山东师大附中2018届高三第一次模拟考试数学（理）试卷（含答案）

⼭东师⼤附中2018届⾼三第⼀次模拟考试数学（理）试卷

（含答案）

⼭东师⼤附中2015级⾼三第⼀次模拟考试

数学试题（理科）

⼀、选择题：本题共12⼩题，每⼩题5分，共60分. 在每题给出的四个选项中，有且仅有⼀项是符合要求的.1. 已知集合}5,4,3,1{=A ，集合}054{2<--∈=x x Z x B ，则B A I 的⼦集个数为（ ） A ．2

B ．4

C ．8

D ．16

2. 计算：

=--+i

i i 21)1)(2(2

（ ） A ．2B ．2-

C ．i 2

D ．i 2-

3. 下列区间中函数x

x x f 2

)1ln()(-+=有零点的是（ ） A ．)1,0( B ．)2,1(

C ．)3,2(

D ．)4,3(

4. 设随机变量X 服从正态分布)1,0(N ，p x P =>)1(，则=->)1(x P （ ） A ．p B ．p -1

C ．p 21-

D ．p 2

5. 调查表明，酒后驾驶是导致交通事故的主要原因，交通法规规定：驾驶员在驾驶机动车时⾎液中酒精含量不得超过ml mg/2.0．如果某⼈喝了少量酒后，⾎液中酒精含量将迅速上升到ml mg /8.0，在停⽌喝酒后，⾎液中酒精含量就以每⼩时50%的速度减少，则他⾄少要经过（ ）⼩时后才可以驾驶机动车． A ．1 B ．2 C ．3D ．4

6. 如图中的三个直⾓三⾓形是⼀个体积为3

20cm 的⼏何体的三视图，则该⼏何体外接球的⾯积（单位：2

cm ）等于（ ） A ．π55 B ．π75 C ．π77 D ．π65

7. 某⼀算法程序框图如图所⽰，则输出的S 的值为（ ） A ．23 B ．2

3- C ．3 D ．0

8. 设不等式组

≤-≥+≤-022

y y x y x 所表⽰的区域为M ，函数

21x y --=的图象与x 轴所围成的区域为N ，向M 内随机投⼀个点，则该点落在N 内的概率为

（ ）A ．

π2 B ．4π C ．8π D ．16

π 9. ⽤数学归纳法证明)1,(1

21

31211*>∈<-+?+++n N n n n 时，由)1(>=k k n 不等式成⽴，推证

1+=k n 时，左边应增加的项数是（ ）

A ．1

2

-k

B ．12-k

C ．k 2

D ．12+k

10. 已知函数)4

2cos()(π

+

=x x f ，将)(x f y =的图象上所有的点的横坐标缩短为原来的

2

1

倍，纵坐标不变；再把所得的图象向右平移?个单位长度，所得的图象关于原点对称，则?的⼀个值是（ ）.A. 43π

B. 83π

C. 165π

D. 163π

11. “4a >”是“⽅程2

0x ax a ++=有两个负实数根”的（ ）.

A ．充分不必要条件

B ．必要不充分条件

C ．充要条件

D ．既不充分也不必要条件

12. 抛物线)0(22

>=p px y 的焦点为F ，准线为l ，B A ,是抛物线上的两个动点，且满⾜ο

60=∠AFB ．设线段AB 的中点M 在l 上的投影为N ，则

AB

MN 的最⼤值是( )．

A. 32

B. 23

C. 61

D. 1

⼆、填空题：本题共4⼩题，每⼩题5分，共20分.13. 已知两个单位向量b a ,满⾜32=+b a ，则b a ,的夹⾓为 ． 14. 若

a dx x e =?21，则6

)(x

a x +展开式中的常数项为 ． 15. 已知31cos )6sin(

=--ααπ

，则=+)32cos(π

α ． 16. 已知函数x

e b ax x x

f )()(2

++=，当1

2

2

-+a b 的取值范围是 .

三、解答题：共70分. 解答题应写出必要的⽂字说明、证明过程或演算步骤. 第17 ~ 21题为必做题，每个试题考⽣都必须作答. 第22、23题为选做题，考⽣根据要求作答. （⼀）必考题：共60分. 17.（本题满分12分）

已知等差数列}{n a 满⾜10,664==a a ． （1）求数列}{n a 的通项公式；

（2）设等⽐数列}{n b 各项均为正数，其前n 项和n T ，若3,233==T a b ，求n T ．

（本题满分12分） 18.

如图，在四棱锥P ABCD -中，底⾯ABCD 是边长为2的正⽅形，.PA BD ⊥ （1）求证：PB PD =；

（2）若E ，F 分别为PC ，AB 的中点，EF ⊥平⾯PCD ，求直线PB 与平⾯PCD 所成⾓的⼤⼩．

19.（本题满分12分）

⾃2016年1⽉1⽇起，我国全⾯⼆孩政策正式实施，这次⼈⼝与⽣育政策的历史性调整，使得“要不要再⽣⼀个”，“⽣⼆孩能休多久产假”等问题成为千千万万个家庭在⽣育决策上避不开的话题．为了解针对产假的不同安排⽅案形成的⽣育意愿，某调查机构随机抽取了200户有⽣育⼆胎能⼒的适龄家庭进⾏问卷调查，得到如下数据：

（1）若⽤表中数据所得的频率代替概率，⾯对产假为14周与16周，估计某家庭有⽣育意愿的概率分别为多少？（2）假设从5种不同安排⽅案中，随机抽取2种不同安排分别作为备选⽅案，然后由单位根据单位情况⾃主选择．

①求两种安排⽅案休假周数和不低于32周的概率；

②如果⽤ξ表⽰两种⽅案休假周数之和．求随机变量ξ的分布列及数学期望．

20.（本题满分12分）

已知椭圆C 的中⼼在坐标原点，焦点在x 轴上，左顶点为A ，左焦点为)0,2(1-F ，点)2,2(B 在椭圆C 上，直线)0(≠=k kx y与椭圆C 交于F E ,两点，直线AF AE ,，分别与y 轴交于点N M ,． （1）求椭圆C 的⽅程；

（2）在x 轴上是否存在点P ，使得⽆论⾮零实数k 怎样变化，总有MPN ∠为直⾓？若存在，求出点P 的坐标；若不存在，请说明理由．21.（本题满分12分）

已知函数)0)(1(ln )(≠-=a x ax x f . （1）求函数)(x f y =的单调递增区间； （2）当0>a 时，设函数)(61)(3

x f x x g -=

，函数)(')(x g x h =，

①若0)(≥x h 恒成⽴，求实数a 的取值范围； ②证明：)(321)

321ln(*22222N n n n e

∈+?+++

（⼆）选做题：共10分.请考⽣在第22、23题中任选⼀题做答⾄选做题答题区域，标清题号 . 如果多做，则按所做第⼀题计分.22.[选修4-4：坐标系与参数⽅程]（本题满分10分）

已知直线l 的参数⽅程：=+=θθsin cos 1t y t x （t 为参数），曲线C 的参数⽅程：==α

αsin cos 2y x （α为参

数），且直线交曲线C 于A ，B 两点．

（Ⅰ）将曲线C 的参数⽅程化为普通⽅程，并求4

π

θ=

时，AB 的长度；

（Ⅱ）已知点)0,1(P ，求当直线倾斜⾓θ变化时，PB PA ?的范围．23.[选修4-5：不等式选讲]（本题满分10分）

已知函数）a x x x f -++-=|2||1(|log )(2． （Ⅰ）当7=a 时，求函数)(x f 的定义域；

（Ⅱ）若关于x 的不等式3)(≥x f 的解集是R ，求实数a 的取值范围．

参考答案（理科）⼀、选择题

⼆、填空题 13.32π 14. 160 15. 97 16. ]3

1,3(-三、解答题17.解：（1）设等差数列}{n a 的公差为d ，⾸项为1a ，

∵10,664==a a ，∴=+=+1056311d a d a ………………3分

解得==21d a ………………5分

∴数列}{n a 的通项公式22)1(1-=-+=n d n a a n …………6分 （2）设各项均为正数的等⽐数列}{n b 的公⽐为)0(>q q ∵22-=n a n ， ∴43=a ， ∵33a b =， ∴b 3=4

于是=+=3)1(4121q b q b ………………8分

解得==211q b 或??-

==329

1

q b （舍）………………10分

∴122

1)21(11)1(1-=--?=--=

n n n n q q b T .……………12分

18. 解：（1）连接AC ，交BD 于点O ，∵底⾯ABCD 是正⽅形， ∴BD AC ⊥，且O 为BD 的中点，⼜∵PA BD ⊥，PAAC A =I ， ∴⊥BD 平⾯PAC ，由于?PO 平⾯PAC ，故⊥BD PO ， ⼜∵DO BO =，故PD PB =；………………4分 （2）设PD 的中点为Q ，连接AQ ，EQ ，EQ //1

2

CD ， ∴AFEQ 为平⾏四边形，//EF AQ ，∵⊥EF 平⾯PCD ， ∴AQ ⊥平⾯PCD ，∴AQ PD ⊥，PD 的中点为Q ， ∴2APAD ==

，由AQ ⊥平⾯PCD ，⼜可得AQ CD ⊥，

⼜∵AD CD ⊥，AQ AD A =I ，∴CD ⊥平⾯PAD ， ∴CD PA ⊥，⼜∵BD PA ⊥，

∴PA ⊥平⾯ABCD ，由题意，AB ，AP ，AD 两两垂直，以A 为坐标原点，向量AB u u u r ，AD u u u r

， AP u u u r

的⽅向为x ，y ，z 轴的正⽅向建⽴如图所⽰的空间直⾓坐标系A xyz -，则(0,0,0)A ，(2,0,0)B ，22(0,

,)22

Q ，(0,2,0)D ，(0,0,2)P ，…………8分 22(0,,)22

AQ =u u u r ，(2,0,2)PB =-u u u r ，⽽AQ u u u r 为平⾯PCD 的⼀个法向量，……10分

设直线PB 与平⾯PCD 所成⾓为θ，1sin 2||||PB AQ PB AQ θ?==?u u u r u u u r u u u

r u u u r ， ∴直线PB 与平⾯PCD 所成⾓为6

π