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Harbin Institute of Technology
现代控制理论基础
上机实验报告之一
亚微米超精密车床振动控制系统的
状态空间法设计
课程名称：现代控制理论
院系：航天学院自动化
班号：1104103
作者：皮永江
学号：1110410228
指导教师：刘杨、井后华
哈尔滨工业大学
2014年6月5日
1.工程背景介绍
超精密机床是实现超精密加工的关键设备，而环境振动又是影响超精密加工精度的重要因素。为了充分隔离基础振动对超精密机床的影响，目前国内外均采用空气弹簧作为隔振元件，并取得了一定的效果，但是这属于被动隔振，这类隔振系统的固有频率一般在2Hz左右。
2.实验目的
通过本次上机实验，使同学们熟练掌握：
a)控制系统机理建模
b)时域性能指标与极点配置的关系
c)状态反馈控制律设计
d)MATLAB语言的应用
3.给定的实际参数与数学建模
3.0参数与物理模型
机床的已知参数
⁄m=120kg
k0=1200N m
k e=980N A⁄c=0.2
R=300ΩL=0.95H
上图表示了亚微米超精密车床隔振控制系统的结构原理，其中被动隔振元件为空气弹簧，主动隔振元件为采用状态反馈控制策略的电磁作动器。
床身质量的运动方程为：
ms̈+F p+F a=0(1)
F p−空气弹簧所产生的被动控制力
F p−作动器所产生的主动控制力
假设空气弹簧内为绝热过程，则被动控制力可以表示为：
F p=cẏ+k0y+p r{1−[V r(V
r +A e y)n
⁄]}A e(2) V r−标准压力下的空气弹簧体积
y=s−s0−相对位移（被控制量）
p r−空气弹簧的参考压力
A r−参考压力下单一弹簧的面积
A e=4A r−参考压力下空气弹簧的总面积
n−绝热系数
电磁作动器的主动控制力与电枢电流、磁场的磁通量密度及永久磁铁和电磁铁之间的间隙面积有关，这一关系具有强非线性。
由于系统工作在微振动状况，且在低于作动器截止频率的低频范围内，因此主动控制力可近似线性化地表示为：
F a=k e I a(3)
k e−力-电流转换系数
I a−电枢电流
其中，电枢电流I a满足微分方程：
LI a+RI a+E(I a,ẏ)=u(t)(4) L−控制回路电枢电感系数
R−控制回路电枢电阻
E−控制回路反电动势
u−控制电压
综上得到如下方程组：
{ms̈+F p+F a=0 (1) F p=cẏ+k0y+p r{1−[V r(V
r
+A e y)n
⁄]}A e (2) F a=k e I a (3) LI a+RI a+E(I a,ẏ)=u(t) (4)
3.1如果忽略非线性部分数学建模
{
ms̈+F
p +F a =0 (1)F p =cẏ+k 0y (2)
F a =k e I a (3)LI a
+RI a =u (t ) (4)
y =s̈⇒ {mÿ=−(cẏ+k 0y +k e I a )my ⃛=−(cÿ+k 0ẏ+k e I a ) 整理 ⇒ { I a =−1
k e
(mÿ+cẏ+k 0y)I a =−1k e (my ⃛+cÿ+k 0ẏ)
带入(4)式⇒ −L k e (my ⃛+cÿ+k 0ẏ)−R
k e
(mÿ+cẏ+k 0y )= u (t )
整理得
⇒ −
Lm k e y ⃛−Rm +Lc k e ÿ−Rc +Lk 0k e ẏ−Rk 0
k e
y = u (t ) 设状态变量为：x 1=y,x 2=ẏ,x 3=ÿ
得到状态方程：
{x 1=x 2
x 2=x 3
x 3=−Rk 0Lm x 1−Rc +Lk 0Lm x 2−Rm +Lc Lm x 3−k e
Lm
u
状态空间表达式：
[x 1x 2
x 3]=[0
100
1−
Rk 0
−
Rc +Lk 0−Rm +Lc ]+[0
−
k e ]u
y =[10
0][x 1
x 2x 3
]
代入数据：
{ −Rk 0Lm =−300∗12000.95∗120
=−3157−Rc +Lk 0Lm =−300∗0.2+0.95∗12000.95∗120=−10.52
−Rm +Lc Lm =−300∗120+0.95∗0.20.95∗120=−316−k e Lm =−980
0.95∗120
=−8.6
那么状态空间表达式为：
[x 1x 2x 3]=[010001−3157
−10.52−316]+[0
0−8.2
]u y =[10
0][x 1
x 2x 3
] 显然系统能控，可以采用状态反馈进行任意配置极点。
3.2考虑非线性部分数学建模
因为系统工作在低速，微位移情况下，那么对于(2)式中
p r {1−[V
r (V r +A e y)n ⁄]}A e 0点泰勒一阶展开⇒ np r A e 2
r
n y n =1.41
P r =0.4∗105
Pa d =0.3m ⇒A r =
πd 34
= 0.0707⇒A e =4A r =0.2827m 2
h =0.28m ⇒V r =A r ×ℎ=0.0198m 3
q =np r A e 2V r
n =1.41∗4∗10000∗0.28272
0.01981.41=1.14×107 (4)式中E (I a ,ẏ)=5.4ẏ ，
{ ms̈+F p +F a =0 (1)F p =cẏ+(k 0+q)y (2)F
a =k e I a (3)LI a
+RI a +5.4ẏ=u (t ) (4)
y=s ⇒ {mÿ=−(cẏ+k 0y +k e I a )my ⃛=−(cÿ+k 0ẏ+k e I a ) 整理 ⇒ { I a =−1
k e [mÿ+cẏ+(k 0+q )y]
I a =−1k e
[my ⃛+cÿ+(k 0+q)ẏ]
带入(4)式
⇒ −
L k e (my ⃛+cÿ+k 0ẏ+qẏ)−R
k e
(mÿ+cẏ+k 0y +qy )+5.4ẏ= u (t ) 整理得
⇒ −
Lm e y ⃛−Rm +Lc e ÿ−Rc +Lk 0+Lq −5.4k e e ẏ−Rk 0+Lq e
y = u (t )
设状态变量为：x 1=y,x 2=ẏ,x 3=ÿ
