微分中值定理及其应用大学毕业论文

微分中值定理证明不等式方法研究毕业论文JIU JIANG UNIVERSITY毕业论文题目微分中值定理证明不等式方法研究英文题目Using differential mean valuetheorem proving inequalitymethod studying院系理学院专业数学与应用数学姓名胡霞班级 A0811班指导教师强毅二零一二年五月摘要不等式的证明有很多种，其中微分中值定理是证明不等式的一种重要的方法。

本文分别给出罗尔中值定理,拉格朗日中值定理,柯西中值定理以及泰勒中值定理的定义以及分别利用其定理证明的一些不等式。

新课程标准更加注重理论联系实际且应用实际的原则，因此本文最后还给出一些基本不等式在现实生活中的应用。

关键词:罗尔中值定理；拉格朗日中值定理；柯西中值定理；泰勒中值定理；不等式证明；不等式的应用AbstractThere are many ways to prove inequality，And value theorem to prove the inequality is a kind of important method. This paper will give some examples that use Roller Mean Value Theorem，Lagrange Mean Value Theorem，Cauchy Mean Value Theorem and Taylor Mean Value Theorem to prove inequality. The new curriculum standard pay more attention to the principle that theory with the practice and apply practical，therefore this paper finally give some basic inequality in real life application.Key Word s:Roller Mean Value Theorem; Lagrange Mean Value Theorem; Cauchy Mean Value Theorem; Taylor Mean Value Theorem; Apply of inequality; Prove inequality.目录引言 (1)第一章知识准备 (2)1.1微分中值定理定义 (2)1.2微分中值定理证明不等式的步骤 (3)第二章利用罗尔中值定理证明不等式 (4)2.1罗尔中值定理的意义及分析 (4)2.2 罗尔中值定理的应用 (4)第三章利用拉格朗日中值定理证明不等式 (5)3.1拉格朗日中值定理的意义及分析 (5)3.2拉格朗日中值定理证明不等式 (5)第四章利用柯西中值定理证明不等式 (8)4.1柯西中值定理的分析 (8)4.2柯西中值定理证明不等式 (8)第五章利用泰勒中值定理证明不等式 (11)5.1泰勒中值定理证明不等式的方法归纳 (11)5.2泰勒中值定理证明不等式 (11)第六章综合利用微分中值定理证明不等式 (14)6.1通过求极值点证明不等式 (14)第七章微分中值定理证明不等式在解题中的应用 (16)第八章基本不等式在现实生活中的应用 (18)第九章研究总结 (20)参考文献 (21)致谢 (22)引言不等式是数学中的重要内容,也是数学中的重要的方法和工具.在微分学中,微分中值定理,函数单调性判定定理及极值等重要的结论都可以用来证明不等式.本文通过几个具体的例子来具体说明微分中值定理在证明不等式中的运用,以及不同的微分中值定理在解决证明不等式的区别，并且还给出基本不等式在现实生活中的应用.数学问题的解决关键在于我们对待数学问题的方法，如果在学习数学的过程中，我们能有意识地将数学问题系列化，解决数学问题的方法系列化，那么解决数学问题的能力将会得到升华.在高等数学的学习中，不等式的证明是可以作为一个系列问题来看待的，不等式的证明是数学的重要内容之一，也是难点之一，其常用的方法有：比较法、综合法、分析法、重要不等式法、数学归纳法等，而有一些问题用上述方法解决是困难的，在学完中值定理与导数的应用的内容以后，可以利用微分中值定理、函数的单调性、常数变易法、函数极值性、凸凹性等知识解决一些不等式证明的问题.因此，微分中值定理为证明不等式注入了新的活力，这一创造性思维有效合理的使不等式获得证明，从而体现出初等数学与高等数学的紧密联系.随着时代的发展，科技的进步及课程改革的不断深入，微分中值定理的应用必将渗透到社会领域的方方面面.第一章 知识准备1.1微分中值定理定义微分中值定理是数学分析中非常重要的基本定理.微分中值定理是指罗尔中值定理,拉格朗日中值定理,柯西中值定理以及泰勒中值定理.微分中值定理在数学分析及高等数学中的地位是不容置疑的,且在解题中的应用也是十分广泛的.在这里我们就利用微分中值定理证明不等式的方法作一简述.首先我们要先介绍一下微分中值定理:定理1 罗尔中值定理:如果函数()f x 在闭区间[],a b 上连续,在开区间(),a b 内可导,且满足()()f a f b =,那么在(),a b 内至少存在一点ξ,使得()0f ξ'=.定理2 拉格朗日中值定理:如果函数()f x 在闭区间[],a b 上连续,在开区间(),a b 内可导, 那么在(),a b 内至少存在一点ξ,使得()()()()f b f a f b a ξ'-=-.当函数()f x 在(),a b 内的变化范围已知时,有()m f x M '≤≤,于是可以利用拉格朗日定理来证明()()()()m b a f b f a M b a -≤-≤-一类的不等式.定理3 柯西中值定理:如果函数(),()f x g x 在闭区间[],a b 上连续,在开区间(),a b 内可导,且()g x '在(),a b 内每一点均不为零,那么在(),a b 内至少存在一点ξ,使得()()()()()()f b f a fg b g a g ξξ'-='-. 定理4 泰勒中值定理:如果函数()f x 在含有点0x 的区间D 上有直到(1)n +阶的导数,则函数()f x 在D 内可表示成一个多项式()n P x 与一个余项式()n R x 的和:20000000()()()()()()()...()()2!!n n n f x f x f x f x f x x x x x x x R x n '''=+-+-++-+. 其中11()()()(1)!n n n f R x x n ξξ++=-+,0(,)x x ξ∈. 注:当0n =时,即为拉格朗日中值定理,所以泰勒中值定理是拉格朗日中值定理的推广.这个公式又称为带有朗格朗日型余项的泰勒公式.1.2微分中值定理证明不等式的步骤在微分学中,微分中值定理在证明不等式中起着很大的作用,我们可以根据不等式的两边的代数式选取不同的函数()f x ,应用微分中值定理得出一个等式之后,对这个等式根据x 取值范围的不同进行讨论,得到不等式,以下通过例子来说明微分中值定理在证明不等式的应用.因此给出利用微分中值定理证明不等式的步骤（1） 构造辅助函数()f x（2）构造微分中值定理需要的区间[]b a ,（2） 利用()b a ,∈ξ，对f ,ξ进行适当的放缩第二章 利用罗尔中值定理证明不等式2.1罗尔中值定理的意义及分析罗尔中值定理的几何意义:在满足定理条件下,在曲线()y f x =上必有一点,使得过该点(,())P f ξξ的切线平行于x 轴.在一般情况下,利用罗尔中值定理很容易证明关于方程的根的问题,但是仅用罗尔中值定理却很难证明不等式,所以在利用罗尔中值定理证明时要综合利用其他的微分中值定理.2.2 罗尔中值定理的应用例1 设函数()f x 在[]b a ,上连续，在()1,0内可导，且()()010==f f .证明：()1,0内必存在一点ξ，使得ξξξ-'=''1)(2)(f f . 分析：由结论令)(2)()1()(x f x f x x F '-''-=''→⎰''='dx x F x F )()(⎰=()[])()()1()(2)(1x f x f x dx x f x f x -'-='-''-→()[])()1()()(1)()(x f x dx x f x f x dx x F x F -=-'-='=⎰⎰.证明：令)()1()(x f x x F -=，由于)(x F 在[]1,0上连续，在()1,0内可导，且)()()1()(x f x f x x F -'-='，又0)1()0(==F F ,则由罗尔定理知：存在()1,0∈c ，使得0)()()1()(=-'-='c f c f c c F ，又0)1()1(=-='f F ，从而)(x F '在()1,c 上.再由罗尔定理知：必存在一点()()1,01,∈∈c ξ，使得0)(2)()1()(='-''-=''ξξξξf f F 即ξξξ-'=''1)(2)(f f第三章 利用拉格朗日中值定理证明不等式3.1拉格朗日中值定理的意义及分析拉格朗日中值定理的几何意义:在满足定理条件下,在曲线()y f x =上必有一点(,())P f ξξ,使得过该点的切线平行于曲线两端点的连线(,())a f a ,(,())b f b 两点的弦.我们在证明中引入的辅助函数()()()()()()f b f a F x f x f a x a b a-=----,正是曲线()y f x =与弦线之差.拉格朗日中值定理是罗尔中值定理的推广,当()()f a f b =时,本定理即为罗尔中值定理的结论,这表明罗尔中值定理是朗格朗日定理的一个特殊情形()y f x =.拉格朗日中值定理的其它表示形式:(1) ()()()()f b f a f b a ξ'-=-,a b ξ<<; (2) ()()(())()(01)f b f a f a b a b a θθ'-=+--<<; (3) .0,)()()(h h h a f a f h a f <<+'=-+θθ值得注意的是:拉格朗日中值定理无论对于a b <,还是a b >都成立.而ξ则是介于a 与b 之间的某一定数,而(2),(3)两式的特点,在于把中值点ξ表示成了()a b a θ+-,使得不论a ,b 为何值,θ总可为小于1的某一整数.3.2拉格朗日中值定理证明不等式 例2 (1)如果0x >,试证ln(1)1xx x x<+<+; (2)求证: arctg arctg αβαβ-≤-.证明 (1)令()ln(1)f x x =+,()f x 在区间[]0,(0)x x >上连续,在()0,(0)x x >内可导,应用拉格朗日中值定理,则有ln(1)ln(1)1xx ξ+-=+,(0,)x ξ∈. 由于在闭区间[]0,x 上,有11x x x x ξ<<++,所以ln(1)1x x x x<+<+(0)x >.(2)当αβ=时,显然等号成立.当αβ≠时,不妨设αβ>.设()(),,f x arctgx x βα=∈, 由拉格朗日中值定理得,211arctg arctg αβαβξ-=-+ ,(,)ξβα∈. 则有 21()1arctg arctg αβαβξ-=-+ 所以 21()1arctg arctg αβαβαβξ-=-≤-+. 以上两个例子都是利用拉格朗日中值定理来证明不等式,有些不等式利用此定理时,方法要灵活些.例3 当0x ≥时,函数()f x 在其定义域上可导,且()f x '为不增函数,又()0f x =, 0,1,2,...,,i x i n ≥=求证 11()()nni i i i f x f x ==≤∑∑.证明 用数学归纳法 当1n =时,显然不等式成立.当2n =时,若12,x x 均为0,或者一个为0时,当一个为0时, 显然有 1212()()()f x x f x f x +=+.设12,x x 均大于0,不妨设12x x ≤,在[]10,x 应用拉格朗日中值定理可得:()1111111()()(0)(),0,0f x f x f f x x ξξξ-'==∈-. 在[]212,x x x +上再次利用拉格朗日中值定理可得:()122122222121122()()()()(),,f x x f x f x x f x f x x x x x x x ξξ+-+-'==∈++-显然12ξξ<,由题设知, 12()()f f ξξ''≥. 所以122111()()()f x x f x f x x x +-≤,即 )()()(2121x x x x f f f +≤+.假设当n k =时不等式成立,即 11()()k ki i i i f x f x ==≤∑∑.取1111()()k ki i k i i f x f x x ++===+∑∑,显然10k x +=的情况不证而明,,所以只考虑10k x +>的情况.取1ki i u x ==∑,由前面已证的结论有11()()()k k f u x f u f x +++≤+,再用归纳假设可得 1111()()k k i i i i f x f x ++==≤∑∑,即当1n k =+时结论成立.所以. 11()()n ni i i i f x f x ==≤∑∑.第四章 利用柯西中值定理证明不等式4.1柯西中值定理的分析柯西中值定理是研究两个函数(),()f x g x 的变量关系的中值定理,当一个函数(不妨设此函数为()g x )取作自变量自身时它就是拉格朗日中值定理,所以用拉格朗日中值定理能证明的不等式一定能用柯西中值定理来证明,反之则不然.下面举例来说明:对例2用柯西中值定理证明,这里仅用第一个小题来说明,其证法如下: 证明 (1)令()ln(1)f x x =+,()g x x=.(),()f x g x 在区间[]0,(0)x x >上连续,在()0,(0)x x >内可导,且()g x '在[]0,(0)x x >内每一点都不为零,那么由柯西中值定理可得:ln(1)ln(1)1(1)11x x ξ+-=+-+,(0,)x ξ∈则有 ln(1)ln(1)1xx ξ+-=+,(0,)x ξ∈. 下面与例2中解法同,这里就不再赘述了.4.2柯西中值定理证明不等式例4 (1)设0x >,对01α<<的情况,求证: 1x x ααα-≤-. (2)设0x >，求证: sin 1x x e <-. 证明 (1)设xx f α=)(,x x g α=)(.当1x =时结论显然成立.当1x ≠时,取[],1x 或[]1,x ,(),()f x g x 在闭区间[],1x 或[]1,x 上连续,在开区间(),1x 或()1,x 可导,且()g x '在内(),1x 或()1,x 每一点均不为零,由柯西中值定理可得:()(1)()()(1)()f x f fg x g g ξξ'-='-,(,1)x ξ∈或(1,)x ξ∈即111x x ααααξξααα---==-. 所以1x x ααα-≤-得证.(2)设()sin f t t =,()t g t e =,[]0,t x ∈,(),()f x g x 在闭区间[]0,x 上连续,在开区间()0,x 内可导,且()g x '在()0,x 内每一点均不为零,那么由柯西中值定理可得:()(0)()()(0)()f x f fg x g g ξξ'-='-,()0,x ξ∈.即 sin cos 1tx e e ξξ=-,()0,x ξ∈. 因为10x e ->,10e ξ>>,所以sin cos 11t x e eξξ=<-. 即 sin 1x x e <-.注意:例4中的两个不等式能用柯西中值定理来证明,但不能用拉格朗日中值定理证明.例 5 如果函数()f x 满足两个条件:(1)在闭区间[],a b 上有二阶导数()f x ''; (2) ()()0f a f b ''==.试证明:在开区间(),a b 内至少存在一点c , 使得 24()()()()f c f b f a b a ''≥--.证明 令24()()()k f b f a b a =--.在此我们利用用反证法来证明本题, 我们不妨假设()f x k ''<,a x b <<.对于构造的辅助函数[]000()()()()()F x f x f x f x x x '=-+-及20()()G x x x =-(其中0x 是[],a b 中任意固定的一点),两次利用柯西中值定理,可得:200001()()()()()()2f x f x f x x x x x f ξ'''=+-+-其中ξ介于0x 与x 之间(即0x x ξ<<或0x x ξ<<),x 为[],a b 上任意点,特别地,在上式中取0x a =,2a bx +=,并利用已知条件()0f a '=,则有:21()()()()28a b b a f f a f c +-''=+,其中1c 满足12a b a c +<<,于是 2()()()28a b b a f f a k +--<. 同理再取0x b =,2a bx +=,并利用已知条件()0f b '=,则得: 22()()()()28a b b a f f b f c +-''=+,其中2c 满足22a b c b +<<.于是: 2()()()28a b b a f b f k +--<. 因此,2()()()()()()()()()224a b a b b a f b f a f b f f f a k f b f a ++--≤-+-<=-.这是不可能的.所以在区间(),a b 内至少存在一点c , 使得 24()()()()f c f b f a b a ''≥--.第五章 利用泰勒中值定理证明不等式5.1泰勒中值定理证明不等式的方法归纳泰勒公式的余项大体分两种:佩亚诺型余项,拉格朗日型余项.与带拉格朗日型余项的泰勒公式相比,带佩亚诺型余项的泰勒公式对函数()f x 的假设条件较少,只需函数()f x 在0x 处n 阶可导,不需要1n +阶可导,也不需要在0x 的邻域内存在n 阶连续导数,因此应用范围较广.但是在证明不等式时,精确度却不如带拉格朗日型余项的泰勒公式好.利用此原理可以证明一般的不等式,积分不等式,估值不等式等多种不等式,这种方法的用法非常广泛.证明方法:(1)根据已知条件,围绕证明目标,寻取适当的点将函数在该点展成泰勒展式. (2)根据已知条件,向着有利于证明不等式的方向对上面的展式作适当的处理,直到可以结合已知条件证出不等式为止.5.2泰勒中值定理证明不等式例6 当02x π<<时,求证:2221200(1)sin (1)(21)!(21)!k k k kn n k k x x x k x k -==--<<++∑∑.分析:由于朗格朗日中值定理很容易证明sin 01xx<<, 而利用泰勒中值定理时,当1n =时,不等式为:224sin 113!3!5!x x x x x -<<-+. 显然第二个比前一个的不等式的精确度高得多,随着n 的增大,不等式的精确度会大幅度地提高,所以我们在做题过程中,按题目的要求来选择适当的方法来证明不同的不等式.证明 令()sin f x x =,那么函数()f x 在00x =点展开前2n 项的泰勒公式, 余项取拉格朗形式,那么有:212430(1)sin ()(21)!k k nn k x x R x k ++=-=++∑43434343433sin()sincos 2()(43)!(43)!(43)!n x n n n n x R x x x x n n n ξπξξ+=+++++-===+++. 因为02x πξ<<<,所以cos 0ξ>,从而21()0n R x +<,所以有 2120(1)sin (21)!k k nk x x k +=-<+∑.即 220(1)sin (21)!k knk x x k =-<+∑.同理,因为412sin()2()0(41)!n n R x x n πξ++=>+,所以左端的不等号也成立. 另外,在遇到高阶导数的不等式,一般都首先考虑泰勒中值定理.像之前的例4.我们也可以用泰勒中值定理来证明,下面具体来说明:例5的另一种证法: 由题设条件,应用泰勒展开式有:211()()()()()2222a b b a b a f f a f a f ξ+--'''=++, 221()()()()()2222a b a b a b f f b f b f ξ+--'''=++,其中1ξ介于a 与2a b +之间,2ξ介于2a b+与b 之间.上述两式相减,且有()()0f a f b ''==,得:2211()()()[()()]22a b f b f a f f ξξ-''''-=⋅-, ()221()()()()()8a b f b f a f f ξξ-''''-≤+.令21max{(),()}()f f f ξξξ''''''=,(,)a b ξ∈,则有:2()()()()4a b f a f b f ξ-''-≤,(,)a b ξ∈.即 24()()()()f f b f a b a ξ''≥--.例7 设函数()f x 在[],a b 上二阶可导,且()0f x ≥,()0f x ''<.求证:对任意的[],x a b ∈,有2()()ba f x f tb a≤-⎰. 证明: 对任意的[],x a b ∈,将()f x 在t 点展开[](,)t a b ∈.2()()()()()()2!f f x f t f t x t x t ξ''=+-+-(其中ξ介于x 与t 之间). 注意到()0f x ''<,所以有()()()f x f t f x t '≤+-. 对上述不等式的两边对t 积分,得:()()()()bb baaaf x dt f t dt f t x t dt '≤+-⎰⎰⎰()()()()()()bbba aab a f x f t dt f x x t f t dt -≤+-+⎰⎰2()()()()()baf t dt f b x b f a x a =+---⎰因为()0()()()()0f x f b x b f a x a ≥⇒---≤.所以2()()ba f x f tb a≤-⎰.第六章 综合利用微分中值定理证明不等式6.1通过求极值点证明不等式利用拉格朗日中值定理能够很方便的判断出函数的单调性,其方法是:如果函数()f x 在[],a b 上连续,在(),a b 内可导,则有:(1)如果在(),a b 内函数()f x 的导数()0f x '>,则函数()f x 在[],a b 上单调增加; (2) 如果在(),a b 内函数()f x 的导数()0f x '<,则函数()f x 在[],a b 上单调减少.另外,函数()f x 在(),a b 内除有个别点外,仍有()0f x '>(或()0f x '<),则函数()f x 在[],a b 上单调增加(或减少)的,即连续函数在个别点处无导数并不影响函数的单调性.再利用函数的单调性及函数图象上峰值点与各极值点的性质,便可以方便地求出函数的极值,从而证明出不等式.其方法为:确定函数()f x 的定义域,然后求出定义域内的所有驻点,并找出()f x 连续但()f x '不存在的所有点,讨论所有驻点和不可导点左右两侧附近()f x '的符号变化情况,确定函数()f x 的极值点,并求出相应的极大值点与极小值点,从而进一步证明不等式.例8 求证 (1)当0x >时,证明2ln(1)2x x x +>-成立.(2)当(0,)2x π∈时,证明tan sin x xx x >成立. 证明 (1)令2)1ln()(2xx x x f +-+=,因为函数()f x 在[0,)+∞上连续,在(0,)+∞内可导,且 21()111x f x x x x'=-+=++. 当0x >时,2()01x f x x'=>+,所以当0x >时,函数()f x 是单调递增的.故当0x >时,有:()(0)0f x f >=,即()0f x >,从而 2ln(1)2x x x +>-成立.(2)因为(0,)2x π∈,所以sin 0x >,tan 0x >.令函数2()sin tan f x x x x =-,则有:21()sin sec sin 2tan (cos )cos f x x x x x x x x'=+-=+因为(0,)2x π∈时, 1cos 2cos x x+>,tan x x >,所以()0f x '>.即()f x 在(0,)2x π∈时严格递增的,又因为0)0(=f ,所以()0((0,))2f x x π>∈,即tan sin x xx x>成立. 例9 设函数()f x 在闭区间[],a b 上二次可微,且满足()0f x ''>, 试证:当a x b <<时,有不等式:()()()()f x f a f b f a x a b a--<--成立. 证明 令()()()f x f a x x a ϕ-=-,那么()()()()f x f x a x x aξϕξ''-'=<<-.由于()0f x ''>,可知()f x '在闭区间[],a b 上是严格递增的,即()()f x f ξ''>, 从而有 ()0x ϕ'>,故函数()x ϕ在闭区间[],a b 上也是严格递增的,于是当[],x a b ∈时,有:()()x b ϕϕ<,即 ()()()()f x f a f b f a x a b a--<--成立.第七章 微分中值定理证明不等式在解题中的应用例10 a>1,n 1≥.证明 ()na aa an n n n an 2111111ln 12<-<+++分析：即证 ()a ana a a n a n n nn ln ln 211112111<-<+++注意：()a a a x x ln =' 对a x x f =)(用微分中值定理 证明：令a xx f =)()(111)11()1(ξf n n n f n f '=+-+- )111(nn ，+∈ξ 即 a n n a a an nln )1(1111ξ=+-+ ()na aa a n a nn nn n n a21111211)1(ln 1<+=-<+++ξ例11 设0<a<b ，证明不等式ab a b aba --<+ln ln 222证明：)(b a ，∈∃ξ ξξ1ln ln /)(ln ==--'=x x ab a bab aba111222<<<+ξ b a ab 222+< aab11<即证例12：证明不等式（1）；，，，1022>>≥+⎪⎭⎫ ⎝⎛+n y x y x y x nnn（2）y x ee ey x yx≠>++，22证明：（1）设()x f =x n ,则当n>1时xn n x f 1)(-=' 00)1()(2>∀>-=''-x n n x f x n ，所以()x f 在（0，+∞）上严格下凸，因而；，，，1022>>≥+⎪⎭⎫ ⎝⎛+n y x y x y x nnn(2)设()x f =e x ,则()，，，∞+∞-∈>=''='x x f x f e x0)()( 所以()x f 在()∞+∞-，上严格下凸，因而y x ee e yx yx≠>++，22例13 设()x f 在[]b a ,连续，在()b a ,二阶可导，证明存在()b a ,∈η 使()())(2222ηf b a f a f b f a b ''=⎪⎭⎫ ⎝⎛+-+⎪⎭⎫ ⎝⎛-证明：设()()⎪⎭⎫ ⎝⎛---=2a b x f x f x g 由于 (),22a f b a f b a g -⎪⎭⎫ ⎝⎛+=⎪⎭⎫ ⎝⎛+ ()()⎪⎭⎫ ⎝⎛+-=2b a f b f b g 在区间⎥⎦⎤⎢⎣⎡+b b a ，2上对()x g 应用Lagrange 中值定理，即得到()()()()⎪⎭⎫ ⎝⎛-=⎪⎭⎫⎝⎛+-=⎪⎭⎫ ⎝⎛+-+'2222a b b a g b g b a f a f b f g ξ()⎪⎭⎫ ⎝⎛-⎥⎦⎤⎢⎣⎡⎪⎭⎫ ⎝⎛--'-'=22a b a b f f ξξ ()⎪⎭⎫ ⎝⎛-''=22a b f η即证第八章 基本不等式在现实生活中的应用数学是来源于生活且应用于生活.在新课标的标准下，我们的课程标准更加注重理论联系实际，摆脱曾经所出现的“书呆子”一说.无一例外，基本不等式在现实生活中有着广泛的应用，下面举例介绍如何利用基本不等式解决生活中的实际问题.一 商品销售价格例14 某商品进货价每件50元，据市场调查，当销售价格每件x 元（50<x ≤80）时，每天销售件数为=p )40(1025-x ,若想每天获得的利润最多，则销售价格为多少元？分析：利润=销售数X （销售价格—进货价格），再利用基本不等式可求得利润最大值.解：由题意知x>50元时，可知利润：)1050(10)40(102525)50()50(+---=-=x x x x p2050100)50(100)50(20)50(10)50(10525+-+-=+-+-=-x x x x x因为x-50>0，所以2050100)50(≥-+-x x ，当且仅当5010050-=-x x ，即x=60或x=40（不合题意）时，p=2500成立.所以当销售价格为每件60元时，每天获得利润最多.二 节省纸张问题例15 在一页书上所印文字要占S cm 2,上下页空白处要留a cm 宽，左右要留b cm 宽，若从节约纸张出发，如何设计书页的高和宽的尺寸最为有利？解：设书页的高为x cm,宽为y cm ，则书页的面积为cm S xy 21=. 因为（x-2a ）(y-2b)=S,所以b ax Sy 22+-=，)2(221b x bx x a x S S >+-=. abS ab S a x b ax aSab S a x b a x aS ab S s 44)2(22224)2(22241++=-•-++≥-+-++= 当且仅当)2(222a x b a x aS-=-，即baS a x +=2时，S1取最小值为abS ab S 44++.此时所求的书页的高为,2cm b aS a x +=宽为cm abSb y +=2.所以书页高为cm baS a +2,宽为cm a bSb +2时最省纸张.三 费用最少例16 近年随着我国国民经济的发展，人们的经济收入明显提高，生活状况越来越好，据有关部门抽样调查的结果显示，我国城乡居民拥有量比2005年初翻了一番.某种汽车，购车费是10万元，每年支付的保险费、养路费、汽油费约为0.9万元，年维修费第一年是0.2万元，以后逐年递增0.2万元，这种汽车使用多少年时，它的平均费用最少？解：设用x 年平均费用最少，由于年维修费第一年是0.2万元，以后逐年递增0.2万元，可知汽车维修费构成以0.2万元为首项，0.2万元为公差的等差数列，因此汽车x 年总的维修费用为x x 22.0)1(2.02.0-++万元.设汽车平均费用为y 万元，则有：x x x x x x y x 21.01022.0)1(2.02.09.010++=•-++++= 32110101=+≥++=xx . 当且仅当1010x x=，即x=10时，它的平均费用最少.第九章研究总结通过本论文的写作，我们可以看出微分中值定理在证明不等式方面的贡献.其实，在我们数学的学习中，很多地方都用到了微分中值定理.可见，微分中值定理不仅在不等式方面，在其他高等数学中也有很大的贡献.本文主要是通过罗尔中值定理，柯西中值定理，拉格朗日中值定理，泰勒中值定理来证明不等式.由于新课程标准注重理论联系实际原则，且数学是来源于生活、应用于生活.因此，本文在最后给出了不等式在现实生活中的应用.从中学阶段，我们就开始接触了不等式，并且也学会了不少解决不等式的方法.如分析法、级数法、对数法、导数法、综合法、数学归纳法等等.在学习了微分中值定理证明不等式后，我们将对不等式有了更深刻的理解，也体现出初等数学与高等数学的联系，培养我们的思维能力和逻辑推理能力，提高解题效率，锻炼了学生的创造性思维和发散思维.一题多解也是现代素质教育所提倡的解题方法，学生在学习了微分中值定理证明不等式后，对不等式的证明有了更多的解题方法.这样可以促使学生在今后解决不等式方面的问题时可以根据需要灵活的选用解题方法.参考文献[1]D.S.密斯特利诺维奇.解析不等式[M].北京:科学出版社.1987.[2]Γ.Μ.菲赫金哥尔茨.微积分学教程（第八版）.北京:高等教育出版社.2006．[3]Ｒ.科朗等.微积分和数学分析引论[M].北京:科学出版社.2002.[4]华东师范大学数学系.数学分析[M].北京:高等教育出版社,1991.[5]裴礼文.数学分析中的典型问题与方法[M].北京:高等教育出版社,1994.[6]刘玉莲.数学分析讲义[M].北京:高等教育出版社,1999.[7]林丽绿.利用微分中值定理证明不等式[J].泉州师专学报,1997,第一卷.[8]赵文祥.微分中值定理与不等式[J].天津电大学报,2007,增刊.[9]孙学敏.微分中值定理的应用[J].数学教学研究,2008,第28卷第10期.[10]邵士敏．高等数学基础[M]．科学出版社，2000．11.[11]陈光曙．大学数学（理工类）上册[M]．同济大学出版社，2007.2[12] 汪荷仙. 高等数学解题方法指导[M].成都科技大学出版社， 1995.12[13] 马德炎. 常见的代数不等式的证明[J].高等数学研究.2009（5）27-29.[14] Black, F, M. Jensen, and M. Stoles, “The Capital Asset Pricing Model: SomeEmpirical Tests”, in Jensen, M “Studies in the Theory of Capital”, 1972 [15] Cox, J, Ingersoll, J. E. and S.A. Ross, 1985b, A theory of term structure ofinterest rates, Econometrical, 53,385-407.[16] Engle, Robert F, 2000, “The econometrics of Ultra-High-Frequency Data”,Econometrical, Vol. 68, No. 1, 1-22.[13]AI Jing-hua. Characters Equal Definitions and application of Convex Function[J].Journal of Kaifeng University, Vol.17, No.2,Jun.2003.122-164.[14] W. Rmdin, Principle of Mathematical Analysis （Second edition）, McGraw-Hill , New York, 1964.96-102.致谢本文是在强毅老师的悉心教诲指导下完成的，在论文的写作过程中遇到了无数的困难和障碍，但强毅老师一直都本着细心、严谨的态度对我的论文进行指导.由于我的知识水平有限，在完成一稿时，论文基本上是不成型的，不管是内容、格式，各方面都存在非常大的缺陷.强毅老师对我的论文耐心的分析，然后教导我本论文的研究方向，给我列出论文大纲，指引我如何进行二稿的修改.二稿结束后，虽然比一稿有了很大的进步，但在强毅老师严谨治学、耐心批改下，还是发现了很多的瑕疵.论文排版、格式、字体等很多细节上都存在不少问题.所以，在论文三稿时，在这方面就有了很大的改善.在论文的写作过程中，我还查找了图书馆的不少资料，以及向同学请教了很多问题.所以，在此，向图书馆的老师及同学表示忠心的感谢.由于我的学术水平有限，论文还有很多不足，恳请各位老师和学友批评和指正!。

微分中值定理的应用微分中值定理是微积分中的重要定理之一，它有着广泛的应用。

本文将讨论微分中值定理在各个领域中的应用，以展示该定理的实际价值。

首先，微分中值定理在物理学领域中被广泛应用。

在运动学中，通过对位移、速度和加速度的关系进行微分运算，并应用微分中值定理，可以得出物体在某一时刻的速度与实际速度之间的关系。

这对于分析物体的运动规律以及建立运动模型具有重要意义。

其次，微分中值定理在经济学领域中的应用也非常显著。

在经济学中，市场需求和价格之间存在着紧密的关系。

通过应用微分中值定理，可以得出在某一时刻市场均衡价格的存在性及其与市场需求的关系。

这对于制定经济政策、分析市场波动以及预测商品价格具有重要影响。

此外，微分中值定理在工程学领域也发挥着重要作用。

在工程设计中，经常需要估计材料的特性以及构件的强度。

通过应用微分中值定理，可以推导出在某一点上材料的变形与材料特性之间的定量关系，进而对构件的强度进行评估和优化。

另外，微分中值定理在计算机科学领域中也具有广泛的应用。

在图像处理中，通过应用微分中值定理，可以实现图像边缘检测和轮廓识别等计算机视觉任务。

此外，在机器学习和数据分析中，微分中值定理可用于优化算法和模型训练，提高模型的收敛速度和预测准确性。

总结来说，微分中值定理在物理学、经济学、工程学和计算机科学等领域中都有着广泛的应用。

这些应用凸显了微分中值定理在理论研究和实际问题解决中的重要性和实用性。

通过对微分中值定理的深入理解和应用，我们可以更好地理解自然规律和现象，并利用它们来推动科学技术的发展和社会进步。

总之，微分中值定理作为微积分中的重要定理，在各个领域中都有着广泛的应用。

通过运用微分中值定理，我们可以推导出各种现象之间的定量关系，从而提高问题的解决效率和准确性。

值得指出的是，微分中值定理只是微积分中的一个基础定理，它的应用远不止于此，它为我们开启了更深层次的数学探索和实践应用的大门。

对于理解微积分的精髓和掌握实际问题解决的方法论，微分中值定理的学习和应用是不可或缺的一部分。

微分中的中值定理及其应用微分中的中值定理是微积分中的基本定理之一，它在数学和物理学中具有重要的应用。

本文将介绍微分中的中值定理及其应用，并展示其在实际问题中的解决方法。

一、中值定理的概念与原理中值定理是微分学中的重要理论，它涉及到函数在某个区间上的平均变化率与瞬时变化率之间的联系。

其中最常见的三种形式为：罗尔定理、拉格朗日中值定理和柯西中值定理。

1. 罗尔定理罗尔定理是中值定理的基础，它的表述为：如果函数f(x)在闭区间[a, b]上连续，在开区间(a, b)上可导，并且满足f(a) = f(b)，则在开区间(a, b)上至少存在一点c，使得f'(c) = 0。

罗尔定理可通过对函数在该区间的最大值和最小值进行讨论得出，它主要用于证明函数在某一区间上恒为常数的情况。

2. 拉格朗日中值定理拉格朗日中值定理是中值定理的一种推广，它的表述为：如果函数f(x)在闭区间[a, b]上连续，在开区间(a, b)上可导，则至少存在一点c，使得f'(c) = (f(b) - f(a))/(b - a)。

拉格朗日中值定理的证明可以通过构造辅助函数g(x) = f(x) - [(f(b) - f(a))/(b - a)]x来完成，它可以将任意两点间的斜率与函数在某一点的导数联系起来。

3. 柯西中值定理柯西中值定理是拉格朗日中值定理的进一步推广，它的表述为：如果函数f(x)和g(x)在闭区间[a, b]上连续，在开区间(a, b)上可导，并且g'(x)≠0，则至少存在一点c，使得[f(b) - f(a)]/g(b) - g(a) = f'(c)/g'(c)。

柯西中值定理可以用来研究函数间的关系，它提供了一种描述两个函数在某一区间上的变化率相等的条件。

二、中值定理的应用中值定理不仅仅是一种理论工具，还具有广泛的应用。

下面将介绍中值定理在实际问题中的应用案例。

1. 最速下降线问题最速下降线问题是求解两个给定点之间的最短路径问题。

微分中值定理摘 要微分中值定理，是微分学的核心定理，研究函数的重要工具，历来受到人们的重视。

本文介绍了三个微分中值定理及其证明，并且举出几种中值定理的应用。

关 键 词 微分中值定理 罗尔定理 朗格朗日中值定理 柯西中值定理1、引言人们对微分中值定理的认识上溯到公元前古希腊时代，古希腊数学家在几何研究中，得到这样的结论：“过抛物线弓形的顶点的切线必平行于抛物线的底”，这正是拉格朗日定理的特殊情况。

希腊著名数学家阿基米德（Archimedes ，公元前287—前221）正式巧妙地利用这一结论，求出抛物弓形的面积。

人们对微分中值定理的研究，从微积分建立之始就开始了，按时历史顺序：1673年著名法国数学家费马（Fermat ，1601—1665）在《求最大者最小值的方法》中给出费马定理，在教科书中，人们通常将它作为微分中值定理的第一个定理。

1691年法多数学家罗尔(Rolle ，1652—1719)在《方程的解法》一文中给出多项式形式的罗尔定理。

1797年，法国数学家拉格朗日（Lagrange ，1736—1813）在《解析函数论》中给出拉格朗日定理，并给出最初的证明。

对微分中值定理进行系统研究的是法国数学家柯西（Cauchy ，1789—1857），他首先赋予中值定理以重要作用，使其成为微分学的核心定理。

在《无穷小计算教程概论》中，柯西首先严格地证明了拉格朗日定理，又在《微分计算教程》中将其推广为广义中值定理—柯西定理，从而发现了最后一个微分中值定理。

2、中值定理及证明：1) Rolle 定理若()f x 在[],a b 上连续，在(),a b 内可导，且()()f a f b =，则至少存在一点(),a b ξ∈，使()0f ξ'=。

证明：因为f 在［a,b ］上连续，所以有最大值与最小值，分别用M 与m 表示，现分两种情况讨论：(i)若M = m , 则 f 在［a,b ］上必为常数，从而结论显然成立。

积分中值定理在数学分析中的应用(优秀毕业论文)毕业论文题目积分中值定理在数学分析中的应用学生姓名李正邦学号0609014168所在院(系) 数学系专业班级数学与应用数学专业2006级5班指导教师李金龙完成地点陕西理工学院2010年 5月 30日积分中值定理在数学分析中的应用优秀论文范慕斯（云南师范大学数学学院数学与应用数学专业20111级2班）指导老师：成龙[摘 要] 本文主要介绍了积分中值定理在数学分析中应用时的注意事项及几点主要应用,这些应用主要是：一.求函数在一个区间上的平均值;二.估计定积分的值;三.求含有定积分的极限;四.确定积分的符号;五.证明中值ξ的存在性命题;六.证明积分不等式;七.证明函数的单调性.[关键词] 积分;中值;定理;应用1 引言积分中值定理是数学分析中的主要定理之一,同时也是定积分的一个主要性质,它建立了积分和被积函数之间的关系,从而我们可以通过被积函数的性质来研究部分的性质,有较高的理论价值和广泛应用.本文就其在解题中的应用进行讨论.2 预备知识定理 2.1[1](积分第一中值定理) 若()x f 在区间[a,b]上连续,则在[a,b]上至少存在一点ξ使得()()()b a a b f dx x f b≤≤-=⎰ξξ,a.证明 由于()x f 在区间[a,b]上连续,因此存在最大值M 和最小值m .由()],[,b a x M x f m ∈≤≤,使用积分不等式性质得到()()()a b M dx x f a b m ba-≤≤-⎰,或()()M dx x f a b m b a ≤-≤⎰1. 再由连续函数的介值性,至少存在一点[]b a ,∈ξ,使得()().1dx x f a b f ba⎰-=ξ定理 2.2[1] (推广的积分第一中值定理) 若()()x g x f ,在闭区间[]b a ,上连续,且()x g 在[]b a ,上不变号,则在[]b a ,至少存在一点ξ,使得()()()().,b a dx x g f dx x g x f bab a≤≤=⎰⎰ξξ证明 推广的第一中值积分定理不妨设在[]b a ,上()0≥x g 则在[]b a ,上有()()()()，x Mg x g x f x mg ≤≤ 其中m ,M 分别为()x f 在[]b a ,上的最小值和最大值,则有()()()(),dx x g M dx x g x f dx x g m bab ab a⎰⎰⎰≤≤若()0=⎰dx x g ba ,则由上式知()()0=⎰dx x g x f ba,从而对[]b a ,上任何一点,定理都成立.若()0≠⎰dx x g ba则由上式得()()(),M dxx g dx x g x f m b aba≤≤⎰⎰则在[]b a ,上至少存在一点ξ,使得()()()(),⎰⎰=b abadxx g dx x g x f f ξ 即()()()().,b a dx x g f dx x g x f baba≤≤=⎰⎰ξξ显然,当()1≡x g 时,推广的积分第一中值定理就是积分中值定理3 积分中值定理的应用由于积分中值定理可以使积分号去掉,从而使问题简化,对于证明包含函数积分和某个函数值之间关系的等式和不等式,也可以考虑使用积分中值定理.在使用积分中值定理时要注意以下几点：(1) 在应用中要注意被积函数在区间[]b a ,上连续这一条件,否则,结论不一定成立.例如显然()x f 在0=x 处间断.由于()()()()⎰⎰⎰⎰⎰=+-=+=--40440444,0cos cos ππππππxdx dx x dx x f dx x f dx x f但⎥⎦⎤⎢⎣⎡-4,4ππ在上,()0≠x f ,所以,对任何⎥⎦⎤⎢⎣⎡-4,4ππ都不能使 ()()ξππf dx x f 244=⎰-.(2) 定理中的在区间上不变号这个条件也不能去掉. 例如 令()(),2,2,sin ,sin ⎥⎦⎤⎢⎣⎡-∈==ππx x x g x x f由于()()()0|cos sin 21sin 2222222=-==---⎰⎰ππππππx x x xdx dx x g x f ,但()⎰⎰--==2222,0sin ππππxdx dx x g所以,不存在⎥⎦⎤⎢⎣⎡-∈2,2ππξ, 使()()()().2222dx x g f dx x g x f ⎰⎰--=ππππξ(3) 定理中所指出的ξ并不一定是唯一的,也不一定必须是[]b a ,的内点.例如令()[]b a x x f ,,1∈=,则对[],,b a ∈∀ξ都有()()()a b f dx x f ba-=⎰ξ,这也说明了ξ未必在区间[]b a ,的内点. 下面就就其应用进行讨论.3.1 求函数在一个区间上的平均值例1 试()x f sin x =求在[]π,0上的平均值.解 平均值().2|cos 1sin 100πππξππ=-==⎰x xdx f例2 试求心形线()πθθ20,cos 1≤≤+=a r 上各点极经的平均值.解 平均值()()().|sin 2cos 1212020a a d a r =+=+=⎰ππθθπθθπϕ注 在解某区间上一个函数的平均值时,我们只需要在这个区间上对这个函数进行积分,然后积分结果除以区间的差值.在这里主要是应用了积分第一中值定理,所以求解其类问题时,一定要理解积分中值定理的定义. 3.2 估计定积分的值例3 估计dx xx ⎰+1036191的值.解 由推广的积分第一中值定理,得,112011113611936103619ξξ+=+=+⎰⎰dx x x x 其中[]1,0∈ξ 因为,10≤≤ξ所以,11121363≤+≤ξ即，201112012201363≤+≤ξ 故.201122011036193≤+≤⎰dx x x例 4 估计dx x ⎰+π20cos 5.011的值.解 因为()xx f cos 5.011+=在[]π2,0上连续,且[]2)(max 2,0=x f π,[]32)(min 2,0=x f π, 所以由积分第一中值定理有πππππ422cos 5.0112324320=⋅≤+≤⋅=⎰dx x.在估计其类积分的值时,首先我们要确定被积函数在积分区间上连续的基础上确定被积函数在积分区间上的最大值和最小值,然后再利用积分中值定理就迎刃而解了.例 5 估计dx x x ⎰+191的值.解 因为()xx x f +=19在[]1,0上连续,在()1,0内可导,且()()()238121718x x x x f ++='在()1,0内无解,即()[]1,0,0∈≥'x x f ,等号仅在0=x 时成立.故()x f 在[]1,0内严格单调增, 即()()()21100=<<=f x f f ,所以由积分第一中值定理有211019<+<⎰dx xx .在估计其类积分的值时,首先要确定要积分的函数在积分闭区间上连续,在开区间上可导,然后判断函数在积分区间上的单调性,最后利用积分中值定理就可以估计积分的值了.综上,在利用积分中值定理估计积分的值时,我们要根据不同的题型给出不同的解决方法,这也是我们在学习过程中逐渐要培养的,积累的好习惯. 3.3 求含有定积分的极限例6 求极限n p dx xxpn n n ,,sin lim⎰+∞→为自然数.解 利用中值定理,得因为()xxx f sin =在[]p n n +,上连续,由积分中值定理得[]p n n p dx x x pn n+∈⋅=⎰+,,sin sin ξξξ当∞→n 时,∞→ξ,而|ξsin |1≤. 故dx x x pn nn ⎰+∞→sin lim =p .sin lim ξξξ∞→=0.例7 求xdx n n ⎰+∞→2sin limπ.解 若直接用中值定理xdx n n ⎰+∞→2sin limπ=ξπn sin 2,因为20πξ≤≤而不能严格断定x n sin 0→,其症结在于没有排除,故采取下列措施xdx nn ⎰+∞→20sin limπ=xdx n⎰-ξπ20sin +xdx n ⎰-22sin πξπ.其中ξ为任意小的正数.对第一积分中值定理使用推广的积分第一中值定理,有xdx n n ⎰-+∞→ξπ2sin lim.=0sin 2lim =⎪⎭⎫ ⎝⎛-+∞→ξξπn n ,⎪⎭⎫ ⎝⎛<-≤≤220πξπξ. 而第二个积分⎰-22sin πξπxdx n≤dx x n ⎰-22sin πξπ≤⎰-22πξπdx =ε,由于ε得任意性知其课任意小. 所以xdx nn ⎰+∞→2sin limπ=xdx n⎰-ξπ20sin +xdx n ⎰-22sin πξπ=0.注 求解其类问题的关键是使用积分中值定理去掉积分符号.在应用该定理时,要注中值ξ不仅依赖于积分区间,而且还依赖于根式中自变量n 的趋近方式. 3.4 确定积分的符号例8 确定积分dx e x x ⎰-333的符号.解dx e x x⎰-333=dx e x x ⎰-033+dxx e x x⎰33=()()t d e t t ----⎰330+dx e x x ⎰303=dt e t t -⎰033+dx e x x ⎰33=-dt e tt-⎰303+dx e x x ⎰33=()dx e e x x x --⎰303利用积分中值定理,得dx e x x ⎰-333=()ςςς--e e 33≥0.(其中30≤≤ς)又x e x 3在[]3,3-上不恒等于0,故0333>⎰-dx e x x.注 在解决其类题时,我们常常会以0作为上下限的中介点,然后把原积分写成以0为中介点的两个积分的和,积分化就成两个以0为中介点且上下限一样的积分相加,最后利用积分中值定理确定积分的符号.这里主要使用了积分中值定理和函数的单调性. 3.5 证明中值ξ的存在性命题例9 设函数()x f 在[]1,0上连续,在()1,0内可导,且()()⎰=13203f dx x f ,证明()1,0∈∃ξ,使()0='ξf ,证明 由积分中值定理得()()()()ηηf f dx x f f =⎪⎭⎫⎝⎛-==⎰321330132,（其中132≤≤η）又因为()x f 在[]1,0上连续,在()1,0内可导.故()x f 在[]η，0上满足罗尔定理条件,可存在一点()()100，，⊂∈ηξ,使()0='ξf . 注 在证明有关题设中含有抽象函数的定积分等式时,一般应用积分中值定理求解,掌握积分中值定理在解此类问题时至关重要,是我们必须要好好掌握的. 3.6 证明不等式例10 求证.201122011036193<+<⎰dx x x证明.11201111336119361619ξξ+=+=+⎰⎰dx x dx x x其中[]1,0∈ξ,于是由11121363≤+≤ξ即可获证.例 11 证明21232102<-+<⎰xx dx . 证明 估计连续函数的积分值()dx x f ba⎰的一般的方法是求()x f 在[]b a ,的最大值M 和最小值m ,则()()()a b M dx x f a b m b a-<<-⎰.因为2321492222≤⎪⎭⎫ ⎝⎛--=-+≤x x x []()1,0∈x , 所以21232102<-+<⎰x x dx . 例 12 证明.1011210119<+<⎰dx xx 证明 估计积分()()dx x g x f b a⎰的一般的方法是:求()x f 在[]b a ,的最大值M 和最小值m ,又若()0≥x g ,则()()()()dx x g M dx x g x f dx x g m bababa⎰⎰⎰≤≤.本题中令()()0,119≥=+=x x g xx f ()10≤≤x .因为11121≤+≤x[]()1,0∈x所以1011212101191919=<+<=⎰⎰⎰dx x dx xx dx x . 例13 证明2241222e dx e exx≤≤⎰--.证明 在区间[]20，上求函数()xxe xf -=2的最大值M 和最小值m .()()xxe x xf --='212,令()0='x f ,得驻点21=x . 比较⎪⎭⎫ ⎝⎛21f ,()0f ,()2f 知4121-=⎪⎭⎫⎝⎛e f 为()x f 在[]20，上的最小值,而()22e f =为()x f 在[]20，上的最大值.由积分中值定理得()()0202220412-≤≤-⎰--e dx e ex x ,即2241222e dx e exx≤≤⎰--.注 由于积分具有许多特殊的运算性质,故积分不等式的证明往往富有很强的技巧性.在证明含有定积分的不等式时,也常考虑用积分中值定理,以便去掉积分符号,若被积函数是两个函数之积时,可考虑用广义积分中值定理.如果在证明如11和12例题时,可以根据估计定积分的值在证明比较简单方便.3.7 证明函数的单调性例 14 设函数()x f 在()∞+，0上连续,()()()dt t f t x x F k ⎰-=02,试证:在()∞+，0内,若()x f 为非减函数,则()x F 为非增函数.证明 ()()()()()dt t tf dt t f x dt t f t x x F kk k ⎰⎰⎰-=-=00022,对上式求导,得 ()()()()()(),200x xf dt t f x xf x xf dt t f x F k k -=-+='⎰⎰ 利用积分中值定理,得()()()()()[]()x x f f x x xf xf x F ≤≤-=-='ξξξ0,,若()x f 为非减函数,则()()0≤-x f f ξ,所以()0≤'x F ,故()x F '为非减函数.综上所述,积分中值定理在应用中所起到的重要作用是可以使积分号去掉,从而使问题简单化.因此,对于证明有关题设中含有某个函数积分的等式或不等式,或者要证的结论中含有定积分,或者所求的极限式中含有定积分时,一般应考虑使用积分中值定理,去掉积分号.在使用该定理时,常与微分中值定理或定积分的其他一些性质结合使用,是所求问题迎刃而解.参考文献[1]华东师范大学数学系.数学分析[M].北京:高等教育出版社,2001.217-219.[2]张筑生.数学分析新讲[M].北京:北京大学出版社,1990.92-95.[3] 刘玉莲,傅沛仁.数学分析讲义[M].第二版.北京:高等教育出版社,1996.43-47.[4]刘鸿基.数学分析习题讲义[M].江苏:中国矿业大学出版社,1999.85-92.[5]石建成,李佩芝,徐文雄.高等数学例题与习题集[M].西安:西安交通大学出版社,2002.168-170.[6]李惜雯.数学分析例题解析及难点注释[M].西安:西安交通大学出版社,2004.311-313.[7]白永丽,张建中.略谈积分中值定理及应用[J].平顶山工业职业技术学院.(2003) 01-03.[8]刘开生,王贵军.积分中值定理的推广[J].天水师范学院. Vol.26,No.2,(2006) 02-0023-02.[9]周建莹,李正元.高等数学解题指南[M].北京:北京大学出版社,2002.212-214.[10]刘剑秋,徐绥,高立仁.高等数学习题集(上)[M].天津:天津大学出版社,1987.254-255[11]吴炯圻.数学专业英语[M].第二版.北京:高等教育出版社,2009.285-309.[12]AI Jing-hua.Characters Equal Definitions and application of Convex Function[J].Journal of Kaifeng University, Vol.17,No.2,Jun.2003.122-164.[13] W. Rmdin, Principle of Mathematical Analysis （Second edition ）, Mc Graw-Hill , New York, 1964.96-102.Mean Value Theorem in Mathematical AnalysisLi Zhengbang(Grade06,Class5, Major in Mathematics and Applied Mathematics, Department of Mathematics, Shaanxi University of Technology, Hanzhong 723000, Shaanxi)Tutor:Li JinlongAbstract:This paper describes the mean value theorem in mathematical analysis application note and a few of the major applications.These applications are mainly:1. Demand function in an interval on the average;2. The estimated value of definite integral;3. Order to contain the limits of definite integrals;4.Define integral ofsymbol;5. Proof of the existence of the value proposition ;6. To prove integral inequality,7. To provemonotonicity of a function.Key words: intergral;average-value;theory;applied.。

微分中值定理的应用微分中值定理是微积分中的一个重要定理，它通过与导数相关的理论和概念，揭示了函数在某些特定条件下的性质和变化规律。

本文将讨论微分中值定理在实际问题中的应用。

一、速度与加速度微分中值定理可以应用于描述物体的速度和加速度问题。

假设一个物体沿直线运动，由于速度是位移对时间的导数，所以可以利用微分中值定理计算某一时刻的速度。

同样地，加速度是速度对时间的导数，也可以通过微分中值定理计算某一时刻的加速度。

例如，某车沿直线行驶，已知车辆的位移函数为s(t)，其中t表示时间。

根据微分中值定理，存在某个时刻t=a，使得车辆在该时刻的瞬时速度等于平均速度。

根据函数关系式，瞬时速度可以通过求导数得到，平均速度可以通过位移差除以时间差得到。

因此可以利用微分中值定理求解该时刻的速度。

二、斜率与切线微分中值定理还可以应用于描述函数图像的斜率和切线问题。

函数的导数表示了函数在某一点处的切线斜率。

根据微分中值定理，存在某一点c，使得函数曲线在c点的切线斜率等于曲线上任意两点间的平均斜率。

以函数y=f(x)为例，其中f(x)在区间[a,b]上连续且可导。

根据微分中值定理，存在某一点c∈(a,b)，使得曲线上任意两点(x1, f(x1))和(x2,f(x2))的斜率等于函数在c点处的切线斜率。

这意味着，在求解函数曲线上某点的切线斜率时，可以寻找合适的区间进行计算，从而简化问题的求解。

三、最值与极值微分中值定理还可以应用于求解函数的最值和极值问题。

首先，函数的最大值和最小值出现在函数的驻点和端点处。

其次，驻点是函数导数等于零的点，也是函数极值点的候选点。

利用微分中值定理，可以将函数极值的求解转化为导数的求解。

假设函数f(x)在[a,b]上连续且可导，根据微分中值定理，存在某点c∈(a,b)，使得函数在c点的导数等于函数在[a,b]上的平均变化率。

因此，可以通过求解导数等于零的方程，得到函数在该区间上的驻点。

进一步通过计算二阶导数和边界条件，可以判断这些驻点是极大值还是极小值。

微分中值定理在研究函数的凹凸性方面的应用微分中值定理（Mean Value Theorem）是微积分中的一个重要定理，它可以用于研究函数的凹凸性。

这个定理的核心思想是：若一个函数在一些区间内满足一定的条件，那么在这个区间内一定存在一个点，使得函数的切线平行于连接起点和终点的线段。

函数的凹凸性是函数图像呈现的曲线弯曲程度的一种描述。

凹函数是指在一个区间上的函数图像呈现的是凹向下的形状，而凸函数则表示函数图像呈现的是凸向上的形状。

首先，我们需要找到函数的临界点（Critical Points）。

临界点是指函数的导数为零或不存在的点。

这些点将成为函数凹凸性的转折点。

然后，我们需要求取函数的导数（Derivative）。

函数的导数可以帮助我们判断函数在一些点的斜率是增加还是减少。

通过求解函数的导数，我们可以找到函数的斜率是否为正或负。

接下来，我们使用微分中值定理来寻找函数图像中的拐点（Inflection Points）。

拐点是函数图像从凹变为凸或从凸变为凹的点。

根据微分中值定理，我们可以找到函数图像中的一些点，使得这些点的切线斜率等于曲线上两点间的平均斜率。

这些点将成为函数图像的拐点。

最后，我们将导数的正负性与拐点的位置进行比较，来判断函数的凹凸性。

当函数的导数在拐点的左侧为正，右侧为负时，函数图像呈现凹形状。

当导数在拐点的左侧为负，右侧为正时，函数图像呈现凸形状。

通过以上的步骤，我们可以得出函数在一些区间内的凹凸性。

微分中值定理为我们提供了一种简单而有效的方法来研究函数的凹凸性。

它不仅可以帮助我们理解函数的特殊点，还可以在很多实际应用中提供有用的信息，例如经济学、物理学和工程学等领域。

总结起来，微分中值定理在研究函数的凹凸性方面具有广泛应用。

通过该定理，我们可以找到函数图像的拐点，并通过比较导数的正负性来判断函数的凹凸性。

这种方法简单而直观，并且在实际问题中具有很高的适用性。

因此，微分中值定理在函数凹凸性的研究中是一种非常有用的工具。

淮北师范大学信息学院2014 届学士学位论文微分几何中值定理的应用研究系别:数学系专业:数学与应用数学学号: 20101884045姓名: 刘畅指导教师: 潘亚丽指导教师职称:年月日目录摘要 (1)Abstract（Key words） (1)引言 (2)1微分中值定理及其证明 (3)1.1罗尔定理 (3)1.2拉格朗日中值定理 (3)1.3柯西中值定理 (4)1.4泰勒公式 (5)1.5常用微分中值定理及内在联系 (5)2微分中值定理的应用 (5)2.1 证明有关等式 (6)2.2 证明不等式 (8)2.3 利用微分中值定理求极限及证明相关问题 (9)2.4 证明零点存在性 (10)2.5 函数的单调性 (12)2.6 导数的中值估计 (13)2.7 证明函数在区间上的一致连续 (14)2.8 用来判定级数的敛散性 (14)总结 (16)参考文献 (16)致谢 (17)微分中值定理的应用研究刘畅(淮北师范大学信息学院，淮北，235000）摘要：微分中值定理是数学分析中非常重要的基本定理, 它是沟通函数与其导数之间关系的桥梁. 本文以案例形式介绍了微分中值定理在数学分析中的应用，论述了微分中值定理在求极限、证明不等式以及确定根的存在性等几个方面的应用,以加深对微分中值定理的理解。

关键词：微分中值定理；拉格朗日中值定理；泰勒公式The Application Research of The differential mean value theoremLiu Chang(School of Information, Huaibei Normal University,Huaibei,235000)Abstract（Key words）：The mid-value theorems is very important in mathematics analysis, it is the basic theorem communication function of the relationship between its derivative bridge. This paper introduced the case form mid-value theorem in the mathematical analysis, this paper discusses the application of mid-value theorem in the limit, proof inequality; and determine the existence of root from several aspects such as the application to deepen the understanding of differential mid-value theorem.Key Words: Differential mean value theorem in ；Lagrange；Taylor formula引言微分中值定理是微分学的基本定理，在数学分析中占有重要的地位，是研究函数在某个区间的整体性质的有力工具。

微分中值定理论文：再谈微分中值定理的应用摘要:微分中值定理是微积分学的重要结论之一。

它不仅沟通了函数与其导数的关系，也是微分学理论应用中较为广泛的定理。

在一般教科书中，微分中值定理的应用举例较少，本文根据作者多年在高等数学教学中的经验，总结和归纳了微分中值定理的一些应用方法。

关键词: 中值定理辅助函数连续函数定理1：（rolle中值定理）若函数i) 在闭区间上连续；ii) 在开区间内可导；iii) 闭区间 ,则在内至少存在一点，使得 .定理2：（lagrange中值定理）若函数i) 在闭区间上连续；ii) 在开区间内可导；则在内至少存在一点，使得 .定理3：（cauchy中值定理）若函数i) 在闭区间上连续；ii) 在开区间内可导；iii) 在开区间内不同时为零；iv) ，则在内至少存在一点，使得 .例：求极限 .解：构造函数则应用lagrange定理函数在上连续，在上可导，则使得即而，当时，故 .例：设为实数，求证方程在内至少有一个根.证：令则显然函数在上满足rolle中值定理的条件从而存在，使得即故方程至少有一个根 .我们在应用中值定理时，往往引入某连续函数，使之在某区间上满足中值定理的条件.例：求极限 .解：引入函数显然函数在区间上满足lagrange中值定理的条件所以存在使得由于，当时，所以原极限 .本例我们也可对用洛比达（l,hospital）法则求解，但较之用中值定理复杂得多。

在应用中值定理时，辅助函数的构造是解决问题的关键。

例：如果，试证，其中在之间.证：我们不妨设，在上显然函数在上满足rolle中值定理的条件，从而存在，使得那么，我们是怎么来构造的呢？由cauchy中值定理的结论：把式中的换成，然后变形为：积分可得此处令，得从而构造出函数.本例也可用cauchy中值定理来证，更为简单直接。

证：我们不妨设，并在上对函数应用cauchy中值定理，有，由此得 .参考文献:[1][美]m.r.施皮格尔.微积分[m].科学出版社，2002.[2]孙清华、郑小姣.高等数学[m].华中科技大学出版社，2004.[3] 徐森林．薛春华．数学分析[m]．北京：清华大学出版社,2005．[4]华东师范大学数学系.数学分析[m].人民教育出版社，1980.。

微分中值定理探讨及应用摘要：本文首先主要介绍了微分中值立理的内容及英预备定理，再讨论微分中值左理之间的联系，以及左理从有限区间到无限区间的推广，最后以具体实例说明微分中值立理在等式、不等式的证明、极限的求解问题、方程根的存在性等解题中的应用。

在微分中值泄理的研究及有关命题的证明之中，往往需要构造适当的辅助函数，来实现数学问题的等价转化。

然而如何寻找到合适的函数是比较困难的，在本文中，通过三个定理的证明及有关例题会着重给出通过构造辅助函数来解决中值左理问题。

关键词：微分中值立理：罗尔中值左理：拉格朗日中值圧理：柯西中值左理；联系；应用Abstract: Firstly, the paper introduces three differential mean value theorems and the preparation theorem for them, then discusses the connection between the three theorems, and generalizes the theorems from limited interval to infinite interval At the end of this paper we use a series of examples, such as: the proving of the equality or inequality, the computing of the limit, the existence of the equation root and so on, to explain the application of the differential mean value theorems・ In the research of differential mean value theorem and the related propositions. We often need construct a suitable auxiliary function to make the problem satisfies the conditions of the differential mean value theorem ・ but it is difficult to construct the auxiliary function .In this paper, well focus on how to construct the suitable auxiliary function to solving the problem by using differential mean value theorem.Key words: Differential mean value theorem; Rolle mean value theorem; the Lagrange mean value theorem; the Cauchy mean value theorem; connection; application・通过数学分析的学习，我们知道微分中值定理是一个非常重要的基本定理，其主要包括罗尔(Rolle)中值定理、拉格朗日(Lagrange)中值定理、柯西(Cauchy) 中值定理等一系列基本定理。