伯特兰德悖论

Bertrand Model(贝特兰德模型)该模型是法国经济学家Joseph Louis François Bertrand (1822-1900)提出的。

与Cournot模型相比，在Cournot模型里参加博弈的双方以产量作为决策的变量，而在Bertrand模型中参加该博弈的双方都以价格作为决策变量。

这一改变使博弈的市场均衡完全不同于Cournot均衡。

它是关于双寡头产商价格竞争的一种模型，会导致每个产商的定价采用完全竞争的情况下的价格，即所谓的边际成本定价法(marginal cost pricing)。

Bertrand模型有以下假定：1、有多个产商生产同类产品(homogeneous products)2、产商间互不合作3、产商有相同的边际成本(marginal cost)，且边际成本函数连续(consistant)4、需求是线性的5、产商通过并只通过价格来竞争(compete in price)，并同时决定各自的价格，来补给需求量6、产商的行为都是有战略考虑的7、消费者倾向于买更便宜的产品；如果两个产商的同类产品定价一样，则消费者会各买一半通过价格竞争(competing in price)是说产商可以轻松改变补给量。

但一旦产商确定了价格，就很难（如果说不可能太绝对了）改变它。

如果所有产商都遵循这种逻辑，均衡(equilibrium)就建立起来了，并且没有一个产商能通过改变价格来获取好处，这就使得产品价格等于边际成本。

Bertrand悖论Bertrand均衡的含义在于，如果同业中的两家企业经营同样的产品，且成本一样，则价格战必定使每家企业按P= MC的价格经营，即只获取正常利润。

Bertrand均衡的结论告诉人们，只要市场上有两个或两个以上生产同样产品的企业，则没有一个企业可以控制市场价格获取垄断利润。

但是这个结论是很难令人信服的。

我们看到市场间的价格竞争事实上往往并没有使均衡价格降到等于边际成本这一水平上，而是高于边际成本，企业仍然获得超额利润。

理学院School of Science课程设计报告学生：凡学生学号：200701121所在班级：07数学1所在专业：数学与应用数学指导教师：樊嵘实习场所：理工大学实习时间：第六学期课程设计成绩总评学习态度报告质量使用SAS统计模拟方法解决Bertrand’s paradoxBertand’s paradox 是法国数学家Bertrand于1889提出的一个概率悖论：在圆任作一弦，其长度超过圆接正三角形边长的概率是多少？他在提出问题之后，给出了三种不同的解法，得到了三个不同的结果，是为悖论。

第一种解法如下：由于弦交圆于两点。

我们先固定弦的一个端点。

以此端点作一个等边三角形(如图)。

显然，只有穿过此三角形的弦才符合要求。

而符合条件的弦的另一端正好占整个圆弧的1/3。

并且，不论固定的那个1/3。

第二种解法如下：由于弦长只和圆心到它的距离有关。

所以固定圆一条半径。

当且仅当圆心到它的距离小于1/2才满足条件。

并且，不论固定的是哪条半径，情况都是一样的。

所以结果为1/2。

第三种解法如下；弦被其中点唯一确定（除了圆心）。

当且仅当其中点在半径为1/2的圆时才满足条件。

此小圆面积为大圆的1/4。

所以结果为1/4。

所以被称为悖论。

在以前对这问题的分析中，倾向于认为得到三种结果的原因是因为采用了不同的等可能性假定。

解法一假定端点在圆上均匀分布。

解法二假定半径在圆均匀分布以及弦的中点在半径上均匀分布。

解法三假定弦的中点在圆均匀分布。

先不论他们的假设是否合理，从这个问题的提法来看，问题考察的是圆的随机弦问题。

我们应该从弦的本质定义出发，即圆上任意两点的连线为弦。

从这个思路，我们可以使用SAS 进行统计模拟，确定问题的答案。

具体思路如下：1.先进行1000次试验，每次试验进行1000次模拟，每次模拟从圆上随机取两点，计算距离，记录d 1000个数据，数据集为cs ，其中的变量只有一个x 。

对此数据进行分析，得到其方差与均值，可以求出概率。

关于贝特朗悖论从法国学者贝特朗Joseph Bertrand提出“贝特朗悖论”至今;已经过了一个多世纪..在这漫长的一百多年中;贝特朗悖论得到了各层次数学爱好者的热切关注;人们穿越时空;从不同的角度对此悖论进行了争论、辨析及交流……首先来看一下贝特朗悖论：在圆内任作一弦;求其长超过圆内接正三角形边长的概率. 此问题可以有三种不同的解答:面对同一问题的三种不同的答案..人们往往这样来解释：得到三种不同的结果;是因为在取弦时采用了不同的等可能性假设：在第一种解法中则假定弦的中点在直径上均匀分布；在第二种解法中假定端点在圆周上均匀分布;而第三种解法中又假定弦的中点在圆内均匀分布..这三种答案是针对三种不同的随机试验;对于各自的随机试验而言;它们都是正确的..三个结果都正确——这就是让老师和学生感到迷惑不解的原因..显然这样的解释是不正确的..上述解法看似是用了严密的理论来论述;但有的解法与问题的本质是脱节的;即理论是正确的;但却不合题意：因为不同的解法所阐述的相应点的均匀分布只是一个必要条件;而此问题的条件是在圆内任作一条弦或是从圆内任取一条弦;所以只有任取的弦与这些相应的均匀分布的点一一对应时;才能使整个的随机试验过程具有等可能性;否则;运用几何概型思想方法求出的结果一定是错误的..找到了问题的本质;我们就容易分析上面三种解法中;哪种解法是错误的了;实际上;找出错误;只要举出一个反例即可;下面我们把目光指向圆心：第一种解法中;除了圆心外;圆内的点都和唯一的一条弦与相应的直径垂直对应;即一一对应..但是;圆心却与无数条弦即与直径垂直的任何方向都有过圆心的弦;其长度满足题意对应..这样;圆心——这个圆内的点与相应的弦就不是一一对应了;为此;用此种思想所构造的试验过程中的基本事件就不是等可能的了;所以运用几何概型思想方法求出的结果也一定是错误的..有了这种认识;大家会马上发现第三种解法也是不正确的..而第二种解法;所构造的均匀分布的点是在圆周上;没有圆心;用此种思想所构造的试验过程中的基本事件是等可能的;所以结果是正确的..。

十大烧脑哲学悖论哲学悖论是哲学领域中一种常见的逻辑困境，它们挑战着我们对于真理、时间、自由意志等重要问题的理解。

下面将介绍十大烧脑的哲学悖论。

一、拉塞尔悖论（Russell's Paradox）拉塞尔悖论是数学家和哲学家伯特兰·罗素于1901年提出的。

它提出了一个关于集合的问题：是否存在一个包含所有不包含自己的集合？这个悖论揭示了集合论的一些内在矛盾，对于数学哲学产生了深远的影响。

二、康德悖论（Kant's Antinomies）康德悖论是德国哲学家康德于1781年在《纯粹理性批判》中提出的。

它提出了四个对立的命题，分别是有限性与无限性、因果性与自由意志、必然性与偶然性以及存在性与非存在性。

这些对立命题无法同时成立，挑战了我们对于世界的认知。

三、佐罗斯特悖论（Zeno's Paradoxes）佐罗斯特悖论是古希腊哲学家佐罗斯特于公元前5世纪提出的。

他通过一系列悖论来质疑运动的连续性，如箭矢悖论和阿喀琉斯悖论。

这些悖论揭示了运动与时间的复杂关系，引发了对于无穷和无限的思考。

四、薛定谔猫悖论（Schrödinger's Cat Paradox）薛定谔猫悖论是量子物理学中的一个思想实验，由奥地利物理学家薛定谔于1935年提出。

它描述了一个封闭的盒子中有一只猫，同时有一瓶放射性物质，如果物质衰变，猫将死亡；如果物质不衰变，猫将幸存。

根据量子力学的原理，猫在盒子中既是死亡又是幸存的，这个悖论挑战了我们对于现实世界的认识。

五、哥德尔不完全性定理（Gödel's Incompleteness Theorems）哥德尔不完全性定理是奥地利数学家哥德尔于1931年提出的。

它证明了任何一套包含基本算术的形式化系统都会存在未能被证明或证伪的命题。

这个定理揭示了数学的局限性，对于逻辑和形式系统有着深远的影响。

六、孟塞尔悖论（Münchhausen's Trilemma）孟塞尔悖论是德国哲学家汉斯·阿尔贝特·孟塞尔于1900年提出的。

伯特兰德模型(Bertrand Model)什么是伯特兰德模型伯特兰德模型是由法国经济学家约瑟夫·伯特兰德(Joseph Bertrand)于1883年建立的。

古诺模型和斯塔克尔伯格模型都是把厂商的产量作为竞争手段，是一种产量竞争模型，而伯特兰德模型是价格竞争模型，伯特兰德模型的假设为：（1）各寡头厂商通过选择价格进行竞争；（2）各寡头厂商生产的产品是同质的；（3）寡头厂商之间也没有正式或非正式的串谋行为。

伯特兰德模型的前提假定伯特兰德模型假定，当企业制定其价格时，认为其他企业的价格不会因它的决策而改变，并且n个（为简化，取n=2）寡头企业的产品是完全替代品。

A、B两个企业的价格分别为P1、P2 ，边际成本都等于C。

伯特兰德模型的推导和分析根据模型的假定，由于A、B两个企业的产品是完全替代品，所以消费者的选择就是价格较低的企业的产品；如果A、B的价格相等，则两个企业平分需求。

于是，每一个企业的需求函数为：因此，两个企业会竞相削价以争取更多的顾客。

当价格降到P1=P2=C时，达到均衡，即伯特兰德均衡。

结论：只要有一个竞争对手存在，企业的行为就同在完全竞争的市场结构中一样，价格等于边际成本。

伯川德均衡及伯川德悖论根据伯川德模型，谁的价格低谁就将赢得整个市场，而谁的价格高谁就将失去整个市场，因此寡头之间会相互削价，直至价格等于各自的边际成本为止，即均衡解为：根据伯川德均衡可以得到两个结论：1.寡头市场的均衡价格为：P=MC；2.寡头的长期经济利润为0。

这个结论表明只要市场中企业数目不小于2个，无论实际数目多大都会出现完全竞争的结果，这显然与实际经验不符，因此被称为伯川德悖论伯特兰德模型存在的问题伯特兰德模型之所以会得出这样的结论，与它的前提假定有关。

从模型的假定看至少存在以下两方面的问题：①假定企业没有生产能力的限制。

如果企业的生产能力是有限的，它就无法供应整个市场，价格也不会降到边际成本的水平上。

罗素悖论及其哲学意义
罗素悖论是由英国哲学家、逻辑学家伯特兰·罗素在 1901 年提出的一个悖论。

该悖论的内容是：在一个由所有不自包含的集合组成的集合中，是否包含该集合本身？如果包含，那么该集合就是自包含的，不符合前提；如果不包含，那么该集合就不是由所有不自包含的集合组成的，也不符合前提。

这个悖论的哲学意义在于，它揭示了集合论中的一个深刻的矛盾，即在某些情况下，我们无法确定一个集合是否包含它自身。

这一矛盾表明，集合论的某些基本概念和原则可能存在问题，需要进一步的研究和澄清。

罗素悖论的提出也对数学和哲学产生了深远的影响。

它引发了数学家们对集合论的基础进行深入的研究和探索，推动了集合论的发展和完善。

同时，它也引发了哲学家们对数学和逻辑的本质和局限性的思考，促进了哲学的发展和进步。

解读贝特朗（Bertrand）悖论
石启亮
【期刊名称】《数学教学》
【年(卷),期】2005(000)010
【摘要】我们在讲解“人教社高一新教材A版”“几何概型”一节内容时遇到一个题目，由于老师和学生之间出现了几种不同的解法，得到不同的答案，却一时又找不到问题的症结，于是在学校图书室里找到了相关的资料，发现了以例题形式出现的一贝特朗（Bertrand）奇论（也叫悖论）．
【总页数】3页(P32-34)
【作者】石启亮
【作者单位】山东省郯城县美澳学校,276100
【正文语种】中文
【中图分类】O144.2
【相关文献】
1.再论贝特朗悖论 [J], 何秋霞
2.无差别原则相关悖论多解的本质意义——以酒水悖论、贝特朗悖论为例 [J], 赵曼
3.无差别原则相关悖论多解的本质意义--以酒水悖论、贝特朗悖论为例 [J], 赵曼;;
4.无差别原则相关悖论多解的本质意义——以酒水悖论、贝特朗悖论为例 [J], 赵曼;;
5.贝特朗悖论新说 [J], 陈召召; 陈城; 杨静
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伯川德悖论
华生伯川德悖论是指，在社会伦理道德领域，任何一种行动都可能都有正反两面，所以就算最合理的选择也可能被指责为不道德。

华生伯川德认为，即使解决了一个问题，也不可避免地会产生另一个新的问题，使得道德状况难以提高。

例如，政府发起一项政策来解决农民的经济困境，但这项政策可能会导致农业部门的发展受阻，社会不公现象加剧，乃至带来社会动乱。

而且，这种矛盾还会发展和复杂化，每一个行动都会形成一个新的矛盾。

华西伯川德悖论告诉我们，自上世纪以来，改善道德状况以及解决社会问题是一个漫长而艰辛的过程。

华生伯川德悖论着重指出，解决一个问题却可能带来新的问题，比如政府想要改变关于贫穷的状况，但却引发了社会上的不公平，引起其他领域的动乱以及可能产生新的矛盾。

因此，任何行动都有可能会改变社会的道德状况，甚至可能反效果。

华生伯川德悖论指出，一个困难的问题不可能有一个令人满意的解决方案，只能慢慢地一步一步去改善。

古诺模型所属分类：经济学术语通信技术添加摘要（Cournot duopoly model），或双寡头模型（Duopoly model），古诺模型是早期的寡头模型。

它是由法国经济学家古诺于1838年提出的。

是纳什均衡应用的最早版本，古诺模型通常被作为寡头理论分析的出发点，它是一个只有两个寡头厂商的简单模型，该模型也被称为“双头模型”。

古诺模型假定一种产品市场只有两个卖者，并且相互间没有任何勾结行为，但相互间都知道对方将怎样行动，从而各自怎样确定最优的产量来实现利润最大化，因此，古诺模型又称为双头垄断理论。

∙ 1 简介∙ 2 描述∙ 3 双寡头厂∙ 4 伯特兰德模型∙ 5 相关词条∙ 6 参考链接古诺模型-简介奇默罗在1913年提出的关于象棋博弈的定理是博弈论的第一个定理，一、古诺模型的假设古诺模型分析的是两个出售矿泉水的生产成本为零的寡头厂商的情况。

古诺模型的假定是：市场上只有A 、B 两个厂商生产和销售相同的产品，他们的生产成本为零；他们共同面临的市场的需求曲线是线性的，A 、B 两个厂商都准确地了解市场的需求曲线；A 、B 两个厂商都是在已知对方产量的情况下，各自确定能够给自己带来最大利润的产量，即每一个产商都是消极地以自己的产量去适应对方已确定的产量。

二、古诺模型中厂商的产量选择 A 厂商的均衡产量为：OQ （1/2―1/8―1/32―……）=1/3OQB 厂商的均衡产量为：OQ （1/4+1/16+1/64+……）=1/3OQ 行业的均衡总产量为：1/3OQ+1/3OQ=2/3OQ 三、价格竞争的古诺模型 假定两个寡头分别用40元的固定成本生产可以相互替代并且有差别的产品，并假定不存在可变成本，边际成本为0，两个寡头面临的市场需求数如下：D1：Q1=24－4P1+2P2 D2：Q2=24－4P2+2P1π1=P1Q1－40=24P1－4P12+2P1P2－40d π1/dP1=24－8P1+2P2=0 P1=3+1/4P2（寡头1的反应函数）同理：P2=3+1/4P1（寡头2的反应函数） 因此，P1=4，P2=4得：Q1=16，Q2=16；π1=24，π2=24。

对垄断价格理论最早做出研究的是张伯伦和罗宾逊，他们的研究已经成为当代产业经济学的理论基础。

按照他们的观点，“垄断的普遍意义是对供给的控制，因而同时控制了价格”。

因此，理解价格的一个重要因素是对市场垄断力量的认识，由于任何一种产品都有其自身的特殊性，使其与其它产品区分开来。

随着博弈论的发展，有关价格作为企业竞争决策变量的研究越来越多，特别是早期的经典价格竞争模型。

如伯特兰德(1883)模型成为研究不完全竞争市场上拥有市场力量的企业进行价格竞争的基础。

这一模型的结论是非常简单的，在伯特兰德框架下，如果企业选择价格竞争，那么市场中只要有两个企业，伯特兰德竞争就可以达到完全竞争的效果，即市场价格等于边际成本，从而达到帕累托最优，这就是所谓的伯特兰德悖论。

由于与现实不甚相符，伯特兰德模型遭到了许多学者的批评，同时学者们也进行了更深入的研究。

克雷普斯(Kreps)注意到了企业在价格竞争中可能面临的产量约束，从而放松了古典的伯特兰德模型中关于企业生产无约束的假设，对企业价格竞争模型结出了一个推广。

他证明，在存在产量约束的情况下，伯特兰德价格竞争可以达到古诺产量竞争的结果，从而解开了伯特兰德悖论。

伯特兰德价格竞争和古诺产量竞争都假设产品具有同一性，那么在产品差异化条件下企业如何进行价格竞争？对此，毫泰林(1929)，达斯普里蒙(1979)和泰勒尔(1998)建立了产品差异化的价格竞争模型。

毫泰林(1929)假设两家企业的产品仅仅在位置上存在差异（位置对消费者的影响在于消费者购买这种商品时需要支付不同的运输费用），每个企业只能选择一种产品（就是只能选择一个地址）。

这样，两企业就面临着一个两阶段博弈。

毫泰林根据模型认为：产品差异化对价格竞争具有缓和作用，并且认为自由进入的市场决定了企业定位均衡显示出最大的差异化特征。

在现实生活中，拥有垄断力量的企业在确定价格时，既不是像垄断定价理论所预言的那样定价，亦非像伯川德模型那样所预见的采取边际成本定价的策略，而是采取比垄断定价略低的价格，即我们通常所说的限制性定价行为。

Cournot Model & Bertrand Model来源：什么是古诺模型古诺模型又称古诺双寡头模型（Cournot duopoly model），或双寡头模型（Duopoly model）,古诺模型是初期的寡头模型。

它是由法国经济学家于1838年提出的。

是纳什均衡应用的最先版本，古诺模型通常被作为寡头理论分析的起点。

古诺模型是一个只有两个寡头厂商的简单模型，该模型也被称为“双头模型”。

古诺模型的结论能够很容易地推行到三个或三个以上的寡头厂商的情形中去。

古诺模型假定一种产品市场只有两个卖者，而且彼其间没有任何勾结行为，但彼其间都明白对方将如何行动，从而各自如何确信最优的产量来实现利润最大化，因此，古诺模型又称为双头垄断理论。

古诺模型的假设古诺模型分析的是两个出售矿泉水的生产本钱为零的寡头厂商的情形。

古诺模型的假定是：市场上只有A、B两个厂商生产和销售相同的产品，他们的生产本钱为零；他们一起面临的市场的需求曲线是线性的，A、B两个厂商都准确地了解市场的需求曲线；A、B 两个厂商都是在已知对方产量的情形下，各自确信能够给自己带来最大利润的产量，即每一个产商都是消极地以自己的产量去适应付方已确信的产量。

Bertrand Model(贝特兰德模型)该模型是法国经济学家Joseph Louis François Bertrand (1822-1900)提出的。

与Cournot模型相比，在Cournot模型里参加博弈的双方以产量作为决策的变量，而在Bertrand模型中参加该博弈的双方都以价格作为决策变量。

这一改变使博弈的市场均衡完全不同于Cournot 均衡。

它是关于双寡头产商价格竞争的一种模型，会导致每个产商的定价采用完全竞争的情况下的价格，即所谓的边际成本定价法(marginal cost pricing)。

Cournot 模型里参加博弈的双方以各自在同一时间内相互独立的产量作为决策的变量。

古诺模型伯特兰德模型埃奇沃斯模型斯塔克尔伯格模型斯威齐模型价格领先模型卡特尔模型∙古诺模型的综合应用3页∙寡头垄断条件下的排污收费古诺模型5页∙基于古诺模型的企业RD外部性分析3页∙古诺模型在区域产业协调发展中的应用3页∙古诺模型下的物流企业战略联盟效应研究3页∙多个生产商下的动态古诺模型分析6页∙基于古诺模型的发电商竞价策略分析3页∙两个企业序贯博弈的动态古诺模型研究7页∙基于古诺模型的房地产企业竞争分析2页∙寡占市场中自适应动态古诺模型的建立4页∙关于伯特兰德模型的分析2页古诺模型古诺模型（Cournot model）目录[隐藏]∙ 1 什么是古诺模型∙ 2 古诺模型的假定[2]∙ 3 古诺模型中厂商的产量选择∙ 4 价格竞争的古诺模型[2]∙ 5 古诺模型结论的推广∙ 6 相关条目∙7 参考文献古诺模型又称古诺双寡头模型（Cournot duopoly model），或双寡头模型（Duopoly model）,古诺模型是早期的寡头模型。

它是由法国经济学家古诺于1838年提出的。

是纳什均衡应用的最早版本，古诺模型通常被作为寡头理论分析的出发点。

古诺模型是一个只有两个寡头厂商的简单模型，该模型也被称为“双头模型”。

古诺模型的结论可以很容易地推广到三个或三个以上的寡头厂商的情况中去。

古诺模型假定一种产品市场只有两个卖者，并且相互间没有任何勾结行为，但相互间都知道对方将怎样行动，从而各自怎样确定最优的产量来实现利润最大化，因此，古诺模型又称为双头垄断理论。

[1]古诺模型的假定[2]两个生产者的产品完全相同；生产成本为零(如矿泉水的取得)；需求曲线为线性，且双方对需求状况了如指掌；每一方都根据对方的行动来做出自己的决策，并都通过凋整产量来实现最大利润。

如图，AB为产品的需求曲线，总产量为OB，开始时假定A厂商是唯一的生产者，为使利润最大，其产量 (按MC=0 假设，OB中点的产量使得MR=MC=0)，价格为PB厂商进入该行业时，认为1。

伯努利悖论
摘要：
1.伯努利悖论的背景和定义
2.伯努利悖论的解决方法
3.伯努利悖论在现实生活中的应用和意义
正文：
伯努利悖论，又称伯特兰·罗素悖论，是瑞士数学家丹尼尔·伯努利在1738 年提出的一个关于集合论的悖论。

它是一个涉及到集合自身是否属于自身的难题，激发了数学家和哲学家对集合论的深入研究。

伯努利悖论的描述如下：设集合A 为所有不包含自身的集合组成的集合，那么问题来了，集合A 是否包含自身？如果A 包含自身，那么根据定义，A 就不应该包含自身；如果A 不包含自身，那么根据定义，A 就应该包含自身。

这就形成了一个无法解决的矛盾。

为了解决伯努利悖论，数学家们发展出了不同的方法。

其中，最著名的方法之一是策梅洛- 弗兰克尔公理系统。

在这个公理系统中，集合被定义为满足策梅洛公理的元素集合。

通过引入新的公理，这个系统成功地排除了类似伯努利悖论的矛盾。

尽管伯努利悖论看起来是一个抽象的数学问题，但它对现实世界有着深远的影响。

它促使数学家们重新审视集合论的基础，为现代数学的发展奠定了基础。

此外，伯努利悖论还启发了逻辑学、哲学等领域的研究，使得人们对自身认知和知识体系的局限性有了更深刻的认识。

古诺寡头竞争模型有两个参与人,分别称为企业1和企业2;每个企业的战略是选择产量;支付是利润,它是两个企业产量的函数.我们用q i ∈[0,∞)代表第i 个企业的产量,C i (q i )代表成本函数,P =P (q 1+q 2)代表逆需求函数(P 是价格;Q (P )是原需求函数).第i 个企业的利润函数为:2,1),()()(21=-+=i q C q q P q q i i i i π(*2*1,q q )是纳什均衡产量意味着 )()(),(max arg 11*211*211*1q C q q P q q q q -+=∈π)()(),(max arg 222*12*12*21q C q q P q q q q -+=∈π 找出纳什均衡的一个办法是对每个企业的利润函数求一阶导数并令其等于0.0)()()(1,121,12111=-+++=∂∂q C q q P q q q P q π 0)()()(2,221,22122=-+++=∂∂q C q q P q q q P q π 上述两个一阶条件分别定义了两个反应函数)(21*1q R q = )(12*2q R q = 反应函数意味着每个企业的最优战略(产量)是另一个企业产量的函数.两个反应函数的交叉点就是纳什均衡),(**2*1q q q =.为了得到更具体的结果,让我们来考虑上述模型的简单情况,假定每个企业具有相同的不变单位成本,即:c q q C c q q C 222111)(,)(==,需求函数取如下线性形式:P=a-(q 1+q 2).那么,最优化的一阶条件分别为:0)(0)(2212212111=--+-=∂∂=--+-=∂∂c q q q a q c q q q a q ππ就是说,j 每增加1个单位的产量,i 将减少1/2单位的产量.解两个反应函数,我们得到纳什均衡为:)(31*2*1c a q q -== 每个企业的纳什均衡利润分别为:2*2*12*2*11)(91),(),(c a q q q q -==ππ 为了与垄断情况作比较,让我们计算一下垄断企业的最优产量和均衡利润.垄断企业的问题是:)(c Q a Q Max Q--=π 容易算出,垄断企业的最优产量为)(32)(21*2*1*c a q q c a Q -=+<-=; 垄断利润为22)(92)(41c a c a m ->-=π. 寡头竞争的总产量大于垄断产量的原因在于每个企业在选择自己最优产产量时,只考虑对本企业利润的影响,而忽视对另一个企业的外部负效应.这是典型的囚徒困境问题.例1:设某一市场有1,2两个厂商,它们生产相同的产品.设厂商1的产量为q 1,厂商2的产量q 2,则市场总产量为Q=q 1+q 2.设P 是市场出清价格(可以将产品全部卖出去的价格),则P 是市场总产量的函数P=P(Q)=8-Q .再设生两个厂商的生产都无固定成本,且每增加,且每增加一单位产量的边际生产成本相等 C 1=C 2=2,即它们分别生产q 1和q 2产量的成本分别为2q 1和2q 2.最后设这两个厂商是同时决定各自的产量的,即在决策之前不知道另一方的产量.上述问题构成的博弈中,博弈方为厂商1和厂商2.它们的策略空间都是由不同的产量组成,因为产量受生产能力的限制,因此理论上产量是有一个上限的,但如果假设产量是连续可分得,则它们各自都有无限多种可选策略.该博弈中两博弈方的得益自然是各自的利润,用u 老表示,即各自的销售收入减去各自的成本,根据给定情况,分别为212111*********)](8[)(q q q q q q q q q C Q P q u --=-+-=-=222122212222262)](8[)(q q q q q q q q q C Q P q u --=-+-=-=两博弈方的得益(利润)取决于双方的策略(产量).本博弈中两博弈方都有无限多种可选策略,因而无法得益矩阵表示该博弈,但纳什均衡的概念同样适用,即对于两博弈方的一个策略组合),(**2*1q q q =,只要其中*1q 和*2q 相互是对方策略的最佳对策,就是一个纳什均衡.并且如果可证实它是该博弈中唯一的纳什均衡,则它同样是博弈的解.因此本博弈, (*2*1,q q )的纳什均衡的充分必要条件是*2*1q q 、的最大值问题:)6(m a x 21*2111q q q q q --和)6(max 22*1222q q q q q --的解. 因为求最大值的两个式子都是各自自变量的二次式,且二次项的系数都小于0,因此*1q 和*2q 只要能使它们各自对q 1和q 2的偏导数为0,就一定能实现它们的最大值.026*1*2=--q q 026*2*1=--q q 联立上两式,解得*1q =*2q =2,并且这是唯一的一组解.因此(2,2)是本博弈唯一的纳什均衡策略组合,也意味着它是本博弈的解.两个厂商将各生产2单位的产量,双方得益(利润)都为2⨯(8-4)-2⨯2=4,市场总产量为2+2=4,价格为8-4=4,两厂商的利润总和为4+4=8.上述是两个独立同时作产量决策,是按它们根据实现自身最大利益的原则行动而得到结果.那么这个结果究竟怎么样?两家厂商有没有真正实现自身的最大利益?从社会总体角度来看效率又如何?如果现在以总体利益目标的.如果现在以总体利益为目标来考虑市场的最佳产量,结果会有怎样的不同呢?首先可以根据市场的条件求出实现最大总得益的总产量.设总产量为Q,则总得益U=QP(Q)-2Q=6Q-Q 2很容易求得使总得益最大的总产量3*=Q ,最大总得益9*=u .将此结果与两个厂商独立决策、只追求自身利益时相比，总产量较小，而总利润却较高。