浅谈逆向思维在数学解题中的应用

数坛在线教育纵横２０１４年４月

一、引言逆向思维在高中数学解题中的应用

⑩江苏省如东县马塘中学许卫俊

随着我国社会水平的提高，教育事业的发展，人们对于高中学生的数学能力也提出了新的要求．对于数学这门学科而言，数学思维是非常重要的一种能力，当学生遇到数学问题时，就会以相应的数学思维方式对其进行解决．而数学思维也根据其思维的方向而分为正向思维与逆向思维．通常来说，学生都以一种正向思维的模式对问题进行解决，而在教育水平发展的今天，以逆向思维对数学问题进行解决，在高中数学课堂中也有了其全新的价值．逆向思维是相对发散的一种思维方式，在高中数学学习中同创造性思维进行结合性的使用，有着非常好的效果．在目前的高中数学教材中，也有很多解题方法如反证法、逆运算、分析法、否命题法等都同逆向思维有着密不可分的关系．这是由于在我们以普通思维方式解题时，往往都是以从已知到结论的一种思维来对问题进行解决，而由于数学题目的多样性，有的数学问题如果仍然按照正常的顺向思维对其分析，不但解题较为困难，而且在解题的过程中经常伴随着大量的运算，从而对学生的解题准确度以及解题效率都会产生较大的影响．而在此时，如果我们能够积极地转变思维，以逆向思维对其进行分析，则往往会起到意想不到的简化效果．这就需要高中数学教师在课堂中对学生的逆向思维进行积极地培养，从而使学生在双向思维得到培养的同时，其数学成绩也在这个过程中得到提高．二、逆向思维在高中数学解题中的应用１．逆用公式在数学这门课程中，存在着数量巨大的公式，这就要求学生在进行解题之前一定要对相关的数学公式进行牢记．但是，对于公式来说，也不能够单纯地因背而背，而是应当在对其理解的前提下再对其进行掌握．而当学生真正掌握之后，就可以根据不同的题目，在部分—■一中‘？般．７高中版题目中以逆向的思维对公式进行运用，从而更好地对问题进行解决．同时，通过对公式逆向使用的方式，还能够在增强学生公式掌握程度的同时，对学生的思维敏捷性进行加强．例１证明：（１＋ｔａｎｌｏ）（１＋ｔａｎ２０）（１＋ｔａｎ３。）（１＋ｔａｎ４０）・…（１＋ｔａｎ４３０）（１＋ｔａｎ４４０）（１＋ｔａｎ４５０）＝２２３．经过我们对此题目分析之后，发现由于ｔａｎ４５。＝１，那么１＋ｔａｎ４５。＝２，则原等式变为：（１＋ｔａｎｌ。）（１＋ｔａｎ２。）…（１＋ｔａｎ４３。）（ｔ＋ｔａｎ４４０）＝２鼍而要想证明上述等式成立，经过分析后发现，等式左边为４４个因式之间的乘积，而等式右侧则为２２个２的乘积．当且仅当等式左侧的每两个因式之间的乘积为２时，上述命题才能够成立．从ｔａｎ４５。＝１人手，可以由逆向思维得出１。＋４４。＝４５。，…，２２。＋２３。＝４５。，这就使我们想到了应当将上述等式中左侧的因式以首末对应的方式进行两两作积，并以逆向思维将原等式的证明转变为并＋ｙ＝４５０问题的证明中去．由于１＝ｔａｎ４５。＝ｔａｎ（戈＋’，）＝害竺塑ｊ１＝ｔａｎｘ＋ｔａｎｙ＋ｔａｎｘｔａ町，由上式，我们就可以上－ｔａｎｘｔａｎｒ得出（１＋ｔａｎｘ）（１＋ｔａｎｙ）＝１＋ｔａｎｘ＋ｔａｎｙ＋ｔａｎｘｔａｎｙ＝２．（１＋ｔａｎｌ。）（１＋ｔａｎ２。）…（１＋ｔａｎ４３。）（１＋ｔａｎ４４。）＝［（１＋ｔａｎｌ。）（１＋ｔａｎ４４。）］．．・［（１＋ｔａｎ２２。）（１＋ｔａｎ２３。）］＝垆２逆用定义在高中数学学习的过程中，离不开大量的数学定义，而对于这些定义来说，也存在着一定的可逆性．在高中数学解题的过程中，对原有的数学定义进行逆用也是一种非常常见的做法，通过对定义的有效逆向思维，可以有效地使某些问题由难变易，从而提高学生的解题速度．例２假设已知以下三个等式：ｌ口一６＝ｃ，①｛２存２ａ＋ｃ＝０，②２ｂ２－２ｂ＋ｃ＝０．③

逆向思维在小学数学解题中的作用与培养

逆向思维是指以与常规思维相反的方式来考虑问题，从不同角度寻找解决问题的方法。逆向思维在小学数学中具有重要的作用，可以帮助学生更深入地理解数学知识，提高数学解题的能力和创新意识，培养学生的逻辑思维和创造力。

1. 拓展思维方式

逆向思维可以让学生跳出固定模式的思维方式，从不同的角度思考问题，考虑可能性更加广泛，寻求更为精准的答案。这样可以帮助学生扩大思维层次，培养出更具有创新性的思维方式。

2. 经验总结

逆向思维可以帮助学生总结经验，分析成功或失败的原因，以此来规划未来的行动并改进计划，从而提高学生解决问题的能力。

3. 发现规律

在数学学习中，很多问题是需要学生发现规律来解决的。逆向思维可以帮助学生从逆向思考的角度来寻求解决办法，更容易发现规律，从而更好地解决问题。

4. 面对新问题

随着学科知识的不断扩大，学生需要面对很多新的问题。逆向思维可以帮助学生从未经验过的角度来思考问题，更好的解决新问题，提高解决问题的能力。

培养逆向思维

1. 记录经验

2. 多角度思考

在日常学习和生活中，学生可以寻找不同的解决问题的方法和角度，大胆地提出一些奇思妙想，然后分析这些方法和思路的优劣，寻找对应的优势，用来应对多种解决问题的场面。

3. 刻意练习

让学生在较低的难度下，通过大量的练习，逐渐掌握逆向思维的技巧。例如，在做数学作业时，教师可以提供一些具有一定难度的数学问题，要求学生反向思考，并且找到解决这些问题的方法。 总之，逆向思维在小学数学学习中的作用不可忽视。学生要通过平时的积极参与，多种角度的思考，和不断的实践训练，逐渐掌握逆向思维的技巧和方法，提高自己解决问题和创造力的能力。

ＪＩＥＴＩＪＩＱＩＡＯＹＵＦＡＮＧＦＡ 解题技巧与方法１５９ 逆向思维在小学数学解题中的应用技巧逆向思维在小学数学解题中的应用技巧◎张海军　（甘肃省陇南市武都区柏林中心小学，甘肃　陇南　７４６０２３） 【摘要】逆向思维是从问题的结果出发或从其他角度对问题进行转化的一种思维方式，如逆用数学公式、反证法、转化法，等等．逆向思维对于降低学生解题难度有着重要意义，研究其应用技巧可提高数学习题教学质量，提升学生解题能力．文章结合小学数学解题案例论述了逆向思维在解填空题、选择题、运算题、应用题时的应用技巧，旨在提高学生的逆向思维能力，推动小学数学解题教学发展．【关键词】逆向思维；小学数学；解题教学；应用技巧现阶段的小学数学命题方式越来越新颖．对于一些问题，学生利用正向思维很难快速解决．对此，提升学生的思维灵活性，使其掌握应用逆向思维解决问题的方法，可帮助其攻克解题难点．逆向思维的应用类型有很多，只有“对症下药”，才能保证解题的快速性与准确性．为此，小学数学教师有必要研究逆向思维在解决小学数学不同类型问题中的应用技巧，并将其巧妙融入数学解题教学，为不断丰富课程内涵，推进学生综合发展做好准备．一、逆向思维在填空题中的应用技巧填空题是小学数学试卷上的必有题型，通常将要求的结果以横线代替，要求学生根据题目给出的已知条件进行分析运算，并将正解写在横线上方．小学数学填空题的特征是题目信息少、跨度大、覆盖面广，往往以简练的题目考查学生对数学概念、定理、公式等基础知识及数学思想方法的掌握情况．学生在数学学习过程中，难免会遇到难以用常规思维解决的填空题．此情况下，教师应引导学生根据题目特征酌情选取反证法、逆用数学公式等逆向思维解题法，以此实现快速求解．比如，在人教版二年级上册“表内乘法（一）”一课的习题教学中，有填空题如下：例１　妈妈给了小勇元，小勇先用这些钱的一半买了玩具，又花了４元购买零食，最后还剩下２元钱．解析　按照正向思维，学生应基于小勇妈妈给出的金额进行除法列式、减法列式，得到还剩下２元的结果．但是这样的思维方式无法确定给出的金额到底是多少．这时，教师可引导学生应用逆向思维进行分析：小勇最后剩下２元钱，在买零食之前应剩下的钱应是２＋４＝６（元）．根据“小勇先用这些钱的一半买了玩具”，可以明确“６元”与小勇买玩具的金额相等，之后进行除法的逆运算：６×２＝１２（元），即可得到妈妈给的总钱数为１２元．结合图１所示内容进行逆推，可进一步提高解题效率：图１解决难以利用正向思维推理数值的填空题时，教师可引导学生运用逆向思维，同时借助图示、实物等多种工具将题目给出的抽象信息具象化，之后结合问题中的等量关系采取倒推法进行逆向运算，达到轻松求解的目的．二、逆向思维在选择题中的应用技巧小学数学选择题由题干与备选项两部分构成．题干常以陈述句或疑问句的形式出现，通过呈现问题情境激发学生的解题兴趣；备选项以数字、短语等形式出现，通常为与题干有着直接关系的备选答案．小学数学选择题大多为单选题，备选项中只有一个正确答案，其他为干扰项．遇到难以通过正向思考解决的选择题时，学生可运用逆向思维进行推理，或直接将题目给出的选项代入原题选定正确答案．比如，在人教版二年级下册“表内除法（一）”一课的习题教学中，有选择题如下：例２　甲、乙两名学生在玩猜数游戏．甲说：我心里想着一个数，给这个数加上９，再取和的一半应是５．乙猜想这个数是（ ）．Ａ．１ Ｂ．２ Ｃ．３ Ｄ．４解析　这一问题直接给出结果，要求学生逆推条 解题技巧与方法 ＪＩＥＴＩＪＩＱＩＡＯＹＵＦＡＮＧＦＡ１６０ 件．按照常规思路分析问题显然具有一定的难度，为此，教师可引导学生运用逆向思维，以结果为起点，逆向推理：甲心想的数加上９后和的一半是５，说明和为５×２＝１０，向前逆推，可明确这个数为１０－９＝１．也可换一个角度思考：这一问题给出了四个选项．先根据题目给出的数量关系列出算式，将甲心想的数用“□”代替，得到（□＋９）÷２＝５．将１，２，３，４四个数值分别代入原式，代入后等式仍然成立的数即为正确答案．解决问题结果（或最后结论）是已知数据（或起始条件）这种类型的问题时，教师需要引导学生综合考虑题目中的已知、未知数量关系，确定正向、逆向运算顺序，再将所要求的数量用数学符号代替，列出正向算式，之后根据逆推的思路进行正向算式、逆向算式的互化，从而得到所求数的具体数值，之后将所得数值与题目给出的具体选项进行对照，即可轻松选出正确选项．除此之外，教师还可以引导学生将选择题给出的备选答案反向代入原题当中，若代入后原题给出的数量关系仍然成立，说明代入数值正确，若不成立则说明代入数值并不是正确答案．三、逆向思维在计算题中的应用技巧计算题是以算理、算法为核心考点的问题，包括加、减、乘、除及混合运算等类型．常规的计算题可直接套用计算公式进行求解，但一些简便运算问题、数字填空问题需要运用逆向思维将其转化．（一）解简便运算题简便运算题以加（乘）法交换律、结合律，乘法分配律，除法的性质为主要考点，要求学生将复杂算式化简求值，且该过程应尽量避免使用笔算的方法．一些运算题并不以ａ＋ｂ＝ｂ＋ａ，ａ×（ｂ＋ｃ）＝ａ×ｂ＋ａ×ｃ等常规形式出现，学生需要运用逆向思维对算式中的量进行转化．比如，在人教版四年级下册“运算定律”一课的习题教学中，下列简便运算问题便需要学生应用逆向思维求解．例３　化简求值．（１）３６×１１１＋８８８×８；（２）９９９×７８．解析　针对第（１）题，按照正向思维应对原式采取竖式计算方法，不符合简便运算要求．通过逆向思考，发现其中的８８８可被拆解为８×１１１，那么原式就可被转化为３６×１１１＋８×１１１×８，根据乘法结合律、交换律、分配律，可得原式＝３６×１１１＋１１１×６４＝（３６＋６４）×１１１＝１１１００．针对第（２）题，学生可换一个方向出发，思考９９９可用哪些算式表示，之后基于转化的思想逆构简便运算模型：９９９×７８＝（１０００－１）×７８，之后按照乘法分配律进行简便运算即可得到问题答案为７７９２２．解简便运算问题时，教师可引导学生先应用正向思维分析算式，若算式较为典型，可直接代入运算律进行求解；若算式形式新颖，可应用逆向思维对算式中的“数”进行转化，通过逆向推理将原式转化为符合运算定律计算模型的算式，之后求解．（二）解竖式谜题竖式谜题是基于纵向排列数字计算的谜题，用于训练学生的运算思维，通常包括一个乘法计算和一些额外的限制条件．这类问题一般要用逆向思维来解决．以人教版四年级上册“三位数乘两位数”一课的习题教学为例，学生可用逆向思维解决如下竖式谜题．例４　如图２所示，在乘法竖式的“　”中填入合适的数字，使竖式成立．　４　×　６１ ０ ５８ ０图２解析　可分三步解答此谜题．第一步，根据两个乘数的末位数字相乘得０，可以逆向推得第一个乘数的末位可能是０或５，再根据第一个乘数的末位数字与第二个乘数十位数相乘的末位数字是５，可以确定第一个乘数的末位数字就是５．第二步，根据第一个乘数与第二个乘数个位上的６相乘得一千多，逆向推得第一个乘数的百位数字可能是２或３，分别计算２４５×６＝１４７０，３４５×６＝２０７０，由此断定第一个乘数为２４５．第三步，因为竖式中的积为八千多，所以能确定第一个乘数与第二个乘数十位上数字的积是六百多或七百多，由此确定第二个乘数的十位数字是３．综合三步推理，可解答谜题：２４５×３６＝８８２０．解答乘法竖式谜题时，学生需要将积的关键特征作为解题切入点，运用逆向思维分析两个乘数各位数字之间的关系，之后进行逆向推理，补充谜题中的空白部分．四、逆向思维在应用题中的应用技巧应用题是小学数学题的重要构成部分，用以检验学生迁移应用数学概念、原理、公式解决实际问题的能力，主要包括行船问题、归一问题等类别．一些应用题难度较高，难以直接列式解答．这种情况下，教师需要引导学生应用逆向思维． ＪＩＥＴＩＪＩＱＩＡＯＹＵＦＡＮＧＦＡ 解题技巧与方法１６１ （一）行船问题行船问题是由现实生活中的航行问题加工得来的．一般情况下，此类问题以船速、水速为主要信息，求两点之间距离．对于一些较为简单的问题，可直接利用“（顺水速度＋逆水速度）÷２＝船速”等数量关系式代入求值．针对一些形式新颖、内容复杂的问题，需要运用逆向思维．比如，在人教版五年级上册“简易方程”一课的习题教学中，学生可用逆向思维解决如下行船问题．例５　一艘货轮往返于甲、乙两地之间，由甲地到乙地是顺水航行，由乙地到甲地是逆水航行．已知货轮在静水中的速度是每小时２０千米，由甲地到乙地用了６个小时，由乙地到甲地所用的时间是由甲地到乙地所用时间的１．５倍，水流速度是多少？解析　水流速度、行船速度、静水速度息息相关．但是，此问题并未直接给出货轮的行船速度，也未给出甲、乙两地之间的路程，很难代入公式直接求解．为此，教师可以运用逆向推理的思维方法提出问题，让学生围绕问题梳理解题思路，如：（１）要求水流速度，根据题意需要什么条件？（２）要求行船速度，根据题意需要什么条件？（３）题目中有哪些数量关系可以被利用？根据系列问题，学生可以明确：题目给出了静水速度，用行船速度加或减静水速度可得水流速度；行船速度可以根据“路程÷时间＝速度”这一公式求得；从甲地到乙地、从乙地到甲地所行驶的路程是相同的．之后，假设水流速度为每小时ｘ千米，则由甲地到乙地的货轮行驶路程为［（２０＋ｘ）×６］千米，由乙地到甲地的货轮行驶路程为［（２０－ｘ）×６×１．５］千米，可得方程（２０＋ｘ）×６＝（２０－ｘ）×６×１．５，解方程可得水流速度为４千米／时．应用逆向思维解决行船问题时，应将题目的问题作为切入点，从问题出发思考解决问题需要的确切条件，之后将其中的一个（或两个）未知条件作为要解决的问题，再找出解这一个（或两个）问题所需的条件．通过逐步逆推的方式找到解决问题的已知条件，完成解题．（二）归一问题归一问题属于复合应用题，要求学生解题时按照已知条件先求出单位量，再利用单位量列式计算，求出问题结果．解决此类问题时，学生需要灵活运用逆向思维找出单位“１”是什么，之后结合题目要求列式求解．比如，在人教版六年级上册“分数除法”一课的习题教学中，学生可用逆向思维解决如下归一问题．例６　３１３吨小麦可磨面粉２５６吨，现有小麦７１２吨，可磨面粉多少吨？解析　解决这一应用题，要先明确磨１吨面粉需要小麦的吨数，再代入数值计算７１２吨小麦可磨多少面粉．应用逆向思维分析问题，可有两种解法：（１）先着眼于１吨小麦可磨多少吨面粉，之后用乘法求出７１２吨小麦可磨面粉的吨数，列式计算为：２５６÷３１３×７１２＝１７２０×７１２＝６３８（吨）．（２）着眼于应用题中的倍比关系，先求出７１２吨小麦是３１３吨小麦的多少倍，再按照倍比的思路，有一个３１３吨小麦可磨面粉２５６吨，小麦的倍数必然也是面粉的倍数．由以上逆向推理内容可列算式：２５６×７１２÷３１３æèçöø÷＝２５６×１５２×３１０æèçöø÷＝６３８（吨）．应用逆向思维解决归一问题的思路有很多．最重要的是把握问题给出的数量关系，如倍数关系、和差关系等．先通过逆向推理等方式求出单一量或倍比关系，再结合求出的已知信息展开计算，求出所要求的数量．结　语逆向思维的应用化解了正向思考受阻的困境，具有化复杂为简单、化抽象为直观等功能．小学生在数学学习中不可避免地会遇到无法利用常规思考方式解决的数学难题，这时教师可指导学生灵活运用逆向思维，采取逆用定义、逆用数学公式与运算法则等手段反过来思考问题，通过变式、间接证明等方法解决数学难题．【参考文献】［１］黄文锦．逆向思维在小学数学解决问题教学中的研究应用［Ｊ］．数学学习与研究，２０２２（３６）：４１－４３．［２］周国文．逆向思维在小学数学教学中的应用［Ｊ］．读写算，２０２２（３５）：６４－６６．［３］廖昀．小学生逆向思维的培养策略［Ｊ］．江西教育，２０２１（１８）：６８．

小学生数学问题的逆向思维训练

在小学数学的学习中，培养学生的逆向思维能力是一项重要且具有挑战性的任务。逆向思维，简单来说，就是从问题的相反方向去思考，通过反向推理来解决问题。这种思维方式不仅能够帮助学生更灵活地应对数学难题，还能锻炼他们的逻辑思维和创新能力，为日后的学习和生活打下坚实的基础。

一、逆向思维在小学数学中的重要性

1、 拓宽解题思路

当学生习惯于正向思考问题时，往往容易陷入固定的思维模式。而逆向思维能够为他们提供全新的视角，让他们发现更多解决问题的途径。例如，在计算“一个数加上 7 等于 15，这个数是多少？”这道题时，正向思维是从已知的加数和和去求另一个加数，而逆向思维则是从和减去已知的加数来得到答案，即 15 7 ＝ 8。通过这样的训练，学生在面对类似问题时，就能迅速地从不同角度思考，找到最简便的解题方法。

2、 增强逻辑推理能力

逆向思维要求学生对问题进行反向分析和推理，这有助于培养他们严谨的逻辑思维。比如，在解决几何图形的面积或周长问题时，通过逆向推导，可以让学生更深入地理解图形的性质和计算公式之间的关系。 3、 激发创新意识

当学生能够打破常规，从相反的方向思考问题时，往往能够产生独特的想法和创新的解决方案。这种创新意识在数学学习以及未来的工作和生活中都具有重要的价值。

二、小学生逆向思维能力的现状

在当前的小学数学教学中，我们发现部分学生在逆向思维方面存在一些不足。

1、 思维定式的束缚

由于长期接受正向思维的训练，学生在遇到问题时，第一反应往往是按照常规的方法去思考，难以迅速转换思维方向。

2、 对数学概念和公式的理解不够深入

如果学生只是机械地记忆数学概念和公式，而没有真正理解其内涵和推导过程，那么在运用逆向思维解决问题时就会感到困难。

3、 缺乏逆向思维的训练和引导

在教学过程中，教师可能没有给予逆向思维足够的重视，导致学生缺乏相关的训练和实践机会。

三、培养小学生逆向思维的方法