数值分析 第1章 插值方法讲解

Pn(k) (x0 )

y(k ) , 0
k 0,1,...,n
泰勒插值问题的解是泰勒多项式：
Pn (x) f (x0 ) f '(x0 )(x x0 )

f
" ( x0 2
)
(x

x0
)2

f
(n) (x0 ) n!
(x

x0 )n
2.拉格朗日插值
问题:求作n次多项式Pn(x), 使满足条件 Pn (xi ) yi , i 0,1,..., n
l0 (x)

(x ( x0

x1)(x x2 ) x1)(x0 x2 )
;
l1 ( x)

(x ( x1

x0 )(x x2 ) x0 )(x1 x2 )
;
l2 (x)

(x ( x2

x0 )(x x1) x0 )(x2 x1)
.
插值基函数
Байду номын сангаас
第1章 插值方法
3.一般情形 问题的解(插值公式):
P1(x)
y0
x x1 x0 x1

y1
x xo x1 x0
1 (e1 1)x
y'(x) ex ; y''(x) ex
f (x) Pn (x)
f
'
' (
2
)
(
x

x0
)(x

x1
)
1 e- (x 0)(x 1), ξ [0,1] 2
f (xi ),
i2
第1章 插值方法
在上节“误差的事后估计”中,曾用线性插值的两个结果 建立了近似公式:
y
x x2 x1 x2
y1
x x1 x2 x1
y2
应用上面约定的记号,有
f (x)
x x2 x1 x2
f1(x1)
x x1 x2 x1
f1(x2 )
第1章 插值方法
例题2: 设y=f(x)=x4, 试利用拉格朗日余项定理写出以1,0,1,2为插值节点的三次插值多项式.
解:拉格朗日插值余项
f (x) Pn (x)
f (n1) ( )
(n 1)!
n k 0
(x
xk ),
ξ [a,b]
f (x) P3 (x)
f (4) ( ) (x 1)(x 0)(x 1)(x 2)
0, j k lk (x j ) 1, j k
lk (x)
n j 0
x xj xk x j
jk
插值基函数
Pn (x)
n k 0
yklk (x)
n k 0
n
yk (
j0
x xj ) xk x j
jk
第1章 插值方法
§3 插值余项
1.拉格朗日余项定理
fk (xi )

x xi xk 1 xi
fk 1( xk 1)
x xk 1 xi xk 1
fk 1( xi ),
ik
埃特金插值表:
f (x0 )
f (x1)
f1 ( x1 )
f (x2 )
f1(x2 )
f2 (x2 )
f (x3 )
f1( x3 )
f2 (x3 )
第1章 插值方法
2.差商
对于给定函数 f(x) , f(x0, x1,…,xn)表示关于节点 x0, x1,…,xn 的 n阶差商.
一阶差商:
f (x0 , x1)
f (x1) f (x0 ) x1 x0
二阶差商:
f (x0 , x1, x2 )
f (x1, x2 ) f (x0 , x1) x2 x0
R(x) f (x0 , x1,..., xn , x)( x x0 )( x x1)...( x xn ) 显然
R(xi ) 0, i 0,1,...n 故Pn(x)就是拉格朗日问题的解.
第1章 插值方法
例题2: 对例1中的(x), 求节点为x0,x1的一次插值,节点为x0,x1, x2的二次插值和节点为x0,x1,x2,x3的三次插值多项式.
xi为插 值节点
第1章 插值方法
§2 拉格朗日插值公式
1.线性插值 问题:求作一次式P1(x), 使满足条件
P1(x0 ) y0 , P1(x1) y1 问题的解(插值公式):
点斜式:
P1 ( x)

y0

y1 x1

y0 x0
(x
x0 )
对称式: P1(x) y0l0 (x) y1l1(x)
称R(x)=f(x)-Pn(x)为插值函数的截断误差,或插值余项.
拉格朗日余项定理:设函数f(x)在含有节点x0,x1,…,xn的 区间[a,b]内有直到n+1阶导数,且f(xi)=yi(i=0,1,…,n)已给, 则当x属于[a,b]时,对于Pn(x),有
f (x) Pn (x)
P1(x) P0 (x) c1(x x0 )
考察抛物插值:
c1
f (x1) f (x0 ) x1 x0
P2 (x) P1(x) c2 (x x0 )( x x1) P2 (x) 满足条件: P2 (x0 ) f (x0 ), P2 (x1) f (x1)
5
3
17
21
解:
i
xi
0 -2
1 -1
21 32
ƒ(xi) 一阶差商 二阶差商 三阶差商
5
3
-2
17
7
3
21
4
-1
-1
第1章 插值方法
3.差商形式的插值公式 按照差商定义:
f (x) f (x0 ) f (x0 , x)( x x0 ) f (x0 , x) f (x0 , x1) f (x0 , x1, x)( x x1) f (x0 , x1, x) f (x0 , x1, x2 ) f (x0 , x1, x2 , x)( x x2 )
x1 ƒ(x1) ƒ[x0,x1]
…
x2 ƒ(x2) ƒ[x1,x2] ƒ[x0,x1,x2]
…
x3 ƒ(x3) ƒ[x2,x3] ƒ[x1,x2,x3] ƒ[x0,x1,x2,x3] …




…

xn ƒ(xn) ƒ[xn-1,xn] ƒ[xn-2,xn-1,xn] ƒ[xn-3,xn- … ƒ[x0,x1,…,xn] 2,x2,x3]
第1章 插值方法
可令 f (x) Pn (x) R(x)
其中
牛顿插 值公式
Pn (x) f (x0 ) f (x0 , x)(x x0 ) f (x0 , x1, x2 )(x x0 )(x x1) ... f (x0 , x1,...,xn )(x x0 )(x x1)...(x xn1)
f (n1) ( )
(n 1)!
n k 0
(x
xk ),
ξ [a,b]
第1章 插值方法
例题1: 令x0=0, x1=1. 写出y=f(x)=e-x的一次插值多项式 P1(x), 并估计误差.
解: x0=0, y0=1; x1=1, y1=e-1.
P1(x) y0l0 (x) y1l1(x)
第1章 插值方法
§4 埃特金算法
拉格朗日公式的缺点：如果要临时增加一个插值节点,则 拉格朗日公式的所有系数都要重算,会造成计算量的浪费．
几个标记：
① f1(xi )表示取x0 , xi进行线性插值 ,即
f1(xi )

x xi x0 xi
f
(x0 )

x xi
x0 x0
f (xi ),
y-y1
f
'
' (1 )
2
(
x

x0
)(x

x1 )
y-y2

f
'
' (2
2
)
(x

x0
)(x

x2
)
假设 f ''(1) f ''(2 )
y-y1 x-x1 y-y2 x-x2
y
x-x2 x1-x2
y1
x-x1 x2-x1
y2
y-y1

x-x1 x2-x1
( y2

y1 )
差商的性质: f (x0 , x1) f (x1, x0 ) f (x0 , x1, x2 ) f (x1, x0 , x2 ) f (x2 , x1, x0 ) ...
第1章 插值方法
例题1: 给出函数y=(x)的函数表如下,写出其差商表.
i
0
1
2
3
xi
-2
-1
1
2
(xi)
n阶差商:
f (x0 , x1,..., xn )
f (x1, x2 ,..., xn ) f (x0 , x1,..., xn1) xn x0
零阶差商: 函数值f (xi )
第1章 插值方法
差商表:
xi ƒ(xi)
一阶 差商
二阶差商 三阶差商 … n阶差商
x0 ƒ(x0)
…
...... f (x0 , x1,...,xn1, x) f (x0 , x1,...,xn )
f (x0 , x1,...,xn , x)(x xn ) 反复用前一个式子带入前一个式子,可得
f (x) f (x0 ) f (x0 , x1)(x x0 ) f (x0 , x1, x2 )(x x0 )(x x1) ... f (x0 , x1,...,xn , x)(x x0 )(x x1)...(x xn )
f3 (x3 )
埃特金算法的特点:①将一个高次插值过程归结为线性插 值的多次重复；②插值表中的每个数据均可视作插值结果.
第1章 插值方法
§5 牛顿插值公式
1.具有承袭性的公式
考察线性插值:
P1(x)
f (x0 )
f
(
x1 ) x1

f (x0 x0
)
(x

x0
)
P0 (x) f (x0 )可看作零次插值多项式,则
第1章 插值方法
由 P2 (x2 ) f (x2 ) 可以确定c2 ,即
f (x2 ) f (x0 ) f (x1) f (x0 )
c2
x2 x0
x1 x0
x2 x1
记 c0 f (x0 ) ,则
P2 (x) c0 c1(x x0 ) c2 (x x0 )( x x1)
解:由例1的差商表知
第1章 插值方法
f (x) Pn (x)
f
'
' (
2
)
(
x

x0
)(x

x1
)
1 e- (x 0)(x 1), ξ [0,1] 2
max
0 x1
f (x) Pn (x)
1 max e- 2 0x1
max (x 0)(x 1) 0 x1
1 1 1 1 2 48
i 1
② f2 (xi )表示取x0 , x1, xi为节点进行抛物插值 ,如
f2 (xi )
(x x1)(x xi ) (x0 x1)(x0 xi )
f (x0 )
(x x0 )(x xi ) (x1 x0 )(x1 xi )
f (x1)

(x x0 )(x x1) (xi x0 )(xi x1)
第1章 插值方法
§1 问题的提法 §2 拉格朗日插值公式 §3 插值余项 §4 埃特金算法 §5 牛顿插值公式 §6 埃尔米特插值 §7 分段插值法 §8 样条函数 §9 曲线拟合的最小二乘法 习题
第1章 插值方法
§1 问题的提法
1.泰勒插值
问题:求作n次多项式Pn(x), 使满足条件
将f1(x1)和f1(x2 )带入验证,发现与f2 (x2 )右端相等,故
f2 (x2 )

x x2 x1 x2
f1(x1)
x x1 x2 x1
f1(x2 )
这表明:用线性插值的两个结果再作线性插值,结果得到了抛 物插值.
第1章 插值方法
推广：利用两个k-1次插值的结果,再作线性插值, 得到k 次插值,即有递推公式:
4!
(x 1)(x 0)(x 1)(x 2)
P3 (x) f (x) (x 1)(x 0)(x 1)(x 2) 2x3 x2 2x
第1章 插值方法
2.误差的事后估计
考察[a,b]内三个节点x0, x1, x2. 对于给定的插值点x,先用x0 与x1进行线性插值求出y=f(x)的近似值 y1 , 然后取x0与x2 进行线性插值求出另一个近似值 y2 , 则由余项定理得
l0 (x)

x x1 x0 x1
;
l1 ( x)

x xo x1 x0
插值基函数
第1章 插值方法
2.抛物插值 问题:求作二次式P2(x), 使满足条件
P2 (x0 ) y0 , P2 (x1) y1, P2 (x2 ) y2
问题的解(插值公式):
P2 (x) y0l0 (x) y1l1(x) y2l2 (x)