信号与系统-CH4

设象函数 F ( s ) 是 s的有理函数 N ( s ) a m s m + a m −1 s m −1 + ... + a1 s + a 0 F (s) = = D(s) b n s n + b n −1 s n −1 + ... + b1 s + b0
的多项式与一个余式之和。 当m≥n时，要用长除法先将 （s）表示为一个 的多项式与一个余式之和。 时 要用长除法先将F（ ）表示为一个s的多项式与一个余式之和
令 s = σ + j ω , 则上式为 Fb ( s ) =
∫
∞ −∞
f ( t ) e − st dt
因积分区间包含着时间 轴的左右两边，故称 Fb ( s ) 为信号 f (t )的双边拉普拉斯变换， 也称象函数。
1 ∞ f (t ) = F ( jω )e jωt dω — —傅立叶逆变换 2π ∫−∞ ∞ 1 −σt f (t )e = F b ( s ) e j ω t d ωω、复振幅为 付氏变换把信号分解为无限多个频率为 2 π ∫− ∞ F ( jω ) ∞ 1 dω的虚指数分量之和；将时域函数f (t )变换为 f (t ) = F b ( s ) e st d ω 2π 2 π ∫− ∞ 频域函数= ( jω )。建立了时域与频域之间的联系。 由 s F σ + j ω . ds = jd ω
N (s) N 0 (s) m−n F (s) = = Am − n s + ⋅ ⋅ ⋅ + A1 s + A0 + D(s) D (s)
N 0 ( s) 余式 应为真分式 D( s)
对应多项式Am − n s m − n + ⋅ ⋅ ⋅ + A1s + A0各项的时间函数是 冲激及冲激的各阶导数的线性组合。
后面只讨论单边拉氏变换。 后面只讨论单边拉氏变换。
单边拉氏变换的收敛域
若有始信号 f (t )乘以收敛因子后，有下 列关系 lim f (t ) e −σ t = 0
t →∞
（σ > σ 0） Re[ s ] = σ > σ 0 ,
那么对于 Re[ s ] = σ > σ 0， f (t )的拉氏变换存在。
一、从付里叶变换到双 边拉普拉斯变换 当函数f (t )满足绝对可积条件
∫
∞
−∞
f (t ) dt < ∞ 时，
其付里叶变换积分式 F ( jω ) =
∫
∞
−∞
f ( t )e − jω t dt 收敛。
我们说信号 f ( t )的付里叶变换存在。
当 lim
t→∞ 或 t → −∞
f ( t ) ≠ 0时， f ( t )不满足绝对可积条件
有始信号 的收敛域 则拉氏变换的收敛域为 σ
σ 0 称为收敛坐标。 s平面经过 σ = σ 0的垂直线称为收敛轴。
对于单边拉氏变换，其收敛域都位于收敛轴的右边。 对于单边拉氏变换，其收敛域都位于收敛轴的右边。
σ0
例3、求 L[ e + α t ε (t )]，并讨论收敛域。
解：收敛域内： =
L[e
二、收敛域
收敛域：使 f (t )e −σ t 满足绝对可积条件的 σ值的范围称为拉氏变换 式的收敛域。在收敛域 内， f (t )的拉氏变换存在，在收 敛域外， f (t )的拉氏变换不存在。
例：有始信号
0 f (t )＝ αt e
∞
t<0 t >0
∞
α为正实数
− ( s −α ) t ∞
f (t ) = 1 2π j
∫σ
σ + j∞
− j∞
F b ( s ) e st ds — — F b ( s )的逆变换
拉氏变换把信号分解为无限多个复频率为s = σ + jω、 F (s) 复振幅为 ds的复指数分量之和；将时域函数f (t ) 2πj 变换为复频域函数F ( s )。建立了时域与复频域（s域） 之间的联系。
dt < ∞
e
−σt
: 称为收敛因子
满足绝对可积条件， 的付里叶变换为： 则 f (t )e −σ t 满足绝对可积条件，它 的付里叶变换为： F [ f (t ) e
−σ t
]= ∫
∞
−∞
f (t ) e
−σ t
e
− jω t
dt = ∫
∞
−∞
f (t )e − (σ + jω ) t dt = F (σ + jω )
t →∞
则F ( s )的收敛域 Re[ s ] = σ > α
收敛轴
jω
右半平面
jω
收敛坐标的 收敛坐标的 对于单边拉氏变换的收敛域比较容易确定， 对于单边拉氏变换的收敛域比较容易确定，不标出也不会
0 σ α α 0，因此后面讨论不再加注其收敛域。 造成混淆， 造成混淆 因此后面讨论不再加注其收敛域。
1 − 2e − s + e −2 s F (s) = s2
例 试求如图所示信号的单边Laplace变换。
利用时域卷积定理
解：
对f(t)表达为
f (t ) = f1 (t ) ∗ f1 (t )
f1 (t ) = ε (t ) − ε (t − 1)
L[ε (t )] = 1/ s
拉氏变换时移性质
− j∞
F ( s ) e st ds
t ≥ 0
注意：积分下限定为0 − ，是考虑到f (t )包含δ (t )及其导数的情况。
拉氏正反变换的简记形式 F ( s ) = L[ f (t )] 或 f (t ) → F ( s ) f (t ) = L−1[ F ( s )] 或 F ( s ) → f (t )
+αt
ε ( t )] =
∫
∞
0−
∞
e + α t ε ( t ) e − st dt 1 = s−α
∫
∞
0−
e
− ( s −α )t
1 dt = e − ( s −α ) t − (s − α )
t →∞
0−
当σ > α时， f (t )e −σt = lim e (α −σ )t = 0, lim
1 − e−s F1 ( s) = s
利用拉氏变换的卷积特性,可得
1 − e−s 2 1 − 2e − s + e −2 s F ( s) = F1 ( s) ⋅ F1 ( s) = ( ) = s s2
1 例 已知 F ( s ) = ,求f(t)的初值和终值。 s ( s + 1)
解：对F(s) 应用初值定理可得
α
有始信号 的收敛域 拉氏变换为 Fb (σ) s
= ∫ e e dt = ∫
−∞
αt − st
0
e e e dt = − (s − α ) 0
αt − st
1 1 − ( s −α ) t = [1 − lim e ]= [1 − lim e − (σ −α ) t ⋅ e − jωt ] t →∞ t →∞ (s − α ) (s − α )
1 当 Re[ s] = σ > α时，积分收敛，此时上式才表示为Fb ( s) = s −α
有终信号
− eαt f (t )＝ 0
t<0 t>0
0
α为正实数
αt − st
− ( s −α ) t 0
有终信号 拉氏变换为 Fb ( s ) 的收敛域 σ
α
e = − ∫ e e dt = − ∫ e e dt = −∞ −∞ ( s − α ) −∞
从以上例子可以看到，双边拉氏变换对并不一一对应， 从以上例子可以看到，双边拉氏变换对并不一一对应，对于同 一个双边拉氏变换表达式，由于收敛域不同，可能会对应两个 一个双边拉氏变换表达式，由于收敛域不同， 完全不同的时间函数。因此双边拉氏变换必须标明收敛域。 完全不同的时间函数。因此双边拉氏变换必须标明收敛域。
三、单边拉普拉斯变换
实际中遇到的信号都是 有始信号 , 即 t < 0 时， f (t ) = 0， 以及信号虽然不始于 0，而问题讨论只须考虑 信号 t ≥ 0的部分。 1、定义
拉氏正变换 拉氏反变换 F (s) = f (t ) =
∫
∞
0－
f ( t ) e − st dt
1 2π j
∫σ
σ + j∞
2
2
t≥0
s ] 2 s + 2s + 5 解：令D( s ) = s 2 + 2 s + 5 = 0 S1、 = −1 ± j 2 2 例2、求L−1[
k1 =
s k1 k2 = + 2 s + 2 s + 5 s − s1 s − s2
θ = tg −1
1 2Βιβλιοθήκη N ( s) s −1 + j2 2+ j 5 jθ = = = = e ' D ( s ) s= s 2s + 2 s = −1+ j 2 − 2 + 4 j + 2 4 4
σ
右半平面
4.2
典型信号的拉普拉斯变换
见书117页。 见书 页
4.3
拉普拉斯变换的性质
见书117－128页。 － 见书 页
例 试求如图所示信号的单边Laplace变换。
利用时域微分性质
解： 对f(t)求导
利用拉氏变换的微分特性,可得
d 2 f (t ) L ← → s 2 F ( s ) − sf (0 − ) − f ' (0 − ) dt 2 = s 2 F ( s ) = 1 − 2e − s + e −2 s