高中预科班初升高衔接教材：数学

新高一数学必备知识一、乘法公式1、完全平方公式和平方差公式()2222b ab a b a +±=± ()()22b a b a b a -=-+2、和立方与差立方公式()3223333b ab b a a b a +++=+ ()3223333b ab b a a b a -+-=-3、立方和与立方差公式()()3322b a b ab a b a +=+-+ ()()3322b a b ab a b a -=++-二、一元二次方程1、韦达定理一元二次方程的根与系数之间存在下列关系：若ax 2＋bx ＋c ＝0（a ≠0）两根分别是x 1，x 2，则x 1＋x 2＝b a -，x 1·x 2＝ca．也被称为韦达定理．以两个数x 1，x 2为根的一元二次方程（二次项系数为1）是x 2－(x 1＋x 2)x ＋x 1·x 2＝0． 利用根与系数的关系求值，要熟练掌握以下等式变形：一元二次方程的两根之差的绝对值是一个重要的量，今后我们经常会遇到求这一个量的问题(相关地，抛物线与x 轴两交点间的距离)，为了解题简便，我们可以探讨出其一般规律：设x 1和x 2分别是一元二次方程ax 2＋bx ＋c =0(a ≠0)的两根，则a ac b b x 2421-+-=，aac b b x 2422---=，||4|242||2424|||222221a acb a ac b a ac b b a ac b b x x -=-=-----+-=-∴||a ∆=．【例题精讲】例1. 已知方程5x 2＋kx -6=0的一个根是2，求它的另一个根及k 的值．例2. 若x 1和x 2分别是一元二次方程2x 2＋5x -3=0的两根． (1) 求|x 1-x 2|的值； (2) 求222111x x +的值； (3) 求31x ＋32x 的值．例3. 已知α、β是方程x 2＋2x -5=0的两个实数根，则α2＋αβ＋2α的值为_______．【巩固练习】1. 1x 和2x 为一元二次方程013222=-+-m x x 的两个实根，并1x 和2x 满足不等式142121<-+x x x x ，则实数m 的值范围是 ．2. 关于x 的方程240x x m ++=的两根为x 1，x 2满足| x 1－x 2|＝2，求实数m 的值．3. 已知α、β是方程210x x --=的两个实数根，则代数式)2(22-+βαα的值为 ．2、利用韦达定理逆定理，构造一元二次方程辅助解题等【例题精讲】例1. 设a ,b 是相异的两实数，满足ab b a b b a a 2222,34,34++=+=求的值例2. 0519998081999522=++=+-b b a a 及已知，求ba的值．【巩固练习】1. 如果a 、b 都是质数，且0132=+-m a a ，0132=+-m b b ，求baa b +的值2. 设实数a ,b 分别满足,01999,01991922=++=++b b a a 且ba ab ab 14,1++≠求的值．3. △ABC 的一边长为5，另两边长恰为方程01222=+-m x x 的两根，则m 的取值范围是 ．3、根的分布定理 （1）0分布一元二次方程()200ax bx c a ++=≠的根从几何意义上来说就是二次函数()c bx ax x f ++=2与x 轴交点的横坐标，所以研究02=++c bx ax 的实根的情况，可从函数()c bx ax x f ++=2的图象上进行研究.0∆>⎧0∆>⎧【例题精讲】例1. 已知方程()2210x m x m -++=有两个不等正实根，求实数m 的取值范围．例2. 若方程05)2(2=-+-+m x m x 的根满足下列条件，分别求出实数m 的取值范围． （1）方程两实根均为正数；（2）方程有一正根一负根．【巩固练习】已知一元二次方程()()221210m x mx m +-+-=有一正根和一负根，求实数m 的取值范围．（2）k分布【知识梳理】kk k【例题精讲】例1. 若关于x 的方程02=++a x x 的一个大于1、另一根小于1，求实数a 的取值范围．例2. 若关于x 的方程02=++a x x 的两根均小于1，求实数a 的取值范围．例3.已知二次函数()()()222433y m x m x m =+-+++与x 轴有两个交点，一个大于1，一个小于1，求实数m 的取值范围．【巩固练习】1. 关于x 的方程02)1(22=-+-+a x a x 的一个根比1大，另一个根比1小，则（ ）12121||11>-<<<-><<-a a D a Ca B a A 或2. 实数k 为何值时，方程022=-+-k kx x 的两根都大于21 ．3. （1）已知：,αβ是方程()221420x m x m +-+-=的两个根，且2αβ<<，求m 的取值范围；（2）若220x ax ++=的两根都小于1-，求a 的取值范围．（3）m、n分布()0⎧>f m()0⎧<f m【例题精讲】例1. 已知关于x 的二次方程x 2＋2mx ＋2m ＋1＝0，（1）若方程有两根，其中一根满足011<<-x ，另一根满足212<<x ，求m 的范围； （2）若方程两根满足1021<≤<x x ，求m 的范围．例 2. 关于x 的二次方程()2271320x p x p p -++--=的两根βα,满足012αβ<<<<，求实数p 的取值范围．例3. 二次函数6)1(2522-++-=m x m x y 的图像与x 轴的两个交点满足1121≤<≤-x x ，且分居y 轴的两侧，求实数m 的取值范围．例4. 若二次函数y =的图象与两端点为A （0，3），B （3，0）的线段AB 有两个不同的交点，求m 的取值范围．21x mx -+-【巩固练习】1. 关于x 的方程0532=+-a x x 的两根分别满足021<<-x ，312<<x ，求a 的取值范围．2. 二次方程2210x kx k ++-=的两个根1x 与2x ，当121x -<<-且212x <<时，实数k 的取值范围是 ．总结：一元二方程根的分布只需考虑三个方面：（1）a 和△的符号（2）对称轴相对于区间的位置（3）所给区间端点函数值符号【例题精讲】例1.当关于x 的方程的根满足下列条件时，求实数a 的取值范围： （1）方程x 2-ax+a -7=0的两个根一个大于2，另一个小于2； （2）方程ax 2+3x+4=0的根都小于1；（3）方程x 2-2(a+4)x+2a 2+5a +3=0的两个根都在31-≤≤x 内；（4）方程7x 2-（a+13）x+2a -1=0的一个根在10<<x 内，另一个根在21<<x 内．例2.已知函数22()(21)2f x x a x a =--+-与非负x 轴至少有一个交点，求a 的取值范围．【巩固练习】已知方程03)3(24=+--m x m mx 有一个根小于1-，其余三个根都大于1-，求m 的取值范围．三、不等式1、一元二次不等式例1. 解下列不等式（1）()()x x x 2531-<--； （2）()()21311+>+x x x ；（3）()()()233122+>-+x x x ； （4）2223133x x x ->+-； （5）()13112->+-x x x x（6）x 2＋2x －3≤0； （7）x －x 2＋6＜0； （8）4x 2＋4x ＋1≥0； （9）x 2－6x ＋9≤0； （10）－4＋x －x 2＜0．例2.设R m ∈，解关于x 的不等式0322<-+m mx mx ．2、分式不等式及高次不等式（1）简单分式不等式的解法：已知f (x )与g (x )是关于x 的多项式，不等式()0()f x g x >，()0()f x g x <，()0()f x g x ≥，()0()f xg x ≤称为分式不等式．前面介绍过的符号法则可以进行推广，进而可以研究分式不等式．将分式不等式进行同解变形，利用不等式的同解原理将其转化为有理整式不等式（组）即可求解．具体如下：()0()f x g x >①，即()0()0f x g x >⎧⎨>⎩或()0()0f xg x <⎧⎨<⎩，即()()0f x g x ⋅>；()0()f x g x <②，即()0()0f x g x >⎧⎨<⎩或()0()0f x g x <⎧⎨>⎩，即()()0f x g x ⋅<； ()0()f x g x ≥③，即()()0()0f x g x g x ⋅≥⎧⎨≠⎩，即()()0f x g x ⋅>或()0f x =； ()0()f x g x ≤④，即()()0()0f x g x g x ⋅≤⎧⎨≠⎩，即()()0f x g x ⋅<或()0f x =．（2）简单高次不等式的解法：不等式的最高次项的次数高于2的不等式称为高次不等式．前面介绍过的符号法则可以进行推广，进而可以研究高次不等式．解高次不等式的方法有两种：方法1：将高次不等式f (x )＞0(＜0)中的多项式f (x )分解成若干个不可约因式的乘积，根据符号法则等价转化为两个或多个不等式（组）即可求解．但应注意：原不等式的解集是各不等式（组）解集的并集，且次数较大时，此种方法比较烦琐．方法2：穿针引线法：①将不等式化为标准形式，右端为0，左端为一次因式（因式中x 的系数为正）或二次不可约因式的乘积；②求出各因式的实数根，并在数轴上标出；③自最右端上方起，用曲线自右向左依次由各根穿过数轴，遇奇次重根穿过，遇偶次重根穿而不过（奇过偶不过）；④记数轴上方为正，下方为负，根据不等式的符号即可写出解集．例题解析（1）求不等式032≥-+x x 的解集 （2）求不等式3223x x -≥+的解集（3）求不等式221x x 的解集（4）求不等式()()0236522≤++--x x x x 的解集3、恒成立与有解问题一元二次不等式的恒成立问题，即可以看成一个函数()x f y =的图象与x 轴的位置关系问题，若是不等式()0>x f 恒成立，即函数图象恒在x 轴上方，且与x 轴无交点，同理可以得到其他类似情形。

第14讲 幂函数及其应用课时达标1．函数2-=x y 在区间]2,21[上的最大值是（ ） （ ）A ．41 B ．1-C ．4D ．4-2. 下列所给出的函数中，是幂函数的是（ ）A ．3x y -= B ．3-=xyC ．32x y =D ．13-=x y3. 下列命题中正确的是（ ）A ．当0=α时函数αx y =的图象是一条直线 B ．幂函数的图象都经过（0，0）和（1，1）点C ．若幂函数αx y =中a=3，则αx y =是定义域上的增函数 D ．幂函数的图象不可能出现在第四象限4．函数3x y =和31x y =图象满足（ ）（ ）A ．关于原点对称B ．关于x 轴对称C ．关于y 轴对称D ．关于直线x y =对称 5．（原创）函数y=(x 2+2x －24)12的单调递减区间是（ ）A ．]6,(--∞B ．),6[+∞-C ．]1,(--∞D ．),1[+∞-6． 如图1—9所示，幂函数αx y =在第一象限的图象，比较1,,,,,04321αααα的大小（ ）A ．102431<<<<<αααα 1α3α4α2αB ．104321<<<<<ααααC ．134210αααα<<<<<D ．142310αααα<<<<< A ．102431<<<<<αααα B ．104321<<<<<αααα C ．134210αααα<<<<< D ．142310αααα<<<<< 思维升华7． 对于幂函数54)(x x f =，若210x x <<，则)2(21x x f +，2)()(21x f x f +大小关系是（ ） A ．)2(21x x f +>2)()(21x f x f + B ． )2(21x x f +<2)()(21x f x f + C ． )2(21x x f +=2)()(21x f x f +D ． 无法确定 8．函数的定义域是 .9.幂函数f(x)的图像过点（4，12）,那么，f(8)的值为________.10.(原创)幂函数的图像过点（2，14）,则它的单调递减区间为__________.11.设T 1=(12)23,T 2=(15)23的大小关系为_________.12.若（a+1）－12＜(3－2a)－12,则实数a 的取值范围是____________.13.设a ∈｛－2，－1，－12,13,12,1,2,3｝，则使f(x)=x a在（0, +∞）上为减函数的a 值有___个。

第十一讲 函数的概念及表示课时达标1.下列各组函数中，表示同一函数的是A xx y y ==,1 B .y=x+2 y=x 2-4x-2C .33,x y x y == D.()2,x y x y ==2. 函数y =）A )43,21(- B ]43,21[-C.),43[]21,(+∞⋃-∞ D.),0()0,21(+∞⋃-3. 已知⎩⎨⎧<+≥-=)6()2()6(5)(x x f x x x f ，则f(3)为（ ）A. 2 B . 3 C . 4 D . 5 4. 已知函数11)(22-+-=x x x f 的定义域是（ ）A.[－1，1]B.{－1，1}C.（－1，1） D .),1[]1,(+∞--∞5. 在映射中B A f →:，},|),{(R y x y x B A ∈==，且),(),(:y x y x y x f +-→，则与A 中的元素)2,1(-对应的B 中的元素为（）A.)1,3(-B.)3,1(C.)3,1(--D.)1,3(6.已知f(x)=x 2+1,则f(3x+2)=____________. 思维升华7. 下列各函数中，表示同一函数的有 （ ）组 (1)()2x y x y ==与, (2)2x y x y ==与, (3)1122+=+=t y x y 与(4)1112++-==x x y x y 与, (5)()1112-=-∙+=x y x x y 与A. 1组B. 2组C. 3组D. 4组 8. 已知函数23212---=x x xy 的定义域为（ ） A ．]1,(-∞B ．]2,(-∞C.]1,21()21,(-⋂--∞ D ．]1,21()21,(-⋃--∞9.若{}{}0,1,2,3,|3,A B x x a a A ===∈，则A B ⋂= ( ) A.｛1,2｝ B ｛0,1｝ C.｛0,3｝ D.｛3｝10. 已知A 、B 两地相距150千米，某人开汽车以60千米/小时的速度从A 地到达B 地，在B 地停留1小时后再以50千米/小时的速度返回A 地，把汽车离开A 地的距离x 表示为时间t （小时）的函数表达式是A . x =60tB .x =60t +50tC x =⎩⎨⎧>-≤≤)5.3(,50150)5.20(,60t t t tD .x =⎪⎩⎪⎨⎧≤<--≤<≤≤)5.65.3(),5.3(50150)5.35.2(,150)5.20(,60t t t t t 11. 用长为L 的铁丝弯成下部为矩形，上部为半圆形的框架，若半圆半径为x ，求此框架围成的面积y 与x 的函数式y =f (x )，并写出它的定义域.12. 某商家有一种商品，成本费为a 元，如果月初售出可获利100元，再将本利都存入银行，已知银行月息为2．4%，如果月末售出可获利120元，但要付保管费5元，试就 a 的取值说明这种商品是月初售出好，还是月末售出好？13. 求函数()51422-+-=x x x f 的定义域.14.已知函数f(x)=x 2+ax+b,满足f(1)=f(2)=0,则 （1）求a 、b 的值； （2）求f(-1)的值 创新探究15.对于函数f(x),若存在x 0∈R,使得f(x 0)= x 0,则点（x 0，x 0）称为函数的不动点. （1）若函数f(x)=ax 2+bx-b 有两个不动点（1，1）、（3，3），求a 、b 的值；（2）对于任意的两个实数b,都有f(x)=ax 2+bx-b 有两个相异的不动点，求实数a 的取值范围.16. 某商品在近30天内每件的销售价格p （时间t （天）的函数关系是20,025,,100,2530,.t t t N p t t t N +<<∈⎧=⎨-+≤≤∈⎩该商品的日销售量Q （件）与时间t （天）的函数关系是40+-=t Q ),300(N t t ∈≤<，求这种商品的日销售金额的最大值，并指出日销售金额最大的一天是30天中的第几天？17. 设x 1,x 2是关于x 的一元二次方程x 2-2(m-1)x+m+1=0的两个实根，又y=x 21+x 22，求y=f(m)的解析式及此函数的定义域.18.已知全集为R ，函数f(x)= 2x1-2x 的定义域为集合A ，集合B=｛x ︱x(x-6)＞6｝,求A ∩C R B.19.求下列函数的解析式：（1）已知x f x f 4)21(2)(3=+,求 f(x)（2）已知函数f(x)是一次函数，且满足关系式3f(x+1)-2f(x-1)=2x+17, 求f(x)的解析式.20. 将进货单价40元的商品按50元一个出售时能卖出500个，若每涨价1元，其销售量就减少10个，为赚得最大利润，则销售价应为多少？21. 企业生产一种产品时，固定成本为5000元，而每生产100台产品时直接消耗成本要增加2500元，市场对此商品年需求量为500台，销售的收入函数为R (x )=5x －21x 2(万元)(0≤x ≤5),其中x 是产品售出的数量(单位：百台)(1)把利润表示为年产量的函数； (2)年产量多少时，企业所得的利润最大？ (3)年产量多少时，企业才不亏本？第十一讲 函数的概念及表示同步提升训练参考答案课时达标 1.答案：C解析：两个函数为同一个函数要求定义域和对应法则完全相同，由此判断可知C 正确. 2.答案：B.解析：要求函数有意义，必须满足2x+1≥0;3-4x ≥0,由此可得－12≤x ≤34,故选B.3.答案：A解析：此题为分段函数要选择对应表达式来代入，由f(3)=f(5)=f(7)=7-5=2. 4.答案：B解析：要使此函数有意义，必须满足1-x 2≥0,同时满足x 2-1≥0,由交集可知答案为{－1，1}. 5答案：A解析：由所给的x =－1,y=2可知x-y=-3;x+y=1. 6.答案：9x 2+12x+5解析：利用函数自变量的对应关系，将3x+2作为整体代入即可. 思维创新 7.答案：A解析：两个函数完全相同，则定义域和解析式要完全相同，只有（3），其余（1）（2）（4）(5)的定义域不同. 8.答案：D解析：要使此函数有意义，需满足两个条件，1-x ≥0,且2x 2-3x-2≠0,通过计算可知答案为D. 9.答案：C解析：由所给的集合{}{}0,1,2,3,|3,A B x x a a A ===∈和B 集合对应的函数关系可知B=｛0,3,6,9｝，故选C. 10.答案：D解析：由题意的描述所列的表达式为一分段函数，列出算式化简可知答案为D.11. 分析：此题的已知是函数的题意，要利用周长的关系设出未知数x 表示并求解. 解：由已知，得 AB=2x , CD =πx ,于是AD=22x x L π--， 因此，y =2x · 22x x L π--+22xπ， 即y =Lx x ++-224π. 由⎪⎩⎪⎨⎧>-->02202x x L x π，得0<x <,2+πL 函数的定义域为（0，2+πL） 12. 分析：此题为一实际问题要结合题设来列式，而比较那种方式的利润较大，可通过做差比较的方法来实现.解：由已知商品的成本费为a 元，则若月初售出，到月末共获利润为： y 1=100+（a +100）×2.4% =0.024 a +102.4若月末售出，可获利y 2=120－5=115（元） y 1－y 2=0.024a －12.6=0.024（a －525） 故当成本a 大于525元时，月初售出好； 当成本a 小于525元时，月末售出好； 当成本a 等于525元时，月初、月末售出获利相同.13. 分析：要求函数的定义域，需要函数的解析式有意义，对此题目来说，首先要求根式和分式函数都要有意义，然后展开计算.解：要使函数有意义，需要满足x 2－4≥0且x 2－5≠0,由此求解可得定义域为：{}5,,52,25,5<<≤-≤<--<x x x x x 或或或14.分析：此题要用所给的函数值求表达式，再求值.解：(1)由所给的函数表达式f(x)=x 2+ax+b 可知， F(1)=1+a+b =0 ； f(2)=4+2a+b=0 ∴a=-3 ,b=2则有：f(x)= x 2－3x+2 (2)由f(x)= x 2－3x+2可知 F(-1)=（-1）2－3（－1）+2=6 创新探究15.分析：此题为一信息题，需要结合题目的描述来列式，再利用初中所学的二次函数知识来求解. 解：（1）由函数f(x)=ax 2+bx-b 有两个不动点（1，1）和（3，3）点以函数不动点的定义可知，不动点就是满足ax 2+bx-b=x 的点则有a+b-b=1且9a+3b-b=3∴a=1,b =－3(2)由函数f(x)=ax 2+bx-b 有两个不动点，从而方程ax 2+bx-b=x 总有两个不相等的实数根. ∴⊿=（b －1）2+4ab ＞0恒成立令g(b)=b 2+(4a-2)b+1,则⊿＞0变为g(b)＞0 则g(b)中的⊿1=（4a-2）2-4＜0 ∴ 0＜a ＜116.分析：此题所给函数为一分段函数，我们要根据已知，然后在各段里求最值，比较得到答案. 解：设日销售金额为y （元），则y =p ⋅Q ．2220800,1404000,t t y t t ⎧-++⎪∴=⎨-+⎪⎩ 025,,2530,.t t N t t N <<∈≤≤∈ 22(10)900,(70)900,t t ⎧--+⎪=⎨--⎪⎩ 025,,2530,.t t N t t N <<∈≤≤∈ 当N t t ∈<<,250，t =10时，900max =y (元)；当N t t ∈≤≤,3025，t=25时，1125max =y （元）．由1125>900，知y max =1125（元），且第25天，日销售额最大. 17. 分析：此题要充分的利用根与系数的关系来代换求解.解：∵x 1,x 2是x 2-2(m-1)x+m+1=0的两个实根，∴ ∆=4（m-1）2-4(m+1)≥0, 解得m 0≤或m ≥3. 又∵x 1+x 2=2(m-1), x 1·x 2=2(m-1),x 1·x 2=m+1,y=f(m)=x 12+x 22=(x 1+x 2)2-2x 1x 2=4m 2-10m+2, 即:y=f(m)=4m 2-10m+2(m ≤0或m ≥3)18.分析：此题要利用函数求定义域，再结合集合的运算来完成. 解：由f(x)= f(x)= 2x1-2x 的定义域要满足1-2x ＞0即定义域A=｛X ︱X ＜12｝又由B=｛x ︱x ＞3或x ＜-2｝ ∴C R B=｛x ︱－2≤x ≤3｝∴A ∩C R B=｛x ︱－2≤x ＜12｝19.分析：此题是对函数解析式的求解的两种类型，结合题目的特点，可知（1）我们应采取消去法消去f(1x ),(2)已知函数类型，可用待定系数法.（1）解：由已知可得x f x f 4)21(2)(3=+用x 1换x 得到等式3)1(x f +2f(x)= x 4联立两方程可求解出f(x)= xx 58512-（2）设f(x)=ax+b (a ≠0) 由条件得：3[a(x+1)+b]-2[a (x-1)+b]=ax+5a+b=2x+17 ∴ a=2 ∴ 5a+b=17 ∴a=2,b=7 ∴f(x)=2x+720.分析：此题为实际问题，要结合题设来列式，并利用配方来求最值来回答实际问题. 解： 设销售价为50+x ，利润为y 元， 则y=(500-10x)(50+x-40)=-10(x-20)2+9000,∴当x=20时,y 取得最大值，即为赚得最大利润，则销售价应为70元.21.分析：此题为实际问题应用的一道综合题，要结合题目说明来列式并求值应用. 解：(1）利润y 是指生产数量x 的产品售出后的总收入R (x )与其总成本C (x )x ≤5时，产品能全部售出，当x >5时，只能销售500台，所以y =⎪⎩⎪⎨⎧>-≤≤--=⎪⎪⎩⎪⎪⎨⎧>+-⨯-⨯≤≤+--)1( 25.012)50(5.02175.4)5)(25.05.0()52155()50)(25.05.0(215222x x x x x x x x x x x (2）在0≤x ≤5时，y =－21x 2+4.75x －0.5,当x =－ab2=4.75(百台）时，y max =10.78125(万元），当x >5(百台）时，y ＜12－0.25×5=10.75(所以当生产475台时，利润最大.(3）要使企业不亏本，即要求⎩⎨⎧≥->⎪⎩⎪⎨⎧≥-+≤≤025.012505.075.421502x x x x x 或解得5≥x ≥4.75－5625.21≈0.1(百台）或5＜x ＜48(百台）时，即企业年产量在10台到4800台之间时，企业不亏本.。

第18讲 对数及其应用课时达标1.把下列指数式写成对数式(1) 32＝８ （２）52＝32（３）12-＝21（４）312731=-2.把下列对数式写成指数式（1）3log ９＝２ （２）5log １２５＝３（３）2log 41＝－２ ４）3log 811＝－４3.求下列各式的值(1) 5log 25 （２）2log 161（３）lg 100 （４）lg 0.01（５）lg 10000 （６）lg 0.00014.求下列各式的值(1) 15log 15 （２）4.0log 1（３）9log 81 （４）5.2log 625（５）7log 343 （６）3log 2435.如果b a =2，那么A ． b a =2logB ．a b =2logC ．2log =b a D ．b a =2log6.如果()N a a =--3log 1，那么a 的取值范围是A ．3<aB ．31<<aC ．1>a 且2≠aD ．(1,2)∪(2,3)思维升华7.使0lg >x 成立的充要条件是A ．0>xB ．1>xC ．10>xD ．101<<x 8.若log [log (log )]4320x =，则x-12等于（ ） A.142 B. 122 C. 8D. 4 9.化指数式为对数式：⇔=2713x ；⇔=-51521 ． 10.求值：=91log 27 ；=16log 2 ；=001.0lg． 11.求值：=++++3log 15.222ln 1001lg 25.6log e． 12.已知：m a =2log ，n a =3log ，那么=+n m a 2．13. 化下列指数式为对数式：（1）1024210=，（2）001.0103=-，（3）00243.03.05=，（4）10=e ．14.化下列对数式为指数式：（1）225.6log 4.0-=，（2）3010.02lg =，（3）0959.210log 3=，（4）π=14.23ln ．15. 已知x=log 23,求23x －2－3x2x －2－x 的值.16.计算： ⑴27log 9，⑵81log 43， ⑶()()32log 32-+，⑷625log 345创新探究17. （原创）证明对数的换底公式：a N N c c a log log log =10(≠>c c 且，10≠>a a 且，)0>N 。

预科班教材--初高中衔接（高中数学）
第一部分如何做好初高中衔接
第二部分现有初高中数学知识存在的“脱节”
第三部分初中数学与高中数学衔接紧密的知识点
第四部分分章节讲解
第五部分衔接知识点的专题强化训练
第一部分，如何做好高、初中数学的衔接
● 第一讲如何学好高中数学●
初中生经过中考的奋力拼搏，刚跨入高中，都有十足的信心、旺盛的求知欲，都有把高中课程学好的愿望。

但经过一段时间，他们普遍感觉高中数学并非想象中那么简单易学，而是太枯燥、乏味、抽象、晦涩，有些章节如听天书。

在做习题、课外练习时，又是磕磕碰碰、跌跌撞撞，常常感到茫然一片，不知从何下手。

相当部分学生进入数学学习的“困难期”，数学成绩出现严重的滑坡现象。

渐渐地他们认为数学神秘莫测，从而产生畏惧感，动摇了学好数学的信心，甚至失去了学习数学的兴趣。

造成这种现象的原因是多方面的，但最主要的根源还在于初、高中数学教学上的衔接问题。

下面就对造成这种现象的一些原因加以分析、总结。

希望同学们认真吸取前人的经验教训，搞好自己的数学学习。

一高中数学与初中数学特点的变化
1 数学语言在抽象程度上突变。

不少学生反映，集合、映射等概念难以理解，觉得离生活很远，似乎很“玄”。

确实，初、高中的数学语言有着显著的区别。

初中的数学主要是以形象、通俗的语言方式进行
１。

第19讲 对数函数课时达标1．已知3a ＋5b = A ，且a 1＋b1= 2，则A 的值是( )． A ．15 B ．15 C ．±15 D ．225 2．已知a ＞0，且10x = lg(10x)＋lga1，则x 的值是( )． A ．－1 B ．0 C ．1 D ．23．若x 1，x 2是方程lg 2x ＋(lg3＋lg2)＋lg3·lg2 = 0的两根，则x 1x 2的值是( )．A ．lg3·lg2B ．lg6C ．6D ．614．（原创）若log a (a 2＋1)＜log a 2a ＜0，那么a 的取值范围是( )．A ．(0，1)B ．(0，21) C ．(21，1) D ．(1，＋∞) 5. （原创）y=)8lg(2x - 的定义域是__________.6.求下列函数的定义域：（1）2log x y a =； （2）)4(log x y a -=； （3）)9(log 2x y a -=．思维升华 7.已知x =31log 121＋31log 151，则x 的值属于区间( )．A ．(－2，－1)B ．(1，2)C ．(－3，－2)D ．(2，3)8．已知lga ，lgb 是方程2x 2－4x ＋1 = 0的两个根，则(lgba )2的值是( )． A ．4 B ．3 C ．2 D ．19．已知函数y = log (ax ＋2x ＋1)的值域为R ，则实数a 的取值范围是( )．A ．0≤a ≤1B ．0＜a ≤1C ．a ≥1D ．a ＞§5 对数函数 10．若log 7[ log 3( log 2x)] = 0，则x 21-为( )．A ．321 B ．331C ．21 D ．42 11．（原创）若0＜a ＜1，函数y = log a [1－(21)x]在定义域上是( )． A ．增函数且y ＞0 B ．增函数且y ＜0 C ．减函数且y ＞0 D ．减函数且y ＜0 12．已知不等式log a (1－21+x )＞0的解集是(－∞，－2)，则a 的取值范围是( )． A ．0＜a ＜21 B ．21＜a ＜1 C ．0＜a ＜1 D ．a ＞113.（原创）函数y=log 13 (x 2-3x)的增区间是________14.（原创）求函数251-⎪⎭⎫⎝⎛=xy 和函数22112+⎪⎭⎫ ⎝⎛=+x y )0(<x 的反函数。

暑期高中数学预科教材目录第一章数与式1.1 数与式的运算1.1.1 绝对值1.1.2 乘法公式1.1.3 二次根式1.1.4 分式1.2 分解因式第二章二次方程与二次不等式2.1 一元二次方程2.1.1 根的判别式2.1.2 根与系数的关系2.2 二次函数2.2.1 二次函数y=ax2+bx+c的图像和性质2.2.2 二次函数的三种表达方式2.2.3 二次函数的应用2.3 方程与不等式2.3.1 二元二次方程组的解法第三章相似形、三角形、圆3.1 相似形3.1.1 平行线分线段成比例定理3.1.2 相似三角形形的性质与判定3.2 三角形3.2.1 三角形的五心3.2.2 解三角形：钝角三角函数、正弦定理和余弦定理及其应用3.3 圆3.3.1 直线与圆、圆与圆的位置关系：圆幂定理3.3.2 点的轨迹3.3.3 四点共圆的性质与判定3.3.4 直线和圆的方程（选学）1.1 数与式的运算1.１.1．绝对值绝对值的代数意义：正数的绝对值是它的本身，负数的绝对值是它的相反数，零的绝对值仍是零．即,0,||0,0,,0.a a a a a a >⎧⎪==⎨⎪-<⎩绝对值的几何意义：一个数的绝对值，是数轴上表示它的点到原点的距离． 两个数的差的绝对值的几何意义：b a -表示在数轴上，数a 和数b 之间的距离． 例1 解不等式：13x x -+-＞4．解法一：由01=-x ，得1=x ；由30x -=，得3x =； ①若1<x ，不等式可变为(1)(3)4x x ---->， 即24x -+＞4，解得x ＜0， 又x ＜1， ∴x ＜0；②若12x ≤<，不等式可变为(1)(3)4x x --->， 即1＞4，∴不存在满足条件的x ；③若3x ≥，不等式可变为(1)(3)4x x -+->， 即24x -＞4， 解得x ＞4． 又x ≥3， ∴x ＞4．综上所述，原不等式的解为 x ＜0，或x ＞4．解法二：如图1．1－1，1-x 表示x 轴上坐标为x 的点P 到坐标为1的点A 之间的距离|P A |，即|P A |＝|x －1|；|x －3|表示x 轴上点P 到坐标为2的点B 之间的距离|PB |，即|PB |＝|x －3|．所以，不等式13x x -+-＞4的几何意义即为 |P A |＋|PB |＞4． 由|AB |＝2，可知点P 在点C (坐标为0)的左侧、或点P 在点D (坐标为4)的右侧．x ＜0，或x ＞4．练 习 1．填空：（1）若5=x ，则x =_________；若4-=x ，则x =_________.（2）如果5=+b a ，且1-=a ，则b ＝________；若21=-c ，则c ＝________. 2．选择题：A C P |x －1||x －3|图1．1－1下列叙述正确的是 （ ） （A ）若a b =，则a b = （B ）若a b >，则a b > （C ）若a b <，则a b < （D ）若a b =，则a b =± 3．化简：|x －5|－|2x －13|（x ＞5）．1.1.2. 乘法公式我们在初中已经学习过了下列一些乘法公式：（1）平方差公式 22()()a b a b a b +-=-；（2）完全平方公式 222()2a b a a b b ±=±+． 我们还可以通过证明得到下列一些乘法公式：（1）立方和公式 2233()()a b a a b b a b+-+=+； （2）立方差公式 2233()()a b a a b b a b-++=-； （3）三数和平方公式 2222()2()a b c a b c a b b c ac ++=+++++； （4）两数和立方公式 33223()33a b a a b a b b+=+++； （5）两数差立方公式 3322()33a b a a b a b b -=-+-． 对上面列出的五个公式，有兴趣的同学可以自己去证明． 例1 计算：22(1)(1)(1)(1)x x x x x x +--+++． 解法一：原式=2222(1)(1)x x x ⎡⎤-+-⎣⎦=242(1)(1)x x x -++ =61x -．解法二：原式=22(1)(1)(1)(1)x x x x x x +-+-++ =33(1)(1)x x +- =61x -．例2 已知4a b c ++=，4ab bc ac ++=，求222a b c ++的值． 解： 2222()2()8a b c a b c ab bc ac ++=++-++=．练 习 1．填空：（1）221111()9423a b b a -=+（ ）； （2）(4m + 22)164(m m =++ )；(3 ) 2222(2)4(a b c a b c +-=+++ )． 2．选择题：（1）若212x mx k ++是一个完全平方式，则k 等于 （ ） （A ）2m （B ）214m （C ）213m （D ）2116m（2）不论a ，b 为何实数，22248a b a b +--+的值 （ ）（A ）总是正数 （B ）总是负数（C ）可以是零 （D ）可以是正数也可以是负数1.1.3．二次根式一般地，形如0)a ≥的代数式叫做二次根式．根号下含有字母、且不能够开得尽方的式子称为无理式. 例如 32a b ，等是无理式，而212x ++，22x y +1．分母（子）有理化把分母（子）中的根号化去，叫做分母（子）有理化．为了进行分母（子）有理化，需要引入有理化因式的概念．两个含有二次根式的代数式相乘，如果它们的积不含有二次根式，我们就说这两个代数式互为有理化因式，例如等等． 一般地，b 与b 互为有理化因式．分母有理化的方法是分母和分子都乘以分母的有理化因式，化去分母中的根号的过程；而分子有理化则是分母和分子都乘以分母的有理化因式，化去分子中的根号的过程在二次根式的化简与运算过程中，二次根式的乘法可参照多项式乘法进行，运算中要运0,0)a b =≥≥；而对于二次根式的除法，通常先写成分式的形式，然后通过分母有理化进行运算；二次根式的加减法与多项式的加减法类似，应在化简的基础上去括号与合并同类二次根式．2．二次根式a ==,0,,0.a a a a ≥⎧⎨-<⎩例1 将下列式子化为最简二次根式：（1 （20)a ≥； （30)x <．解： （1=（20)a ==≥；（3220)x x x ==-<．例2 (3．解法一： (3)＝393-＝1)6＝12．解法二： (3)＝12．例3试比较下列各组数的大小：（1（2.解：（1）∵1===，1110=，又>∴（2）∵1===又4＞22，∴6＋4＞6＋22，∴例4化简：20042005⋅．解：20042005⋅＝20042004⋅⋅＝2004⎡⎤⋅-⋅⎣⎦＝20041⋅-例 5 化简：（1；（21)x<<．解：（1）原式===2=2=．（2）原式=1xx=-，∵01x<<，∴11xx>>，所以，原式＝1xx-．例 6 已知x y ==22353x xy y -+的值 ．解： ∵2210x y +==+=，1xy ==， ∴22223533()1131011289x xy y x y xy -+=+-=⨯-=．练 习 1．填空：（1＝__ ___；（2(x =-x 的取值范围是_ _ ___；（3）__ ___；（4）若x ==______ __． 2．选择题：=成立的条件是 （ ） （A ）2x ≠ （B ）0x > （C ）2x > （D ）02x <<3．若b =，求a b +的值．4．比较大小：2－4（填“＞”，或“＜”）．1.1.４．分式1．分式的意义形如A B 的式子，若B 中含有字母，且0B ≠，则称A B 为分式．当M ≠0时，分式AB具有下列性质： A A M B B M⨯=⨯； A A M B B M÷=÷． 上述性质被称为分式的基本性质．2．繁分式像ab c d+，2m n pm n p +++这样，分子或分母中又含有分式的分式叫做繁分式．例1 若54(2)2x A Bx x x x +=+++，求常数,A B 的值． 解： ∵(2)()2542(2)(2)(2)A B A x Bx A B x A x x x x x x x x x ++++++===++++， ∴5,24,A B A +=⎧⎨=⎩解得 2,3A B ==．例2 （1）试证：111(1)1n n n n =-++（其中n 是正整数）；（2）计算：1111223910+++⨯⨯⨯ ； （3）证明：对任意大于1的正整数n ， 有11112334(1)2n n +++<⨯⨯+ ． （1）证明：∵11(1)11(1)(1)n n n n n n n n +--==+++，∴111(1)1n n n n =-++（其中n 是正整数）成立．（2）解：由（1）可知1111223910+++⨯⨯⨯ 11111(1)()()223910=-+-++- 1110=-＝910．（3）证明：∵1112334(1)n n +++⨯⨯+ ＝111111()()()23341n n -+-++-+ ＝1121n -+，又n ≥2，且n 是正整数，∴1n ＋1一定为正数，∴1112334(1)n n +++⨯⨯+ ＜12 ． 例3 设ce a=，且e ＞1，2c 2－5ac ＋2a 2＝0，求e 的值．解：在2c 2－5ac ＋2a 2＝0两边同除以a 2，得 2e 2－5e ＋2＝0， ∴(2e －1)(e －2)＝0，∴e ＝12 ＜1，舍去；或e ＝2． ∴e ＝2．练 习1．填空题：对任意的正整数n ，1(2)n n =+ (112n n -+)； 2．选择题：若223x y x y -=+，则xy＝ （ ） （A ）１ （B ）54 （C ）45 （D ）653．正数,x y 满足222x y xy -=，求x yx y-+的值．4．计算1111 (12233499100)++++⨯⨯⨯⨯．习题1．1 A 组1．解不等式：(1) 13x ->； (2) 327x x ++-< ； (3) 116x x -++>．２．已知1x y +=，求333x y xy ++的值． 3．填空：（1）1819(2(2＝________；（22=，则a 的取值范围是________；（3=________．B 组1．填空：（1）12a =，13b =，则2223352a aba ab b -=+-____ ____； （2）若2220x xy y +-=，则22223x xy y x y++=+__ __；2．已知：11,23x y ==的值．C 组1．选择题：（1=（ ）（A ）a b < （B ）a b > （C ）0a b << （D ）0b a <<（2）计算 （ ）（A（B（C） （D）2．解方程22112()3()10x x x x +-+-=．3．计算：1111132435911++++⨯⨯⨯⨯ ． 4．试证：对任意的正整数n ，有111123234(1)(2)n n n +++⨯⨯⨯⨯++ ＜14．1.2因式分解因式分解的主要方法有：十字相乘法、提取公因式法、公式法、分组分解法，另外还应了解求根法及待定系数法．1．十字相乘法例1 分解因式：（1）x 2－3x ＋2； （2）x 2＋4x －12； （3）22()x a b xy aby -++； （4）1xy x y -+-． 解：（1）如图1．1－1，将二次项x 2分解成图中的两个x 的积，再将常数项2分解成－1与－2的乘积，而图中的对角线上的两个数乘积的和为－3x ，就是x 2－3x ＋2中的一次项，所以，有x 2－3x ＋2＝(x －1)(x －2)．说明：今后在分解与本例类似的二次三项式时，可以直接将图1．1－1中的两个x 用1来表示（如图1．1－2所示）．（2）由图1．1－3，得x 2＋4x －12＝(x －2)(x ＋6)． （3）由图1．1－4，得22()x a b xy aby -++＝()()x ay x by -- －1 －2 x x 图1．1－1 －1 －2 1 1 图1．1－2 －2 6 1 1 图1．1－3 －ay －by x x 图1．1－4 －1x（4）1xy x y -+-＝xy ＋(x －y )－1＝(x －1) (y+1) （如图1．1－5所示）．课堂练习一、填空题：1、把下列各式分解因式：（1）=-+652x x __________________________________________________。

第一节 恒等变形与因式分解1、恒等：如果将两个代数式里的字母换成任意的数值(使两式都有意义)，这两个代数式的值都相等，我们就说这两个式子恒等.例如：2(a+1)与2a+2恒等，(a+b)(a-b)与a2-b2恒等.2、恒等式：表示两个式子恒等的等式叫做恒等式.例如，a+b=b+a,(a±b)2=a2±2ab+b2.3、恒等变形：把一个式子变换成另一个和它恒等的式子，叫做恒等变形.4、乘法公式(1)完全平方公式:(a±b)2=a2±2ab+b2(2)平方差公式:a2-b2=(a-b)(a+b)(3)三数和平方公式：(a+b+c)2=a2+b2+c2+2(ab+bc+ac)；(4)立方和公式:(a+b)(a2-ab+b2)=a3+b3；(5)立方差公式:(a-b)(a2+ab+b2)=a3-b3；(6)两数和立方公式:(a+b)3=a3+3a2b+3ab2+b3；(7)两数差立方公式:(a-b)3=a3-3a2b+3ab2-b3．5、分组分解法从前面可以看出，能够直接运用公式法分解的多项式，主要是二项式和三项式．而对于四项以上的多项式，如ma +mb+na+nb既没有公式可用，也没有公因式可以提取．因此，可以先将多项式分组处理．这种利用分组来因式分解的方法叫做分组分解法．分组分解法的关键在于如何分组．常见题型：(1)分组后能提取公因式 (2)分组后能直接运用公式6、十字相乘法(1)x2+(p+q)x+pq型的因式分解这类式子在许多问题中经常出现，其特点是：①二次项系数是1；②常数项是两个数之积；③ 一次项系数是常数项的两个因数之和．∵x2+(p+q)x+pq=x2+px+qx+pq=x(x+p)+q(x+p)=(x+p)(x+q)，∴x2+(p+q)x+pq=(x+p)(x+q)运用这个公式，可以把某些二次项系数为1的二次三项式分解因式．(2)一般二次三项式ax2+bx+c型的因式分解由a1a2x2+(a1c2+a2c1)x+c1c2=(a1x+c1)(a2x+c2)我们发现，二次项系数a分解成a1a2，常数项c分解成c1c2，把a1,a2,c1,c2写成a1a2×c1c2，这里按斜线交叉相乘，再相加，就得到a1c2+a2c1，如果它正好等于ax2+bx+c的一次项系数b，那么ax2+bx+c就可以分解成(a1x+c1)(a2x+c2)，其中a1,c1位于上一行，a2,c2位于下一行．这种借助画十字交叉线分解系数，从而将二次三项式分解因式的方法，叫做十字相乘法．必须注意，分解因数及十字相乘都有多种可能情况，所以往往要经过多次尝试，才能确定一个二次三项式能否用十字相乘法分解．7、其它因式分解的方法其他常用的因式分解的方法：(1)配方法；(2)拆、添项法；(3)试根法(有目的性)8、方程根与因式的关系：记一个关于x的n次多项式方程为p n(x)=0。

初高中数学衔接教材（内部专用教材）１２初中数学与高中数学衔接紧密的知识点1 绝对值：⑴在数轴上，一个数所对应的点与原点的距离叫做该数的绝对值。

⑵正数的绝对值是他本身，负数的绝对值是他的相反数，0的绝对值是0，即(0)0(0)(0)a a a a a a >⎧⎪==⎨⎪-<⎩⑶两个负数比较大小，绝对值大的反而小⑷两个绝对值不等式:||(0)x a a a x a <>⇔-<<；||(0)x a a x a >>⇔<-或x a > 2 乘法公式：⑴平方差公式：22()()a b a b a b -=+- ⑵立方差公式：3322()()a b a b a ab b -=-++ ⑶立方和公式：3322()()a b a b a ab b +=+-+ ⑷完全平方公式：222()2a b a ab b ±=±+，2222()222a b c a b c ab ac bc ++=+++++⑸完全立方公式：33223()33a b a a b ab b ±=±+± 3 分解因式：⑴把一个多项式化成几个整式的积的形式，这种变化叫做把这个多项式分解因式。

⑵方法：①提公因式法，②运用公式法，③分组分解法，④十字相乘法。

4 一元一次方程：⑴在一个方程中，只含有一个未知数，并且未知数的指数是1，这样的方程叫一元一次方程。

⑵解一元一次方程的步骤：去分母，移项，合并同类项，未知数系数化为1。

⑶关于方程ax b =解的讨论 ①当0a ≠时，方程有唯一解b x a=； ②当0a =，0b ≠时，方程无解③当0a =，0b =时，方程有无数解；此时任一实数都是方程的解。

5 二元一次方程组：（1）两个二元一次方程组成的方程组叫做二元一次方程组。

３（2）适合一个二元一次方程的一组未知数的值，叫做这个二元一次方程的一个解。

第13讲 二次函数性质的再研究第一课时 二次函数的图像与位置课时达标1．抛物线y ＝x 2＋2x －2的顶点坐标是（ ）A.（2，－2）B.（1，－2）C.（1，－3）D.（－1，－3）2．（原创）若一次函数y ax b =+的图象经过二、三、四象限，则二次函数2y ax bx =+的图象只可能是（ ）A BC D3．将抛物线y=2x 2向左平移1个单位,再向上平移3个单位得到的抛物线,其解析式是( )A y=2(x+1)2+3B y=2(x －1)2－3C y=2(x+1)2－3D y=2(x －1)2+34.在同一直角坐标系中，一次函数y =ax +c 和二次函数y =ax 2+c 的图象大致为（ ）5、已知二次函数2y ax bx c =++的图象与x 交于点(-2,0)、(1x ，0),且1<1x <2,与y 轴的正半轴的交点在点(0,2)的下方，下列结论：①a<b<0②2a+c>0③4a+c<0④2a-b+1>0其中正确结论的个数是（ ）Ａ.1个 Ｂ .2个Ｃ.3个 Ｄ. 4个6. （原创）已知2()3([]3)2f x x =+-,其中[]x 表示不超过x 的最大整数,如[3.1]3=,则( 3.5)f -=___________.思维升华7、已知抛物线和直线ι在同一直角坐标系中的图象如图所示抛物线的对称轴为直线x =－1，P 1(x 1,y 1)，P 2(x 2,y 2)是抛物线上的点，P 3(x 3,y 3)是直线l 上的点，且－1<x 1<x 2，x 3<－1则y 1,y 2,y 3的大小关系为( )A. y 1<y 2<y 3B. y 3<y 1<y 2C. y 3<y 2<y 1D. y 2<y 1<y 38、函数)0(1232≥++=x x x y 的最小值为___________________.9、二次函数],2[,86)(2a x x x x f ∈+-=且)(x f 的最小值为)(a f ，则a 的取值范围是____________________________.10、（改编）抛物线322+--=x x y 与x 轴的两个交点为A 、B ，顶点为C ，则ABC ∆的面积为_________________________.11、已知函数43321)(2--=x x x f （1）、已知841)27(-=f ，求)25(f （2）、不计算函数值，比较)415(),41(f f -的大小 12. 已知函数2()1f x x x =++,(1)求(2)f x 的解析式;(2)求(())f f x 的解析式(3)对任意x R ∈,求证11()()22f x f x -=--恒成立. 13. 对于定义在R 上的函数f (x ),若实数x 0满足f (x 0)=x 0,则称x 0是函数f (x )的一个不动点.若函数f (x )=x 2+ax +1没有不动点，则实数a 的取值范围是_______.14.已知映射f :A →B ，其中A =B =R ，对应法则f :y =-x 2+2x ,对于实数k ∈B ，在集合A 中不存在原象，则k 的取值范围是创新探究15. 已知函数f (x )=12++mx mx 的定义域是一切实数,则m 的取值范围是A.0<m ≤4B.0≤m ≤1C.m ≥4D.0≤m ≤416. .设二次函数f (x )=ax 2+bx +c (a ≠0)，若f (x 1)=f (x 2)(x 1≠x 2)，则f (x 1+x 2)等于 A.-ab 2 B.- a b C.c D. a b ac 442- 17.函数y=ax 2+bx+c(a ＞0,b ＞0,c ＜0)的图像顶点位于（ ）A. 第一象限B. 第二象限C. 第三象限D.第四象限18.求函数y=－12x 2+6x+3的最大值和它的图像的对称轴，并说出它在那个区间上是增函数？再那个区间上为减函数？19.若二次函数y=x 2+bx+8的顶点在x 轴的负半轴上，求b 的值.20.将二次函数y=x 2+bx+c 的图像向左平移两个单位，再向上平移3个单位，得到函数y=x 2－2x+1的图像，求b 和c.21. 反比例函数xk y =的图象经过点) , (n m P ，其中m 、n 是一元二次方程042=++kx x 的两个根，求点p 的坐标.§2.4 二次函数性质的再研究第一课时 二次函数的图像与性质参考答案课时达标1答案：D ；解析：由抛物线y ＝x 2＋2x －2=（x+1）2 －3,故其顶点坐标为（－1，－3 ）.2答案：C ；解析：由一次函数y ax b =+的图象经过二、三、四象限，则a ＜0,b ＜0，则则二次函数2y ax bx =+开口向下，且与x 轴有两个交点，且对称轴为负数，故选C.3．答案：A ；解析：将抛物线y=2x 2向左平移1个单位,得到解析式为y=2(x+1)2, 再向上平移3个单位得到的抛物线为y=2(x+1)2+3.4．答案：B解析：通过一次函数的图像分类来讨论字母的值，由此再衡量二次函数的位置.5答案：D ；解析：由所给的条件可以画出对应的图像，结合图像可知开口向下，对称轴在x 轴负半轴，分析选项可知四个都正确.6.答案：1解析：利用定义可知[]x 中当x 的取值为－3.5时值为－4，代如计算可知答案为1.思维升华7.答案：D ；解析：结合已知所给的图像，且－1<x 1<x 2，x 3<－1则可知图像上最高点为y 3,y 2居中，y 1最小，由此可知答案为D.8．答案：1解析：通过配方可知二次函数可画为y=3(x+13)2+23,由此作图可知函数在x ≥0上为增函数，其最小值为f(0)=1.9．答案：23a <≤解析：由所给的二次函数可化为y=(x-3)2－1，对称轴为x=3,由已知可得二次函数],2[,86)(2a x x x x f ∈+-=且)(x f 的最小值为)(a f ，a 一定在对称轴左侧，可知a 的范围.10．答案：8解析：利用已知可求出的顶点坐标为（－1，4），两交点的坐标为（－3，0 ）、（ 1，0 ），则所求的面积为：S=12×4×4=8.11．分析：将所给的函数配方，可得对称轴，利用图像的对称性和给定数与对称轴的关系来求解. 解：由所给的函数可以化为：2121()(3)24f x x =--， 对称轴为3x = (1)、5741()()228f f ==- 125(2).()()44f f -= ，又函数在[3,)+∞上递增，2515115()(),()()4444f f f f ∴>->即 12．分析：此题大解答都要灵活的利用所给函数的表达式对所给变量进行整体代换，变形化简即可. 解 （1）2(2)421f x x x =++；（2）432(())2433f f x x x x x =++++；（3）2211111()()()1()()122222f x x x x x -=-+-+=--+--+ 11()()22f x f x ∴-=--恒成立. 113.13. 答案:-1<a <3解析:f (x )无不动点等价于方程x 2+ax +1=x 无解，即(a -1)2-4<0⇒-1<a <3.14. 答案: k ＞1.解析:由题意可知，k 不在函数y =-x 2+2x 的值域之中，由y =-x 2+2x =-(x -1)2+1≤1,可得k ＞1.创新探究15. 答案:D解析:要使函数有意义,只需对任意x ∈R ,不等式mx 2+mx +1≥0恒成立.当m =0时,1≥0,显然成立.当m ≠0时,只需⎩⎨⎧≤->0402m m m ⇒ ⎩⎨⎧≤≤>400m m ⇒0<m ≤4. 综上可知,0≤m ≤4.16. 答案:C解析:由f (x 1)=f (x 2) ⇒x 1+x 2=-a b ,代入表达式得f (x 1+x 2)=f (-ab )=a b 2-a b 2+c =c . 17.答案：D解析：由函数y=ax 2+bx+c(a ＞0,b ＞0,c ＜0)可知开口向上，对称轴x=-b 2a＜0,且过（0，c ）点，可知答案为D. 18.分析：关键是要对二次函数进行配方，结合已知中的a ＜0来求解.解：因为y=－12x 2+6x+3=－12(x 2-12x)+3 =－12(x-6)2+21 所以有y max =21函数的对称轴为x=6;函数的单调增区间为（－∞，6）；函数的单调减区间为（6，∞）.19.分析：由抛物线的顶点在x 轴上可知⊿=0，又由顶点在x 轴的负半轴上可知，抛物线的对称轴在y 轴的左侧，即－b 2＜0. 解析：由题意可知对称轴在x 轴的负半轴上，由此可得：X=b 2＜0 又由顶点一定只有一个，故满足⊿=b 2－32=0解之得：b=42.20.分析：要求b 与c ，需先求函数y=x 2+bx+c 的解析式，要求解析式，应先求抛物线的顶点坐标，根据两条抛物线的平移情况可以确定其顶点坐标.解：∵抛物线y=x 2－2x+1可以变形为y=(x －1)2,∴抛物线y=x 2－2x+1的顶点坐标为（1，0）于是可以根据题意把此抛物线反向平移，得到抛物线y=x 2+bx+c 的图像，即把抛物线y=x 2－2x+1向下平移3个单位后，再向右平移2个单位就可以得到y=x 2+bx+c 的图像，此时顶点由（1，0）平移为（3，－3）处. ∴抛物线y=x 2+bx+c 的的顶点坐标为（3，－3）.即y=(x －3)2－3=x 2－6x+6对照y=x 2+bx+c 可得b=－6,c=6.21.分析：知数k 、m 、n ，用不同的条件布列三个独立的方程，可以求出它们的值，从而求出点P 的坐标解析：P 在反比例函数xk y =的图象上，所以有m k n =， ① 其中k 、m 、n 均不为0，又，由于m 、n 是一元二次方程042=++kx x 的两个根，那么根据根与系数的关系， 再结合①，可得三元方程组⎪⎪⎩⎪⎪⎨⎧==-=+mk n mn k n m 4， 解得⎪⎩⎪⎨⎧-=-==224n m k则点P 的坐标为)2,2(--，应填“)2,2(--”§2. 4 二次函数性质的再研究第二课时------二次函数的解析式和定义域与值域课时达标1.已知函数322--=x x y 的定义域是[0，3]，则下列判断错误的是（ ）A.当31<<x 时，函数是增函数B.函数图象关于直线x=1对称C.函数的最大值是0D .函数的最小值是22.函数y =的定义域为（ ）A 、(],2-∞B 、(],1-∞C 、11,,222⎛⎫⎛⎤-∞ ⎪ ⎥⎝⎭⎝⎦D 、11,,222⎛⎫⎛⎫-∞ ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭3. 已知函数()f x 的定义域为[0,1],函数2()f x 的定义域为:___________.4. 二次函数245y x mx =-+的对称轴为2x =-，则当1x =时，y 的值为（） A 、7- B 、1 C 、25 D 、175、函数y =(－x 2－6x －5)12的值域为 （ ）A 、[]0,2B 、[]0,4C 、(],4-∞D 、[)0,+∞6. （原创）函数f(x)=⎪⎩⎪⎨⎧≤≤-+≤≤-)02(6)30(222x x x x x x 的值域是（ ） A.R B.[-9，+∞）C.[-8，1]D.[-9，1]思维升华7. 如果g(x 2+1)=x 4+x 2－6,则g(x)在定义域内的最小值为（ ） A.－414 B.－534C.－6D.－6148. 设函数⎪⎩⎪⎨⎧≥--<+=1,141,)1()(2x x x x x f ，则使得1)(≥x f 的自变量x 的取值范围为 （ ）A ．(][]10,02, -∞-B ．(][]1,02, -∞-C ．(][]10,12, -∞-D ．[]10,1]0,2[ -9. 已知()f x 是二次函数，不等式()0f x <的解集是(0,5),且()f x 在区间[]1,4-上的最大值是12，求()f x 的解析式是 .10. 已知函数()()22403f x ax ax a =++<<，若12x x <，120x x +=，则（ ）．A ．()()12f x f x < B ．()()12f x f x > C ．()()12f x f x = D ．()1f x 与()2f x 大小关系不确定 11.（原创）当m=_____时，函数y=(m －3)m2－9m+20是二次函数.12. 若二次函数()21111f x a x b x c =++和()22222f x a x b x c =++使得()()12f x f x +在(),-∞+∞上是增函数的条件是__________________． 13. 求函数()51422-+-=x x x f 的定义域.14. （改编）将进货单价40元的商品按50元一个出售时能卖出500个，若每涨价1元，其销售量就减少10个，为赚得最大利润，则销售价应为多少？15.已知()f x 是二次函数，且满足(0)1f =，(1)()2f x f x x +-=，求()f x创新探究16. (原创)已知二次函数f(x)满足f(1+x)=f(1－x),且f(0)=0,f(1)=1,若满足f(x)在区间[m,n]上的值域为[m,n]，则m=____,n=_______.17.（改编）已知对于x 的所有实数值，二次函数f(x)=x 2－4ax+2a+12(a ∈R)的值都非负，求关于x 的方程x a+2=∣a －1∣+2的根的范围.18. 函数， ，求函数 的单调区间．19. 设x 1,x 2是关于x 的一元二次方程x 2-2(m-1)x+m+1=0的两个实根，又y=x 21+x 22，求y=f(m) 的解析式及此函数的定义域.20. 对于二次函数2483y x x =-+-，（16分） （1）指出图像的开口方向、对称轴方程、顶点坐标；（2）画出它的图像，并说明其图像由24y x =-的图像经过怎样平移得来； （3）求函数的最大值或最小值； （4）分析函数的单调性.21.（原创）已知函数f(x)=x 2+2ax+2 x ∈[－5,5] (1)当a=－1时，求函数y=f(x)的最大值和最小值；（2）求实数a 的取值范围，使y=f(x)在区间[－5,5]上为单调函数.§2. 4 二次函数性质的再研究第二课时 ------二次函数的解析式和定义域与值域参考答案课时达标1.答案：D.解析：本题考查二次函数概念及在给定区间的有关性质，通过配方画出给定闭区间上的图像，结合图像可知D 错误，故选D. 2.答案：D解析：要使原函数有意义，需要满足2－x ≥0且2x 2－3x －2≠0,通过求解可知答案为D. 3.答案：[1,1]-.解析 因函数()f x 的定义域为[0,1]，故函数2()f x 的定义域由2[0,1]x ∈，即201x ≤≤得11x -≤≤，所以[1,1]-为所求 4.答案：C解析：由二次函数245y x mx =-+的对称轴为2x =-，则m 8=－2,由此可得m=－16,于是二次函数可以表示为y=4x 2+16x+5,则x=1时，y=25. 5.答案：A解析：要求函数y =的值域，首先确定其定义域为－5≤x ≤－1,可画出闭区间上函数的图像，求出值域为[0,4]，开方后所得值域为[0,2]. 6.答案：C解析：对于分段函数求值域的思路是分别求出函数在各个区域内函数的值域，再结合集合求并集，此题中0≤x ≤3的值域为[－3,0]；而在[－2,1]上的值域为[－8,0],并集可知答案为C. 思维升华 7.答案：C解析：由由已知中g(x 2+1)=x 4+x 2－6,则g(x)为二次函数，设出表达式求解出二次函数再求最值.8.答案：A.解析：由f(x)＞1对所给的分段函数分别代值来计算即可. 9. 答案：f(x)=2x 2－10x 解析：()f x 是二次函数，且()0f x <的解集是(0,5),∴可设()(5)(0).f x ax x a =->()f x ∴在区间[]1,4-上的最大值是(1)6.f a -=由已知，得612,a =22,()2(5)210().a f x x x x x x R ∴=∴=-=-∈10. 答案：A解析：由条件知120x x <<，抛物线对称轴为1x =-，画出大致图像容易知选A ． 11.答案：6解析：要使函数为二次函数，必须满足m －3≠0且满足m 2－9m+20=2,由此共同求解可知答案为m=6. 12. 答案：120a a +=且120b b +>解析：()()()()()212121212f x f x a a x b b x c c +=+++++，欲使()()12f x f x +在(),-∞+∞上是增函数，必须使其为一次函数，且一次项系数大于0．13.答案：{}5,,52,25,5<<≤-≤<--<x x x x x 或或或14. 设销售价为50+x ，利润为y 元，则y=(500-10x)(50+x-40)=-10(x-20)2+9000,∴当x=20 时,y 取得最大值，即为赚得最大利润，则销售价应为70元.15. 分析：原题已知函数的类型，可设出二次函数，利用待定系数发来求解. 解：设2()f x ax bx c =++，由(0)1f =得到c=1，又(1)()2f x f x x +-= 即22(1)(1)()2a x b x c ax bx c x ++++-++= 展开得2()2ax a b x ++=所以22a ab =+=，解得a=1，b=-12()1f x x x ∴=-+创新探究 16.答案：0，1解析：∵二次函数满足f(1+x)=f(1－x) ∴x=1是函数的对称轴又∵二次函数满足f(0)=0,f(1)=1 可画出函数的图像结合题设f(x)在区间[m,n]上的值域为[m,n] 故m=0,n=117.分析：此题首先要根据所给定的二次函数的值域利用二次函数图像的特点得到a 的取值范围，在进一步化简所求表达式得结果. 解：由已知，得⊿≤0，即可得： （－4a ）2－4(2a+12)≤0 解得：－32≤a ≤2(1)当－32≤a ＜1时，原方程化为x=－a 2+a+6=－(a-12)2+61/4所以当a=－32时，x 有最小值9/4.当a=12时，x 有最大值254;∴94≤x ≤254;(2)当1≤x ≤2时，原方程化为x=a 2+3a+2=(a+32)2－14当a ∈[1,2]时，是增函数∴6≤x ≤12 综上讨论可知94≤x ≤12.18. 分析：此题所给的函数为两个二次函数复合而成的复合函数，求其单调区间要结合题意将对应区间按复合函数单调区间求解办法来求解.解：设， ①当 时， 是增函数，这时与具有相同的增减性，由 即得或当时，是增函数，为增函数， 当时，是减函数，为减函数；②当时， 是减函数，这时 与 具有相反的增减性，由 即得当 时， 是减函数， 为增函数；当 时， 是增函数， 为减函数；综上所述，的单调增区间是 和 ，单调减区间是 和19. 分析：利用根与系数的关系来代换，并注意有解的条件⊿≥0. 解：∵x 1,x 2是x 2-2(m-1)x+m+1=0的两个实根， ∴ ∆=4（m-1）2-4(m+1)≥0, 解得m 0≤或m ≥3.又∵x 1+x 2=2(m-1), ,x 1·x 2=m+1, ∴y=f(m)=x 12+x 22=(x 1+x 2)2-2x 1x 2=4m 2-10m+2, 即：y=f(m)=4m 2-10m+2(m ≤0或m ≥3)20.分析：此题在书写答案时可以根据原题所给的函数画出对应函数的图像来求解. 解：（1）开口向下；对称轴为1x =；顶点坐标为(1,1)；（2）其图像由24y x =-的图像向右平移一个单位，再向上平移一个单位得到； （3）函数的最大值为1；（4）函数在(,1)-∞上是增加的，在(1,)+∞上是减少的.21.分析：此题（1）只需代值配方，结合图像来求最值，（2）可利用对称轴和图像的关系来求解. 解：（1）当a =－1时，f(x)=x 2+2ax+2 =(x －1)2+1 其中x ∈[－5,5] 可画图观察可知当x=1时，f(x)min=1 当x=－5时，f(x)max=37(2)函数f(x)=(x+a)2+2－a 2可得函数的对称轴为：x=a 要使函数在[－5,5]上为单调函数，则必须满足 －a ≥5或－a ≤－5 ∴a ≤－5或a ≥5.。

第七讲统计与概率复习1. “六•一”前夕质监部门从某超市经销的儿童玩具、童车和童装中共抽查了300件儿童用品，以下是根据抽查结果绘制出的不完整的统计表和扇形图；请根据上述统计表和扇形提供的信息，完成下列问题：（1）分别补全上述统计表和统计图；（2）已知所抽查的儿童玩具、童车、童车的合格率为90%、85%、80%，若从该超市的这三类儿童用品中随机购买一件，请估计购买到合格品的概率是多少？2.“端午节”是我国的传统佳节，民间历来有吃“粽子”的习俗．我市某食品厂为了解市民对去年销量较好的肉馅粽、豆沙馅粽、红枣馅粽、蛋黄馅粽（以下分别用A、B、C、D表示）这四种不同口味粽子的喜爱情况，在节前对某居民区市民进行了抽样调查，并将调查情况绘制成如下两幅统计图（尚不完整）．请根据以上信息回答：（1）本次参加抽样调查的居民有多少人？（2）将两幅不完整的图补充完整；（3）若居民区有8000人，请估计爱吃D粽的人数；（4）若有外型完全相同的A、B、C、D粽各一个，煮熟后，小王吃了两个．用列表或画树状图的方法，求他第二个吃到的恰好是C粽的概率．3.某校将举办“心怀感恩·孝敬父母”的活动，为此，校学生会就全校1 000名同学暑假期间平均每天做家务活的时间，随机抽取部分同学进行调查，并绘制成如下条形统计图．（1）本次调查抽取的人数为_______，估计全校同学在暑假期间平均每天做家务活的时间在40分钟以上(含40分钟)的人数为_______；（2）校学生会拟在表现突出的甲、乙、丙、丁四名同学中，随机抽取两名同学向全校汇报．请用树状图或列表法表示出所有可能的结果，并求恰好抽到甲、乙两名同学的概率．4.为了解学生的艺术特长发展情况，某校音乐组决定围绕“在舞蹈、乐器、声乐、戏曲、其它活动项目中，你最喜欢哪一项活动（每人只限一项）”的问题，在全校范围内随机抽取部分学生进行问卷调查，并将调查结果绘制成如下两幅不完整的统计图．请你根据统计图解答下列问题：（1）在这次调查中一共抽查了名学生，其中，喜欢“舞蹈”活动项目的人数占抽查总人数的百分比为，喜欢“戏曲”活动项目的人数是人；（2）若在“舞蹈、乐器、声乐、戏曲”活动项目任选两项设立课外兴趣小组，请用列表或画树状图的方法求恰好选中“舞蹈、声乐”这两项活动的概率．5.某课外小组的同学们在社会实践活动中调查了20户家庭某月的用电量，如下表所示：A ．180，160B ．160，180C ．160，160D ．180，1806.甲、乙、丙、丁四人进行射击测试,每人10次射击的平均成绩恰好都是9.4环,方差分别是20.90S =甲,2 1.22S =乙,20.43S =丙,21.68S =丁.在本次射击测试中,成绩最稳定的是【 】A ．甲B ．乙C ．丙D ．丁 7.对于一组统计数据：2，3，6，9，3，7，下列说法错误的是【 】A ．众数是3B ．中位数是6C ．平均数是5D ．极差是78.希望中学开展以“我最喜欢的职业”为主题的调查活动，通过对学生的随机抽样调查得到一组数据，如图是根据这组数据绘制的不完整的统计图，则下列说法中，不正确的是【 】A ．被调查的学生有200人B ．被调查的学生中喜欢教师职业的有40人C ．被调查的学生中喜欢其他职业的占40%D ．扇形图中，公务员部分所对应的圆心角为72° 9.甲、乙两名运动员在相同的条件下各射靶10次，每次射靶的成绩情况如图所示：（1）请你根据图中数据填写下表：（2）根据以上信息分析谁的成绩好些．参考答案：1.解：（1）童车的数量是300×25%=75，童装的数量是300－75－90=135；儿童玩具占得百分比是（90÷300）×100%=30%。