人教版高中数学必修1第1章1.2.1 函数的概念教案

1.2 函数及其表示

1.2.1 函数的概念

教学目标分析：

知识目标：理解函数的概念，能用集合与对应的语言刻画函数，了解构成函数的三要素。

过程与方法：

1、通过丰富实例，建立函数概念的背景，体会函数是描述变量之间的依赖关系的重要数学模型。

2、体会对应关系在刻画函数概念中的作用。

情感目标：通过从实际问题中抽象概括函数概念的活动，培养学生的抽象思维能力。

重难点分析：

重点：体会函数是描述变量之间的依赖关系的重要数学模型，正确理解函数的概念。

难点：函数概念及符号的理解。

互动探究：

一、课堂探究：

1、复习引人

探究一、初中学习的函数概念是什么？

设在一个变化过程中有两个变量x与y，如果对于x的每一个值，y都有惟一的值与它对应，则称x是自变量，y是x的函数；其中自变量x的取值的集合叫做函数的定义域，和自变量x的值对应的y的值叫做函数的值域。

探究二、（1）1y是函数吗？

（2）yx与2xyx是同一个函数吗？

显然，仅用初中函数的概念很难回答这些问题。因此，需要从新的高度认识函数。

请同学们学习教材第15页引例1，做出高度h的函数图像，并尝试用集合语言描述两个变量之间的依赖关系？

引例1、（炮弹发射）一枚炮弹发射后，经过26s落到地面击中目标。炮弹的射高为845m，且炮弹距地面的高度h（单位：m）随时间t（单位：s）变化的规律是：25130tth（*）。

炮弹飞行时间t的变化范围是数集A = {t |0 ≤ t ≤ 26}，炮弹距地面的高度h的变化范围是数集B

= {h | 0 ≤ h ≤ 845}。

从问题的实际意义可知，对于数集A中的任意一个时间t，按照对应关系（*），在数集B中都有惟一的高度h和它对应。

引例2、（南极臭氧空洞）近几十年来，大气层中的臭氧迅速减少，因而出现了臭氧层空洞问题，如图的曲线显示了南极上空臭氧层空洞的面积从1979 ~ 2001年的变化情况：

根据可图中的曲线可知，时间t的变化范围是数集A = {t | 1979 ≤ t ≤ 2001}，臭氧层空洞面积S的变化范围是数集B = {S |0 ≤ S ≤26}。并且，对于数集A中的每一个时刻t，按照图中的曲线，在数集B中都有惟一确定的臭氧层空洞面积S和它对应。

引例3、（恩格尔系数变化表）国际上常用恩格尔系数反映一个国家人民生活质量的高低，恩格尔系数越低，生活质量越高，下表中恩格尔系数随时间（年）变化的情况表明，“八五计划”以来，我国城镇居民的生活质量发生了显著变化。

请仿照（1）、（2）描述恩格尔系数和时间（年）的关系。

探究三、分析、归纳以上三个实例，它们有什么异同点？

不同点：

实例（1）是用解析式刻画变量之间的对应关系，实例（2）是用图象刻画变量之间的对应关系，实例（3）是用表格刻画变量之间的对应关系；

共同点：

（1）都有两个非空数集；（2）两个数集之间都有一种确定的对应关系。

注意：解析式、图像、表格都是一种对应关系

2、函数的概念

设AB、是非空的数集，如果按照某种确定的对应关系，使对于集合A中的任意一个数x，在集合B中都有唯一确定的数)(xf和它对应，那么就称BAf:为从集合A到集合B的一个函数，记作：Axxfy),(。其中，x叫做自变量，x的取值范围A叫做函数的定义域，与x的值相对应的y值叫做函数值，函数值的集合{()|}fxxA叫做函数的值域，显然，值域是集合B的子集。

注意：（1）对()yfx的理解：作为一个整体，它是一种符号，它可以是解析式、图像、表格；

（2）定义中集合A、B是非空数集； （3）对于x的每一个值，按照某个确定的对应关系f，都有唯一的y值与它对应；

探究四、初中学习过的一次函数、二次函数、反比例函数，它们的定义域、值域、对应法则分别是什么？思考并填表

探究五、函数定义中有几个要素，是哪几个？

3、函数的三要素

（1）定义域A：自变量x的取值范围。

（2）对应法则f ——变化规律；

（3）值域}|)({Axxf：函数值y的集合。

说明：① 定义域、值域、对应关系是决定函数的三要素，是一个整体；

② 值域由定义域、对应法则惟一确定；

③ 函数符号y = f (x)表示“y是x的函数”而不是表示“y等于f与x的乘积”。

例1、判断正误

1、函数值域中的每一个数都有定义域中的一个数与之对应（ ）

2、函数的定义域和值域一定是无限集合（ ）

3、定义域和对应关系确定后，函数值域也就确定（ ）

4、若函数的定义域只有一个元素，则值域也只有一个元素（ ）

5、对于不同的x，y的值也不同（ ）

6、f (a)表示当x = a时，函数f (x)的值，是一个常量（ ） 一次函数ykxb 反比例函数(0)kykx 二次函数2(0)yaxbxca

0k 0k 0k 0k 0a 0a

图象

定义域

值域

顶 点

最 值

变式1：判断下列对应能否表示y是x的函数：

（1）||yx；（2）||yx；（3）2yx；（4）2yx（5）221yx；（6）221yx。

变式2：下列图象能表示函数图象的是（ ）

归纳：如何判断给定的两个变量之间是否具有函数关系？

① 定义域和对应法则是否给出？

② 根据所给对应法则，自变量x在其定义域中的每一个值，是否都有惟一确定的一个函数值y和它对应。

例2、已知函数213)(xxxf，

（1）求函数的定义域；

（2）求)32(),3(ff的值；

（3）当a > 0时，求)1(),(afaf的值。

注意：① 研究一个函数一定在其定义域内研究，所以求定义域是研究任何函数的前提 ② 函数的定义域常常由其实际背景决定，若只给出解析式时,定义域就是使这个式子有意义的实数x的集合。 (A) x y

0 x y

0

(B) x y

0

(C) x y

0

(D) 函数定义域求解的几种情况：

（1）如果()yfx是整式，则定义域是实数集R；

（2）如果()yfx是分式，则定义域是使分母不等于0的实数的集合；

（3）如果()yfx是偶次根式，则定义域是使根号内的式子大于或等于0的实数的集合；

（4）如果是某个因式的零次方，则该因式不等于零；

（5）如果()yfx是由几个部分的式子构成，则定义域是使各部分都有意义的实数的集合（即各集合的交集）；

（6）如果是实际问题，则定义域是使实际问题有意义的实数的集合。

4、区间的概念

设,ab是两个实数，而且ab，我们规定：

（1）满足不等式axb的实数x的集合叫做闭区间，表示为[,]ab；

（2）满足不等式axb的实数x的集合叫做开区间，表示为(,)ab；

（3）满足不等式axb或axb的实数x的集合叫做半开半闭区间，表示为[,)ab或(,]ab。

实数集R可以用区间表示为(,)，“”读作“无穷大”。满足,,,xaxaxbxb的实数的集合分别表示为[,),(,),(,],(,)aabb。

注意：① 区间是一种表示连续性的数集；② 定义域、值域经常用区间表示；③ 用实心点表示包括在区间内的端点，用空心点表示不包括在区间内的端点。

例3、试用区间表示下列实数集：

1{|56};(2){|9};xxxx（）(3){|1}{|52};xxxx

(4){|9}{|920}xxxx

例4、下列函数中哪个与函数yx相等？

（1）2)(xy； （2）33xy； （3）2xy； （4）xxy2。

注意：两个函数相等当且仅当定义域与对应法则都相等。

二、 课堂练习：

教材第19页练习第1、2、3题

反思总结：

1、 本节课你学到了哪些知识点？

2、 本节课你学到了哪些思想方法？

3、 本节课有哪些注意事项？

课外作业：

（一）教材第24页习题1.2A组第1、2、4题，B组第1题

（二）补充

5、求下列函数的值域：（1）22,03yxxx；（2）221xxyxx.

答案：（1）[0,15]；（2）1[,)3. 6、思考题：已知xxxf1)(，

（1）求)1()(xfxf的值；

（2）求)71()21()1()7()2()1(ffffff的值。

课后反思：