5. 傅里叶变换

从物理上看 , 显然有 ∞
∫
ρ (x) d x = m......(4)
ቤተ መጻሕፍቲ ባይዱ
也即
-∞
∫
∞
-∞
lim ρ l (x) d x = m
l→ 0
由 (3) 、（ 4）可以看出质点线密度
分布函数的直观图像。
它在
x ≠ 0时 , 为 0; 在 x = 0时，为 ∞ 。它的积分值为 m. 也即由 (3) 、 共 (4) 同来描述。
因此 , 在 Dirac 首次引入 δ 函数时，曾遭到许多数 学家的非难 但它在近代物理学中有 许多重要的应用 , 它可以用来描述物 理学中的一切点量 (点质量 \ 点电荷 \ 瞬时源 )且物理图象清 晰 .这样迫使数学家对 δ 函数的性质等进行研究 和解释 .
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第5章
傅里叶变换(Fourier transforms)
-∞
第5章
傅里叶变换(Fourier transforms)
第5节 δ函数
五 δ函数的性质
2 δ 函数具有挑选性
若 a = 0, 则有
这 一 性 质 表 明 , 虽 然 δ (x) 是 广 义 函 数 ， 但 它 和 任 何 连 续 函 数 的 乘 积 在 （ － ∞， ＋ ∞） 内 的 积 分 都 有 明 确 的 意 义 。 这 使 得 它在近代物理和工程技术中有广泛的应用。
..........
...(1)
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第5章
傅里叶变换(Fourier transforms)
第5节 δ函数
引入δ 一 引入δ函数的物理背景
注意 rect() 的写法 : 即保证 rect() 中的量的绝对值 >

bk
1 l
l l
f sin k
l
d ,...... 5.1.5
练习解答
解：计算傅立叶系数有
a0
1
2
f (x)dx 1
2
0
xdx
1
2
x2
2
0
4
1
1
an
f (x) cos nxdx
x cos nxdx
0
1 x sin nx
n 0
1
n2
cos
nx 0
1
n 0 sin nxdx
幂函数没有周期性，所以周期函数展开为幂级数后，周期性就很 难体现出来。这样在研究函数的周期性的时候，幂级数展开并不 适用，需要采用其他函数作为基本函数族。
在科学技术的各个领域里广泛存在振动和波这类周期现象如弹性 振子、机械振动、声振动和声波、交变电流、电磁振荡和电磁波。 我们以前接触较多的是正弦和余弦函数所描写的振动和波。实际 情况千变万化，如锯齿波、矩形波(开关)。可能的复杂振动方式 不计其数，经过研究发现，这些复杂的振动可以分解为一系列各 种频率的谐振动的叠加。在数学上，这就是把周期函数分解为傅 里叶级数。
f
x
a0
k 1
a
k
cos
kx
l
bk
sin
kx
l
..........
..5.1.3
ak
1
kl
l f cos k d ,
l
l
k 2.......k 0 k 1.......k 0
bk
1 l
l l
f
sin k
l
d ,...... 5.1.5
f

lim
n


lim
a 0
a ( x) f ( x)dx
• δ 函数具有密度的特征；
• 位于x0的点电荷密度等可以表示成：ρ(x)=qδ(x-x0)
• δ 函数是一种广义函数，因为上述分布函数的极限本身并 不存在，它们只是在积分的意义下符合δ 函数的定义。
质点、点电 荷等概念！
这些都是 不连续函 数！
( x)
0, ,
x0 x0



( x)dx 1
例2. 阶跃函数的求导
0, x 0 H ( x) 1, x 0
求导数
x0 0, H ( x) 不存在, x 0
• A. δ 函数的形式定义：
1 k bk f sin d
基函数族的基本性质：
1. 具有倍频的关系；
2. 正交性：即任意两个基函数的乘积在一个周期的积 分为0；
3. 完备性：即任意一个周期函数均可以做傅里叶展开；
1 kππ nππ 1 kππ nππ sin sin dx nk cos cos dx nk 1 kππ nππ sin cos dx 0



f ( )e-i d
f ( x) F -1[ F ()]
• 符号表示： F () F[ f ( x)],
• 例3. 求矩形脉冲f(t)=h rect(1/2T)的复数形式的傅里 叶变换。p78
• （三）傅里叶变换的基本性质
1) 导数定理：
F[f'(x)] = iωF(ω)
0, x 0 ( x) , 且 ( x)dx 1 , x 0

五种傅里叶变换包括常规的傅里叶变换（FT）、短时傅里叶变换（STFT）、小波变换（WT）、希尔伯特变换（HT）和希尔伯特黄变换（HHT）。

它们的主要区别和联系如下：
1. 傅里叶变换（FT）：将一个以时间t为自变量的连续的信号f(t)转换为以频率为自变量的函数F(jf)，该函数是复数形式的。

此变换的前提是信号是平稳的，即其频率特性不会随时间变化。

2. 短时傅里叶变换（STFT）：在傅里叶变换的基础上，对每个时间段内的信号进行傅里叶变换，从而得到该时间段的频谱。

STFT可以处理非平稳信号，因为其可以将信号的时间依赖性和频率依赖性分开。

3. 小波变换（WT）：与傅里叶变换类似，小波变换也是将信号分解成不同的频率成分。

不同的是，小波变换使用的是小波基，可以更好地适应处理非平稳信号。

4. 希尔伯特变换（HT）：对一个信号进行希尔伯特变换可以得到该信号的解析信号，该解析信号可以更好地表示信号的相位信息。

5. 希尔伯特黄变换（HHT）：是一种用于处理非线性和非平稳信号的变换，其基于经验模式分解（EMD），可以将信号分解成一系列固有模式函数（IMF）。

每个IMF都可以进行希尔伯特变换，从而得到该IMF的相位信息。

总的来说，五种傅里叶变换都是为了更好地处理和解析信号，选择哪种变换取决于具体的应用场景和信号的性质。