第32卷 第12期 1998年12月 西 安 交 通 大 学 学 报JOURNAL OF XI′AN J IAO TON G UN IV ERSITY Vo1.32 №12 Dec.1998三维区域上的多重网格算法3刘之行 封卫兵(西安交通大学,710049,西安)摘要 对三维椭圆型偏微分方程边值问题,设定其求解区域为曲边六面体,在非均匀剖分条件下,使用多重网格算法.在规则区域和均匀网格下,多重网格方法的实施有其标准的算法流程.而对工程计算中常见的任意几何区域和非均匀网格剖分、多重网格方法的应用相对困难.此时可施行一坐标变换(等参变换),把物理空间中曲边六面体上的非均匀网格,映射到计算空间中长方体区域上的均匀网格,然后在计算空间中求解相应的偏微分方程边值问题.这种处理,使多重网格算法的使用成为方便可行.关键词 多重网格 任意几何区域 非均匀网格 坐标变换中国图书资料分类法分类号 O241.82Multigrid Method Applied to Three2Dimensional DomainsL i u Zhi xi ng Feng Weibi ng(Xi′an Jiaotong University,710049,Xi′an)Abstract Multigrid method has been used to solve three2dimensional elliptic boundary2value prob2 lems.Assume that the grids for a curved hexahedron domain are nonuniform.For uniform grids there is a standard algorithm for multigrid method.But if the domain adopts a general shape or the grids are nonuniform,application of multigrid methods is relatively difficult.An one2to2one transformation (isoparametric)is used to map the nonunifrom grids on a curved hexahedron in the physical plane to u2 niform grids of right2angled hexahedrion in the computational plane.The governing partial differential equations can thus be solved in the computational plane using a uniform grid by the standard multigrid method.K eyw ords m ultigri d general geomet ry nonunif orm gri d coordi nate t ransf orm ation 多重网格方法是应用于大型科学计算的一类有效的、新的计算方法,它把求解的效率提到前所未有的高度(理论上是最优阶的方法).在正方形区域的均匀网格剖分下实施多重网格算法是最便捷的.不幸的是,在科研和工程计算实践中,任意几何区域和非均匀网格剖分是大量发生的;此时,多重网格方法的各个分量,即松驰过程、限制算子、插值算子都要发生相应改变,从而导致整个多重网格算法技术深度和复杂程度的上升.许多作者做了很好的工作,使得在各种复杂情况之下,适当增加改进措施后,多重收到日期:1997Ο11Ο16. 刘之行:男,1945年5月生,理学院软件研究所,副教授. 3国家自然科学基金资助项目(19671067).网格方法仍可得到实现[1,2].但这些对多重网格方法的深层研究,往往属于计算数学界的专家们,一般工程计算人员,似乎难于问津.本文探索一种使用多重网格算法的途径,希望它能在科研和工程计算的一个广泛领域内找到自己的应用.1 偏微分方程及边界条件考虑在一般曲面六面体区域Ω(如图1)上,求解椭圆偏微分方程边值问题55x (p 5φ5x )+55y (q 5φ5y)+ 55z (r 5φ5z )=F 在Ω上φ|5Ω=g 间中 舼 sf ; x =x (ξ,η,ζ)y =y (ξ,η,ζ)z =z (ξ,η,ζ)an 糯 5ζ[λ25φξ+λ35φη+γ5φζ]=F J(8)其中α=1J(p ξ2x +q ξ2y +r ξ2z )β=1J(p η2x +q η2y +r η2z )γ=1J (p ζ2x +q ζ2y +r ζ2z )λ1=1J (p ξx ηx +q ξy ηy +r ξz ηz )λ2=1J (p ζx ξx +q ζy ξy +r ζz ξz )λ3=1J(p ηx ζx +q ηy ζy +r ηz ζz ) 体,故其上的多重网格方法的实施完全按标准情况进行.4.1 网格剖分如前所述,根据问题的需要,沿ξ,η和ζ方向分别作2l 、2m 和2n 份的等距剖分,这就是最细一层的网格.相邻两层网格,在各个方向上,粗网格的剖分步长是细网格剖分步长的两倍.4.2 求解步骤设离散化后所得线性方程组为L h u =f我们来给出其多重网格算法的核心部分,即二重网格部分,从已有的初值u 出发,做[1]u =S(ν1)(u ,f )d =I 2hh 3(L h 3u -f )v =L -12h 3du =u -I h2h 3vu =S(ν2)(u ,f )+ 121242121 (12)区域Ω是一个边长为1的正方体被“挖”掉一块后所余部分,如图3所示.若用一垂直于z 轴的平面去截它,所得网格剖分截面如图4所示.方程(12)中g (x ,y ,z )=y21+y 2x 2+y21+x2 舼 舼 全险保险费的货币量就会有减少的可能,反映出社会基本养老保险保障水平的高低将通过个人储蓄对商业养老保险产生间接的影响.3 结 论利用消费者选择理论,我们从近期和跨时期横纵两个方面对商业养老保险和社会养老保险之间的关系做了微观层次的分析,再一次说明在建立我国多层次的养老保险制度过程中,必须重视社会基本养老保险保障水平的研究,处理好社会养老保险与商业养老保险之间“度”和“量”的关系,否则,“以基本养老保险为主,商业养老保险为补充”的目标将落不到实处.当然,关于对社会基本养老保险保障水平更深入的研究,比如对社会基本养老保险统筹率以及工资替代率的定量研究,仍需做出更多努力.参考文献1 陈朝先.论社会保障分配与商业保险分配的关系.经济科学,1996,(5):25～302 刘子操.谈谈社会保险与商业保险的协调发展问题.财经问题研究,1995,(6):28～303 Whitmore G A,Yuan Wei,Jin Y ongjin.Attitudes to risk and insurance in China:an analysis of household survey da2 ta.Journal of Chinese Management Issues,1995,1(1):17～354 Cutler D M,Gruber J.Does public insurance crowd out pri2 vate insurance.Journal of Econmics,1996,110(4):391～4305 朱善利.微观经济学.北京:北京大学出版社,1995.106～109(编辑 杜秀杰)(上接第93页)结构参数的设计计算方法.通过对单涡圈、双涡圈和多涡圈的容积特性比较,可以看出,采用双涡圈或多涡圈理论设计涡旋机械,既可以达到减少回转半径、降低滑动面摩擦速度、减小磨损,又可以不减少有效吸气容积,从而充分利用涡旋机械可高速运转的特性.因此,可采用提高转速的方法来提高排气量,从而为大排气量涡旋机械的开发提供了理论基础.参考文献1 森下悦生.涡旋压缩机几何理论.邓立文译.流体工程, 1985,13(10):18～252 荒田信哲.制冷压缩机的现状和发展方向———封闭式涡旋压缩机.任金禄译.流体工程,1989,17(3):54～613 顾兆林.双涡圈涡旋压缩机理论及应用研究:[博士学位论文].西安:西安交通大学能源与动力工程学院,1997(编辑 管咏梅)(上接第97页)参考文献1 Hackbusch W.多重网格方法.林群等译.北京:科学出版社,19882 Brant A.Guid to multigrid development.In:Proceedings, Multigrid Methods.K oln2Proz,1981.233～2713 曹志浩.多格子方法.上海:复旦大学出版社,1988(编辑 杜秀杰)101第12期 马 敏等:社会养老保险与商业养老保险的关系分析。
讲稿多重网格算法及平均现象的解释多重网格算法（Multigrid Algorithm）是一种用于解决偏微分方程数值解的迭代方法，其特点是通过在不同的网格层次上进行逐层求解来提高算法的效率。
而平均现象（Averaging Phenomenon）则是指在多重网格算法中，粗网格上的误差和精细网格上的误差之间能够通过一种平均的方式相互影响和传播，最终使得算法收敛速度加快。
多重网格算法首先将原始问题离散化为不同层次的网格，通常包括粗网格和细网格。
在每一层次上，算法通过迭代求解来逼近问题的解，然后将该解传递到相邻的层次上。
在粗网格上，由于离散化程度较低，计算量相对更小，因此可以高效地求解近似解。
而在细网格上，精度较高，可以更准确地求解。
通过在不同层次间多次迭代，最终得到问题的数值解。
在多重网格算法中，平均现象是使算法收敛速度加快的关键。
在每一次迭代中，粗网格上的解被传递到细网格上，而细网格上的误差则通过一种平均的方式传回到粗网格上。
这种误差传递和平均化的过程使得细网格上的误差被平滑和减少，同时将误差传播回粗网格上，从而进一步减小粗网格上的误差。
通过多次迭代，误差逐渐减小，最终达到问题的收敛。
平均现象可以通过以下两个方面来解释:1. 粗网格修正：在每一层次的求解过程中，细网格上的误差通过插值传递到粗网格上。
通常采用的插值技术是限制性平均（Restriction Average），即对于每个细网格上的误差点，通过计算其周围的粗网格节点值的平均来修正。
这样，细网格上的误差会通过平均操作在粗网格上逐渐减小。
2. 细网格修正：在每一层次的求解过程中，粗网格上的解通过插值传递到细网格上。
通常采用的插值技术是延拓平均（Prolongation Average），即对于每个粗网格上的解点，通过计算其周围的细网格节点值的平均来修正。
这样，粗网格上的解会通过平均操作在细网格上逐渐修正。
通过以上两种修正方式，多重网格算法中的平均现象得以实现。
