第一节 整数的p 进位制及其应用
正整数有无穷多个，为了用有限个数字符号表示出无限多个正整数，人们发明了进位制，这是一种位值记数法。进位制的创立体现了有限与无限的对立统一关系，近几年来，国内与国际竞赛中关于“整数的进位制”有较多的体现，比如处理数字问题、处理整除问题及处理数列问题等等。在本节，我们着重介绍进位制及其广泛的应用。
基础知识
给定一个m 位的正整数A ，其各位上的数字分别记为021,,,a a a m m ，则此数可以简记为：021a a a A m m （其中01 m a ）。
由于我们所研究的整数通常是十进制的，因此A 可以表示成10的1 m 次多项式，即
012211101010a a a a A m m m m ，其中1,,2,1},9,,2,1,0{ m i a i 且
01 m a ，像这种10的多项式表示的数常常简记为10021)(a a a A m m 。在我们的日常
生活中，通常将下标10省略不写，并且连括号也不用，记作021a a a A m m ，以后我们所讲述的数字，若没有指明记数式的基，我们都认为它是十进制的数字。但是随着计算机的普及，整数的表示除了用十进制外，还常常用二进制、八进制甚至十六进制来表示。特别是现代社会人们越来越显示出对二进制的兴趣，究其原因，主要是二进制只使用0与1这两种数学符号，可以分别表示两种对立状态、或对立的性质、或对立的判断，所以二进制除了是一种记数方法以外，它还是一种十分有效的数学工具，可以用来解决许多数学问题。 为了具备一般性，我们给出正整数A 的p 进制表示：
012211a p a p a p a A m m m m ，其中1,,2,1},1,,2,1,0{ m i p a i 且
01 m a 。而m 仍然为十进制数字，简记为p m m a a a A )(021 。
第二节 整数的性质及其应用（1）
基础知识
整数的性质有很多，这里我们着重讨论整数的整除性、整数的奇偶性，质数与合数、完全平方数及整数的尾数等几个方面的应用。
1．整除的概念及其性质
在高中数学竞赛中如果不加特殊说明，我们所涉及的数都是整数，所采用的字母也表示整数。 定义：设b a ,是给定的数，0 b ，若存在整数c ，使得bc a 则称b 整除a ，记作a b |，并称b 是a 的一个约数(因子)，称a 是b 的一个倍数，如果不存在上述c ，则称b 不能整除a 记作b a 。
由整除的定义，容易推出以下性质：
(1)若c b |且a c |，则a b |(传递性质)；
(2)若a b |且c b |，则)(|c a b 即为某一整数倍数的整数之集关于加、减运算封闭。若反复运用这一性质，易知a b |及c b |，则对于任意的整数v u ,有)(|cv au b 。更一般，若
n a a a ,,,21 都是b 的倍数，则)(|21n a a a b 。或着i b a |，则 n
i i i b c a 1
|其中
n i Z c i ,,2,1, ；
(3)若a b |，则或者0 a ，或者||||b a ，因此若a b |且b a |，则b a ； (4)b a ,互质，若c b c a |,|，则c ab |；
(5)p 是质数，若n a a a p 21|，则p 能整除n a a a ,,,21 中的某一个；特别地，若p 是质数，若n
a p |，则a p |；
(6)(带余除法)设b a ,为整数，0 b ，则存在整数q 和r ，使得r bq a ，其中b r 0，
并且q 和r 由上述条件唯一确定；整数q 被称为a 被b 除得的(不完全)商，数r 称为a 被b 除得的余数。注意：r 共有b 种可能的取值：0,1，……，1 b 。若0 r ，即为a 被b 整除的情形；
易知，带余除法中的商实际上为
b a （不超过b a
的最大整数），而带余除法的核心是关
于余数r 的不等式：b r 0。证明a b |的基本手法是将a 分解为b 与一个整数之积，在较为初级的问题中，这种数的分解常通过在一些代数式的分解中取特殊值而产生，下面两个
分解式在这类论证中应用很多，见例1、例2。
若n 是正整数，则))((1221
n n n n n
n
y xy y x x
y x y x ；
若n 是正奇数，则))((1221
n n n n n
n
y xy y x x
y x y x ；（在上式中用y
代y ）
(7)如果在等式
m
k k
n i i
b
a 1
1
中取去某一项外，其余各项均为c 的倍数，则这一项也是c 的
倍数；
(8)n 个连续整数中，有且只有一个是n 的倍数；
(9)任何n 个连续的整数之积一定是n!的倍数，特别地，三个连续的正整数之积能被6整除；
2．奇数、偶数有如下性质：
(1)奇数 奇数=偶数，偶数 偶数＝偶数，奇数 偶数＝奇数，偶数 偶数＝偶数，奇数
偶数＝偶数，奇数 奇数＝奇数；即任意多个偶数的和、差、积仍为偶数，奇数个奇数的和、差仍为奇数，偶数个奇数的和、差为偶数，奇数与偶数的和为奇数，和为偶数；
（2）奇数的平方都可以表示成18 m 的形式，偶数的平方可以表示为m 8或48 m 的形式； （3）任何一个正整数n ，都可以写成l n m 2 的形式，其中m 为负整数，l 为奇数。 （4）若有限个整数之积为奇数，则其中每个整数都是奇数；若有限个整数之积为偶数，则这些整数中至少有一个是偶数；两个整数的和与差具有相同的奇偶性；偶数的平方根若是整数，它必为偶数。
3．完全平方数及其性质
能表示为某整数的平方的数称为完全平方数，简称平方数。平方数有以下性质与结论： （1）平方数的个位数字只可能是0,1，4,5，6,9；
（2）偶数的平方数是4的倍数，奇数的平方数被8除余1，即任何平方数被4除的余数只有可能是0或1；
（3）奇数平方的十位数字是偶数；
（4）十位数字是奇数的平方数的个位数一定是6；
（5）不能被3整除的数的平方被3除余1，能被3整数的数的平方能被3整除。因而，平方数被9也合乎的余数为0,1，4,7，且此平方数的各位数字的和被9除的余数也只能是0,1，4,7；
（6）平方数的约数的个数为奇数；
（7）任何四个连续整数的乘积加1，必定是一个平方数。 （8）设正整数b a ,之积是一个正整数的k 次方幂（2 k ），若（b a ,）＝1，则b a ,都是整数的k 次方幂。一般地，设正整数c b a ,,, 之积是一个正整数的k 次方幂（2 k ），若c b a ,,, 两两互素，则c b a ,,, 都是正整数的k 次方幂。 4．整数的尾数及其性质
整数a 的个位数也称为整数a 的尾数，并记为)(a G 。)(a G 也称为尾数函数，尾数函数具有以下性质：
（1） ))((a G G )(a G ；（2）)(21n a a a G ＝)]()()([21n a G a G a G G ； （3） )(21n a a a G )]()()([21n a G a G a G G ；（4）0)10( a G ；
)()10(b G b a G ；
（5）若c b a 10 ，则)()(b G a G ；（6） N k a a G a G k
,),()(44；
（7） N r k a r k a G a
G r r
k ,,,40,0),()(4；
（8）
同为奇数时当同时为偶数时为奇数或为偶数，当是偶数为奇数，当212121421,),(,),(),()(121b b a G b b b b a G b b a G a
G b b n
b b
