基于核心素养例谈中考数学压轴题

核心素养背景下初中数学题知识类比迁移教学策略——以广东 2019 年中考真题第 24 题为例摘要：核心素养的培养符合立德树人的要求，数学问题解决能力是学科核心素养的培养具体化，也是发现问题和提出问题的基础，问题的迁移方法很多，以类比迁移的方法来揭示数学问题教学的策略，基于喻平教授的数学问题迁移教学策略研读，从数学知识的类比上揭示迁移策略，并渗透数学核心素养的培养。

关键词：数学问题解决; 数学核心素养; 教学策略; 类比迁移自从2003年国际经贸组织提出素养体系后，与社会需求经历十多年的磨合，课标改革和评价多样化的要求，使数学核心素养与问题解决之间联系密切，培养尤其是体现在教学全过程中，适合的教学策略可以培养数学思维，揭示问题的数学关系，强抽象和弱抽象结合使用，学会寻找迁移源。

数学问题解决过程的教学大多以波利亚的解题理论为基础进行教学设计，喻平教授对于问题解决也分成四个过程[1]，认为教学策略，从教学的客观规律出发，采用合适的手段实现教学目标，而实施的教学行为计划。

以解决问题为目的，培养学生数学思维能力和正确的学习观，课程标准中有这样的描述[2]，“综合运用数学知识解决简单的实际问题，增强应用意识，提高实践能力”，学会“用数学”才真正感受到数学之美，数学解决问题的过程引导学生发现和提出问题能力的培养。

1.初中数学题知识类比迁移教学策略广东省2019年中考第24题：如图1，在△ABC中，AB=AC，圆O是△ABC的外接圆，过点C作∠BCD=∠ACB交圆O于点D，连接AD交BC于点E，延长DC至点F，使CF=AC，连接AF。

（1）求证：ED=EC；（2）求证：AF是圆O的切线；（3）如图2，若点G是△ACD的内心，BC·BE= 25，求BG的长。

图1 图21.1 教学理念专业化，立足立德树人新时代的教师培养“人”的理念应该与时俱进，学生的双基固然重要，站在双基平台发展学生的创新和应用意识，视野一定的开阔的，在教学中渗透素养的培养，同时“数学是做出来的”，问题一定是数学教学活动的主线。

强化训练1.利用图形来表示数量或数量关系，也可以利用数量或数量关系来描述图形特征或图形之间的关系，这种思想方法称为数形结合。

你能利用数形结合的思想解决下列问题吗？（1）如图①，是一个边长为1的正方形，依次取正方形面积的12，14 ，18，…，12n ，根据图示我们可以知道：11111248162n+++++=_____。

（用含有n 的式子表示） （2）如图②，是一个边长为1的正方形，依次取剩余部分的23，根据图示，计算：222239273n ++++=______。

（用含有n 的式子表示） （3）如图③，是一个边长为1的正方形，根据图示，计算：1124823927813n n -++++ =_______。

（用含有n 的式子表示）2.我们知道：分式和分数有着很多的相似点，如类比分数的基本性质，我们得到了分式的基本性质，类比分数的运算法则，我们得到了分式的运算法则，等等。

小学里，把分子比分母小的分数叫作真分数。

类似地，我们把分子整式的次数小于分母整式的次数的分式称为真分式；反之，称为假分式。

对于任何一个假分式都可以化成整式与真分式的和的形式。

例如，1121221;11111x x x x x x x x +-+-==+=+----- 2322522552;11111x x x x x x x x -+-+-⎛⎫==+=+- ⎪+++++⎝⎭（1）下列分式： 2222143,,,11211x x y m x x y m -++-+-①②③④，属于真分式的是___________。

（填序号）（2）将假分式4521aa+-化成整式与真分式的和的形式为4521aa+-=_______，若假分式4521aa+-的值为整数，则整数a的值为_______。

3.数形结合思想是中学数学解题中常用的数学思想，利用这种思想，可以将代数问题转化为几何问题，也可以将几何问题转化为代数问题。

通过数形结合将代数与几何完美地结合在一起，可以大大降低解题的难度，提高效率和正确率，甚至还可以达到令人意想不到的效果。

理科考试研究•数学版2021年5月10日• 8 •C .水中捞月D .缘木求鱼评析此题是以成语为背景，将语文知识与数学 试题进行完美地结合，体现了学科的融合性,很有创 意，是一道好题.3结束语总之，命制试题是一个技术活，更是一个艺术活. 数学试题要体现其应有的功能，充满数学味道[2].命 题教师在命制数学试题时，一定要规避上面所说的问题，坚持以学生为本，运用恰当的、简洁的、人性的和 有效的试题背景，命制出一些好的试题来.参考文献：[1] 中华人民共和国教育部.义务教育数学课程标准 (2011年版）[M ].北京:北京师范大学出版社,2012.[2]单塒.数学课应当讲数学[J ].中学数学研究（高中版），2006( 11 ):30 -31.(收稿日期:2020-11 -20)重视教学文化参連核心素养—2020年湖州市中考数学试卷评析与启示王心宇(湖州师范学院浙江湖州313000)摘要:2020年湖州市中考数学试卷特色鲜明，体现了立德树人的要求.试卷命题立足基础，重视应用，从实际生 活和传统文化中选取优质素材，贯彻P 丨SA 考试的先进理念，既强调了中国古代数学文化的传统特色，又突出了对数学 核心素养的全面考查，具有较好的教学导向.关键词：中考试卷;数学文化;核心素养湖州市中考数学试卷的命题在课标的指导下，强 调落实立德树人的根本任务，立足基础，重视应用，从 实际生活和传统文化中选取优质素材，贯彻PISA 理 念，突出对核心素养的考查.试卷的整体设计体现了 基础性、科学性、公平性、导向性和梯度性，有助于教 师甄别学生的思维层次,有助于学生认识数学文化价 值，提高数学素养.笔者通过对2020年卷进行分析，剖析其试题特色，并归纳其命题特征，为中考复习提 供建议.1试题的特色与亮点1. 1贴近社会时事无数教育实践表明,将时事热点融入数学学习可 以拉近数学与社会的距离，更好地展现数学的教育形态.湖州中考数学卷的命题贯彻这一理念，从2018至 2020年无一不紧随社会时事，聚焦热点，相继以“两 山理论” “学习新思想，做好接班人”“网课满意度”作 为命题背景，在考查考生数学理论知识与数学操作能 力的同时，也充分发挥了数学的育人功能.在中考命 题领域，无疑是成功的经验，是一种很好的命题方向基金项目：湖州师范学院教改项目资助“ HPM 视角下的初中代数教学案例开发研究”（项目编号：YJGX 20011). 作者简介：王心宇（1997 -),女，浙江温州人，硕士研究生，研究方向：数学文化与数学教育.示范.例题1 (2020年湖州中考第20题）为了解对网上在线学习效果的满意度，某校设置了：非常满意、满 意、基本满意、不满意四个选项，随机抽查了部分学 生，要求每名学生都只选其中的一项，并将抽查结果 绘制成如图1的统计图（不完整）.被抽査的学生网上在线学习被抽査的学生网上在线学习效果满意度条形统计图效果满意度扇形统计图图1请根据图中信息解答下列问题：(1)求被抽查的学生人数，并补全条形统计图;2021年5月10日理科考试研究•数学版• 9 •(2) 求扇形统计图中表示“满意”的扇形的圆心 角度数；(3)若该校共有1000名学生参与网上在线学习， 根据抽查结果，试估计该校对学习效果的满意度是 “非常满意”或“满意”的学生共有多少人.评析本题采取传统的双图互补呈现方式，着重 考查学生分析数据、获取信息的基本知识技能；同时 结合学生的切身经历，将立德树人的根本目标融入其 中，引发其对线上学习这类社会问题的深度思考，体 现了鲜明的育人导向.1.2 关注传统文化《关于实施中华优秀传统文化传承发展工程的意 见》中明确强调要从多处落脚，切实开展传统美德传 承的教育活动.近年来，湖州中考数学试卷将古代数 学成就作为必备命题元素，同时与西方数学智慧有机 结合，形成兼具育人导向和能力导向的命题风格.例题2 (2020年湖州中考第10题）七巧板是我国祖先的一项卓越创造，流行于世界各地.由边长为2 的正方形可以制作一幅中国七巧板或一幅日本七巧 板，如图2所示.分别用这两幅七巧板试拼如图3中 的平行四边形或矩形，则这两个图形中，中国七巧板 和曰本七巧板能拼成的个数分别是（）.A . 1 和 1B . 1 和2C .2 和 1D . 2 和2评析七巧板是中国传统益智玩具，源于唐代的 “燕几”，融入了等积和出人相补原理，由基本平面图 形构成，看似简单却变化万千，既让各层次的学生都 有尝试之力，又可与不同知识点相结合而形成具备一 定思维和操作高度的题目.本题选取七巧板为主要素材，将中华传统智慧和爱国主义情怀渗透到数学学科 考查中，达成手脑相融的效果.试题要求学生根据目 标图形轮廓进行拼图，利用特殊的45°角和边长，结合 七巧板的基本特征，灵活选择方法，对动手操作能力 和数学活动经验有较高的要求，同时又需要学生有灵 活的创新性思维.1.3 融合PISA 理念，考查数学建模近五年来，湖州中考卷的试题情境与数学知识的 融合程度不断加深，情境创设水平逐渐提高.其中，2020年卷在考查学生“四基”时，充分结合了社会情境（如第2、20题）、科学情境（如第10、19题）和职业情境（如第22题）.可见，随着PISA 理念的影响日益深入，湖州中考卷基于抓牢数学应用能力的原则，更 加注重培养学生的数学抽象思维和建模能力.例题3 (2020年湖州中考第19题）有一种升降熨烫台如图4所示，其原理是通过改变两根支撑杆夹 角的度数来调整熨烫台的高度.图5是这种升降樊烫 台的平面示意图.和CD 是两根相同长度的活动支撑杆，点〇 烫的高度.A C图4 图5(1) 如图 5,若 /IB = CD = 110cm ，乙/10C = 120。

二次函数综合题的解法探究与启示以２０２３年南充市中考数学二次函数题型为例相晨晨(合肥师范学院数学与统计学院ꎬ安徽合肥２３００７１)摘㊀要:二次函数综合题一直是各地中考的热点ꎬ也是教学的难点.文章以南充市２０２３年中考数学试题中的一道二次函数压轴题为例ꎬ通过探求多种解法ꎬ立足核心素养ꎬ明晰思维路径ꎬ培养学生利用数学知识解决问题的能力及提高学生的思维能力.关键词:二次函数ꎻ综合题ꎻ解法探究ꎻ启示中图分类号:Ｇ６３２㊀㊀㊀文献标识码:Ａ㊀㊀㊀文章编号:１００８－０３３３(２０２４)０８－０００２－０４收稿日期:２０２３－１２－１５作者简介:相晨晨(１９９４ )ꎬ女ꎬ安徽省亳州人ꎬ硕士ꎬ从事数学教学论研究.基金项目:合肥师范学院研究生创新基金项目 基于网络画板培养初中生几何直观能力的教学实验研究 (项目编号:２０２３ｙｊｓ０３９).㊀㊀二次函数是初中数学的重要内容ꎬ也是中考数学的重要考点.由于其涉及的知识面广ꎬ思维难度大ꎬ通常以中考压轴题的形式呈现ꎬ对学生而言具有一定的难度.解决这类问题需要学生具备较高的数学素养和思维能力.２０２３年南充市中考数学第２５题是一道以二次函数为背景的压轴题ꎬ具有一定的选拔功能.本文立足核心素养ꎬ明晰思维路径ꎬ探究多种解法ꎬ培养学生利用数学知识分析问题和解决问题的能力ꎬ提升学生的数学核心素养.１试题呈现如图１ꎬ抛物线ｙ＝ａｘ２＋ｂｘ＋３(ａʂ０)与ｘ轴交于Ａ(－１ꎬ０)ꎬＢ(３ꎬ０)两点ꎬ与ｙ轴交于点Ｃ.(１)求抛物线的解析式.(２)点Ｐ在抛物线上ꎬ点Ｑ在ｘ轴上ꎬ以ＢꎬＣꎬＰꎬＱ为顶点的四边形为平行四边形ꎬ求点Ｐ的坐标.(３)如图２ꎬ抛物线的顶点Ｄꎬ对称轴与ｘ轴交于点Ｅꎬ过点Ｋ(１ꎬ３)的直线(直线ＫＤ除外)与抛物线交于ＧꎬＨ两点ꎬ直线ＤＧꎬＤＨ分别交ｘ轴于点ＭꎬＮꎬ试探究ＥＭ ＥＮ是否为定值ꎬ若是ꎬ求出该定值ꎻ若不是ꎬ说明理由.图１㊀抛物线ｙ＝ａｘ２＋ｂｘ＋３(ａʂ０)㊀㊀图２㊀问题(３)示意图２试题分析不论是从知识的综合性还是思维的层次性来看ꎬ二次函数都当之无愧地占据着初中数学代数领域的 制高点 ꎬ是中考压轴题的命题热点[１].本题是一道二次函数的综合题ꎬ以二次函数为背景并结合图形与几何进行命题ꎬ不仅能考查学生对二次函数和图形与几何相关知识的掌握情况ꎬ还能考查学生综合应用知识的能力及灵活处理问题的心态.问题的难度层层递进ꎬ符合学生的心理特征及由易到难的解题模式.本题以核心素养为导向ꎬ集中体现了数学课程的育人价值ꎬ符合«义务教育数学课程标准(２０２２年版)»所提出的命题原则ꎬ即实现对核心素养导向的义务教育数学课程学业质量的全面考查[２].本题主要考查的核心概念有二次函数㊁平行四边形的性质㊁一次函数㊁线段定值等ꎬ蕴含丰富的数学思想和方法ꎬ主要有方程思想㊁函数思想㊁数形结合思想㊁分类讨论思想和模型思想等.综合考查了学生的运算能力㊁几何直观㊁空间观念㊁推理能力和创新意识等核心素养.问题(１)难度较小ꎬ考查二次函数的解析式ꎬ学生只要熟知二次函数相关知识及求解方法ꎬ就能很容易解出正确答案.此问题主要考查学生的运算能力ꎬ培养学生会用数学的眼光观察现实世界.问题(２)难度上升ꎬ从学生的认知规律来看ꎬ只要学生认真审清题目ꎬ提取有关信息ꎬ采用 爬山法 ꎬ一步一步分析题目ꎬ也能很快解决问题.而本题是从平行四边形的性质出发ꎬ最终落脚到点的坐标ꎬ解题最关键的一点是学生能够考虑到分类讨论的思想ꎬ想到固定点ＢꎬＣ组成的线段ꎬ而点Ｐ在抛物线上ꎬ通过抛物线的图象来看ꎬ点Ｐ有可能在ｘ轴的上方ꎬ也有可能在ｘ轴的下方ꎬ然后采用数形结合的方法解决问题.此问题主要考查学生的运算能力㊁几何直观㊁推理能力等ꎬ培养学生会用数学的眼光观察现实世界和用数学的思维思考现实世界.问题(３)难度要比前两个问题高ꎬ学生要根据题目的信息先提出猜想ꎬ再进行证明ꎬ最后得出结论ꎬ并借助尺规将数学语言转化为实际图形ꎬ促进学生理解和思维的转变.此问题需要学生解出三个一次函数的解析式ꎬ并通过方程思想ꎬ解出两根之间的关系ꎬ再通过射影定理模型得出结论ꎬ对学生运算能力和逻辑思维能力的要求相对较高ꎬ知识的综合性更强ꎬ这不仅考查学生的 四基 和 四能 ꎬ更考查学生是否具有稳定的心态ꎬ培养学生会用数学的语言表达现实世界.３试题解答３.１问题(１)的解法解法１㊀(代入法)将Ａ(－１ꎬ０)ꎬＢ(３ꎬ０)两点代入抛物线ｙ＝ａｘ２＋ｂｘ＋３(ａʂ０)当中ꎬ得出ａ－ｂ＋３＝０ꎬ９ａ＋３ｂ＋３＝０ꎬ{解得ａ＝－１ꎬｂ＝２.{所以抛物线的解析式为ｙ＝－ｘ２＋２ｘ＋３.解法２㊀(对称法)因为抛物线ｙ＝ａｘ２＋ｂｘ＋３(ａʂ０)与ｘ轴交于Ａ(－１ꎬ０)ꎬＢ(３ꎬ０)两点ꎬ从而得出抛物线ｙ＝ａｘ２＋ｂｘ＋３(ａʂ０)的对称轴为ｘ＝１ꎬ所以ｂ＝２ａ.将Ａ(－１ꎬ０)代入抛物线中ａ－ｂ＋３＝０ꎬ从而得出ａ＝－１ꎬｂ＝２ꎬ所以抛物线的解析式为ｙ＝－ｘ２＋２ｘ＋３.解法３㊀(两点式)根据题意ꎬ可设抛物线的解析式为ｙ＝ａ(ｘ＋１)(ｘ－３)＝ａｘ２－２ａｘ－３ａꎬ从而得出－３ａ＝３ꎬ解得ａ＝－１ꎬ进而得出抛物线的解析式为ｙ＝－ｘ２＋２ｘ＋３(ａʂ０).３.２问题(２)的解法根据已知条件ꎬ以ＢꎬＣꎬＰꎬＱ为顶点的四边形为平行四边形ꎬ但并没有明确说明Ｐ的位置ꎬ所以要对点Ｐ的位置进行分类讨论ꎬ分为两种情况ꎬ第一种是Ｐ在ｘ轴的上方ꎬ第二种是Ｐ在ｘ轴的下方.第一种情况:Ｐ在ｘ轴的上方.解法１㊀(平行四边形的性质)如图３ꎬ过点Ｃ作ＣＰʊＢＱꎬ过点Ｐ作ＰＮʅＯＱꎬ设点Ｐ的坐标为(ｔꎬ－ｔ２＋２ｔ＋３)ꎬ因为四边形ＢＣＰＱ为平行四边形ꎬ所以ＢＣ＝ＰＱꎬＣＰ＝ＢＱ进而得出Ｑ(ｔꎬ０)ꎬＯＱ＝３＋ｔꎬＯＮ＝ｔꎬＮＱ＝３ꎬ所以ＰＱ２＝ＰＮ２＋ＮＱ２ꎬ即(－ｔ２＋２ｔ＋３)２＋９＝１８ꎬ当－ｔ２＋２ｔ＋３＝３ꎬ解得ｔ＝０(舍去)或ｔ＝２ꎻ当－ｔ２＋２ｔ＋３＝－３ꎬ因为Ｐ在ｘ轴的上方ꎬ所以－ｔ２＋２ｔ＋３＝－３舍去ꎬ从而只有ｔ＝２符合题意ꎬ进而求出点Ｐ的坐标为(２ꎬ３).图３㊀Ｐ在ｘ轴的上方示意图解法２㊀直线ＣＢ的斜率为ｋＣＢ＝－１ꎬ又因为ＣＢʊＰＱꎬ所以ｋＰＱ＝－１ꎬ－ｔ２＋２ｔ＋３＝３ꎬ解得ｔ＝０(舍去)或ｔ＝２ꎬ只有ｔ＝２是符合题意ꎬ从而求出点Ｐ的坐标为(２ꎬ３).第二种情况:Ｐ在ｘ轴的下方.解法１如图４ꎬ以ＢꎬＣꎬＰꎬＱ为顶点的四边形为平行四边形ꎬ所以四边形ＢＣＱＰ为平行四边形ꎬ即ＢＣ＝ＱＰꎬＢＣʊＱＰꎬøＣＢＯ＝øＢＱＰ＝４５ʎꎬ过点Ｐ作ＰＦʅＯＱꎬ设点Ｐ的坐标为(ｔꎬ－ｔ２＋２ｔ＋３)ꎬøＣＯＢ＝øＰＦＱ＝９０ʎꎬøＱＰＦ＝øＯＣＢ＝４５ʎꎬ所以ꎬ因此ＣＯ＝ＰＦꎬ－ｔ２＋２ｔ＋３＝－３ꎬ解得ｔ１＝１＋７ꎬｔ２＝１－７ꎬ点Ｐ的坐标为(１＋７ꎬ－３)和(１－７ꎬ－３).图４㊀Ｐ在ｘ轴的下方示意图解法２㊀直线ＣＢ的斜率为ｋＣＢ＝－１ꎬ又因为ＣＢʊＰＱꎬ所以ｋＰＱ＝－１ꎬ点Ｐ的坐标为(ｔꎬ－ｔ２＋２ｔ＋３)ꎬ点Ｑ的坐标为(ｔ－３ꎬ０)ꎬｋＰＱ＝－ｔ２＋２ｔ＋３３＝－１ꎬ解得ｔ１＝１＋７ꎬｔ１＝１＋７ꎬ点Ｐ的坐标为(１＋７ꎬ－３)和(１－７ꎬ－３).评析㊀分类讨论是二次函数综合题常用的方法之一ꎬ是学生在学习过程中必须掌握的解题思想.解决本题的关键是对点Ｐ的位置进行分类讨论ꎬ从已知条件出发ꎬ可以把点Ｐ分为在ｘ轴的上方和在ｘ轴的下方.３.３问题(３)的解法解法１㊀如图５所示ꎬ因为ｙ＝－ｘ２＋２ｘ＋３＝－(ｘ－１)２＋４ꎬ所以Ｄ(１ꎬ４).设过点Ｄ的直线解析式为ｙ＝ｋｘ＋ｂꎬ将Ｄ(１ꎬ４)代入直线解析式ꎬ得出ｙ＝ｋｘ＋３－ｋ.因为ＧꎬＨ在抛物线上ꎬ可设Ｇ(ｘ１ꎬ－ｘ２１＋２ｘ１＋３)ꎬＨ(ｘ２ꎬ－ｘ２２＋２ｘ２＋３)ꎬ所以ｋ(ｘ－１)＋３＝－ｘ２＋２ｘ＋３ꎬ整理得出ｘ２＋(ｋ－２)ｘ－ｋ＝０ꎬ所以ｘ１＋ｘ２＝２－ｋꎬｘ１ｘ２＝－ｋ.设ＤＧ的解析式为ｙ＝ｋ１ｘ＋ｂ１ꎬ将Ｄ(１ꎬ４)ꎬＧ(ｘ１ꎬ－ｘ２１＋２ｘ１＋３)代入解析中ꎬ进而求出解析式为ｙ＝－(ｘ１－１)ｘ＋ｘ１＋３.当ｙ＝０时ꎬ解得ｘ＝ｘ１＋３ｘ１－１ꎬ所以点Ｍｘ１＋３ｘ１－１ꎬ０æèçöø÷.同理可得Ｎｘ２＋３ｘ２－１ꎬ０æèçöø÷ꎬ所以ＥＭ＝１－ｘ１＋３ｘ１－１＝－４ｘ１－１ꎬ同理可求得ＥＮ＝４ｘ２－１ꎬ所以ＥＭ ＥＮ＝－１６ｘ１－１()ｘ２－１()＝－１６ｘ１ｘ２－ｘ１＋ｘ１()＋１＝－１６－ｋ－２＋ｋ＋１＝１６.从而可知ꎬＥＭ ＥＮ是定值ꎬ且定值为１６.图５㊀问题(３)解法１示意图评析㊀这类解法思路很明确ꎬ求出点的坐标ꎬ然后根据点的坐标求相关线段的长度ꎬ进而计算ＥＭ ＭＮ的值.虽然运算量较大ꎬ需要明确三条直线的解析式ꎬ但是解题的思路比较清晰.解法２㊀根据解法１ꎬ得出点Ｄ(１ꎬ４)ꎬ点Ｍｘ１＋３ｘ１－１ꎬ０æèçöø÷ꎬ点Ｎｘ２＋３ｘ２－１ꎬ０æèçöø÷ꎬ由此可知ＭＮ＝ｘ２＋３ｘ２－１－ｘ１＋３ｘ１－１＝４ｘ１－ｘ２()ｘ２－１()ｘ１－１()ꎬ由此可知ＭＮ２＝１６ｘ１＋ｘ２()２－６４ｘ１ｘ２ｘ２－１()２ｘ１－１()２＝１６ｋ２＋６４ｘ２－１()２ｘ１－１()２.由两点间的距离公式可得ＤＭ２＋ＤＮ２＝１６ｘ１－１()２＋１６ｘ２－１()２＋３２＝１６ｋ２＋６４ｘ１－１()２ｘ２－１()２ꎬ所以ＭＮ２＝ＤＭ２＋ＤＮ２ꎬ从而得出øＭＤＮ＝９０ʎꎬ所以øＭＤＥ＋øＥＤＮ＝９０ʎꎬ又因为ＤＥʅＭＮꎬ所以øＤＥＮ＋øＥＤＮ＝９０ʎꎬ所以øＭＤＥ＝øＤＥＮꎬ又øＤＥＭ＝øＤＥＮ＝９０ʎꎬ所以әＥＭＤʐәＥＤＮꎬ从而得出ＥＤ２＝ＥＭ ＥＮ＝１６.因此ꎬＥＭ ＥＮ是定值ꎬ且定值为１６.评析㊀根据点的坐标ꎬ利用两点间的距离公式可求得相关线段的长度ꎬ然后利用勾股定理的逆定理即可判定әＭＤＮ是直角三角形ꎬ最终利用直角三角形和相似三角形的性质解决问题.解法３㊀如图６所示ꎬ设过点Ｄ的直线解析式为ｙ＝ｋｘ＋ｂꎬ将Ｄ(１ꎬ４)代入直线解析式ꎬ得出ｙ＝ｋｘ＋３－ｋꎬ因为ＧꎬＨ在抛物线上ꎬ可设Ｇ(ｘ１ꎬｋｘ１＋３－ｋ)ꎬＨ(ｘ２ꎬｋｘ２＋３－ｋ)ꎬ从上面可知ｘ１＋ｘ２＝２－ｋꎬｘ１ｘ２＝－ｋꎬ过点Ｇ作ＧＦʅＤＥ于点Ｆꎬ过点Ｈ作ＨＪʅＤＥ于点Ｊꎬ则ＤＦ＝－ｋｘ１＋ｋ＋１ꎬＧＦ＝－ｘ１＋１ꎬＤＪ＝－ｋｘ２＋ｋ＋１ꎬＨＪ＝－ｘ２＋１ꎬ从而得出ＤＦ ＤＪ＝(－ｋｘ１＋ｋ＋１)(－ｋｘ１＋ｋ＋１)＝１ꎬＧＦ ＨＪ＝(－ｘ１＋１)(－ｘ２＋１)＝１ꎬ所以ＤＦ ＤＪ＝ＧＦ ＨＪꎬＤＦＧＦ＝ＨＪＤＪꎬ又因为øＤＦＧ＝øＨＪＤ＝９０ʎꎬ所以әＧＦＤәＤＪＨꎬ所以øＧＤＦ＝øＤＨＪꎬ所以øＧＤＨ＝øＧＤＦ＋øＪＤＨ＝øＤＨＪ＋øＪＤＨ＝９０ʎꎬＤＥʅｘ轴ꎬ所以øＤＥＭ＝øＮＥＤ＝９０ʎꎬ所以øＥＤＮ＋øＥＮＤ＝９０ʎꎬ所以øＭＤＥ＝øＤＮＥꎬ所以әＥＭＤәＥＤＮꎬ从而得出ＥＤ２＝ＥＭ ＥＮ＝１６.因此ꎬＥＭ ＥＮ是定值ꎬ且定值为１６.图６㊀问题(３)解法３示意图评析㊀根据图形特征ꎬ一条线段上有垂直线ꎬ并求ＥＭ ＥＮꎬ要能够想到射影定理ꎬ利用三角形相似ꎬ证明两个三角形相似要从角或者线段成比例角度考虑ꎬ同时解题的关键是要证明出øＭＤＮ＝９０ʎ.解法４㊀在上面的解法中已经求出了直线ＤＧ解析式为ｙ＝－(ｘ１－１)ｘ＋ｘ１＋３ꎬ同理可求出直线ＤＮ的解析式为ｙ＝－(ｘ２－１)ｘ＋ｘ２＋３ꎬ从而可以得出ｋＤＧ＝－(ｘ１－１)ꎬｋＤＮ＝－(ｘ２－１)ꎬ又因为ｘ１＋ｘ２＝２－ｋꎬｘ１ｘ２＝－ｋꎬ所以ｋＤＧ ｋＤＮ＝(ｘ１－１)ˑ(ｘ２－１)＝－１ꎬ则直线ＤＧ与直线ＤＮ互相垂直ꎬ进而øＭＤＮ＝９０ʎꎬ所以øＭＤＥ＋øＥＤＮ＝９０ʎꎬ所以øＭＤＥ＝øＤＮＥꎬ所以әＥＭＤәＥＤＮꎬ从而得出ＥＤ２＝ＥＭ ＥＮ＝１６.因此ꎬＥＭ ＥＮ是定值.评析㊀通过对图形的观察ꎬ发现解题的关键是要证明øＭＤＮ＝９０ʎꎬ两直线的夹角为直角ꎬ说明两直线互相垂直ꎬ则可以通过斜率关系进行证明ꎬ最后能求出ＥＭ ＥＮ的值.４解题反思４.１重视变式训练ꎬ发展思维能力题目不在于多ꎬ而在于精.一道题目不仅是一个知识点ꎬ它还可以是多个知识点的结合.在教学中教师可以围绕着一个问题向多个方向发散ꎬ把一道题变成一类题.就如本题中的二次函数ꎬ在方法上ꎬ对于点Ｐ的位置进行分类讨论ꎬ通过变式的形式可以从ＢꎬＣ所组成的线段是边还是对角线进行分类讨论ꎬ打破学生的常规思维.在内容上ꎬ除了可以考查线段乘积的定值和点的存在性ꎬ还可以与中点问题㊁线段的最值问题㊁面积定值㊁一次函数特殊角等问题进行结合.基于此ꎬ在教学中要不仅要培养学生能够灵活选择数学方法解决问题的习惯ꎬ还要通过 一题多解 培养学生思考问题和灵活变通的意识ꎬ而 一题多解 不仅有利于学生发散思维的培养ꎬ更有利于学生问题解决策略的形成㊁关键问题解决能力的培养[３].所以ꎬ在教学中教师可以通过变式进行教学ꎬ发展学生的思维能力ꎬ培养学生的发散思维ꎬ打破学生的思维定式ꎬ培养学生创新意识和实践能力.４.２构建知识网络ꎬ提高运算能力综合题往往不是一个数学知识点ꎬ而是多个数学知识的结合ꎬ所以在复习的过程中ꎬ要提高学生搭建知识网络的能力ꎬ形成知识框架ꎬ在教学中可以通过主题式学习ꎬ将知识进行整合.知识是解决问题的前提ꎬ而解决问题的成败关键在于学生的运算能力ꎬ它不仅是一种数学的操作能力ꎬ更是一种数学的思维能力[４]ꎬ教师在教学中可以通过日常的运算训练来发展学生的运算能力ꎬ有利于培养学生的思考问题的品质和养成科学的学习态度.参考文献:[１]石树伟.中考二次函数模型试题的源与流[Ｊ].中学数学月刊ꎬ２０２２(５):６０－６３.[２]中华人民共和国教育部.义务教育数学课程标准(２０２２年版)[Ｍ].北京:北京师范大学出版社ꎬ２０２２.[３]高岩.二次函数背景下三角形面积最值问题的解法探究:由一道九年级期末压轴题引发的思考[Ｊ].初中数学教与学ꎬ２０２２(９):２０－２２.[４]金小亚.借助几何直观培养运算能力[Ｊ].教育实践与研究(Ａ)ꎬ２０１９(１):２５－２８.[责任编辑:李㊀璟]。

中考《数学》压轴题的解题思路中考解数学压轴题，一要建立必胜的信心，二要具备扎实的基础知识和娴熟的基本技术，三要掌握常用的解题策略。

现介绍几种常用的解题策略，供初三同学参照。

1、以坐标系为桥梁，运用数形联合思想纵观近来几年各地的中考压轴题，绝大多数都是与坐标系有关的，其特色是经过成立点与数即坐标之间的对应关系，一方面可用代数方法研究几何图形的性质，另一方面又可借助几何直观，获取某些代数问题的解答。

2、以直线或抛物线知识为载体，运用函数与方程思想直线与抛物线是初中数学中的两类重要函数，即一次函数与二次函数所表示的图形。

所以，不论是求其分析式仍是研究其性质，都离不开函数与方程的思想。

比如函数分析式确实定，常常需要依据已知条件列方程或方程组并解之而得。

3、利用条件或结论的多变性，运用分类议论的思想分类议论思想可用来检测学生思想的正确性与严实性，经常经过条件的多变性或结论的不确立性来进行观察，有些问题，假如不注意对各样状况分类议论，就有可能造成错解或漏解，纵观近几年的中考压轴题分类议论思想解题已成为新的热门。

4、综合多个知识点，运用等价变换思想任何一个数学识题的解决都离不开变换的思想，初中数学中的变换大概包含由已知向未知，由复杂向简单的变换，而作为中考压轴题，更注意不一样知识之间的联系与变换，一道中考压轴题一般是融代数、几何、三角于一体的综合试题，转换的思路更要获取充足的应用。

中考压轴题所观察的并不是孤立的知识点，也并不是个其他思想方法，它是对考生综合能力的一个全面观察，所波及的知识面广，所使用的数学思想方法也较全面。

所以有的考生对压轴题有一种惧怕感，以为自己的水平一般，做不了，甚至连看也没看就放弃了，自然也就得不到应得的分数，为了提升压轴题的得分率，考试中还需要有一种分题、分段的得分策略。

5、分题得分中考压轴题一般在大题下都有两至三个小题，难易程度是第(1)小题较易，第 (2) 小题中等，第 (3)小题偏难，在解答时要把第 (1)小题的分数必定拿到，第 (2)小题的分数要力求拿到，第(3)小题的分数要争取获取，这样就大大提升了获取中考数学高分的可能性。

摭谈核心素养下的初中几何试题命制的实践与思考摘要：笔者分析了近年福建省中考数学试题中的几何问题的考查要求与命题特点，结合试题的难度与学生的答题情况，在核心素养下的几何试题应选择数学教材中的几何素材、应以图形的变换为背景、应以几何模型为载体命制；这样几何试题容易与学生学习贴近、容易引起学生学习几何知识的兴趣、容易让学生的思维得到拓展，让学生在解决问题后突破自我，学会举一反三；提高学生的综合素养，促进教师的整体教学水平，进而推动教育行业的发展。

关键词：核心素养；初中几何；试题命制引言：《义务教育数学课程标准（2022年版）》指出：初中阶段图形与几何领域的学习应从演译证明、运动变化、量化分析三个方面分析图形的基本性质和相互关系，进一步建立空间观念、几何直观，提升抽象能力和推理能力。

初中几何教学必须全面考核和评价空间观念、几何直观、推理能力等核心素养达成及发展情况。

考试作为学生学业质量评价的主要方式，其试题如何与核心素养对接，实现从知识技能考查向核心素养考查转型，是亟待深入研究解决的课题。

本文从核心素养视角下谈谈一些几何命题的实践与思考。

一、初中几何试题命制的实践举隅初中几何考查内容主要有图形形状的判定、图形的大小计算与推理、图形的关系判定与证明、图形的变换特征与关系等。

几何试题应有利于考查学生对几何概念、性质、关系、规律的理解、表达和应用，考查学生的思维过程与学生核心素养的达成；要从知识立意向知识、能力、素养立意转变，关注通性通法，把握数学的本质；应能激发学生学习几何的兴趣与热情，让他们以更积极的态度投入学习，掌握几何知识与方法，发展数学能力与素养。

（一）以教材内容为素材命制试题要命制一道好题要选择合适的素材，而教材中所有的素材都是学生最熟悉的学习材料，教材中蕴含着丰富的命题素材，数学教材中例、习题等具有典型性、生成性，教材中典型的例题和习题反映了相关数学理论的本质属性，蕴含着数学的重要思维方法和思想精髓，对他们的进行深度挖掘与创新性使用，可为命题提供了广阔的空间。