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初中数学青岛版七年级下册高效课堂资料12.1 完全平方公式【课标要求】1.能推导乘法公式2()a b +=222a ab b ++，了解公式的几何背景；2.能利用公式进行简单的计算.【教学目标】1. 掌握完全平方公式的推导及其应用，完全平方公式的几何证明；2. 经历探索完全平方公式的过程，进一步发展符号感和推理能力；3. 通过分组讨论学习，体会合作学习的兴趣，培养学生观察能力、概括能力、语言表述能力，注重数学思想的渗透。
.【教学重点、难点】完全平方公式的推导过程；完全平方公式结构特点及其应用。
.【教学过程】一、新课导入如图所示，一个正方形花坛的边长是a 米，如果把它的每条边长都增加b 米，所得到的新正方形花坛的面积是多少？试着写一写吧!【设计意图】1.让学生感受通过列代数式能表达；2.为下一步探究完全平方式的几何意义打基础.二、探究过程探究一1. 你能根据图形的面积得到什么结论？2.你能用多项式的乘法法则来说明它成立吗?2()a b += = 小结：完全平方式：和的完全平方公式：2()a b +=差的完全平方公式：2()a b -=2. 小组合作探究交流：完全平方公式的特点：左边：右边：【设计意图】把握完全平方公式的由来及特点.探究二1.（阅读教材P113）自学例1、例22.利用完全平方公式计算：(1)(-2m -1)2 (2)99.992【设计意图】1.能正确的判断公式中的a 、b ；2.正确的运用公式进行计算.三、针对训练(1)(4x -3y )2 (2)(2m -1)2 (3)1042【设计意图】1.前两题针对本节课所学的公式进行落实；2.第三题是对本节课的知识点的灵活运用.四、课堂小结1. 知识方面：2. 数学思想方法：五、课内达标题1．下列运算中，利用完全平方公式计算正确的是（ ）A ．（x+y ）2=x 2+y 2B ．（x －y ）2=x 2－y 2C ．（－x+y ）2=x 2－2xy+y 2D ．（－x －y ）2=x 2－2xy+y 22.在括号内选入适当的代数式使等式(5x-y)·( )＝25x 2-5xy+y 2成立.A.5x-yB.5x+yC.-5x+yD.-5x-y3.计算⑴2-+（2）992a b(811)【设计意图】1.检测学生本节课所学知识点的掌握情况；2.为下节讲授代入完全平方公式的运用做准备.六、板书设计12.2-1完全平方公式完全平方公式:(a+b)2=a2+2ab+b2(a–b)2=a2-2ab+b2完全平方公式的特征：可简单记：前平方，后平方，积2倍在中央。
12.2 完全平方公式
教学目标
【知识与能力】
能说出完全平方公式的特征，会正确运用完全平方公式进行简单计算。
【过程与方法】
会推导完全平方公式，并了解公式的几何解释。
【情感态度价值观】
经历探索完全平方公式的过程，进一步发展符号感和推理能力，培养学生数学建模的思想。
教学重难点
【教学重点】
体会完全平方公式的发现和推导过程，熟练掌握完全平方公式的结构特点及公式的直接运用。
【教学难点】
对公式中字母a、b的广泛含义的理解与正确应用。
正确、灵活地选用公式模型。
课前准备
无
教学过程。
完全平方公式“学”与“用”完全平方公式222222)(,2)(b ab b a b ab a b a +--++=+是一组重要的乘法公式，是今后常用的数学工具，它的应用也非常广泛．本文从以下几个方面剖析完全平方公式，以帮助同学们理解、掌握和灵活应用这个公式．一、注意公式的几何意义如图（1），大正方形面积为2)(b a +是两个小正方形的面积2a 、2b 之和，再加上两个长方形的面积2ab ，即得2222)(b ab a b a ++=+．如图（2），把2)(b a -看作大正方形的面积2a 去两个有斜线的长方形面积之和2ab ，这样就多减去斜线重合部分的小正方形的面积2b ，在把它补上，即2222)(b ab a b a ++=-．二、注意公式的结构特征掌握公式的结构特点是正确使用公式的前提．完全平方公式的特征：左边是两数和（或差）的平方和，加上（或减去）它们积的２倍，公式等号左右两边符号是一致．可以简记为“右边展开后的项数为三项，即前平方（2a ），后平方（2b ），二倍之积在中央（2ab ）”希同学们熟记这一结构特征．三、注意公式的正确性要理解掌握公式之间的异同点，既要正确理解课本对每个公式的推导依据，每一个公式的作用，同时也要明白每个公式的语言表达方式、结构形式，以及掌握课本对公式的几何推导法，避免出现以下错误，如222)(b a b a +=+， 222)(b a b a -=-，2222)(b ab a b a --=-等等．四、注意公式的代表性和广泛性aba 图１完全平方公式是具有共同特征的某一类运算的概括总结，因而具有代表性，同时由于公式中字母代表的广泛含义，因而使完全平方公式具有广泛性．如字母不但可表示具体的数，还可表示单项式或多项式等代数式．例1．计算：2222)2(2)2(])2[()2(c c b a b a c b a c b a +---=--=--＝2a bc ac ab c b a c bc ac b ab 4244424422222+--++=++-+-．说明：本题还可以进行如下变形：222]2)[()2(b c a c b a --=--或 22)]2([)2(c b a c b a +-=--．五、注意公式之间的联系公式1：2222)(b ab a b a ++=+，公式2：2222)(b ab a b a +-=-．两式相加，得：)(2)()(2222b a b a b a +=-++． 即2)()(2222b a b a b a -++=+，两式相减，得：ab b a b a 4)()(22=--+， 即22)2()2(b a b a ab --+=． 六、注意公式的变形根据题意要善于对公式变形应用，在解题中充分体现应用公式的思维灵活性和开阔性．完全平方公式常用的变化形式有：①ab b a b a 2)(222-+=+；②ab b a b a 2)(222+-=+； ③2)()(2222b a b a b a -++=+；④22)2()2(b a b a ab --+=． 同学们在运用公式时，不应拘泥于公式的形式，而要深刻理解、灵活应用．例2．已知a+b=6，ab=9．求222b a +． 解：由ab b a b a 2)(222-+=+，∴ 222b a +＝21［ab b a 2)(2-+］ ＝91821)926(212=⨯=⨯-． 例3．已知a ，b 为自然数且a+b=40，①求22b a +的最小值；②求ab 的最大值．解：①∵2)()(2222b a b a b a -++=+=])(40[2122b a -+，∵2)(b a -≥0，∴当a=b 时，22b a +的有最小值，最小值为80040212=⨯； ∵22)(41)(41b a b a ab --+==22)2(41)2(b a b a ab --+= =222)(41400)(414041b a b a --=--⨯， ∵2)(b a -≥0，∴当a=b 时，ab 有最大值，最大值为400．七、注意公式的逆用不仅会熟练地正用公式，而且也要求会逆用公式，乘法公式均可逆用，完全平方公式的逆用，就是配方，配方法是一种很重要的数学方法．例4．设a ，b ，c ，d 为四边形的四边长且abcd d c b a 44444=+++，试判别此四边形的形状．解：∵042222222242244224=-+++-++-abcd d c b a d d c c b b a a ，即0)(2)()(2222222=-+-+-cd ab d c b a ，∴022=-b a ，022=-d c ，0=-cd ab ，∴d c b a ===，∴以a ，b ，c ，d 为四边的四边形为菱形．。
完全平方公式应用例析乘法公式是初中数学中的重要公式，也是中考中常见的考点之一.现以完全平方公式为例解析如下。
一、根据公式的特点求字母的值例1 已知36442++mx x 是完全平方式，则m 的值为( ）A 。
2 B.±2 C.—6 D. ±6解析：此题应根据公式的特点逆向思考,24x 相当于公式中的“2a "，则x 2±相当于公式中的“a ”，同样6±相当于公式中的“b ”，因此公式中的“ab 2"为：x 24±，所以mx x 424=±,则6±=m .选（D ）。
二、直接用公式求代数式的值例2 当12s t =+时，代数式222s st t -+的值为 ． 解析：根据已知条件可得21=-t s ，将两边平方则可得：41)(2=-t s ，所以222s st t -+=41。
三、变形用公式求代数式的值例3 已知x+y = –5，xy = 6，则22x y +的值是( ）A ． 1B ． 13C ． 17D ． 25 解析：完全平方公式的常见变形有:①a 2+b 2＝(a +b )2－2ab ＝(a －b ）2+2ab ；②ab ＝21［(a +b )2－（a 2+b 2)]＝41[（a +b )2－(a －b ）2］＝2222⎪⎭⎫ ⎝⎛--⎪⎭⎫ ⎝⎛+b a b a ； ③ （a +b )2+(a －b )2＝2a 2+2b 2。
利用上述的恒等变形,我们可以迅速地解决有关看似与乘法公式无关的问题，并且还会收到事半功倍的效果。
由完全平方公式的变形可得22x y +==-+xy y x 2)(225－12=13.选(B)。
四、用公式化简再求代数式的值例4 先化简，再求值:222()()2y x y x y x y ++---，其中13x =-,3y =．解析：先用乘法公式计算,去括号、合并同类项后,再将y x ,的值代入计算出结果。
《完全平方公式》作业设计方案（第一课时）一、作业目标本节课的作业目标是使学生掌握完全平方公式的构成规则和基本运用。
学生需要能理解公式的形式与结构，熟练地利用公式展开平方的乘法问题，并且通过反复练习来增强他们的运算能力，以在之后遇到复杂的数学问题时能够快速找到解决方法。
二、作业内容作业内容将围绕《完全平方公式》这一核心主题展开。
具体内容如下：1. 公式理解：要求学生能正确表述完全平方公式的形式，并能解释公式中各项的意义。
2. 公式运用：通过具体题目练习，让学生掌握公式的运用，包括识别哪些情况可以使用完全平方公式，以及如何将公式应用于实际问题中。
3. 练习巩固：设计一系列练习题，包括填空题、选择题和计算题等，以帮助学生巩固和加深对完全平方公式的理解。
4. 拓展延伸：布置一些具有挑战性的题目，如涉及两个完全平方公式相乘的题目，鼓励学生尝试用所学知识解决问题。
三、作业要求作业要求如下：1. 独立完成：要求学生独立完成作业，不抄袭他人答案。
2. 仔细审题：在解题过程中，要仔细审题，理解题目的要求和条件。
3. 规范书写：解题过程要规范，步骤要清晰，结果要准确。
4. 及时反馈：遇到问题时应及时向老师或同学请教，以便及时解决问题。
5. 拓展思考：在完成基础练习后，可尝试完成拓展延伸的题目，以提升自己的数学能力。
四、作业评价作业评价将根据以下标准进行：1. 正确性：答案是否正确，是否符合完全平方公式的运用规则。
2. 规范性：解题过程是否规范，步骤是否清晰。
3. 创新性：在完成基础题目后，是否有尝试并完成拓展延伸的题目。
4. 积极性：学生是否按时完成作业，是否有主动向老师或同学请教问题的积极性。
五、作业反馈教师将根据学生的作业情况进行反馈：1. 对答对的同学给予肯定和鼓励，并分析其解题思路和方法。
2. 对答错的同学指出错误之处并给出正确的解答方法及步骤。
同时了解学生错题的原因及解决过程中遇到的问题和困惑，及时进行调整和完善教学方法和作业布置方式以提高学生学习的效率与成果。
师生关于完全平方公式的对话
第八节课的时候有两位同学找到我，探讨了一下完全平方公式的问题，记录如下
生：老师，完全平方公式经常用，可不知什么原因记不牢。使用完全平方公式的时候经常出
现（a＋b）2= a2＋b2；（a﹣b）2= a2﹣b2的情况。
师：你为什么这样记呢？
生：咱们学过2（a＋b）=2 a＋2b （ab）2= a2b2。而（a＋b）2，（a﹣b）2的形式与
前两个很相似，有类比得到（a＋b）2= a2＋b2；（a﹣b）2= a2﹣b2。
师：你知道2（a＋b），（ab）2表示的意义吗？如何得到的这两个公式？
生：2（a＋b）表示两个（a＋b）相加，即：（a＋b）＋（a＋b）= a＋b＋a＋b=2a＋2b；（ab）
2表示两个ab相乘，即：（ab）2=ab·ab= a2b2
。
师：你能说出（a＋b）2的意义吗？（并让学生计算出结果）
生：（a＋b）2表示两个（a＋b）相乘，即：（a＋b）·（a＋b）= a2＋ ab＋ba＋ b2= a2＋
2ab＋ b2
师：那现在你知道自己错在哪了吗？
生：哦！我错误的运用了知识的类比和迁移。
师：学知识不能死记硬背，不但要知其然，而且要知其所以然。掌握公式要掌握它的特点，
你能说一下完全平方公式（和的形式）的特点吗？
生：左边是两个数和的完全平方，右边有三项：两个数的平方，还有两个数的乘积的2倍。
而我忽略的恰好是两个数乘积的2倍。
师：那你分析以下（x＋6）2并算出结果。
生：两数为x和6，右边应该有三项 ：x2，2×6 x=12 x ，62=36。所以 ，
（x＋6）2= x2＋12 x＋36。
师：掌握一个公式不仅要掌握它的“形”，更要掌握它的“神”。这样才能透彻的理解公式，
提高自己的能力。公式中的a和b不仅可以表示数，字母还可以表示式。你再分析一下（3ab
＋2c2）2。
生：两式为3ab和2c2，右边三项应该有：（3ab）2=9 a2 b2 , 2×3ab×2c2=12 abc2,
（2c2）2=4c4。所以（3ab＋2c2）2=9 a2 b2＋12 abc2＋4c4。
师：完全平方公式差的形式与和的形式道理完全一样，回去多加练习。
生：谢谢老师。
