高考数学总复习习题2-1

[A 组 基础演练·能力提升]一、选择题1．(2013年高考江西卷)函数y ＝x ln(1－x )的定义域为( ) A ．(0,1) B ．[0,1) C ．(0,1] D ．[0,1]解析：根据题意得⎩⎪⎨⎪⎧1－x >0x ≥0，解得0≤x <1，即所求定义域为[0,1)．答案：B2．已知函数f (x )＝⎩⎪⎨⎪⎧2x ，x >0，x ＋1，x ≤0.若f (a )＋f (1)＝0，则实数a 的值为( )A ．－3B ．－1C ．1D ．3解析：当a >0时，由f (a )＋f (1)＝0得2a ＋2＝0，故此时不存在实数a 满足条件；当a ≤0时，由f (a )＋f (1)＝0得a ＋1＋2＝0，解得a ＝－3，满足条件，故选A.答案：A3．(2014年浙江五校联考)若函数f (x )＝1log 12(2x ＋1)，则f (x )的定义域为( )A.⎝⎛⎭⎫－12，0 B.⎝⎛⎦⎤－12，0 C.⎝⎛⎭⎫－12，＋∞ D.()0，＋∞解析：根据题意知log 12(2x ＋1)>0，即0<2x ＋1<1，∴x ∈⎝⎛⎭⎫－12，0. 答案：A4．下列函数中，与函数y ＝13x定义域相同的函数为( )A ．y ＝1sin xB ．y ＝ln xxC ．y ＝x e xD ．y ＝sin xx解析：利用正弦函数、指数函数、对数函数及分式型函数定义域的确定方法求解． 函数y ＝13x的定义域为{x |x ≠0}，选项A 中由sin x ≠0⇒x ≠k π，k ∈Z ，故A 不对；选项B 中x >0，故B 不对；选项C 中x ∈R ，故C 不对；选项D 中由正弦函数及分式型函数的定义域确定方法可知定义域为{x |x ≠0}，故选D.答案：D5．已知函数f ⎝⎛⎭⎫x －1x ＝x 2＋1x 2，则f (3)＝( ) A ．8 B ．9 C ．11D ．10解析：∵f ⎝⎛⎭⎫x －1x ＝⎝⎛⎭⎫x －1x 2＋2，∴f (3)＝9＋2＝11. 答案：C6．具有性质：f ⎝⎛⎭⎫1x ＝－f (x )的函数，我们称为满足“倒负”交换的函数，下列函数： ①f (x )＝x －1x ；②f (x )＝x ＋1x ；③f (x )＝⎩⎪⎨⎪⎧x ，0<x <1，0，x ＝1，－1x ，x >1.满足“倒负”变换的函数是( )A ．①②B ．①③C ．②③D ．只有①解析：①f ⎝⎛⎭⎫1x ＝1x －x ＝－f (x )满足． ②f ⎝⎛⎭⎫1x ＝1x ＋x ＝f (x )不满足． ③0<x <1时，f ⎝⎛⎭⎫1x ＝－x ＝－f (x )， x ＝1时，f ⎝⎛⎭⎫1x ＝0＝－f (x )， x >1时，f ⎝⎛⎭⎫1x ＝1x ＝－f (x )满足． 答案：B 二、填空题7．(2013年高考安徽卷)定义在R 上的函数f (x )满足f (x ＋1)＝2f (x )．若当0≤x ≤1时，f (x )＝x (1－x )，则当－1≤x ≤0时，f (x )＝________.解析：设－1≤x ≤0，∴0≤x ＋1≤1， ∴f (x )＝12f (x ＋1)＝12(x ＋1)[1－(x ＋1)]＝－12x (x ＋1)．答案：－12x (x ＋1)8．若函数f (x )＝2x 2＋2ax －a －1的定义域为R ，则a 的取值范围为________．解析：函数f (x )的定义域为R ，所以2x 2＋2ax －a －1≥0对x ∈R 恒成立，即2x 2＋2ax －a ≥1，x 2＋2ax －a ≥0，恒成立，因此有Δ＝(2a )2＋4a ≤0，解得－1≤a ≤0. 答案：[－1,0]9．已知函数f (x )＝⎩⎪⎨⎪⎧x 2＋1，x ≥0，1，x <0，则满足不等式f (1－x 2)>f (2x )的x 的取值范围是________．解析：画出f (x )＝⎩⎪⎨⎪⎧x 2＋1，x ≥0，1，x <0的图象，如图．由图象可知，若f (1－x 2)>f (2x )，则⎩⎪⎨⎪⎧1－x 2>0，1－x 2>2x ， 即⎩⎨⎧－1<x <1，－1－2<x <－1＋ 2.得x ∈(－1，2－1) 答案：(－1，2－1) 三、解答题10．(1)已知f ⎝⎛⎭⎫2x ＋1＝lg x ，求f (x )；(2)已知f (x )是一次函数，且满足3f (x ＋1)－2f (x －1)＝2x ＋17，求f (x )；(3)定义在(－1,1)内的函数f (x )满足2f (x )－f (－x )＝lg(x ＋1)，求函数f (x )的解析式． 解析：(1)令t ＝2x ＋1，则x ＝2t －1，∴f (t )＝lg2t －1，即f (x )＝lg 2x －1. (2)设f (x )＝ax ＋b ，则3f (x ＋1)－2f (x －1)＝3ax ＋3a ＋3b －2ax ＋2a －2b ＝ax ＋5a ＋b ＝2x ＋17，则有a ＝2，b ＋5a ＝17，∴a ＝2，b ＝7，故f (x )＝2x ＋7.(3)x ∈(－1,1)时，有2f (x )－f (－x )＝lg(x ＋1)．① 令x ＝－x 得，2f (－x )－f (x )＝lg(－x ＋1)．②由①②消去f (－x )，得f (x )＝23lg(x ＋1)＋13lg(1－x )，x ∈(－1,1)．11．已知函数f (x )＝2x －1，g (x )＝⎩⎪⎨⎪⎧x 2， (x ≥0)，－1 (x <0)，求f [g (x )]和g [f (x )]的解析式．解析：当x ≥0时，g (x )＝x 2，f [g (x )]＝2x 2－1， 当x <0时，g (x )＝－1，f [g (x )]＝－2－1＝－3，∴f [g (x )]＝⎩⎪⎨⎪⎧2x 2－1 (x ≥0)，－3 (x <0).∵当2x －1≥0，即x ≥12时，g [f (x )]＝(2x －1)2，当2x －1<0，即x <12时，g [f (x )]＝－1，∴g [f (x )]＝⎩⎨⎧(2x －1)2， (x ≥12)，－1， (x <12).12．(能力提升)甲同学家到乙同学家的途中有一公园，甲从家到公园的距离与乙从家到公园的距离都是2 km ，甲10时出发前往乙家．如图所示，表示甲从家出发到达乙家为止经过的路程y (km)与时间x (分)的关系．试写出y ＝f (x )的函数解析式．解析：当x ∈[0,30]时，设y ＝k 1x ＋b 1，由已知得⎩⎪⎨⎪⎧ b 1＝030k 1＋b 1＝2，解得⎩⎪⎨⎪⎧k 1＝115，b 1＝0∴y ＝115x .当x ∈(30,40)时，y ＝2； 当x ∈[40,60]时，设y ＝k 2x ＋b 2，由已知得⎩⎪⎨⎪⎧40k 2＋b 2＝260k 2＋b 2＝4，解得⎩⎪⎨⎪⎧k 2＝110b 2＝－2，∴y ＝110x －2.综上，f (x )＝⎩⎪⎨⎪⎧115x ， x ∈[0，30]2， x ∈(30，40).110x －2， x ∈[40，60]。

第2章 第1节[基础强化]考点一：映射、函数的概念1．设A ＝{1,2,3,4,5}，B ＝{1,3,7,15,31,33}，下列的对应法则f 能构成从A 到B 的映射的是( )A ．f ：x →x 2＋x ＋1B ．f ：x →x ＋(x －1)2C ．f ：x →2x －1－1 D ．f ：x →2x －1 解析：根据映射定义，对于集合A 中的任何元素．．．．，按照对应法则f ，在集合B 中是否有唯一的元素与它对应．∵当x ＝4时，x 2＋x ＋1＝21∉B ； 当x ＝4时，x ＋(x －1)2＝13∉B ；当x ＝1时，2x －1－1＝20－1＝0∉B ， ∴A 、B 、C 都不构成从A 到B 的映射．对于D ，经验证，x ＝1,2,3,4,5时2x －1的值分别为1,3,7,15,31.又映射并不要求B 中的任何元素都有原象，∴应选D.答案：D 2．(·河北衡水中学)设映射f ：x →－x 2＋2x 是集合M ＝R 到集合N ＝R 的映射．若对于实数p ∈N ，在M 中不存在对应的元素，则实数p 的取值范围是( )A ．(1，＋∞)B ．[1，＋∞)C ．(－∞，1)D ．(－∞，1]解析：本题主要考查了映射的定义及二次函数的值域问题，其关键是理解映射的定义，将其转化为求二次函数的值域问题．∵－x 2＋2x ＝－(x －1)2＋1≤1，∴实数p 的取值范围是(1，＋∞)．故选A.答案：A3．下列四组函数中，表示同一函数的是( )A ．y ＝x －1与y ＝(x －1)2B ．y ＝x －1与y ＝x －1x －1C ．y ＝4lg x 与y ＝2lg x 2D ．y ＝lg x －2与y ＝lg x100解析：∵y ＝x －1与y ＝(x －1)2＝|x －1|的对应法则不同，故不是同一函数；y ＝x －1(x ≥1)与y ＝x －1x －1(x ＞1)的定义域不同．∴它们不是同一函数；又y ＝4lg x (x ＞0)与y ＝2lg x 2(x ≠0)的定义域不同，因此它们也不是同一函数，而y ＝lg x －2(x ＞0)与y ＝lg x100＝lg x －2(x ＞0)有相同的定义域，值域与对应法则，故它们是同一函数．答案：D考点二：求函数的解析式及函数值4．若f (x )满足2f (x )＋f ⎝⎛⎭⎫1x ＝3x ，则f (x )的解析式为________．解析：∵2f (x )＋f ⎝⎛⎭⎫1x ＝3x ，①∴2f ⎝⎛⎭⎫1x ＋f (x )＝3x.② 联立①②消去f ⎝⎛⎭⎫1x 得f (x )＝2x －1x.答案：f (x )＝2x －1x5．(·天津模拟)函数f (x )＝⎩⎪⎨⎪⎧f (x ＋2)，x ＜2，2－x ，x ≥2，则f (－3)的值为( )A ．2B ．8 C.18 D.12解析：f (－3)＝f (－3＋2)＝f (－1)＝f (－1＋2)＝f (1)＝f (1＋2)＝f (3)＝2－3＝18.答案：C6．设定义在R 上的函数f (x )满足f (x )·f (x ＋2)＝13，若f (1)＝2，则f (99)等于( )A ．13B ．2 C.132D.213解析：由f (x )·f (x ＋2)＝13，得f (x ＋2)＝13f (x )，∴f (x ＋4)＝f [(x ＋2)＋2]＝13f (x ＋2)＝f (x )，即f (x )是以4为周期的函数． 而99＝4×25－1，因此f (99)＝f (－1)＝13f (1)＝132.答案：C考点三：求函数的定义域7．函数f (x )＝1xln(x 2－3x ＋2＋－x 2－3x ＋4)的定义域为( )A ．(－∞，－4]∪[2，＋∞)B ．(－4,0)∪(0,1)C ．[－4,0)∪(0,1]D ．[－4,0)∪(0,1) 解析：由题意知⎩⎪⎨⎪⎧x ≠0，x 2－3x ＋2≥0，－x 2－3x ＋4≥0，x 2－3x ＋2＋－x 2－3x ＋4＞0⇒⎩⎪⎨⎪⎧x ≠0，x ≥2或x ≤1，－4≤x ≤1，x ≠1⇒－4≤x ＜0或0＜x ＜1.故选D. 答案：D8．若函数f (2x )的定义域是[－1,1]，求f (log 2x )的定义域． 解：∵y ＝f (2x )的定义域是[－1,1]， ∴12≤2x ≤2.∴y ＝f (x )的定义域是[12，2]． 由12≤log 2x ≤2得2≤x ≤4. ∴y ＝f (log 2x )的定义域是[2，4].[感悟高考]1.设函数f (x )＝⎩⎪⎨⎪⎧1－x 2，x ≤1，x 2＋x －2，x ＞1，则f [1f (2)]的值为( )A.1516 B ．－2716C.89D ．18解析：f (2)＝22＋2－2＝4，1f (2)＝14，f (14)＝1－(14)2＝1516. 答案：A2．函数y ＝x (x －1)＋x 的定义域为( )A ．{x |x ≥0}B ．{x |x ≥1}C ．{x |x ≥1}∪{0}D ．{x |0≤x ≤1}解析：由⎩⎪⎨⎪⎧x (x －1)≥0，x ≥0，得x ≥1或x ＝0.∴函数y ＝x (x －1)＋x 的定义域为{x |x ≥1}∪{0}．答案：C3．函数y ＝ln(x ＋1)－x 2－3x ＋4的定义域为( )A ．(－4，－1)B ．(－4,1)C ．(－1,1)D ．(－1,1]解析：⎩⎪⎨⎪⎧x ＋1＞0，－x 2－3x ＋4＞0，解得－1＜x ＜1.答案：C[高考预测]1.函数f (x )＝1log 2(－x 2＋4x －3)的定义域为( )A ．(1,2)∪(2,3)B ．(－∞，1)∪(3，＋∞)C ．(1,3)D ．[1,3]解析：欲使f (x )有意义，x 必满足⎩⎪⎨⎪⎧－x 2＋4x －3＞0，－x 2＋4x －3≠1.解得x ∈(1,2)∪(2,3)． 答案：A2．已知f (x )＝⎩⎪⎨⎪⎧ 3x ＋1，x ≥0，x 2，x ＜0，g (x )＝⎩⎪⎨⎪⎧2－x 2，x ≤0，2，x ＞0，求f [g (x )]的表达式．解：x ＞0时，f [g (x )]＝f (2)＝7，当⎩⎪⎨⎪⎧ 2－x 2≥0，x ≤0，即－2≤x ≤0时， f [g (x )]＝f (2－x 2)＝3(2－x 2)＋1＝7－3x 2；当⎩⎪⎨⎪⎧2－x 2＜0，x ≤0，即x ＜－2时，f [g (x )]＝f (2－x 2)＝(2－x 2)2.∴f [g (x )]＝⎩⎨⎧7，x ＞0，7－3x 2，－2≤x ≤0，(2－x 2)2，x ＜－ 2.。

1.[2021·郑州质检一]等差数列{a n }的前n 项和为S n ，且S 3＝6，a 3＝0，则公差d 等于( )A.－1 B ．1 C.2 D ．－2答案 D解析 S 3＝3a 2＝6，即a 2＝2， 故d ＝a 3－a 2＝－2.2.[2021·西安八校联考]在等差数列{a n }中，a 1＝0，公差d ≠0，若a m ＝a 1＋a 2＋…＋a 9，则m 的值为( )A.37 B ．36 C.20 D ．19 答案 A解析 a m ＝a 1＋a 2＋…＋a 9＝9a 1＋9×82d ＝36d ＝a 37，故选A.3.设数列{a n }是首项为a 1，公差为1的等差数列，S n 为其前n 项和．若S 1、S 2、S 4成等比数列，则a 2021＝( )A.4030 B ．4029 C.2022 D.40292 答案 D解析 由于S 1、S 2、S 4成等比数列，所以S 22＝S 1S 4，所以(2a 1＋1)2＝a 1(4a 1＋6)，解得a 1＝12.所以a n ＝12＋(n －1)×1＝n －12(n ∈N *)，故a 2021＝40292，选D.4.已知等比数列{a n }的各项都是正数，且a 1，12a 3,2a 2成等差数列，则a 9＋a 10a 7＋a 8＝( )A.3＋2 2 B ．3－2 2 C.2＋3 2D ．2＋2 2 答案 A解析 设等比数列{a n }的公比为q ，且q >0.由于a 1，12a 3,2a 2成等差数列，所以a 3＝a 1＋2a 2，即a 1q 2＝a 1＋2a 1q ，解得q ＝1＋2，所以a 9＋a 10a 7＋a 8＝q 2＝(1＋2)2＝3＋22，故选A.5.若a ，b ，c 成等比数列，其中0<a <b <c <1，n ∈N *，且n ≠1，则log a n ，log b n ，log c n 组成的数列( )A.是等比数列B.是等差数列C.每项的倒数成等差数列D.其次项与第三项分别是第一项与其次项的n 次幂 答案 C解析 解法一：1log c n －1log b n ＝log n c －log n b ＝log n c b ，1log b n －1log a n ＝log n b －log n a＝log n b a ，∵c b ＝b a ，∴1log c n －1log b n ＝1log b n －1log a n ，即各项的倒数成等差数列．故选C.解法二：取a ＝18，b ＝14，c ＝12，n ＝2，则log a n ＝－13，log b n ＝－12，log c n ＝－1，所以各项的倒数成等差数列．故选C.6.已知正项数列{a n }的前n 项和为S n ，若{a n }和{S n }都是等差数列，且公差相等，则a 2＝( )A.34 B ．1 C.43 D.12答案 A解析 由题意可设数列{a n }的首项为a 1(a 1>0)，公差为d (d ≥0)．由于正项数列{a n }的前n 项和为S n ，所以S 1＝a 1，S 2＝2a 1＋d ，S 3＝3a 1＋3d .又{S n }。

高中数学2-1题型训练及答案解析一、 选择题 （本题共计 12 小题 ，每题 5 分 ，共计60分 ， ）1. 命题“若a <b ，则ac 2<bc 2”及它的逆命题、否命题、逆否命题这四个命题中真命题有（ ） A.0个 B.2个C.3个D.4个2. 观察下面的圆锥曲线，其中离心率最小的是( )A. B.C. D.3. 命题“对任意x ∈R ，都有x 2−2x +4≤0”的否定为（ ） A.对任意x ∈R ，都有x 2−2x +4≥0 B.对任意x ∈R ，都有x 2−2x +4≤0C.存在x 0∈R ，使得x 02−2x 0+4>0 D.存在x 0∈R ，使x 02−2x 0+4≤04. 已知向量a →=(4,x )，b →=(x,9)，若a →=λb →(λ<0)，则λ=( ) A.−23 B.−32C.−6D.−35. 已知球O ，D 为球面上一点，DO 垂直过球心的截面圆圆O ，AC 为圆O 的直径，B 为弧AC 的中点，E 为BC 的中点．则下列说法正确的是（ ） A.BC ⊥平面BODB. AB//平面DCEC. AC ⊥BDD. OB//DC6. 下列结论不正确的是（ ） ①.1210+1210+1+1210+2+⋯+1211−1>1 ②若|a|<1，则|a +b|−|a −b|>2 ③lg 9⋅lg 11<1④若x >0，y >0，则x+y1+x+y <x1+x +y1+y ． A.①② B.①②③ C.①②④ D.①③7. 设有一个质点位于A(1, 1, −2)处，在力F →=(2, 2, 2√2) 的作用下，该质点由A 位移到B(3, 4, −2+√2)时，力F →所作的功(W =F →⋅S →)的大小为（ ） A.16 B.14 C.12 D.108. 若p 是假命题，q 是真命题，则①p ∧q 是假命题；②p ∨q 是假命题；③(¬p)∨q 是假命题；④(¬p)∨(¬q)是假命题，其中正确的个数是( ) A.1 B.2 C.0 D.39. 已知i ，j ，k 是空间直角坐标系O −xyz 的单位正交基底，并且AB →=−i +j −k ，则B 点的坐标为( ) A.(−1, 1, −1) B.(−i, j, −k) C.(1, −1, −1) D.不确定10. 已知命题 p: ∃x ∈R ， x 2<0 ；命题q ：：函数f(x)=x −(12)x 有一个零点，则下列命题为真命题的是( ) A.p ∧q B.p ∨q C.¬q D.p ∧(¬q)11. 已知直线1的方向向量a →=(−1, 2, 1)，平面α的法向量b →=(−2, 4, 2)，则直线1与平面α的位置关系是（ ） A.l // α B.l ⊥α C.l ⊂α D.l ∈α12. 若A(0, 2, 198)，B(1, −1, 58)，C(−2, 1, 58)是平面α内的三点，设平面α的法向量a →=(x, y, z)，则x:y:z =A.2:3：(−4)B.1:1:1C.−12:1:1D.3:2:4二、 填空题 （本题共计 6 小题 ，每题 5 分 ，共计30分 ， ）13. 已知命题p:∀x ∈R ，x 2−x +1>0，则命题¬p 是________．14. 命题“在平面内的一条直线，如果和这个平面的一条斜线的射影垂直，那么它也和这条斜线垂直．”的逆命题是________命题（填“真”或“假”）．15. 若“∀x ∈[−π4,π4]，tan x ≤m ”是真命题，则实数m 的最小值为________．16. 在平面直角坐标系xOy 中，圆C ：(x +2)2+(y −m)2=3.若圆C 存在以G 为中点的弦AB ，且AB =2GO ，则实数m 的取值范围是________.17. 在空间直角坐标系O −xyz 中，点M(1, −1, 2)关于平面xoy 对称的点的坐标为________．18. 以双曲线x 24−y 212=1的焦点为顶点，顶点为焦点的椭圆方程是________．三、 解答题 （本题共计 6 小题 ，每题 10 分 ，共计60分 ， ）19. 已知椭圆C:x 2a2+y 2b 2=1(a >b >0)过点(√2, 1)，且离心率为√22．（1）求椭圆C 的方程；（2）是否存在过点P(0, 3)的直线l 与椭圆C 相交于A ，B 两点，且满足PB ¯=2PA ¯，若存在，求出直线l 的方程；若不存在，请说明理由．20. 已知椭圆C:4x 2+y 2=16. (1)求椭圆C 的长轴长和短轴长 ;(2)求椭圆C 的焦点坐标和离心率;(3)直线l:y=−2x+4与椭圆C相交于A，B两点，求AB的长．21. 已知m为实常数．命题p：方程x22m −y2m−6=1表示焦点在y轴上的椭圆；命题q：方程x2m+1+y2m−1=1表示双曲线．(1)若命题p为真命题，求m的取值范围；(2)若命题q为假命题，求m的取值范围；(3)若命题p或q为真命题，且命题p且q为假命题，求m的取值范围．22. 已知双曲线C的离心率为√3，且过(√3, 0)点，过双曲线C的右焦点F2，做倾斜角为π3的直线交双曲线于A，B两点，O为坐标原点，F1为左焦点．（1）求双曲线的标准方程；（2）求△AOB的面积．23. 已知△ABC的顶点A(2, −1)，B(4, 3)，C(4, −2)，求：（1）BC边上中线AD所在直线的一个方向向量的坐标（2）∠A的平分线AM所在直线的一个方向向量的坐标．24. 已知抛物线E:y2=2px(p>0)的焦点到直线l:x+y+1=0的距离为3√24．（1）求抛物线E的方程；（2）若直线AB是经过定点Q(2,0)的一条直线，且与抛物线E交于A，B两点，过定点Q作AB的垂线与抛物线交于G，D两点，求四边形AGBD面积的最小值．参考答案与试题解析高中数学2-1题型训练及答案解析一、 选择题 （本题共计 12 小题 ，每题 5 分 ，共计60分 ）1.【解答】∵ a <b ，若c 2＝0，则ac 2<bc 2不成立，则原命题是假命题，所以它的逆否命题是假命题； 则逆命题为若ac 2<bc 2，则a <b ， ∵ ac 2>bc 2； ∴ c 2>0； ∴ a >b ；∴ 逆命题是真命题，所以它的否命题是真命题； ∴ 真命题个数是2． 2.【解答】解：因为抛物线的离心率为1，双曲线的离心率大于1，椭圆的离心率小于1，所以排除选项C ，D ． 又因为椭圆的离心率越大，椭圆越扁， 所以A 中的离心率大于B 中的离心率． 故选B ． 3.【解答】解：根据全称命题的否定是特称命题得：存在x 0∈R ，使得x 02−2x 0+4>0， 故选：C 4.【解答】解：已知向量a →=(4,x)，b →=(x,9)， 若a →=λb →，即{4=λxx =9λ，又λ<0，解得λ=−23.故选A . 5.【解答】 此题暂无解答 6.【解答】 对于①，12+12+1+12+2+⋯+12−1<12+12+⋯+12=1，故①不正确；对于②若|a|<1，则|a +b|−|a −b|≤|(b +a)−(b −a)|＝2|a|<2，故②不正确； 对于③，lg 9⋅lg 11<(lg 9+lg 112)2<lg 21004=1，故③正确；对于④，若x >0，y >0，由x1+x >x1+x+y ，y1+y >y1+x+y ， 可得x+y1+x+y <x1+x +y1+y ，故④正确． 7.【解答】解：∵ A(1, 1, −2)，B(3, 4, −2+√2)， ∴ AB →=(2, 3, √2)即S →=AB →=(2, 3, √2)， 又∵ F →=(2, 2, 2√2)，∴ W =F →⋅S →=2×2+3×2+√2×2√2=14， ∴ 力F →所作的功(W =F →⋅S →)的大小为14． 故选：B ． 8.【解答】解：p ∧q 是假命题，①正确； p ∨q 是真命题，②错误； (¬p)∨q 是真命题，③错误； (¬p)∨(¬q)是真命题，④错误. 综上所述，正确的只有①. 故选A . 9.【解答】解：∵ i ，j ，k 是空间直角坐标系O −xyz 的单位正交基底， 并且AB →=−i +j −k ， A 点坐标不确定，∴ B 点的坐标也不确定． 故选D ． 10.【解答】解：∵ 任意x ∈R 都使得x 2≥0 ， ∴ 命题 p 是假命题；∵ 函数y =x 与函数(y =12)x 只有一个交点， ∴ 函数f(x)=x −(12)x 有一个零点，∴ 命题 q 是真命题. ∴ p ∨q 是真命题. 故选B . 11.【解答】∵ 直线1的方向向量a →=(−1, 2, 1)，平面α的法向量b →=(−2, 4, 2)， ∴ b →=2a →∴ 则b →与a →共线，可得：l ⊥a ．12.【解答】解：AB →=(1,−3,−74)，BC →=(−3,2,0)， ∵ 平面α的法向量为a →=(x, y, z)，∴ {a →⋅BC →=−3x +2y =0˙，取y =3，则x =2，z =−4． ∴ x:y:z =2:3：(−4)． 故选A ．二、 填空题 （本题共计 6 小题 ，每题 5 分 ，共计30分 ） 13.【解答】 此题暂无解答 14.【解答】解：命题的逆命题为：“在平面内的一条直线，如果和这个平面的一条斜线垂直，那么它也和这条斜线的射影垂直”．如图：已知b ⊂α，满足b ⊥AP ， 过P 作PO ⊥α于O ，则PO ⊥b ， ∵ AP ∩PO =P ， ∴ b ⊥面APO ， ∵ AO ⊂面APO ， ∴ b ⊥A0，∴ 逆命题为真命题．故答案为：真．15.【解答】∵ “∀x ∈[−π4,π4]，tan x ≤m ”是真命题，即m ≥(tan x)max ； 而y ＝tan x 在x ∈[−π4,π4]单调递增，(tan x)max ＝tan π4=1． 故m ≥1，则实数m 的最小值为1． 16.【解答】解：由于圆C 存在以G 为中点的弦AB ，且AB =2GO ，故OA ⊥OB . 圆上要存在满足题意的点A ， 只需∠COB ≥45∘.连接CB ，由C(−2,m)，可得|CO|=√m 2+4,|CB|=√3， sin ∠COB =|CB||CO|=√3√m 2+4≥sin 45∘，即√3√m 2+4≥√22，所以−√2≤m ≤√2.故答案为：−√2≤m ≤√2.17.【解答】解：由题意，关于平面xoy 对称的点横坐标、纵坐标保持不变，第三坐标变为它的相反数，从而有点M(1, −1, 2)关于平面xoy 对称的点的坐标为(1, −1, −2) 故答案为：(1, −1, −2) 18.【解答】解：双曲线 x 24−y 212=1的顶点为(2, 0)和(−2, 0)，焦点为(−4, 0)和(4, 0)． ∴ 椭圆的焦点坐标是(2, 0)和(−2, 0)，顶点为(−4, 0)和(4, 0)． ∴ 椭圆方程为 x 216+y 212=1． 故答案为：x 216+y 212=1．三、 解答题 （本题共计 6 小题 ，每题 10 分 ，共计60分 ） 19.【解答】由已知点代入椭圆方程得2a2+1b 2=1，由e =√22得c a =√22可转化为a 2＝2b 2， 由以上两式解得a 2＝4，b 2＝2， 所以椭圆C 的方程为：x 24+y 22=1．存在这样的直线．当l 的斜率不存在时，显然不满足PB →=2PA →，所以设所求直线方程l:y ＝kx +3代入椭圆方程化简得：(1+2k 2)x 2+12kx +14＝0， x 1+x 2=−12k1+2k 2①，x 1x 2=141+2k 2②△＝(12k)2−4×14×(1+2k 2)>0，k 2>74， 设所求直线与椭圆相交两点A(x 1, y 1)，B(x 2, y 2)， 由已知条件PB →=2PA →可得x 2＝2x 1③，综合上述①②③式子可解得k 2=72>74 符合题意， 所以所求直线方程为：y =±√142x +3．20.【解答】解：(1)∵ 4x 2+y 2=16，∴y216+x24=1，∴a=4，b=2，c=2√3；∴椭圆C的长轴长为8，短轴长为4；(2)由(1)知，椭圆C的焦点坐标为(0, −2√3)，(0, 2√3)；离心率e=ca =√32；(3)联立方程{y=−2x+44x2+y2=16，消y化简解得：故x=0或x=2；故y=4或y=0；故A(0, 4)，B(2, 0)；故|AB|=√42+22=2√5．21.【解答】解：(1)据椭圆的标准方程可得：命题p为真命题时，−(m−6)>2m>0，解之得0<m<2；故命题p为真命题时m的取值范围为(0, 2)；(2)根据双曲线的标准方程，若命题q为真命题，则(m+1)(m−1)<0，解得−1<m<1，故命题q为假命题时m的取值范围(−∞, −1]∪[1, +∞)；(3)由题意，命题p与q一真一假，当p真q假时有{0<m<2, m≤−1, m≥1,解得1≤m<2；当p假q真时有{−1<m<1, m≤0,m≥2,解得−1<m≤0，综上m的取值范围是(−1, 0]∪[1, 2)．22.【解答】有题意可得，双曲线的焦点在x轴上，且a=√3，ca=√3，b2＝c2−a2，解得：a2＝3，b2＝6，所以双曲线的方程：x 23−y26=1；由（1）可得F2(3, 0)，F1(−3, 0)，由题意设y =√3(x −3)，设交点A(x 1, y 1)，B(x 2, y 2)， 联立直线与双曲线的方程：{y =√3(x −3)2x 2−y 2=6，整理可得：x 2−18x +33＝0，x 1+x 2＝18，x 1x 2＝33， 所以S AOB =12|OF 2|⋅|y 1−y 2|=12⋅3⋅√3√(x 1+x 2)2−4x 1x 2=3√32⋅√182−4×33=12，即△AOB 的面积为12． 23.【解答】解：（1）∵ △ABC 的顶点A(2, −1)，B(4, 3)，C(4, −2)， ∴ BC 边上中点D(4, 12)，∴ k AD =12−(−1)4−2=34，∴ AD 所在直线的一个方向向量的坐标为(1, 34)； （2）由斜率公式可得k AB =−1−32−4=2，k AC =−2−(−1)4−2=−12，设∠A 的平分线AM 所在直线的斜率为k ，则k−21+2k =−12−k 1−12k，解得k =−3或k =−13，结合点的位置可得k =−13，∴ ∠A 的平分线AM 所在直线的一个方向向量的坐标为(1, −13) 24.【解答】 此题暂无解答。

高考数学总复习：第一节 函数及其表示学习要求:1.了解构成函数的要素,会求一些简单函数的定义域和值域;了解映射的概念.2.在实际情境中,会根据不同的需要选择恰当的方法(如图象法、列表法、解析法)表示函数.3.了解简单的分段函数,并能简单应用.1.函数与映射的概念函数映射两集合A 、B设A 、B 是两个① 非空数集 设A 、B 是两个② 非空集合对应关系f :A →B按照某种确定的对应关系f ,使对于集合A中的③ 任意 一个数x ,在集合B 中都有④ 唯一确定 的数f (x )与之对应按某种确定的对应关系f ,使对于集合A 中的⑤ 任意 一个元素x ,在集合B 中都有⑥ 唯一确定 的元素y 与之对应名称 称f :A →B 为从集合A 到集合B 的一个函数 称对应f :A →B 为从集合A 到集合B 的一个映射记法y =f (x ),x ∈A 对应f :A →B▶提醒 判断一个对应关系是不是函数关系,就看这个对应关系是否满足函数定义中“定义域内的任意一个自变量的值都有唯一确定的函数值”这个核心点.2.函数的有关概念 (1)函数的定义域、值域:在函数y =f (x ),x ∈A 中,x 叫做自变量,x 的取值范围A 叫做函数的⑦ 定义域 ;与x 的值相对应的y 值叫做函数值,函数值的集合{f (x )|x ∈A }叫做函数的⑧ 值域 .(2)函数的三要素:⑨ 定义域 、值域和对应关系.(3)相等函数:若两个函数的⑩ 定义域 相同,且 对应关系 完全一致,则这两个函数相等,这是判断两函数相等的依据.(4)函数的表示方法: 解析法 、图象法、列表法.3.分段函数若函数在其定义域内,对于定义域内的不同取值区间,有着不同的对应关系,这样的函数通常叫做分段函数.分段函数虽然由几部分组成,但它表示的是一个函数.▶提醒一个分段函数的解析式要把每一段写在一个大括号内,各段函数的定义域不可以相交.知识拓展1.常见函数的定义域(1)分式函数中分母不等于0.(2)偶次根式函数的被开方式大于等于0.(3)一次函数、二次函数的定义域为R.(4)y=a x(a>0且a≠1),y=sin x,y=cos x的定义域均为R.(5)y=tan x的定义域为{x|x∈R且x≠xπ+π2,x∈Z}.(6)函数f(x)=x0的定义域为{x|x∈R且x≠0}.(7)y=log a x(a>0,且a≠1)的定义域为{x|x>0}.2.基本初等函数的值域(1)y=kx+b(k≠0)的值域是R.(2)y=ax2+bx+c(a≠0)的值域:当a>0时,值域为[4xx-x24x ,+∞);当a<0时,值域为(-∞,4xx-x24x].(3)y=xx(k≠0)的值域是{y|y≠0}.(4)y=a x(a>0且a≠1)的值域是(0,+∞).(5)y=log a x(a>0且a≠1)的值域是R.1.判断正误(正确的打“√”,错误的打“✕”).(1)函数y=1与y=x0是同一个函数.()(2)f(x)=√x-3+√2-x是一个函数.()(3)若两个函数的定义域与值域相同,则这两个函数相等.()(4)函数y=f(x)的图象与直线x=1的交点最多有1个.()答案(1)✕(2)✕(3)✕(4)√2.若函数y =f (x )的定义域为M ={x |-2≤x ≤2},值域为N ={y |0≤y ≤2},则函数y =f (x )的图象可能是 ( )答案 B3.(新教材人教A 版必修第一册P65例2改编)函数f (x )=√2x的定义域为 ( )A.(0,+∞)B.[0,+∞)C.(1,+∞)D.[1,+∞) 答案 A 要使f (x )=2x有意义,需满足2x-1>0,解得x >0,∴函数f (x )=2x的定义域为(0,+∞),故选A.4.(2020山东威海一中期中)已知函数f (x )的定义域为(-1,0),则函数f (2x -2)的定义域为( ) A.(-1,1) B.(-1,-12) C.(-1,0) D.(12,1)答案 D ∵f (x )的定义域为(-1,0),∴-1<2x -2<0,解得12<x <1,∴函数f (2x -2)的定义域为(12,1),故选D .5.已知f (x )是一次函数,且f [f (x )]=x +2,则f (x )= ( )A.x +1B.2x -1C.-x +1D.x +1或-x -1答案 A 因为f (x )是一次函数,所以可设f (x )=kx +b (k ≠0).由f [f (x )]=x +2得k (kx +b )+b =x +2,即k 2x +kb +b =x +2,所以k 2=1,kb +b =2,解得k =1,b =1,则f (x )=x +1.故选A.函数、映射概念的理解典例1 (1)给出下列四个对应:①A =R,B =R,对应关系f :x →y ,y =1x +1,x ∈A ,y ∈B ;②A ={x |12x ∈N *},B ={x |x =1x,x ∈N *},对应关系f :a →b ,b =1x;③A ={x |x ≥0},B =R,对应关系f :x →y ,y 2=x ,x ∈A ,y ∈B ;④A ={x |x 是平面α内的矩形},B ={y |y 是平面α内的圆},对应关系f :每一个矩形都对应它的外接圆. 其中是从A 到B 的映射的为( )A.①③B.②④C.①④D.③④ (2)下列函数中,与函数y =x +1是相等函数的是 ( )A.y =(√x +1)2B.y =√x 33+1C.y =x 2x+1 D.y =√x 2+1答案 (1)B (2)B解析 (1)对于①,当x =-1时,y 的值不存在,所以①不是从A 到B 的映射;对于②,A ,B 是两个集合,分别用列举法表述为A ={2,4,6,…},B ={1,12,13,14,…},由对应关系f :a →b ,b =1x 知,②是从A 到B 的映射;③不是从A 到B 的映射,如A 中的元素1对应B 中两个元素±1;④是从A 到B 的映射.(2)对于A,函数y =(√x +1)2的定义域为{x |x ≥-1},与函数y =x +1的定义域不同,不是相等函数;对于B,两个函数的定义域和对应关系都相同,是相等函数;对于C,函数y =x 2x +1的定义域为{x |x ≠0},与函数y =x +1的定义域不同,不是相等函数;对于D,两个函数的定义域相同,但对应关系不同,不是相等函数,故选B .名师点评1.定义域和值域都相同的两个函数不一定是相等函数.2.判断一个从集合A 到集合B 的对应是不是一个函数(映射)的依据可归纳为可以一对一,也可以多对一,但不能一对多.1.下列对应关系:①A ={1,4,9},B ={-3,-2,-1,1,2,3}, f :x →x 的平方根; ②A =R,B =R, f :x →x 的倒数; ③A =R,B =R, f :x →x 2-2;④A ={-1,0,1},B ={-1,0,1}, f :x →x 2. 其中是A 到B 的映射的是 ( )A.①③B.②④C.③④D.②③ 答案 C2.下列四组函数中,表示相等函数的一组是 ( )A.f (x )=|x |,g (x )=√x 2B.f (x )=√x 2,g (x )=(√x )2C.f (x )=x 2-1x -1,g (x )=x +1D.f (x )=√x +1·√x -1,g (x )=√x 2-1 答案 A函数的定义域角度一 具体函数的定义域典例2 (1)函数f (x )=√x +1+lg(6-3x )的定义域为 ( )A.(-∞,2)B.(2,+∞)C.[-1,2)D.[-1,2] (2)函数f (x )=√4-|x |+lgx 2-5x +6x -3的定义域为 ( )A.(2,3)B.(2,4]C.(2,3)∪(3,4]D.(-1,3)∪(3,6] 答案 (1)C (2)C解析 (1)要使函数f (x )=√x +1+lg(6-3x )有意义,则{x +1≥0,6-3x >0,即-1≤x <2.故函数f (x )的定义域为[-1,2).(2)要使函数f (x )有意义,需满足{4-|x |≥0,x 2-5x +6x -3>0,即{|x |≤4,(x -3)(x -2)x -3>0,解得2<x <3或3<x ≤4,故f (x )的定义域为(2,3)∪(3,4].角度二 已知函数定义域,求参数的取值范围典例3 (1)(2019河北衡水联考)若函数y =xx -1xx 2+4xx +3的定义域为R,则实数m 的取值范围是 ( )A.(0,34]B.(0,34)C.[0,34]D.[0,34)(2)若函数f (x )=√xx 2+xxx +x 的定义域为{x |1≤x ≤2},则a +b 的值为 . 答案 (1)D (2)-92解析 (1)要使函数的定义域为R, 则mx 2+4mx +3≠0恒成立, ①当m =0时,显然满足条件; ②当m ≠0时,由Δ=(4m )2-4m ×3<0, 得0<m <34. 综上可知,0≤m <34.(2)函数f (x )=√xx 2+xxx +x 的定义域是不等式ax 2+abx +b ≥0的解集.由题意知不等式ax 2+abx +b ≥0的解集为{x |1≤x ≤2}, 所以{x <0,1+2=-x ,1×2=xx,解得{x =-32,x =-3, 所以a +b =-32-3=-92. 角度三 抽象函数的定义域典例4 已知函数f (x )的定义域是[0,2],则函数g (x )=f (x +12)+f (x -12)的定义域是 .答案 [12,32]解析 因为函数f (x )的定义域是[0,2],所以函数g (x )=f (x +12)+f (x -12)中的自变量x 需要满足{0≤x +12≤2,0≤x -12≤2,解得12≤x ≤32,所以函数g (x )的定义域是[12,32]. ◆变式探究 若函数y =f (x )的定义域是[0,2],则函数g (x )=x (2x )x -1的定义域是 .答案 [0,1)解析 由题意得{0≤2x ≤2,x -1≠0,解得0≤x <1,所以g (x )的定义域为[0,1).名师点评简单函数定义域的类型及求法(1)已知函数的解析式,构造使解析式有意义的不等式(组)求解. (2)抽象函数:①若已知函数f (x )的定义域为[a ,b ],则函数f [g (x )]的定义域由不等式a ≤g (x )≤b 求出; ②若已知函数f [g (x )]的定义域为[a ,b ],则f (x )的定义域为g (x )在x ∈[a ,b ]时的值域.1.(1)函数f (x )=√2x -1-1的定义域是 . (2)函数f (x )=(x -12)0√x +2的定义域是 .答案 (1)(1,3] (2)(-2,12)∪(12,+∞) 2.若函数y =的定义域为R,则实数a 的取值范围是 .答案 [0,12)解析 由题意得ax 2-4ax +2>0恒成立, 则a =0或{x >0,x =(-4x )2-4×x ×2<0,解得0≤a <12.3.已知函数y =f (x 2-1)的定义域为[0,2],则函数g (x )=x (2x )x -1的定义域是 .答案 [-12,1)∪(1,32]解析 因为y =f (x 2-1)的定义域为[0,2],所以x ∈[0,2],x 2-1∈[-1,3],所以{-1≤2x ≤3,x -1≠0,解得-12≤x ≤32且x ≠1,所以函数g (x )的定义域是[-12,1)∪(1,32].函数的解析式典例5 (1)已知二次函数f (2x +1)=4x 2-6x +5,求f (x ). (2)已知函数f (x )满足f (-x )+2f (x )=2x,求f (x ). 解析 (1)解法一(待定系数法):因为f (x )是二次函数,所以设f (x )=ax 2+bx +c (a ≠0),则f (2x +1)=a (2x +1)2+b (2x +1)+c =4ax 2+(4a +2b )x +a +b +c.因为f (2x +1)=4x 2-6x +5,所以{4x =4,4x +2x =-6,x +x +x =5,解得{x =1,x =-5,x =9,所以f (x )=x 2-5x +9(x ∈R). 解法二(换元法): 令2x +1=t (t ∈R),则x =x -12,所以f (t )=4(x -12)2-6·x -12+5=t 2-5t +9(t ∈R),所以f (x )=x 2-5x +9(x ∈R).解法三(配凑法):因为f (2x +1)=4x 2-6x +5=(2x +1)2-10x +4=(2x +1)2-5(2x +1)+9, 所以f (x )=x 2-5x +9(x ∈R).(2)(解方程组法)由f (-x )+2f (x )=2x①, 得f (x )+2f (-x )=2-x②,①×2-②得3f (x )=2x +1-2-x,即f (x )=2x +1-2-x3.故函数的解析式是f (x )=2x +1-2-x3(x ∈R).方法技巧求函数解析式的常用方法(1)配凑法:由已知条件f (g (x ))=F (x ),可将F (x )改写成关于g (x )的式子,然后以x 替代g (x )得f (x )的解析式.(2)换元法:已知函数f (g (x ))的解析式,求f (x )的解析式时可用换元法,即令g (x )=t ,从中解出x ,代入已知解析式进行换元,此时要注意新元的取值范围.(3)待定系数法:若已知函数的类型(如一次函数、二次函数),则可用待定系数法.(4)解方程组法:已知关于f (x )与f (1x )或f (-x )的等式,可根据已知条件构造出等式,组成方程组,通过解方程组求出f (x )的解析式.(2020河北衡水中学调研)已知f (x )是二次函数,且f (0)=0, f (x +1)=f (x )+x +1.求f (x )的解析式.解析 设f (x )=ax 2+bx +c (a ≠0), 由f (0)=0知c =0,则f (x )=ax 2+bx ,又由f (x +1)=f (x )+x +1得a (x +1)2+b (x +1)=ax 2+bx +x +1, 即ax 2+(2a +b )x +a +b =ax 2+(b +1)x +1,所以{2x +x =x +1,x +x =1,解得a =b =12,所以f (x )=12x 2+12x (x ∈R).分段函数角度一 分段函数的最值问题典例6 已知函数f (x )={x 2-2xx +9,x ≤1,x +4x +x ,x >1,若f (x )的最小值为f (1),则实数a 的取值范围是 .答案 [2,+∞)解析 当x >1时, f (x )=x +4x +a ≥4+a ,当且仅当x =2时,等号成立.当x ≤1时, f (x )=x 2-2ax +9为二次函数,要想在x =1处取最小值,则函数图象的对称轴要满足x =a ≥1,并且f (1)≤4+a ,即1-2a +9≤a +4,解得a ≥2.角度二 已知函数值,求参数的值(或取值范围)典例7 设函数f (x )={x 2+2x ,x <0,x +1,x ≥0,则f (-1)= ;若f (a )>f (a -1),则实数a 的取值范围是 .答案 -1;(-12,+∞)名师点评分段函数问题的求解策略(1)根据分段函数的解析式求函数值.首先确定自变量的值属于哪个区间,其次选定相应的解析式代入求解.(2)已知函数值或函数的取值范围求自变量的值或范围时,应根据每一段的解析式分别求解,但要注意检验所求自变量的值或范围是否符合相应段的自变量的取值范围.1.(2020辽宁盘锦一中模拟)已知函数f (x )={2e x -1,x <1,x 3+x ,x ≥1,则f (f (x ))<2的解集为 ( )A.(1-ln 2,+∞)B.(-∞,1-ln 2)C.(1-ln 2,1)D.(1,1+ln 2)答案 B 因为当x ≥1时, f (x )=x 3+x ≥2,当x <1时, f (x )=2e x -1<2,所以f (f (x ))<2等价于f (x )<1,即2e x -1<1,解得x <1-ln 2, 所以f (f (x ))<2的解集为(-∞,1-ln 2),故选B.2.(2018课标全国Ⅰ文,12,5分)设函数f (x )={2-x ,x ≤0,1,x >0,则满足f (x +1)<f (2x )的x 的取值范围是 ( )A.(-∞,-1]B.(0,+∞)C.(-1,0)D.(-∞,0)答案 D 函数f (x )={2-x ,x ≤0,1,x >0的图象如图所示:由f (x +1)<f (2x )得{2x <0,2x <x +1,得{x <0,x <1.∴x <0,故选D .3.已知函数f (x )={log 2(3-x ),x ≤0,2x -1,x >0,若f (a -1)=12,则实数a = .答案 log 23解析 由题意知当a -1≤0,即a ≤1时,log 2(3-a +1)=12,解得a =4-√2>1,舍去.当a -1>0,即a >1时,2a -1-1=12,解得a =log 23>1,成立.故a =log 23.微专题——新定义函数的有关计算新定义函数问题是近几年高考中函数的热点题型,解答这类问题的关键在于阅读理解时准确把握新定义、新信息,并把它纳入已有的知识体系之中,用原来的知识和方法来解决新情境下的问题,一般有两方面的考查:(1)利用新函数进行计算;(2)讨论新函数的性质.典例 (2020浙江镇海中学高三模拟)定义符号函数sgn x ={1,x >0,0,x =0,-1,x <0,若f (x )是定义在R 上的减函数,g (x )=f (x )-f (ax )(a >1),则 ( )A.sgn[g (x )]=sgn xB.sgn[g (x )]=-sgn xC.sgn[g (x )]=sgn[f (x )]D.sgn[g (x )]=-sgn[f (x )] 答案 A解析 由题意知g (x )=f (x )-f (ax ),且f (x )是R 上的减函数, 当x >0时,x <ax ,则有f (x )>f (ax ), 则g (x )=f (x )-f (ax )>0, 此时sgn[g (x )]=1;当x =0时,x =ax ,则有f (x )=f (ax ), 则g (x )=f (x )-f (ax )=0, 此时sgn[g (x )]=0;当x <0时,x >ax ,则有f (x )<f (ax ), 则g (x )=f (x )-f (ax )<0, 此时sgn[g (x )]=-1. 综上所述,sgn[g (x )]=sgn x. 故选A.根据新定义得到f (x )的表达式,判断函数f (x )在定义域的单调性,可得结果.1.(2020辽宁大连高三月考)在实数的原有运算法则中,我们定义新运算 “x” 如下:当a ≥b 时,a x b =a ;当a <b 时,a x b =b 2,则函数f (x )=(1x x )·x -(2x x )(x ∈[-2,2])的最大值等于(“·”和“-”仍为通常的乘法和减法) ( )A.-1B.1C.12D.6 答案 D 因为a x b ={x ,x ≥x ,x 2,x <x ,所以f (x )=(1x x )·x -(2x x )={x -2,-2≤x ≤1,x 3-2,1<x ≤2,易知函数f (x )在[-2,2]上单调递增,所以f (x )max =f (2)=6,故选D.2.定义符号函数sgn x ={1,x >0,0,x =0,-1,x <0,则当x ∈R 时,不等式x +2>(2x -1)sgn x的解集为 .答案 {x |-3-√334<x <3}解析 当x >0时,不等式可转化为x +2>2x -1,解得0<x <3; 当x =0时,不等式可转化为2>1,不等式成立;当x <0时,不等式可转化为x +2>12x -1①,因为2x -1<0,所以①等价于(x +2)(2x -1)<1,即2x 2+3x -3<0,解得-3-√334<x <0.综上所述,不等式的解集为 {x |-3-√334<x <3}.A 组 基础达标1.下列各组函数中,表示同一个函数的是 ( )A.f (x )=x 2和f (x )=(x +1)2B.f (x )=(√x )2x和f (x )=(x )2C.f (x )=log a x 2和f (x )=2log a xD.f (x )=x -1和f (x )=√(x -1)2答案 B2.函数y =ln(x 2-x )+√4-2x 的定义域为 ( )A.(-∞,0)∪(1,+∞)B.(-∞,0)∪(1,2]C.(-∞,0)D.(-∞,2)答案 B 由已知得{x 2-x >0,4-2x≥0,解得{x <0或x >1,x ≤2,即x ∈(-∞,0)∪(1,2],故选B.3.已知函数f (x )的定义域为(-1,0),则函数f (2x +1)的定义域为( ) A.(-1,1) B.(-1,-12)C.(-1,0)D.(12,1)答案 B4.已知函数f (x +1)=3x +2,则f (x )= ( )A.3x +2B.3x +1C.3x -1D.3x +4 答案 C5.已知f (10x)=x ,则f (5)= ( )A.105B.510C.log 510D.lg 5 答案 D6.(2020湖南湘潭一中模拟)已知函数f (x )={x +1x -2,x >2,x 2+2,x ≤2,则f (f (1))= ( )A.-12 B.2 C.4 D.11 答案 C ∵函数f (x )={x +1x -2,x >2,x 2+2,x ≤2,∴f (1)=12+2=3,∴f (f (1))=f (3)=3+13-2=4.故选C.7.已知函数f (x )={3-x +1(x ≤0),x x +2(x >0),若f (f (-1))=18,则实数a 的值是 ( )A.0B.1C.2D.3 答案 C8.设函数f :R →R 满足f (0)=1,且对任意的x ,y ∈R 都有f (xy +1)=f (x )·f (y )-f (y )-x +2,则f (2 017)= ( ) A.0 B.1 C.2 017 D.2 018答案 D 令x =y =0,则f (1)=f (0)·f (0)-f (0)-0+2=1×1-1-0+2=2,令y =0,则f (1)=f (x )·f (0)-f (0)-x +2,将f (0)=1, f (1)=2代入得f (x )=1+x ,所以f (2 017)=2 018,故选D .9.(2020湖南郴州二中模拟)设x ∈R,用[x ]表示不超过x 的最大整数,则y =[x ]称为高斯函数.例如:[-2.1]=-3,[3.1]=3,已知函数f (x )=2x +32x +1,则函数y =[f (x )]的值域为 ( )A.{0,1,2,3}B.{0,1,2}C.{1,2,3}D.{1,2} 答案 D f (x )=2x +32x+1=2x +1+22x+1=1+22x+1,∵2x>0,∴1+2x>1,∴0<22x+1<2,∴1<1+22x +1<3,即1<f (x )<3.当1<f (x )<2时,[f (x )]=1;当2≤f (x )<3时,[f (x )]=2.综上,函数y =[f (x )]的值域为{1,2},故选D.B 组 能力拔高10.已知函数f (x )={(x -1)x +4-2x ,x <1,1+log 2x ,x ≥1,若f (x )的值域为R,则实数a 的取值范围是( )A.(1,2]B.(-∞,2]C.(0,2]D.[2,+∞)答案 A 当x ≥1时, f (x )=1+log 2x ≥1;当x <1时, f (x )=(a -1)x +4-2a 必须是增函数,且值域区间的右端点的值大于或等于1,才能满足f (x )的值域为R,可得{x -1>0,x -1+4-2x ≥1,解得1<a ≤2.11.(2020江苏苏州一中期中)已知函数f (x )={2x ,x ≤1,log 3(x -1),x >1,且f (x 0)=1,则x 0=( )A.0B.4C.0或4D.1或3 答案 C 当x 0≤1时,由f (x 0)=2x 0=1得x 0=0(满足x 0≤1);当x 0>1时,由f (x 0)=log 3(x 0-1)=1得x 0-1=3,得x 0=4(满足x 0>1),故选C. 12.(2020北京,11,5分)函数f (x )=1x +1+ln x 的定义域是 .答案 (0,+∞)解析 要使函数f (x )有意义,则{x +1≠0,x >0,故x >0,因此函数f (x )的定义域为(0,+∞). 13.(2019湖南衡阳模拟)已知函数f (x )=xxx -1,若f (x )+f (1x )=3,则f (x )+f (2-x )= .答案 6 解析 ∵f (x )=xx x -1, f (x )+f (1x)=3, ∴f (x )+f (1x )=xx x -1+xx 1x-1=xx x -1-x x -1=x (x -1)x -1=3,解得a =3,∴f (x )=3x x -1,∴f (x )+f (2-x )=3x x -1+6-3x 2-x -1=6(x -1)x -1=6.C 组 思维拓展14.(2020广东珠海一中模拟)已知x 为实数,用[x ]表示不超过x 的最大整数,例如[1.2]=1,[-1.2]=-2,[1]=1.对于函数f (x ),若存在m ∈R 且m ∉Z,使得f (m )=f ([m ]),则称函数f (x )是Ω函数. (1)判断函数f (x )=x 2-13x ,g (x )=sin πx 是不是Ω函数(只需写出结论);(2)已知f (x )=x +x x,请写出a 的一个值,使得f (x )为Ω函数,并给出证明. 解析 (1)f (x )=x 2-13x 是Ω函数,g (x )=sin πx 不是Ω函数. (2)a =32.证明:设k ∈N *,取a ∈(k 2,k 2+k ),令[m ]=k ,m =x x ,则一定有m -[m ]=xx -k =x -x 2x∈(0,1),且f (m )=f ([m ]),所以f (x )是Ω函数.。

[命题报告·教师用书独具]1．现向一个半径为R 的球形容器内匀速注入某种液体，下面图形中能表示在注入过程中容器的液面高度h 随时间t 变化的函数关系的是( )解析：从球的形状可知，水的高度开始时增加的速度越来越慢，当超过半球时，增加的速度又越来越快．答案：C2．已知f (x )＝⎩⎨⎧x ＋2，x ≤－1，x 2，－1<x <2，2x ，x ≥2，若f (x )＝3，则x 的值是( )A ．1B ．1或32 C ．1，32或±3D. 3解析：当x ≤－1时，f (x )的值域为(－∞，1]；当－1<x <2时，f (x )的值域为[0,4]；当x ≥2时，f (x )的值域为[4，＋∞)．而3∈[0,4)，所以f (x )＝x 2＝3，所以x ＝±3，又因为－1<x <2，所以x ＝ 3.答案：D3．已知a ，b 为实数，集合M ＝⎩⎨⎧⎭⎬⎫b a ，1，N ＝{a,0}，f ：x →x 表示把M 中的元素x 映射到集合N 中仍为x ，则a ＋b 等于( )A ．1B ．0C ．1D ．±1解析：a ＝1，b ＝0，∴a ＋b ＝1. 答案：C4．(2013年茂名模拟)已知函数f (x )满足：f (m ＋n )＝f (m )f (n )，f (1)＝3，则f 2(1)＋f (2)f (1)＋f 2(2)＋f (4)f (3)＋f 2(3)＋f (6)f (5)＋f 2(4)＋f (8)f (7)的值等于( ) A ．36 B ．24 C ．18D ．12 解析：∵f (m ＋n )＝f (m )f (n )，∴f (2n )＝f (n )f (n )，即f (2n )＝f 2(n )．且有f (n ＋1)＝f (n )f (1)＝3f (n )，即f (n ＋1)f (n )＝3，则f 2(1)＋f (2)f (1)＋f 2(2)＋f (4)f (3)＋f 2(3)＋f (6)f (5)＋f 2(4)＋f (8)f (7)＝2f (2)f (1)＋2f (4)f (3)＋2f (6)f (5)＋2f (8)f (7)＝2×3＋2×3＋2×3＋2×3＝24. 答案：B5．(2013年太原模拟)定义在R 上的函数f (x )满足f (x )＝⎩⎨⎧log 2(8－x )，x ≤0，f (x －1)－f (x －2)，x >0，则f (3)的值为( ) A ．1 B ．2 C ．－2D ．－3解析：依题意得f (3)＝f (2)－f (1)＝[f (1)－f (0)]－f (1)＝－f (0)＝－log 28＝－3，选D.答案：D 二、填空题6．下列四个命题正确的有________． ①函数是其定义域到值域的映射； ②y ＝x －3＋2－x 是函数；③函数y ＝2x (x ∈N )的图象是一条直线；④y ＝⎩⎨⎧x 2，x ≥0，－x 2，x ＜0的图象是抛物线．解析：命题①函数是一种特殊的映射，是正确的；命题②x ∈∅，故不是函数； y ＝2x (x ∈N )的图象是一群孤立的点，故③不对；命题④的图象关于原点对称，不是抛物线．故只有①正确．答案：①7．已知函数f (x )＝⎩⎨⎧2x， x ≥2，f (x ＋2)， x ＜2，则f (log 45)＝________.解析：f (log 45)＝f (log 45＋2)＝22＋log 45＝4·2log 2 5＝4 5. 答案：4 58．已知函数f (x )＝2x ＋1与函数y ＝g (x )的图象关于直线x ＝2成轴对称图形，则函数y ＝g (x )的解析式为________．解析：设点M (x ，y )在所求函数的图象上，点M ′(x ′，y ′)是M 关于直线x ＝2的对称点，则⎩⎨⎧x ′＝4－x ，y ′＝y ，又y ′＝2x ′＋1，∴y ＝2(4－x )＋1＝9－2x ， 即g (x )＝9－2x . 答案：g (x )＝9－2x9．(2013年丽水模拟)函数f (x )＝⎩⎪⎨⎪⎧2－x －1，x ≤0，x 12，x >0，若f (x 0)＝1，则x 0的值为________．解析：当x 0≤0时，f (x 0)＝2－x 0－1，由f (x 0)＝1，得2－x 0－1＝1，即2－x 0＝2，解得x 0＝－1；当x 0>0时，f (x 0)＝x 120，由f (x 0)＝1，得x 120＝1，解得x 0＝1.经检验x 0＝－1或1符合题意．综上可得x 0的值为－1或1.答案：－1或1 三、解答题 10．若函数f (x )＝xax ＋b(a ≠0)，f (2)＝1，又方程f (x )＝x 有唯一解，求f (x )的解析式．解析：由f (2)＝1得22a ＋b＝1，即2a ＋b ＝2； 由f (x )＝x 得x ax ＋b ＝x ，变形得x ⎝ ⎛⎭⎪⎫1ax ＋b －1＝0，解方程得x ＝0或x ＝1－ba ， 又因方程有唯一解， ∴1－ba ＝0，解得b ＝1，代入2a ＋b ＝2得a ＝12， ∴f (x )＝2x x ＋2. 11．已知f (x )＝x 2－1，g (x )＝⎩⎨⎧x －1，x ＞0，2－x ，x ＜0.(1)求f [g (2)]和g [f (2)]的值； (2)求f [g (x )]和g [f (x )]的表达式． 解析：(1)由已知，g (2)＝1，f (2)＝3， ∴f [g (2)]＝f (1)＝0，g [f (2)]＝g (3)＝3－1＝2. (2)当x ＞0时，g (x )＝x －1， 故f [g (x )]＝(x －1)2－1＝x 2－2x ； 当x ＜0时，g (x )＝2－x ，故f [g (x )]＝(2－x )2－1＝x 2－4x ＋3；∴f [g (x )]＝⎩⎨⎧x 2－2x ，x ＞0，x 2－4x ＋3，x ＜0.当x ＞1，或x ＜－1时，f (x )＞0， 故g [f (x )]＝f (x )－1＝x 2－2； 当－1＜x ＜1时，f (x )＜0， 故g [f (x )]＝2－f (x )＝3－x 2.∴g [f (x )]＝⎩⎨⎧x 2－2，x ＞1，或x ＜－1，3－x 2，－1＜x ＜1. 12．(能力提升)设x ≥0时，f (x )＝2；x <0时，f (x )＝1，又规定：g (x )＝3f (x －1)－f (x －2)2(x >0)，试写出y ＝g (x )的表达式，并画出其图象．解析：当0<x <1时，x －1<0，x －2<0， ∴g (x )＝3－12＝1；当1≤x <2时，x －1≥0，x －2<0， ∴g (x )＝6－12＝52；当x ≥2时，x －1>0，x －2≥0， ∴g (x )＝6－22＝2. 故g (x )＝⎩⎪⎨⎪⎧1，(0<x <1)，52，(1≤x <2)，2，(x ≥2).其图象如图所示：[因材施教·学生备选练习]1．(2013年温州模拟)设函数f (x )＝⎩⎨⎧x ，x ≥0，－x ，x <0，若f (a )＋f (－1)＝2，则a＝( )A ．－3B ．±3C ．－1D ．±1解析：依题意得，f (a )＝2－f (－1)＝2－－(－1)＝1.当a ≥0时，有a ＝1，则a ＝1；当a <0时，有－a ＝1，a ＝－1.综上所述，a ＝±1，选D.答案：D2．动点P 从单位正方形ABCD 的顶点A 出发，顺次经过B ，C ，D 绕边界一周，当x 表示点P 的行程，y 表示P A 的长时，求y 关于x 的解析式，并求f ⎝ ⎛⎭⎪⎫52的值．解析：当点P 在AB 上运动时，y ＝x (0≤x ≤1)； 当点P 在BC 上运动时，y ＝12＋(x －1)2＝x 2－2x ＋2(1<x ≤2)； 当点P 在CD 上运动时，y ＝12＋(3－x )2＝x 2－6x ＋10(2<x ≤3)； 当点P 在DA 上运动时，y ＝4－x (3<x ≤4)；综上可知，y ＝f (x )＝⎩⎪⎨⎪⎧x ，0≤x ≤1，x 2－2x ＋2，1<x ≤2，x 2－6x ＋10，2<x ≤3，4－x ，3<x ≤4.∴f ⎝ ⎛⎭⎪⎫52＝⎝ ⎛⎭⎪⎫522－6×52＋10＝52.。

2015届高考数学一轮总复习 2-1函数及其表示基础巩固强化一、选择题1．(文)若函数f (x )的定义域是[0,4]，则函数g (x )＝f (2x )x 的定义域是( )A ．[0,2]B ．(0,2)C ．(0,2]D ．[0,2)[答案] C[解析] ∵⎩⎪⎨⎪⎧0≤2x ≤4，x ≠0.∴0<x ≤2，故选C.(理)(2013·湖北荆门期末)函数f (x )＝1x ln(x 2－3x ＋2＋－x 2－3x ＋4)的定义域为( )A ．(－∞，－4]∪(2，＋∞)B ．(－4,0)∪(0,1)C ．[－4,0)∪(0,1]D ．[－4,0)∪(0,1) [答案] D[解析] 要使函数f (x )有意义，必须且只需⎩⎨⎧x≠0，x 2－3x ＋2≥0，x 2－3x ＋2＋－x 2－3x ＋4>0，解得－4≤x <0或0<x <1.故选D.2．(文)(2012·江西文，3)设函数f (x )＝⎩⎪⎨⎪⎧x 2＋1，x ≤1，2x ，x >1.则f (f (3))＝( )A.15 B ．3 C.23 D.139[答案] D[解析] 本题考查分段函数求值问题， 由条件知f (3)＝23，f (f (3))＝f (23)＝(23)2＋1＝139.(理)已知函数f (x )＝⎩⎪⎨⎪⎧2x ＋1，x ≤0，f (x －3)，x >0，则f (2014)等于( )A ．－1B ．1C ．－3D ．3[答案] C[解析] f (2014)＝f (2011)＝f (2008)＝……＝f (1)＝f (－2)＝2×(－2)＋1＝－3.3．已知函数f (x )＝⎩⎪⎨⎪⎧2x ＋1，x <1，x 2＋ax ，x ≥1，若f [f (0)]＝4a ，则实数a 等于( )A.12 B.45 C ．2 D ．9[答案] C[解析] ∵f (0)＝20＋1＝2，f (f (0))＝4a ， ∴22＋2a ＝4a ，∴a ＝2.4．(2013·银川模拟)设函数f (x )＝⎩⎪⎨⎪⎧x 2－4x ＋6，x ≥0，x ＋6，x <0，则不等式f (x )>f (1)的解集是( )A ．(－3,1)∪(3，＋∞)B ．(－3,1)∪(2，＋∞)C ．(－1,1)∪(3，＋∞)D ．(－∞，－3)∪(1,3) [答案] A[解析] 由题意知f (1)＝3，故原不等式可化为⎩⎪⎨⎪⎧ x ≥0，x 2－4x ＋6>3，或⎩⎪⎨⎪⎧x <0，x ＋6>3，解之得－3<x <1或x >3， ∴原不等式的解集为(－3,1)∪(3，＋∞)，故选A. 5．(文)函数f (x )＝22x －2的值域是( )A ．(－∞，－1)B ．(－1,0)∪(0，＋∞)C ．(－1，＋∞)D ．(－∞，－1)∪(0，＋∞)[答案] D [解析]1f (x )＝2x －1－1>－1，结合反比例函数的图象可知f (x )∈(－∞，－1)∪(0，＋∞)． (理)若函数y ＝f (x )的值域是[12，3]，则函数F (x )＝f (x )＋1f (x )的值域是( )A ．[12，3]B ．[2，103]C ．[52，103]D ．[3，103][答案] B[解析] 令t ＝f (x )，则12≤t ≤3，由函数g (t )＝t ＋1t 在区间[12，1]上是减函数，在[1,3]上是增函数，且g (12)＝52，g (1)＝2，g (3)＝103，可得值域为[2，103]，选B.6．a 、b 为实数，集合M ＝{ba ，1}，N ＝{a,0}，f 是M 到N 的映射，f (x )＝x ，则a ＋b 的值为( )A ．－1B ．0C ．1D ．±1 [答案] C[解析] ∵f (x )＝x ，∴f (1)＝1＝a ，若f (b a )＝1，则有ba ＝1，与集合元素的互异性矛盾，∴f (ba )＝0，∴b ＝0，∴a ＋b ＝1.二、填空题 7．(文)函数y ＝16－x －x 2的定义域是________．[答案] (－3,2)[解析] 由6－x －x 2>0，得x 2＋x －6<0， 即{x |－3<x <2}．(理)(2013·福州模拟)函数f (x )＝(x ＋1)2x ＋1－1－x 的定义域为________．[答案] (－∞，－1)∪(－1,1][解析] ∵要使函数f (x )＝(x ＋1)2x ＋1－1－x 有意义，∴⎩⎪⎨⎪⎧ 1－x ≥0，x ＋1≠0，∴⎩⎪⎨⎪⎧x ≤1，x ≠－1，∴函数f (x )的定义域为{x |x ≤1，且x ≠－1}．[失误与防范] 本题若将函数f (x )的解析式化简为f (x )＝(x ＋1)－1－x 后求定义域，会误认为其定义域为(－∞，1]．事实上，上述化简过程扩大了自变量x 的取值范围．防范错误的有效方法是每一步变形时观察一下是否为等价变换，否则应附加限制条件保持等价． 8．(文)如果函数f (x )＝1－x 21＋x 2，那么f (1)＋f (2)＋…f (2012)＋f (12)＋f (13)＋…＋f (12012)的值为________．[答案] 0[解析] 由于f (x )＋f (1x )＝1－x21＋x 2＋1－(1x )21＋(1x)2＝1－x 21＋x 2＋x 2－1x 2＋1＝0，f (1)＝0，故该式值为0.(理)规定记号“⊕”表示一种运算，且a ⊕b ＝ab ＋a ＋b ＋1，其中a 、b 是正实数，已知1⊕k ＝4，则函数f (x )＝k ⊕x 的值域是________．[答案] (2，＋∞)[解析] 1⊕k ＝k ＋k ＋2＝4，解之得k ＝1，∴f (x )＝x ＋x ＋2，由于“⊕”的运算对象是正实数，故x >0，∴f (x )>2.9．(2012·辽宁辽南协作体期中)已知f (x －2)＝⎩⎪⎨⎪⎧1＋x 2， x >2，2－x ， x ≤2，则f (1)＝________.[答案] 10[解析] f (1)＝f (3－2)＝1＋32＝10. 三、解答题10．(2012·北京海淀期中)某工厂生产某种产品，每日的成本C (单位：元)与日产量x (单位：t)满足函数关系式C ＝10 000＋20x ，每日的销售额R (单位：元)与日产量x 的函数关系式为R ＝⎩⎪⎨⎪⎧－130x 3＋ax 2＋290x ，0<x <120，20 400，x ≥120.已知每日的利润y ＝R －C ，且当x ＝30时，y ＝－100. (1)求a 的值；(2)当日产量为多少吨时，每日的利润可以达到最大，并求出最大值． [解析] (1)∵当x ＝30时，y ＝－100，∴－100＝－130×303＋a ×302＋270×30－10 000，∴a ＝3.(2)当0<x <120时，y ＝－130x 3＋3x 2＋270x －10 000.令y ′＝－110x 2＋6x ＋270＝0，可得：x 1＝90，x 2＝－30(舍去)，所以当x ∈(0,90)时，原函数是增函数，当x ∈(90,120)时，原函数是减函数． ∴当x ＝90时，y 取得极大值14 300. 当x ≥120时，y ＝10 400－20x ≤8 000.所以当日产量为90t 时，每日的利润可以达到最大值14 300元.能力拓展提升一、选择题11．(文)已知函数f (x )＝⎩⎪⎨⎪⎧log 2x ，x >0，2x ，x ≤0.若f (1)＋f (a )＝2，则a 的值为( )A ．1B ．2C ．4D ．4或1 [答案] C[解析] ∵f (1)＝0，∴f (a )＝2，∴log 2a ＝2(a >0)或2a ＝2(a ≤0)，解得a ＝4或a ＝1(舍)，故选C.(理)函数f (x )＝⎩⎪⎨⎪⎧sin (πx 2) (－1<x <0)，e x －1 (x ≥0).若f (1)＋f (a )＝2，则a 的所有可能值为( )A ．1B ．1，－22C ．－22D ．1，22[答案] B [解析] f (1)＝1，当a ≥0时，f (a )＝e a －1，∴1＋e a －1＝2，∴a ＝1，当－1<a <0时，f (a )＝sin(πa 2)， ∴1＋sin(πa 2)＝2， ∴πa 2＝π2＋2k π(k ∈Z )，∵－1<a <0，∴a ＝－22，故选B. 12．已知f (x )＝⎩⎪⎨⎪⎧(3－a )x －4a (x <1)，log a x (x ≥1).是(－∞，＋∞)上的增函数，那么a 的取值范围是( )A ．(1，＋∞)B ．(－∞，3)C ．[35，3)D ．(1,3)[答案] D[解析] 解法1：由f (x )在R 上是增函数，∴f (x )在[1，＋∞)上单增，由对数函数单调性知a >1，① 又由f (x )在(－∞，1)上单增，∴3－a >0，∴a <3，②又由于f (x )在R 上是增函数，为了满足单调区间的定义，f (x )在(－∞，1]上的最大值3－5a 要小于等于f (x )在[1，＋∞)上的最小值0，才能保证单调区间的要求，∴3－5a ≤0，即a ≥35，③由①②③可得1<a <3.解法2：令a 分别等于35、0、1，即可排除A 、B 、C ，故选D.[点评] f (x )在R 上是增函数，a 的取值不仅要保证f (x )在(－∞，1)上和[1，＋∞)上都是增函数，还要保证x 1<1，x 2≥1时，有f (x 1)<f (x 2)．二、填空题[答案] －1或1[解析]14．(2013·四川省内江市第一次模拟)设函数f (x )＝|x |x ＋bx ＋c ，则下列命题中正确命题的序号有________．①函数f (x )在R 上有最小值；②当b >0时，函数在R 上是单调增函数； ③函数f (x )的图象关于点(0，c )对称；④当b <0时，方程f (x )＝0有三个不同实数根的充要重要条件是b 2>4|c |； ⑤方程f (x )＝0可能有四个不同实数根． [答案] ②③④[解析] f (x )＝⎩⎪⎨⎪⎧x 2＋bx ＋c (x ≥0)－x 2＋bx ＋c (x <0)取b ＝0知，①⑤错； 容易判断②，③正确；b <0时，方程f (x )＝0有三个不同实数根，等价于c －b 24<0且c ＋b 24>0，∴b 2>4c 且b 2>－4c ，∴b 2>4|c |，故填②、③、④.三、解答题15．(文)函数f (x )＝x 2＋x －14.(1)若定义域为[0,3]，求f (x )的值域；(2)若f (x )的值域为[－12，116]，且定义域为[a ，b ]，求b －a 的最大值．[解析] ∵f (x )＝(x ＋12)2－12，∴对称轴为x ＝－12.(1)∵3≥x ≥0>－12，∴f (x )的值域为[f (0)，f (3)]， 即[－14，474]；(2)∵x ＝－12时，f (x )＝－12是f (x )的最小值，∴x ＝－12∈[a ，b ]，令x 2＋x －14＝116，得x 1＝－54，x 2＝14，根据f (x )的图象知当a ＝－54，b ＝14时，b －a 取最大值14－(－54)＝32.(理)已知f (x )是二次函数，若f (0)＝0，且f (x ＋1)＝f (x )＋x ＋1. (1)求函数f (x )的解析式； (2)求函数y ＝f (x 2－2)的值域． [解析] (1)设f (x )＝ax 2＋bx ＋c (a ≠0)， 又f (0)＝0，∴c ＝0，即f (x )＝ax 2＋bx . 又f (x ＋1)＝f (x )＋x ＋1.∴a (x ＋1)2＋b (x ＋1)＝ax 2＋bx ＋x ＋1. ∴(2a ＋b )x ＋a ＋b ＝(b ＋1)x ＋1，∴⎩⎪⎨⎪⎧2a ＋b ＝b ＋1，a ＋b ＝1，解得⎩⎨⎧a ＝12，b ＝12.∴f (x )＝12x 2＋12x .(2)由(1)知y ＝f (x 2－2)＝12(x 2－2)2＋12(x 2－2)＝12(x 4－3x 2＋2)＝12(x 2－32)2－18， 当x 2＝32时，y 取最小值－18.∴函数y ＝f (x 2－2)的值域为[－18，＋∞)．16．(文)某地区预计2014年的前x 个月内对某种商品的需求总量f (x )(万件)与月份x 的近似关系式是f (x )＝175x (x ＋1)(19－x )，x ∈N *,1≤x ≤12，求：(1)2014年的第x 月的需求量g (x )(万件)与月份x 的函数关系式． (2)求第几个月需求量g (x )最大．[解析](1)第x月的需求量为g(x)＝f(x)－f(x－1)＝175x(x＋1)(19－x)－175(x－1)x(20－x)＝125x(13－x)．(2)g(x)＝125(－x 2＋13x)＝－125[42.25－(x－6.5)2]，因此当x＝6或7时g(x)最大．第6、7月需求量最大．(理)某种商品在30天内每件的销售价格P(元)与时间t(天)的函数关系如图所示：该商品在30天内日销售量Q(件)与时间t(天)之间的关系如表所示：(1)根据提供的图象，写出该商品每件的销售价格P与时间t的函数关系式；(2)在所给直角坐标系中，根据表中提供的数据描出实数对(t，Q)的对应点，并确定日销售量Q 与时间t的一个函数关系式；(3)求该商品的日销售金额的最大值，并指出日销售金额最大的一天是30天中的第几天？(日销售金额＝每件的销售价格×日销售量)[解析] (1)P ＝⎩⎪⎨⎪⎧t ＋20 (0<t <25，t ∈N *)，－t ＋100 (25≤t ≤30，t ∈N *). (2)图略，Q ＝40－t (t ∈N *)． (3)设日销售金额为y (元)，则y ＝⎩⎪⎨⎪⎧－t 2＋20t ＋800 (0<t <25，t ∈N *)，t 2－140t ＋4000 (25≤t ≤30，t ∈N *). 即y ＝⎩⎪⎨⎪⎧－(t －10)2＋900 (0<t <25，t ∈N *)，(t －70)2－900 (25≤t ≤30，t ∈N *). 若0<t <25(t ∈N *)， 则当t ＝10时，y max ＝900；若25≤t ≤30(t ∈N *)，则当t ＝25时，y max ＝1125. 由1125>900，知y max ＝1125，∴这种商品日销售金额的最大值为1125元，30天中的第25天的日销售金额最大．考纲要求1．了解构成函数的要素；了解映射的概念．2．在实际情境中，会根据不同的需要选择恰当的方法(如图象法、列表法、解析法)表示函数． 3．了解简单的分段函数，并能简单地应用． 4．会求一些简单函数的定义域．5．了解求函数值域的方法，会求一些简单函数的值域． 6．会求一些简单函数的解析式． 补充说明1．掌握几类题型：求定义域，分段函数求值、解不等式，已知分段函数值求自变量的值及函数的图象变换．2．函数的定义域是一个集合，应该用集合或区间表示，有几段时，要用“∪”连接，函数解析式是几个代数式的和时，定义域是使各部分有意义的x 的集合的交集．3．了解求函数解析式的常见类型及方法 (1)配凑法当已知函数表达式比较简单时，可直接应用此法．即根据具体解析式凑出复合变量的形式，从而求出解析式．(2)换元法已知f [g (x )]是关于x 的函数，即f [g (x )]＝F (x )，求f (x )的解析式，通常令g (x )＝t ，由此能解出x ＝φ(t )．将x ＝φ(t )代入f [g (x )]＝F (x )中，求得f (t )的解析式，再用x 替换t ，便得f (x )的解析式．注意，换元后要确定新元t 的取值范围．[例1] 已知f (2x ＋1)＝lg x ，求f (x )的解析式．[解析] 令2x ＋1＝t ，由于x >0，∴t >1且x ＝2t －1，∴f (t )＝lg2t －1，即f (x )＝lg 2x －1(x >1)． (3)待定系数法若已知函数的结构形式，则可用此法．[例2] (2012·德州模拟)设二次函数f (x )满足f (x －2)＝f (－x －2)且图象在y 轴上的截距为1，在x 轴上截得的线段长为22，求f (x )的解析式．[解析] ∵二次函数f (x )满足f (x －2)＝f (－x －2)， ∴f (x )的图象关于直线x ＝－2对称， 故可设f (x )＝a (x ＋2)2＋c ， ∵f (x )的图象在y 轴上的截距为1， ∴f (0)＝1，∴4a ＋c ＝1，①又f (x )的图象在x 轴上截得线段长为22，∴－2＋2与－2－2是方程a (x ＋2)2＋c ＝0的两根， ∴2a ＋c ＝0②由①、②解得，a ＝12，c ＝－1，∴f (x )＝12(x ＋2)2－1，即f (x )＝12x 2＋2x ＋1.(4)消元法已知f (x )满足某个等式，这个等式除f (x )是未知量外，还出现其它未知量，如f (－x )、f ⎝⎛⎭⎫1x 等，必须根据已知等式再构造其它等式组成方程组，通过解方程组求出f (x )．[例3] 已知函数f (x )满足条件：f (x )＋2f (－x )＝x ，则f (x )＝________.[分析] 由于难以判断f (x )是何种类型的函数，故不可能先设出f (x )的表达式，但如果把条件中的x 换成－x ，即得f (－x )＋2f (x )＝－x ，把f (x )、f (－x )作为一个整体量，实际上得到了这两个量的方程组．[解析] 用－x 代换条件方程中的x 得f (－x )＋2f (x )＝－x ，把它与原条件式联立．⎩⎪⎨⎪⎧f (x )＋2f (－x )＝x ， ①f (－x )＋2f (x )＝－x . ② ②×2－①得，f (x )＝－x . [答案] －x[点评] 充分抓住已知条件式的结构特征，运用x 取值的任意性获得②式是解决此题的关键．若已知2f (x )－f (－1x )＝2x －1，你会求f (x )吗？(5)赋值法此类解法的依据是：如果一个函数关系式中的变量对某个范围内的一切值都成立，则对该范围内的某些特殊值必成立，结合题设条件的结构特点，给变量适当取值，从而使问题简单化、具体化，进而获解．[例4] 已知f (0)＝1，f (a －b )＝f (a )－b (2a －b ＋1)，求f (x )． [解析] 令a ＝0，则f (－b )＝f (0)－b (－b ＋1)＝1＋b (b －1)＝b 2－b ＋1 再令－b ＝x 得：f (x )＝x 2＋x ＋1.[点评] 赋值法的关键环节是“赋值”，赋值的方法灵活多样，既要照顾到已知条件的运用和待求结论的产生，又要考虑所给关系式的结构特点．如本题另解：令b ＝a ，则1＝f (0)＝f (a )－a (2a －a ＋1) ＝f (a )－a (a ＋1)＝f (a )－a 2－a ， ∴f (a )＝a 2＋a ＋1，∴f (x )＝x 2＋x ＋1. (6)转化法已知f (x )在某个区间上的表达式及f (x )具有某种性质(如奇偶性、对称性等)，求f (x )在另一个区间上的表达式，常用转化法求解．[例5] 已知函数f (x )对任意实数x 均有f (x )＝kf (x ＋2)，其中常数k 为负数，且f (x )在区间[0,2]上有表达式f (x )＝x (x －2)．(1)求f (－1)，f (2.5)的值；(2)写出f (x )在[－3,3]上的表达式，并讨论函数f (x )在[－3,3]上的单调性．[解析] (1)由f (－1)＝kf (1)，f (2.5)＝1k f (12)知需求f (12)和f (1)，f (1)＝－1，f (12)＝12×(12－2)＝－34，∴f (－1)＝－k ，f (2.5)＝－34k(2)∵0≤x ≤2时，f (x )＝x (x －2)， 设－2≤x <0，则0≤x ＋2<2， ∴f (x )＝kf (x ＋2)＝k (x ＋2)x ； 设－3≤x <－2，则－1≤x ＋2<0， ∴f (x )＝kf (x ＋2)＝k 2(x ＋4)(x ＋2)； 设2<x ≤3，则0<x －2≤1， ∵f (x )＝kf (x ＋2)，∴f (x －2)＝kf (x )， ∴f (x )＝1k f (x －2)＝1k(x －2)(x －4)．综上可知，f (x )＝⎩⎪⎨⎪⎧k 2(x ＋2)(x ＋4) －3≤x <－2，kx (x ＋2) －2≤x <0，x (x －2) 0≤x ≤2，1k (x －2)(x －4) 2<x ≤3.∵k <0，∴由二次函数的知识知：f (x )在[－3，－2)上是增函数，在[－2，－1)上是增函数，在[－1,0)上是减函数，在[0,1)上是减函数，在[1,2]上是增函数，在(2,3]上是增函数，又各区间都可以是闭区间，∴f (x )在[－3，－1]上是增函数，在[－1,1]上是减函数，在[1,3]上是增函数．[点评] 可用导数讨论单调性． 备选习题1．值域为{2,5,10}，对应关系为y ＝x 2＋1的函数个数为( ) A ．1 B ．8 C ．27 D ．39[答案] C[解析] 本题的关键是寻找满足条件的定义域有多少种情况．当y ＝2，即x 2＝1时，x ＝1，－1或±1有三种情况，同理当y ＝5,10时，x 的值各有三种情况，由分步乘法计数原理知，共有3×3×3＝27种可能．故选C.2．已知函数f (x )＝(x －a )(x －b )(其中a >b )的图象如下图所示，则函数g (x )＝a x ＋b 的图象是()[答案] A[解析] ∵f (x )＝(x －a )(x －b )的两个零点为a 和b 且a >b ，由图象知0<a <1，b <－1，∴g (x )＝a x＋b 单调减，且g (0)＝1＋b <0，故选A.3．函数f (x )＝|log 12 x |的定义域是[a ，b ]，值域为[0,2]，对于区间[m ，n ]，称n －m 为区间[m ，n ]的长度，则[a ，b ]长度的最小值为( )A.154 B ．3 C ．4 D.34[答案] D[解析] 令f (x )＝0得，x ＝1，令f (x )＝2得，log 12 x ＝±2，∴x ＝14或4，∴当a ＝14，b ＝1时满足值域为[0,2]，故选D.4．设函数f (x )＝⎩⎪⎨⎪⎧21－x －1 (x <1)，lg x (x ≥1).若f (x 0)>1，则x 0的取值范围是( )A ．(－∞，0)∪(10，＋∞)B ．(－1，＋∞)C ．(－∞，－2)∪(－1,10)D ．(0,10) [答案] A[解析] 由条件知，⎩⎪⎨⎪⎧ x 0<1，21－x 0－1>1，或⎩⎪⎨⎪⎧x 0≥1，lg x 0>1.∴x 0<0或x 0>10.5．(2012·东北三校二模)函数y ＝x ln(－x )与y ＝x ln x 的图象关于( ) A ．直线y ＝x 对称 B ．x 轴对称 C ．y 轴对称 D ．原点对称[答案] D[解析] 若点(m ，n )在函数y ＝x ln x 的图象上，则n ＝m ln m ，所以－n ＝－m ln[－(－m )]，可知点(－m ，－n )在函数y ＝x ln(－x )的图象上，反之亦然，而点(m ，n )与点(－m ，－n )关于原点对称，所以函数y ＝x ln x 与y ＝x ln(－x )的图象关于原点对称，故选D.6．如图，动点P 在正方体ABCD －A 1B 1C 1D 1的对角线BD 1上，过点P 作垂直于平面BB 1D 1D 的直线，与正方体表面相交于M 、N .设BP ＝x ，MN ＝y ，则函数y ＝f (x )的图象大致是( )[答案] B[解析] 解法1：取AA 1、CC 1的中点E 、F ，EF 交BD 1于O ，则EF ∥AC ，∵AC ⊥BD ，AC ⊥BB 1， ∴AC ⊥平面BDD 1B 1，∴EF ⊥平面BDD 1B 1， ∴平面BED 1F ⊥平面BDD 1B 1，过点P 作MN ∥EF ，则MN ⊥平面BDD 1B 1， MN 交BE 、BF 于M 、N ，则BP BO ＝MN EF ，∴MN ＝EF BO·BP ，不难看出当P 在BO 上时，y 是x 的一次增函数， 当P 在OD 1上时，y 是x 的一次减函数，故选B.解法2：连接AC ，A 1C 1，则MN ∥AC ∥A 1C 1，当且仅当P 为BD 1的中点O 时，MN ＝AC 取得最大值，故答案A ，C 错，又当P 为BO 中点时，MN ＝12AC ，故答案D 错，所以选B.7．已知函数f (x )的值域为[0,4]，(x ∈[－2,2])，函数g (x )＝ax －1，x ∈[－2,2]，∀x 1∈[－2,2]，总∃x 0∈[－2,2]，使得g (x 0)＝f (x 1)成立，则实数a 的取值范围是______．[答案] ⎝⎛⎦⎤－∞，－52∪⎣⎡⎭⎫52，＋∞ [解析] 只需要函数f (x )的值域是函数g (x )值域的子集即可． (1)当a >0时，g (x )＝ax －1单调递增，∵x ∈[－2,2]，∴－2a －1≤g (x )≤2a －1，要使条件成立，只需⎩⎪⎨⎪⎧－2a －1≤02a －1≥4，∴a ≥52.(2)当a <0时，g (x )＝ax －1单调递减．∵x ∈[－2,2]，∴2a －1≤g (x )≤－2a －1，要使条件成立，只需⎩⎪⎨⎪⎧2a －1≤0－2a －1≥4，∴⎩⎨⎧a ≤12a ≤－52，∴a ≤－52.综上，a 的取值范围是⎝⎛⎦⎤－∞，－52∪⎣⎡⎭⎫52，＋∞. 8．某化工厂生产某种产品，每件产品的生产成本是3元，根据市场调查，预计每件产品的出厂价为x 元(7≤x ≤10)时，一年的产量为(11－x )2万件，若该企业所生产的产品全部售出，则称该企业正常生产，但为了保护环境，用于治理污染的费用与产量成正比，比例系数为常数a (1≤a ≤3)．(1)求该企业正常生产一年的利润L (x )与出厂价x 的函数关系式；(2)当每件产品的出厂价定为多少元时，企业一年的利润最大，并求最大利润． [解析] (1)依题意，L (x )＝(x －3)(11－x )2－a (11－x )2＝(x －3－a )(11－x )2，x ∈[7,10]．(2)因为L ′(x )＝(11－x )2－2(x －3－a )·(11－x )＝(11－x )(11－x －2x ＋6＋2a )＝(11－x )(17＋2a －3x )．由L ′(x )＝0，得x ＝11∉[7,10]或x ＝17＋2a3.因为1≤a ≤3， 所以193≤17＋2a 3≤233.①当193≤17＋2a 3≤7，即1≤a ≤2时，L ′(x )在[7,10]上恒为负，则L (x )在[7,10]上为减函数，所以L (x )max ＝L (7)＝16(4－a )．②当7<17＋2a 3≤233，即2<a ≤3时，L (x )max ＝L (17＋2a 3)＝427(8－a )3. 当1≤a ≤2时，在每件产品出厂价为7元时，年利润最大，为16(4－a )万元．当2<a ≤3时，在每件产品出厂价为17＋2a 3元时，年利润最大，为427(8－a )3万元．。

函数及其性质一、选择题1.(2022届北京一六一中学10月月考,3)下列函数中,值域为R 的是( ) A.y=1x B.y=1+1x C.y=x+1x D.y=x-1x答案 D 对于函数y=1x ,因为x≠0,所以y≠0,故它的值域不是R,所以A 不满足题意; 对于函数y=1+1x ,因为x≠0,所以y≠1,故它的值域不是R,所以B 不满足题意;对于函数y=x+1x,由对勾函数的性质可知值域为(-∞,-2]∪[2,+∞),所以C 不满足题意;对于函数y=x-1x =x 2-1x,可得关于x 的方程x 2-yx-1=0有解,∵Δ=y 2+4>0,∴y 可以取任意实数,即y∈R,故D 满足条件. 故选D.2.(2022届北京一七一中学10月月考,7)存在函数f(x)满足:对任意x∈R 都有( ) A.f(sin2x)=sinx B.f(sin2x)=x 2+x C.f(x 2+1)=|x+1| D.f(x 2+2x)=|x+1|答案 D A 选项,取x=0,可知f(sin0)=sin0,即f(0)=0,再取x=π2,可知f(sinπ)=sin π2,即f(0)=1,矛盾,∴A 错误;同理可知B 错误;C 选项,取x=1,可知f(2)=2,再取x=-1,可知f(2)=0,矛盾,∴C 错误.故选D.3.(2022届黑龙江适应性测试,2)托马斯说:“函数是近代数学思想之花.”根据函数的概念判断,下列对应关系是从集合M={-1,2,4}到集合N={1,2,4,16}的函数的是( ) A.y=2x B.y=x+2 C.y=x 2D.y=2x答案 C A.当x=-1时,y=2x=-2,集合N 中没有对应值,不满足条件. B.当x=4时,y=x+2=6,集合N 中没有对应值,不满足条件.C 中函数满足条件. D.当x=-1时,y=12,集合N 中没有对应值,不满足条件.故选C. 4.(2022届西安期中,4)下列各图中,一定不是函数图象的是( )答案 A 对于A 选项,由图可知,存在一个x 同时有两个y 值与之对应,A 选项中的图不是函数图象;对于B 选项,由图可知,对于每个x,有唯一的y 值与之对应,B 选项中的图是函数图象,同理可知CD 选项中的图是函数图象,故选A. 5.(2022届山东鱼台一中月考一,2)已知函数f(x)={(12)x,x ≤0,x -2,x >0,设f(1)=a,则f(a)=( )B.12 12 32答案 A 因为f(x)={(12)x,x ≤0,x -2,x >0,所以f(1)=1-2=-1,所以a=-1,所以f(-1)=(12)-1=2.6.(2022届广东深圳七中月考,7)定义在R 上的函数f(x)满足f(x)={log 9(1-x),x ≤0,x (x -10),x >0,则f(2018)=( ) A.1212答案 A∵f(x)={log 9(1-x),x ≤0,x (x -10),x >0,∴f(2018)=f(2008)=f(1998)=…=f(8)=f(-2),∴f(2018)=log 93=12.故选A.7.(2022届广东普通高中10月质检,3)函数f(x)=1x +4x 在[1,2)上的值域是( ) A.[5,172) B.[4,172) C.(0,172) D.[5,+∞)答案 A 因为f'(x)=-1x 2+4=(2x +1)(2x -1)x 2,所以当x∈[1,2)时,f'(x)>0,f(x)是增函数,所以f(1)≤f(x)<f(2),即5≤f(x)<172.故选A.8.(2022届河北保定重点高中月考,7)设定义在R 上的函数f(x)=x·|x|,则f(x)( )A.既是奇函数,又是增函数B.既是偶函数,又是增函数C.既是奇函数,又是减函数D.既是偶函数,又是减函数答案 A ∵f(-x)=-x·|-x|=-x·|x|=-f(x),且f(x)的定义域关于原点对称,∴函数f(x)为奇函数,∵f(x)=x·|x|={x 2,x ≥0,-x 2,x <0,∴函数f(x)为增函数,故选A.9.(2022届北京市育英中学10月月考,2)下列函数中,在区间(0,+∞)上不是单调函数的是( )A.y=1x B.y=(x+1)2C.y=12x+√x +1 D.y=|x-1|答案 D A 选项,y=1x 在(0,+∞)上单调递减. B 选项,y=(x+1)2在(0,+∞)上单调递增.C 选项,y=12x+√x +1=12(√x )2+√x +1,在(0,+∞)上单调递增.D 选项,y=|x-1|={x -1,x ≥1,1-x ,x <1,在(0,1)上单调递减,在(1,+∞)上单调递增.故选D.10.(2022届山西忻州月考,9)设f(x)是定义域为R 的偶函数,若∀x 1,x 2∈(0,+∞)(x 1≠x 2),都有x (x 1)-f(x 2)x 1-x 2>0,则( )A.f(lo g 123.1)<f(log 23)=f (32)B.f(log 23)<f(lo g 123.1)<f (32)(32)<f(lo g 123.1)<f(log 23)(32)<f(log 23)<f(lo g 123.1)答案 D 因为∀x 1,x 2∈(0,+∞)(x 1≠x 2),都有x (x 1)-f(x 2)x 1-x 2>0,所以f(x)在(0,+∞)上单调递增,因为f(x)是定义域为R 的偶函数,所以f(lo g 123.1)=f(-log 23.1)=f(log 23.1),又因为232=2√2,所以232<3<3.1,而y=log 2x 在(0,+∞)上单调递增,所以32<log 23<log 23.1,故f (32)<f(log 23)<f(log 23.1),即f (32)<f(log 23)<f(lo g 123.1),故选D.11.(2022届四川广元质检(二),9)已知函数f(x)是定义在R上的偶函数,且对任意实数x,都有f(x)+f(4-x)=0,当x∈[-2,0]时,f(x)=-x2+4,则f(11)=( )答案 D ∵f(-x)=f(x),且f(x)+f(4-x)=0,∴f(4+x)=-f(-x)=-f(x),即f(8+x)=f(x),∴f(x)是以8为周期的偶函数,又当x∈[-2,0]时,f(x)=-x2+4,∴f(11)=f(3)=-f(1)=-f(-1)=-[-(-1)2+4]=-3.故选D.12.(2022届合肥联考,12)已知f(x)是定义在R上的奇函数,∀x∈R,恒有f(x+4)=-f(x),且当x∈[-2,0)时,f(x)=-x-1,则f(0)+f(1)+f(2)+…+f(2020)+f(2021)=()答案 B 因为f(x+4)=-f(x),所以f(x+8)=-f(x+4)=f(x),所以f(x)的周期是8.因为f(0)=0,f(2)=-f(-2)=-1,f(3)=-f(-1)=0,f(4)=-f(0)=0,f(1)=-f(-3)=f(3)=0,f(5)=-f(1)= 0,f(6)=-f(2)=1,f(7)=-f(3)=0,f(8)=-f(4)=0,又f(x)是周期为8的周期函数,所以f(0)+f(1)+f(2)+f(3)+f(4)+f(5)+f(6)+f(7)=…=f(2008)+f(2009)+f(2010)+f(2011)+f(20 12)+f(2013)+f(2014)+f(2015)=0.f(2016)+f(2017)+f(2018)+f(2019)+f(2020)+f(2021)=f (0)+f(1)+f(2)+f(3)+f(4)+f(5)=0+0+(-1)+0+0+0=-1.所以f(0)+f(1)+f(2)+…+f(2020)+f(2021)=-1.故选B.13.(2022届清华大学中学生标准学术能力测试(11月),7)已知定义域为R的奇函数f(x)满足:f(x)=f(2-x),且当x∈[0,1]时,f(x)=ax+b,若f(-1)=2,则f(-1.5)=( )答案 C 由题意,f(0)=b=0,且f(1)=a+b=-f(-1)=-2,所以a=-2,所以当x∈[0,1]时,f(x)=-2x,因为f(x)=f(2-x),所以f(x+2)=f(-x)=-f(x),所以f(x+4)=-f(x+2)=f(x),所以函数f(x)是周期为4的函数,所以f(-1.5)=f(2.5)=-f(0.5)=-(-2×0.5)=1.14.(2022届河北保定重点高中月考,12)已知定义在R上的函数f(x),g(x),其中函数f(x)满足f(-x)=f(x)且在[0,+∞)上单调递减,函数g(x)满足g(1-x)=g(1+x)且在(1,+∞)上单调递减,设函数F(x)=1[f(x)+g(x)+|f(x)-g(x)|],则对任意x∈R,均有( )2A.F(1-x)≥F(1+x)B.F(1-x)≤F(1+x)C.F(1-x2)≥F(1+x2)D.F(1-x2)≤F(1+x2)答案 C根据题意,函数f(x)满足f(-x)=f(x),则f(x)为偶函数,又由f(x)在[0,+∞)上单调递减,且|1-x 2|≤|1+x 2|,得f(1-x 2)≥f(1+x 2).函数g(x)满足g(1-x)=g(1+x),即g(x)的图象关于直线x=1对称,则g(1-x 2)=g(1+x 2),又由F(x)=12[f(x)+g(x)+|f(x)-g(x)|]={x (x ), x (x )≥x (x ),x (x ), x (x )<x (x ),则F(x)的示意图可表示为图中实线部分,所以有F(1-x 2)≥F(1+x 2).故选C. 二、填空题15.(2022届福建永安三中10月月考,13)设函数f(x)={1+log 2(2-x),x <1,2x ,x ≥1,则f(-2)+f(log 26)= . 答案 9解析 f(-2)=1+log 24=3,f(log 26)=2log 26=6,∴f(-2)+f(log 26)=3+6=9.16.(2022届广东深圳三中月考,15)已知函数f(x)={13x 3-ax +1,0≤x <1,x ln x ,x ≥1,若f(x)≥f(1)恒成立,则正实数a 的取值范围是 . 答案 (0,43]解析 ∵a>0,∴当x≥1时,f(x)=alnx≥f(1),当0≤x<1时,f(x)=13x 3-ax+1,f'(x)=x 2-a.(1)若a≥1,则f'(x)<0,f(x)单调递减,f(x)≥f(1)成立,则13-a+1≥0,解得a≤43,∴1≤a≤43,(2)若0<a<1,则当0<x<√x 时,f'(x)<0,f(x)单调递减,当√x <x<1时,f'(x)>0,f(x)单调递增,因此x=√x 时,f(x)min =f(√x )=13(√x )3-(√x )3+1=-23x 32+1,所以-23x 32+1≥0,显然成立,∴0<a<1.综上,a 的取值范围是(0,43].17.(2022届山东学情10月联考,14)设f(x)是定义域为R 的奇函数,且f(1-x)=f(2+x),若f (43)=12,则f (-53)= . 答案 -12解析 因为f(1-x)=f(2+x),所以f(x)的图象关于直线x=32对称,又f(x)是奇函数,所以f (-53)=-f (53)=-f (43)=-12.18.(2022届山西忻州顶级名校联考,16)在下列命题中,正确命题的序号为 .(写出所有正确命题的序号)①函数f(x)=x+x x(x>0)的最小值为2√x ;②已知定义在R 上周期为4的函数f(x)满足f(2-x)=f(2+x),则f(x)一定为偶函数; ③定义在R 上的函数f(x)既是奇函数又是以2为周期的周期函数,则f(1)+f(4)+f(7)=0; ④已知函数f(x)=x 3,若a+b>0,则f(a)+f(b)>0. 答案 ②③④解析 ①当a=0时,f(x)=x(x>0)无最小值,故①错误;②因为f(2-x)=f(2+x),所以f(x)的图象关于直线x=2对称,又f(x)的周期为4,所以f(-x)=f(-x+4)=f(4-(-x+4))=f(x),故函数f(x)一定为偶函数,故②正确;③因为f(x)是定义在R 上的奇函数,又是以2为周期的周期函数,所以f(0)=0,f(-1)=-f(1),f(-1)=f(-1+2)=f(1),故f(1)=0,又f(4)=f(0+2×2)=f(0)=0,f(7)=f(1+2×3)=f(1)=0,所以f(1)+f(4)+f(7)=0,故③正确;④f(x)=x 3为奇函数,且在R 上单调递增,若a+b>0,则a>-b,有f(a)>f(-b)=-f(b),所以f(a)+f(b)>0,故④正确.19.(2022届山东鱼台一中月考,16)定义在R 上的函数f(x)=x+a+sinx,若f (x+π)是奇函数,则a= ;满足f(x)-π>0的x 的取值范围是 . 答案 -π;(2π,+∞)解析 f(x+π)=x+π+a -sinx,因为f(x+π)是奇函数,则π+a=0,即a=-π,f(x)=x -π+sinx,因为f'(x)=1+cosx≥0,则f(x)递增,又f(2π)=π,则f(x)-π>0⇔f(x)>π⇔f(x)>f(2π)⇔x>2π. 三、解答题20.(2022届福建长汀一中月考二,20)已知a,b∈R 且a>0,函数f(x)=4x +b4x -a 是奇函数. (1)求a,b 的值;(2)对任意x∈(0,+∞),不等式mf(x)-f (x2)>0恒成立,求实数m 的取值范围. 解析 (1)因为f(x)是奇函数,所以f(-x)=-f(x),即2-2ab+(b-a)(4x +4-x)=0恒成立,∴{x -x =0,2-2xx =0,又a>0,所以解得a=b=1.(2)不等式mf(x)-f (x 2)>0⇔m (1+24x -1)-(14x2-1>0对任意x∈(0,+∞)恒成立,令2x=t(t>1),则m>x +1x -1x 2+1x 2-1=(x +1)2x 2+1=x 2+1+2t x 2+1=1+2x x 2+1=1+2x +1x对t>1恒成立,∵y=2x +1x在(1,+∞)上单调递减,∴y=1+2x +1x<2,∴m≥2,∴m 的取值范围为[2,+∞).21.(2022届山西忻州顶级名校联考,19)已知函数f(x)是定义在R 上的奇函数,且当x>0时,f(x)=-x 2+2x.(1)求函数f(x)在R 上的解析式; (2)解关于x 的不等式f(x)<3.解析 (1)当x<0时,-x>0,则f(-x)=-(-x)2+2(-x)=-x 2-2x, 由f(x)是定义在R 上的奇函数,得f(x)=-f(-x)=x 2+2x,且f(0)=0,综上,f(x)={-x 2+2x,x >0,0,x =0,x 2+2x,x <0.(2)①当x>0时,-x 2+2x<3⇒x 2-2x+3>0,解得x∈R,所以x>0; ②当x=0时,0<3显然成立,所以x=0; ③当x<0时,x 2+2x<3,得-3<x<0. 综上,不等式的解集为(-3,+∞).。

专题二不等式2.1 不等式及其解法基础篇考点一不等式的概念与性质考向一利用不等式性质比较大小1.(多选)(2023届福建龙岩一中月考,9)若1a <1b<0,则下列结论中正确的是( )A.a2<b2B.ab<b2C.|a|+|b|>|a+b|D.a3>b3答案ABD2.(2022山东日照二模,4)若a,b,c为实数,且a<b,c>0,则下列不等关系一定成立的是( )A.a+c<b+cB.1a <1bC.ac>bcD.b-a>c答案A3.(2014四川,4,5分)若a>b>0,c<d<0,则一定有( )A.ac >bdB.ac<bdC.ad >bcD.ad<bc答案D4.(多选)(2022广东汕头二模,9)已知a,b,c满足c<a<b,且ac<0,那么下列各式中一定成立的是( ) A.ac(a-c)>0 B.c(b-a)<0C.cb2<ab2D.ab>ac答案BCD5.(多选)(2022河北承德模拟,9)若实数a,b满足a4<a3b,则下列选项中一定成立的有( ) A.a2<b2 B.a3<b3C.e a-b<1D.ln ab<0答案 AD考向二 作差(商)法比较大小问题1.(2023届安徽十校联考,5)已知实数a >b >c ,abc ≠0,则下列结论一定正确的是 ( )A.ab >ac B.ab >bc C.1a <1c D.ab +bc >ac +b 2 答案 D2.(2022重庆育才中学开学练,9)若M =x 2+y 2+1,N =2(x +y -1),则M 与N 的大小关系为( )A.M <NB.M >NC.M =ND.不能确定 答案 B3.(2021江苏滨海中学月考,6)下列命题为真命题的是 ( )A.若a <b <0,则1a<1bB.若a >b >0,则ac 2>bc 2C.若c >a >b >0,则ac−a <bc−b D.若a >b >c >0,则ab >a+c b+c 答案 D4.(多选)(2022福建宁德一中期中,10)下列四个命题中,真命题是 ( )A.若1x >1y ,则x <y B.若xy >0,则x y+y x≥2 C.若x >y >0,c >0,则yx <y+cx+c D.若xy +1>x +y ,则x >1,y >1 答案 BC5.(2022全国甲理,12,5分)已知a =3132,b =cos 14,c =4sin 14,则 ( )A.c >b >aB.b >a >cC.a >b >cD.a >c >b 答案 A考点二不等式的解法考向一解一元二次不等式1.(2023届山东潍坊临朐实验中学月考,6)若关于x的不等式(a2-4)x2+(a+2)x-1≥0的解集不为空集,则实数a的取值范围为( ) ]A.(−2,65]B.[−2,65,+∞)C.(-∞,-2)∪[65,+∞)D.(-∞,-2]∪[65答案C2.(多选)(2023届山西长治质量检测,10)已知函数y=x2+ax+b(a>0)有且只有一个零点,则( ) A.a2-b2≤4≥4B.a2+1bC.若不等式x2+ax-b<0的解集为(x1,x2),则x1x2>0D.若不等式x2+ax+b<c的解集为(x1,x2),且|x1-x2|=4,则c=4答案ABD3.(多选)(2021南京一中阶段练,10)对于给定实数a,关于x的一元二次不等式(ax-1)·(x+1)<0的解集可能是( )} B.{x|x≠-1}A.{x|−1<x<1a<x<−1} D.RC.{x|1a答案AB4.(2019天津文,10,5分)设x∈R,使不等式3x2+x-2<0成立的x的取值范围为.)答案(−1,23考向二三个“二次”之间的关系应用1.(2021山东师范大学附中一模,4)若不等式ax2+bx+c>0的解集为{x|-1<x<2},则不等式a(x2+1)+b(x-1)+c<2ax的解集为( ) A.{x|-2<x<1} B.{x|x<-2或x>1}C.{x|x<0或x>3}D.{x|0<x<3}答案C2.(2022山东新泰一中月考)若不等式ax2-x-c>0的解集为{x|−1<x<12},则函数y=cx2-x-a的图象可以为( )A BC D答案C3.(多选)(2021广东东莞中学检测,10)已知关于x的不等式ax2+bx+c≥0的解集为{x|x≤-3或x≥4},则下列说法正确的是( )A.a>0B.不等式bx+c>0的解集为{x|x<-4}C.不等式cx2-bx+a<0的解集为{x|x<−14或x>13}D.a+b+c>0答案AC4.(多选)(2021江苏盐城11月练习,10)已知不等式ax2+bx+c>0的解集为{x|m<x<n},其中m>0,则以下选项正确的有( )A.a<0B.c>0C.cx2+bx+a>0的解集为{x|1n <x<1m}D.cx2+bx+a>0的解集为{x|x<1n 或x>1m}答案AC5.(2023届山东潍坊临朐实验中学月考,13)若关于x的不等式ax2+bx+c>0的解集为{x|-1<x<3},则关于x的不等式cx2+bx+a>0的解集为.答案{x|x<−1或x>13}6.(2023届山东潍坊五县联考,14)关于x的方程2x2-4(m-1)x+m2+7=0的两根之差的绝对值不大于2,则实数m的最大值与最小值的和为.答案47.(2022山东潍坊安丘等三县测试,17)已知函数f(x)=ax2+bx+2,关于x的不等式f(x)>0的解集为{x|-2<x<1}.(1)求实数a,b的值;(2)若关于x的不等式ax2+2x-3b>0的解集为A,关于x的不等式3ax+bm<0的解集为B,且A⊆B,求实数m的取值范围.解析(1)由题意知,-2,1是关于x的方程ax2+bx+2=0的两个根,且a<0,所以{−2+1=−ba,(−2)×1=2a,所以a=-1,b=-1.(2)不等式-x2+2x+3>0的解集为A={x|-1<x<3},不等式-3x-m<0的解集为B={x|x>−m3},因为A⊆B,所以-m3≤-1,解得m≥3.故m的取值范围为{m|m≥3}.综合篇考法一元二次不等式恒成立问题考向一直接转化为函数求最值1.(2022湖北恩施高中、荆州中学等四校联考,6)设函数f(x)=mx2-mx-1,若对于任意的x ∈{x|1≤x≤3},f(x)<-m+4恒成立,则实数m的取值范围为( )A.{m|m≤0}B.{m|0≤m<57}C.{m|m<0或0<m<57}D.{m|m<57}答案D2.(2022福建龙岩模拟,4)∀x∈(1,3],一元二次不等式x2-(m+2)x+m+2≥0恒成立,则m 的取值范围是( )A.(-2,2)B.(−∞,52]C.[-2,2]D.(-∞,2]答案D3.(2022重庆涪陵高级中学冲刺卷二,5)当x∈(1,2)时,x2+mx+4<0恒成立,则m的取值范围是( )A.m≤-4B.m<-4C.m<-5D.m≤-5答案D考向二分离出参数后求最值1.(2022湖南岳阳模考,3)若对任意的x∈[-1,0],-2x2+4x+2+m≥0恒成立,则m的取值范围是( ) A.[4,+∞) B.[2,+∞)C.(-∞,4]D.(-∞,2]答案A2.(2021河北唐山模拟,6)若∀x∈{x|1≤x≤5},不等式x2+ax-2≤0恒成立,则a的取值范围是( )A.{a|a>−235} B.{a|−235≤a≤1}C.{a|a>1}D.{a|a≤−235}答案D3.(2022北京师大附中模拟,4)关于x的不等式x2+|x|≥a|x|-1对任意x∈R恒成立,则实数a的取值范围是( )A.[-1,3]B.(-∞,3]C.(-∞,1]D.(-∞,1]∪[3,+∞)答案B4.(2022天津滨海新区塘沽一中阶段练,5)已知“∃x∈R,使得不等式x2-4x-a-1<0”不成立,则a的取值范围为( ) A.(-∞,-5] B.(-∞,-2]C.(-5,+∞)D.[-5,+∞)答案A5.(2022重庆南开中学模拟,13)当x∈[0,3]时,不等式x2+(a-4)x+4>0恒成立,则a的取值范围为.答案(0,+∞)。