大一上学期高数期末考试
一、单项选择题 (本大题有4小题, 每小题4分, 共16分)
1. )
(
0),sin (cos )( 处有则在设=+=x x x x x f .
（A ）(0)2f '= （B ）(0)1f '=（C ）(0)0f '= （D ）()f x 不可导.
2.
）
时（ ，则当，设133)(11)(3→-=+-=x x x x x
x βα.
（A ）()()x x αβ与是同阶无穷小，但不是等价无穷小； （B ）()()x x αβ与是等价无穷小；
（C ）()x α是比()x β高阶的无穷小； （D ）()x β是比()x α高阶的无穷小.
3.
若
()()()0
2x
F x t x f t dt
=-⎰，其中()f x 在区间上(1,1)-二阶可
导且'>()0f x ，则（ ）.
（A ）函数()F x 必在0x =处取得极大值； （B ）函数()F x 必在0x =处取得极小值；
（C ）函数()F x 在0x =处没有极值，但点(0,(0))F 为曲线()y F x =的拐点； （D ）函数()F x 在0x =处没有极值，点(0,(0))F 也不是曲线()y F x =的拐点。
4.
)
(
)( , )(2)( )(1
=+=⎰x f dt t f x x f x f 则是连续函数，且设
（A ）22x （B ）2
2
2x
+（C ）1x - （D ）2x +.
二、填空题（本大题有4小题，每小题4分，共16分）
5.
=
+→x
x x sin 2
)
31(lim .
6.
,)(cos 的一个原函数是已知
x f x x
=
⋅⎰x x x
x f d cos )(则 .
7.
lim (cos cos cos )→∞-+++=222
21
n n n n n n
ππππ
.
8. =
-+⎰
2
12
12
211
arcsin －
dx x
x x .
三、解答题（本大题有5小题，每小题8分，共40分）
9. 设函数=()y y x 由方程
sin()1x y
e xy ++=确定，求'()y x 以及'(0)y .
10. .d )1(17
7
x x x x ⎰+-求
11. ．
求，， 设⎰--⎪⎩⎪
⎨⎧≤<-≤=1 32
)(1020)(dx x f x x x x xe x f x
12. 设函数)(x f 连续，=⎰1
0()()g x f xt dt
，且→=0()
lim
x f x A x ，A
为常数. 求'()g x 并讨论'()g x 在=0x 处的连续性.
13. 求微分方程2ln xy y x x '+=满足
=-
1
(1)9y 的解.
四、 解答题（本大题10分）
14. 已知上半平面内一曲线)0()(≥=x x y y ，过点(,)01，且曲线
上任一点M x y (,)00处切线斜率数值上等于此曲线与x 轴、y 轴、直线x x =0
所围成面积的2倍与该点纵坐标之和，求此曲线方程. 五、解答题（本大题10分）
15. 过坐标原点作曲线x y ln =的切线，该切线与曲线x y ln =及x 轴围成平面图形D.
(1) 求D 的面积A ；(2) 求D 绕直线x = e 旋转一周所得旋转体的体积V .
六、证明题（本大题有2小题，每小题4分，共8分）
16. 设函数)(x f 在[]0,1上连续且单调递减，证明对任意的[,]∈01q ，
1
()()≥⎰⎰q
f x d x q f x dx
.
17. 设函数)(x f 在
[]π,0上连续，且0
)(0
=⎰π
x d x f ，
cos )(0
=⎰
π
dx x x f .证明：在()π,0内至少存在两个不同的点21,ξξ，
使.0)()(21==ξξf f （提示：设
⎰=
x
dx
x f x F 0
)()(）
解答
一、单项选择题(本大题有4小题, 每小题4分, 共16分) 1、D 2、A 3、C 4、C
二、填空题（本大题有4小题，每小题4分，共16分）
5.6
e . 6.c x x +2
)cos (21 .7. 2π. 8.3
π
.
三、解答题（本大题有5小题，每小题8分，共40分）
9.解：方程两边求导
(1)cos()()0x y e y xy xy y +''+++= cos()()cos()x y x y
e y xy y x e x xy +++'=-+
0,0x y ==，(0)1y '=-
10. 解：7
67u x x dx du ==
1(1)112
()7(1)71u du du
u u u u -==-++⎰⎰原式 1
(ln ||2ln |1|)7u u c =-++ 7712
ln ||ln |1|77x x C =-++
11.
解：1
03
3
()x f x dx xe dx ---=+⎰⎰⎰
03
()x xd e --=-+⎰⎰
00
2
32
cos (1sin )x x
xe e d x πθθθ----⎡⎤=--+-=⎣⎦⎰
令
321
4
e π
=
--
12. 解：由(0)0f =，知(0)0g =。
===
⎰⎰1
()()()x
xt u
f u du
g x f xt dt x
(0)x ≠
