，1码元的载频为码元速率的3倍。

解：波形略5-2 已知某2ASK 系统的码元传输速率为1200B ，采用的载波信号为Acos(48π⨯102t ) ，所传送的数字信号序列为101100011：（1）试构成一种2ASK 信号调制器原理框图，并画出2ASK 信号的时间波形；（2）试画出2ASK 信号频谱结构示意图，并计算其带宽。

开关电路cos ωc t(a )(b )(t )(t )图5.2.1-2 2ASK 信号调制原理框图解：（1）2ASK 信号调制器原理框图如图5.2.1-2，2ASK 信号的时间波形略。

图5.2.1-5 2ASK 信号的功率谱（2）2ASK 信号频谱结构示意图如图5.2.1-5，则其带宽为B 2ASK =2f s ＝2400Hz 。

5-3 若对题5-2中的2ASK 信号采用包络检波方式进行解调，试构成解调器原理图，并画出各点时间波形。

解：2ASK 信号采用包络检波的解调器原理图：e1各点时间波形：（下图对应各点要换成101100011）5-4 设待发送的二进制信息为1100100010，采用2FSK 方式传输。

发1码时的波形为A cos(2000π t+θ1) ，发0码时的波形为A cos(8000π t+θ0) ，码元速率为1000B ：（1）试构成一种2FSK 信号调制器原理框图，并画出2FSK 信号的时间波形；（2）试画出2FSK 信号频谱结构示意图，并计算其带宽。

解：（1）2FSK 信号调制器原理框图如下图，时间波形略。

(t )s (t )（2）2FSK 信号频谱结构示意图如下图，其带宽B 2FSK =f 2-f 1+2f s =4000-1000+2⨯1000=5000Hz 。

第五章思考题与习题_5284

第五章思考题与习题_5284

第五章思考题与习题5.1 R 为信息传输率，根据Shannon 第二定理，当码长n →∞时，满足什么关系式，可使错误概率p e →0？5.2 写出Fano 不等式，其中哪一项表示是否判对的疑义度？log (k −1)又表示什么？ 5.3 根据Shannon 定理，说明哪个物理量是保证无差错传输时信息传输率R 的上限值，哪个物理量又是信源可压缩信息的最低极限。

5.4 最大后验概率译码准则就是最小错误译码准则，对吗？ 5.5 极大似然译码准则就是最小错误译码准则，对吗？5.6 在信源等概分布时，极大似然译码准则就是最小错误译码准则，对吗？ 5.7 信道编码以增加冗余度来提高可靠性，这种说法对吗？5.8 离散无记忆信源，熵为H (X )，对信源的L 长序列进行等长编码，码字是长为n 的D 进制符号串，试问满足什么条件时，可实现无失真编码？5.9 二进制删除信道的信道转移概率矩阵位1001δδδδ−⎡⎤=⎢⎥−⎣⎦P ，证明对于此信道来说，极大似然译码准则就等于最小错误译码准则。

5.10 离散无记忆信道DMC ，转移概率矩阵为1/21/61/31/31/21/61/61/31/2⎡⎤⎢⎥=⎢⎥⎢⎥⎣⎦P （1）12311(),(),()24q x q x q x ==14=，求最佳判决译码及误码率p e1；（2）若信源等概分布，求最佳判决译码及误码率p e2。

5.11 设有一离散无记忆信道，其信道转移概率矩阵为1/21/31/61/31/61/21/61/21/3⎡⎤⎢⎥=⎢⎥⎢⎥⎣⎦P ，若信源分布为，按最大后验概率译码，求误码率p e 。

123()2/73/72/7X x x x q X ⎡⎤⎡=⎢⎥⎢⎣⎦⎣⎤⎥⎦5.12 一离散无记忆信道的信道转移概率矩阵为1/21/200001/21/200001/21/200001/21/21/20001/2⎡⎤⎢⎥⎢⎥⎢⎥=⎢⎥⎢⎥⎢⎥⎣⎦P ， （1）找出一个码长为2的重复码（含5个码字），其信息传输率为1log52，按极大似然译码准则设计译码器，若码字等概输入译码器，求译码器输出端的平均错误概率p e 。

现代通信原理 第5章 课后习题及答案

现代通信原理 第5章 课后习题及答案

5-8对基带信号()m t 进行DSB 调制，11()cos 2cos2m t t t ωω=+,112f ωπ=,1500f Hz = ，载波幅度为1。

试：①写出该DSB 信号的表达式，画出其波形； ②计算并画出该DSB 信号的频谱； ③确定已调信号的平均功率。

解：①DSB 信号的表达式为110()()()(cos 2cos2)cos DSB S t m t c t t t t ωωω=⋅=+⋅()m t 及DSB 信号波形如图5.29实线所示。

图5.29②该DSB 信号的频谱为111100*********()()()21[()()2(2)2(2)]2*[()()][()()2(2)2(2)2(DSB S M C ωωωππδωωπδωωπδωωπδωωππδωωπδωωπδωωωδωωωδωωωδωωωδωω=∗ =−+++−++ −++ =−−+−++−−+−+ ++01010101)()2(2)2(2)]ωδωωωδωωωδωωω−+++++−+++频谱图如图5.30所示图5.30③已调信号的平均功率为221122111111111()21(cos 2cos 2)2cos 4cos cos 24cos 2(1cos 2)2(cos3cos )2(1cos 4)12.5 1.252DSB fBP P m t t t t t t tt t t t Wωωωωωωωωωω===+ ++ +++++ ==××1=211= 22 5-9 设SSB 发射机被一正弦信号()m t 调制，1()5cos m t t ω=，112f ωπ=，1500f Hz = ，载波幅度为1。

试：①计算()m t 的希尔伯特变换ˆ()mt ； ②确定下边带SSB 信号的表达式； ③确定SSB 信号的均方根（rms ）值； ④确定SSB 信号的峰值； ⑤确定SSB 信号的平均功率。

解：①1()5cos m t t ω=，其傅里叶变换为11()5[()()]M ωπδωωδωω=−++其希尔伯特变换的频谱为ˆ()sg n ()()Mj M j ωωωπδωωδωω11=−⋅ =5[(+)−(−)]因此，m(t)的希尔伯特变换为1ˆ()[()]5sin m t m t t ω==H②下边带SSB 信号的表达式为00101001ˆ()()co s ()sin 5cos cos 5sin sin 5cos[()]SSB S t m t t m t t t t t t t ωωωωωωωω=+ =⋅+⋅ =− ③以下边带SSB 信号为例，有SSB rms = ==④由下边带SSB 信号表达式可知，信号峰值为 max ()|5SSB S t =⑤SSB 信号平均功率为 225()12.52SSBSSB P S t W === 5-17已知幅度调制信号()AM S t 的总功率为200kW ，调制信号()f t 的最高频率 5 m f kHz =，载波频率810 o f kHz =，边带功率为40kW ，信道中噪声的双边功率谱密度，系统采用包络检波解调。

信息论 - 第5章

信息论 - 第5章

模二和运算的例子
00 0 11 2 2 0
1 0 1
11111 5 2 3 2 1
例
若二元对称信道输入码字长度 n 5 ，选取消息数 M 4 则信息传输率为
log 4 R 0 .4 5
编码方法为： 输入序列
比特/码符号
i ( i i i i i )
与一致监督矩 s0
被称为伴随式
实际上，一致监督矩阵就是r 位校验码的非全零矢量按列 排列而成。
汉明码的信息传输率
对于 码长 n ，信息元 k 4 的汉明码 ( n, k ) ，共有
2 k 个码字
错误译码概率
PE 1 p 5 p p 2 p p 2 7.8 104
在 n3
5
4
3
M 2 的情况下
PE 3 104
log 2 1 R 3 3
有噪信道编码定理（香农第二定理）
设离散无记忆信道[X,P(y|x),Y], P(y|x) 为信道传递概 率，其信道容量为C。当信息传输率R<C时，只要码长n足够 长，总可以在输入Xn符号集中找到M(=2nR)个码字组成的一 组码(2nR,n) 和相应的译码规则，使译码的错误概率任意 小 (PE 0)。
F (b2 ) a 3 F (b ) a 3 3
平均错误概率
PE
Y , X a*
P(b
j
| ai )P(ai ) (0.125 0.05) (0.075 0.075) (0.05 0.125)] 0.5
错误概率与编码方法
0
p 0.99
p 0.01
0.01
1