2019版一轮创新思维文数(人教版A版)练习：第五章 第一节 数列的概念与简单表示法 含解析

【考纲要求】1、数列的概念和简单表示法（1）了解数列的概念和几种简单的表示方法（列表、图像、通项公式）. （2）了解数列是自变量为正整数的一类函数. 【基础知识】 1、数列的定义按照一定顺序排列的一列数，称为数列。

数列中的每一项叫做数列的项。

数列的项在这列数中是第几项，则在数列中是第几项。

一般记为数列{}n a2、数列的分类（1）按照数列的项数分，可以分为有穷数列和无穷数列。

（2）按照单调性分，数列可以分为递增数列、递减数列、常数列和摆动数列。

3、数列是一种特殊的函数数列是一种特殊的函数，其定义域是正整数集N *和正整数集N *的有限子集。

所以数列的函数的图像不是连续的曲线，而是一串孤立的点。

4、数列的常用表示方法 （1）数列的通项公式如果数列{}n a 的第n 项n a 和项数n 之间的关系可以用一个公式来表示，那么这个公式就叫做这个数列的通项公式。

即()n a f n =。

不是每一个数列都有通项公式。

不是每一个数列只有一个通项公式。

（2）数列的递推公式如果已知数列的第一项或前几项，且任意一项n a 与它的前一项1n a -的关系可以用一个式子1()n n a f a -=来表示，那么这个式子就叫做这个数列的递推公式。

5、数列的前n 项和12n n S a a a =++⋅⋅⋅+6、数列{}n a 的前n 项和n S 和通项n a 的关系11,1,2n n n s n a s s n -=⎧=⎨-≥⎩该公式主要是用来求数列的通项，求数列通项时，一定要分两步讨论，结果能并则并，不并则分。

【例题精讲】例1 若数列{a n }的前n 项和S n ＝n 2－10n (n ＝1,2,3，…)。

（1） 求此数列的通项公式；（2） 数列{na n }中数值最小的项是第几项？解析：n ≥2时，a n ＝S n －S n －1＝n 2－10n －[(n －1)2－10(n －1)]＝2n －11；n ＝1时，a n ＝S 1＝－9符合上式．∴a n ＝2n －11.设第n 项最小，则⎩⎪⎨⎪⎧na n ≤n ＋1a n ＋1na n ≤n －1a n －1，∴⎩⎪⎨⎪⎧2n 2－11n ≤n ＋1·2n －92n 2－11n ≤n －1·2n －13，解得94≤n ≤134.又n ∈N *，∴n ＝3.例2 已知数列{a n }的通项公式为a n ＝n 2－5n ＋4. (1)数列中有多少项是负数？(2)n 为何值时，a n 有最小值？并求出最小值． 解：(1)由n 2－5n ＋4＜0，解得1＜n ＜4.∵n ∈N *，∴n ＝2,3.∴数列中有两项a 2，a 3是负数． (2)∵a n ＝n 2－5n ＋4＝(n －52)2－94的对称轴方程为n ＝52.又n ∈N *，∴n ＝2或n ＝3时，a n 有最小值， 其最小值为a 2＝a 3＝－2.5.1数列的概念强化训练 【基础精练】1．在数列{a n }中，a 1＝1，a n a n －1＝a n －1＋(－1)n(n ≥2，n ∈N *)，则a 3a 5的值是( )A.1516 B.158 C.34D.382．已知数列{a n }满足a 1>0，a n ＋1a n ＝12，则数列{a n }是( ) A ．递增数列B ．递减数列C ．摆动数列D ．不确定3．下列说法正确的是( ) A ．数列1,3,5,7可表示为{1,3,5,7}B ．数列1,0，－1，－2与数列－2，－1,0,1是相同数列C ．数列{n ＋1n }的第k 项为1＋1kD ．数列0,2,4,6，…可记为{2n }4．下列关于星星的图案构成一个数列，该数列的一个通项公式是( )A．a n＝n2－n＋1 B．a n＝n n－12C．a n＝n n＋12D．a n＝n n＋225．已知a1＝1，a n＝n(a n＋1－a n)(n∈N*)，则数列{a n}的通项公式是( )A．2n－1 B．(n＋1n)n－1 C．n2D．n6．共有10项的数列{a n}的通项a n＝2 007－10n2 008－10n，则该数列中最大项、最小项的情况是( )A．最大项为a1，最小项为a10B．最大项为a10，最小项为a1 C．最大项为a6，最小项为a5D．最大项为a4，最小项为a37.已知数列{a n}的前n项和S n＝n3，则a6＋a7＋a8＋a9等于( )A．729 B．367 C．604 D．8548．已知数列{a n}的前n项和S n＝n2－9n，第k项满足5<a k<8，则k＝( ) A．6 B．7 C．8 D．99．数列53，108，17a＋b，a－b24，…中，有序数对(a，b)可以是__________．10．已知S n是数列{a n}的前n项和，且有S n＝n2＋1，则数列{a n}的通项公式是________．【拓展提高】1.已知数列{a n}的前n项和为S n，满足log2(1＋S n)＝n＋1，求数列的通项公式．2．在数列{a n}中，a1＝12，a n＝1－1a n－1(n≥2，n∈N*)，数列{a n}的前n项和为S n.(1)求证：a n＋3＝a n；(2)求a2008.【基础精练参考答案】2.B 【解析】∵a n ＋1a n ＝12<1.又a 1>0，则a n >0，∴a n ＋1<a n ， ∴{a n }是递减数列．3.C 【解析】由数列定义可知A 、B 错误；数列{n ＋1n }的第k 项为k ＋1k ＝1＋1k，故C 正确；数列0,2,4,6，…的通项公式为a n ＝2n －2，故D 错．4.C 【解析】从图中可观察星星的构成规律，n ＝1时，有1个；n ＝2时，有3个； n ＝3时，有6个；n ＝4时，有10个；…∴a n ＝1＋2＋3＋4＋…＋n ＝n n ＋12.5.D 【解析】法一：由已知整理得(n ＋1)a n ＝na n ＋1， ∴a n ＋1n ＋1＝a n n ，∴数列{a nn }是常数列． 且a n n ＝a 11＝1，∴a n ＝n . 法二：累乘法：n ≥2时，a n a n －1＝n n －1a n －1a n －2＝n －1n －2⋮a 3a 2＝32 a 2a 1＝21两边分别相乘得a n a 1＝n . 又∵a 1＝1，∴a n ＝n .6.D【解析】a n＝2 008－10n－12 008－10n ＝1＋110n－2 008，则a n在n≤3且n∈N*时为递减数列，n≥4，n∈N*时也为递减数列，∴1>a1>a2>a3，a4>a5>a6>…>a10>1.故最大项为a4，最小项为a3.7.C【解析】a6＋a7＋a8＋a9＝S9－S5＝93－53＝604.8.C【解析】由S n＝n2－9n可得等差数列{a n}的通项公式a n＝S n－S n－1＝2n－10，由5<a k<8可得5<2k－10<8且k∈Z，解得152<k<9且k∈Z，∴k＝8.9. (412，－112)【解析】从上面的规律可以看出⎩⎪⎨⎪⎧a＋b＝15a－b＝26，解上式得⎩⎪⎨⎪⎧a＝412b＝－112.10.2(1)21(2)nnan n=⎧=⎨-⎩≥【解析】当n＝1时，a1＝S1＝1＋1＝2，当n≥2时，a n＝S n－S n－1＝(n2＋1)－[(n－1)2＋1]＝2n－1.2(1)21(2) nnan n=⎧=⎨-⎩≥【拓展提高参考答案】2.【解析】(1)证明：a n＋3＝1－1a n＋2＝1－11－1a n＋1＝1－11－11－1a n ＝1－11－1a n－1a n＝1－11－a na n－1＝1－1a n－1－a na n－1＝1－1－1a n－1＝1－(1－a n)＝a n.∴a n＋3＝a n.(2)解：由(1)知数列{a n}的周期T＝3，a1＝12，a2＝－1，a3＝2.又∵a 2008＝a 3×669＋1＝a 1＝12.∴a 2008＝12.。

第一节列的概念与简单表示法列的概念及表示方法(1)了解列的概念和几种简单的表示方法(列表、图象、通项公式)．(2)了解列是自变量为正整的一类函．知识点一列的概念1．列的定义按照一定顺序排列的一列称为列，列中的每一个叫作这个列的项．排在第一位的称为这个列的第1项(通常也叫作首项)．2．列的分类易误提醒1．由前n 项写通项、列的通项并不唯一．2．易混项与项两个不同的概念，列的项是指列中某一确定的，而项是指列的项对应的位置序号．[自测练习]1．列{a n }：1，－58，715，－924，…，的一个通项公式是( )A ．a n ＝(－1)n ＋12n －1n 2＋n(n ∈N ＋)B ．a n ＝(－1)n －12n ＋1n 3＋3n(n ∈N ＋) C ．a n ＝(－1)n ＋12n －1n 2＋2n (n ∈N ＋)D ．a n ＝(－1)n －12n ＋1n 2＋2n(n ∈N ＋)解析：观察列{a n }各项，可写成：31×3，－52×4，73×5，－94×6，故选D.答案：D2．已知列的通项公式为a n ＝n 2－8n ＋15，则3( ) A ．不是列{a n }中的项 B ．只是列{a n }中的第2项 C ．只是列{a n }中的第6项 D ．是列{a n }中的第2项或第6项解析：令a n ＝3，即n 2－8n ＋15＝3，解得n ＝2或6，故3是列{a n }中的第2项或第6项．答案：D知识点二 列与函关系及递推公式 1．列与函的关系从函观点看，列可以看作定义域为正整集N ＋(或它的有限子集)的函，当自变量从小到大依次取值时，该函对应的一列函值就是这个列．2．列的递推公式如果已知列{a n }的首项(或前几项)，且任一项a n 与它的前一项a n－1(n ≥2)(或前几项)间的关系可用一个公式表示，那么这个公式叫列的递推公式．必记结论 a n 与S n 的关系若列{a n }的前n 项和为S n ，则a n ＝⎩⎪⎨⎪⎧S 1，n ＝1，S n －S n －1，n ≥2.[自测练习]3．在列{a n }中，a 1＝1，a n ＝2a n －1＋1，则a 5的值为( )A ．30B ．31C ．32D ．33解析：a 5＝2a 4＋1＝2(2a 3＋1)＋1＝22a 3＋2＋1＝23a 2＋22＋2＋1＝24a 1＋23＋22＋2＋1＝31.答案：B4．已知列{a n }的前n 项和S n ＝2n －3，则列{a n }的通项公式是________．解析：当n ＝1时，a 1＝S 1＝2－3＝－1， 当n ≥2时，a n ＝S n －S n －1＝(2n －3)－(2n －1－3)＝2n －2n －1＝2n －1.故a n ＝⎩⎪⎨⎪⎧－1，n ＝1，2n －1，n ≥2.答案：an ＝⎩⎪⎨⎪⎧－1，n ＝12n －1，n ≥2考点一 由列的前几项求列的通项公式|1．下列公式可作为列{a n }：1,2,1,2,1,2，…的通项公式的是( )A ．a n ＝1B ．a n ＝－n＋12 C ．a n ＝2－⎪⎪⎪⎪⎪⎪sin n π2D ．a n ＝－n －1＋32解析：由a n ＝2－⎪⎪⎪⎪⎪⎪sin n π2可得a 1＝1，a 2＝2，a 3＝1，a 4＝2，….答案：C2．根据列的前几项，写出各列的一个通项公式： (1)4,6,8,10，…；(2)－11×2，12×3，－13×4，14×5，…；(3)a ，b ，a ，b ，a ，b ，…(其中a ，b 为实)； (4)9,99,999,9 999，….解：(1)各都是偶，且最小为4，所以通项公式a n ＝2(n ＋1)(n ∈N ＋)．(2)这个列的前4项的绝对值都等于序号与序号加1的积的倒，且奇项为负，偶项为正，所以它的一个通项公式a n ＝(－1)n ×1n n ＋.(3)这是一个摆动列，奇项是a ，偶项是b ，所以此列的一个通项公式a n ＝⎩⎪⎨⎪⎧a ，n 为奇，b ，n 为偶.(4)这个列的前4项可以写成10－1,100－1，1 000－1,10 000－1，所以它的一个通项公式a n ＝10n －1.用观察法求列的通项公式的两个技巧(1)根据列的前几项求它的一个通项公式，要注意观察每一项的特点，观察出项与n 之间的关系、规律，可使用添项、通分、分割等办法，转为一些常见列的通项公式求．(2)对于正负符号变，可用(－1)n 或(－1)n ＋1调整．考点二 由a n 与S n 的关系求通项a n |已知下面列{an }的前n 项和S n ，求{a n }的通项公式： (1)S n ＝2n 2－3n ；(2)S n ＝3n ＋b . [解] (1)a 1＝S 1＝2－3＝－1，当n ≥2时，a n ＝S n －S n －1＝(2n 2－3n )－[2(n －1)2－3(n －1)]＝4n －5，由于a 1也适合此等式，∴a n ＝4n －5. (2)a 1＝S 1＝3＋b ，当n ≥2时，a n ＝S n －S n －1＝(3n ＋b )－(3n －1＋b )＝2·3n －1.当b ＝－1时，a 1适合此等式．当b ≠－1时，a 1不适合此等式． ∴当b ＝－1时，a n ＝2·3n －1；当b ≠－1时，a n ＝⎩⎪⎨⎪⎧3＋b ，n ＝1，2·3n －1，n ≥2.已知S n 求a n 的三个步骤(1)先利用a 1＝S 1求出a 1；(2)用n －1替换S n 中的n 得到一个新的关系，利用a n ＝S n －S n －1(n ≥2)便可求出当n ≥2时a n 的表达式；(3)对n ＝1时的结果进行检验，看是否符合n ≥2时a n 的表达式，如果符合，则可以把列的通项公式合写；如果不符合，则应该分n ＝1与n ≥2两段写．已知各项均为正的列{a n }的前n 项和满足S n >1，且6S n ＝(a n ＋1)(a n ＋2)，n ∈N ＋，求{a n }的通项公式．解：由a 1＝S 1＝16(a 1＋1)(a 1＋2)，解得a 1＝1或a 1＝2， 由已知a 1＝S 1>1，因此a 1＝2.又由a n ＋1＝S n ＋1－S n ＝16(a n ＋1＋1)(a n ＋1＋2)－16(a n ＋1)(a n ＋2)，得a n ＋1－a n －3＝0或a n ＋1＝－a n . 因为a n >0，故a n ＋1＝－a n 不成立，舍去． 因此a n ＋1－a n －3＝0.即a n ＋1－a n ＝3，从而{a n }是以公差为3，首项为2的等差列，故{a n }的通项公式为a n ＝3n －1.考点三 由递推关系式求列的通项公式|递推公式和通项公式是列的两种表示方法，它们都可以确定列中的任意一项，只是由递推公式确定列中的项时，不如通项公式直接．归纳起常见的探究角度有： 1．形如a n ＋1＝a n f (n )，求a n . 2．形如a n ＋1＝a n ＋f (n )，求a n .3．形如a n ＋1＝Aa n ＋B (A ≠0且A ≠1)，求a n .4．形如a n ＋1＝Aa nBa n ＋C(A ，B ，C 为常)，求a n .探究一 形如a n ＋1＝a n f (n )，求a n . 1．在列{a n }中，a 1＝1，a n ＝n －1na n －1(n ≥2)． 解：因为a n ＝n －1n a n －1(n ≥2)，所以a n －1＝n －2n －1a n －2，…，a 2＝12a 1.由累乘法可得a n ＝a 1·12·23·…·n －1n ＝a 1n ＝1n (n ≥2)．又a 1＝1符合上式，∴a n ＝1n.探究二 形如a n ＋1－a n ＝f (n )，求a n . 2．在列{a n }中，a 1＝2，a n ＋1＝a n ＋3n ＋2.解：因为a n ＋1－a n ＝3n ＋2，所以a n －a n －1＝3n －1(n ≥2)，所以an ＝(a n －a n －1)＋(a n －1－a n －2)＋…＋(a 2－a 1)＋a 1＝n n ＋2(n ≥2)．当n ＝1时，a 1＝2＝12×(3×1＋1)，符合上式，所以a n ＝32n2＋n2.探究三 形如a n ＋1＝Aa n ＋B (A ≠0且A ≠1)求a n . 3．在列{a n }中a 1＝1，a n ＋1＝3a n ＋2.解：因为a n ＋1＝3a n ＋2，所以a n ＋1＋1＝3(a n ＋1)，所以a n ＋1＋1a n ＋1＝3，所以列{a n ＋1}为等比列，公比q ＝3.又a 1＋1＝2，所以a n ＋1＝2·3n－1，所以a n ＝2·3n －1－1.探究四 形如a n ＋1＝Aa nBa n ＋C(A ，B ，C 为常)，求a n .4．已知列{a n }中，a 1＝1，a n ＋1＝2a na n ＋2，求列{a n }的通项公式．解：∵a n ＋1＝2a na n ＋2，a 1＝1，∴a n ≠0，∴1a n ＋1＝1a n ＋12，即1a n ＋1－1a n ＝12，又a 1＝1，则1a 1＝1， ∴⎩⎨⎧⎭⎬⎫1a n 是以1为首项，12为公差的等差列．∴1a n＝1a1＋(n－1)×12＝n2＋12，∴a n＝2n＋1(n∈N*)．已知列的递推关系，求列的通项时，通常利用累加法、累乘法、构造法求解．1．形如a n＝a n－1＋f(n)(n≥2，n∈N*)时，用累加法求解．2．形如a na n－1＝f(n)(a n－1≠0，n≥2，n∈N*)时，用累乘法求解．3．形如a n＝a n－1＋m(n≥2，n∈N*)时，构造等差列求解；形如a n ＝xa n－1＋y(n≥2，n∈N*)时，构造等比列求解．16.函思想在列中的应用【典例】已知列{a n}．(1)若a n＝n2－5n＋4.①列中有多少项是负？②n为何值时，a n有最小值？并求出最小值．(2)若a n＝n2＋kn＋4且对于n∈N*，都有a n＋1>a n成立．求实k的取值范围．[思路点拨] (1)求使a n<0的n值；从二次函看a n的最小值．(2)列是一类特殊函，通项公式可以看作相应的解析式f(n)＝n2＋kn＋4.f(n)在N*上单调递增，但自变量不连续．从二次函的对称轴研究单调性．[解] (1)①由n2－5n＋4<0，解得1<n<4.∵n ∈N *，∴n ＝2,3.∴列中有两项是负，即为a 2，a 3.②∵a n ＝n 2－5n ＋4＝⎝⎛⎭⎪⎫n －522－94，∴对称轴方程为n ＝52.又n ∈N *，∴n ＝2或n ＝3时，a n 有最小值，其最小值为a 2＝a 3＝－2.(2)由a n ＋1>a n 知该列是一个递增列，又因为通项公式a n ＝n 2＋kn ＋4，所以(n ＋1)2＋k (n ＋1)＋4>n 2＋kn ＋4， 即k >－1－2n ，又n ∈N *，所以k >－3. [方法点评]1．本题给出的列通项公式可以看作是一个定义在正整集上的二次函，因此可以利用二次函的对称轴研究其单调性，得到实k 的取值范围，使问题得到解决．2．本题易错答案为k >－2.原因是忽略了列作为函的特殊性，即自变量是正整．3．在利用二次函的观点解决该题时，一定要注意二次函对称轴位置的选取．[跟踪练习] 已知列{a n }的通项公式是a n ＝(n ＋1)⎝ ⎛⎭⎪⎫1011n，试问该列中有没有最大项？若有，求出最大项和最大项的序号；若没有，请说明由．解：法一：∵a n ＋1－a n ＝(n ＋2)⎝ ⎛⎭⎪⎫1011n ＋1－(n ＋1)⎝ ⎛⎭⎪⎫1011n ＝⎝ ⎛⎭⎪⎫1011n ×9－n11，当n <9时，a n ＋1－a n >0，即a n ＋1>a n ；当n ＝9时，a n ＋1－a n ＝0，即a n ＋1＝a n ； 当n >9时，a n ＋1－a n <0，即a n ＋1<a n ， ∴该列中有最大项，为第9、10项，且a 9＝a 10＝10×⎝ ⎛⎭⎪⎫10119.法二：根据题意，令⎩⎪⎨⎪⎧a n －1≤a n ，a n ≥a n ＋1(n ≥2)，即⎩⎪⎨⎪⎧n ×⎝ ⎛⎭⎪⎫1011n －1n ＋⎝ ⎛⎭⎪⎫1011n ，n ＋⎝ ⎛⎭⎪⎫1011n n ＋⎝ ⎛⎭⎪⎫1011n ＋1，解得9≤n ≤10.又n ∈N *， ∴n ＝9或n ＝10，∴该列中有最大项，为第9、10项，且a 9＝a 10＝10×⎝ ⎛⎭⎪⎫10119.A 组 考点能力演练1．已知列{a n }满足a 1＝0，a n ＋1＝a n ＋2a n ＋1＋1，则a 13＝( ) A ．143 B ．156 C ．168D ．195解析：由a n ＋1＝a n ＋2a n ＋1＋1得a n ＋1＋1＝(a n ＋1＋1)2，所以a n ＋1＋1－a n ＋1＝1，又a 1＝0，则a n ＋1＝n ，a n ＝n 2－1，则a 13＝132－1＝168.答案：C2．(2015·杭州质检)已知列{a n }满足a 1＝0，a n ＋1＝a n －33a n ＋1(n ∈N *)，则a 20＝( )A ．0B ．－ 3 C. 3D.32解析：本题由列递推关系式，推得列{a n }是周期变的，找出规律，再求a 20.由a 1＝0，a n ＋1＝a n －33a n ＋1(n ∈N *)，得a 2＝－3，a 3＝3，a 4＝0，…由此可知：列{a n }是周期变的，且三个一循环，所以可得a 20＝a 2＝－3，故选B.答案：B3．在列{a n }中，a 3＝8，a n ＋1＝⎩⎪⎨⎪⎧a n ＋n 为奇，2a nn 为偶，则a 5等于( )A ．12B ．14C ．20D ．22解析：本题考查列的基本性质．代入得a 4＝a 3＋2＝10，a 5＝2a 4＝20.答案：C4．在列{a n }中，有a n ＋a n ＋1＋a n ＋2(n ∈N *)为定值，且a 7＝2，a 9＝3，a 98＝4，则此列{a n }的前100项的和S 100＝( )A ．200B ．300C ．298D ．299解析：由题意，知a n ＋a n ＋1＋a n ＋2＝a n ＋1＋a n ＋2＋a n ＋3，则a n ＝a n ＋3，所以列{a n }是周期为3的周期列，则a 1＝a 4＝a 7＝…＝a 97＝a 100＝2，a 2＝a 5＝…＝a 98＝4，a 3＝a 6＝a 9＝…＝a 99＝3，所以列的前100项和为(a 1＋a 2＋a 3)×33＋a 100＝299，故选D.答案：D5．已知在列{a n }中，a 1＝2，a 2＝7，若a n ＋2等于a n a n ＋1(n ∈N *)的个位，则a 2 016的值为( )A ．8B ．6C ．4D ．2解析：因为a 1a 2＝2×7＝14，所以a 3＝4；因为a 2a 3＝7×4＝28，所以a 4＝8；因为a 3a 4＝4×8＝32，所以a 5＝2；因为a 4a 5＝8×2＝16，所以a 6＝6；因为a 5a 6＝2×6＝12，所以a 7＝2；因为a 6a 7＝6×2＝12，所以a 8＝2；依次计算得a 9＝4，a 10＝8，a 11＝2，a 12＝6，所以从第3项起，列{a n }成周期列，周期为6，因为2 016＝2＋335×6＋4，所以a 2 016＝6.答案：B6．已知在列{a n }中，a 1＝1，a 2＝0，若对任意的正整n ，m (n >m )，有a 2n －a 2m ＝a n －m a n ＋m ，则a 2 015＝________.解析：令n ＝2，m ＝1，则a 22－a 21＝a 1a 3，得a 3＝－1；令n ＝3，m ＝2，则a 23－a 22＝a 1a 5，得a 5＝1；令n ＝5，m ＝2，则a 25－a 22＝a 3a 7，得a 7＝－1，所以猜想当n 为奇时，{a n }为1，－1,1，－1，…，所以a 2015＝－1. 答案：－17．若列{(n －a )2}是递增列，则实a 的取值范围是________． 解析：由题意得，对任意的n ∈N *.(n ＋1－a )2>(n －a )2恒成立，即2a <2n ＋1恒成立，所以2a <(2n ＋1)min ＝3，则a <32.答案：⎝⎛⎭⎪⎫－∞，328．(2016·蚌埠检查)已知列{a n }满足：a 1为正整，a n ＋1＝⎩⎪⎨⎪⎧a n 2， a n 为偶，3a n ＋1， a n 为奇，如果a 1＝1，则a 1＋a 2＋…＋a 2 014＝________.解析：由题意知a 1＝1，a 2＝3×1＋1＝4，a 3＝2，a 4＝1，a 5＝4，a 6＝2，…，所以{a n }的周期为3，因为2 014＝3×671＋1，所以a 1＋a 2＋a 3＋…＋a 2 014＝(1＋4＋2)×671＋1＝4 698.答案：4 6989．已知列{a n }的通项公式为a n ＝－n ＋p ，列{b n }的通项公式为b n ＝2n －5，设c n ＝⎩⎪⎨⎪⎧a n ，a n ≤b n ，b n ，a n >b n .若在列{c n }中，c 8>c n (n ∈N *，n ≠8)，求实p 的取值范围．解：由题意得，c 8是列{c n }中的最大项，所以⎩⎪⎨⎪⎧－7＋p >22，－9＋p ≤24，－8＋p >4，23>－9＋p ，解得12<p <17.10．已知列{a n }中，a n ＝1＋1a ＋n －(n ∈N *，a ∈R ，且a ≠0)．(1)若a ＝－7，求列{a n }中的最大项和最小项的值； (2)若对任意的n ∈N *，都有a n ≤a 6成立，求a 的取值范围． 解：(1)∵a n ＝1＋1a ＋n －(n ∈N *，a ∈R ，且a ≠0)，又∵a＝－7，∴a n ＝1＋12n －9.结合函f (x )＝1＋12x －9的单调性，可知1>a 1>a 2>a 3>a 4，a 5>a 6>a 7>…>a n >1(n ∈N *)．∴列{a n }中的最大项为a 5＝2，最小项为a 4＝0.(2)a n ＝1＋1a ＋n －＝1＋12n －2－a 2.∵对任意的n ∈N *，都有a n ≤a 6成立， 结合函f (x )＝1＋12x －2－a 2的单调性，知5<2－a 2<6，∴－10<a <－8.故a 的取值范围为(－10，－8)．B 组 高考题型专练1．(2012·高考大纲全国卷)已知列{a n }的前n 项和为S n ，a 1＝1，S n ＝2a n ＋1，则S n ＝( )A ．2n －1B.⎝ ⎛⎭⎪⎫32n －1 C.⎝ ⎛⎭⎪⎫23n －1D.12n －1 解析：由已知S n ＝2a n ＋1得S n ＝2(S n ＋1－S n )，即2S n ＋1＝3S n ，S n ＋1S n＝32，而S 1＝a 1＝1，所以S n ＝⎝ ⎛⎭⎪⎫32n －1，故选B. 答案：B2．(2011·高考四川卷)列{a n }的前n 项和为S n ，若a 1＝1，a n ＋1＝3S n (n ≥1)，则a 6＝( )A ．3×44B ．3×44＋1C ．45D ．45＋1解析：法一：a 1＝1，a 2＝3S 1＝3，a 3＝3S 2＝12＝3×41，a 4＝3S 3＝48＝3×42，a 5＝3S 4＝3×43，a 6＝3S 5＝3×44.故选A.法二：当n ≥1时，a n ＋1＝3S n ，则a n ＋2＝3S n ＋1，∴a n ＋2－a n ＋1＝3S n ＋1－3S n ＝3a n ＋1，即a n ＋2＝4a n ＋1，∴该列从第2项开始是以4为公比的等比列，又a 2＝3S 1＝3a 1＝3，∴a n ＝⎩⎪⎨⎪⎧1n ＝，3×4n －2n，∴当n ＝6时，a 6＝3×46－2＝3×44. 答案：A3．(2014·高考新课标全国卷Ⅱ)列{a n }满足a n ＋1＝11－a n，a 8＝2，则a 1＝________.解析：由a n ＋1＝11－a n ，得a n ＝1－1a n ＋1，∵a 8＝2，∴a 7＝1－12＝12，a 6＝1－1a 7＝－1，a 5＝1－1a 6＝2，…，∴{a n }是以3为周期的列，∴a 1＝a 7＝12.答案：124．(2012·高考上海卷)已知f (x )＝11＋x .各项均为正的列{a n }满足a 1＝1，a n ＋2＝f (a n )．若a 2 010＝a 2 012，则a 20＋a 11的值是________．解析：∵a n ＋2＝11＋a n ，a 1＝1，∴a 3＝12，a 5＝11＋12＝23，a 7＝11＋23＝35，a 9＝11＋35＝58，a 11＝11＋58＝813，又a 2 010＝a 2 012，即a 2 010＝11＋a 2 010⇒a 22 010＋a 2 010－1＝0，∴a 2 010＝5－12⎝ ⎛⎭⎪⎪⎫a 2 010＝－5－12舍去. 又a 2 010＝11＋a 2 008＝5－12，∴1＋a 2 008＝25－1＝5＋12，即a 2 008＝5－12，依次类推可得a 2 006＝a 2 004＝…＝a 20＝5－12，故a 20＋a 11＝5－12＋813＝135＋326.答案：135＋3265．(2015·高考江苏卷)设列{a n }满足a 1＝1，且a n ＋1－a n ＝n ＋1(n∈N *)，则列⎩⎨⎧⎭⎬⎫1a n 前10项的和为________．解析：由a 1＝1，且a n ＋1－a n ＝n ＋1(n ∈N *)得，a n ＝a 1＋(a 2－a 1)＋(a 3－a 2)＋…＋(a n －a n －1)＝1＋2＋3＋…＋n＝n n ＋2，则1a n ＝2n n ＋＝2⎝ ⎛⎭⎪⎫1n －1n ＋1，故列⎩⎨⎧⎭⎬⎫1a n 前10项的和 S 10＝2⎝ ⎛⎭⎪⎫1－12＋12－13＋…＋110－111＝2⎝⎛⎭⎪⎫1－111＝2011.答案：2011。

课时规范练 A 组 基础对点练1．已知等比数列{a n }满足a 1＝3，a 1＋a 3＋a 5＝21，则a 3＋a 5＋a 7＝( ) A ．21 B ．42 C ．63D ．84解析：设数列{a n }的公比为q ，则a 1(1＋q 2＋q 4)＝21，又a 1＝3，所以q 4＋q 2－6＝0，所以q 2＝2(q 2＝－3舍去)，所以a 3＝6，a 5＝12，a 7＝24，所以a 3＋a 5＋a 7＝42.故选B. 答案：B2．等比数列{a n }的前n 项和为S n .已知S 3＝a 2＋10a 1，a 5＝9，则a 1＝( ) A.13 B ．－13C.19D ．－19解析：由题知公比q ≠1，则S 3＝a 1(1－q 3)1－q ＝a 1q ＋10a 1，得q 2＝9，又a 5＝a 1q 4＝9，则a 1＝19，故选C. 答案：C3．等比数列{a n }的前n 项和为S n ，若S 3＝2，S 6＝18，则S 10S 5等于( )A ．－3B ．5C ．－31D ．33解析：设等比数列{a n }的公比为q ，则由已知得q ≠1. ∵S 3＝2，S 6＝18， ∴1－q 31－q6＝218，得q 3＝8， ∴q ＝2.∴S 10S 5＝1－q 101－q 5＝1＋q 5＝33，故选D.答案：D4．在等比数列{a n }中，a 2a 3a 4＝8，a 7＝8，则a 1＝( ) A ．1 B ．±1 C ．2D ．±2解析：因为数列{a n }是等比数列，所以a 2a 3a 4＝a 33＝8，所以a 3＝2，所以a 7＝a 3q 4＝2q 4＝8，所以q 2＝2，a 1＝a 3q 2＝1，故选A.答案：A5．设首项为1，公比为23的等比数列{a n }的前n 项和为S n ，则( )A ．S n ＝2a n －1B ．S n ＝3a n －2C ．S n ＝4－3a nD ．S n ＝3－2a n解析：因为a 1＝1，公比q ＝23，所以a n ＝⎝⎛⎭⎫23n －1，S n ＝a 1(1－q n)1－q＝3⎣⎡⎦⎤1－⎝⎛⎭⎫23n ＝3－2⎝⎛⎭⎫23n －1＝3－2a n ，故选D. 答案：D6．(2018·郑州质检)已知等比数列{a n }的前n 项和为S n ，若a 25＝2a 3a 6，S 5＝－62，则a 1的值是________．解析：设{a n }的公比为q .由a 25＝2a 3a 6得(a 1q 4)2＝2a 1q 2·a 1q 5，∴q ＝2，∴S 5＝a 1(1－25)1－2＝－62，a 1＝－2. 答案：－27．已知等比数列{a n }为递增数列，a 1＝－2，且3(a n ＋a n ＋2)＝10a n ＋1，则公比q ＝________. 解析：因为等比数列{a n }为递增数列且a 1＝－2<0，所以0<q <1，将3(a n ＋a n ＋2)＝10a n ＋1两边同除以a n 可得3(1＋q 2)＝10q ，即3q 2－10q ＋3＝0，解得q ＝3或q ＝13，而0<q <1，所以q＝13. 答案：138．若数列{a n ＋1－a n }是等比数列，且a 1＝1，a 2＝2，a 3＝5，则a n ＝__________. 解析：∵a 2－a 1＝1，a 3－a 2＝3，∴q ＝3， ∴a n ＋1－a n ＝3n －1，∴a n －a 1＝a 2－a 1＋a 3－a 2＋…＋a n －1－a n －2＋a n －a n －1＝1＋3＋…＋3n －2＝1－3n －11－3，∵a 1＝1，∴a n ＝3n －1＋12.答案：3n －1＋129．已知数列{a n }满足a 1＝1，a n ＋1＝3a n ＋1. (1)证明{a n ＋12}是等比数列，并求{a n }的通项公式；(2)证明1a 1＋1a 2＋…＋1a n <32.证明：(1)由a n ＋1＝3a n ＋1得a n ＋1＋12＝3(a n ＋12)．又a 1＋12＝32，所以{a n ＋12}是首项为32，公比为3的等比数列．所以a n ＋12＝3n2，因此{a n }的通项公式为a n ＝3n －12.(2)由(1)知1a n ＝23n －1.因为当n ≥1时，3n －1≥2×3n －1， 所以13n －1≤12×3n －1.于是1a 1＋1a 2＋…＋1a n ≤1＋13＋…＋13n －1＝32⎝⎛⎭⎫1－13n ＜32. 所以1a 1＋1a 2＋…＋1a n ＜32.10．(2018·合肥质检)在数列{a n }中，a 1＝12，a n ＋1＝n ＋12n a n ，n ∈N *.(1)求证：数列{a nn }为等比数列；(2)求数列{a n }的前n 项和S n .解析：(1)证明：由a n ＋1＝n ＋12n a n 知a n ＋1n ＋1＝12·a nn ，∴{a n n }是以12为首项、12为公比的等比数列． (2)由(1)知{a n n }是首项为12，公比为12的等比数列，∴a n n ＝(12)n ，∴a n ＝n2n ， ∴S n ＝121＋222＋…＋n2n ，①则12S n ＝122＋223＋…＋n2n ＋1，② ①－②得：12S n ＝12＋122＋123＋…＋12n －n2n ＋1＝1－n ＋22n ＋1，∴S n ＝2－n ＋22n .B 组 能力提升练1．(2018·长春调研)等比数列{a n }中，a 3＝9，前三项和S 3＝27，则公比q 的值为( ) A ．1 B ．－12C ．1或－12D ．－1或－12解析：当公比q ＝1时， a 1＝a 2＝a 3＝9， ∴S 3＝3×9＝27.当q ≠1时，S 3＝a 1－a 3q1－q ，∴27＝a 1－9q 1－q ，∴a 1＝27－18q ， ∴a 3＝a 1q 2， ∴(27－18q )·q 2＝9， ∴(q －1)2(2q ＋1)＝0， ∴q ＝－12.综上q ＝1或q ＝－12.选C.答案：C2．数列{a n }满足：a n ＋1＝λa n －1(n ∈N *，λ∈R 且λ≠0)，若数列{a n －1}是等比数列，则λ的值等于( ) A ．1 B ．－1 C.12D ．2解析：由a n ＋1＝λa n －1，得a n ＋1－1＝λa n －2＝λ⎝⎛⎭⎫a n －2λ.由于数列{a n －1}是等比数列，所以2λ＝1，得λ＝2. 答案：D3．已知正项等比数列{a n }满足：a 3＝a 2＋2a 1，若存在两项a m ，a n ，使得a m a n ＝4a 1，则1m ＋4n 的最小值为( ) A.32 B.53 C.256D ．不存在解析：∵正项等比数列{a n }满足：a 3＝a 2＋2a 1， ∴a 1q 2＝a 1q ＋2a 1，即q 2＝q ＋2，解得q ＝－1(舍)或q ＝2， ∵存在两项a m ，a n ，使得a m a n ＝4a 1， ∴a m a n ＝16a 21，∴(a 1·2m －1)·(a 1·2n －1)＝16a 21，∴a 21·2m ＋n －2＝16a 21，∴m ＋n ＝6， ∴1m ＋4n＝⎝⎛⎭⎫1m ＋4n ⎣⎡⎦⎤16(m ＋n ) ＝16⎝⎛⎭⎫5＋n m ＋4m n ≥16⎝⎛⎭⎫5＋2n m ·4m n ＝32(当且仅当n ＝2m 时取等号)， ∴1m ＋4n 的最小值是32. 答案：A4．已知等比数列{a n }满足a 1＝14，a 3a 5＝4(a 4－1)，则a 2＝( )A ．2B ．1 C.12D.18解析：设等比数列{a n }的公比为q ，a 1＝14，a 3a 5＝4(a 4－1)，由题可知q ≠1，则a 1q 2×a 1q 4＝4(a 1q 3－1)，∴116×q 6＝4(14×q 3－1)，∴q 6－16q 3＋64＝0，∴(q 3－8)2＝0，∴q 3＝8，∴q ＝2，∴a 2＝12.故选C.答案：C5．等比数列{a n }的前n 项和为S n ，若S 3＋3S 2＝0，则公比q ＝________.解析：由S 3＋3S 2＝0，得a 1＋a 2＋a 3＋3(a 1＋a 2)＝0，即4a 1＋4a 2＋a 3＝0，即4a 1＋4a 1q ＋a 1q 2＝0，即q 2＋4q ＋4＝0，所以q ＝－2. 答案：－26．设数列{a n }(n ＝1,2,3，…)的前n 项和S n 满足S n ＋a 1＝2a n ，且a 1，a 2＋1，a 3成等差数列，则a 1＋a 5＝________.解析：由已知S n ＋a 1＝2a n ，有a n ＝S n －S n －1＝2a n －2a n －1(n ≥2)，即a n ＝2a n －1(n ≥2)． 从而a 2＝2a 1，a 3＝2a 2＝4a 1. 又因为a 1，a 2＋1，a 3成等差数列， 即a 1＋a 3＝2(a 2＋1)，所以a 1＋4a 1＝2(2a 1＋1), 解得a 1＝2，所以数列{a n }是首项为2，公比为2的等比数列， 故a n ＝2n ，则a 1＋a 5＝2＋25＝34. 答案：347．已知数列{a n }的前n 项和为S n ，且S n ＝32a n －1(n ∈N *)．(1)求数列{a n }的通项公式；(2)设b n ＝2log 3a n 2＋1，求1b 1b 2＋1b 2b 3＋…＋1b n －1b n .解析：(1)当n ＝1时，a 1＝32a 1－1，∴a 1＝2，当n ≥2时，∵S n ＝32a n －1，①∴S n －1＝32a n －1－1(n ≥2)，②①－②得a n ＝(32a n －1)－(32a n －1－1)，即a n ＝3a n －1，∴数列{a n }是首项为2，公比为3的等比数列，∴a n ＝2×3n －1.(2)由(1)得b n ＝2log 3a n2＋1＝2n －1，∴1b 1b 2＋1b 2b 3＋…＋1b n －1b n ＝11×3＋13×5＋…＋1(2n －3)(2n －1)＝12(1－13＋13－15＋…＋12n －3－12n －1)＝n －12n －1. 8．数列{a n }中，a 1＝2，a n ＋1＝n ＋12na n (n ∈N *)． (1)证明：数列⎩⎨⎧⎭⎬⎫a n n 是等比数列，并求数列{a n }的通项公式；(2)设b n ＝a n4n －a n ，若数列{b n }的前n 项和是T n ，求证：T n <2.解析：(1)由题设得a n ＋1n ＋1＝12·a n n ，又a 11＝2，所以数列⎩⎨⎧⎭⎬⎫a n n 是首项为2，公比为12的等比数列，所以a n n ＝2×⎝⎛⎭⎫12n －1＝22－n ，a n＝n ·22－n＝4n 2n . (2)证明：b n ＝a n 4n －a n ＝4n2n 4n －4n 2n＝12n －1，因为对任意n ∈N *,2n －1≥2n －1， 所以b n ≤12n －1.所以T n ≤1＋12＋122＋123＋…＋12n －1＝2⎝⎛⎭⎫1－12n <2.。

如果数列{an}的第n项an与它的 序号n 之间的对应关系可以用一个式子来表示,
那么这个式子叫做这个数列的通项公式.
5.数列的递推公式
如果一个数列的相邻两项或多项之间的关系可以用一个式子来表示,那么这个
式子叫做这个数列的递推公式.






1.(选择性必修第二册 P8 练习 T3 改编)数列{an}的前几项为 ,3, ,8, ,…,则此数列

又 =-1,


所以数列{ }是首项为-1,公差为-1 的等差数列,




所以 =-1+(n-1)×(-1)=-n,所以 Sn=- .
答案:-


.
4.(2022·河南郑州月考)已知数列{a n }的前n项和为S n ,a 1 =a 2 =1,当n≥2时,
Snan=Sn-1an+1,则Sn=
公式为
.
解析:因为 a1=1,an+1=2Sn,①
所以 an=2Sn-1(n≥2),②
①-②可得,3an=an+1(n≥2).
当 n=1 时,a2=2S1=2,
即当 n=1 时,不满足 3an=an+1,
所以数列{an}从第二项开始是以 3 为公比的等比数列,
, = ,
所以 an=
× - , ≥ .
, = ,
答案:an=
× - , ≥
3.设Sn是数列{an}的前n项和,且a1=-1,an+1=SnSn+1,则Sn=
解析:因为 an+1=Sn+1-Sn,an+1=SnSn+1,所以 Sn+1-Sn=SnSn+1.